Лемма Ито

Лемма Ито играет ключевую роль в теории случайных процессов и находит свое приложение в моделях оценки справедливой стоимости финансовых инструментов. Так как стоимость любой производной ценной бумаги является функцией, зависящей в том числе от стохастических факторов, исследование и описание свойств таких функций имеет важное значение.

Лемма Ито применяется к процессам, которые подвержены некоторому сносу, а также воздействию случайных факторов. Такие процессы довольно точно описывают поведение цен на финансовых рынках. Вывод формулы Ито и описание соответствующих свойств в рамках данной статьи будет проведено на базе моделирование цен финансовых активов.

Уравнение цены

Построение прогностической модели стоимости любого финансового актива основано на эмпирическом анализе окружающей нас реальности. Опытным путем установлено, что изменение стоимости финансового актива зависит от (i) времени и (ii) стоимости актива в исходный момент времени x_0 . Это позволяет понять, что цена актива является функцией двух переменных x(x_0, t) .

Наличие зависимости при которой скорость изменения некоторой величины пропорциональна ей самой встречается очень часто и приводит к экспоненциальному росту, примерами служат уравнения радиоактивного распада, размножения и гибели микроорганизмов. Знание закона по которому изменяется цена позволяет составить дифференциальное уравнение.

$dx = rxdt \qquad (1)$

В данное уравнение добавляется безрисковая ставка являющаяся скалирующим коэффициентом, который описывает динамику актива. Для решения уравнения (1) разделяем переменные: $\frac{dx}{x} = rdt$ , интегрируем и в итоге получаем уравнение стоимости финансового актива.

$x = x_0e^{rt} \qquad (2)$

где, - стоимость финансового актива в момент времени .

Надо заметить, что получившееся уравнение позволяет нам точно определить значение цены в любой будущий момент времени, в связи с чем такой процесс можно назвать детерминированным. Однако, на практике цена помимо некоторой детерминированной динамики, определяемой безрисковой ставкой, также подвержена случайным колебаниям, которые должны учитываться при прогнозировании цен.

Исходя из вышесказанного логичным будет выглядеть внедрение в уравнение цены стохастической составляющей, наиболее подходящей моделью которой является броуновское движение.

Броуновское движение

История открытия броуновского движения хорошо известна, поэтому перейдем к описанию его основных физических и математических свойств. В каждый момент времени t_n на частицу оказывается разнонаправленное воздействие очень большого количества молекул, при этом сила их соударения с частицей тоже разная. В результате, наблюдаемая частица совершает хаотические движения. Такая картина является свойственной для финансового рынка, когда на колебания цены в конкретный момент времени оказывают влияние решения огромного количества независимых участников рынка.

Если перенести броуновское движение на координатную плоскость и представить его в дискретном времени, то получим переменную Винера, описывающая одну конкретную реализацию случайного процесса $W_t = \varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \cdots+\varepsilon_n$ , где $\varepsilon_j$ это независимые случайные величины имеющие нормированное нормальное распределение $\sim N(0,1)$ .

На практике, каждая случайная величина $\varepsilon_j$ является приращением цены в соответствующий момент времени t_j . Для того, чтобы задать некоторую амплитуду таких толчков и описать данной моделью поведение какого-то реального актива вводиться коэффициент $\sigma$ , рассчитывающийся на основе статистических данных и являющийся волатильностью. В итоге дискретный процесс Винера трансформируется в формулу: $W_t =\sigma( \varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \cdots+ \varepsilon_n)$ . В силу свойств случайных величин, распределенных нормально, сумма гауссовых чисел $\varepsilon_1 + \varepsilon_2 +\cdots+ \varepsilon_n$ , представляется как $\varepsilon{\sqrt{n}}$ , где $\varepsilon_j \sim N(0,1)$ , а - общее количество случайных движений цены.

В конечном итоге Винеровский процесс, может быть представлен в виде $W_t = \sigma \varepsilon {\sqrt{n}}$ . Его особенность заключается в том, что малое изменение процесса по времени $\Delta t$ присутствует в переменной Винера, как $\sqrt{\Delta t}$ . В геометрической интерпретации это означает, что огибающее семейство всех реализаций такого случайного процесса будут иметь параболический вид.

Добавив к Винеровскому процессу определенную динамику в виде $r\Delta t$ , получим уравнение арифметического броуновское движения со сносом .

$x = x_0 + r\Delta t + \sigma \varepsilon \sqrt{\Delta t} \qquad (3)$

Код python

import pandas as pdimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt%matplotlib inlinesteps = 300num_plots = 50Range = []Values = [0]plt.style.use('ggplot')plt.rcParams['lines.linewidth'] = 0.6fig, ax = plt.subplots()fig.set_figwidth(12)fig.set_figheight(6)colormap = plt.cm.gist_ncarplt.gca().set_prop_cycle(plt.cycler('color', plt.cm.jet(np.linspace(0, 1, 1))))Range = np.arange(steps) for i in range(0, num_plots):    for i in range (1, steps):        x = np.random.random()        if x <= 0.5:            x = -1        else:            x = 1        y = Values[-1] + x        Values.append(y)        ax.plot(Range, Values)    Values = [0]

Постановка задачи

Имея в распоряжении полученное соотношение (3) возникает ощущение, что никакой сложности в прогнозировании цен нет. Так и есть, однако, важно иметь в виду, что с точки зрения финансовой науки не совсем корректно анализировать приращение цены, так как еще в 30 гг. ХХ века было установлено, что нормально распределены не сами цены, а их логарифмы. Следовательно объектом изучения должен быть не сам, а $\ln x$ . Ниже рассмотрим логику перехода от к $d(\ln x)$ .

Для начала из разностной схемы уравнения цены (3) , выразим приращение цены $\Delta x$ , а затем запишем дифференциальное уравнение в непрерывном времени перейдя к дифференциалам.

$x = x_0 + r\Delta t + \sigma \varepsilon \sqrt{\Delta t} \mapsto \Delta x = r\Delta t + \sigma \varepsilon \sqrt{\Delta t} \mapsto dx = rdt + \sigma \delta W$

Заметим, что $dx = rdt + \sigma \delta W$ представляет собой уравнение Ито, то есть такой процесс, где есть некий снос rdt и флуктуация $\sigma \delta W$ , в общем виде записываемый следующим образом:

$dx = a(x,t)dt + b(x,t)\delta W \qquad (4)$

где, - функция сноса, - функция волатильности.

Имея в виду необходимость проанализировать $d(\ln x)$ необходимо перейти от уравнения $dx = rdt + \sigma \delta W$ к уравнению $dx = xrdt + x\sigma \delta W$ . Решается полученное уравнение довольно нетривиально так, как в правой части стохастического дифференциального уравнения стоят не константы, как в уравнении $dx = rdt + \sigma \delta W$ , а функции и $x\sigma$ .

Такого рода задачи финансовой математики помогает решать лемма Ито. Например, лемма Ито также используется для вывода уравнения Блэка-Шоулза-Мертона в частных производных.

Лемма Ито

Для того, чтобы решить СДУ $dx = xrdt + x\sigma \delta W$ требуется взять некую функцию F(x(t)),t) , поведение, которой будет соответствовать общему процессу Ито, то есть зависеть от функций сноса A(x,t) и волатильности B(x,t) , а также аргументом которой будет случайный процесс x(t) . В результате получим связанные с друг другом дифференциальные стохастические уравнения.

$dF(x(t),t) = A(x,t)dt+ B(x,t)\delta W \qquad (5)$

где, дифференциал случайного процесса выглядит, как $dx = a(x,t)dt + b(x,t)\delta W$ *

Лемма Ито позволяет вычислить функции A(x,t) и B(x,t) , если нам даны функции a(x,t) и b(x,t) . Функцию F(x(t), t) предполагаем аналитической, в частности, разложимой в ряд Тейлора в окрестности точки (x_0,t_0) .

$F(x,t) = F(x_0, t_0)+ \frac{\partial F}{\partial x} \Delta x + \frac{1}{2} \frac{\partial ^2F}{\partial x^2}(\Delta x)^2 + \frac{\partial F}{\partial t} \Delta t + \cdots \qquad (6)$

где, частные производные вычисляются в точке и $\Delta x = x - x_, \Delta t = t - t_0$ .

В виду соотношения * учитываем только бесконечно малые $\Delta x, \Delta t, (\Delta x)^2$ ; остальные имеют порядок малости выше $\Delta t$ . В разложение (6) подставляются приращения случайного процесса $\Delta x$ и $(\Delta x)^2$ , а F(x_0, t_0) переносится в левую часть уравнения. Усредняя левую и правую часть (угловые скобки $\left \langle \right \rangle$ обозначают мат. ожидание) получаем:

$\left \langle \Delta F \right \rangle = \frac{\partial F}{\partial x} (a_0 \Delta t) + \frac{1}{2} \frac{\partial ^2F}{\partial x^2}(b_0^2\Delta t) + \frac{\partial F}{\partial t} \Delta t + \cdots$

В самом деле:

$\langle \Delta x \rangle =a_0 \Delta t + b_0 \langle \varepsilon \rangle \sqrt{\Delta t} = a_0 \Delta t$ - в силу того, что $\langle \varepsilon\rangle = 0$ , второе слагаемое исчезает и остается только $a_0\Delta t$ .

$(\Delta x)^2 = a_0^2\Delta t^2 + 2a_0b_0 \varepsilon \Delta t \sqrt{ \Delta t} + b_0^2 \varepsilon^2 \Delta t \Rightarrow_1 a_0^2\Delta t^2 + b_0^2 \varepsilon^2 \Delta t \Rightarrow_2 a_0^2\Delta t^2 + b_0^2 \varepsilon^2 \Delta t \Rightarrow_3$ $\Rightarrow_3 b_0^2 \langle \varepsilon^2 \rangle \Delta t = b_0 \Delta t$ На первом шаге пропадает удвоенное произведение по причине $\langle \varepsilon \rangle=0$ , на втором шаге понимаем, что слагаемое $a_0^2\Delta t^2$ деленное на $\Delta t$ в пределе дает . Таким образом приращение функции $a_0^2 \Delta t^2$ уходит и остается только $b_0^2 \varepsilon^2 \Delta t$ . Так как $\langle \varepsilon^2 \rangle = 1$ на последнем шаге останется только $b_0^2 \Delta t$ .

Имея математическое ожидание приращения функции F(x(t), t) можно выразить функцию сноса A(x,t) и функцию волатильности B(x,t) следующим образом: $A(x,t) = \frac{\left \langle \Delta F \right \rangle}{\Delta t}$ , а $B(x,t) = \frac{\left \langle \Delta F^2 \right \rangle}{\Delta t}$ . Тогда,

$A(x,t)= \frac {\frac{\partial F}{\partial x} (a_0 \Delta t) + \frac{1}{2} \frac{\partial ^2F}{\partial x^2}(b_0^2\Delta t) + \frac{\partial F}{\partial t} \Delta t} {\Delta t} = \frac{\partial F}{\partial x}a_0 + \frac{b_0^2}{2} \frac{\partial ^2F}{\partial x^2} + \frac{\partial F}{\partial t}$ $B^2(x,t)= \frac {(\frac{\partial F}{\partial x} (a_0 \Delta t) + \frac{1}{2} \frac{\partial ^2F}{\partial x^2}(b_0^2\Delta t) + \frac{\partial F}{\partial t} \Delta t)^2} {\Delta t} = b_0^2(\frac{\partial F}{\partial x}) \Rightarrow B(x,t) = b_0(\frac{\partial F}{\partial x})$

Получив функции сноса A(x,t) и функцию волатильности B(x,t) , дифференциал функции можно записать в виде дифференциального стохастического уравнения, заключением которого является лемма Ито:

$dF = \left(\frac{\partial F}{\partial t} + a(x,t)\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{b^2(x,t)}{2} \frac{\partial ^2F}{\partial x^2}\right)dt + b(x,t)\frac{\partial F}{\partial x} \delta W \qquad (6)$

Логарифмическое блуждание

Как отмечалось ранее, принципиальным для финансовой науки было получение уравнения, одновременно описывающего экспоненциальный рост цены и совмещающего в себе стохастическую составляющую. Поставленная задача решается применением леммы Ито. В формуле (6) функция a(x,t) заменяется на , а функция b(x,t) заменяется на $\sigma x$ ; вместо подставляется $\ln x$ .

$d(\ln x) =\left( \frac{\partial(\ln x)}{\partial t} + rx\frac{\partial(\ln x)}{\partial x} + \frac{(\sigma x)^2}{2} \frac{\partial ^2(\ln x)}{\partial x^2} \right) dt + \sigma x\frac{\partial (\ln x)}{\partial x} \delta W$

Вычислив производные и осуществив необходимые преобразования получим.

$d(\ln x) = \left(0 + rx \frac{1}{x} - \frac{(\sigma x)^2}{2} \frac{1}{x^2} \right)dt + \sigma x\frac{1}{x} \delta W \Rightarrow d(\ln x) = \left(r - \frac{\sigma^2}{2} \right)dt + \sigma \delta W$

Так как при и $\delta W$ стоят константы, данное дифференциальное уравнение можно записать в конечных разностях, затем выразить функцию $\ln x$ , после чего функцию цены актива x(t) получить прибегнув к потенцированию. В итоге приходим к принципиально важному уравнению, которое лежит в основе большинства моделей оценки справедливой стоимости финансовых инструментов.

$x = x_0e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})\Delta t+ \sigma \delta W} \qquad (7)$

В отсутствии стохастической составляющей, т.е. при $\sigma = 0$ уравнение (7) превращается в обычное уравнение размножения и гибели (2) , а при r=0 получим логарифмическое блуждание с нулевым сносом.

Код python

import math as mimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt%matplotlib inlineimport scipy.statsfrom scipy.stats import binomfrom scipy.stats import exponr =0.25sigma = 0.1t = 1/360x0 = 100num_plots = 10Days = 360*8Values = []DAYS = []for i in range (0, Days):    DAYS.append(i)plt.style.use('ggplot')plt.rcParams['lines.linewidth'] = 0.6fig, ax = plt.subplots()fig.set_figwidth(18)fig.set_figheight(9)colormap = plt.cm.gist_ncarfor i in range (0,num_plots):        for i in range (0,Days):                if i == 0:            #Генерация случайного числа            distribution = scipy.stats.norm(loc=0,scale=1)            sample = distribution.rvs(size=1)                        P = x0*np.exp( ((r - (sigma**2/2))*t) + (sigma*sample*np.sqrt(t)))            Values.append(P)                    else:            #Генерация случайного числа            distribution = scipy.stats.norm(loc=0,scale=1)            sample = distribution.rvs(size=1)                        K = Values[-1]*np.exp( ((r - (sigma**2/2))*t) + (sigma*sample*np.sqrt(t)))            Values.append(K)    ax.plot(DAYS, Values)    Values= []

Список использованных источников.

Степанов С.С. "Стохастический мир", 2009 г. 376 с.
Жуленев С.В. "Финансовая математика. Введение в классическую теорию. Часть 2.", 2012 г. 419 с.
Ширяев А.Н. "Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты. Модели", 1998 512 с.

Datascience это не только fit-predict

Представим, что вы начали работать в компании, которая производит однообразные операции с бесконечными таблицами. Например, в крупном ретейлере или у ведущего оператора связи. Ежедневно перед вами ставят задачу вы

Наверное, все разработчики слышали, что нужно писать чистый код. Но не менее важно писать и использовать безопасный код.

Python-разработчики обычно устанавливают модули и сторонние пакеты, чтобы не изобретать велосипеды, а использовать готовые и проверенные решения. Но проблема в том, что они не в

Привет, Хабр!

Cо времен нашего последнего поста в JetBrains Academy изменилось довольно много: мы выпустили важные обновления платформы, опубликовали множество новых проектов и тем, а также ввели годовую подписку! Кроме того, мы проанализировали наши проекты и составили рейтинг лучших из них по мнению наших пользователей. Ниже мы расскажем обо всем этом подробнее.

Настройка программного обеспечения

Без промедления начнём. Нам нужно установить следующее ПО:

Windows 10
Anaconda 3 (Python 3.8)
Visual Studio 2019 (

Этой весной Питерская Вышка и JetBrains впервые провели проектную смену для старшеклассников Школу по практическому программированию и анализу данных. В течение пяти дней 50 участников со всей страны работали над групповыми проектами по машинному обучению, NLP, мобильной и web-разработке.

Первое место заняла команда Deep Q-Mario ребята создали не

Мы рады сообщить, что стал доступен июньский релиз расширения Jupyter для Visual Studio Code. Если вы работаете с Python, мы рекомендуем загрузить расширение Python из Marketplace или установить его прямо из галереи расширений в Visual Studio Code. Если у вас уже установлено расширение Python, вы также можете получить последнее

Трансформеры за последние несколько лет штурмом захватили мир NLP, а сегодня они с успехом применяются в выходящих за рамки NLP приложениях. Они обладают такими возможностями благодаря модулю внимания, который схватывает отношения между всеми словами последовательностей. Но са

Пример расчётного доказательства в Lean

Математики давно используют компьютеры в своей работе как инструменты для сложных вычислений и выполнения рутинных операций перебора. Например, в 1976 году методом компьютерного перебора была доказана

Зарабатывать продажей лекарств, которые заведомо не работают, не только аморально, но и не особо легко. Люди всё-таки обычно не хотят покупать препараты, неэффективность которых была доказана. А вот если вы сумели выдавить заветное p < 0.05 в пользу того, что акупунктура та

В этой статье мы рассмотрим, что такое классификатор, поговорим о мультиклассовой классификации с помощью нейронных сетей. Затем, ознакомившись с контекстом перейдем к основному топику поста к Log-Sum-Exp Trick. Напишем формулы и разберемся, как этот трюк помогает избежать переполнения чисел с плавающей то

В дополнение к открытым спутниковым данным, некоторые из которых перечислены в статье Общедоступные данные дистанционного зондирования Земли: как получить и использовать, существует и множество производных продуктов например, рельеф. Притом можно найти открытый рельеф разного пространственного разрешения, равно как и множество коммерческих, и появляется задача выбрать лучший продукт из доступных.

Призма Вельда-Бланделла

На рубеже четвертого и третьего тысячелетия до нашей эры на Земле возникли две первые цивилизации. В долине Нила после объединения верхнего и нижнего Египта образовалось

Всем привет! Меня зовут Константин Измайлов, я руководитель направления Data Science в Delivery Club. Мы работаем над многочисленными интересными и сложными задачами: от формирования классических аналитических отчетов до построения рекомендательных моделей в ленте приложения.

Сегодня я расскажу пр

В школе все мы решали задачки вида едет из пункта А в пункт Б. Речь преимущественно шла о скорости и времени как быстро доберётся транспортное средство? Реальность, однако, подбрасывает задачки значительно интереснее: Существует масштабная ритейл-сеть по продаже товаров, которой необходимо, чтобы огромное количество номенклатурных позиций доезжало в каждый из 17000 магазинов, расположенных на половине площади самой большой страны в

Представьте человека, который изучает алгоритмы. Чтобы понять как они работают, приходится изучать их код и представлять, как компьютер будет его выполнять. Это странно почему мы должны учиться думать как компьютер, вместо того, чтобы заставить его помогать на

Если ваша жизнь DBA, сопровождающего PostgreSQL, наполнена вопросами "а почему так медленно?" и "как сделать, чтобы запрос не тормозил?", наш сервис анализа и визуализации планов запросовexplain.tensor.ru сделает ее немного легче за счет привлечения коллег и обновленных подсказок.

Что бы вы порекомендовали тому, кто впервые приезжает в Нью-Йорк? Посетить Центральный парк? Посмотреть шоу на Бродвее? Увидеть Статую Свободы?

Я бы первым делом посоветовала скачать офлайн-карту метро. Мне предложили это сделать, когда я впервые оказалась в Нью-Йорке, и это спасало меня множество раз.

Когда я переехала в Нью-Йорк, то почти сразу познакомилась с самой знаковой достопримечательностью г

В этой подборке, переводом которой мы решили поделиться к старту курса о машинном и глубоком об

Десять лет назад Марк Андриссен написал для Wall Street Journal статью под названием "Софт пожирает мир", в которой говорит о фундаментальном сдвиге ро

На днях столкнулся с предложением открыть карту рассрочки мне это было не особо актуально, но я сходу не понял, чем такая карта будет отличаться от кредитной. По заявлению менеджера основной ее плюс в том, что расплачиваться за товар можно будет несколько месяцев и все это бе

Мне давно нравятся Байесовские сети доверия

Недавно мы писали о противостоянии Apple и Spotify, в рамках которого компании продолжают мериться размерами роялти для музыкантов. Сегодня продолжим тему на повестке антимонопольное разбирательство и новые платные продукты.

Фотография: Joran Quinten. Источник: Unsplash.com

Современный мир удивительное место. Глобальная экономика, производственные цепочки, разнесенные по всему миру, и связность, казалось бы, абсолютно несовместимых между собой вещей через общие точки соприкосновения. Хорошим примером такой связности является то, что ажиотажный спрос на туалетную бумагу в США привел к дефициту электронных товаров всех категорий, а в перспективе вовсе к глобальному сбою в мировой торговле.

Нехватка электронных чипов от процессоров до модулей связи отражается на многих сферах. Поставщики десктопных компьютеров и ноутбуков не могут отгрузить требуемый объем продукции, автомобильная промышленность отказывается от некоторых моделей маш

Проектирование и строительство инструментов для Чрезвычайно большого телескопа (ELT) началось в 2015 году. В данном переводе работы (Ramsay et al.) будет представлен краткий обзор плана создания приборов для ELT.

Любой вопрос или замечания Вы можете написать в комментариях. Также

Более 100 лет известен такой механизм, как двигатель внутреннего сгорания.

Двигатели данного типа применяются повсеместно, как наиболее распространённый способ преобразования химической энергии в механическое движение.

Однако существует еще один вид совершенно замечательного двигателя кот

Ранняя Вселенная, вероятно, является одной из самых захватывающих космологических эпох, во время которой сформировался тот космос, который существует и поныне. Считается, что эта эпоха длилась около миллиарда лет, и за это время от Большого взрыва Вселенная успела выстроить нить галактик, пережить рождение и смерть первых звезд, а также засвидетельствовать появление первых крупных галактик и черных дыр. Историю той Вселенной мы зна

Взаимосвязь рельефа и силы тяжести напоминает известную проблему курицы и яйца. С одной стороны, рельеф несомненно влияет на измеряемую на его поверхности силу тяжести уровень рельефа определяет расстояние до центра масс планеты, а возвышения рельефа содержат дополнительные притягивающие массы. С другой стороны, сила тяжести так же несомненно влияет на рельеф, что особенно заметно в океанах, форма поверхности котор

Любой вопрос или замечания Вы можете написать в комментариях. Также я открыт для личного диалога втелеграмеили беседы внашем чате. А еще у меня есть

Всеобщий интерес к модели Блэка-Шоулза (далее - БШ) вызван тем, что в свое время ее авторы произвели революцию сфере оценки справедливой стоимости опционов и иных производных финансовых инструментов. В дальнейшем они получили Нобелевскую премию за свои открытия, а выведенная ими аналитическая формула, стала пожалуй, самой фундаментальной и известной в мире финансов.

Не меньший интерес модель БШ вызывает с точки зрения низкоу

Лемма Ито применяется к процессам, которые подвержены некоторому сносу, а также воздейств

Не меньший интерес модель БШ вызывает с точки зрения низкоу

Лемма Ито применяется к процессам, которые подвержены некоторому сносу, а также воздейств

Впрошлой статьебыла попытка показать весь процесс обучения, отбора и тестирования моделей на торговой паре EUR/USD. В Google Colab работала схема:обучаем модели->тестируем->рисуем на графике. Попытка оказалась неудачной. Стремление не тащить в Colab тонну кода, а максимально все упростить привело к очень низкому качеству обучения. Сигналы выглядели неубедительно и кучковались

Не меньший интерес модель БШ вызывает с точки зрения низкоу

Видео-версия:

Всем привет.В прошлый раз я

Лемма Ито применяется к процессам, которые подвержены некоторому сносу, а также воздейств

...и не смог уволить сотрудника, который был в этом виноват.

Автор: Артём Наливайко.

Есть такой замечательный французский банк Societe Generale. Точнее не банк даже, а финансовая группа, но не суть. Каждый год правление банка рассылает сотрудникам письмо с кратким рассказом о результатах года. Меняются события, история, менеджмент. Лишь одно имя уже много лет остаётся неизменным.

В

Видео версия:

Несмотря на то, что сейчас

Не меньший интерес модель БШ вызывает с точки зрения низкоу

Лемма Ито применяется к процессам, которые подвержены некоторому сносу, а также воздейств

Сегодня, благодаря MEMS-датчикам, инженеры начинают использовать инерциальные навигационные системы везде, где есть движение. В зависимости от требуемой точности как по углу, так и по координатам, применяют МЕМS-датчики разного уровня цены и интегрированности: от "все датчики в одной микросхеме" до "один датчик - одна микросхема". А сама инерциальная навигация, как часть инженерных систем, впервые появилась в торпедах, кораблях, ра

Предыдущая часть Апереодическое звено первого порядка.

3.4 Апереодическое звено второго порядка

Апереодическое звено выведем на уже известном примере. Мы разбирали вывод уравнений динамики демпфера в этой лекции. Но повторенье - мать ученья. Сначала будет много жесткой математики, а в конце наглядные модели.

У нас есть модел

Это третья часть рассказа про опционы, где мы поговорим про биномиальную модель, риск-нейтральную меру и разберёмся, как рассчитать цену опциона.

Если вы пропустили наш подробный рассказ про опционы, вот ссылки на предыдущие части:
Что такое опционы и кому это нужно.

Несколько лет назад я задумался, что моя работа стала ремеслом. Для того, чтобы ~~разнообразить серые будни~~ повысить свою стоимость как специалиста я поступил в магистратуру и сразу стал вопрос ребром - как после 15 лет после окончания первого ВТУЗа по написать ВКР, за которую не было бы стыдно?

Введение

Так получилось, что практически все 15 лет с того момента, как стал инженером, я занимался обслуживанием теп

Прежде чем доверять свои деньги банку, хорошо бы убедиться, что там они будут в целости и сохранности, а сам банк не обанкротится через пару месяцев. Под надежностью банка обычно понимают его способность выполнять свои обязательства перед вкладчиками и кредиторами.

Что

В 2020 году произошел небывалый приток частных инвесторов на биржи как в России, так и за рубежом. Например, Московская биржа по итогам года

Сегментом особого внимания особенно в крупных производственных и промышленных организациях является учет спецодежды и спецоснастки с необходимостью оперативного получения информации об их наличии и состоянии, не только в суммовом, но и в количественном выражении.

Беря

В начале марта мы писали о том, что цены на SSD и DRAM продолжают расти, и это явно долгосрочный тренд: в ближайшем времени падения явно не будет. Всего за месяц стоимость чипов DDR4 увеличилась сразу на 7%, а DDR2 так и вовсе на 10%. И эт

Привет, ребят.

Недавно я задался вопросом, какой из путей перевода денег из Европы в Украину наиболее оптимальный. В наши дни существует довольно много банков как реальных, так и виртуальных, позволяющих переводить небольшие суммы денег с минимальными потерями. У каждого из них свои комиссии, свой курс обмена и другие нюансы. Я решил собрать некоторые из тех, которыми я пользуюсь (пользовался) на одной картине и по сути пост

Лемма Ито применяется к процессам, которые подвержены некоторому сносу, а также воздейств

Некто когда-то сказал, что прогресс науки это результат бесконечного спора между учеными, которые регулярно пытаются опровергнуть или перепроверить те

Лемма Ито применяется к процессам, которые подвержены некоторому сносу, а также воздейств

Не меньший интерес модель БШ вызывает с точки зрения низкоу

Введение

Многие инвесторы начинают свой путь с относительно простых инструментов: акций и облигаций. Однако рано или поздно им приходится столкнуться с более сложными способами заработка - производными финансовыми инструментами или же деривативами. Одни считают их оружием массового поражения, другие же говорят о возможности увеличения дохода и снижения риска. В данной статье попробуем разобраться, что такое деривативы и ка

Лемма Ито применяется к процессам, которые подвержены некоторому сносу, а также воздейств

Не меньший интерес модель БШ вызывает с точки зрения низкоу

Лемма Ито применяется к процессам, которые подвержены некоторому сносу, а также воздейств

188. Гектора ж, в бегстве преследуя, гнал Ахиллес непрестанно.Словно как пёс по горам молодого гонит оленя.<>199. Словно во сне человек изловить человека не может,Сей убежать, а другой уловить напрягается тщетно, Так и герои, ни сей не догонит, ни тот не ух

Лемма Ито применяется к процессам, которые подвержены некоторому сносу, а также воздейств

Две команды исследователей нашли разные способы обсчёта нелинейных систем на квантовых компьютерах посредством их маскировки под линейные

Иногда компьютерам просто предсказать будущее

	Русский
	English

Лемма Ито

Уравнение цены

Броуновское движение

Лемма Ито

Сейчас читают

Python

Автоматизация машинного обучения

Перевод Ищем уязвимости в Python-коде с помощью open source инструмента Bandit

JetBrains Academy платформенные обновления, любимые проекты пользователей и годовая подписка

Управляем звуком ПК от активности пользователя с помощью Python

Настройка программного обеспечения

Обучение с подкреплением в Super Mario Bros. Сравнение алгоритмов DQN и Dueling DQN

Jupyter в Visual Studio Code июньский релиз

Математика

Перевод Наглядно о том, почему трансформеры работают настолько хорошо

Компьютерное доказательство теории конденсированной математики первый шаг к великому объединению

Перевод Plt0.05, и откуда оно (иногда) берётся

Log-Sum-Exp Trick как свойства функций делают работу классификаторов реальной

Оцениваем открытые и коммерческие цифровые модели рельефа

Тайна списка шумерских царей. Часть 1. Машина времени

Визуализация данных

Геопространственное моделирование с применением методов машинного обучения

Автозаказ как сделать так, чтобы нужные продукты сами попадали на полки 17000 магазинов по всей стране

Как я пытался придумать новый подход к изучению алгоритмов через интерактивные визуализации

Анализируем слона вместе с коллегами

Перевод Как культура жителей города влияет на дизайн карт метро Нью-Йорк

Перевод 5 разных библиотек Python, которые сэкономят ваше время

Финансы в it

Перевод Перерасти ПО код это современное электричество

Зачем банки предлагают карты рассрочки и как это работает

БСД, или как легко объяснить финансистам их же задачи в терминах машинного обучения

Стимул для изменений как борьба с яблочниками отразилась на крупнейшей стриминговой платформе

Как ажиотажный спрос на туалетную бумагу привел к дефициту электроники

Дефицит чипов способствует развитию теневого рынка электроники контрафакта

Физика

Оцениваем открытые и коммерческие цифровые модели рельефа

Перевод Какие инструменты будут установлены на Чрезвычайно большой телескоп?

Линейные двигатели внутреннего сгорания в роли портативных источников энергии и не только

Ложная вспышка в самой далекой галактике GN-z11 оказалась отблеском разгонного блока. О проблеме космического мусора

Пространственные спектры и фрактальность рельефа, силы тяжести и снимков

Перевод Как образуются астрофизические кротовые норы и как мы можем их наблюдать

Лемма ито

Математика опционов или модель Блэка-Шоулза

Лемма Ито

Стохастические процессы

Математика опционов или модель Блэка-Шоулза

Лемма Ито

Трейдинг

Нейросети и трейдинг. Часть 3 прогнозируем биток на 1 час вперед

Математика опционов или модель Блэка-Шоулза

Recovery mode Недополученная прибыль на бирже из-за отключенного робота и лени

Лемма Ито

Финансовый детектив по-французски как банк потерял пять миллиардов евро

Recovery mode Мой маржин-кол как теряют деньги на бирже

Математическое моделирование

Математика опционов или модель Блэка-Шоулза

Лемма Ито

Как реверс-инжиниринг чужой инерциальной навигационной системы перерос в свою собственную разработку

3. Частотные характеристики звеньев и систем автоматического управления. ч. 3.4 Апериодическое звено 2го порядка

3.4 Апереодическое звено второго порядка

Опционы расчет одношаговой биномиальной модели. Ликбез для гика, ч. 8

Как мы дом смоделировали

Введение

Финансы

Зачем банки предлагают карты рассрочки и как это работает

Как оценить надежность банка 5 работающих способов

Во что вкладывать в 2021 году еще 3 инструмента для инвестиций c низким риском

Учет спецодежды и спецоснастки в 1СERP как обойти ограничения типового функционала

Производителей памяти DRAM обвиняют в сговоре с целью получения сверхприбылей. Разбор полетов

Переводы малых сумм из Европы в Украину

Броуновское движение

Лемма Ито

Энергия откуда не ждали графен и броуновское движение

Логарифмическое блуждание

Лемма Ито

Деривативы

Математика опционов или модель Блэка-Шоулза

Польза и вред деривативов

Введение

Лемма Ито