Представьте, что у вас нет под рукой калькулятора (но есть циркуль и линейка или угольник) и вам нужно посчитать результат в виде отрезка. Задача решается за менее чем 5 простых шагов.
Базовая формула вычисления
Для начала докажем одну формулу, которая нам будет помогать с дальнейшим решением.
В прямоугольном треугольнике ABC
проведем высоту
h
на сторону C
. По теореме Пифагора
выводим:
Подставляем всё в первую формулу:
И если раскрыть скобки:
После сокращения получаем:
Вот с помощью этой формулы и будем выводить наши решения.
Единичная мера длины
Так как мы вычисления проводим на плоскости с отрезками, нам
необходимо определиться с мерой единичной длины равной
1
. Если мы отложим отрезок 1
дециметр, то
он так же будет равен 10
сантиметрам, 100
миллиметрам или 4
дюймам. Один отрезок и 4 разных
чисел разной меры длины его определяют. Что бы выбрать одну систему
счисления длин отрезков, примем за единицу длины какой-то отрезок.
Какой - определим по ходу расчетов, и он зафиксирует нужную меру
длины.
Циркуль как универсальный инструмент
Циркуль удобно использовать как средство:
-
отмерить отрезок определенной длины, при этом знать величину этой длины совершенно нет надобности.
-
прочертить дугу на одинаковом расстоянии от определённой точки.
-
отложить перпендикуляр к линии через определённую точку. Для этой цели удобнее использовать угольник с прямым углом, чем циркулем чертить 4 дуги.
Вычисление квадрата длины
Для вычисления квадрата величины X
используем нашу
формулу в виде:
Чертим прямую линию достаточной длины.
Откладываем на ней отрезок единичной длины.
От правого конца единичного отрезка 1
откладываем
вверх перпендикуляр длиной X
.
Проводим линию от левого конца единичного отрезка 1
до верхнего конца отрезка X
.
От этого отрезка откладываем перпендикуляр на линию продолжения
единичного отрезка 1
. Их пересечение и есть правый
край квадрата длины. Левый край начинается от точки, где отложена
высота.
Пример. У вас есть какой-то квадрат, со
стороной X
, начерченный на плоскости или на земле.
Нужно узнать его площадь в попугаях. Одна сторона квадрата длиной
X
у нас уже есть. На соседней стороне откладываем
длину одного попугая (там где 1
находится). Соединяем
концы линией, откладываем перпендикуляр, продлеваем отрезок с
попугаями до перпендикуляра и получаем решение в квадратных
попугаях.
Вычисление квадратного корня длины
Для вычисления квадратного корня величины используем нашу формулу в виде:
Чертим прямую линию достаточной длины.
Откладываем на ней единичный отрезок длины 1.
На продолжении единичного отрезка откладываем отрезок длины
X
.
Полученный отрезок 1+X
делим пополам с помощью
циркуля и получаем точку O
. Как это сделать, приводить
здесь не буду, это задачка из школьного курса. Обозначим длину
найденной половины как R
.
Вокруг центра O
, циркулем нарисуем дугу радиусом
R
.
От правого конца отрезка 1 отложим вверх перпендикуляр до
пересечения с дугой окружности. Длина этого перпендикуляра и будет
равна корню квадратному из длины X
.
Вычисление обратной величины длины
Для вычисления обратной величины длины используем нашу формулу в виде:
Решение очень похоже на нахождение квадрата величины, только
a
и h
меняются местами.
Чертим прямую линию достаточной длины.
Откладываем на ней отрезок длины X
.
От правого края отрезка X
откладываем вверх
перпендикуляр единичной длины 1
.
Соединяем концы отрезков линией.
От верхнего конца отрезка X
откладываем
перпендикуляр к линии продолжения отрезка 1
.
Полученный отрезок и есть решение.
Выводы
Приведенные выкладки удобны, когда не хочется возиться с цифрами и их арифметическими вычислениями, которые всё равно будут обратно приложены к длинам отрезков.
Если величина X
сильно отличается от единичного
отрезка 1
, ошибка вычисления может быть значительной.
Но если применить масштабирование, то ошибку можно значительно
уменьшить. Например, при захождении корня длины 20, его можно
поделить на 16 (4 раза поделить пополам), а потом ответ умножить на
4 (4 раза отложить полученный отрезок).