Впервые увидел этот странный график в лаборатории университета. Невзрачный листок, ксерокопированный из старой книги, был наклеен на стену рядом с роторным испарителем. Листок, очевидно, использовали часто, но берегли, словно в нём содержалось какое-то древнее могучее заклинание Впоследствии, схожего рода графики попадались мне и в других лабораториях, словно составляли неотъемлемую часть перегонки с вакуумом. Затем похожие рисунки встречались на страницах разной технической литературы. Их называли номограммы. Научиться ими пользоваться оказалось до смешного просто, но кто и как их в своё время сделал оставалось загадкой.
Как выглядят номограммы и как они работают
Номограмма, что часто используется при перегонке с вакуумом
приведена на рисунке ниже.
Допустим, вы провели реакцию в растворителе, а теперь собираетесь его удалить (выпарить), чтобы собрать продукт реакции. Растворитель улетучивается изнурительно медленно, а чтобы ускорить процесс, вы решаете его нагреть, но вот беда греть раствор нежелательно, так как продукт реакции от нагревания может испортиться. Создав пониженное давление, вы уменьшите температуру кипения растворителя и сумеете его отделить не причинив вреда растворенному в нем веществу. При нормальном атмосферном давлении 760 мм ртутного столба вода кипит при 100 С, однако, при давлении 40 мм кипит уже при 34 С.
А как быть с гамма-бутиролактоном, который кипит при 204 С? Отмечаем на оси "Температура кипения при 760 мм" точку 204 С, выставляем на кривой оси "Остаточное давление" 5 мм, проводим прямую до пересечения с третьей осью. Ага, значит, в этих условиях наш растворитель начнет выкипать примерно при 70 С.
Это был пример достаточно простой номограммы. Ниже я привожу
более сложную. Достоинство номограмм в том, что в них умещаются
довольно сложные функциональные зависимости с несколькими
переменными. В самом деле, сколько бы понадобилось обычных
графиков вида 
для такой задачи?
Второй момент эмпирические формулы бывают сложны для запоминания и неудобны. Вдруг неохота доставать смартфон, искать соответствующую программу, или же вообще тащить с собой компьютер. А так вот в заводском помещении висит психрометр для замера влажности воздуха, вот номограмма по ней легко прикинуть влажность.
Разбираемся и делаем свои номограммы
Основания общей теории номографических построений дал Морис Окань (18841891) в его же работах впервые появился термин номограмма. Книга Traite de nomographie. Theorie des abaques. Applications pratiques доступна онлайн. Это истоки. Более краткое современное изложение принципов номографии, по которому я учился делать номограммы читайте здесь The Lost Art of Nomography by Ron Doerfler.
Итак, начнём!
Чтобы сделать номограмму определения температуры кипения при разных давлениях нам понадобится правило Трутона: молярная энтропия испарения разных веществ при нормальной температуре кипения является постоянной величиной. Затем, уравнение Клапейрона Клаузиуса:
где 
энтальпия испарения,
газовая постоянная.
Интегрируя последнее уравнение мы получаем:
где под 
мы обозначим давление 760 мм
ртутного столба, а 
температуру кипения при этом
давлении. Нас интересует температура кипения 
при пониженном давлении 
.
Правило Трутона запишем так:
Подставив последнее выражение, получим расчётную формулу:
Её и следует привести в номограмму.
Построение номограмм с pynomo
Следующий шаг устанавливаем питон-библиотеку pynomo. Тривиально:
pip install pynomo
Библиотека умеет строить различные номограммы из десяти стандартных блоков.
Нам понадобится стандартный блок номер 2 кодирующий зависимости вида:
где 
какая-то одномерная
функциональная зависимость. Разберём простой пример.
Пусть у нас есть лабораторная центрифуга, для которой мы хотим привести номограмму соответствия числа оборотов ротора в минуту (RPM) с достигаемым центробежным ускорением. Формула следующая:
#!/usr/bin/env python3# -*- coding: utf-8 -*-""" rpm.py Simple nomogram of type 2: F1=F2*F3"""import syssys.path.insert(0, "..")from pynomo.nomographer import *N_params_RCF={ 'u_min':1000.0, 'u_max':30000.0, 'function':lambda u:u, 'title':r'RCF, $\times g$', 'tick_levels':3, 'tick_text_levels':1, 'tick_side': 'left', 'scale_type':'linear smart', 'text_format': r"$%2.0f$", }N_params_r = {'u_min': 1.0, 'u_max': 5.0, 'function': lambda u:u, 'tick_levels': 3, 'tick_text_levels': 1, 'tick_side': 'left', 'text_format': r"$%2.0f$", 'title':r'R, cm', 'extra_params': [ {'u_min': 5.0, 'u_max': 10.0, 'tick_levels': 2, 'tick_text_levels': 1, 'tick_side': 'right', 'text_format': r"$%2.0f$",}, {'u_min': 10.0, 'u_max': 40.0, 'scale_type': 'manual line', 'manual_axis_data': {10.0: r'10', 12.0: r'12', 14.0: r'14', 16.0: r'16', 20.0: r'20', 24.0: r'24', 30.0: r'30', 40.0: r'40'}, }, ], }N_params_RPM={ 'u_min': 1000.0, 'u_max':20000.0, 'function':lambda u:u*u*1.1182e-5, 'title':r'RPM', 'tick_levels':3, 'tick_text_levels':1, 'scale_type':'linear smart', 'text_format': r"$%2.0f$", }block_1_params={ 'block_type':'type_2', 'mirror_y':True, 'width':10.0, 'height':10.0, 'f1_params':N_params_RCF, 'f2_params':N_params_r, 'f3_params':N_params_RPM, 'isopleth_values':[['x',10.0,15200]], }main_params={ 'filename':'RPM.pdf', 'paper_height':10.0, 'paper_width':10.0, 'block_params':[block_1_params], 'transformations':[('rotate',0.01),('scale paper',)], 'title_str':r'$a=r\times \omega^2$' }Nomographer(main_params)
Функция 
записывается
строкой:
'function':lambda u:u*u*1.1182e-5,
Программа построит номограмму в файл RPM.pdf, ниже на рисунке.
Пунктирная линия называется изоплета она показывает, как пользоваться номограммой для расчёта достигаемого ускорения (в единицах g) при данной геометрии ротора (радиус вращения) и числа оборотов в минуту (RPM).
Почему этот график так работает? Смотрите чертеж.
Из него видно, что треугольники ABC и CDE подобны. Следовательно:
где L длина BD, она задана. Пользуясь этим соотношением, можно построить шкалу на L.
Зная этот принцип, мы можем построить номограмму для соотношения
что даст нам номограмму для роторного вакуумного испарителя:
Усложняем номограмму
Теперь, разобравшись с простым примером, перейдем к более сложной зависимости. Воспользуемся уточненным правилом TroutonHildebrandEverett:
В статье Some calculations for organic chemists: boiling point variation, Boltzmann factors and the Eyring equation. Tetrahedron Letters 41 (2000) 98799882 говорится, что для неё не так то просто создать номограмму. Вот и выясним!
Запишем новую зависимость для номограммы:
Она попадает под случай блока типа 10
Теперь ось в середине номограммы может быть не только прямолинейной. Записываем код.
from math import logfrom pynomo.nomographer import *import syssys.path.insert(0, "..")Pressure = { 'u_min': 1.0, 'u_max': 760.0, 'function': lambda u: log(u / 760.0), 'title_y_shift': 0.55, 'title': r'Pressure, mmHg', 'tick_levels': 3, 'tick_text_levels': 2, 'scale_type': 'log smart',}BP_guess = { 'u_min': 0.0, 'u_max': 400.0, 'function': lambda u: 1/(u + 273.15), 'title_y_shift': 0.55, 'title': r'B.P. estimated', 'tick_levels': 4, 'tick_text_levels': 2, 'scale_type': 'linear smart',}BP_at_atm = { 'u_min': 0.0, 'u_max': 700.0, 'function_3': lambda u: (u + 273.15)*(4.5 + log(u + 273.15)), 'function_4': lambda u: -(4.5 + log(u + 273.15)), 'title_y_shift': 0.55, 'title': r'B.P. at 760 mmHg', 'tick_levels': 4, 'tick_text_levels': 2, 'scale_type': 'linear smart',}block_1_params = { 'block_type': 'type_10', 'width': 10.0, 'height': 10.0, 'f1_params': Pressure, 'f2_params': BP_guess, 'f3_params': BP_at_atm, 'isopleth_values': [[10, 'x', 204]]}main_params = { 'filename': 'ex_type10_nomo_1.pdf', 'paper_height': 10.0, 'paper_width': 10.0, 'block_params': [block_1_params], 'transformations': [('rotate', 0.01), ('scale paper',)], 'title_y': 0.55, 'title_str': r'Boiling point estimation, $\Delta S_{vap} = R(4.5 + \ln T)$'}Nomographer(main_params)
Вуаля!
Заключение
Номограммы, как и работающие по схожему принципу логарифмические линейки и другие аналоговые устройства остались в далеком прошлом. Однако, не стоит о них совсем забывать возможно, вы найдете им новые применения. Или, по крайней мере, найдете их интересным математическим развлечением. Пишите в комментариях о своем опыте.
Облачные серверы от Маклауд быстрые и безопасные.
Зарегистрируйтесь по ссылке выше или кликнув на баннер и получите 10% скидку на первый месяц аренды сервера любой конфигурации!
