Созерцание фракталов завораживает, особенно это относится к предмету данной статьи, который демонстрирует вдобавок ко всему еще и изрядное разнообразие. Впрочем, не менее интересно попытаться разобраться, откуда что берётся, как из одного, в сущности, (пусть и комплексного) числа рождается всё это великолепие.
Если любопытно, добро пожаловать под кат.
О чём вообще речь.
Множество Мандельброта это множество таких точек C на комплексной плоскости, для которых рекуррентное соотношение
при 
задаёт ограниченную
последовательность (вики).Иными словами, на каждом шаге число возводится в квадрат и к нему добавляется константа. Начальное значение всегда (0, 0i), варьируется именно константа. Если за определенное число шагов последовательность осталась в заданных пределах, то значение константы принадлежит множеству. Выглядит это так:
Фиг.1 Множество Мандельброта в координатах реальная и мнимая части константы. Отсюда.
Чаще действуют по другому фиксируют радиус и для каждого значения константы подсчитывают число итераций, за которое последовательность до него добралась. Это позволяет раскрасить пограничные области множества, не принадлежащие, впрочем, самому множеству.
Вот так, например:
Фиг.2 Типичная цветовая схема
И откуда же всё это берется?
Нельзя просто так вот взять и ответить на этот вопрос.
Начнём с малого, изучим простую казалось бы операцию возведение в квадрат.
Основа, 
Итак, что же это за возведение в квадрат комплексного числа, ведь именно оно лежит в основе наблюдаемой магии?
Комплексные числа будем рассматривать как двумерный вектор из реальной и мнимой части (что бы это ни означало) либо в полярных координатах как пару длина угол.
Формула Муавра утверждает, что возведение комплексного числа в квадрат приводит к возведению длины в квадрат, угол при этом удваивается.
Фиг.3 Стартуем с угла 0.001 рад
Вот первые 12 итераций возведения в квадрат комплексного числа с длиной 1 и углом 0.001 рад, где угол отсчитывается от действительной единицы против часовой стрелки. Когда угол превышает 2, используется остаток от деления. Отрицательные углы тоже в деле.
Какие особенности есть у последовательности
?- Поскольку значение длины на каждой итерации возводится в
квадрат, любое комплексное число с длиной меньше единицы стремится
в центр координат.
- Аналогично, любая последовательность со стартовой длиной больше единицы тут же стартует в бесконечность.
- Интерес представляют лишь точки, расположенные на единичной окружности.
- Точка (1, 0i) стационарная, угол равен 0 (или 2), с неё последовательность не может уйти.
- Точка (-1, 0i) соответствует углу в , на следующей итерации превращается в 2 и становится стационарной.
- Обобщим, точки с углом
(n целое неотрицательной число)
также рано или поздно попадают в стационарную точку. Как и точки
. Для отрицательных n они уже
там. - Точки с углом
(n целое число, не являющееся
степенью 2) образуют устойчивые циклы
Фиг.4 Последовательности для начальных углов в /3, /5, /7, /11
Забавно, циклы для /n образуются по углам правильного n-угольника с одним из углов в стационарной точке (1,0i), но этот угол не посещается. Это проистекает из того, что, например, (
) не может породить 0, а
только лишь числа от 1 до 12.
Но это всё простые делители. Попробуем что-нибудь непростое и нечётное.
Фиг.5 Последовательности для начальных углов в /9, /15, /21.
Похоже, все рациональные делители образуют устойчивые циклы.
- Точки со стартовыми углами в /x (x иррациональное число) не
образуют циклов и заметают всю окружность.
Фиг.6 Последовательность с началом в 0.001 рад
Здесь показаны первые 500 и 5000 точек из уже знакомой последовательности, начинающейся с угла 0.001 радиана.
Отлично видно проявившуюся кардиоидо-подобную структуру. Происхождение её очевидно, если поделить единичный круг на 8 секторов
Фиг.7 Сектора
то в силу удвоения угла,
точки из сектора 1 могут попасть только в сектор 2 (или остаться в 1)
точки из сектора 2 могут попасть в сектора 3 и 4
точки из сектора 3 могут попасть в сектора 5 и 6
точки из сектора 4 могут попасть в сектора 7 и 8
К слову сказать, чтобы получить последовательность из 5000 адекватных значений, пришлось работать с точностью до 2000 значащих цифр. Фактически, каждая итерация последовательности приводит (грубо, за счет использования остатка от деления угла) к потере одного старшего разряда и подтягиванию одного разряда снизу, из великого ничто. Понятно, в великом ничто точность неограниченна, нам же приходится работать с конечными объемами данных.
Малые возмущения
Сейчас немного отойдём от чистого
в сторону исходной задачи. На
каждой итерации станем подмешивать константу. Правда, стартовая
точка будет не в начале координат, а на единичной окружности. В
результате можно работать с очень маленькими константами, ведь в
этом случае не требуется вытаскивать последовательность на
окружность для демонстрации нетривиального поведения.Константа это просто вектор из начала координат. В зависимости от того, где находится текущая итерация последовательности на единичной окружности, константа действует по-разному. Иные точки она задувает внутрь кратера, другие сдувает наружу. От баланса этих воздействий зависит, удержится ли последовательность в окрестностях единичной окружности или же безвозвратно уйдёт с дистанции.
Начнём со знакомой точки 0.001 радиана.
Фиг.8 Траектории при малых реальных отклонениях от 0.001 рад
Всего 58 итераций потребовалось, чтобы сойти с единичного круга и стремиться в бесконечность в случае константы (0, i*1e-15). При константе (0, i*-1e-15), последовательность ушла в 0 на 62 шагу.
Фиг.9 Окрестность 0 константы для стартовой точки 0.001 рад
Здесь показано, на какой итерации последовательность пересекла круг с радиусом 2 в зависимости от величины комплексной константы. Шаг
. Отметим следующее:- Стартовая точка (длина 1, угол 0.001 рад) очень близка к горизонтальной оси. Соответственно, единичная окружность проходит через нее почти вертикально.
- Первые несколько точек последовательности очень близки к стартовой, поэтому константа суммируется с ними одинаково.
- Фактически, направление вектора константы однозначно определяет, в какую сторону соскользнёт последовательность.
Фиг.10 Окрестность 0 константы для стартовой точки 1 рад
Здесь показан старт последовательности с точки с углом 1, это одна из точек цикла со стартом в /3. Цикл состоит из двух точек и 1. Казалось бы, константа должна разнонаправленно действовать на эти точки, нивелируя саму себя. Но нет, никакой интриги и тут не видно. Куда направлен вектор константы по отношению к первой точке последовательности, туда и сдувает траекторию.
Пожалуй, на этом мы закончим с
,в следующий раз займёмся центральной кардиоидой.
Сегодня мы уже встречались с кардиоидой, есть ли между ними связь или просто совпадение?
А может это сигнал для тех кто понимает?
PS: на заглавной иллюстрации оболочка Мандельброта обобщение на трёхмерный случай.
PPS: для вычислений с произвольной точностью была использована библиотека MAPM.
PPPS: иллюстрации сделаны с помощью gnuplot.
