Математика на cleverstudents.ru

Прямая, плоскость, их уравнения

Параметрические уравнения прямой в пространстве - описание, примеры, решение задач.

В этой статье мы подробно изучим параметрические уравнения прямой в пространстве. Сначала получим вид параметрических уравнений прямой и приведем пример параметрических уравнений прямой в пространстве. После этого разберемся, как составляются параметрические уравнения прямой когда известны координаты направляющего вектора прямой и координаты некоторой точки, лежащей на прямой. Далее в прямоугольной системе координатв трехмерном пространстве рассмотрим прямые, которые параллельны координатным осям и координатным плоскостям, и получим параметрические уравнения таких прямых. В заключении научимся переходить от параметрических уравнений прямой в пространстве к другим уравнениям этой прямой и приведем развернутые решения характерных задач.

Параметрические уравнения прямой в пространстве – описание и примеры.

Мы уже выводили параметические уравнения прямой на плоскости, давайте получим параметрические уравнения прямой, которая задана в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz. Зададим в ней прямую a (смотрите раздел способы задания прямой в пространстве), указав направляющий вектор прямой и координаты некоторой точки прямой . От этих данных будем отталкиваться при составлении параметрических уравнений прямой в пространстве.

Пусть - произвольная точка трехмерного пространства. Если вычесть из координат точки М соответствующие координаты точки М₁, то мы получим координаты вектора (смотрите статью нахождение координат вектора по координатам точек его конца и начала), то есть, .

Очевидно, что множество точек определяет прямую а тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны.

Запишем необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов и : , где - некоторое действительное число. Полученное уравнение называется векторно-параметрическим уравнением прямой в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве. Векторно-параметрическое уравнение прямой в координатной форме имеет вид и представляет собой параметрические уравнения прямой a. Название "параметрические" не случайно, так как координаты всех точек прямой задаются с помощью параметра .

Приведем пример параметрических уравнений прямой в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве: . Здесь .

Составление параметрических уравнений прямой в пространстве.

Итак, параметрические уравнения прямой вида в фиксированной прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве соответствуют прямой, проходящей через точку , и имеющей направляющий вектор . Таким образом, по известным параметрическим уравнениям прямой мы можем сразу записать координаты направляющего вектора прямой, а по известным координатам направляющего вектора прямой и координатам некоторой точки прямой мы можем сразу составить параметрические уравнения этой прямой в пряомугольной системе координат в трехмерном пространстве.

Мы только что рассмотрели простейшие задачи на составление параметрических уравнений прямой в пространстве. В более сложных задачах сначала приходится находить координаты направляющего вектора прямой или координаты некоторой точки прямой и только после этого записывать параметрические уравнения прямой.

Обговорим еще некоторые моменты.

При любом значении параметра по параметрическим уравнениям прямой мы можем вычислить тройку чисел , она будет соответствовать некоторой лежащей на прямой точке. Например, координаты точки находятся из параметрических уравнений прямой в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве вида при :

Следует также отметить, что если точки и лежат на прямой а, то прямую в заданной прямоугольной системе координат Oxyz можно определить как параметрическими уравнениями вида , так и параметрическими уравнениями прямой вида . Приведем пример. Пусть - направляющий вектора прямой а, точки и лежат на прямой а, тогда параметрические уравнения этой прямой можно составить как или как .

Обратите внимание еще на один факт: если - направляющий вектор прямой a в прямоугольной системе координат Oxyz, то направляющим вектором прямой а также является любой из векторов . Следовательно, прямую а можно задать параметрическими уравнениями прямой вида или . Пусть, к примеру, прямая задана параметрическими уравнениями прямой в пространстве вида . Очевидно, что - направляющий вектор этой прямой. Тогда любой из векторов также является направляющим вектором этой прямой. Для определенности возьмем вектор , соответствующий значению . При этом параметрические уравнения прямой примут вид .

Частные случаи параметрических уравнений прямой в пространстве.

В параметрических уравнениях прямой в пространстве вида одно или два из чисел могут быть равными нулю (одновременно все три числа быть равными нулю не могут, так как направляющий вектор прямой всегда ненулевой). Сейчас рассмотрим подробнее эти частные случаи параметрических уравнений прямой.

Если , то параметрические уравнения прямой примут вид . Этим уравнениям в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве соответствуют прямые, лежащие в плоскости (эта плоскость параллельна координатной плоскости Oyz), так как абсцисса любой точки этой прямой равна .

Если или , то имеем параметрические уравнения прямой в пространстве вида или соответственно. Эти уравнения определяют в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве прямые, которые лежат в плоскостях или соответственно.

При и имеем параметрические уравнения прямой и соответственно. Прямые, определяемые такими параметрическими уравнениями, параллельны координатным осям Oz, Oy и Ox соответственно (или совпадают с этими координатными осями при и соответственно). Это достаточно очевидно, если записать координаты направляющих векторов каждой из прямых.

Переход от параметрических уравнений прямой в пространстве к другим видам уравнений прямой.

Существуют различные виды уравнений прямой в пространстве. В зависимости от условий решаемой задачи, которая связана с прямой линией в прямоугольной системе координат в пространстве, иногда приходится переходить от одного вида уравнений прямой к другому.

Сейчас мы покажем как из параметрических уравнений прямой получить канонические уравнения прямой в пространстве вида и уравнения двух пересекающихся плоскостей вида , определяющих заданную прямую.

Получить канонические уравнения прямой в заданной прямоугольной системе координат в пространстве при известных параметрических уравнениях прямой не представляет сложности. Для этого нужно разрешить каждое из параметрических уравнений прямой относительно параметра и приравнять правые части полученных равенств:

Теперь давайте разберемся, как получить уравнения двух пересекающихся плоскостей, которые бы задавали прямую, соответствующую параметрическим уравнениям прямой вида .

Начнем с самых простых случаев.

Если , то параметрические уравнения прямой имеют вид . В этом случае очевидно, что прямая является линией пересечения плоскостей и .

Аналогично, если , то параметрические уравнения прямой задают прямую линию, по которой пересекаются две плоскости и . При , прямая задается двумя пересекающимися плоскостями и .

Переходим к следующим случаям.

Если , то параметрические уравнения прямой примут вид . Уравнение первой плоскости очевидно - . Для получения второго уравнения плоскости нужно разрешить второе и третье параметрические уравнения относительно параметра и приравнять правые части:

Аналогично поступаем, если или .

Остался не рассмотрен один случай – когда . При этом следует разрешить каждое параметрическое уравнение прямой относительно параметра и попарно приравнять правые части:

Тогда приходим к трем уравнениям пучка плоскостей с линией пересечения, определяемой параметрическими уравнениями прямой . Нам достаточно двух из трех уравнений плоскостей пучка.

Некогда разбираться?

Закажите решение