Булева алгебра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Эта статья об алгебраической системе. О разделе математической логики, изучающем высказывания и операции над ними, см. Алгебра логики.

Булевой алгеброй[1][2][3] называется непустое множество A с двумя бинарными операциями (аналог конъюнкции), (аналог дизъюнкции), одной унарной операцией (аналог отрицания) и двумя выделенными элементами: 0 (или Ложь) и 1 (или Истина) такими, что для любых a, b и c из множества A верны следующие аксиомы:

ассоциативность
коммутативность
законы поглощения
дистрибутивность
дополнительность

Первые три аксиомы означают, что (A, , ) является решёткой. Таким образом, булева алгебра может быть определена как дистрибутивная решётка, в которой выполнены две последние аксиомы. Структура, в которой выполняются все аксиомы, кроме предпоследней, называется псевдобулевой алгеброй. Названа в честь Джорджа Буля.

Некоторые свойства[править | править код]

Из аксиом видно, что наименьшим элементом является 0, наибольшим является 1, а дополнение ¬a любого элемента a однозначно определено. Для всех a и b из A верны также следующие равенства:

дополнение 0 есть 1 и наоборот
законы де Моргана
. инволютивность отрицания, закон снятия двойного отрицания.

Основные тождества[править | править код]

В данном разделе повторяются свойства и аксиомы, описанные выше с добавлением ещё нескольких.

Сводная таблица свойств и аксиом, описанных выше:

1 коммутативность, переместительность
2 ассоциативность, сочетательность
3.1 конъюнкция относительно дизъюнкции 3.2 дизъюнкция относительно конъюнкции 3 дистрибутивность, распределительность
4 комплементность, дополнительность (свойства отрицаний)
5 законы де Моргана
6 законы поглощения
7 Блейка-Порецкого
8 Идемпотентность
9 инволютивность отрицания, закон снятия двойного отрицания
10 свойства констант
дополнение 0 есть 1 дополнение 1 есть 0
11 Склеивание

Примеры[править | править код]

  • Самая простая нетривиальная булева алгебра содержит всего два элемента, 0 и 1, а действия в ней определяются следующей таблицей:
0 1
0 0 0
1 0 1
0 1
0 0 1
1 1 1
a 0 1
¬a 1 0
Эта булева алгебра наиболее часто используется в логике, так как является точной моделью классического исчисления высказываний. В этом случае 0 называют ложью, 1 — истиной. Выражения, содержащие булевы операции и переменные, представляют собой высказывательные формы.
  • Множество всех подмножеств данного множества S образует булеву алгебру относительно операций ∨ := ∪ (объединение), ∧ := ∩ (пересечение) и унарной операции дополнения. Наименьший элемент здесь — пустое множество, а наибольший — всё S.
  • Рассмотрим множество всех натуральных делителей заданного натурального числа свободного от квадратов. Определим на две бинарные операции: нахождение наибольшего общего делителя (аналог конъюнкции) и наименьшего общего кратного (аналог дизъюнкции); роль отрицания играет одноместная операция, сопоставляющая делителю делитель Полученная структура является булевой алгеброй; в ней аналогами булевских нуля и единицы выступают соответственно числа 1 и Переложение приведенных выше общих аксиом и свойств булевой алгебры для множества даёт ряд полезных и не очевидных теоретико-числовых тождеств[4].
  • Алгебра Линденбаума — Тарского (фактормножество всех утверждений по отношению равносильности в данном исчислении с соответствующими операциями) какого-либо исчисления высказываний является булевой алгеброй. В этом случае истинностная оценка формул исчисления является гомоморфизмом алгебры Линденбаума — Тарского в двухэлементную булеву алгебру.
  • Если R — произвольное кольцо, то на нём можно определить множество центральных идемпотентов так:
    A = { eR : e² = e, ex = xe, ∀xR },
    тогда множество A будет булевой алгеброй с операциями ef := e + fef и ef := ef.

Принцип двойственности[править | править код]

В булевых алгебрах существуют двойственные утверждения, они либо одновременно верны, либо одновременно неверны. Именно, если в формуле, которая верна в некоторой булевой алгебре, поменять все конъюнкции на дизъюнкции, 0 на 1, ≤ на > и наоборот или < на ≥ и наоборот, то получится формула, также истинная в этой булевой алгебре. Это следует из симметричности аксиом относительно таких замен.

Представления булевых алгебр[править | править код]

Можно доказать, что любая конечная булева алгебра изоморфна булевой алгебре всех подмножеств какого-то множества. Отсюда следует, что количество элементов в любой конечной булевой алгебре будет степенью двойки.

Теорема Стоуна утверждает, что любая булева алгебра изоморфна булевой алгебре всех открыто-замкнутых множеств какого-то компактного вполне несвязного хаусдорфова топологического пространства.

Аксиоматизация[править | править код]

В 1933 году американский математик Хантингтон[en] предложил следующую аксиоматизацию для булевых алгебр:

  1. Аксиома коммутативности: x + y = y + x.
  2. Аксиома ассоциативности: (x + y) + z = x + (y + z).
  3. Уравнение Хантингтона: n(n(x) + y) + n(n(x) + n(y)) = x.

Здесь использованы обозначения Хантингтона: + означает дизъюнкцию, n — отрицание.

Герберт Роббинс поставил следующий вопрос: можно ли сократить последнюю аксиому так, как написано ниже, то есть будет ли определённая выписанными ниже аксиомами структура булевой алгеброй?

Аксиоматизация алгебры Роббинса:

  1. Аксиома коммутативности: x + y = y + x.
  2. Аксиома ассоциативности: (x + y) + z = x + (y + z).
  3. Уравнение Роббинса: n(n(x + y) + n(x + n(y))) = x.

Этот вопрос оставался открытым с 1930-х годов и был любимым вопросом Тарского и его учеников.

В 1996 году Вильям МакКьюнruen, используя некоторые полученные до него результаты, дал утвердительный ответ на этот вопрос. Таким образом, любая алгебра Роббинса является булевой алгеброй.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. D. A. Vladimirov. Springer Online Reference Works – Boolean algebra (англ.). Springer-Verlag (2002). Дата обращения: 4 августа 2010. Архивировано 9 февраля 2012 года.
  2. Владимиров, 1969, с. 19.
  3. Кузнецов, 2007.
  4. Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф. За страницами учебника математики : Арифметика. Алгебра. Геометрия : Кн. для учащихся 10-11-х кл. общеобразоват. учреждений. — М.: Просвещение : АО "Учеб. лит.", 1996. — С. 197. — 319 с. Архивировано 6 мая 2018 года.

Литература[править | править код]