Гетеродинирование

Гетеродини́рование — преобразование частоты сигнала в пару различных сигналов с разными частотами, эти сигналы принято называть сигналами промежуточных частот, причём исходная фаза сигнала сохраняется в порождённых сигналах.

Гетеродинирование осуществляется с помощью вспомогательного генератора гармонических колебаний — гетеродина и нелинейного элемента. Идеальный, с точки зрения качества гетеродинирования, нелинейный элемент — это четырёхквадрантный перемножитель преобразуемого сигнала и сигнала гетеродина.

Принцип действия

Гетеродинирование с использованием перемножителя

a) Исходные сигналы с частотами $f_{1}=20$ Гц и $f_{2}=2$ Гц
b) Произведение сигналов
c) Спектры исходных сигналов и их произведения

В случае применения перемножителя сигналов гетеродинирование основано на тригонометрическом равенстве:

$\sin \theta \sin \varphi ={\frac {1}{2}}\cos(\theta -\varphi )-{\frac {1}{2}}\cos(\theta +\varphi ).$

Левая часть представляет собой произведение двух синусоид. Правая часть — разность косинусов суммы и разности аргументов соответственно.

Исходя из этого равенства, результат умножения двух гармонических сигналов — $\sin(2\pi f_{1}t)$ и $\sin(2\pi f_{2}t)$ может быть выражен следующим образом:

$\sin(2\pi f_{1}t)\sin(2\pi f_{2}t)={\frac {1}{2}}\cos[2\pi (f_{1}-f_{2})t]-{\frac {1}{2}}\cos[2\pi (f_{1}+f_{2})t]$

В результате получается два сигнала промежуточных частот с частотами $f_{1}+f_{2}$ и $f_{1}-f_{2}.$

Фазы исходных сигналов сказываются на фазах промежуточных частот следующим образом:

$\sin(2\pi f_{1}t+\theta )\sin(2\pi f_{2}t+\varphi )=$

$={\frac {1}{2}}\cos(2\pi f_{1}t+\theta -2\pi f_{2}t-\varphi )-{\frac {1}{2}}\cos(2\pi f_{1}t+\theta +2\pi f_{2}t+\varphi )=$

$={\frac {1}{2}}\cos(2\pi (f_{1}-f_{2})t+\theta -\varphi )-{\frac {1}{2}}\cos(2\pi (f_{1}+f_{2})t+\theta +\varphi ).$

Гетеродинирование с использованием нелинейного элемента

Практически, в большинстве супергетеродинных радиоприёмных устройств в качестве нелинейного элемента для преобразования частоты сигнала в промежуточную частоту применяется какой-либо нелинейный элемент, имеющий нелинейную вольт-амперную характеристику (ВАХ).

Например, в качестве такого нелинейного элемента для смешивания сигналов и получения промежуточных частот может быть использован полупроводниковый диод.

ВАХ полупроводникового диода может быть описана в модели Эберса — Молла в виде:

$I=I_{S}\left(e^{V_{D} \over V_{T}}-1\right)$

где $I_{S}$ — обратный ток насыщения, при комнатной температуре равен приблизительно $10^{-11}-10^{-15}$ А;

$V_{D}$ — напряжение на диоде;

$V_{T}$ — температурное напряжение, при комнатной температуре (~300 К) составляет около 26 мВ.

В формуле, выражающей ВАХ диода существенно, что в неё входит экспонента, которую можно представить в виде суммы бесконечного ряда:

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.$

Ограничиваясь тремя членами этого ряда получаем приближённое равенство:

$e^{x}-1\approx x+{\frac {x^{2}}{2}}.$

Если на диод подавать напряжение, равное сумме сигнала и напряжения гетеродина:

$V_{D}=U_{S}+U_{G}=A_{S}\sin(\omega _{S}t)+A_{G}\sin(\omega _{G}t),$

где $A_{S},$ $A_{G}$ амплитуды напряжений сигнала и гетеродина соответственно;

$\omega _{S}=2\pi f_{S},$ $\omega _{G}=2\pi f_{G}$ — угловые частоты сигнала и гетеродина, $f_{S},$ $f_{G}$ — частоты сигнала и гетеродина,

$e^{V_{D} \over V_{T}}-1\approx {1 \over V_{T}}\left\{A_{S}\sin(\omega _{S}t)+A_{G}\sin(\omega _{G}t)+\left[A_{S}\sin(\omega _{S}t)+A_{G}\sin(\omega _{G}t)\right]^{2}\right\}=$

$={1 \over V_{T}}\left[A_{S}\sin(\omega _{S}t)+A_{G}\sin(\omega _{G}t)+{A_{S}}^{2}\sin ^{2}(\omega _{S}t)+2A_{S}A_{G}\sin(\omega _{S}t)\sin(\omega _{G}t)+{A_{G}}^{2}\sin ^{2}(\omega _{G}t)\right].$

Спектральные составляющие $\sin ^{2}(\omega _{G}t)$ и $\sin ^{2}(\omega _{S}t)$ имеют удвоенные частоты, так как $\sin ^{2}(\omega t)={\frac {1-\cos 2(\omega t)}{2}}$, а произведение $A_{S}A_{G}\sin(\omega _{S}t)\sin(\omega _{G}t)$ в соответствии с вышесказанным даст спектральные составляющие с частотами, равными сумме и разности частот сигнала и гетеродина.

Так как в этом упрощенном анализе рассмотрено приближение экспоненты всего тремя членами ряда, то здесь не появляются спектральные составляющие с иными частотами, кроме указанных, в частности удвоенных.

Фактически, в спектре тока через диод, к которому приложено напряжение, равное сумме двух гармонических сигналов, присутствуют комбинационные частоты, с частотами, равными разности, сумме и разностям и суммам гармоник входных сигналов и также высшие гармоники исходных сигналов.

См. также

• Смеситель
• Гетеродин
• Супергетеродинный приёмник