Дифференциальная приватность

Дифференциальная приватность — совокупность методов, которые обеспечивают максимально точные запросы в статистическую базу данных при одновременной минимизации возможности идентификации отдельных записей в ней.

Введение

Дифференциальная приватность — математическое определение потери конфиденциальных данных отдельных лиц, когда их личная информация используется для создания продукта. Этот термин был введён Синтией Дворк в 2006 году, но он же используется в более ранней публикации Дворк, Фрэнка Макшерри, Коби Ниссима и Адама Д. Смита. Работа основана в частности на исследованиях Ниссима и Ирит Динур, которые показали, что невозможно публиковать информацию из частной статической базы данных, не раскрывая некоторую часть приватной информации, и что вся база данных может быть раскрыта путём публикации результатов достаточно небольшого числа запросов.

После проведения исследования стало понятно, что обеспечение конфиденциальности в статистических базах данных с использованием существующих методов было невозможным, и, как следствие, появилась необходимость в новых, которые бы ограничивали риски, связанные с потерей частной информации, содержащихся в статистической базе данных. Как итог были созданы новые методы, позволяющие в большинстве случаев предоставить точную статистику из базы данных, и при этом обеспечивающие высокий уровень конфиденциальности.

Принцип и иллюстрация

Дифференциальная приватность основана на введении случайности в данные.

Простой пример, разработанный в социальных науках, заключается в том, чтобы попросить человека ответить на вопрос «Есть ли у вас атрибут А?» в соответствии со следующей процедурой:

1. Подбросьте монету
2. Если выпал орел, ответьте честно на вопрос.
3. Иначе подбросьте ещё раз, если выпадет орел, ответь «Да», если решка — «Нет»

Конфиденциальность возникает, так как невозможно по ответу точно узнать, обладает ли человек данным атрибутом. Но тем не менее эти данные значительны, так как положительные ответы дают четверть от тех людей, у которых нет этого атрибута, и три четверти от тех, кто на самом деле им обладают. Таким образом, если p — истинная доля людей с A, то мы ожидаем получить (1/4) (1- p) + (3/4) p = (1/4) + p / 2 положительных ответов. Следовательно, можно оценить р.

Формальное определение и пример использования

Пусть ε — положительное действительное число и A — вероятностный алгоритм, который принимает на вход набор данных (представляет действия доверенной стороны, обладающей данными). Образ A обозначим imA. Алгоритм A является ε-дифференциально приватным, если для всех наборов данных $D_{1}$ и $D_{2}$, которые отличаются одним элементом (то есть данными одного человека), а также всех подмножеств S множества imA:

$P[{\mathcal {A}}(D_{1})\in S]\leq e^{\epsilon }\times P[{\mathcal {A}}(D_{2})\in S],$

где P — вероятность.

В соответствии с этим определением дифференциальная приватность является условием механизма публикации данных (то есть определяется доверенной стороной, выпускающей информацию о наборе данных), а не самим набором. Интуитивно это означает, что для любых двух схожих наборов данных, дифференциально-приватный алгоритм будет вести себя примерно одинаково на обоих наборах. Определение также даёт сильную гарантию того, что присутствие или отсутствие индивидуума не повлияет на окончательный вывод алгоритма.

Например, предположим, что у нас есть база данных медицинских записей $D_{1}$ где каждая запись представляет собой пару (Имя, X), где $X$ является нулём или единицей, обозначающим, имеет ли человек гастрит или нет:

Имя	Наличие гастрита (Х)
Иван	1
Петр	0
Василиса	1
Михаил	1
Мария	0

Теперь предположим, что злонамеренный пользователь (часто называемый злоумышленником) хочет найти, имеет ли Михаил гастрит или нет. Также предположим, что он знает, в какой строке находится информация о Михаиле в базе данных. Теперь предположим, что злоумышленнику разрешено использовать только конкретную форму запроса $Q_{i}$, который возвращает частичную сумму первых $i$ строк столбца $X$ в базе данных. Чтобы узнать, есть ли гастрит у Михаила, злоумышленник выполняет запросы: $Q_{4}(D_{1})$ и $Q_{3}(D_{1})$, затем вычисляет их разницу. В данном примере, $Q_{4}(D_{1})=3$, а $Q_{3}(D_{1})=2$, поэтому их разность равна $1$. Это значит, что поле «Наличие гастрита» в строке Михаила должно быть равно $1$. Этот пример показывает, как индивидуальная информация может быть скомпрометирована даже без явного запроса данных конкретного человека.

Продолжая этот пример, если мы построим набор данных $D_{2}$, заменив (Михаил, 1) на (Михаил, 0), то злоумышленник сможет отличить $D_{2}$ от $D_{1}$ путём вычисления $Q_{4}-Q_{3}$ для каждого набора данных. Если бы злоумышленник получал значения $Q_{i}$ через ε-дифференциально приватный алгоритм, для достаточно малого ε, то он не смог бы отличить два набора данных.

Пример с монеткой, описанный выше является $(\ln 3)$-дифференциально приватным.

Граничные случаи

Случай, когда ε = 0, является идеальным для сохранения конфиденциальности, поскольку наличие или отсутствие любой информации о любом человеке в базе данных никак не влияет на результат алгоритма, однако такой алгоритм является бессмысленным с точки зрения полезной информации, так как даже при нулевом количестве людей он будет давать такой же или подобный результат.

Если устремить ε в бесконечность, то любой вероятностный алгоритм будет подходить под определение, поскольку неравенство $P[{\mathcal {A}}(D_{1})\in S]\leq \infty \times P[{\mathcal {A}}(D_{2})\in S],$ — выполняется всегда.

Чувствительность

Пусть $d$ — положительное целое число, ${\mathcal {D}}$ — набор данных и $f\colon {\mathcal {D}}\rightarrow \mathbb {R} ^{d}$ — функция. Чувствительность функции, обозначаемая $\Delta f$, определяется формулой

$\Delta f=\max \lVert f(D_{1})-f(D_{2})\rVert _{1},$

по всем парам наборов данных $D_{1}$ и $D_{2}$ в ${\mathcal {D}}$, отличающихся не более чем одним элементом и где $\lVert \cdot \rVert _{1}$ обозначает $\ell _{1}$ норму.

На выше приведённом примере медицинской базы данных, если мы рассмотрим чувствительность $d$ функции $Q_{i}$, то она равна $1$, так как изменение любой из записей в базе данных приводит к тому, что $Q_{i}$ либо изменится на $1$ либо не изменится.

Механизм Лапласа

В связи с тем, что дифференциальная приватность является вероятностной концепцией, любой её метод обязательно имеет случайную составляющую. Некоторые из них, как и метод Лапласа, используют добавление контролируемого шума к функции, которую нужно вычислить.

Метод Лапласа добавляет шум Лапласа, то есть шум от распределения Лапласа, который может быть выражен функцией плотности вероятности ${\text{noise}}(y)\propto \exp(-|y|/\lambda )\,\!$ и который имеет нулевое математическое ожидание и стандартное отклонение ${\sqrt {2}}\lambda \,\!$. Определим выходную функцию ${\mathcal {A}}\,\!$ как вещественнозначную функцию в виде ${\mathcal {T}}_{\mathcal {A}}(x)=f(x)+Y\,\!$ где $Y\sim {\text{Lap}}(\lambda )\,\!\,\!$, а $f\,\!$ — это запрос, который мы планировали выполнить в базе данных. Таким образом ${\mathcal {T}}_{\mathcal {A}}(x)\,\!$ можно считать непрерывной случайной величиной, где

${\frac {\mathrm {pdf} ({\mathcal {T}}_{{\mathcal {A}},D_{1}}(x)=t)}{\mathrm {pdf} ({\mathcal {T}}_{{\mathcal {A}},D_{2}}(x)=t)}}={\frac {{\text{noise}}(t-f(D_{1}))}{{\text{noise}}(t-f(D_{2}))}}\,\!$

которая не более $e^{\frac {|f(D_{1})-f(D_{2})|}{\lambda }}\leq e^{\frac {\Delta (f)}{\lambda }}\,\!$ (pdf — probability density function или функция плотности вероятности). В данном случае можно обозначить ${\frac {\Delta (f)}{\lambda }}\,\!$ фактором конфиденциальности ε. Таким образом ${\mathcal {T}}\,\!$ в соответствие с определением является ε-дифференциально приватной. Если мы попытаемся использовать эту концепцию в вышеприведённом примере про наличие гастрита, то для того, чтобы ${\mathcal {A}}\,\!$ была ε-дифференциальный приватной функцией, должно выполняться $\lambda =1/\epsilon$, поскольку $\Delta (f)=1$).

Кроме шума Лапласа также можно использовать другие виды шума (например, гауссовский), но они могут потребовать небольшого ослабления определения дифференциальной приватности.

Композиция

Последовательное применение

Если мы выполним запрос в ε-дифференциально защищённой $T$ раз, и вносимый случайный шум независим для каждого запроса, тогда суммарная приватность будет (εt)-дифференциальной. В более общем случае, если есть $N$ независимых механизмов: ${\mathcal {M}}_{1},\dots ,{\mathcal {M}}_{n}$, чьи гарантии приватности равны $\epsilon _{1},\dots ,\epsilon _{n}$ соответственно, то любая функция $g({\mathcal {M}}_{1},\dots ,{\mathcal {M}}_{n})$ будет $(\sum \limits _{i=1}^{n}\epsilon _{i})$-дифференциально приватной.

Параллельная композиция

Кроме того, если запросы выполняются на непересекающихся подмножествах базы данных, то функция $g$ была бы $(\max _{i}{\epsilon }_{i})$-дифференциально приватной.

Приватность группы

Дифференциальная приватность в целом предназначена для защиты конфиденциальности между базами данных, которые отличаются только одной строкой. Это означает, что ни один злоумышленник с произвольной вспомогательной информацией не может узнать, представил ли какой-либо один отдельно взятый участник свою информацию. Однако это понятие можно расширить на группу, если мы хотим защитить базы данных, отличающиеся на $c$ строк, чтобы злоумышленник с произвольной вспомогательной информацией, не мог узнать, предоставили ли $c$ отдельных участников свою информацию. Это может быть достигнуто если в формуле из определения заменить $\exp(\epsilon )$ на $\exp(\epsilon c)$, тогда для D₁ и D₂ отличающихся на $c$ строчек

$\Pr[{\mathcal {A}}(D_{1})\in S]\leq \exp(\epsilon c)\times \Pr[{\mathcal {A}}(D_{2})\in S]\,\!$

Таким образом, использование параметра (ε/c) вместо ε позволяет достичь необходимого результата и защитить $c$ строк. Другими словами, вместо того, чтобы каждый элемент был ε-дифференциально приватным, теперь каждая группа из $c$ элементов являются ε-дифференциально приватной, а каждый элемент (ε/c)-дифференциально приватным.

Применение дифференциальной приватности в реальных приложениях

На сегодняшний день известно несколько видов применения дифференциальной приватности:

• Бюро переписи населения США при показе статистики
• Google RAPPOR для сбора статистики о нежелательном программном обеспечении, ущемляющем настройки пользователей (реализация RAPPOR с открытым исходным кодом)
• Google, для обмена статистикой истории трафика.
• 13 июня 2016 года Apple объявила о своём намерении использовать дифференциальную приватность в iOS 10 для улучшения своей интеллектуальной поддержки и предложений технологий

Литература

• Ashwin Machanavajjhala, Daniel Kifer, John M. Abowd, Johannes Gehrke, Lars Vilhuber. Privacy: Theory meets Practice on the Map // In Proceedings of the 24th International Conference on Data Engineering, (ICDE). — 2008.
• Úlfar Erlingsson, Vasyl Pihur, Aleksandra Korolova. RAPPOR: Randomized Aggregatable Privacy-Preserving Ordinal Response // Proceedings of the 21st ACM Conference on Computer and Communications Security (CCS). — 2014.
• Cynthia Dwork, Frank McSherry, Kobbi Nissim, Adam Smith. Calibrating Noise to Sensitivity in Private Data Analysis // Theory of Cryptography Conference (TCC). — Springer, 2006. — doi:10.1007/11681878_14.
• Frank D. McSherry. Privacy integrated queries: an extensible platform for privacy-preserving data analysis // Proceedings of the 35th SIGMOD International Conference on Management of Data (SIGMOD). — 2009. — doi:10.1145/1559845.1559850.
• Cynthia Dwork, Aaron Roth. The Algorithmic Foundations of Differential Privacy // Foundations and Trends in Theoretical Computer Science. — 2014. — Август (vol. 9). — doi:10.1561/0400000042.
• Dwork, Cynthia. Differential Privacy: A Survey of Results // Agrawal, Manindra; Du, Dingzhu; Duan, Zhenhua; Li, Angsheng Theory and Applications of Models of Computation. Lecture Notes in Computer Science. — Springer Berlin Heidelberg, 2008. — 25 апреля. — doi:10.1145/773153.773173.
• Dwork, Cynthia. Differential Privacy. — International Colloquium on Automata, Languages and Programming (ICALP), 2006. — doi:10.1007/11787006_1.
• Irit Dinur, Kobbi Nissim. Revealing information while preserving privacy // Proceedings of the twenty-second ACM SIGMOD-SIGACT-SIGART symposium on Principles of database systems (PODS '03). — ACM, New York, NY, USA, 2003. — doi:10.1145/773153.773173.