Нумерация Гёделя

Нумерация Гёделя — это функция g, сопоставляющая каждому объекту некоторого формального языка её номер. С её помощью можно явно пронумеровать следующие объекты языка: переменные, предметные константы, функциональные символы, предикатные символы и формулы, построенные из них. Построение нумерации Гёделя для объектов теории называется арифметизацией теории — оно позволяет переводить высказывания, аксиомы, теоремы, теории в объекты арифметики. При этом требуется, чтобы нумерация g была эффективно вычислимой и для любого натурального числа можно было определить, является ли оно номером или нет, и если является, то построить соответствующий ему объект языка. Нумерация Гёделя очень похожа на посимвольное кодирование строк числами, но с той разницей, что для кодирования последовательностей номеров букв используется не конкатенация номеров одинаковой длины, а основная теорема арифметики.

Данная нумерация была применена Гёделем в качестве инструмента для доказательства неполноты формальной арифметики.

Вариант нумерации Гёделя формальной теории первого порядка

Пусть $\mathrm {K}$ — теория первого порядка, содержащая переменные $x_{1},x_{2},...$, предметные константы $a_{1},a_{2},...$, функциональные символы $f_{k}^{n}$ и предикатные символы $A_{k}^{n}$, где $k$ — номер, а $n$ — арность функционального или предикатного символа.

Каждому символу $u$ произвольной теории первого порядка $\mathrm {K}$ поставим в соответствие его гёделев номер $g(u)$ следующим образом:

$g(()=3;\ g())=5;\ g(,)=7;\ g(\neg )=9;\ g(\to )=11;$

$g(x_{k})=5+8k,\ k=1,2,...;$

$g(a_{k})=7+8k,\ k=1,2,...;$

$g(f_{k}^{n})=9+8\cdot 2^{n}3^{k},\ k,n\geqslant 1;$

$g(A_{k}^{n})=11+8\cdot 2^{n}3^{k},\ k,n\geqslant 1.$

Гёделев номер произвольной последовательности $e_{0},...,e_{r}$ выражений определим следующим образом: $g(e_{0},...,e_{r})=2^{g(e_{0})}\cdot 3^{g(e_{1})}\cdot ...\cdot p_{r}^{g(e_{r})}$.

Существуют также другие нумерации Гёделя формальной арифметики.

Пример

$g(A_{1}^{2}(x_{1},x_{2}))=2^{g(A_{1}^{2})}\cdot 3^{g(()}\cdot 5^{g(x_{1})}\cdot 7^{g(,)}\cdot 11^{g(x_{2})}\cdot 13^{g())}=2^{107}\cdot 3^{3}\cdot 5^{13}\cdot 7^{7}\cdot 11^{21}\cdot 13^{5}$

Обобщения

Вообще, нумерацией множества $F$ называют всюду определенное сюръективное отображение $\nu :\mathbb {N} \to F$. Если $\nu (n)=f$, то $n$ называют номером объекта $f$. Частные случаи $F$ - языки и теории.

Литература

• Клини С.К. Введение в метаматематику. — М.: ИЛ, 1957. — 526 с.
• Мендельсон Э. Введение в математическую логику. — М.: «Наука», 1971. — 320 с.

См. также

• Теорема Гёделя о неполноте