Телеграфные уравнения

Телегра́фные уравне́ния — пара линейных дифференциальных уравнений, описывающих распределение напряжения и тока по времени и расстоянию в линиях электрической связи. Уравнения были составлены Оливером Хевисайдом, разработавшим в 1880-х годах модель линии электрической связи.

Теория Хевисайда применима к линиям передачи электрического тока всех частот, включая телеграфные, телефонные и более высокочастотные линии, а также силовые линии электропередачи и линии передачи постоянного тока.

Распределённые параметры

Схематическое изображение элементарных компонентов линии электрической связи

Телеграфные уравнения, как и все другие уравнения, описывающие электрические явления, могут быть сведены к частному случаю уравнений Максвелла. С практической точки зрения предполагается, что проводники состоят из бесконечной цепи четырёхполюсников, каждый из которых представляет собой бесконечно короткий участок линии со следующими параметрами:

• Сопротивление проводников $R$ представлено в виде продольного резистора (выражается в ом на единицу длины).
• Индуктивность $L$, учитывающая эффекты самоиндукции и взаимоиндукции от наличия магнитного поля вокруг проводников с током, представлена в виде продольной катушки индуктивности (генри на единицу длины).
• Ёмкость $C$ между двумя проводниками представлена в виде поперечного конденсатора (фарад на единицу длины).
• Проводимость диэлектрического материала (изоляции), разделяющего два проводника, $G$ представлена в виде поперечного резистора (сименс на единицу длины). В модели этот резистор имеет сопротивление $1/G$ Ом.

Параметры $R$ и $L$ показаны на рисунке отнесёнными к одному проводнику, но фактически представляют соответствующее суммарное значение, относящееся к обоим проводникам. Распределённые по бесконечной цепи четырёхполюсников параметры $R$, $L$, $C$, $G$ называются первичными параметрами линии. Также можно использовать обозначения $R'$, $L'$, $C'$, $G'$, чтобы подчеркнуть, что значения являются производными по координате.

Уравнения

Линия без потерь

Когда элементы $R$ и $G$ малы, их значением можно пренебречь, линия электрической связи при этом считается идеальной. В этом случае модель зависит только от элементов $L$ и $C$, мы получаем пару дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, одна функция описывает распределение напряжения $U$ вдоль линии, а другая — распределение тока $I$, обе функции зависят от координаты $x$ и времени $t$:

${\frac {\partial }{\partial x}}U(x,t)=-L{\frac {\partial }{\partial t}}I(x,t),$

${\frac {\partial }{\partial x}}I(x,t)=-C{\frac {\partial }{\partial t}}U(x,t).$

Эти уравнения можно совместить для получения двух отдельных волновых уравнений:

${\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2}}}U={\frac {1}{LC}}{\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}U,$

${\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2}}}I={\frac {1}{LC}}{\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}I.$

В гармоническом случае (считая, что волна синусоидальная) $E=E_{0}\cdot e^{-j\omega ({\frac {x}{c}}-t)}$, уравнения упрощаются до

${\frac {\partial ^{2}U(x)}{\partial x^{2}}}+\omega ^{2}LC\cdot U(x)=0,$

${\frac {\partial ^{2}I(x)}{\partial x^{2}}}+\omega ^{2}LC\cdot I(x)=0,$

где $\omega$ — частота стационарной волны.

Если линия является бесконечно длинной или оканчивается характеристическим комплексным сопротивлением, уравнения показывают присутствие волны, распространяющейся со скоростью $v=1/{\sqrt {LC}}$.

Такая скорость распространения применима к волновым явлениям и не учитывает дрейфовую скорость электрона. Другими словами, электрический импульс распространяется со скоростью, очень близкой к скорости света, несмотря на то, что сами электроны перемещаются со скоростью всего несколько сантиметров в секунду. Можно показать, что эта скорость в коаксиальной линии, сделанной из идеальных проводников, разделенных вакуумом, равна скорости света.

Линия с потерями

Когда элементами $R$ и $G$ нельзя пренебречь, первоначальные дифференциальные уравнения, описывающие элементарный участок, принимают вид:

${\frac {\partial }{\partial x}}U(x,t)=-L{\frac {\partial }{\partial t}}I(x,t)-RI(x,t),$

${\frac {\partial }{\partial x}}I(x,t)=-C{\frac {\partial }{\partial t}}U(x,t)-GU(x,t).$

Дифференцируя первое уравнение по $x$ и второе по $t$, после проведения некоторых алгебраических преобразований, мы получим пару гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных, каждое из которых содержит по одной неизвестной:

${\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}U=LC{\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2}}}U+(RC+GL){\frac {\partial }{\partial t}}U+GRU,$

${\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}I=LC{\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2}}}I+(RC+GL){\frac {\partial }{\partial t}}I+GRI.$

Если потери линии малы (малые $R$ и $G=0$), сигнал будет затухать с увеличением расстояния как $e^{-\alpha x}$, где $\alpha =R/(2Z_{0})$.

Эти уравнения похожи на уравнение однородной волны с дополнительными условиями над $U$ и $I$ и их первыми производными. Дополнительные условия вызывают затухание и рассеяние сигнала в течение времени и с увеличением расстояния.

Направление распространения сигнала

Волновые уравнения, описанные выше, учитывают, что распространение волны может быть прямым и обратным. Учитывая упрощение линии без потерь (полагая $R=0$ и $G=0$), решение может быть представлено в виде

$U(x,t)=f_{1}(\omega t-kx)+f_{2}(\omega t+kx),$

где:

$k=\omega {\sqrt {LC}}=\omega /v,$

$k$ называется волновым числом и измеряется в радианах на метр,

$\omega$ — угловая частота (в радианах в секунду),

$f_{1}$ и $f_{2}$ могут быть любыми функциями, и

$v=1/{\sqrt {LC}}$ — скорость распространения волны (или фазовая скорость).

$f_{1}$ представляет волну, идущую в положительном направлении оси $x$ (слева направо), $f_{2}$ представляет волну, идущую справа налево. Можно заметить, что мгновенное значение напряжения в любой точке $x$ линии является суммой напряжений, вызванных обеими волнами.

Так как зависимость между током $I$ и напряжением $U$ описывается телеграфными уравнениями, можно записать:

$I(x,t)={\frac {f_{1}(\omega t-kx)}{Z_{0}}}-{\frac {f_{2}(\omega t+kx)}{Z_{0}}},$

где $Z_{0}$ — волновое сопротивление линии передачи, которое для линии без потерь можно найти как

$Z_{0}={\sqrt {\frac {L}{C}}}.$

Решение телеграфных уравнений

Решение телеграфных уравнений есть, например, на с. 348 в примере 80 (плюс решение примера 79 на с. 347—348) в книге.

См. также

• Волновое уравнение
• Уравнение Гельмгольца
• Уравнение Клейна — Гордона — Фока