Тригонометрический ряд Фурье

Тригонометрический ряд Фурье — представление произвольной функции $f$ с периодом $2\pi$ в виде ряда

$f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)$

(1)

или с использованием комплексной записи, в виде ряда:

$f(x)=\sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}_{k}e^{ikx}$.

Скалярное произведение и ортогональность

Пусть $\phi _{n}$, $\phi _{m}$ — две функции пространства $L^{2}\left[-{\frac {\tau }{2}},{\frac {\tau }{2}}\right]$. Определим их скалярное произведение

$\langle \phi _{m}(x),\phi _{n}(x)\rangle :=\int \limits _{-{\frac {\tau }{2}}}^{\frac {\tau }{2}}\phi _{m}(x)\phi _{n}(x)dx$

Условие ортогональности

$\int \limits _{-{\frac {\tau }{2}}}^{\frac {\tau }{2}}\phi _{m}(x)\phi _{n}(x)dx=\|\phi _{m}(x)\|^{2}\delta _{nm}$

где $\delta _{nm}$ — символ Кронекера. Таким образом, скалярное произведение ортогональных функций равно квадрату нормы функции при $n=m$ или нулю в противном случае.

Следующее наблюдение является ключевым в теории рядов Фурье: функции вида $\sin(kx)$, $\cos(kx)$ попарно ортогональны относительно этого скалярного произведения, то есть при всех целых неотрицательных $k\neq l$:

$\int \limits _{-\pi }^{\pi }\sin(kx)\sin(lx)dx=\int \limits _{-\pi }^{\pi }\cos(kx)\cos(lx)dx=0$

и при всех целых неотрицательных $k$, $l$

$\int \limits _{-\pi }^{\pi }\cos(kx)\sin(lx)dx=0$.

Ещё одно важное свойство состоит в том, что тригонометрическая система функций является базисом в пространстве $L^{2}[0,2\pi ]$. Иными словами, если некоторая функция из этого пространства ортогональна всем функциям вида $\cos(kx),\sin(kx),k\in \mathbb {Z}$, то она тождественно равна нулю (если точнее, то равна нулю почти всюду).

Классическое определение

Тригонометрическим рядом Фурье функции $f\in L_{2}([-\pi ,\pi ])$ называют функциональный ряд вида

$f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)$

(1)

где

$a_{0}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)dx,$

$a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)dx,$

$b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)dx.$

Числа $a_{0}$, $a_{n}$ и $b_{n}$ ($n=1,2,\ldots$) называются коэффициентами Фурье функции $f$. Формулы для них можно объяснить следующим образом. Предположим, мы хотим представить функцию $f\in L_{2}([-\pi ,\pi ])$ в виде ряда (1), и нам надо определить неизвестные коэффициенты $a_{0}$, $a_{n}$ и $b_{n}$. Если умножить правую часть (1) на $\cos(kx)$ и проинтегрировать по промежутку $[-\pi ,\pi ]$, благодаря ортогональности в правой части все слагаемые обратятся в нуль, кроме одного. Из полученного равенства легко выражается коэффициент $a_{k}$. Аналогично для $b_{k}$

Ряд (1) сходится к функции $f$ в пространстве $L_{2}([-\pi ,\pi ])$. Иными словами, если обозначить через $S_{k}(x)$ частичные суммы ряда (1):

$S_{k}(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{k}(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)$,

то их среднеквадратичное отклонение от функции $f$ будет стремиться к нулю:

$\lim \limits _{k\rightarrow \infty }\int \limits _{-\pi }^{\pi }(f(x)-S_{k}(x))^{2}dx=0$.

Несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно(см.ниже).

Комплексная запись

Часто при работе с рядами Фурье бывает удобнее в качестве базиса использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента. Мы рассматриваем пространство $L^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )$ комплекснозначных функций со скалярным произведением

$\langle f,g\rangle :=\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x){\overline {g(x)}}dx$.

Мы также рассматриваем систему функций

$\varphi _{k}(x)=e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx),k\in \mathbb {Z}$.

Как и прежде, эти функции являются попарно ортогональными и образуют полную систему, и, таким образом, любая функция $f\in L^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )$ может быть разложена по ним в ряд Фурье:

$f(x)=\sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}_{k}e^{ikx}$,

где ряд в правой части сходится к $f$ по норме в $f\in L^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )$. Здесь

${\hat {f}}_{k}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx}dx$.

Коэффициенты : ${\hat {f}}_{k}$ связаны с классическими коэффициентами Фурье по следующим формулам:

${\hat {f}}_{k}=(a_{k}-ib_{k})/2,k>0;$

${\hat {f}}_{0}=a_{0}/2;$

${\hat {f}}_{k}=(a_{|k|}+ib_{|k|})/2,k<0;$

$a_{k}={\hat {f}}_{k}+{\hat {f}}_{-k},k>0;$

$b_{k}=i({\hat {f}}_{k}-{\hat {f}}_{-k}),k>0.$

• Комплексная функция вещественной переменной раскладывается в такой же ряд Фурье по мнимым экспонентам, как и вещественная, но, в отличие от последней, для её разложения ${\hat {f}}_{k}$ и ${\hat {f}}_{-k}$ не будут, вообще говоря, комплексно сопряженными.

Свойства тригонометрического ряда Фурье

Все утверждения этого параграфа верны в предположении, что участвующие в них функции (и результаты операций с ними) лежат в пространстве $L^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )$.

• Вычисление коэффициентов Фурье является линейной операцией:

${\widehat {(\alpha f+\beta g)}}_{k}=\alpha {\hat {f}}_{k}+\beta {\hat {g}}_{k}$

• Справедливо равенство Парсеваля:

$2\pi \sum _{k=1}^{\infty }{\hat {|f|}}_{k}^{2}=\|f\|^{2}$.

• Коэффициенты Фурье производной легко выражаются через коэффициенты Фурье самой функции:

${\widehat {(f')}}_{k}=ik{\hat {f}}_{k}$

• коэффициенты Фурье произведения двух функций выражаются свёрткой коэффициентов Фурье сомножителей:

${\widehat {(fg)}}_{k}=\sum \limits _{j=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}_{j}{\hat {g}}_{k-j}$

• рассмотрим операцию свертки функций:

$(f\ast g)(t):=\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(t-x)g(x)dx,$

где функции предполагаются периодически продолженными с промежутка $[-\pi ,\pi ]$ на всю прямую. Тогда

${\widehat {(f\ast g)}}_{k}=2\pi {\hat {f}}_{k}{\hat {g}}_{k}$

Разложения некоторых функций в ряд Фурье

Функция	Ряд Фурье
	${\frac {4a}{\pi }}\left({\frac {\sin t}{1}}+{\frac {\sin 3t}{3}}+{\frac {\sin 5t}{5}}+\dots \right)$
	${\frac {4a}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}\sin {\frac {2\pi (2n-1)t}{T}}$

См. также

• Ряд Фурье
• Преобразование Фурье
• Быстрое преобразование Фурье

Литература

• Жук В.В., Натансон Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — С. 188.
• Рудин У. Основы математического анализа. — 1976.
• Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. — М.: «Наука», 1964. — Т. 2.