Русский
Русский
English
Статистика
Реклама

Алгебра

Логика предикатная, формальная и сентенциальная. Кванторы и создание информатики

22.12.2020 02:11:35 | Автор: admin

1 | Введение:

Логика, как эпистемологический инструмент, изобретена независимо в трёх отдельных государствах: Греции (Аристотелем), Китае (императором Цинь Шихуанди) и Индии. В последних двух перечисленных государствах логика не распространилась настолько, чтобы прижиться и получить развитие. В античной же Греции произошло наоборот логика сформировалась в своих основах столь определённо, что дополнилась только через 2 тысячелетия.

Значительные изменения в греческую логику, помимо Дж. Буля, О. де Моргана и Б. Рассела, внёс Готлоб Фреге он придумал 2 вида кванторов. А также Курт Гёдель, открыв знаменитые две теоремы о неполноте, описывающие невозможность объединения множества доказуемых утверждений со множеством истинных. Он утверждал, что доказательства математики зависят от начальных предположений, а не фундаментальной истины, из которой происходят ответы. Одна из главных идей его работ состоит в том, что ни один набор аксиом не способен доказать свою непротиворечивость.

На этом этапе некоторые заметят влияние платонизма на австрийского логика, это на самом деле так. Гёдель не раз заявлял о влиянии метафизики Платона на собственную деятельность. Но сам Платон развитию формальной логики лишь способствовал косвенно, в истории он вносит вклад в развитие другого направления философской логики. Платоном созданы вопросы, на которых основывается вся западная философия вплоть до наших дней. Философия в том виде, котором она известна, возникла только благодаря Платону.

Платон учитель АристотеляПлатон учитель Аристотеля

В другие периоды в логику также вносили дополнения:

  • античной школой стоицизма введены термины модальности, материальной импликации, оценки смысла и истины, которые являются задатками логики высказываний;

  • также средневековыми схоластами введены несколько понятий;

  • Готфридом Лейбницем изменена нотация.

Но главное, что сами логические операции не изменились. Органон Аристотеля, как сборник из 6 книг первоисточник, где подробно описаны главные логические законы. Органон (с древнегреческого ), означает инструмент. Аристотель считал, что логика является инструментом к познанию. Он объединяет методом получения информации такие науки:

  • Физика наука о природе;

  • Метафизика наука о природе природы;

  • Биология раздел физики, наука о жизни;

  • Психология раздел физики, наука о душе;

  • Кинематика раздел физики, наука о движении;

  • И др.


2 | Терминология:

У каждой из наук должен быть идентичный фундамент в способе получения гнозисов (знаний), который позволит упорядочить информацию и выводить новые силлогизмы (умозаключения). Только таким образом получится прогресс в познании истины. Без логики наука была бы похожа на коллекционирование фактов, т.к. информация бы не поддавалась анализу.

Сам Аристотель находит логике как средству убеждения иное применение: в риторике, спорах, дебатах, выступлениях и т. д., описывая это в своём труде Риторика. В западной философии принято давать чёткие определения перед рассуждениями, поэтому определимся с терминами. Логика наука о правильном мышлении.

  • В языковой зависимости возникают трудности трактовки термина наука, но даже в оригинальном названии труда Фридриха Гегеля Наука логики Wissenschaft der Logik, употребляется слово наука (Wissenschaft). Поэтому придём к консенсусу и будем считать, что научной можно назвать ту дисциплину, в которой возможны открытия, исследование и анализ. Логика в таком случае наука, ибо внутри неё возможно совершать открытия. Яркий пример комбинаторика Лейбница.

  • Слово правильный сразу веет нормативными коннотациями: правильное поведение, правильное выражение лица, и т.д. Перечисленное соответствует некоторым критериям и логика выставляет их (критерии) для правильного мышления.

  • Слово мышление понимается на интуитивном уровне, но чёткое объяснение затруднительно, обширно и иногда не объективно.

Бюст АристотеляБюст Аристотеля

3 | Формальная и неформальная логика:

Первоначально, деление логики происходит на формальную и неформальную. Формальная логика отличается тем, что в отличие от неформальной записывается уравнениями. Неформальная логика пишется выражениями в форме языка, поэтому она подходит для риторики, а формальная логика для абстрактных наук.

Формальная логика равным образом делится на дедуктивную и индуктивную. Они различаются тем, что в дедуктивном аргументе истинность условий гарантирует истинность умозаключения или вывода. В индукции же, при истинности условий одинаково возможен ложный и истинный вывод.

Законы формальной логики:

1. Закон тождества (А = А): эквивокация или двусмысленность недопустимы. Нельзя подменять одно понятие, другим.

2. Закон непротиворечия (А А = 0): одно и то же утверждение не может быть истинным и ложным одновременно.

3. Закон исключения третьего или бивалентности (А А = 1): утверждение может быть либо истинным, либо ложным третьего не дано.

Принципы формальной логики:

1. Принцип достаточного обоснования: истинная мысль должна быть обоснованной и считается достоверной только в том случае, если в её пользу приведены достаточные основания.


4 | Сентенциальная логика (алгебра высказываний):

Базовые операции сентенциальной логики логики высказываний, где заглавная буква означает предложение:

Отрицание (Утверждение A истинно тогда и только тогда, когда A ложно): если имеем утверждение А и имеем утверждение не А, то когда утверждение А будет истинным, утверждение не А будет ложным. Также и когда утверждение А будет ложным утверждение не А будет истинным.

Конъюнкция (Утверждение A B истинно, если и A, и B истинны. Ложно в противном случае): в английском языке союз and/&; в русском и. В утверждении А и В, между А с В стоит знак конъюнкции . Утверждение А и В является истинным, если А с В являются истинными одновременно. Если хоть один элемент ложен, то всё утверждение ложно. А и В подразумевает, во-первых истинность А, во-вторых истинность В.

Дизъюнкция (Утверждение A B верно, если A или B (или оба) верны. Если оба не верны утверждение ложно): в английском языке союз or; в русском или. Существует два типа дизъюнкции включающая и исключающая (в логике используется включающее или). Условия таковы, что утверждение А или В будет истинным, когда один или оба элемента истинны, но никогда когда оба элемента ложны. Это противоречит нашему обыденному мышлению, т.к. когда спрашивают: Чай или кофе? мы выбираем один элемент, но в логике подразумевается выбор не только одного, а нескольких возможных.

Импликация (Утверждение A B ложно, только когда A истинно, а B ложно): в английском языке therefore; в русском языке следовательно. Подразумевает истинность одного элемента при истинности другого. Потому что условия истинности соблюдаются всегда, кроме случая, когда А истинно, а B ложно. Поэтому утверждение: А ложно, следовательно B ложно истинно. Покажется, что когда А ложно, а В истинно не соблюдаются условия, но это не так. Если вы скажете, что после дождя промокните это утверждение будет истинным вне зависимости от того, пошёл дождь или нет.

Эквивалентность (Утверждение A B истинно, только если оба значения A и B ложны, либо оба истинны): если истинно утверждение А, следовательно В и истинно утверждение В, следовательно А, то истинными являются выражения А эквивалентно В и соответственно В эквивалентно А. Условия истинности соблюдаются в случаях, когда оба элемента истинны или оба ложны.


5 | Предикатная логика первого порядка:

В XX веке, после добавлений в логику работ Готфрида Лейбница и Готлоба Фреге, на основе этой дисциплины создаётся новая информатика. Языки программирования основываются на видоизменённой логике Аристотеля предикатной логике, описательная способность которой выше, чем у логики высказываний (сентенциальной). Прежде чем разобрать этот новый тип логики, поговорим об её отличии от сентенциальной. Главная особенность предикатной логики, что заглавными буквами обозначаются предикаты, а не целые высказывания. Можно сказать, что предикат это математическая функция, которая накладывает множество субъектов на множество утверждений.

Высказывание Я пошёл в зоопарк состоит из субъекта и предиката. В нём субъект Я, а предикат то, что остаётся кроме субъекта ( пошёл в зоопарк). Субъект кто совершает действие в предложении или имеет выраженное свойство; предикат всё оставшееся. Таким образом, если в сентенциальной логике высказывание Я пошёл в зоопарк выражалось бы одной заглавной буквой, то в логике предикатов использовались бы две буквы (заглавная и подстрочная): P для предиката; x для субъекта. Субъекты обозначаются переменной (x), потому что в предикатной логике появляются две относительно новые операции: универсальный и экзистенциальный кванторы. Особенность кванторов заключается в том, что ими возможно записать выражение истинное при всех возможных переменных х или хотя бы при одном.

Универсальный квантор (квантор всеобщности) обозначается символом , с указанием переменной под ним. Возьмём утверждение Все пингвины чёрно-белые. В логике высказываний оно бы выражалось как X P, где X нечто являющееся пингвином, а P нечто являющееся чёрно-белым. В предикатной логике же используются субъекты и предикаты, поэтому нечто являющееся пингвином (субъект), обозначалось бы переменной х снизу под предикатом. "х" является пингвином, следовательно, является чёрно-белым. Записывается так: P(х) B(х), где P(х): х пингвин; B(х): x чёрно-белый.

Однако этого недостаточно, ведь непонятно, один субъект х чёрно-белый или больше одного, а может вообще все. Поэтому утверждение "х" является пингвином, следовательно, является чёрно-белым, берётся в скобки и перед скобками используется символ с переменной х под ним которые вместе и будут универсальным квантором.

Универсальный квантор переводится как: Для всех "х" истинно, что . Теперь утверждение х является пингвином, следовательно, является чёрно-белым с универсальным квантором перед ним, расшифровывается так: Для всех "х" истинно, что "х" является пингвином, следовательно, является чёрно-белым. Это означает, что чем бы ни был объект во вселенной, если этот объект пингвин он является чёрно-белым. Полная запись будет выглядеть так:

_x(P_{\left(x\right)}B_{\left(x\right)})

Экзистенциальный квантор (квантор существования) обозначается символом с указанием переменной под ним. Возьмём утверждение Некоторые пингвины серые. Как и в прошлый раз, выражение "x" является пингвином и "х" является серым возносим в скобки и ставим перед ними квантор, в этом случае экзистенциальный с указанной переменной. "x" является пингвином и "х" является серым записывается так: P(х) C(х), где P(х): х пингвин; C(х): x серый.

Экзистенциальный квантор можно перевести так: Есть такой "х", для которого будет истинно, что . Подразумевается, что есть как минимум один х, для которого выполняются условия выражения. Если вам говорят, что картофеля не существует, достаточно показать одну картофелину для опровержения этого утверждения. Также и с кванторами, если существует хотя бы один серый пингвин, то утверждение об отсутствии серых пингвинов будет ложно. Полная запись экзистенциального квантора для выражения Есть такой "х", для которого будет истинно, что "x" является пингвином и "х" является серым, будет выглядеть так:

_x(P_{\left(x\right)}C_{\left(x\right)})

6 | Заключение:

Примечательно, что есть возможность перевода одного вида квантора в другой. Возьмём утверждение Все пингвины не являются серыми. Для универсального квантора текстовая запись будет такая: Для всех "х", будет истинным утверждение о том, что если "х" является пингвином, то "х" не является серым объектом. Но утверждение изменяется и для экзистенциального квантора, используя знак отрицания: Нет такого "х", для которого бы было истинным утверждение о том, что "x" является пингвином и "х" является серым.

В середине XIX века, Готлоб Фреге дополнил логику Аристотеля двумя этими операциями, которые позже сформировались в отдельную дисциплину предикатную логику. С введением в логику экзистенциального квантора (после универсального) предикатная логика в основе своей, завершилась как система


Источники:

1 Аристотель: Органон "Первая аналитика" и "Вторая аналитика";

2 Аристотель: Риторика;

3 Готлоб Фреге: Исчисление понятий;

4 Monatshefte fr Mathematik und Physik 1931 г.: Курт Гёдель О принципиально неразрешимых положениях в системе Principia Mathematica и родственных ей системах;

5 The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz;

6 Мельников Сергей: Введение в философию Аристотеля;

7 youtube.com;

8 cyberleninka.ru.

Подробнее..

Перевод Единый математический язык для физики и инженерного искусства в 21 веке

15.02.2021 14:04:42 | Автор: admin

Введение

Сегодня, старшеклассников обучающихся по уровням А или их эквивалентам в естественных науках, познакомят с понятием векторов направленных отрезков прямых, и научат манипулировать ими с помощью классической векторной алгебры. Фактически это алгебра, введенная Гиббсом в конце 19-го века; с тех пор она мало изменилась. Ученики практикуются в искусстве векторной алгебры и видят, насколько успешно она выражает большую часть двумерной и трехмерной геометрии. Манипулирование системой становится почти второй натурой.

Уильям Роуэн Гамильтон 1805-1865. Изобретатель кватернионов и один из ключевых научных деятелей 19 векаУильям Роуэн Гамильтон 1805-1865. Изобретатель кватернионов и один из ключевых научных деятелей 19 века

Понятное дело, что будет трудно отказаться от этой знакомой и, по-видимому, успешной системы в пользу новой алгебры (геометрической алгебры (ГА)), которая имеет дополнительные правила и нетрадиционные понятия. Однако, за умеренные затраты времени и усилий, вложенные в изучение ГА, наградой будет возможность получить в свое распоряжение инструмент, который позволяет пользователю проникать даже в самые мощные области современных научных исследований. По мере того, как мы переходим в 21-й век, мы достигли стадии, когда исследования в области физических наук часто специализируются в одной, как правило, очень ограниченной области. Тем не менее, всегда было так, что большие преимущества могут быть получены из взаимодействия между различными областями, что становится все более трудным, но все более желательным. Мы предполагаем, что в новом тысячелетии толчок к междисциплинарной деятельности возрастет во много раз. В следующих разделах мы попытаемся дать читателю некоторые доказательства того, что ГА может быть лучшей надеждой на достижение цели унификации математического языка для современной науки.

Немного истории

Многих выдающихся математиков начала 19-го века занимал вопрос заключавшийся в том, как лучше всего математически представить вращения в трех измерениях, то есть в обычном пространстве. Гамильтон провел большую часть своей жизни, работая над этой проблемой, и в конце концов создал кватернионы, которые были обобщением комплексных чисел. Алгебра содержит четыре элемента и правило

\{ 1,\,\mathbf i,\,\mathbf j,\,\mathbf k \} \\ i^2 = j^2 = k^2 = \mathbf i\mathbf j\mathbf k = -1

Хотя элементы i, j, k часто называют векторами, позже мы увидим, что они не обладают свойствами векторов. Несмотря на очевидную полезность кватернионов, всегда существовала небольшая загадка и путаница в их природе и использовании. Сегодня кватернионы все еще используются для представления трехмерных вращений во многих областях, поскольку признано, что они являются очень эффективным способом выполнения таких операций. Однако путаница все еще сохраняется, и глубокое и детальное понимание кватернионов было потеряно для целого поколения.

Герман Гюнтер Грассман (1809-1877). Немецкий математик и школьный учитель, прославившийся алгеброй, которая теперь носит его имяГерман Гюнтер Грассман (1809-1877). Немецкий математик и школьный учитель, прославившийся алгеброй, которая теперь носит его имя

В то время как Гамильтон разрабатывал свою кватернионную алгебру, Грассман формулировал свою собственную алгебру, ключом к которой было введение внешнего произведения; мы обозначаем это внешнее произведение как , так что внешнее произведение двух векторов a и b записывается как a b. Это произведение имеет определенные особенности. Одной из таких особенностей является его ассоциативность, т. е.

\mathbf a \wedge (\mathbf b \wedge \mathbf c) = (\mathbf a \wedge \mathbf b) \wedge \mathbf c

То, как мы группируем множители, не имеет значения. Другая особенность антикоммутативность, то есть, если мы изменим порядок векторов во внешнем произведении, то изменим его знак:

\mathbf{a}\wedge\mathbf{b} = -\mathbf{b}\wedge\mathbf{a}

Мы больше привыкли иметь дело с коммутативным произведением, то есть умножением между двумя числами, 25 = 52 = 10, но оказывается чрезвычайно полезным во многих областях физики, математики и техники иметь произведение, которое не обязательно коммутирует. Напротив, внутреннее (скалярное) произведение между двумя векторами, a и b, записанное как a b (что дает скаляр, величина которого равна ab cos , где угол между векторами), является коммутативным, т. е.

\mathbf a \cdot \mathbf b = \mathbf b \cdot \mathbf a

Грассман, немецкий школьный учитель, был в значительной степени проигнорирован при жизни, но после его смерти его работа стимулировала модные области дифференциальных форм и грассмановских (антикоммутирующих) переменных. Последние имеют фундаментальное значение для основ современной суперсимметрии и теории суперструн.

 Портрет Уильяма Кингдона Клиффорда (1845-1879), математика и философа, работы достопочтенного Дж. Джон Кольер. (Библиотека и архив Королевского общества.) Портрет Уильяма Кингдона Клиффорда (1845-1879), математика и философа, работы достопочтенного Дж. Джон Кольер. (Библиотека и архив Королевского общества.)

Следующий решающий этап истории происходит в 1878 году и связан с работой английского математика Уильяма Кингдона Клиффорда. Клиффорд был одним из немногих математиков, которые читали и понимали работу Грассмана, и в попытке объединить алгебры Гамильтона и Грассмана в единую структуру он ввел свою собственную геометрическую алгебру. В этой алгебре мы имеем одно геометрическое произведение, образованное объединением внутреннего и внешнего произведений; оно ассоциативно, как произведение Грассмана, но также обратимо, как произведения в алгебре Гамильтона. В геометрической алгебре Клиффорда уравнение типа ab = C имеет решение b = aC, где a существует и известно как обратное от a. Ни внутреннее, ни внешнее произведение не обладают этой обратимостью сами по себе. Большая часть силы геометрической алгебры заключается в этом свойстве обратимости.

Алгебра Клиффорда объединила все преимущества кватернионов с преимуществами векторной геометрии, так что геометрическая алгебра должна была тогда идти вперед как основная система математической физики. Однако два события помешали этому. Первой была безвременная смерть Клиффорда в возрасте всего 34 лет, а второй введение Гиббсом своего векторного исчисления. Векторное исчисление хорошо подходило к теории электромагнетизма в том виде, в каком она существовала в конце XIX века; это, а также значительная репутация Гиббса, привели к тому, что его система затмила работу Клиффорда и Грассмана. Ирония заключается в том, что сам Гиббс, похоже, был убежден, что подход Грассмана к множественным алгебрам был правильным.

С появлением специальной теории относительности физики поняли, что им нужна система, способная обрабатывать четырехмерное пространство, но к этому времени важнейшие идеи Грассмана и Клиффорда уже давно затерялись в бумагах конца 19-го века. В 1920-х годах алгебра Клиффорда вновь появилась как алгебра, лежащая в основе квантового спина. В частности, алгебра спиновых матриц Паули и Дирака стала незаменимой в квантовой теории. Однако к ним относились просто как к алгебрам: геометрический смысл был утрачен. Соответственно, мы будем использовать термин "алгебры Клиффорда", когда он используется исключительно в формальной алгебре. Говоря же о геометрической постановке, мы используем название данное Клиффордом геометрическая алгебра. Это также уступка Грассману, который фактически первым записал геометрическое (клиффордовское) произведение!

Ситуация оставалась в значительной степени неизменной до 1960-х годов, когда Дэвид Хестенес начал восстанавливать геометрический смысл алгебр Паули и Дирака. Хотя его первоначальная мотивация состояла в том, чтобы получить некоторое представление о природе квантовой механики, он очень скоро понял, что при правильном применении система Клиффорда была не чем иным, как универсальным языком для математики, физики и инженерии. Опять же, эта замечательная работа в значительной степени игнорировалась около 20 лет, но сегодня интерес к системе Гестенеса набирает обороты. В настоящее время во всем мире существует множество групп, работающих над применением геометрической алгебры к таким различным темам, как черные дыры и космология, квантовое туннелирование и квантовая теория поля, динамика пучков и дефформации, компьютерное зрение и робототехника, свертывание белков, нейронные сети и автоматизированное проектирование. Во всем используется одна и та же алгебраическая система, позволяющая людям одновременно вносить вклад в ряд этих областей

Краткий обзор

В нашей геометрической алгебре мы начинаем со скаляров, то есть обычных чисел, которые имеют величину, но не связаны с ориентацией, и векторов, то есть направленных отрезков как с величиной, так и с ориентацией/направлением. Давайте теперь возьмем эти векторы и посмотрим немного более внимательно на геометрию, лежащую за внешним произведением Грассмана. Внешнее произведение между двумя векторами a и b записывается как a b и представляет собой новую величину, называемую бивектором. Бивектор a b это направленная область, охватываемая двумя векторами a и b; таким образом, внешнее произведение двух векторов является новой математической сущностью, кодирующей понятие ориентированной плоскости.

Если мы пронесем b вдоль а, то получим тот же бивектор, но с противоположным знаком (ориентацией). Теперь, расширяя эту идею, мы видим, что внешнее произведение между тремя векторами, a b с, получается путем выметания бивектора a b вдоль c, что дает ориентированный объем или тривектор. Если мы пронесем a через область, представленную бивектором b с, мы получим тот же самый тривектор (можно показать, что он имеет ту же самую "ориентацию"); этот факт выражает ассоциативность внешнего произведения.

В n-мерном пространстве у нас будут n-векторы, которые являются просто ориентированными n-объемами; таким образом, мы видим, что внешнее произведение легко обобщается на более высокие измерения, в отличие от векторного произведения Гиббса, которое ограничено тремя измерениями. Решающий шаг в развитии геометрической алгебры теперь происходит с введением геометрического произведения. Мы уже знаем, что такое a b и a b; геометрическое произведение же их объединяет:

\mathbf{ab} = \mathbf a \cdot \mathbf b + \mathbf a \wedge \mathbf b

Этот шаг суммирования двух различных объектов не является совершенно чуждым актом; на самом деле мы уже давно делаем то же самое при выполнении операций с комплексными числами. Оказывается, что многие величины в физике могут быть выражены очень сжато и эффективно в терминах мультивекторов (линейные комбинации n-векторов, например скаляр плюс бивектор и т. д.); действительно, такое объединение объектов разных типов, по-видимому, происходит на глубоком уровне физической теории.

Геометрическая алгебра в двух измерениях

В двух измерениях (на плоскости) любая точка может быть достигнута путем принятия различных линейных комбинаций двух векторов с различными направлениями; мы говорим, что пространство тогда охватывается этими двумя базисными векторами. Теперь пусть эти два вектора ортонормированы, т. е. единичной длины и перпендикулярные друг другу, и назовем их e и e. Или на языке формул

\mathbf{e_1}^2 = \mathbf{e_2}^2 = 1 \\ \mathbf{e_1}\cdot\mathbf{e_2} = 0

Единственным новым элементом в нашей двумерной геометрической алгебре является бивектор e e; это самый высокий класс элемента в алгебре (часто называемый псевдоскаляром). Рассмотрим теперь свойства этого бивектора. Первое, на что следует обратить внимание

\mathbf{e_1e_2} = \mathbf{e_1} \cdot \mathbf{e_2} + \mathbf{e_1} \wedge \mathbf{e_2} = \mathbf{e_1} \wedge \mathbf{e_2} = - \mathbf{e_2} \wedge \mathbf{e_1} = -\mathbf{e_2e_1}

то есть геометрическое произведение является чистым бивектором, потому что перпендикулярность векторов гарантирует, что e e обращается в нуль. Теперь давайте разберем этот бивектор:

( \mathbf{e_1e_2} )^2 = \mathbf{e_1e_2e_1e_2} = -\mathbf{e_1e_1e_2e_2} = \mathbf{(e_1)^2 (e_2)^2} = -1

Обратите внимание, что у нас есть реальная геометрическая величина, которая в квадрате равна -1! Поэтому возникает соблазн связать эту величину с единицей мнимой комплексной системы счисления (комплексное число принимает форму x + iy, где i известна как мнимая единица и обладает свойством i = -1). Таким образом, в двух измерениях геометрическая алгебра воспроизводит свойства комплексных чисел, но использует только геометрические объекты. На самом деле, переходя к геометрическим алгебрам более высоких измерений, мы начинаем видеть, что есть много объектов, которые квадратичны к -1, и что мы можем использовать их все в их правильной геометрической постановке.

Давайте теперь посмотрим, что происходит, когда бивектор ee умножается на векторы слева и справа. Умножение e и e слева дает

 (\mathbf{e_1 e_2}) \mathbf{e_1} = - \mathbf{e_2 e_1 e_1} = - \mathbf{e_2} \\ (\mathbf{e_1e_2}) \mathbf{e_2} = \mathbf{e_1 e_2 e_2} = \mathbf{e_1}

Легко заметить, что умножение слева на бивектор вращает векторы на 90 по часовой стрелке. Точно так же, если мы умножаем справа, мы вращаемся на 90 против часовой стрелки

 \mathbf{e_1(e_1e_2)} = \mathbf{e_2} \\ \mathbf{e_2(e_1e_2)} = -\mathbf{e_1}

Вращения

Из свойств бивектора ee очень легко показать, что поворот вектора a на угол к вектору a' достигается уравнением

\mathbf{a^\prime} = R\mathbf{a}P

где R величина, которую мы будем называть ротором и которая состоит из суммы скаляра и бивектора

R = \cos\frac \theta 2 - \mathbf{e_1e_2}\sin\frac \theta 2

а P это то же самое выражение, но с "+". На первый взгляд это может показаться довольно громоздким выражением для выполнения простого двумерного вращения; однако оказывается, что оно обобщается на более высокие измерения и поэтому обладает огромной силой.

Ротор R, переводящий вектор a в вектор a'. Обратите внимание, что понятие перпендикулярного вектора больше не требуется; важен бивектор или плоскость вращения.Ротор R, переводящий вектор a в вектор a'. Обратите внимание, что понятие перпендикулярного вектора больше не требуется; важен бивектор или плоскость вращения.

Приведенное выше уравнение фактически является формулой, которая используется для вращения вектора в любом измерении; если мы перейдем к трем измерениям, ротор R будет вращаться на угол в плоскости, описываемой бивектором. Поэтому все, что нам нужно сделать, это заменить бивектор ee на бивектор, который определяет плоскость вращения. И все; используя это очень простое выражение, мы обнаружим, что можем вращать не только векторы, но и бивекторы и более высокоуровневые величины. Осуществить вращение в трех измерениях таким образом, чтобы расширить понятия, которые мы понимали в двух измерениях, было проблемой, с которой Гамильтон боролся в течение многих лет, прежде чем, наконец, получить в качестве своего решения кватернионы. На самом деле элементы кватернионной алгебры Гамильтона это не что иное, как элементарные бивекторы (плоскости). Вооружившись очень простой идеей ротора, который совершает вращения, мы можем дать удивительно простые геометрические интерпретации многих других сложных объектов.

Специальная теория относительности

Специальная теория относительности была введена в 1905 году и возвестила начало новой эры в физике; отход от чисто классического режима ньютоновской физики. В специальной теории относительности (СТО) мы имеем дело с четырехмерным пространством: тремя измерениями обычного евклидова пространства и временем. Предположим, что у нас есть стационарный наблюдатель, с которым мы можем связать координаты пространства и времени, и этот наблюдатель будет наблюдать события со своего пространственно-временного положения. Теперь предположим, что у нас есть другой наблюдатель, движущийся со скоростью v; он тоже будет наблюдать события из своего непрерывно меняющегося пространственно-временного положения.

Проблема того, как два наблюдателя воспринимают различные события, относительно проста, когда скорость |v| мала. Но когда |v| приближается к скорости света, c, и мы добавляем тот факт, что она должна быть постоянной в любой системе, и математика становится уже не такой простой. Условно можно получить преобразование координат между системами отсчета обоих наблюдателей, и для перемещения между этими двумя системами мы применяем матричное преобразование, известное как преобразование Лоренца. Геометрическая алгебра дает нам прекрасно простой способ работы со специальными релятивистскими преобразованиями, используя не что иное, как формулу для вращений, рассмотренную выше, а именно a' = RaP. Наше пространство теперь имеет четыре измерения, и наши базисные векторы это три пространственных направления и одно временное направление; назовем эти базисные векторы , , и . Для четырех измерений, у нас будет шесть бивекторов (три пространственных бивектора плюс бивекторы, состоящие из пространственно-временных "плоскостей").

Иллюстрация четырехмерных пространственно-временных осей. Показан один из пространственно-временных бивекторов, который, как и прежде, определяет плоскость в нашем пространстве и поэтому может быть использован для вращения осей.Иллюстрация четырехмерных пространственно-временных осей. Показан один из пространственно-временных бивекторов, который, как и прежде, определяет плоскость в нашем пространстве и поэтому может быть использован для вращения осей.

Преобразование Лоренца оказывается просто ротором R, который переводит ось времени в другое положение в четырех измерениях: RP. Таким образом, элегантным бескоординатным способом мы можем придать преобразованиям СТО интуитивный геометрический смысл. Все обычные результаты СТО совершенно естественно следуют из этой отправной точки. Например, сложные формулы для преобразования электрического (Е) и магнитного (В) полей при лоренцевом ускорении заменяются (гораздо более простым!) результатом

\mathbf {E^\prime} + I\mathbf {B^\prime} = R(\mathbf {E} + I\mathbf {B} )P

где I = псевдоскаляр четырехмерного пространства (4-объем), а штрихами обозначаем преобразованные величины.

Квантовая механика

В нерелятивистской квантовой механике существуют важные величины, известные как спиноры Паули; используя эти спиноры, мы можем записать уравнение Паули, которое управляет поведением квантово-механического состояния в некотором внешнем поле. Уравнение включает в себя величины, называемые спиновыми операторами, которые обычно рассматриваются как совершенно разные сущности для состояний. Используя трехмерную геометрическую алгебру, мы можем записать эквивалент уравнения Паули, в котором операторы и состояния являются мультивекторами реального пространства; действительно, спиноры становятся роторами того типа, о котором мы говорили ранее.

К тому же, переход к релятивистской квантовой механике будет сравнительно прост. Условно она описывается алгеброй Дирака, где уравнение Дирака говорит нам о состоянии частицы во внешнем поле. На этот раз мы используем четырехмерную геометрическую алгебру пространства-времени, и снова волновая функция в обычной квантовой механике становится инструкцией по вращению базисного набора осей и выравниванию их в определенных направлениях: аналогично теории механики твердого тела! Простота такого подхода имеет некоторые интересные последствия. При решении уравнения Дирака для некоторого внешнего потенциала А, видя, куда повернута временная ось , мы можем построить линии тока (линии, которые дают направление скорости частицы в каждой точке) движения частицы. Сравнение с общепринятой теорией можно проиллюстрировать простым примером.

Рассмотрим случай, когда пакет частиц с энергией, скажем, 5 эВ сталкивается с прямоугольным барьером потенциалом высотой 10 эВ и конечной шириной, скажем, 5 Ангстрем. Теория квантовой механики позволяет предсказать, что, несмотря на кажущийся непроницаемым барьер, часть пакета действительно возникает с другой стороны. Эффект называется туннелированием, и он имеет фундаментальное значение во многих современных полупроводниковых приборах. Однако, когда мы задаем кажущийся очевидным вопрос о том, сколько времени туннелирующая частица проводит внутри барьера, квантовая теория дает нам множество ответов:

  1. такое не обсуждается, поскольку время не является эрмитовой наблюдаемой;

  2. время тождественно нулю;

  3. время является мнимым.

Почему квантовая механика делает такие странные предсказания? Основная причина неспособности иметь дело с траекторией частицы/пакета внутри барьера заключается в использовании i, неинтерпретированного мнимого скаляра (i = -1); обычно импульс частицы внутри барьера принимается кратным i, и это приводит ко всяким довольно бесполезным представлениям о мнимом времени.

Однако подход геометрической алгебры говорит нам, что мы должны построить линии тока, представляющие путь частицы внутри барьера, и, следовательно, найти, сколько времени они действительно проводят внутри барьера. Скорее всего, в ближайшем будущем можно будет сравнить время, данное этой теорией, со временем, измеренным в реальных экспериментах. (Это будущее уже наступает - прим. перев.)

На рисунке изображены предсказанные линии тока частиц, начинающих движение из различных позиций внутри волнового пакета энергии 5 эВ, падающего на барьер высотой 10 эВ и шириной 5 Ангстрем, как показано выше. Здесь видно, что линии потока частиц замедляются, находясь в барьере. Это контрастирует с некоторыми недавними обсуждениями сверхсветовых скоростей внутри таких барьеров, которые были выведены из экспериментально наблюдаемого факта, что частицы, туннелирующие через барьер, достигают цели раньше, чем те, которые проходят эквивалентное расстояние в свободном пространстве. Это кажущееся противоречие объясняется здесь тем, что именно частицы вблизи фронта волнового пакета, которые уже имеют фору, передаются и способны достичь цели. Интересно отметить, что большая часть модной в настоящее время области квантовой космологии основана на понятиях мнимого времени.

Гравитация

Электромагнетизм это калибровочная теория. Калибровочная теория возникает, если мы оговариваем, что глобальные симметрии должны также стать локальными симметриями (в электромагнетизме эти симметрии называются фазовыми вращениями); цена, которую нужно заплатить, чтобы достичь этого, это введение сил. В геометрической алгебре гравитацию также можно рассматривать как калибровочную теорию, и здесь симметрии гораздо легче понять. Предположим, что мы требуем, чтобы физика во всех точках пространства-времени была инвариантна при произвольных локальных перемещениях и вращениях (вспомним, что под вращениями в четырех измерениях мы подразумеваем лоренцевы преобразования); калибровочное поле, которое вытекает из такого требования, является гравитационным полем.

Следствием этой теории является огромное упрощение возможности обсуждать гравитацию целиком на плоском пространственно-временном фоне. Нет необходимости в сложных понятиях искривленного пространства-времени, которые мы все привыкли связывать с общей теорией относительности Эйнштейна. Именно здесь подход ГА отличается от прошлых подходов калибровочной теории к гравитации, где эти прошлые теории все еще сохраняли идеи искривленного пространственно-временного фона. Локально гауссова калибровочная теория гравитации воспроизводит все результаты общей теории относительности, но глобально эти две теории будут отличаться, когда речь зайдет о топологии. Например, всякий раз, когда обсуждаются сингулярности или горизонты (как в случае с черными дырами), теория ГА может давать различные предсказания обычной ОТО. Некоторые усовершенствованные методы решения, работающие исключительно с физическими величинами, также были найдены в ГА. Калибровочная теория гравитации ГА имеет дело с экстремальными полями (то есть полями, в которых возникают сингулярности) иначе, чем ОТО. Эти особенности рассматриваются просто способом, аналогичным тому, который используется в электромагнетизме (с использованием интегральных теорем). Взаимодействие с квантовыми полями также отличается и предлагает альтернативный путь к квантовой теории гравитации. В этом контексте интересно также отметить, что многие другие модные попытки объединить гравитацию и квантовую теорию (твисторы, супергравитация, суперструны) также естественным образом вписываются в рамки ГА.

Стержни, оболочки и прогибающиеся балки

Геометрическая алгебра полезна не только в области фундаментальной физики. Концепция системы отсчета, изменяющейся в пространстве или во времени (или и в том, и в другом), лежит в основе многих работ, направленных на понимание деформирующихся тел. Возьмем в качестве простого примера однородную балку, которая подвергается некоторой нагрузке по своей длине; свойства балки и нагрузки будут определять, как она деформируется.

Математически мы можем описать деформацию, разделив балку на очень маленькие сегменты и прикрепив системы координат (три взаимно перпендикулярные оси) к центру масс каждого сегмента. Первоначально, при отсутствии нагрузки и кручения, мы ожидаем, что начало координат каждого набора осей будет находиться вдоль осевой линии балки и что каждая система отсчета будет выровнена так, что ось x будет направлена вдоль длины балки, а ось z вертикально вверх. Теперь, когда луч деформируется, мы можем описать его положение в данный момент времени, указав положение начала координат и ориентацию рамки для каждого сегмента.

Предположим, что у нас есть неподвижная система отсчета на одном конце балки. Тогда система координат на сегменте i будет связана с ней некоторым ротором, R. Таким образом, при движении вдоль балки ориентации описываются ротором, изменяющимся с расстоянием x. Для заданной нагрузки и заданных граничных условий можно было бы решить задачу для роторов, чтобы получить информацию о свойствах изгиба балки. Условно эта задача была выполнена с использованием различных средств кодирования вращений: углов Эйлера, параметров вращения, направляющих косинусов, матриц вращения и т. д. Преимущество использования роторов двоякое: во-первых, они автоматически имеют правильное число степеней свободы (три), в отличие, например, от направляющих косинусов (где у нас девять параметров, только три из которых независимы), а во-вторых, мы можем эффективно решать полные уравнения (без аппроксимаций).

Эту идею варьирования фреймов можно развить еще на одну ступень. Сегодня большая часть исследований в области современной строительной механики стала прерогативой математика. Чтобы иметь дело с тонкими структурами, такими как стержни и оболочки, где при деформации структура поверхности может быть довольно сложной, люди увидели, что области математики, такие как дифференциальная геометрия и дифференциальная топология, могут предоставить полезные инструменты. Действительно, большая часть конечно-элементного кода, используемого сегодня в стандартных конструкторских пакетах, написана на основе алгоритмов, основанных на этой математике. В результате, однако, многие инженеры больше не могут понять работу таких пакетов и должны считать само собой разумеющимся, что то, что они используют, является правильным. С другой стороны, при использовании геометрической алгебры, задача снова сводится к тому, чтобы работать с роторами, которые могут изменяться во времени и/или пространстве на любой заданной поверхности; математика не сложнее, чем можно было бы использовать для решения простых задач механики. Таким образом, внутренний конечно-элементный код становится доступным для инженеров с возможностью его модификации.

Компьютерное зрение и анализ движения

Компьютерное зрение это, по сути, искусство реконструировать или выводить вещи о реальном трехмерном мире из представлений о сцене, снятых одной или несколькими камерами. Положение и ориентация камер могут быть известны, а могут и не быть известны, и внутренние параметры камер (которые определяют, насколько изображения, которые мы видим, отличаются от тех, которые были бы результатом идеальной проекции на плоскость изображения) также могут быть неизвестны. Из этого довольно упрощенного описания видно, что будет задействовано значительное количество трехмерной геометрии. Фактически, с середины 1980-х годов большая часть компьютерного зрения была написана на языке проективной геометрии.

В классической проективной геометрии мы определяем трехмерное пространство, точки которого соотносятся линиям проходящим через некоторое начало координат (заданную точку) в четырехмерном пространстве. Использующая такую систему алгебра инцидентности (пересечения линий, плоскостей и т. д.) чрезвычайно изящна, и, кроме того, преобразования, которые кажутся сложными в трех измерениях (например, проекция точек, линий и т. д. вниз на данную плоскость), теперь становятся простыми. В последние годы люди начали использовать алгебру, называемую алгеброй Грассмана-Кэли для проективных геометрических вычислений и манипуляций; это фактически внешняя алгебра Грассмана, поскольку она ограничивает себя использованием только внешнего произведения. Геометрическая алгебра содержит внешнюю алгебру как подмножество и, следовательно, является идеальным языком для выражения всех идей проективной геометрии. Однако у ГА также есть понятие внутреннего произведения, часто позволяющее нам делать вещи, которые были бы очень трудными при наличии только внешнего произведения.

Чтобы проиллюстрировать еще один способ использования геометрической алгебры в компьютерном зрении, рассмотрим задачу, возникающую при анализе движения, при реконструкции сцены и регистрации изображения (мозаика ряда различных, перекрывающихся изображений при наличии ограниченной информации). Предположим, что у нас есть несколько камер, наблюдающих за объектом. Также предположим, для удобства, что маркеры размещены на объекте так, чтобы эти точки можно было легко извлечь из изображений.

На рисунке показан эскиз системы с тремя камерами. Теперь, если мы наблюдаем сцену, скажем, с помощью M камер, мы обнаружим, что в каждой паре камер есть подмножество общего числа маркеров, которые видны. Первая задача состоит в том, чтобы найти, используя эти М изображений, наилучшие оценки относительных положений и ориентаций каждой камеры. Как только мы узнаем положение камер, мы хотели бы провести триангуляцию, чтобы найти трехмерные координаты других точек мира, видимых на ряде изображений; эти задачи не слишком сложны для точно известных точек изображения, но становятся намного сложнее, если эти точки зашумлены. Конечно, существуют общепринятые методы решения этих проблем.

Действительно, фотограмметристы делают именно это в течение многих лет. Однако решения, как правило, требуют больших оптимизаций, которые часто нестабильны. Вот тут-то и может помочь геометрическая алгебра. Используя ГА, можно решить как калибровочные, так и триангуляционные задачи таким образом, чтобы одновременно учитывать все данные с каждой камеры. Оптимизации, участвующие в решениях, способны использовать как первую, так и вторую аналитическую (в отличие от численной) производную всех величин, которые должны быть оценены согласованным образом. Обычно гораздо сложнее взять производные от величин, представляющих вращения. Используя ГА таким образом, можно получить точные решения при одновременном снижении вычислительной нагрузки, что делает его полезным в приложениях, требующих множества таких оптимизаций.

Выводы

Мы попытались дать краткое введение в математическую систему, которую мы называем геометрической алгеброй, и проиллюстрировать ее полезность в различных областях. Хотя мы обсуждали целый ряд тем от квантовой механики до изгибающихся балок, есть много убедительных примеров использования ГА в физике и технике, которые мы не обсуждали. К ним относятся электромагнетизм, поляризация, геометрическое моделирование и линейная алгебра. Современные инструменты математики, с которыми большинство из нас знакомо, разнообразны и сложны. За одну жизнь исследований мы можем надеяться овладеть лишь очень немногими областями. Однако, если бы большинство физиков и математиков использовали один и тот же язык, ситуация, возможно, была бы иной. Мы надеемся, что в этой статье мы показали, что геометрическая алгебра является кандидатом на такой единый язык.

P.S.

Статья вышла в свет в 2000 году. И хотя с тех пор геометрическая алгебра может и не стала универсальным языком точных наук, но все же, она нашла множество применений и продолжает завоевывать сердца и умы исследователей по всему миру. Так что, было бы полезным продолжить дальнейшее погружение:

  1. Для начала следует уяснить отличия от алгебраической геометрии. Там тоже есть замахи на универсальность. В качестве примера можно посоветовать наработки Джона Баэза. Да и вообще, его блог стоит отдельного внимания.

  2. Про сравнение с векторной алгеброй смотрим в Википедии.

  3. Видео-лекция от одного из авторов статьи (спасибо, @sergehog).

  4. Поднимаем планку: более современное введение в ГА.

  5. Свежая книжка с приложениями.

  6. Более-200-страничный опус от одного из авторов.

  7. Grassmann.jl пакет для языка Julia

  8. + еще множество источников на одном сайте.

Подробнее..

Красивая математика или как представить 7-ми мерный куб

23.02.2021 14:15:47 | Автор: admin

Однажды от своих родственников я услышал такую фразу: "Люди на МехМате МГУ не могут быть нормальными, ведь они могут представить себе 7-ми мерное пространство!"

И когда я это услышал, мне тоже показалось, что это - что-то нереальное, невозможное... Но вот прошли года, и когда я снова услышал эту фразу, меня повергло в шок - я тоже могу представить 7-ми мерное пространство и не сломаться. Или я уже не из тех, кто может спокойно гулять по улицам?

Ответ, казалось бы, так прост и так несложен, но многие просто не задумывались над этим вопросом, и поэтому это кажется чем-то странным и нереальным.

Так вот, в данной статье я хочу задуматься, ответить и рассказать, что же за простой ответ скрывается под таким странным вопросом: "Что такое 7-ми мерное пространство?"


В данной статье я попытаюсь рассказать свое понимание многомерного пространства, как я представляю его в своей голове. Возможно, что-то может показаться немного нестрогим так оно и есть, понятное дело, я пропускаю некоторые детали и пытаюсь писать максимально научно-популярным языком. Надеюсь, Вам понравится мое видение многомерного пространства и Вы почувствуете ту же красоту математики, которую я вижу в данной иллюстрации чего-то непонятного.

Я постараюсь описать некоторые детали с самых азов, вкратце, чтобы любой желающий мог бы разобраться в моих словах.

Оглавление


Выражаю благодарность @AnnRemi за помощь в редактировании и опускании на землю моих амбиций по статье.

Начало начал, или что такое вектор

Вектор: наверняка каждый сталкивался с таким понятием в школе, это не сложно и очень понятно.

Вектором называется направленный отрезок или просто луч, имеющий конкретную длину.

То есть если луч, как и прямая - понятие бесконечное и простирается вправо и влево в бесконечность, то вектор - понятие ограниченное длиной. Обычная стрелочка, нарисованная на бумаге - вектор. Линейкой мы можем измерить длину этой стрелочки, а направление "этой длины" показывает сама стрелка. Важно понимать, что нам не важно, откуда отложен наш вектор, из какой точки. Нужно знать только длину и направление. Обычно мы изображаем наш вектор в осях координат - так удобно находить его параметры.

Вектор AB в осях координатВектор AB в осях координат

Для удобства мы отмечаем на оси Х и на оси У проекции наших точек. Теперь, чтобы посчитать длину нашего вектора достаточно воспользоваться Теоремой Пифагора

\begin{equation} |\vec{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \end{equation}

Направление, или угол наклона относительно оси Х легко посчитать, например, через тангенс, ведь мы знаем длины обоих катетов треугольника

\begin{equation} \tan(\alpha) = \frac{(y_B - y_A)}{(x_B - x_A)} \end{equation}

Понятие радиус-вектора

Как мы уже увидели, в векторе нам важны только две вещи: длина и направление, так зачем его рисовать где-то в середине нашей координатной плоскости. Давайте сместим наш вектор к началу оси координат. Тогда нам надо будет хранить только координаты конца вектора - а координаты начала вектора у нас будут нулевыми.

Смещенная ось координатСмещенная ось координат

Так теперь надо будет меньше мучаться - храним в векторе просто координаты его конца.

\vec{AB} = ( x_B - x_A, y_B - y_A)

Такие вектора называются в школе радиус-векторами, но в дальнейшем мы будем все вектора брать радиус-векторами, ведь, как мы помним, все вектора имеющие одно направление и одну длину - одинаковые, один и тот же вектор, так почему бы нам не взять тот, который удобнее всего записывается.

Трехмерный вектор

Если мы уже разобрались, что такое вектор на плоскости - давайте перейдем к вектору в трехмерном пространстве - в объемном мире.

Достаточно просто представить себе стрелку в объеме - достаточно вспомнить, как Вы что-то измеряли рулеткой. Прислонили конец к шкафу, другой к полу, и померили его диагональ. Ну или не шкаф... каждому свое. Но точно можно сказать, что такое трехмерный вектор.

Но давайте немного формулизируем то, что мы поняли. Представим трехмерные координаты и в них наш радиус-вектор AB.

Трехмерный вектор ABТрехмерный вектор AB

Понятно, что нам теперь совсем не хватит двух координат для описания вектора AB. Так что давайте добавим третью координату, просто дописав ее в конце.

\vec{AB} = (x_B, y_B, z_B)

Хммм... интересно, а по какому признаку мы можем вот так просто приписывать координаты? Может, можно просто так добить вектор до семимерного? Ну в принципе, нас никто остановить не может, и мы именно так и поступим, но сначала немного окунемся в линейную алгебру.

Базис в пространстве

Базис упорядоченный наборвекторовввекторном пространстве, такой, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виделинейной комбинациивекторов из этого набора.

Линейная комбинация это сумма некоторого набора элементов множества с допустимыми коэффициентами.

Также я собираюсь использовать в дальнейшем удобное следствие определения базиса: мы можем расширять наш базис с помощью векторов, линейно независимых с базисными.

Что значит расширить базис? Добавить еще один вектор, тем самым расширяя наше пространство еще в одном направлении.

Выше мы уже научились строить трехмерное пространство - просто объемный мир, в котором мы живем. Давайте попробуем расширить наш базис. Самым очевидным расширением базиса будет добавление времени, как еще одного параметра. То есть четырехмерное измерение - это объемная жизнь с привязкой ко времени. Ну разве это не похоже на обычную жизнь человека? То есть все это время мы жили в четырехмерном пространстве, а не трехмерном?...

И, как не сложно заметить, время линейно независимо от объема, то есть наше расширение базиса вполне корректно.

7ми мерное пространство и почему только 7ми?

Как нам представить 5ти мерное пространство? Но мы же уже сказали, что на самом деле пространство - это то, что его задает - базис. То есть давайте теперь мыслить о пространстве, как о наборе параметров каждой его точки. Например для трехмерного объекта мы помним 3 координаты в пространстве - по x, y, z. И у нас это не вызывает диссонанса.

Давайте к координатам припишем еще и время, в которое у нас наблюдалась данное расположение тел. Например, у нас катится шар и мы следим за положением его центра. В момент времени 0 шар покоился. В 0,0...01 он уже сместился. В момент времени 9...9,0 он уже находится в совершенно другом месте. Но зачем нам так думать? Пусть эта точка шара существует одновременно везде, где проехался шар, только мы будем помнить, что в каждой точке мы еще приписываем время, когда шар был именно в данной позиции. Вот Вам и 4х мерное пространство - не сложно.

Казалось, так можно навесить еще какие-то параметры, такие как скорость ветра, влажность воздуха, сила трения и так далее, но давайте не будем извращаться и перейдем к более жизненному понятию.

Допустим у нас есть разные гаечки (прошу прощения, если я ошибусь в параметрах или названиях, я совсем не инженер). Для удобной фасовки и продажи гаек надо распределить их на группы одинаковых. Но как мы будем их отличать? Давайте запишем какой-то набор параметров (не претендующий на правильность):

  1. Сплав метала гайки

  2. Внутреннее сечение гайки

  3. Внешняя форма гайки

  4. Направление резьбы гайки

  5. Максимальная нагрузка на гайку

  6. Самозажимающаяся ли гайка?

  7. Максимальная температура, при которой гайка выдерживает достаточную нагрузку

  8. ...

Понятно, что таких параметров может быть сколь угодно много. Но мы остановимся на 7ми - именно столько заявлено в заголовке статьи. Важно помнить! каждый параметр обязан быть независим от любого предыдущего. В нашем случае это условие выполняется: направление резьбы никак не зависит от сплава метала или от внутреннего сечения гайки... И так с каждым из параметров.

То есть только что мы создали свой, очень странный базис, где элементами нашего пространства выступают гайки, и мы их можем удобно расфасовать. Это и есть элементарное представление нашего 7ми и не только 7ми, но и большего, пространства.

Пространство - не куб!

В заголовке статьи я обещал куб, но пока говорил только о пространстве. Давайте определим, что же такое куб.

Например, в 2х мерном пространстве куб, очевидно,- это квадрат. То есть объект с точками вершинами:

(0, 0);(0, a);(a, 0);(a,a)

В трехмерном пространстве куб - есть куб. С координатами:

(0,0,0);(0,0,a);(0,a,0);(0,a,a);...(a,a,a)

Как мы заметили, в двумерном пространстве у куба 4 = 2^2 вершин, в трехмерном 8 = 2^3. Совпадение? Маловероятно. Ну и правильно, ведь из простейшей комбинаторики мы помним, что количество вершин равно 2^n для n-мерного куба. Ведь мы либо берем каждый из базисных n векторов, либо нет.

Тогда для построение 7ми или n-мерного куба нам достаточно взять точки с фиксированными координатами (0 или a) по каждой из осей.

Интересный факт

Именно из-за удобства понимания и описания n-мерного куба мы меряем любую n-мерную поверхность таким способом. Площадь квартиры с помощью квадратных метров, длину прямой в метрах, объем в кубических метрах. Это все кубы разной размерности. И в математике нам очень удобно оперировать именно такими понятиями. Примерно так мы определяем меру множества, которая очень важна для теории интегралов, теории вероятностей, теории меры и очень много где еще.

Послесловие

Как Вы, наверное, заметили, я привожу совсем иное понимание многомерного куба, в отличие от общепринятого.

Не то, чтобы красивые картинки многомерных кубов не вызывали у меня восхищения совсем нет, но в этом есть что-то нереальное, непонятное и неприложимое. Я совсем не претендую на прикладное значение сортировки гаек, но мне кажется довольно захватывающим такое представление многомерности: как что-то такое далекое может быть таким емким.

4х мерный куб Тессеракт4х мерный куб Тессеракт

На самом деле я просто не имею настолько развитого пространственного воображения: я не понимаю, как можно визуализировать 4х, 5ти и более мерный куб на 2D картинке.

Также такая иллюстрация не позволяет представить, как увеличить пространство еще в одном направлении. Так что именно данная тема не рассматривается в моей статье, но, если Вас заинтересовал Тессеракт, есть огромная куча других, очень интересных, статей, описывающих его построение и даже расширение.

Подробнее..

Категории

Последние комментарии

  • Имя: Макс
    24.08.2022 | 11:28
    Я разраб в IT компании, работаю на арбитражную команду. Мы работаем с приламы и сайтами, при работе замечаются постоянные баны и лаги. Пацаны посоветовали сервис по анализу исходного кода,https://app Подробнее..
  • Имя: 9055410337
    20.08.2022 | 17:41
    поможем пишите в телеграм Подробнее..
  • Имя: sabbat
    17.08.2022 | 20:42
    Охренеть.. это просто шикарная статья, феноменально круто. Большое спасибо за разбор! Надеюсь как-нибудь с тобой связаться для обсуждений чего-либо) Подробнее..
  • Имя: Мария
    09.08.2022 | 14:44
    Добрый день. Если обладаете такой информацией, то подскажите, пожалуйста, где можно найти много-много материала по Yggdrasil и его уязвимостях для написания диплома? Благодарю. Подробнее..
© 2006-2024, personeltest.ru