Логика

1 | Введение:

Логика, как эпистемологический инструмент, изобретена независимо в трёх отдельных государствах: Греции (Аристотелем), Китае (императором Цинь Шихуанди) и Индии. В последних двух перечисленных государствах логика не распространилась настолько, чтобы прижиться и получить развитие. В античной же Греции произошло наоборот логика сформировалась в своих основах столь определённо, что дополнилась только через 2 тысячелетия.

Значительные изменения в греческую логику, помимо Дж. Буля, О. де Моргана и Б. Рассела, внёс Готлоб Фреге он придумал 2 вида кванторов. А также Курт Гёдель, открыв знаменитые две теоремы о неполноте, описывающие невозможность объединения множества доказуемых утверждений со множеством истинных. Он утверждал, что доказательства математики зависят от начальных предположений, а не фундаментальной истины, из которой происходят ответы. Одна из главных идей его работ состоит в том, что ни один набор аксиом не способен доказать свою непротиворечивость.

На этом этапе некоторые заметят влияние платонизма на австрийского логика, это на самом деле так. Гёдель не раз заявлял о влиянии метафизики Платона на собственную деятельность. Но сам Платон развитию формальной логики лишь способствовал косвенно, в истории он вносит вклад в развитие другого направления философской логики. Платоном созданы вопросы, на которых основывается вся западная философия вплоть до наших дней. Философия в том виде, котором она известна, возникла только благодаря Платону.

В другие периоды в логику также вносили дополнения:

• античной школой стоицизма введены термины модальности, материальной импликации, оценки смысла и истины, которые являются задатками логики высказываний;

• также средневековыми схоластами введены несколько понятий;

• Готфридом Лейбницем изменена нотация.

Но главное, что сами логические операции не изменились. Органон Аристотеля, как сборник из 6 книг первоисточник, где подробно описаны главные логические законы. Органон (с древнегреческого ), означает инструмент. Аристотель считал, что логика является инструментом к познанию. Он объединяет методом получения информации такие науки:

• Физика наука о природе;

• Метафизика наука о природе природы;

• Биология раздел физики, наука о жизни;

• Психология раздел физики, наука о душе;

• Кинематика раздел физики, наука о движении;

• И др.

2 | Терминология:

У каждой из наук должен быть идентичный фундамент в способе получения гнозисов (знаний), который позволит упорядочить информацию и выводить новые силлогизмы (умозаключения). Только таким образом получится прогресс в познании истины. Без логики наука была бы похожа на коллекционирование фактов, т.к. информация бы не поддавалась анализу.

Сам Аристотель находит логике как средству убеждения иное применение: в риторике, спорах, дебатах, выступлениях и т. д., описывая это в своём труде Риторика. В западной философии принято давать чёткие определения перед рассуждениями, поэтому определимся с терминами. Логика наука о правильном мышлении.

• В языковой зависимости возникают трудности трактовки термина наука, но даже в оригинальном названии труда Фридриха Гегеля Наука логики Wissenschaft der Logik, употребляется слово наука (Wissenschaft). Поэтому придём к консенсусу и будем считать, что научной можно назвать ту дисциплину, в которой возможны открытия, исследование и анализ. Логика в таком случае наука, ибо внутри неё возможно совершать открытия. Яркий пример комбинаторика Лейбница.

• Слово правильный сразу веет нормативными коннотациями: правильное поведение, правильное выражение лица, и т.д. Перечисленное соответствует некоторым критериям и логика выставляет их (критерии) для правильного мышления.

• Слово мышление понимается на интуитивном уровне, но чёткое объяснение затруднительно, обширно и иногда не объективно.

3 | Формальная и неформальная логика:

Первоначально, деление логики происходит на формальную и неформальную. Формальная логика отличается тем, что в отличие от неформальной записывается уравнениями. Неформальная логика пишется выражениями в форме языка, поэтому она подходит для риторики, а формальная логика для абстрактных наук.

Формальная логика равным образом делится на дедуктивную и индуктивную. Они различаются тем, что в дедуктивном аргументе истинность условий гарантирует истинность умозаключения или вывода. В индукции же, при истинности условий одинаково возможен ложный и истинный вывод.

Законы формальной логики:

1. Закон тождества (А = А): эквивокация или двусмысленность недопустимы. Нельзя подменять одно понятие, другим.

2. Закон непротиворечия (А А = 0): одно и то же утверждение не может быть истинным и ложным одновременно.

3. Закон исключения третьего или бивалентности (А А = 1): утверждение может быть либо истинным, либо ложным третьего не дано.

Принципы формальной логики:

1. Принцип достаточного обоснования: истинная мысль должна быть обоснованной и считается достоверной только в том случае, если в её пользу приведены достаточные основания.

4 | Сентенциальная логика (алгебра высказываний):

Базовые операции сентенциальной логики логики высказываний, где заглавная буква означает предложение:

Отрицание (Утверждение A истинно тогда и только тогда, когда A ложно): если имеем утверждение А и имеем утверждение не А, то когда утверждение А будет истинным, утверждение не А будет ложным. Также и когда утверждение А будет ложным утверждение не А будет истинным.

Конъюнкция (Утверждение A B истинно, если и A, и B истинны. Ложно в противном случае): в английском языке союз and/&; в русском и. В утверждении А и В, между А с В стоит знак конъюнкции . Утверждение А и В является истинным, если А с В являются истинными одновременно. Если хоть один элемент ложен, то всё утверждение ложно. А и В подразумевает, во-первых истинность А, во-вторых истинность В.

Дизъюнкция (Утверждение A B верно, если A или B (или оба) верны. Если оба не верны утверждение ложно): в английском языке союз or; в русском или. Существует два типа дизъюнкции включающая и исключающая (в логике используется включающее или). Условия таковы, что утверждение А или В будет истинным, когда один или оба элемента истинны, но никогда когда оба элемента ложны. Это противоречит нашему обыденному мышлению, т.к. когда спрашивают: Чай или кофе? мы выбираем один элемент, но в логике подразумевается выбор не только одного, а нескольких возможных.

Импликация (Утверждение A B ложно, только когда A истинно, а B ложно): в английском языке therefore; в русском языке следовательно. Подразумевает истинность одного элемента при истинности другого. Потому что условия истинности соблюдаются всегда, кроме случая, когда А истинно, а B ложно. Поэтому утверждение: А ложно, следовательно B ложно истинно. Покажется, что когда А ложно, а В истинно не соблюдаются условия, но это не так. Если вы скажете, что после дождя промокните это утверждение будет истинным вне зависимости от того, пошёл дождь или нет.

Эквивалентность (Утверждение A B истинно, только если оба значения A и B ложны, либо оба истинны): если истинно утверждение А, следовательно В и истинно утверждение В, следовательно А, то истинными являются выражения А эквивалентно В и соответственно В эквивалентно А. Условия истинности соблюдаются в случаях, когда оба элемента истинны или оба ложны.

5 | Предикатная логика первого порядка:

В XX веке, после добавлений в логику работ Готфрида Лейбница и Готлоба Фреге, на основе этой дисциплины создаётся новая информатика. Языки программирования основываются на видоизменённой логике Аристотеля предикатной логике, описательная способность которой выше, чем у логики высказываний (сентенциальной). Прежде чем разобрать этот новый тип логики, поговорим об её отличии от сентенциальной. Главная особенность предикатной логики, что заглавными буквами обозначаются предикаты, а не целые высказывания. Можно сказать, что предикат это математическая функция, которая накладывает множество субъектов на множество утверждений.

Высказывание Я пошёл в зоопарк состоит из субъекта и предиката. В нём субъект Я, а предикат то, что остаётся кроме субъекта ( пошёл в зоопарк). Субъект кто совершает действие в предложении или имеет выраженное свойство; предикат всё оставшееся. Таким образом, если в сентенциальной логике высказывание Я пошёл в зоопарк выражалось бы одной заглавной буквой, то в логике предикатов использовались бы две буквы (заглавная и подстрочная): P для предиката; x для субъекта. Субъекты обозначаются переменной (x), потому что в предикатной логике появляются две относительно новые операции: универсальный и экзистенциальный кванторы. Особенность кванторов заключается в том, что ими возможно записать выражение истинное при всех возможных переменных х или хотя бы при одном.

Универсальный квантор (квантор всеобщности) обозначается символом , с указанием переменной под ним. Возьмём утверждение Все пингвины чёрно-белые. В логике высказываний оно бы выражалось как X P, где X нечто являющееся пингвином, а P нечто являющееся чёрно-белым. В предикатной логике же используются субъекты и предикаты, поэтому нечто являющееся пингвином (субъект), обозначалось бы переменной х снизу под предикатом. "х" является пингвином, следовательно, является чёрно-белым. Записывается так: P(х) B(х), где P(х): х пингвин; B(х): x чёрно-белый.

Однако этого недостаточно, ведь непонятно, один субъект х чёрно-белый или больше одного, а может вообще все. Поэтому утверждение "х" является пингвином, следовательно, является чёрно-белым, берётся в скобки и перед скобками используется символ с переменной х под ним которые вместе и будут универсальным квантором.

Универсальный квантор переводится как: Для всех "х" истинно, что . Теперь утверждение х является пингвином, следовательно, является чёрно-белым с универсальным квантором перед ним, расшифровывается так: Для всех "х" истинно, что "х" является пингвином, следовательно, является чёрно-белым. Это означает, что чем бы ни был объект во вселенной, если этот объект пингвин он является чёрно-белым. Полная запись будет выглядеть так:

Экзистенциальный квантор (квантор существования) обозначается символом с указанием переменной под ним. Возьмём утверждение Некоторые пингвины серые. Как и в прошлый раз, выражение "x" является пингвином и "х" является серым возносим в скобки и ставим перед ними квантор, в этом случае экзистенциальный с указанной переменной. "x" является пингвином и "х" является серым записывается так: P(х) C(х), где P(х): х пингвин; C(х): x серый.

Экзистенциальный квантор можно перевести так: Есть такой "х", для которого будет истинно, что . Подразумевается, что есть как минимум один х, для которого выполняются условия выражения. Если вам говорят, что картофеля не существует, достаточно показать одну картофелину для опровержения этого утверждения. Также и с кванторами, если существует хотя бы один серый пингвин, то утверждение об отсутствии серых пингвинов будет ложно. Полная запись экзистенциального квантора для выражения Есть такой "х", для которого будет истинно, что "x" является пингвином и "х" является серым, будет выглядеть так:

6 | Заключение:

Примечательно, что есть возможность перевода одного вида квантора в другой. Возьмём утверждение Все пингвины не являются серыми. Для универсального квантора текстовая запись будет такая: Для всех "х", будет истинным утверждение о том, что если "х" является пингвином, то "х" не является серым объектом. Но утверждение изменяется и для экзистенциального квантора, используя знак отрицания: Нет такого "х", для которого бы было истинным утверждение о том, что "x" является пингвином и "х" является серым.

В середине XIX века, Готлоб Фреге дополнил логику Аристотеля двумя этими операциями, которые позже сформировались в отдельную дисциплину предикатную логику. С введением в логику экзистенциального квантора (после универсального) предикатная логика в основе своей, завершилась как система

Источники:

1 Аристотель: Органон "Первая аналитика" и "Вторая аналитика";

2 Аристотель: Риторика;

3 Готлоб Фреге: Исчисление понятий;

4 Monatshefte fr Mathematik und Physik 1931 г.: Курт Гёдель О принципиально неразрешимых положениях в системе Principia Mathematica и родственных ей системах;

5 The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz;

6 Мельников Сергей: Введение в философию Аристотеля;

7 youtube.com;

8 cyberleninka.ru.

Если у ребёнка развиты нижеперечисленные качества, то, вероятно, программирование будет ему в кайф. То есть удовольствия будет больше усилий.

Абстрактно-логическое мышление

Логика основа программирования, которое можно назвать её эмпирическим исполнением. Некоторые даже склонны утрировать, что программирование это логика. В любом случае, умение мыслить логически необходимое условие успеха в разработке.

Абстрактно-логическое мышление умение оперировать не конкретными предметами, а сущностями. Оно включает определение отношений, общих свойств, паттернов, выдвижение гипотез и умозаключений, что в идеале приводит к верному решению проблем. Упрощая, это умение делать правильные выводы из предпосылок.

Чтобы успешно решать задачи, важно умело использовать виды логического мышления, не нарушать законы логики, избегать логических ошибок.

Интуитивное, в смысле нецеленаправленно наработанное, владение логическим мышлением в обыденности называют смекалкой или здравым смыслом.

Как проверить

Задачки на смекалку так или иначе затрагивают логическое мышление. Хотя они, конечно, определяют и креативность, метамышление, внимательность и множество прочих качеств, которые также бесспорно полезны в программировании.

Примеры:

1. Нужно внести улучшение, чтобы с военных миссий возвращалось больше самолётов. Известно, что самолеты возвращаются с пробоинами. Наибольший ущерб зачастую нанесен фюзеляжу, чуть меньший крыльям, а наименее поврежденной остаётся область двигателя. Из-за недостатка бюджета можно усилить только одну деталь. Что нужно укрепить в самолёте? (Это типичная задачка на ошибку выжившего. Конечно, правильный ответ двигатель, потому что ни один самолёт после его повреждения просто не возвращается).

2. У Маши есть две монеты на общую сумму 15 копеек. Одна из них не пятак. Что это за монеты? (Чистая логика и внимательность, если одна монета не пятак, то нет противоречия в том, что другая пятак. Из внимательности к посылкам очевиден ответ 5 копеек и 10 копеек).

3. В двух кошельках лежит 4 копейки, причем в одном кошельке копеек вдвое больше, чем в другом. Как такое возможно? (В условиях не сказано, что исключена вложенность. Ответ один кошелёк лежит в другом).

Конечно, задачки выше для детей постарше. Им подойдёт и тест на предрасположенность к программированию, который состоит из 10 вопросов на проверку логического и причинно-следственного мышления, аналитических способностей, гибкости ума. Правда он на английском.

Для детей помладше подойдут задачки попроще. Например, платформа LogicLike предлагает логические задачи с вовлекающим визуальным и аудио оформлением, что немаловажно для малышей.

Алгоритмическое мышление

Алгоритм порядок действий для решения задачи. Программа инструкция для компьютера, алгоритм выраженный на языке программирования. Поэтому без умения мыслить алгоритмически никак. :)

Алгоритмическое мышление навык определения последовательностей шагов для решения задач. Проблема раскладывается на части и становится понятной. Также сила алгоритмического мышления в том, что оно позволяет автоматизировать типичные решения.

Все мы изучали алгоритм умножения в школе. Если мы (или компьютер) точно следуем выученным правилам, то можем получить ответ на любую задачу по умножению. Когда есть алгоритм, не нужно с нуля придумывать, как выполнить умножение.

В исследовании последовательности, как фактора успешного освоения программирования, половина студентов могла построить в уме модель программы и пошагово её реализовать, а вторая нет. Из первой группы экзамен сдало 84%, из другой 48%. Поэтому обладание одной логикой не ключевой фактор, позволяющий добиться успеха в разработке. Важно уметь оформлять логику в систему.

Как проверить

Ребёнка помладше можно попросить научить вас что-то делать, например, застилать кровать или рисовать домик. Если он без проблем объяснит вам последовательность шагов, то с алгоритмическим мышлением всё в порядке.

Дети постарше могут показать своё умение собирать алгоритмы в удобной визуальной среде программирования Scratch, где последовательности действий создаются из графических блоков. А в целом алгоритмическое мышление заметно по умению успешно решать задачи из точных наук.

Твёрдость характера (англ. grit)

Твёрдость характера упорство в достижении долгосрочных целей. Это качество позволяет выиграть марафон, а не спринт. Если объяснять от обратного, то его противоположности хаотичность, импульсивность и рассеянность.

Свидетельство, что важность grit как минимум соразмерна важности IQ:

Как проверить

Анжела Ли Дакворт, профессор психологии в Пенсильванском университете, автор книги Твердость характера. Как развить в себе главное качество успешных людей, разработала простой тест из 10 вопросов, позволяющий определить уровень grit.

Конечно, для маленьких детей подойдёт нечто попроще например, аналог зефирного теста. Но важно, чтоб моментальное удовольствие было действительно желанным, ведь доказана неточность изначального зефирного теста умение откладывать удовольствие было свойственно детям из богатых семей (зефирка просто не была весомой наградой), а не обладателям развитой силы воли. Для детей из семей с низким достатком моментальная сладость была большой ценностью.

Так что, если ребёнок готов подождать, проявив силу воли, чтобы получить нечто ценнее моментального удовольствия, то у него хорошие шансы на успех в программировании.

P.S.: Я не просто так разместила твёрдость характера в конце, ведь считаю волевой и мотивационный компоненты самыми важными для успеха в любой профессии. Если ребёнок вдохновлён создать что-то, что возможно только благодаря программированию все остальные навыки будут взращены по пути. Слава нейропластичности!

Когда я учился в институте, то очень не любил философию. Дело не только в том, что тогда это была марсистко-ленинская философия - просто я не видел смысла в этом бессмысленном нагромождении слов. Уже много позже я обнаружил, что увлекаюсь именно философией - но философией науки.

На мой взгляд, у философии должен быть конкретный объект рассмотрения: бесконечности в теории множеств, трансфинитные числа, теории и доказуемость, гипотеза математической вселенной Макса Тегмарка. И тогда есть реальный прогресс (например, теорема Геделя), а слова просто облегают каркас, задаваемый конкретикой. Иначе получается попытка построить конструкцию из жидкой манной каши, какой-то интеллектуальный онанизм.

Георг Кантор, положивший начало теории множеств и открывший разницу типов мощностей (по-английски cardinalities), на мой взгляд, куда больший философ, чем Кант и Гегель. Вы можете не вынимать ложечку из чашки кофе, когда пьете его и съедать яблоко с огрызком, но знать отличие счетного множества от континуума обязаны, если вы связаны с IT или любой технической сферой.

Одной из интересных в философском плане вещей является знаменитая (в узких кругах) Аксиома Выбора (AC) - внешне совершенно безобидная, но с чудовищными последствиями. Аксиома утверждает, что, если существуют два непустых множества, то существует и множество, содержащее ровно по одному элементу из обоих:

Если одно из этих множеств содержит только один элемент, то он всегда и будет выбираться и работать как крючок, "выуживая" из второго множества элементы. Если после каждого такого акта выбора мы будем выбранные элементы изымать, то с помощью данной процедуры мы можем разобрать любое множество по элементам.

Парадоксы Аксиомы Выбора

Как ни странно, "чистая" теория множеств не утверждает, что любое множество можно "разобрать на части". Она утверждает, что для любого множества можно проверить, содержится ли некий элемент в нем или нет (отношение ). Интуитивно ясно, что конечное или счетное множество (например, множество натуральных чисел) можно разобрать на элементы. Для континуума это уже совсем не очевидно.

Аксиома Выбора известна тем, что рождает чудовищ. Чудовища называются intangibles - объекты, существование которых может быть доказано, но ни один конкретный пример не может быть приведен. Классическим примером такого чудовища является Парадокс Банаха Тарского.

Сферу можно разрезать на шесть частей так, что после поворотов из них можно слепить две сферы такого же диаметра - без зазоров и пустот! А откуда же взялся лишний объем? спросите вы. Для того, чтобы вычислить объем, объект должен быть в какой-то степени гладким. Части в данном случае бесконечно сложны по построению, и их объем неопределен. А как безобидно все начиналось!

Разумеется, многим математикам такое поведение Аксиомы Выбора пришлось не по вкусу. Так как математики творцы своих собственных миров, они могут делать все, что захотят. Самым очевидным было ограничить работу AC только счетными множествами, где все очевидно. Но это связывало руки тем, кто работал с вещественными числами, а топологию просто убивало. Поэтому есть целый ряд "ослабленных" вариантов AC (например, Аксиома Зависимого Выбора), или альтернативных вариантов, например, Аксиома Детерминизма.

Какое-то время я тоже считал, что ослабленные аксиомы лучше, хотя они так лимитируют наши знания. Однако потом я пришел к выводу, что проблема совсем не в аксиоме выбора, а в нашем сознании. Наш мозг может работать с конечным количеством информации. Этого количества информации достаточно, чтобы охарактеризовать элемент из бесконечного, но счетного множества элементов. С большими мощностями проблемы - для выбора из них может потребоваться бесконечное количество информации.

Например, пусть у нас есть континуум вещественных чисел [0,1]. Уберем из него все числа, которые мы можем определить строкой, например, '0.324443', '1/3', '1/pi' (pi лучше определить через бесконечные ряды), 'min корень уравнения...' (причем в последнем случае не важно, умеем ли мы это уравнение решать). Важно что число строк счетно, а вещественных чисел больше, так что в итоге останется странное множество... В нем еще осталось почти столько же элементов, сколько и было, но ни один элемент нельзя привести в качестве примера. Ведь чтобы привести пример, его надо уметь записать строкой, а все такие числа вырезаны!

Структура чудовищ, таким образом, представляется такой:

В хорошем случае (показано зеленым), сущности существуют и имеют своих представителей на тонкой пленке счетных множеств. Мы видим эти сущности 'на поверхности' и нам хорошо. Более сложные сущности могут прятаться глубже - на уровне континуума (пример с отрезком выше) и еще глубже (парадокс Банаха Тарского- показано красным). У таких сущностей нет представителей в тонкой пленке счетных множеств (а собственно, почему они всегда должны там быть?) - но это исключительно наши проблемы!

Сложные инопланетяне

В теплых ламповых фильмах инопланетян изображают так:

То есть со всеми людскими чертами с небольшими изменениями. Инопланетяне даже говорят по-английски! Это, конечно, очень мило, но крайне упрощено. Тут попытка более серьезна:

Однако, попытаемся смастерить более продвинутых инопланетян. Итак, что мы можем сказать о человеке?

• наш мозг содержит конечное количество информации

• наши сообщения, слова, фразы, тоже передают конечное количество информации

• это позволяет выбирать элементы из бесконечных но счетных множеств

• Аксиома выбора для счетных множеств нам кажется очевидной

• Мы живем в пространстве времени, которое континуум ( )

Давайте сделаем апгрейд - 'one level up' в иерархии мощностей:

• их мозг содержит бесконечное, но счетное количество информации

• их сообщения тоже передают бесконечное счетное количество информации. Например, одно слово может содержать вещественное число с бесконечной точностью со всеми его цифрами после запятой

• это позволяет выбирать элементы из континуума

• Аксиома выбора для континуума им кажется очевидной

• Парадокс Банаха Тарского им не кажется парадоксом. Идея им интуитивна понятна, хотя пример они по прежнему привести не могут.

• Эти существа существуют в мире, где пространство/время по крайней мере

Последние два пункта требуют пояснений. Для разбиения сферы в парадоксе БТ аксиома Выбора используется континуум раз - то есть пример разбиения содержит континуум информации - больше, чем эти инопланетяне могут выразить словами. Тем не менее сама идея им понятна. У людей (one level down) концепция 'бесконечная последовательность натуральных чисел, из которых случайным образом изъято по одному числу из каждой десятки' не вызывает затруднений, хотя мы и не могли бы записать полный пример такой последовательности (так как она бесконечна)

Наше пространство время (континуум) слишком бедно, чтобы вместить таких существ. Поэтому мы не могли бы с ними встретиться. Но они, безусловно, существуют, так как, согласно Математической Гипотезе Тегмарка, все математические миры всегда реализуются. И если наш мир с континуумом пространства времени и несколькими страницами формул, определяющих физические законы, дал возможность существования существ с сознанием, то невозможно представить, что существа с более высоким типом сознания не существуют в более 'богатых' мирах.

Cognitive Closure

Извините, не знаю, как это будет по-русски. Почитать можно здесь. Явления мира 'продвинутых инопланетян' выше являются для нас трансцендентными. Тем не менее, если мы не можем их понять, то мы можем хотя бы как то их описать или предложить упрощенные модели. Однако ситуация может быть еще хуже. Возможно, есть концепции, к которым мы вообще не можем прикоснуться.

Один из кандидатов является проблема сознания. Напомню диспозицию, существует ряд подходов к проблеме:

• Материазизм или физикализм, он же функционализм, воззрение, что сознание 'как то' возникает из работы мозга (и, возможно, других сложных систем). Выглядят научно, но проблема со словом 'как то', потому что прогресс за сотни лет нулевой

• Панпсихизм - любая частичка обладает крохой сознания. Это воззрение хорошо тем, что не требует 'возникновение' сознания - оно изначально связано с материей. Но у подхода свои проблемы

• Отрицание существование сознания в принципе (упертый старик Деннетт)

• New mysterianism

Последний подход - возможно, сознание и создается мозгом. Но сознание само в принципе не может и не сможет это понять. Это сможет понять только сознание более высокого уровня, и так далее. (ничего не напоминает? да, теорему Геделя)

Теория множеств дает хорошие примеры, иллюстрирующих концепцию cognitive closure - там это называется fixed points. Пусть вы суммируете единицы. 1,2,3, ... 5556054, каждое следующее число больше предыдущего, есть прогресс. Но вы никогда не достигните первой счетной бесконечности . Аналогично, беря функцию 'множество всех подмножеств' - функция чудовищной силы, создающая из счетного множества континуум и так далее, вы никогда не достигните первой недостижимой мощности.

Важно, что cognitive closure не видна снизу как граница. Это не барьер. Это не сложная задача, которую вам не решить. Она вообще вам не видна - все как бы хорошо, вы можете написать еще одну статью, исследовать еще одно явление, доказать еще одну теорему. Вас никто не будет останавливать - вы просто не можете понять, что вы не способны понять. Вы не увидите проблему.