Дифференциальные уравнения

Лемма Ито

26.03.2021 20:17:43 |

Автор: admin

Лемма Ито играет ключевую роль в теории случайных процессов и находит свое приложение в моделях оценки справедливой стоимости финансовых инструментов. Так как стоимость любой производной ценной бумаги является функцией, зависящей в том числе от стохастических факторов, исследование и описание свойств таких функций имеет важное значение.

Лемма Ито применяется к процессам, которые подвержены некоторому сносу, а также воздействию случайных факторов. Такие процессы довольно точно описывают поведение цен на финансовых рынках. Вывод формулы Ито и описание соответствующих свойств в рамках данной статьи будет проведено на базе моделирование цен финансовых активов.

Уравнение цены

Построение прогностической модели стоимости любого финансового актива основано на эмпирическом анализе окружающей нас реальности. Опытным путем установлено, что изменение стоимости финансового актива зависит от (i) времени и (ii) стоимости актива в исходный момент времени x_0 . Это позволяет понять, что цена актива является функцией двух переменных x(x_0, t) .

Наличие зависимости при которой скорость изменения некоторой величины пропорциональна ей самой встречается очень часто и приводит к экспоненциальному росту, примерами служат уравнения радиоактивного распада, размножения и гибели микроорганизмов. Знание закона по которому изменяется цена позволяет составить дифференциальное уравнение.

$dx = rxdt \qquad (1)$

В данное уравнение добавляется безрисковая ставка являющаяся скалирующим коэффициентом, который описывает динамику актива. Для решения уравнения (1) разделяем переменные: $\frac{dx}{x} = rdt$ , интегрируем и в итоге получаем уравнение стоимости финансового актива.

$x = x_0e^{rt} \qquad (2)$

где, - стоимость финансового актива в момент времени .

Надо заметить, что получившееся уравнение позволяет нам точно определить значение цены в любой будущий момент времени, в связи с чем такой процесс можно назвать детерминированным. Однако, на практике цена помимо некоторой детерминированной динамики, определяемой безрисковой ставкой, также подвержена случайным колебаниям, которые должны учитываться при прогнозировании цен.

Исходя из вышесказанного логичным будет выглядеть внедрение в уравнение цены стохастической составляющей, наиболее подходящей моделью которой является броуновское движение.

Броуновское движение

История открытия броуновского движения хорошо известна, поэтому перейдем к описанию его основных физических и математических свойств. В каждый момент времени t_n на частицу оказывается разнонаправленное воздействие очень большого количества молекул, при этом сила их соударения с частицей тоже разная. В результате, наблюдаемая частица совершает хаотические движения. Такая картина является свойственной для финансового рынка, когда на колебания цены в конкретный момент времени оказывают влияние решения огромного количества независимых участников рынка.

Если перенести броуновское движение на координатную плоскость и представить его в дискретном времени, то получим переменную Винера, описывающая одну конкретную реализацию случайного процесса $W_t = \varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \cdots+\varepsilon_n$ , где $\varepsilon_j$ это независимые случайные величины имеющие нормированное нормальное распределение $\sim N(0,1)$ .

На практике, каждая случайная величина $\varepsilon_j$ является приращением цены в соответствующий момент времени t_j . Для того, чтобы задать некоторую амплитуду таких толчков и описать данной моделью поведение какого-то реального актива вводиться коэффициент $\sigma$ , рассчитывающийся на основе статистических данных и являющийся волатильностью. В итоге дискретный процесс Винера трансформируется в формулу: $W_t =\sigma( \varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \cdots+ \varepsilon_n)$ . В силу свойств случайных величин, распределенных нормально, сумма гауссовых чисел $\varepsilon_1 + \varepsilon_2 +\cdots+ \varepsilon_n$ , представляется как $\varepsilon{\sqrt{n}}$ , где $\varepsilon_j \sim N(0,1)$ , а - общее количество случайных движений цены.

В конечном итоге Винеровский процесс, может быть представлен в виде $W_t = \sigma \varepsilon {\sqrt{n}}$ . Его особенность заключается в том, что малое изменение процесса по времени $\Delta t$ присутствует в переменной Винера, как $\sqrt{\Delta t}$ . В геометрической интерпретации это означает, что огибающее семейство всех реализаций такого случайного процесса будут иметь параболический вид.

Добавив к Винеровскому процессу определенную динамику в виде $r\Delta t$ , получим уравнение арифметического броуновское движения со сносом .

$x = x_0 + r\Delta t + \sigma \varepsilon \sqrt{\Delta t} \qquad (3)$

Код python

import pandas as pdimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt%matplotlib inlinesteps = 300num_plots = 50Range = []Values = [0]plt.style.use('ggplot')plt.rcParams['lines.linewidth'] = 0.6fig, ax = plt.subplots()fig.set_figwidth(12)fig.set_figheight(6)colormap = plt.cm.gist_ncarplt.gca().set_prop_cycle(plt.cycler('color', plt.cm.jet(np.linspace(0, 1, 1))))Range = np.arange(steps) for i in range(0, num_plots):    for i in range (1, steps):        x = np.random.random()        if x <= 0.5:            x = -1        else:            x = 1        y = Values[-1] + x        Values.append(y)        ax.plot(Range, Values)    Values = [0]

Постановка задачи

Имея в распоряжении полученное соотношение (3) возникает ощущение, что никакой сложности в прогнозировании цен нет. Так и есть, однако, важно иметь в виду, что с точки зрения финансовой науки не совсем корректно анализировать приращение цены, так как еще в 30 гг. ХХ века было установлено, что нормально распределены не сами цены, а их логарифмы. Следовательно объектом изучения должен быть не сам, а $\ln x$ . Ниже рассмотрим логику перехода от к $d(\ln x)$ .

Для начала из разностной схемы уравнения цены (3) , выразим приращение цены $\Delta x$ , а затем запишем дифференциальное уравнение в непрерывном времени перейдя к дифференциалам.

$x = x_0 + r\Delta t + \sigma \varepsilon \sqrt{\Delta t} \mapsto \Delta x = r\Delta t + \sigma \varepsilon \sqrt{\Delta t} \mapsto dx = rdt + \sigma \delta W$

Заметим, что $dx = rdt + \sigma \delta W$ представляет собой уравнение Ито, то есть такой процесс, где есть некий снос rdt и флуктуация $\sigma \delta W$ , в общем виде записываемый следующим образом:

$dx = a(x,t)dt + b(x,t)\delta W \qquad (4)$

где, - функция сноса, - функция волатильности.

Имея в виду необходимость проанализировать $d(\ln x)$ необходимо перейти от уравнения $dx = rdt + \sigma \delta W$ к уравнению $dx = xrdt + x\sigma \delta W$ . Решается полученное уравнение довольно нетривиально так, как в правой части стохастического дифференциального уравнения стоят не константы, как в уравнении $dx = rdt + \sigma \delta W$ , а функции и $x\sigma$ .

Такого рода задачи финансовой математики помогает решать лемма Ито. Например, лемма Ито также используется для вывода уравнения Блэка-Шоулза-Мертона в частных производных.

Лемма Ито

Для того, чтобы решить СДУ $dx = xrdt + x\sigma \delta W$ требуется взять некую функцию F(x(t)),t) , поведение, которой будет соответствовать общему процессу Ито, то есть зависеть от функций сноса A(x,t) и волатильности B(x,t) , а также аргументом которой будет случайный процесс x(t) . В результате получим связанные с друг другом дифференциальные стохастические уравнения.

$dF(x(t),t) = A(x,t)dt+ B(x,t)\delta W \qquad (5)$

где, дифференциал случайного процесса выглядит, как $dx = a(x,t)dt + b(x,t)\delta W$ *

Лемма Ито позволяет вычислить функции A(x,t) и B(x,t) , если нам даны функции a(x,t) и b(x,t) . Функцию F(x(t), t) предполагаем аналитической, в частности, разложимой в ряд Тейлора в окрестности точки (x_0,t_0) .

$F(x,t) = F(x_0, t_0)+ \frac{\partial F}{\partial x} \Delta x + \frac{1}{2} \frac{\partial ^2F}{\partial x^2}(\Delta x)^2 + \frac{\partial F}{\partial t} \Delta t + \cdots \qquad (6)$

где, частные производные вычисляются в точке и $\Delta x = x - x_, \Delta t = t - t_0$ .

В виду соотношения * учитываем только бесконечно малые $\Delta x, \Delta t, (\Delta x)^2$ ; остальные имеют порядок малости выше $\Delta t$ . В разложение (6) подставляются приращения случайного процесса $\Delta x$ и $(\Delta x)^2$ , а F(x_0, t_0) переносится в левую часть уравнения. Усредняя левую и правую часть (угловые скобки $\left \langle \right \rangle$ обозначают мат. ожидание) получаем:

$\left \langle \Delta F \right \rangle = \frac{\partial F}{\partial x} (a_0 \Delta t) + \frac{1}{2} \frac{\partial ^2F}{\partial x^2}(b_0^2\Delta t) + \frac{\partial F}{\partial t} \Delta t + \cdots$

В самом деле:

$\langle \Delta x \rangle =a_0 \Delta t + b_0 \langle \varepsilon \rangle \sqrt{\Delta t} = a_0 \Delta t$ - в силу того, что $\langle \varepsilon\rangle = 0$ , второе слагаемое исчезает и остается только $a_0\Delta t$ .

$(\Delta x)^2 = a_0^2\Delta t^2 + 2a_0b_0 \varepsilon \Delta t \sqrt{ \Delta t} + b_0^2 \varepsilon^2 \Delta t \Rightarrow_1 a_0^2\Delta t^2 + b_0^2 \varepsilon^2 \Delta t \Rightarrow_2 a_0^2\Delta t^2 + b_0^2 \varepsilon^2 \Delta t \Rightarrow_3$ $\Rightarrow_3 b_0^2 \langle \varepsilon^2 \rangle \Delta t = b_0 \Delta t$ На первом шаге пропадает удвоенное произведение по причине $\langle \varepsilon \rangle=0$ , на втором шаге понимаем, что слагаемое $a_0^2\Delta t^2$ деленное на $\Delta t$ в пределе дает . Таким образом приращение функции $a_0^2 \Delta t^2$ уходит и остается только $b_0^2 \varepsilon^2 \Delta t$ . Так как $\langle \varepsilon^2 \rangle = 1$ на последнем шаге останется только $b_0^2 \Delta t$ .

Имея математическое ожидание приращения функции F(x(t), t) можно выразить функцию сноса A(x,t) и функцию волатильности B(x,t) следующим образом: $A(x,t) = \frac{\left \langle \Delta F \right \rangle}{\Delta t}$ , а $B(x,t) = \frac{\left \langle \Delta F^2 \right \rangle}{\Delta t}$ . Тогда,

$A(x,t)= \frac {\frac{\partial F}{\partial x} (a_0 \Delta t) + \frac{1}{2} \frac{\partial ^2F}{\partial x^2}(b_0^2\Delta t) + \frac{\partial F}{\partial t} \Delta t} {\Delta t} = \frac{\partial F}{\partial x}a_0 + \frac{b_0^2}{2} \frac{\partial ^2F}{\partial x^2} + \frac{\partial F}{\partial t}$ $B^2(x,t)= \frac {(\frac{\partial F}{\partial x} (a_0 \Delta t) + \frac{1}{2} \frac{\partial ^2F}{\partial x^2}(b_0^2\Delta t) + \frac{\partial F}{\partial t} \Delta t)^2} {\Delta t} = b_0^2(\frac{\partial F}{\partial x}) \Rightarrow B(x,t) = b_0(\frac{\partial F}{\partial x})$

Получив функции сноса A(x,t) и функцию волатильности B(x,t) , дифференциал функции можно записать в виде дифференциального стохастического уравнения, заключением которого является лемма Ито:

$dF = \left(\frac{\partial F}{\partial t} + a(x,t)\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{b^2(x,t)}{2} \frac{\partial ^2F}{\partial x^2}\right)dt + b(x,t)\frac{\partial F}{\partial x} \delta W \qquad (6)$

Логарифмическое блуждание

Как отмечалось ранее, принципиальным для финансовой науки было получение уравнения, одновременно описывающего экспоненциальный рост цены и совмещающего в себе стохастическую составляющую. Поставленная задача решается применением леммы Ито. В формуле (6) функция a(x,t) заменяется на , а функция b(x,t) заменяется на $\sigma x$ ; вместо подставляется $\ln x$ .

$d(\ln x) =\left( \frac{\partial(\ln x)}{\partial t} + rx\frac{\partial(\ln x)}{\partial x} + \frac{(\sigma x)^2}{2} \frac{\partial ^2(\ln x)}{\partial x^2} \right) dt + \sigma x\frac{\partial (\ln x)}{\partial x} \delta W$

Вычислив производные и осуществив необходимые преобразования получим.

$d(\ln x) = \left(0 + rx \frac{1}{x} - \frac{(\sigma x)^2}{2} \frac{1}{x^2} \right)dt + \sigma x\frac{1}{x} \delta W \Rightarrow d(\ln x) = \left(r - \frac{\sigma^2}{2} \right)dt + \sigma \delta W$

Так как при и $\delta W$ стоят константы, данное дифференциальное уравнение можно записать в конечных разностях, затем выразить функцию $\ln x$ , после чего функцию цены актива x(t) получить прибегнув к потенцированию. В итоге приходим к принципиально важному уравнению, которое лежит в основе большинства моделей оценки справедливой стоимости финансовых инструментов.

$x = x_0e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})\Delta t+ \sigma \delta W} \qquad (7)$

В отсутствии стохастической составляющей, т.е. при $\sigma = 0$ уравнение (7) превращается в обычное уравнение размножения и гибели (2) , а при r=0 получим логарифмическое блуждание с нулевым сносом.

Код python

import math as mimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt%matplotlib inlineimport scipy.statsfrom scipy.stats import binomfrom scipy.stats import exponr =0.25sigma = 0.1t = 1/360x0 = 100num_plots = 10Days = 360*8Values = []DAYS = []for i in range (0, Days):    DAYS.append(i)plt.style.use('ggplot')plt.rcParams['lines.linewidth'] = 0.6fig, ax = plt.subplots()fig.set_figwidth(18)fig.set_figheight(9)colormap = plt.cm.gist_ncarfor i in range (0,num_plots):        for i in range (0,Days):                if i == 0:            #Генерация случайного числа            distribution = scipy.stats.norm(loc=0,scale=1)            sample = distribution.rvs(size=1)                        P = x0*np.exp( ((r - (sigma**2/2))*t) + (sigma*sample*np.sqrt(t)))            Values.append(P)                    else:            #Генерация случайного числа            distribution = scipy.stats.norm(loc=0,scale=1)            sample = distribution.rvs(size=1)                        K = Values[-1]*np.exp( ((r - (sigma**2/2))*t) + (sigma*sample*np.sqrt(t)))            Values.append(K)    ax.plot(DAYS, Values)    Values= []

Список использованных источников.

Степанов С.С. "Стохастический мир", 2009 г. 376 с.
Жуленев С.В. "Финансовая математика. Введение в классическую теорию. Часть 2.", 2012 г. 419 с.
Ширяев А.Н. "Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты. Модели", 1998 512 с.

Подробнее..

Категории: Визуализация данных , Python , Физика , Математика , Математическое моделирование , Финансы в it , Финансы , Трейдинг , Броуновское движение , Дифференциальные уравнения , Лемма ито , Стохастические процессы , Логарифмическое блуждание , Деривативы , Справедливая стоимость

Перевод Новый квантовый алгоритм, наконец, нашёл подход к нелинейным уравнениям

02.02.2021 16:10:30 |

Автор: admin

Две команды исследователей нашли разные способы обсчёта нелинейных систем на квантовых компьютерах посредством их маскировки под линейные

Иногда компьютерам просто предсказать будущее. Простой процесс, типа течения сока растения по древесному стволу, довольно просто реализовать в несколько строк кода при помощи того, что математики называют линейными дифференциальными уравнениями. Однако в нелинейных системах взаимодействия влияют сами на себя: воздух, обтекающий крылья самолёта, влияет на взаимодействие молекул, которое влияет на поток воздуха, и так далее. Петля обратной связи порождает хаос, при котором малое изменение начальных условий приводит к радикальному изменению поведения впоследствии, из-за чего предсказать поведение системы практически невозможно какой бы мощный компьютер вы бы ни использовали.

В частности, поэтому сложно предсказывать погоду или изучать сложные течения жидкости, сказал Эндрю Чайлдс, исследователь в области квантовой информации из Мэрилендского университета. Можно было бы решать очень сложные вычислительные задачи, если бы получилось разобраться в этой нелинейной динамике.

Возможно, вскоре это получится. В ноябре 2020 года две команды независимо опубликовали свои исследования (одна под руководством Чайлдса, вторая из MIT), описывающие мощные инструменты, которые должны улучшить качество моделирования нелинейных динамических процессах на квантовых компьютерах.

Квантовые компьютеры пользуются квантовыми явлениями, выполняя некоторые типы вычислений эффективнее классических компьютеров. Благодаря этому они уже научились экспоненциально быстрее решать сложные линейные дифференциальные уравнения. И исследователи давно надеялись, что им удастся при помощи хитроумных квантовых алгоритмов сходным образом укротить и нелинейные проблемы.

Новые подходы скрывают нелинейность уравнений под маской более удобоваримого набора из линейных аппроксимаций. При этом подходы между собой серьёзно различаются. В итоге, у исследователей теперь есть два разных способа подступиться к нелинейным задачам при помощи квантовых компьютеров.

Интересно, что две эти работы обнаружили подход, в котором, с учётом некоторых предположений, можно придумать эффективный алгоритм, сказала Мария Киферова, исследователь квантовых вычислений из Сиднейского технологического университета, не связанная с этими работами. Это очень интересно, и обе команды используют очень клёвые техники.

Цена хаоса

Исследователи квантовой информации пытались использовать линейные уравнения для решения НДУ уже более десяти лет. Один из прорывов случился в 2010-м, когда Доминик Берри, ныне работающий в Сиднейском университете Макуэри, создал первый алгоритм для решения линейных дифференциальных уравнений, работающий на квантовых компьютерах экспоненциально быстрее, чем на классических. Вскоре Бери переключился на нелинейные дифференциальные уравнения.

Мы работали с этим раньше, сказал Берри. Но это был очень, очень неэффективный подход.

Эндрю Чайлдс

Проблема в том, что физическая основа самих квантовых компьютеров фундаментально линейная. Это всё равно, что учить машину летать, сказал Бобак Киани, соавтор исследования из MIT.

Хитрость в том, чтобы придумать, как математически превратить нелинейную систему в линейную. Нам нужна какая-то линейная система, поскольку с ней смогут работать те инструменты, которые есть в нашем распоряжении, сказал Чайлдс. Группы учёных подошли к этому вопросу двумя разными способами.

Команда Чайлдса использовала линеаризацию Карлемана, старомодную математическую технику, придуманную в 1930-х, чтобы превратить нелинейные задачи в массив из линейных уравнений.

К сожалению, такой список уравнений получается бесконечным. Исследователям нужно понять, в каком месте его можно отрезать, чтобы получить достаточно хорошее приближение. Остановиться на 10-м уравнении? 20-м? сказал Нуно Лурейро, специалист по физике плазмы из MIT, соавтор исследования из Мэрилендского университета. Команда доказала, что для определённого диапазона нелинейности этот метод позволяет обрезать бесконечный список и решить уравнения.

Команда из MIT использовала другой подход. Она моделировала нелинейные задачи как конденсат Бозе-Эйнштейна. Это особое состояние материи, в котором взаимодействия в группе чрезвычайно охлаждённых частиц заставляют все частицы вести себя одинаково. Поскольку все частицы связаны, поведение каждой из них влияет на все остальные, что вносит свой вклад в петлю обратной связи, характерную для нелинейных процессов.

Алгоритм из MIT имитирует это нелинейное явление на квантовом компьютере при помощи математики, предназначенной для конденсата Бозе-Эйнштейна, чтобы связать нелинейность с линейностью. Представляя каждую нелинейную задачу в виде обсчёта конденсата, специально подготовленного для каждого конкретного случая, алгоритм выводит полезную линейную аппроксимацию. Дайте мне ваше любимое нелинейное дифференциальное уравнение, и я построю для его симуляции конденсат Бозе-Эйнштейна, сказал Тобиас Осборн, специалист по квантовой информации из института им. Лейбница в Ганновере, не участвовавший в упомянутых работах. Эта идея мне очень понравилась.

Алгоритм команды из MIT моделировал каждую нелинейную задачу как конденсат Бозе-Эйнштейна

Берри считает, что обе работы важны, причём каждая по-своему (он не участвовал ни в одной). Но главная их важность они показали, что этими методами можно воспользоваться, чтобы получить нелинейное поведение, сказал он.

Знай свои пределы

Хотя эти шаги важны, это всё же лишь первые этапы попыток взлома нелинейных систем. Исследователи наверняка будут анализировать и улучшать каждый из методов, ещё до того, как появятся реальные квантовые компьютеры, способные реализовать эти алгоритмы. Оба алгоритма нацелены на будущее, сказала Киферова. Чтобы использовать их для решения практических нелинейных задач, потребуются квантовые компьютеры с тысячами кубитов, минимизирующих ошибки и шум. Такие компьютеры находятся далеко за пределами наших сегодняшних возможностей.

И, честно говоря, оба алгоритма способны работать только с не очень сложными нелинейными задачами. Мэрилендское исследование количественно определяет максимальную нелинейность при помощи параметра R. Это отношение нелинейности задачи к её линейности, то есть, степень склонности к хаотичности.

Математически исследование Чайлдса весьма строгое. Он чётко заявляет, когда его подход сработает, а когда нет, сказал Осборн. Думаю, это очень, очень интересно. Это один из важных вкладов в тему.

В исследовании от MIT не приводится строгих доказательств теорем, как говорит Киани. Однако команда планирует определить ограничения алгоритма, проведя простые испытания на квантовых компьютерах, перед тем, как переходить к более сложным проблемам.

Самым большим недостатком обеих техник служит то, что квантовые решения фундаментально отличаются от классических. Квантовые состояния соответствуют вероятностям, а не абсолютным величинам, поэтому, например, вместо визуализации потока воздуха рядом с каждым сегментом фюзеляжа самолёта, вы получаете средние скорости, или находите участки неподвижного воздуха. Из-за квантового выхода алгоритмов нужно ещё проделать много всяких операций, чтобы состояние системы можно было анализировать, сказал Киани.

Осборн говорит, что важно не преувеличивать возможности квантовых компьютеров. Однако в следующие 5-10 лет исследователи обязательно будут проверять множество подобных успешных квантовых алгоритмов. Мы будем пробовать всякое, сказал он. А если всё время думать об ограничениях, это может ограничить наше творчество.

Подробнее..

Категории: Научно-популярное , Физика , Квантовые технологии , Квантовые компьютеры , Хаос , Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения и продление жизни

08.06.2021 00:14:55 |

Автор: admin

188. Гектора ж, в бегстве преследуя, гнал Ахиллес непрестанно.Словно как пёс по горам молодого гонит оленя.<>199. Словно во сне человек изловить человека не может,Сей убежать, а другой уловить напрягается тщетно, Так и герои, ни сей не догонит, ни тот не уходит.

Задача 1. Ахиллес и Смерть

В некоей альтернативной вселенной герою по имени Ахиллес предрекли, что жить ему осталось ровно m лет. Но мать Ахиллеса благодаря своему волшебству (она ж нимфа по легенде), продлевает ему жизнь таким образом, что каждые k (k > 1) лет продолжительность жизни увеличивается на 1 год. Сколько Ахиллес проживет в итоге, если считать, что увеличение происходит непрерывно?

Пусть x - это сколько осталось жить нашему герою. Ахиллес проживает первые m лет, но за эти годы получает $\frac{m}{k}$ лет прибавки к ПЖ. Он проживает эти $\frac{m}{k}$ лет, но за это время получает еще $\frac{m}{k^2}$ лет (прибавку разделить на k). И так далее, до бесконечности и можно подумать, что герой никогда не умрет. Но это не так: Смерть все таки догонит Ахиллеса, потому что все эти прибавки образуют бесконечную геометрическую прогрессию:

$x = m + \frac{m}{k} + \frac{m}{k^2} + \frac{m}{k^3} + ... = m(1 + \frac{1}{k} + \frac{1}{k^2} + \frac{1}{k^3}+ ... )$

И тут стоит обратить внимание на условие: k > 1 из чего следует, что $\frac{1}{k}<1$ а это значит, что геометрическая прогрессия бесконечно убывающая. А бесконечно убывающая геометрическая прогрессия сходится к конечному значению:

$x = \frac{m}{1 - \frac{1}{k}} = \frac{mk}{k-1}$ вывод формулы суммы бесконечной геометрической прогрессии

Пусть у нас есть вот такая сумма:

$S = 1 + q + q^2 + ... + q^{n-1}$

И тут кому-то пришла в голову гениальная мысль: "а что если обе части равенства умножить на q?". Так чего же мы ждем! Умножаем:

$qS = q + q^2 +q^3+ ... + q^{n}$

А теперь вычтем из первого второе и получим красивую формулу для суммы:

$S(1-q) = 1 - q^n => S = \frac{1-q^n}{1-q}$

Если q < 1, то при n стремящемся к бесконечности очевидно получаем:

$S = \frac{1}{1 - q}$

Так как q^n стремится к нулю

В период с 2000 по 2019 год ожидаемая продолжительность жизни голландских мужчин, например, увеличилась с 75.5 до 80.5 лет (то есть примерно на год каждые четыре года), что согласуется с данными по Европе в среднем. Таким образом, если человеку на текущий момент осталось жить 40 лет, а ожидаемая ПЖ увеличивается на год каждые четыре года, то имеем:

$x = \frac{40 * 4}{4-1} \approx 53.3$

то есть мужчина-европеец в возрасте примерно 38 лет может прожить не 40 лет в среднем, а примерно на 13 лет дольше из-за прогресса в медицине (конечно, данные расчеты много чего не учитывают, нельзя их воспринимать как надежные предсказания).

А вот если k <= 1, то имеем уже бесконечность и это и есть та самая пресловутая longevity escape velocity о которой много говорит знаменитый борец со старением Обри Ди Грей. То есть Смерть никогда не догонит Ахиллеса.

А теперь давайте посмотрим насколько эта же задаче легче и логичнее решается при помощи дифференциальных уравнений:

$dx = -dt + \frac{dt}{k}$

dx - это насколько изменилось количество оставшихся лет до смерти за период dt. В отсутствии медицинского прогресса dx просто уменьшается на величину dt (логично, черт возьми). А прогресс добавляет определенное количество лет, такое что оно равно 1, если dt=k годам. Решается это уравнение тоже элементарно:

$\int{dx} = \int{\frac{dt}{k}} - \int{dt} => x(t) = \frac{t}{k} - t + C => x(t) = \frac{t(1-k)}{k} + C$

Совершенно очевидно, что x(0) = m, откуда C = m. А теперь подставим это в уравнение выше и выразим время t через которое Ахиллес помрет (x(t) = 0):

$\frac{t(k-1)}{k} = m => t = \frac{mk}{k-1}$

Получилось просто и красиво, более того, есть задачи на которые можно дать ответ только с помощью дифференциальных уравнений. Например, если k зависит от времени. Давайте помечтаем немного и представим, что в какой-то момент времени наука развилась до такого уровня, что требуется все меньше и меньше времени для продления ожидаемой ПЖ на год, то есть k уменьшается со временем.

Пусть, например, k уменьшается по экспоненте с периодом полураспада в n лет. И давайте попробуем ответить на такой вопрос: какой должен быть минимальный m, чтобы человек мог достигнуть longevity escape velocity при таком k(t)?

Чтобы ответить на данный вопрос давайте составим дифференциальное уравнение:

$dx = -dt + \frac{dt}{k_0e^{-bt}}=-dt + \frac{e^{bt}dt}{k_0}(1)$ Надо, пожалуй, пояснить откуда взялось b в экспоненте и чему равняется

Мы определили k(t) = k0*exp(-bt). Так как через n лет значение k(t) должно быть вдвое меньше, то имеем

$\frac{k_0e^{-bt_0}}{k_0e^{-b(t_0+n)}} = 2 => e^{-bt_0 + bt_0 + bn} = 2 => e^{bn} = 2$

откуда:

$bn = ln(2) => b = \frac{ln(2)}{n}$

Интегрируем уравнение и получаем:

$x(t) = -t + \frac{e^{bt}}{bk_0} + C$

Чтобы определить C, воспользуемся начальным условием: x(0)=m:

$x(0) = \frac{1}{bk_0} + C => m = \frac{1}{bk_0} + C => C = m - \frac{1}{bk_0}$

Получаем следующую запись функции дожития:

$x(t) = -t + \frac{e^{bt}}{bk_0} + m - \frac{1}{bk_0}$

Давайте взглянем на ее график:

Функция x(t) имеет минимум и нам нужно, чтобы этот минимум был выше оси абсцисс (фиолетовая кривая)

Наша функция дожития имеет минимум и все, что нам нужно, это найти значение минимума как функции от m и найти значение m при котором этот минимум больше нуля. Как мы помним еще со школы, для того, чтобы найти минимум функции надо сначала найти ее производную и приравнять к нулю. Причем производную-то мы уже знаем из уравнения (1):

$dx =-dt + \frac{e^{bt}dt}{k_0} => x'(t) = \frac{e^{bt}}{k_0} - 1 => t_{min} = \frac{ln(k_0)}{b}$

Мы точно знаем, что это минимум, потому что вторая производная $x''(t) = \frac{be^{bt}}{k_0}$ положительна на всей области определения, а значит функция выпукла вниз и, следовательно, найденный экстремум является минимумом.

Теперь необходимо найти $x(t_{min})$ :

$x(t_{min}) = -\frac{ln(k_0)}{b} + \frac{e^{b\frac{ln(k_0)}{b}}}{bk_0} + m - \frac{1}{bk_0}=-\frac{ln(k_0)}{b} + \frac{1}{b} + m - \frac{1}{bk_0}$

А отсюда уже выразим ограничение для m:

$m > \frac{ln(k_0)}{b} - \frac{1}{b} + \frac{1}{bk_0} = \frac{k_0ln(k_0)-k_0 +1}{bk_0} = \frac{n(k_0(ln(k_0)-1) +1)}{k_0ln(2)}$

При n=10 и k_0=4 необходимо иметь в запасе примерно 9.2 года ожидаемой продолжительности жизни, чтобы достичь longevity escape velocity, то есть быть, например, мужчиной моложе 79 лет. Каждый может прикинуть свои шансы на достижение longevity escape velocity исходя из своего возраста. Но возможно ли в принципе бессмертие? Есть ли какие-то фундаментальные математические (не физические) ограничения? Об этом я расскажу в следующей статье, а пока давайте поговорим о более практических вещах.

Задача 2. Плазмаферез

Конечно, медицинская наука еще очень далека от достижения LEV (а может быть этого и вовсе никогда не случится), однако попытки отсрочить старение ведутся уже сейчас. Одной из самых интересных интервенций, возможно, способной немного продлить молодость и продолжительность жизни является терапевтическое разбавление плазмы. Известные геронтологи супруги Конбои продемонстрировали, что если мышкам заменить половину плазмы на физраствор с альбумином, то у них существенно улучшаются многие показатели жизнедеятельности. Предполагается, что это происходит за счет удаления из организма токсичных продуктов, которые образуются из-за старения организма. Более подробно все описано, например, тут. Более того, некоторые отчаянные биохакеры даже пробуют этот метод на себе и замечают улучшение ряда биомаркеров. Конечно, пройдет еще немало времени прежде чем установят эффективность (или неэффективность) этого метода на людях, но мы тем не менее постараемся ответить на вполне конкретный вопрос: а сколько раз нам необходимо сдать плазму, чтобы заменить половину, если за один раз забирается v мл?

$x = 1 - \frac{v}{V}$ $x = (1 - \frac{v}{V})^k$

Поскольку нам надо найти такой k при котором обновится половина плазмы, то приравняем правую часть уравнения выше к 1/2, прологарифмируем обе части равенства и воспользуемся свойствами логарифма, чтобы получить формулу для k:

$\frac{1}{2} = (1 - \frac{v}{V})^k => -ln(2) = kln(1-\frac{v}{V}) => k = \frac{-ln(2)}{ln(1 - \frac{v}{V})}$

Удельный объем плазмы взрослого мужчины составляет, в среднем, 46.7 мл/кг. Возьмем к примеру мужчину массой 80 кг и v=450 мл (стандартный объем плазмы при донорстве):

$k=\frac{-ln(2)}{ln(1 - \frac{450}{46.7*80})} \approx 5.4$

То есть взрослому сорокалетнему мужчине массой 80 кг необходимо за короткий срок 6 раз пожертвовать плазму, чтобы ее обновить чуть более чем наполовину.

Пусть X(t) - доля старой плазмы в момент времени t. Пусть скорость вытекания плазмы равна r мл/мин. Чему же будет равна концентрация старой плазмы в момент времени t + dt? А концентрация равна:

$X(t + dt) = \frac{X(t)V - X(t)rdt}{V}$

Давайте разберем каждое составляющее этого равенства:

X(t)V: концентрация старой плазмы помноженная на общий объем - очевидно это объем старой плазмы во всем организме в момент t

X(t)rdt: это объем старой плазмы, который вытечет за время dt (rdt - это скорость истечения, помноженная на время, что соответствует объему, а X(t) - это доля старой плазмы в этом объеме).

Затем мы делим получившийся объем старой плазмы на общий объем (который остается неизменным, потому что физраствор втекает с той же скоростью) и получим концентрацию. А теперь узнаем чему равно изменение концентрации (разница между концентрацией в моменты времени t+dt и t):

$X(t + dt) = X(t) - \frac{X(t)}{V}rdt => X(t + dt) - X(t) = - \frac{X(t)}{V}rdt => dX = -\frac{X(t)}{V}rdt$

Разделяем переменные и решаем это дифференциальное уравнение:

$\frac{dX}{X} = -\frac{rdt}{V} =>ln|X(t)| = -\frac{rt}{V}+C_1$

Отсюда:

$X(t) = Ce^{-\frac{rt}{V}}$

Мы знаем, что вначале концентрация старой плазмы равнялась 1:
X(0) = 1 => C = 1

Поэтому $X(t) = e^{\frac{-rt}{V}}$ , а теперь найдем время, за которое обновится половина плазмы:

$\frac{1}{2} = e^{\frac{-rt_{1/2}}{V}} => -ln(2) = -\frac{rt_{1/2}}{V} => t_{1/2} = \frac{Vln(2)}{r}$

На практике это означает примерно 259 минут (4 с лишним часа!), если руководствоваться средней скоростью 10 мл/мин (обычно забирают 450 мл плазмы и уходит на это примерно 45 минут):

$t_{1/2} = \frac{46.7*80*ln(2)}{10} \approx 259$

Конечно, это время абсолютно неприемлемо, однако процедуру можно существенно ускорить. Например, в этой статье описан метод, который позволяет изымать плазму со скоростью 24 мл/мин, что позволяет заменить половину плазмы за 108 минут. Весьма неплохо! Однако неизвестно выдержит ли организм замену половины плазмы за один раз :) Но это уже выходит за рамки математики, оставим этот вопрос врачам. Тем более, что различные клинические исследования по влиянию плазмафереза на старение людей уже начались.

Подробнее..

Категории: Биотехнологии , Математика , Жизнь , Дифференциальные уравнения , Старение , Геометрическая прогрессия , Переливание крови

	Русский
	English

Дифференциальные уравнения

Лемма Ито

Уравнение цены

Броуновское движение

Лемма Ито

Перевод Новый квантовый алгоритм, наконец, нашёл подход к нелинейным уравнениям

Две команды исследователей нашли разные способы обсчёта нелинейных систем на квантовых компьютерах посредством их маскировки под линейные

Цена хаоса

Знай свои пределы

Дифференциальные уравнения и продление жизни

Задача 1. Ахиллес и Смерть

Задача 2. Плазмаферез

Категории

Последние комментарии