В американском футболе атакующей команде дается 4 попытки, чтобы пройти 10 ярдов и тогда команда имеет право продолжить атаковать (владеть мячом). И очень часто, перед розыгрышем 4-ой попытки, тренерам приходится решать - попытаться добрать оставшееся до минимальных 10 ярдов с риском не дойти и отдать сопернику мяч в текущей точке поля, либо сразу пробить ногой по мячу, запнув мяч подальше, обезопасив так себя в защите. Чтобы облегчить принятие этого решения и повысить его эффективность в этой статье мы построим байесовскую модель.
Необходимаяподготовка:базовыезнаниятеоремыБайсаиуверенныезнанияправилитерминологииамериканскогофутбола.
Термины американского футбола из статьиПравила американского футбола (видео)
-
Попытка - базовый розыгрыш, начинается по команде квотербека, заканчивается через несколько секунд после остановки игрока с мячом.
-
Тачдаун - ситуация, когда атакующая команда донесла мяч до зачетки соперника - противоположного края поля.
-
Пант - пробитие по мячу ногой с целью отвести мяч как можно дальше от своей зачетки.
-
Владение - в американском футболе на поле одновременно владеть мячом может только одна команда. Владением называется время, когда команда владеет мячом и пытается набрать очки.
-
Пик-сикс - результативное действие в защите. Когда удается в защите перехватить мяч и занести тачдаун.
-
Линия скриммиджа - текущее положение мяча перед попыткой.
Задача
Выбратьбитьпантилиигратьна4-ой попыткевситуации"4иjярдов"напозицииполявiярдовотсвоейзачетки.
События
Изпостановкизадачиследует,чтомыдолжнырассматриватьдвавладения(своеготекущегоиследующегозатекущим,котороеполучаетсоперник).Завремяэтихдвухвладенийможетпроизойти4события,полностьюописывающиезначимыеивозможныерасклады(можетпроизойтинесколькособытий):
-
еслииграем4-уюпопытку:
-
A:нашакомандазанесеттачдаунпоитогамдвухвладений
-
B:нашакомандапропуститтачдаунпоитогамдвухвладений(включаяответныйтачдауннанашзанесенный)
-
-
еслибьемпант:
-
C:нашакомандапропуститтачдаунпоитогамдвухвладений
-
D:нашакомандазанесеттачдаунпоитогамдвухвладений(пик-сикс)
-
Решение
Общаяидея
Такимобразом,задачасводитсяксравнениючетырехвероятностей:
-
P(A):вероятностизанестипрямойтачдаунпривыборесыграть4-уюпопытку,
-
P(B):вероятностипропуститьтачдаунпривыборесыграть4-уюпопытку,
-
P(C):вероятностипропуститьтачдаунпривыборепанта,
-
P(D):вероятностизанеститачдаунпривыборепанта.
Ивыбор,играть4-уюпопыткуилинетсводитсякрешениюнеравенства:
События,которыевлияютнавероятностивлевойчастинеравенства,являются:занесенныйипропущенныетачдауныпоитогамдвухвладений,атакженабранныйпервыйдаунпоитогамрозыгрыша4-ойпопытки.
Этисобытиястатистическизависимы,будемиспользоватьформулуБайеса.Задачаможетбытьописанаивтерминахобычнойтеориивероятности(идажесведетсякней),нодлятого,чтобыпоказатьполнотузависимостейвероятностей,будемиспользоватьтеоремуБайеса.
Событиямивправойчастинеравенстваявляютсяпропущенныйтачдаунизанесенныйтачдаунпоитогамдвухвладений,атакжеколичествоярдов,накотороенашакомандаотодвинетсоперникаприпанте.Последнеесобытие(ярды,накоторыебудетотодвинуталинияскриммиджапослепанта)мыпримемзаконстантуивозьмемсреднеезначениеизстатистики.Такимобразом,этисобытиястатистическинезависимы,поэтомубудемиспользоватьздесьобычныебезусловныевероятности.
Розыгрыш4-ойпопытки
Вероятностьзанеститачдаунприрешениииграть4-уюпопытку,илиP(A),зависитоттого,будетлиуспешной4-аяпопытка.Атакжезависитоттого,какуспешнонашакомандареализуетситуациюпервогодауна,наконкретномучасткеполя,втачдаун.Этивероятностиполностьюописываютвсевозможныеисходы,исамоеудобное,могутбытьвзятыизнакопленной(длясобственнойкоманды)статистики:
-
P(X):статистическаявероятностьпройтиjярдовзаоднупопытку,
-
P(A|X):статистическаявероятностьзанеститачдаунсi-тогоярдаполя(изситуации1-10).
Здесьмыпренебрегаемвозможныминабраннымиярдамина4-ойпопыткеидляпростотыпринимаемiкактекущуюотметкувторогомаркера.
ПереходяктерминамтеоремыБайесамыполагаемP(A|X)апостериорнойвероятностьюприусловиисобытияX,аP(A)полагаемискомуюаприорнуювероятность.
ТакимобразомбазоваяформулатеоремыБайеса:
гдеP(X|A)-этовероятностьреализовать4-уюпопыткуприусловии,чтонашакомандазанесеттачдаун,аэто,согласноздравомусмыслу,равноединице.Такимобразом,нашаискомаяаприорнаявероятность:
ВитогеP(A)мысчитаемпростымперемножениемвероятностипройтиjярдовнавероятностьзанестисi-тогоярдаизситуации1-10.Обевероятностиберемизстатистики.
Вероятностьпропуститьтачдаунприрешениииграть4-уюпопытку,илиP(B),-этосуммадвухаприорныхвероятностей:
-
P(Y):вероятностипропуститьтачдаунпринеудачномрозыгрыше4-ойпопытки(сместаеёрозыгрыша,изситуации1-10дляатакисоперника).Причемвероятностьнеудачногорозыгрыша4-ойпопыткиравен1-X.
-
P(Z):вероятностипропуститьтачдаунвслучаеудачногорозыгрыша4-ойпопытки,например,присменевладениянаследующихдрайвахидажепосленашеготачдаунавответномвладениисвозвратаначальногоудара.
Этидвевероятностиаприорные,тоестьмыдолжныучестьвероятностьудачногорозыгрыша4-ойпопытки.Тоестьвслучаенеудачногорозыгрыша4-ойпопытки:
ивслучаеудачногорозыгрыша4-ойпопытки:
Дляупрощения,примемзаP(Z|X)простуюстатистическуювероятностьпропуститьтачдаунпослепробитияначальногоудара.Ещенемногоупрощаямыможемсвестивероятностьпропуститьпосленачальногоудараквероятностипропуститьс30+kярдов,тоестьсместа,кудамывсреднемотдвигаемпантомсместапробитияначальногоудара.
Этивероятностиполностьюописываютвсевозможныеисходы,исамоеудобное,могутбытьвзятыизнакопленной(длясобственнойкоманды)статистики.
Такимобразом,опятьжеиспользуютеоремуБайеса:
Аобщийущерб(мыведьнаходимсяужевуязвимойситуацииприигре4-ойпопыткиисчитаем,вкакомслучаеущерббудетменьшим)отрешенияиграть4-уюпопытку:
Смыслвыражениясводитсякподсчетуразницывероятныхтачдауновзадвавладения.
Пант
Прирозыгрышепантамыфактическиотказываемсяотсвоейпопытки(издвухрассматриваемыхнами)иподсчетсводитсяквероятномуущербуприигренашейкомандывзащите.
Дляэтогонамнужнознатьоткудасоперникначнетсвоевладенияивероятностьпропуститьтачдаун.Дляупрощениявероятностьзанеститачдаунпривладениисоперника(пик-сикс)будемсчитатьравнонулю.ТакимобразомP(D)=0.
Альтернативноможновзятьэтозначениеизстатистики
Дляупрощениямыбудемсчитать,чтонашакомандаприпантеотодвигаетсоперниканаодноитоже,среднеерасстояние.Итак,изнакопленнойстатистикимыберем:
-
k:среднееколичествоярдов,накотороенашакомандаотодвигаетсоперникапробитиемпантасучетомвозврата,
-
P(С):статистическаявероятностьпропуститьтачдаунсi+kярдаполя(изситуации1-10).
Стоитобратитьвнимание,чтоP(С)беретсядляi+kярда,тоестьдлятекущейпозициинаполеплюссреднееколичествоярдовпослепанта.
Итог
Дляпринятиярешенияотом,стоитлииграть4-уюпопыткуилипробиватьпантнадосравнитьвозможныйущерб(сучетомивозможнойпользы)отпервогорешенияивозможныйущерботвторого.Причем,вседанныемыможемвзятьизнакопленнойстатистики.Ктомужевнимательныйчитательзаметит,чтоP(Y|(1-X)),P(Z|X)иP(C)сутьодноитоже,толькоберутсядляразныхiилипозицийнаполе.
Таким образом, имея статистику розыгрышей собственной команды и указав текущее положение команды на поле перед 4-ой попыткой (количество ярдов до первого дауна и положение линии скриммиджа) можно оценить шансы и выбрать наиболее эффективный исход.
Для демонстрации идеи я написал скрипт в jupiter notebook, где можно поиграться с показателями и положением на поле, плюс графики, показывающие распределение шансов в случае панта или игры 4-ой попытки.
Надеюсь, тема не настолько ультра узкая, чтобы вообще никому не была полезной. Но для себя было интересно поупражняться в практическом, до почвенного уровня, применении Байесовских моделей. Если где-то ошибся - пишите, внесу изменения или дополнения в статью.
Копирайт на обложкуКартинка обложки взята здесь: Design вектор создан(а) freepik - ru.freepik.com