Математические модели

Математическая модель столкновения чёрных дыр работает даже в тех случаях, когда, по идее, работать не должна. Пока астрономы используют эту модель для поиска новых классов скрытых чёрных дыр, другие задаются вопросом: почему же всё-таки эта модель работает? Если рассматривать отдельную чёрную дыру как единую точку без горизонта событий, проявляются невидимые ранее столкновения чёрных дыр.

---

В прошлом году Скотт Филд и Гаурав Ханна попробовали создать то, что не должно было работать. То, что они сделали, действительно работает на удивление хорошо, и это вызывает ряд вопросов у научного сообщества.

Филд и Ханна исследователи, пытающиеся понять, как должны выглядеть столкновения чёрных дыр. Эти бурные события порождают не вспышки света, а слабые колебания гравитационных волн дрожь пространственно-временного континуума. Наблюдение за чёрными дырами не такая простая вещь, как может показаться. Просто сидеть и ждать, когда пространство, как колокол, зазвонит, не получится. Чтобы обнаружить такие сигналы, исследователи должны постоянно сравнивать данные с детекторов гравитационных волн с результатами различных математических моделей расчётов, выявляющих потенциальные признаки столкновения чёрных дыр. Без надёжных моделей астрономы не знали бы, что и где искать.

Проблема заключается в том, что наиболее достоверные модели построены на базе принципов общей теории относительности Эйнштейна, описываемой десятью взаимосвязанными уравнениями, которые, как известно, решить необычайно трудно. Чтобы наблюдать и фиксировать сложные взаимодействия между сталкивающимися чёрными дырами, одного набора письменных принадлежностей недостаточно. Первые так называемые численные методы решения уравнений общей теории относительности Эйнштейна для случая столкновения чёрных дыр были получены только в 2005 году через несколько десятилетий безуспешных попыток. Для этого потребовался суперкомпьютер, работающий без перерыва в течение двух месяцев.

Обсерватория гравитационных волн, подобная LIGO, должна иметь в распоряжении большое количество численных решений, на которые можно опираться. В идеальном мире физики могли бы просто запустить модель для всех возможных вариантов столкновения чёрная дыра с определёнными массой и спином сталкивается с другой с другой чёрной дырой со своими массой и спином и сравнить эти результаты с тем, что видит детектор. Но расчёты занимают уйму времени. Дайте мне достаточно мощный компьютер и достаточное количество времени, и я смогу смоделировать для вас всё что угодно, утверждает Скотт Хьюз, физик из Массачусетского технологического института. Но на практике "достаточным" количеством времени оказывается совершенно невообразимое время недели или даже месяцы вычислений на суперкомпьютере. А если чёрные дыры имеют сложные формы? Вычисления займут такое колоссальное количество времени, что учёные просто опускают руки и объявляют такую задачу практически невыполнимой. Именно по этой причине физики фактически не в состоянии смоделировать столкновения чёрных дыр с соотношением масс более 10 к 1.

В новой работе Филда и Ханны утверждается, что это не так, и именно поэтому эта работа так интересна. Филд, математик из Массачусетского университета в г. Дартмуте, и Ханна, физик из Университета Род-Айленда, сделали допущение, кардинально упрощающее вычислительную задачу: они рассматривают меньшую по размерам чёрную дыру как "частицу пренебрежимо малых размеров ", нечто вроде пылинки. Это объект, имеющий массу, но нулевого радиуса и без горизонта событий.

Скотт Филд (слева) и Гаурав Ханна не ожидали, что их допущение будет работать для чёрных дыр с сопоставимыми массами

"Представьте себе два судна в океанских просторах: одно вёсельная лодка, другое круизный лайнер, объясняет Филд. Очевидно, что вёсельная лодка не в состоянии повлиять на траекторию круизного лайнера. Мы предполагаем, что маленькое судно вёсельная лодка в этом взаимодействии может быть полностью проигнорировано".

Учёные полагали, что модель будет нормально работать, если соотношение масс большей и меньшей чёрных дыр будет такого же порядка, что и соотношение масс вёсельной лодки и круизного лайнера. "Если соотношение масс будет порядка 10000 к 1, мы совершенно спокойно можем сделать такое допущение", утверждает Ханна.

Однако в исследовании, опубликованном в прошлом году, Филд, аспирант Нур Рифат и физик из Корнелла Виджай Варма решили проверить эту модель для соотношения масс вплоть до 3 к 1. Числитель этого соотношения настолько мал, что никто и никогда даже не брался моделировать такие случаи, так как все считали эту вычислительную задачу безнадёжной с точки зрения временных затрат. Но исследователи с удивлением выяснили, что даже при таком соотношении их модель согласуется с результатами, полученными при решении полного набора уравнений Эйнштейна, с точностью примерно до 1 % это поразительный уровень точности.

Я тогда обратил внимание на эту работу, вспоминает Хьюз. Результаты, полученные для отношения масс 3 к 1, были "просто невероятными".

"Получен важный результат", говорит Нильс Варбуртон, физик из Университетского колледжа Дублина, не принимавший участия в исследовании.

Убедительная работа модели Филда и Ханны при соотношении масс 3 к 1 даёт исследователям гораздо больше уверенности в правильности её работы для соотношений масс 10 к 1 и выше. Есть надежда, что эта или подобная ей модель сможет сделать то, что не могут сделать численные методы решения уравнений Эйнштейна, а это позволит исследователям приступить к более глубокому изучению той части Вселенной, которая до сих пор оставалась "чёрным ящиком".

Как найти чёрную дыру

После столкновения чёрных дыр эти массивные тела создают возмущения, искажающие пространственно-временной континуум, гравитационные волны, распространяющиеся по Вселенной. Некоторые из таких гравитационных волн, в принципе, могут достигать Земли, и тогда их можно будет уловить в обсерваториях LIGO и Virgo. Огромные L-образные детекторы могут улавливать невообразимо малые (на четыре порядка меньше, чем ширина протона!) растяжения или сжатия пространственно-временного континуума, создаваемые такими волнами.

Детектор LIGO в г. Хэнфорде, штат Вашингтон, имеет две длинные стрелы, расположенные под прямым углом. Лазеры внутри каждой стрелы измеряют относительную разницу длин каждой из стрел при прохождении гравитационной волны

Разработчики этих обсерваторий приложили огромные усилия для подавления паразитных шумов, но, если сигнал, который собираешься уловить, чрезвычайно слаб, от шума избавиться очень и очень не просто.

Первая задача при обнаружении гравитационных волн попытаться выделить из этого шума слабый сигнал. Филд сравнивает этот процесс с "ездой на автомобиле с неисправным глушителем и сплошными помехами при прослушивании радио, и при этом вы надеетесь в этом адски шумном окружении поймать на волне какую-то мелодию".

Астрономы принимают входящий поток данных и сначала задают себе вопрос, согласуются ли какие-либо из этих данных с ранее смоделированной формой гравитационной волны. Они могут проводить предварительное сравнение с десятками тысяч сигналов, хранящихся в "банке шаблонов". Но точные характеристики чёрной дыры на основе этой процедуры определить нельзя. На этом этапе исследователи просто пытаются выяснить, "звучит ли по радио какая-то песня".

Следующий шаг, по аналогии, это определение названия песни, её исполнителя и играющих инструментов. Исследователи провели десятки миллионов моделирований, чтобы можно было сравнивать наблюдаемый сигнал, или форму волны, с сигналами, производимыми чёрными дырами с различными массой и спином. Именно на этом этапе исследователи могут узнать действительно важные сведения. Частота гравитационной волны свидетельствует об общей массе системы. То, как эта частота меняется со временем, позволяет определить соотношение масс, а значит, и массы отдельных чёрных дыр. По темпу изменения частоты можно судить о том, вращается ли чёрная дыра. Наконец, по амплитуде (или высоте) обнаруженной волны исследователи могут сделать заключение, насколько далеко система находится от Земли.

Гравитационные волны, возникающие вследствие столкновения чёрных дыр, практически одновременно поступают на детекторы LIGO в Вашингтоне (оранжевый) и Луизиане (синий), а также на детектор Virgo в Италии

Если нужно выполнить десятки миллионов моделирований, хотелось бы, чтобы каждое такое моделирование выполнялось как можно быстрее. "Чтобы выполнить эту задачу за одни сутки, каждое моделирование должно занимать примерно миллисекунду", рассказывает Рори Смит, астроном из Университета Монаша и участник совместного проекта в LIGO. Однако время, необходимое для прогона всего одного численного метода решения уравнений общей теории относительности (того, который без ошибок смоделирует все уравнения Эйнштейна), измеряется днями, неделями или даже месяцами.

Для ускорения процесса исследователи обычно начинают с анализа результатов полного моделирования на суперкомпьютере таких моделирований к настоящему времени было проведено несколько тысяч. Затем, чтобы интерполировать данные, применяются стратегии машинного обучения. "Заполняются пробелы и создаётся полное пространство возможных результатов моделирования", рассказывает Смит.

Такое "суррогатное моделирование", возможно, и будет нормально работать, но только до тех пор, пока интерполированные данные не отклоняются слишком сильно от результатов базового моделирования. Однако моделировать столкновения объектов с большим соотношением масс невероятно сложно. "Чем больше соотношение масс, тем медленнее развивается система из двух чёрных дыр, поясняет Уорбертон. По его словам, чтобы рассчитать систему с малым отношением масс, необходимо изучить от 20 до 40 орбит. "Для соотношения масс 1000 нужно изучить 1000 орбит, а это займёт слишком много времени порядка нескольких лет. Это делает задачу практически невыполнимой, даже если в вашем распоряжении имеется суперкомпьютер, говорит Филд. Если в этом направлении не будет революционного прорыва, решить задачу в ближайшем будущем не представляется возможным".

По этой причине большинство суррогатных моделей работают с соотношениями масс от 1 до 4 и почти все менее 10. В 2019 году LIGO и Virgo смогли обнаружить столкновение чёрных дыр с соотношением масс 9, и это было колоссальным успехом, так как вся аппаратура работала на пределе чувствительности. Других событий, подобных этому, обнаружено не было, так как, по словам Ханны, у них нет надёжных моделей для суперкомпьютеров для соотношений масс выше 10. Мы не занимались поиском, так как у нас нет шаблонов", говорит Ханна.

Визуализация слияния чёрных дыр с соотношением масс 9,2 к 1. Видео начинается примерно за 10 секунд до столкновения. Слева показан полный спектр гравитационного излучения, окрашенный в соответствии с уровнем сигнала: синий цвет слабый сигнал, оранжевый сильный. Справа показаны различные компоненты гравитационного сигнала

Вот тут-то и приходит на помощь модель, разработанная Филдом и Ханной. Они начали с собственного модельного представления частицы пренебрежимо малых размеров, специально разработанного для работы в диапазоне соотношений масс выше 10. Затем на основе этой модели была обучена суррогатная модель. Данная работа открывает возможности для обнаружения столкновения чёрных дыр разных размеров.

Какие ситуации могут привести к подобным столкновениям? Учёные пока не могут этого сказать, так как эта часть науки о Вселенной изучена пока очень слабо. Вообще говоря, тут может быть несколько вариантов.

Например, чёрная дыра средней массы (скажем, 80 или 100 солнечных масс) может сталкиваться с чёрной дырой меньшего размера (около 5 солнечных масс).

Другой вариант столкновение между обычной звездной чёрной дырой и относительно малой чёрной дырой, оставшейся от Большого взрыва, "первичной" чёрной дырой. Масса таких чёрных дыр может составлять всего 1% от массы Солнца, в то время как подавляющее большинство чёрных дыр, обнаруженных LIGO на сегодня, имеют массу, в 10 раз превышающую солнечную.

Ранее в этом году исследователи из Института гравитационной физики Макса Планка использовали суррогатную модель Филда и Ханны для изучения данных LIGO в поисках признаков гравитационных волн, возникающих в результате слияний чёрных дыр, одна из которых является первичной. Исследователи пока не смогли найти ни одной такой чёрной дыры, однако сумели установить более точные пределы области, в которой могут существовать чёрные дыры такого гипотетического класса.

В настоящее время планируется к запуску космическая гравитационно-волновая обсерватория LISA, которая однажды может стать свидетелем слияния обычных чёрных дыр с их сверхмассивными разновидностями в центрах галактик некоторые из них имеют массу в миллиард и более солнечных масс. Однако перспективы LISA пока туманны проект будет запущен не ранее 2035 года, а ситуация с финансированием до сих пор не ясна. Но, если проект всё-таки будет запущен, мы сможем наблюдать за слияниями чёрных дыр с соотношением масс более 1 миллиона.

Предел прочности

Некоторые специалисты в этой области, в том числе Хьюз, назвали успех модели представления частицы пренебрежимо малых размеров "необоснованным", однако подчеркнули то обстоятельство, что эффективность работы модели при низких соотношениях масс для них настоящая загадка. Почему исследователи, игнорируя важные параметры меньшей чёрной дыры, всё равно приходят к верному ответу?

"Здесь работает какой-то физический закон, говорит Ханна, хотя, какой именно, никому не известно. Нам не нужно брать в расчёт оба объекта, окруженные горизонтами событий, которые могут искажаться и взаимодействовать друг с другом странным образом". Но никто не знает, почему так происходит.

Пока никто не дал ответа на этот вопрос, Филд и Ханна пытаются распространить свою модель на более реалистичные ситуации. В статье, которую планируется опубликовать в начале лета на сервере препринтов arxiv.org, исследователи придают большей чёрной дыре определённое вращение, что больше соответствует реалиям астрофизики. Использованная ими модель и в этот раз близко соответствовала результатам применения численного метода решения уравнений общей теории относительности при соотношении масс до 3.

Далее они планируют изучить поведение чёрных дыр, сближающихся по эллиптическим, а не идеально круговым орбитам. Совместно с Хьюзом исследователи также планируют ввести понятие "несогласованных орбит", то есть орбит, при которых чёрные дыры находятся друг относительно друга наклонно, вращаясь в разных геометрических плоскостях.

Кроме того, они надеются ещё поработать со своей моделью и выяснить, при каких условиях она, наконец, перестанет работать. Сможет ли она работать при соотношении масс 2 или ниже? Филд и Ханна хотят это понять. "Уверенность в приближённом методе возникает, когда видишь, что он не работает, говорит Ричард Прайс, физик из Массачусетского технологического института. Когда кто-то выдаёт приближение, дающее удивительно хорошие результаты, вы неминуемо задаётесь вопросом, нет ли здесь какого-то жульничества, не могло ли быть так, что кто-то, пусть и бессознательно, подтасовал результаты?" Если Филд и Ханна покажут предел прочности своей модели, "тогда действительно можно будет сказать: да, никакого обмана, просто это приближение работает лучше, чем можно было ожидать".

Будущее физики это не только странным образом работающее упрощение физических моделей, но и поиск новых точек зрения на существующие решения и, конечно, применение искусственного интеллекта для разнообразного ускорения расчётов. Мы уже писали о том, как люди научили искусственный интеллект решать дифференциальные уравнения, а значит, моделировать физические процессы, гораздо быстрее, чем раньше, изменив пространство, в котором выполняется решение.

Если вы хотите экспериментировать с искусственным интеллектом, находить с его помощью решение разнообразных задач, вы можете обратить внимание на наш курс "Machine Learning и Deep Learning", партнёром которого является компания NVIDIA.

• Профессия Data Scientist

• Профессия Data Analyst

• Курс по Data Engineering

Другие профессии и курсы