Динамика

Оптимальная расчетная конечно-элементная модель какая она? такой чаще всего не проговоренный вслух, а порою даже и неосознанный вопрос непременно рождается (как минимум в подсознании) у каждого инженера-расчетчика при получении ТЗ на решение задачи методом конечных элементов. Каковы критерии этой самой расчетной модели-мечты? Пожалуй, здесь стоит отталкиваться от известного философского принципа Всё следует упрощать до тех пор, пока это возможно, но не более того. Вот только как применить этот принцип к нашим научным и инженерным задачам?

Рисунок 1

Критерии оптимальной расчетной конечно-элементной модели

Поразмыслив, проанализировав свой практический опыт, я выделил три основных критерия оптимальной расчетной конечно-элементной модели: 1) физические допущения, адекватные целям расчета; 2) упрощения детализации геометрии, правильный выбор видов конечных элементов и способов их соединения; 3) качественная сетка КЭ. Эта статья является продолжением моего доклада Особенности использования различных видов конечных элементов в Femap с NX Nastran, прочитанного на Femap Symposium 2020. В докладе я обзорно рассказывал о применении этих трех критериев на примере конкретных проектов, а здесь я подробнее расскажу подробнее о втором критерии.

Чтобы определиться с концепцией рациональной расчетной схемы, в которую мы будем преобразовывать (чаще упрощать) исходную геометрическую модель, нужно в первую очередь хорошо понимать физику моделируемого процесса, осознавать факторы и параметры, изменение которых более всего влияет на результат. Необходимо разбираться в видах конечных элементов (линейные, поверхностные, объемные), способах соединения частей модели и в особенностях их совместного применения. Причем части модели могут состоять из конечных элементов разных видов. Да, и конечно же нужно знать возможности используемого вами расчетного комплекса. Расчетный комплекс Femap с NX Nastran поддерживает все виды конечных элементов и позволяет соединять области, состоящие из конечных элементов разных видов, всеми основными способами.

Способы соединения частей КЭ-модели

Существует три основных способа соединения (в более широком смысле слова взаимодействия) частей конечно-элементной модели, передачи нагрузки и внутренних усилий между частями модели. Эта классификация носит условный характер, и я ввел ее для удобства восприятия информации расчетчиками-практиками.
Первый способ соединение конечных элементов разных частей модели узел в узел. Это самый классический способ. При его использовании граница перехода между частями модели не оказывает никакого собственного влияния. Фактически решатель работает с единой сплошной моделью, а части модели существуют только для удобства работы пользователя в пре- и постпроцессоре.

Рисунок 2

Второй способ это применение MPC-связей (multiple point constraint). MPC соединяют узел с узлом (тогда это скорее SPC single point constraint) или узел с группой узлов с помощью жестких или интерполяционных элементов.

Рисунок 3

Третий способ применение контактных поверхностей различных типов (например, склейка или с трением). При использовании этого способа пользователь выбирает контактирующие поверхности, а препроцессор автоматически определяет взаимодействующие узлы.

Рисунок 4

Эти три способа соединения (взаимодействия) даже более чем различны. Например, целые классы задач (штамповка, соударение тел) просто невозможно решить без применения контактных поверхностей. При решении же более простых задач (линейная статика, модальный анализ), как правило, есть возможность выбрать, как именно упрощать геометрию и какой способ соединения частей модели применить.

Практические примеры

Разберем и проанализируем по вышеописанным критериям модель радиобашни, изображенную на рис.3. Расчетная модель радиобашни используется для определения собственных форм и частот колебаний металлоконструкции башни, потому точный учет жесткости силовых элементов исключительно важен. Это очень ответственная задача собственные частоты колебаний необходимы для определения динамической составляющей ветровой нагрузки (см. Руководство по расчету зданий и сооружений на действие ветра к СП 20.13330.2010 Нагрузки и воздействия).

Модель радиобашни состоит из конечных элементов трех видов: 1) несущие вертикальные круглые трубы и связи соединяющих их (также из круглых труб) смоделированы балочными конечными элементами; 2) ребра жесткости, соединяющие трубы и опорную плиту, смоделированы поверхностными КЭ; 3) опорная плита смоделирована солидами (объемными КЭ).

В модели также применены три основных способа соединения частей конечно-элементной модели:
а) узел в узел соединены части модели (линейные), между которыми нет зазоров;
б) с помощью MPC-связей соединены линейные элементы (имитирующие трубы), между которыми есть зазоры. Кроме того, посредством MPC-связей соединены элементы ребер жесткости и вертикальных труб;
в) контакты заданы между нижней гранью ребер жесткости и поверхностью опорной плиты.

Я считаю эту расчётную модель очень грамотным результатом преобразования геометрической модели в расчетную, так как модель достаточно проста, но при этом в ней учтены основные конструктивные элементы, определяющие жесткость конструкции. Как правило, в простых строительных САПР отсутствуют инструменты, позволяющие соединять конечные элементы различных видов (в случае радиобашни не было бы возможности смоделировать опорные элементы). То есть в простой строительной САПР конструкцию радиобашни удалось бы смоделировать лишь из одних труб, разбив их балочными конечными элементами. В этом случае податливость основания не учитывается и собственные частоты колебаний конструкции оказываются завышены.

Далее на примере расчетного комплекса Simcenter Femap c NX Nastran я подробнее расскажу о втором способе соединения частей модели, а точнее о применении MPC-связей. Элементы типа R математически эквивалентны многоточечному уравнению связи (Multipoint Constraints Equations, MPC). Они накладывают постоянные ограничения на компоненты перемещения соединяемых узлов. Каждое уравнение связи выражает зависимую степень свободы как функцию независимой степени свободы.
Элементы RROD, RBAR, RBE1, RBE2 и RTRPLT это жесткие элементы. Элементы RBE3 и RSPLINE интерполяционные элементы, они не являются жесткими.

Рисунок 5

Элемент RBE2 использует уравнения связи, чтобы связывать степени свободы зависимых узлов со степенями свободы независимого узла. Относительные деформации между зависимыми узлами отсутствуют, то есть соответствующие элементы не деформируются. Варьируя настройки степеней свободы RBE2 в поле DEPENDENT (Зависимый), можно получить WELD сварное соединение (активируя шесть степеней свободы TX, TY, TZ, RX, RY, RZ) или BOLT болтовое соединение (активируя TX, TY, TZ, вращения остаются свободными).

В отличие от элементов RBE2, элемент RBE3 не добавляет конструкции дополнительную жесткость, то есть RBE3 это интерполяционный элемент. RBE3 можно использовать как инструмент распределения нагрузки и массы в КЭ-модели, аналогичный грузовым площадям в строительных системах автоматизированного проектирования. Нагрузки в виде сил и моментов, приложенные к зависимому узлу, распределяются в независимые узлы пропорционально весовым коэффициентам.

Рисунок 6

В большинстве случаев в настройках степеней свободы RBE3 в поле INDEPENDENT (Независимый) не рекомендуется активировать вращательные степени свободы.
Подробнее специфика применения RBE2 и RBE3 представлена в статье наших партнеров из компании КАДИС: RBE2 в сравнении с RBE3 в Femap c NX Nastran.

Рисунок 7

Но вернемся от теории к практике и разберем типовую задачу расчета кронштейна, на примере которой отлично видно, что, неправильно задав способ соединения частей модели, мы получим принципиально неверное решение. Кронштейн закреплен на П-образной пластине с помощью двух болтов. К отверстиям кронштейна приложена сила с направлением вдоль пластины. П-образная пластина разбита поверхностными конечными элементами, а кронштейн объемными КЭ. С учетом толщины пластины пластина и кронштейн соприкасаются.

Рисунок 8

Чтобы результат расчета был адекватен, способ соединения кронштейна с П-пластиной (модель передачи нагрузки) должен соответствовать реальной физике работы болтового соединения. Гайки закручены с некоторым усилием (моментом). Этот момент вызывает силу, прижимающую кронштейн к поверхности пластины. Силу трения в свою очередь определяют коэффициент трения и сила реакции. При приложении нагрузки к кронштейну часть его основания прижимается к пластине, а некоторая часть основания, напротив, стремится от него оторваться, вследствие чего при превышении определенной нагрузки происходит частичное раскрытие стыка.

С точки зрения математического моделирования нам необходимо: а) задать непосредственное соединение болтов и гаек с кронштейном и пластиной и б) задать взаимодействие изначально прижатых друг к другу поверхностей. На рис. 9 показаны напряженно-деформированные состояния кронштейна с пластиной при двух вариантах задания соединений. Составляющая а назовем ее имитация болтов в обоих вариантах задана одинаково: два паучка из RBE-элементов и болт из балочных конечных элементов созданы с помощью встроенной API-команды Hole to Hole Fastener.

Первый и второй варианты различаются настройками свойств контактной пары поверхностей составляющей б. В первом варианте настройки контакта соответствуют склейке двух поверхностей, что не отвечает физике работы болтового соединения. Этот вариант можно было бы использовать, если бы кронштейн был соединен с пластиной при помощи сварных швов по периметру и внутри. Адекватное решение (второй вариант расчета) получается при задании контакта с трением. Такой вид взаимодействия поверхностей позволяет учесть эффект частичного раскрытия стыка. Задача при этом становится нелинейной и решение занимает гораздо больше времени в связи с необходимостью обеспечить сходимость решения. Подробнее о нелинейном анализе и обеспечении сходимости можно прочитать в моей статье Просто о нелинейном анализе методом конечных элементов. На примере кронштейна.

Рисунок 9

Существует несколько способов моделирования болтового соединения. Представленный выше способ (балочный элемент + RBE + контакт с трением) относительно прост, однако он позволяет учесть передачу сдвиговых усилий. Есть более точный, но и гораздо более трудоемкий способ моделирования болтового соединения: непосредственное моделирование болтов, гаек, шайб объемными конечными элементами (рис. 10). Этот способ позволяет учесть все тонкости работы болтового соединения (даже контакт в резьбе) и в том числе производить нелинейный анализ с учетом пластичности.

Рисунок 10

Глобально-локальный анализ

Проанализируем теперь сложную конечно-элементную модель марсохода Кьюриосити (Curiosity). На примере марсохода я хочу познакомить читателя с понятием глобально-локального анализа (ГЛА). Глобально-локальный анализ это процесс изолированного рассмотрения отдельных частей конструкции, при котором выполняется условие равенства силовых факторов и перемещений, соответствующих поведению этой части в составе конструкции. Возможность применения ГЛА обоснована принципом Сен-Венана: в частях конструкции, достаточно удаленных от места приложения нагрузки, напряжения и деформации мало зависят от способа приложения нагрузки. Потому часть модели можно вырезать и выполнить анализ только для этой части при условии, что значения силовых факторов на границах выреза заданы правильно.

Рисунок 11

Но вернемся к марсоходу и его модели. Весит марсоход около тонны, его габариты: длина 4,5 метра, ширина 2,5 метра, высота 2,1 метра. В процессе проектирования было проведено множество расчетов средствами Simcenter Femap, в том числе линейный статический анализ, анализ потери устойчивости, нелинейный анализ; рассчитаны отклики на воздействие случайной вибрации, выполнен анализ переходных процессов.

Конечно-элементная модель марсохода, изображенная на рис. 11, это глобальная конечно-элементная модель (ГКЭМ). С ее помощью можно подобрать сечения труб и толщины оболочек, вычислить нагрузки реакции в узлах конструкции. В модели применены линейные, поверхностные и объемные КЭ, части модели соединяются как узел в узел, так и посредством MPC-связей и контактов. Для такой сложной конструкции как марсоход рационально использовать глобальную модель как нагрузочную, а узлы считать отдельно с помощью подробных локальных конечно-элементных моделей (ЛКЭМ) то есть применять алгоритм глобально-локального анализа (рис. 12).

Для расчета узлов в ЛКЭМ очень важно правильно задать граничные условия, силовые факторы. Существует три способа переноса граничных условий из ГКЭМ в локальную конечно-элементную модель: перенос перемещений, перенос силовых факторов, комбинированный способ. Для осуществления этих операций в Femap есть удобный инструмент FreeBody. Чтобы более подробно узнать о ГЛА и о применении FreeBody, рекомендую ознакомиться с докладом Алексея Патая из компании Центр Технических Проектов: Возможности Femap для глобально-локального анализа авиационных конструкций.

Рисунок 12

Заключение

Подведем итоги, опираясь на вышеприведенные результаты анализа трех расчетных моделей: радиобашни, кронштейна и марсохода. Какая она все-таки оптимальная расчетная конечно-элементная модель, и насколько простой модель может быть? Ответ для каждой конкретной задачи индивидуален, но есть общие критерии.

Что касается понимания физики процесса: например, нам не нужно моделировать каждый крепежный элемент радиобашни, чтобы определить собственные формы и частоты колебаний конструкции, требуется учитывать лишь элементы, в целом определяющие распределение масс и жесткость конструкции.

Для подбора сечений в строительных расчетах (металлоконструкции, деревянные конструкции и даже часть железобетонных), где чаще всего можно ограничиться использованием только линейных конечных элементов, достаточно понимать, является ли узел условно жестким или условно шарнирным. Условно потому как в любом шарнирном узле есть трение, а любой жесткий узел все равно имеет некоторую податливость. Для моделирования течений жидкости или газа, с точки зрения геометрической модели, и вовсе достаточно задать поверхность обтекаемого объекта. Так, например, геометрическая модель для определения буксировочного сопротивления судна это прямоугольный параллелепипед, из которого вычтен объем корпуса судна.

На примере расчета кронштейна, соединенного болтами с П-образной пластиной, мы увидели, что очень важно правильно задать способ передачи нагрузки, граничные условия. В противном случае мы получим результат, не соответствующий действительности. Да, в соответствии с принципом Сен-Венана, напряженно-деформированное состояние (НДС) конструкции в глобальной модели на достаточном удалении от неточно смоделированного узла практически не изменится. Но НДС элементов узла будет определено неверно, что может быть критичным, если это ответственный узел и он сильно нагружен. Особенно важно как для точности решения, так и для сходимости правильно задавать нелинейные контакты.

Для сложных же конструкций, таких как марсоход Кьюриосити, делать одну сложную и подробную конечно-элементную модель чаще всего нерационально. Целесообразнее использовать алгоритм глобально-локального анализа, то есть формировать глобальную нагрузочную конечно-элементную модель и локальные конечно-элементные модели для расчета ответственных узлов. Затем, после расчета узлов, при необходимости можно внести изменения-уточнения в ГКЭМ.

Конечно, тема оптимальной расчетной конечно-элементной модели не может быть исчерпана в рамках одной статьи. Но я надеюсь, что мой обобщенный практический опыт и теоретические знания будут полезны, и в следующий раз вы сможете быстрее найти свое оптимальное решение. При этом расчетная модель будет проще, а точность выше!

Филипп Титаренко,
специалист по расчетам на прочность,
продакт-менеджер по направлению Femap
АО Нанософт
E-mail: titarenko@nanocad.ru


Уважаемые читатели, приглашаю вас на бесплатный Профессиональный курс по расчетам методом конечных элементов (март-апрель 2021 г.). Чтобы зарегистрироваться на курс и ознакомиться с его программой, пройдите, пожалуйста, по ссылке здесь или щелкните на рисунок выше.

Профессиональный курс по расчетам МКЭ от АО Нанософт включает в себя как ценные теоретические знания и инженерные методики, ориентированные на прикладное применение, так и практические демонстрации, вокршопы по решению типовых инженерных задач в расчетном комплексе конечно-элементного моделирования Simcenter Femap c NX Nastran.

Курс состоит из трех вебинаров и предназначен для инженеров, технических работников и студентов, работающих в областях, где требуется проведение физических расчетов. В заключительной части каждого вебинара вы сможете задать вопрос ведущему, Филиппу Титаренко, и получить консультации по интересующим вас вопросам.

Даты и время проведения вебинаров:
Инженерный анализ методом конечных элементов в Simcenter Femap, обзор модулей 30 марта, 14:00
Импорт и преобразование геометрической модели в расчетную. Femap с NX Nastran 7 апреля, 11:00
Основные способы соединения частей КЭ-модели, передачи нагрузок в Femap с NX Nastran 15 апреля, 11:00

Бесплатную пробную версию Simcenter Femap с NX Nastran можно скачать здесь.

Привет, Хабр! В названии этой статьи есть словосочетание нелинейный мир Думаю, что большинство читателей поняли смысл этого словосочетания, но я всё же расшифрую его.

Реальные системы можно рассматривать как линейные только в ограниченном диапазоне нагрузок. Реальный же мир вокруг нас нелинеен (рис. 1). Нелинейность есть нарушение принципа суперпозиции в некотором явлении (механической системе): результат действия суммы факторов не равен сумме результатов от отдельных факторов. Однако по разным причинам, в том числе в связи с отсутствием необходимых знаний, навыков моделирования, необходимого программного обеспечения, инженеры зачастую решают задачи только в линейных постановках. Даже когда линейный подход дает очень большие погрешности. Точное же моделирование поведения системы часто требует проведения нелинейного анализа.



Рис. 1

Введение

Пару месяцев назад я опубликовал статью Просто о нелинейном анализе методом конечных элементов. На примере кронштейна. В ней я постарался доступно разъяснить минимальный объем терминов и теории, необходимой для осознанного проведения нелинейного статического анализа, подробно разобрал алгоритм решения простой нелинейной задачи. Повторяться не буду, напомню несколько основных положений и приступим к обзору более сложных явлений, задач механики и инструментов, необходимых для решения этих нелинейных задач.

Линейные допущения часто справедливы, но сегодня при разработке изделий всё чаще необходимо проводить нелинейные расчеты. Чтобы сократить объем экспериментальной отработки, пользователи нуждаются в моделях более высокой точности: уточняются геометрические модели, увеличивается точность физических моделей. Это означает, что учитываются нелинейные эффекты, такие как контакты, большие деформации и свойства материала. Нелинейность задачи может быть обусловлена необходимостью учета истории нагружения конструкции то есть разложение задачи на составляющие воздействия и последующее объединение результатов невозможны. Без учета этих эффектов решения могут оказаться неточными, что приведет к неверным выводам. Или же изделия могут быть спроектированы с очень большим запасом прочности, а потому станут слишком дорогостоящими.

Классическая физика и математика у нас одна, но в разных расчетных комплексах используются разные наборы алгоритмов и инструментов для решения задач методом конечных элементов. В этой статье я расскажу об инструментах, имеющихся в арсенале пре-постпроцессора Femap с решателем NX Nastran, за более чем 35 лет многократно доказавшим свои надежность, точность и скорость. Для решения самых сложных нелинейных задач, в том числе если необходимо учесть историю нагружения конструкции, подходит модуль многошаговых нелинейных решений Multistep Nonlinear (SOL401 / SOL402).

Контакты и применение сабкейсов

В рамках одного многошагового решения можно изменять условия контакта поверхностей с помощью сабкейсов. Сабкейсы это отдельные решения, из которых можно сложить общее решение со сложной историей приложения нагрузок, изменения граничных условий. Например, при моделировании сборки можно добавлять или удалять контакты в определенной последовательности.

Трение может быть учтено в настройках контакта, а коэффициент трения быть постоянным или изменяться в зависимости от скорости, температуры и времени. Детали, которые контактируют, обычно рассматриваются как деформируемые. Но если одна часть намного жестче другой, стоит рассматривать ее как жесткую, чтобы упростить задачу без существенных погрешностей. Это также позволяет применять принудительное перемещение твердого тела на жесткой части в качестве нагрузки.

На рис. 2 изображена модель, в которой резиновое уплотнительное кольцо задано гиперупругим материалом. Моделирование позволяет вычислить напряжения и перемещения в резиновом уплотнительном кольце, используемом для уплотнения крышки, надетой на цилиндр. В целях повышения эффективности модель строится с использованием осевой симметрии. Видимый круг это поперечное сечение уплотнительного кольца. Размеры кольца уплотнителя в ненапряженном состоянии меньше диаметра цилиндра, поэтому начальное положение уплотнительного кольца показывает, что уплотнительное кольцо и цилиндр частично перекрываются. На первом этапе моделирования при определении контакта производится компенсация перекрытия, то есть уплотнительное кольцо растягивается радиально. Затем колпачок опускается и уплотнительное кольцо деформируется при соприкосновении со стенкой цилиндра. Таким образом образуется уплотнение.


Рис. 2

Геометрические несовершенства конечно-элементной сетки могут быть исправлены путем настройки допусков по зазорам и натягам или путем сглаживания граней. В случае возникновения трудностей со сходимостью есть множество вариантов решения этой проблемы. Например, опция Нормальная регуляризация полезна, когда условия контакта включают мягкие материалы, такие как резина. Тангенциальная регуляризация позволяет избежать разрывов в силах трения. Кроме того, локальная жесткость и демпфирование в контакте контролируются пользователем, что также может использоваться для улучшения сходимости. В постпроцессоре могут быть проанализированы следующие результаты: контактное давление, расстояние по нормали, скольжение, контактные силы.

Существует множество применений для контактов, включая болтовые соединения, имитацию падения и посадку с натягом. Моделировать болтовые соединения можно с помощью 1D конечных элементов (балки, стержни), 2D (плоские элементы) или 3D-элементов. Преднатяжение можно выполнять с помощью нескольких сабкейсов например, если нужно смоделировать последовательность затяжки болтов. Сабкейсы преднатяжения могут быть реализованы не только первыми по счету, но и в любой последовательности. При анализе других сабкейсов вычисленные преднапряжения сохраняются, но фактическая нагрузка на болты может изменяться при дальнейшем приложении нагрузок. Пользователи могут анализировать нормальные, сдвиговые напряжения, моменты в болтах на протяжении всего решения.

На рис. 3 изображена модель, позволяющая проанализировать следующую последовательность сборки/нагрузки/разгрузки: затяжка болта 1, затяжка болта 4, затяжка болта 2, затяжка болта 3, приложение эксплуатационной нагрузки, снятие нагрузки, снятие затяжки.


Рис. 3

Большие перемещения (деформации) и анализ после потери устойчивости

Большие линейные и угловые перемещения это фундаментальные нелинейные эффекты (рис. 4). Они учитывают изменение положения нагрузки по мере деформации системы. Также существует эффект изменения жесткости изделия от нагрузки. Решение после потери устойчивости это нелинейное решение с включенными эффектами больших деформаций.

Нагрузка вызывает потерю жесткости изделия, приводящую к последующим большим деформациям при небольших изменениях нагрузки. Существуют эффективные алгоритмы, позволяющие анализировать систему после превышения критической нагрузки потери устойчивости.


Рис. 4

Анализ после потери устойчивости это особый тип статического сабкейса в Femap. В стандартном квазистатическом анализе нагрузки увеличиваются в соответствии с законом, определенным пользователем. Но некоторые изделия неустойчивы из-за их формы после достижения определенного уровня нагрузки. Такие изделия скачкообразно теряют жесткость в некотором диапазоне нагрузок. Для решения подобного рода задач следует использовать алгоритм длины дуги (arc length) с его помощью решают задачи неустойчивого изгиба, потери устойчивости. Решение позволяет не только определить критическую нагрузку потери устойчивости на изгиб, но и проанализировать, как будет вести себя конструкция после того как она потеряет устойчивость. Вместо изменения нагрузок, основанных на временном приращении, алгоритм автоматически изменяет приращения нагрузки пропорционально перемещениям, а не времени.

Начальные несовершенства формы оказывают в задачах потери устойчивости большое влияние. Несовершенства формы могут быть учтены как искривления в геометрии/сетке, что можно использовать для учета несовершенств производственного процесса. Пользователь может моделировать места преднамеренного изгиба или моделировать повреждения, полученные в ходе эксплуатации.

Физическая нелинейность (нелинейность свойств материалов). Пластичность, гиперупругость, вязкость, ползучесть и композиты

В традиционном линейном анализе все материалы рассматриваются как линейные и упругие. Многошаговый нелинейный решатель Femap поддерживает нелинейные свойства совместно с изотропным, ортотропным, анизотропным поведением. Также поддерживаются еще несколько нелинейных моделей поведения материала, включая пластичность, гиперупругость, ползучесть и повреждение (damage). Пользователям, которым требуется задать уникальные свойства материалов, предоставлена возможность дополнительно добавлять собственные модели материалов.

Пластичные модели материалов с различными настройками доступны для моделирования. Пользователи могут задать кривую напряжений-деформаций как билинейную или полилинейную (рис. 5). Эффекты нагрузки/разгрузки могут быть описаны с помощью изотропных, кинематических или смешанных моделей упрочнения. Кривые напряжений-деформаций также могут быть дополнены температурной зависимостью. Таким образом материалы, зависимость свойств которых от температуры необходимо учесть при решении задачи, могут быть описаны адекватно.


Рис. 5

Гиперупругие материалы благодаря своим свойствам широко используются в различных отраслях. Они не зависят от скорости деформации. К таким материалам относятся резина, пена, биологические и полимерные материалы. Они поддерживают очень большие деформации (более 600%), практически несжимаемы, а также для них могут быть заданы температурные зависимости. Доступны стандартные модели материалов Муни-Ривлина (Mooney-Rivlin), Огдена (Ogden) с эффектом Муллинса (Mullins) и модели пенопласта. На рис. 6 изображена модель кожуха рукоятки переключения передач. Материал кожуха задан как гиперупругий резиновый материал с использованием модели Муни-Ривлина. Поверхности кожуха настроены для самоконтакта.


Рис. 6

Вязкоупругие материалы это упругие материалы, обладающие способностью рассеивания механической энергии из-за влияния вязкости.

Эластичные материалы, такие как резина, растягиваются мгновенно и быстро возвращаются в исходное состояние после снятия нагрузки. Вязкость (внутреннее трение) это свойство тела оказывать сопротивление перемещению одной его части относительно другой. Femap поддерживает вязкоупругие материалы с формулировками серий Кельвина и Прони. Модель Кельвина отражает явление упругого последействия, которое представляет собой изменение упругой деформации во времени, когда она или постоянно нарастает до некоторого предела после приложения нагрузки, или постепенно уменьшается после ее снятия (рис. 7). Когда снимается напряжение, материал постепенно расслабляется до недеформированной стадии. Модель Кельвина применяется для органических полимеров, резины, дерева при невысокой нагрузке.


Рис. 7

Деформации типа ползучести происходят с течением времени без какого-либо изменения нагрузки. Деформация при ползучести, как и при пластичности, является необратимой (неупругой), поведение материала при ползучести несжимаемое.
Многие материалы, особенно в условиях высокой температуры, могут испытывать деформации типа ползучести. Femap использует стандартную модель ползучести Бейли-Нортона и позволяет задавать температурные зависимости для определяющих коэффициентов.

В большинстве материалов при действии постоянной нагрузки выделяют три стадии ползучести (рис. 8). На первой стадии скорость деформации уменьшается со временем. Это явление наблюдается в течение короткого периода времени. Вторая стадия, более длительная, характеризуется постоянным значением скорости деформации. На третьей стадии скорость деформации быстро увеличивается вплоть до полного разрушения материала (разрыва образца).


Рис. 8

Многошаговый нелинейный решатель Femap может моделировать нелинейное поведение композиционных материалов в результате внутрислоевого или межслоевого разрушения (рис. 9).

В случае внутрислоевого разрушения отдельные слои ослабевают и теряют жесткость при превышении определенного уровня нагрузки. Решатель отслеживает жесткость каждого слоя в изделии и обновляет жесткость элемента по мере того как слои становятся более поврежденными. В крайнем случае может произойти полная потеря жесткости в элементе. Внутрислоевые разрушения (для однонаправленного или тканого слоя) бывают различных типов: разрушение волокон, разрушение матрицы, разрушение связей между матрицей и волокнами.

При межслоевом разрушении связь между слоями изделия может ослабнуть и потерять жесткость. Femap использует связующие элементы для моделирования такого поведения. Моделирование показывает области, где связь теряется и слои могут отделяться.


Рис. 9

Учет истории нагружения. Многошаговые решения с применением сабкейсов

Состояние конструкции в некоторых случаях зависит от последовательности приложения нагрузок, то есть нелинейность задачи может быть обусловлена необходимостью учета истории нагружения конструкции. Есть задачи, в которых достаточно учесть исходное напряженно-деформированное состояние (часто для нелинейностей, связанных с поведением материала). Но иногда бывает необходимо учесть сложную историю нагружения, состоящую из нескольких сабкейсов с изменяющимися силовыми факторами и граничными условиями. Граничные условия могут меняться при изменении площадок контакта.

Важной особенностью многошагового нелинейного решателя Femap является то, что он может поддерживать несколько сабкейсов и выполнять различные решения такие как статические, динамические, модальные в отдельных сабкейсах в рамках одного решения. В дополнение к изменению типа анализа в сабкейсах также можно изменять настройки параметров и граничные условия. Это открывает пользователям большие возможности настройки решений. Вот типовой сценарий с использованием сабкейсов: каждый сабкейс начинается с условий, в которых закончился предыдущий сабкейс. Такой сабкейс называется последовательным. Но пользователь также может начать решение снова и не в последовательном сабкейсе.

На рис. 10 показан пример моделирования трех компонентов авиационного двигателя: два фланца и ступица соединены болтами в несколько этапов. Для эффективного решения используется симметричный сектор модели. На первом этапе анализируются отклонения от пресс-формы для одного фланца и ступицы. На втором два болта затягиваются, чтобы соединить фланец и ступицу. На третьем рассматривается запрессовка второго фланца. На четвертом затягиваются еще два болта, чтобы соединить второй фланец и ступицу. Затем, на пятом этапе, анализируется нагрузка от высокоскоростного вращения полностью соединенных деталей. Последним шагом является модальный анализ он используется для прогнозирования напряжений от вибрации. Этот полный набор из шести шагов может быть выполнен в рамках одного анализа, что позволяет получить богатый набор данных для понимания напряженно-деформированного состояния двигателя.


Рис. 10

В дополнение к статическим сабкейсам поддерживаются динамические (transient). Этот тип сабкейса может начинать решение или следовать за статическими сабкейсами (рис. 11). При запуске решения могут быть применены начальные условия в форме перемещений или скорости. Например, для моделирования падения рационально начинать решение с точки непосредственно перед ударом и задавать начальную скорость, равную скорости удара. Если динамический анализ следует за статическим или другим динамическим анализом, то отклонения, скорости, ускорения в начале сабкейса будут такими же, как в конце предыдущего сабкейса.

В динамическом сабкейсе сгенерированные силы инерции, демпфирование, матрица жесткости и силы уравновешены приложенными нагрузками. Силы инерции можно отключить при анализе переходных процессов. Это очень полезно для ускорения решения и перехода к стационарному состоянию.


Рис. 11

Динамический анализ и моделирование кинематических связей

Моделирование падения часто выполняется для электронных приборов, чтобы понять, насколько хорошо они переживут столкновение с землей. На рис. 12 отображен ударный процесс, возникающий при падении тепловизионной камеры. Материал корпуса из поликарбоната моделируется как упругопластичный материал, а внутренняя печатная плата и электронные компоненты как линейно-упругие материалы. Динамический анализ начинается с точки соприкосновения тепловизора с землей. Камере задается начальная скорость, соответствующая высоте, с которой она была сброшена (в данном случае это высота 1 метр). Камера быстро соприкасается с землей и отскакивает. Анализируются напряжения и деформации корпуса и бортов.


Рис. 12

Femap поддерживает применение кинематических связей для соединения различных частей сборки. Поддерживаются основные типы шарниров, такие как цилиндрические, сферические шарниры, жесткие и гибкие направляющие.
На рис. 13 изображен процесс развертывания солнечных панелей спутника, соединенных посредством цилиндрического шарнира. С помощью данной модели можно оценить вибрации и определить уровень напряжений.


Рис. 13

Заключение

Главными критериями качества для оценки расчетной модели и полученных результатов всегда были и будут сравнение с натурными экспериментами и аналитическими решениями. Нелинейные модели не являются исключением из правил. Разработчики Femap из компании Siemens проверяют нелинейные формулировки с помощью тестов NAFEMS (Международная ассоциация инженерного моделирования и анализа) и аналитических решений.
В дополнение к проверке формулировок, алгоритмы регулярно тестируются с помощью большой библиотеки тестовых моделей, чтобы избежать появления ошибок по мере добавления улучшений и расширений.

Однако перед каждым инженером каждый раз встает вопрос адекватности принятых допущений, правильного использования имеющихся программных инструментов и многокритериальной оценки полученных результатов.

В данной статье предложен обзор актуальных нелинейных задач и инструментов для их решения. Безусловно, этой информации недостаточно, чтобы на практике приступить к решению вышеобозначенных задач. Поэтому приглашаю вас на бесплатный вебинар Femap и возможности модуля многошаговых нелинейных решений Multistep Nonlinear, который состоится 19 ноября 2020 года в 12:00. Во второй половине вебинара я решу задачу растяжения металлического образца с учетом пластичности и изотропного упрочнения материала.


Ознакомиться с обзором возможностей расчетного комплекса Femap с NX Nastran можно здесь, а скачать бесплатную пробную версию Femap с NX Nastran здесь.

Филипп Титаренко,
продакт-менеджер по направлению Femap
АО Нанософт
E-mail: titarenko@nanocad.ru

Литература
1. Femap с NX Nastran, Simcenter 3D Многошаговые нелинейные решатели: SOL401 / SOL402.Multistep Nonlinear (перевод Ф.В. Титаренко). Siemens.
2. NX Nastran Handbook of Nonlinear Analysis (Solutions 106 and 129). Siemens.

Рожденный ползать летать не может. Эту фразу можно применять как в метафорическом смысле, так и в буквальном, ибо существа без крыльев (или подобных по функционалу частей тела) действительно не способны покорять небеса. По крайней мере, большинство из них. Правило не было бы правилом, если бы не было исключений. В аспекте бескрылых полетов исключения также имеются украшенные древесные змеи (Chrysopelea). Представители этого рода змей способны парить крайне полезный навык учитывая, что живут они в кронах деревьев высоко над землей. Ученые из Политехнического университета Виргинии (США) решили рассмотреть полет змеи с точки зрения кинематики. Какие анатомические особенности позволяют змеям летать (контролировано падать, если точнее), что происходит во время полета с точки зрения кинематики, и как данное исследование может помочь в робототехнике? Ответы на эти вопросы ждут нас в докладе ученых. Поехали.

Основа исследования

Украшенные древесные змеи это род змей из семейства ужеобразных, обитающие в Южной и Юго-Восточной Азии. Представители этого рода не могут похвастаться большими габаритами (длина тела всего лишь от 0.6 до 1.5 м) и смертоносным ядом. Хотя добыча, на которую они охотятся в дневное время, не согласилась бы с последним. Учитывая место обитания (кроны деревьев), у данных змей крайне мало врагов, потому особой нужды в сильном яде у них нет. К тому же у них есть куда более эффектная тактика они умеют планировать.



Летающие змеи, как их еще называют в народе, ползают по деревьям, используя жесткие чешуйки вдоль живота, позволяющие им двигаться вертикально. Если змея желает перебраться с одного дерева на другое, она в первую очередь подползает к краю ветки, затем складывает тело в форму латинской буквы J, чтобы прицелиться (определить желаемый угол взлета и место посадки). Сказав поехали, змея толкает свое тело вперед и вверх, втягивая живот и выпячивая ребра (так ее тело становится более плоским и слегка вогнутым). Во время планирования змея постоянно совершает серпантиновидные движения телом из стороны в сторону, что позволяет ей контролировать полет и мягко приземлиться.


Вид сбоку на длинное планирование летающей змеи Chrysopelea paradisi.

Дополнительным плюсом столь необычного для змей метода передвижения является внушительная экономия энергии, ведь перелет гораздо быстрее (и безопаснее) медленного переползания с дерева на дерево по земле. Из одно лишь этого короткого описания понятно, что в механике полета змеи имеется множество важных элементов; угол взлета, форма тела во время взлета и полета, движения телом в полете и т.д.

Самым ярким, особенно для наблюдателей, аспектом полета змеи является волнистое движение тела. Эта техника применяется множеством существ на планете для перемещения по земле и по воде. Далеко ходить не надо, ибо сами змеи ею прекрасно пользуются. Ученые отмечают, что волнистое движение по суше и воде изучено довольно хорошо, а вот подобные пируэты в воздухе пока остаются загадкой.

У змей Chrysopelea волнистость характеризуется S-образной формой тела, низкой частотой волнистости (12 Гц) и уплощенным аэродинамическим поперечным сечением тела.


Изображение 1

По сути воздушная волнистость непрерывно перестраивает тело змеи, превращая его по форме в крыло (1е). Ранее проведенные исследования показали, что летающие змеи всегда исполняют волнистые движения в полете. Однако остается неясным, является ли волнистость основной частью успешного полета или это просто привычка, т.е. поведенческий аспект перемещения по суше, перекочевавший в полет без каких-либо намерений.

Если учитывать волнистость на суше и воде, то можно предположить, что и в воздухе она генерирует тягу. На твердых средах волнообразное движение происходит благодаря распределенным контактным силам над вентральными и латеральными областями тела, а в воде смещение или всасывание жидкости вдоль тела вызывает движение вперед. В обоих случаях чистая движущая сила действует преимущественно в плоскости волнистости. Модуляция тела вне плоскости (в вертикальном направлении) может использоваться для вторичных целей, таких как уменьшение сопротивления или увеличение нормальной силы.

Но вот для летающих змей успешное планирование требует генерации аэродинамических сил, необходимых для компенсации веса животного. Силы подъема и сопротивления создаются воздухом, протекающим по сплющенному телу, когда оно ускоряется вниз под действием силы тяжести, при этом возвратно-поступательное движение, вызываемое мышечными сокращениями, вероятно, не увеличивает генерацию силы.


Вид спереди на взлет и уплощение летающей змеи Chrysopelea paradisi.

Результирующие аэродинамические силы должны действовать вне плоскости волнистости, а сама волнистость должна постоянно менять распределение сил на тело змеи. Стоит также учесть, что летающие змеи могут волноваться не только горизонтально, но вертикально. Значит, что в модели полета змеи присутствуют как элементы тангажа*, так и элементы крена*.

Тангаж* угловое движение относительно горизонтальной поперечной оси инерции.

Крен* угловое движение относительно его продольной оси.

В данном исследовании ученые решили детально рассмотреть роль волнистости в полете змеи. Используя записи высокоскоростной съемки полета змеи, ученые смогли количественно измерить воздушную волнистость. Полученные данные позволили создать точную трехмерную модель полета змеи.

Результаты исследования

Воздушная волнистость состоит из связки волн горизонтального и вертикального изгиба. Вдоль тела змей (7 особей), участвовавших в съемке полета (высока взлетной площадки 8.3 м), были размещены 11-17 маркеров. Оценка изменения положения этих маркеров позволяет точно определить структуру волнистости во время полета.


Вид сверху на тестовое планирование летающей змеи Chrysopelea paradisi.


Инфракрасные маркеры, полученные во время планирования летающей змеи Chrysopelea paradisi.

Проведя 36 практических наблюдений, ученые создали трехмерную модель тела змеи ( r ).


Разработка 3D-модели летающей змеи Chrysopelea paradisi по данным захвата движения.

Используя касательный вектор (t = r/s), удалось разложить волнистость на две угловые волны изгиба, которые движутся вдоль тела.

Горизонтальные и вертикальные волны задаются следующими формулами:

(s, t) = -tan^-1 t _x / t _y

и

(s, t) = sin^-1 t _z

где (s, t) и (s, t) локальные углы, которые тело образует относительно горизонтального и вертикального направлений, как функции длины дуги s и времени t.

Данные показывают, что летающие змеи используют две волны: горизонтальную волну с большой амплитудой и вертикальную волну с меньшей амплитудой, обе из которых последовательно проходят вниз по телу от головы к хвосту (изображение 2).


Изображение 2

Эти волны формируются после начального переходного процесса, когда змея прыгает в относительно прямой позе и затем формирует характерную S-образную позу для планирования.

Существует четыре особенности воздушной волнистости, связывающей вертикальную волну с горизонтальной (2а). Во-первых, вертикальная волна имеет пространственные и временные частоты, в два раза превышающие частоты горизонтальной волны. Это указывает на то, что у тела в два раза больше вертикальных изгибов, чем боковых (2а, 2е). Во-вторых, U-изгибы на теле летающей змеи можно идентифицировать как нулевое пересечение на графике угла изгиба (2b). В-третьих, эти пересечения являются максимумами вертикальной волны, указывая на то, что горизонтальные и вертикальные волны сдвинуты по фазе на 90. В-четвертых, максимальный изгиб вне плоскости происходит на U-изгибах и примерно на середине прямых сегментов. На U-изгибах поперечное сечение крыла змеи сворачивается из-за движения тела вне плоскости (1c, 1d).

Форма бегущих волн изменяется со временем, поскольку змея ускоряется и производит аэродинамические силы, однако некоторые особенности все же остаются общими. Горизонтальная волна представляет собой синусоиду с плоским верхом, амплитуда которой (80-120) зависит от количества пространственных периодов, причем меньшее количество периодов приводит к более высоким горизонтальным углам изгиба. Вертикальная волна представляет собой узкопиковую синусоиду с широкими впадинами с амплитудами в диапазоне от 20 до 45.

Количественная оценка пространственных и временных характеристик волн показала, что змеи используют горизонтальные волны с 11.5 пространственными периодами и частотой волнистости 1-1.7 Гц и вертикальные волны с 23 пространственными периодами и частотой волнистости 23.4 Гц.

В воздушной волнистости есть дополнительный компонент, который ученые назвали дорсо-вентральным изгибом, представляющий движение вверх и вниз задней части тела относительно головы. Угол наклона этого изгиба составил от -20 до 30. Дорсо-вентральной изгиб всегда присутствовал в наблюдаемых полетах, но не имел значимой связи с количеством пространственных периодов.

Чтобы точно определить степень влияния связи горизонтальных и вертикальных волн, а также влияние дорсо-вентрального изгиба на динамику полета, ученые создали анатомически точную модель змеи в полете. Контроль над моделью позволяет, по словам ученых, систематически проверять, как компоненты волнистости (амплитуда горизонтальной волны, количество пространственных периодов и частота волнистости) влияют на краткосрочную и долгосрочную динамику планирования.

Горизонтальная волна моделируется как синусоида с плоской вершиной большой амплитуды, а вертикальная волна как синусоида небольшой амплитуды:



где _m and _m максимальные горизонтальные и вертикальные углы изгиба; число пространственных периодов; f частота волнистости; фазовый сдвиг; d дорсовентральный угол изгиба; L длина тела (2f, 2g).

Горизонтальные и вертикальные волны связаны в кинематических данных (2е): = 2, f = 2f и = 2( /2). Это сильно упрощает модель до 5 переменных, определяющих форму тела: _m, _m, , f и d.

Положение r = [x, y, z] тела относительно центра масс рассчитывается следующим образом: _sx = cossin, _sy = -coscos и _sz = sin.

Положение центра масс R₀ и ориентация тела (углы рыскания*, тангажа и крена) определяются путем интегрирования уравнений поступательных и вращательных движения.

Рыскание* угловые движения относительно вертикальной оси.

где f_L и f_D бесконечно малые силы подъема и сопротивления; M_A аэродинамический момент; m масса змеи.

Для подтверждения того, что математическая модель дает физически реалистичные результаты, ученые смоделировали полеты, используя параметры, полученные во время фактических наблюдений планирования реальных змей (сравнение моделирования и наблюдений показано на изображении ниже).


Изображение 3

Судя по сравнению, модель работает, однако имеет некоторые незначительные неточности, которые требуют устранения в будущем.

Для проверки влияния волнистости на характеристики планирования было проведено два моделирования: с f = 0 Гц (без волнистости) и f = 1.2 Гц (средняя частота волнистости у змей). В обоих вариантах варьировались и _m (4а).


Изображение 4

Кинематические данные формы тела змеи в модели позволили получить 121 форму с 1 1.5 объемными волнами и амплитудами горизонтальных волн в диапазоне 90 _m 119. Далее из этого массива были выделены наблюдаемые формы тела (средняя часть графика, отделенная по диагонали; 4b). Часть графика, что ниже выделенной, содержит открытые (напоминающие букву S) формы тела, а верхняя закрытые (напоминающие знак бесконечности).

Амплитуда вертикальной волны и дорсовентральный угол поддерживались на постоянном уровне: 20 и 10 соответственно. Моделирование считалось завершенным, когда центр массы тела змеи касался земли (приземление) или когда любой из углов ориентации превышал пороговое значения в 85. Если это происходило, то планирование считалось нестабильным, т.е. не таким, как в природе. В процессе моделирования были протестированы как краткосрочная динамика (высота старта 10 м), так и длительную динамику (высота старта 75 м) с/без волнистости.

Модель показывает, что воздушная волнистость оказывает положительное влияние на характеристики планирования, обычно увеличивая горизонтальные и вертикальные расстояния, пройденные до того, как моделируемая змея станет нестабильной.


Моделирование летящей змеи, планирующей с волнистостью и без нее.

Короткие планирования с высотой запуска 10 м показали хороший коэффициент стабильности при наличии волнистости (94%). Если же волнистость не была включена в модель, то стабильными были лишь 50% полетов. Волнистость также увеличивает расстояние планирования (с 4 м до 4.3 м).

При моделировании планирования с высоты 75 м волнистость увеличила как горизонтальное, так и вертикальное расстояние до того, как проявляется нестабильность в 86% запусков. В данном случае волнистость также увеличивала расстояние полета в 92% запусках. Волнистость также увеличила среднее расстояние по горизонтали на 6.9 м.

Чтобы выяснить влияние амплитуды вертикальной волны и дорсовентрального изгиба на динамику скольжения, были использованы разные значения этих параметров в моделировании и рассмотрены полученные результаты.


Изображение 5

Было смоделировано планирование с _m = 0, 10 и 20 и дорсовентральным изгибом от -20 до 20 с шагом в 10 (5а) для 11 различных форм тела.

Вертикальные колебания оказывают относительно небольшое влияние на траекторию планирования, тогда как дорсовентральный изгиб оказывает значимое влияние.

Совершенно плоская змея (_m = 0), чего никогда не наблюдалось во время экспериментальных испытаний, показала ожидаемо наихудшие результаты. Увеличение амплитуды вертикальной волны повышало эффективность планирования из-за скручивания поперечного сечения в плоскости, обеспечивающего более выгодный угол для создания силы (2j).

В отличие от амплитуды вертикальной волны дорсовентральный изгиб оказал заметное влияние на характеристики планирования, особенно на тангаж.

При _m = 20 с задней частью тела ниже головы планирование не было неглубоким, вместо этого оно становилось нестабильным по высоте до падения на 10 м. При _m = 20 с задней частью тела выше головы траектория изогнута назад, при этом некоторые формы тела приземляются позади места прыжка. Столь неудачное планирование обосновано наклоном тела вверх. Тем не менее, планирования с вышеуказанными параметрами обладали неплохой вращательной устойчивостью.

Для проверки связи между дорсовентральным изгибом тела, качкой и характеристиками планирования было проведено моделирование без вращения. Вместо решения связанной нелинейной системы уравнений 4 и 5 ученые провели выборку аэродинамических сил на разных фазах тела в течение цикла волнистости. Далее сюда интегрировали уравнение 4, и рассчитали положение и скорость центра массы.

По сути, эта манипуляция представляет собой эксперимент виртуальной аэродинамической трубы, в котором динамическая модель используется для расчета распределенных сил, действующих на тело при его ускорении. Этот метод позволяет устранить связь поступательного и вращательного движения, чтобы количественно определить отдельные аэродинамические и инерционные вклады во вращательное движение.

При увеличении дорсовентрального изгиба от -20 до 10 позиция посадки моделируемой змеи увеличивается по мере того, как средний шаг тангажа увеличивается в направлении нуля (5d). При дорсовентральном изгибе 20 усредненный по фазе момент тангажа становится положительным, и характеристики планирования снижаются.

Для каждого угла дорсовентрального изгиба эффективность планирования и средний наклонный момент также зависят от используемой формы, в частности от количества пространственных периодов и амплитуды горизонтальной волны. Для любой формы тела в момент планирования дорсовентральный изгиб оказывает большое влияние на средний момент тангажа, и с увеличением числа пространственных периодов моменты расходятся, становясь более положительными или отрицательными в зависимости от d.

Метки усредненных по фазе моментов тангажа на 5e соответствуют наклону вверх или наклону, показанному на 5c, и результирующим характеристикам планирования на 5b. На 5f показан, что для форм тела с наименьшим пространственным периодом средний момент тангажа будет наименьшим.

Из вышеописанных данных можно предположить, что вертикальная волна заставляет тело сворачиваться вне плоскости, изменяя локальную ориентацию сплющенного крыла (форма тела змеи во время планирования) с помощью потока воздуха. Дорсовентральный изгиб контролирует величину и знак аэродинамического основного момента, который воздействует на тело. Летающая змея может контролировать момент тангажа, изменяя во время полета угол изгиба дорсовентрального отдела или форму горизонтальной волны.

Следовательно, дорсовентральный изгиб тела играет крайне важную роль в стабильности планирования, удачной посадке и возможности менять траекторию планирования прямо во время его исполнения.


Изображение 6

Анализ фазы путем усреднения позволяет количественно оценить относительный вклад аэродинамических и инерционных моментов в динамику планирования.

Из уравнений 5 следует, что на ориентацию тела влияют как аэродинамические силы, так и изменяющееся распределение массы. Аэродинамический вклад (6а) увеличивается со временем по мере увеличения скорости, тогда как инерционный вклад (6b) остается постоянным. Оба момента являются периодическими, и только момент тангажа показывает ненулевое среднее значение по фазе.

Около осей тангажа и крена первоначально преобладают инерционные моменты, но в течение одного волнообразного цикла их вклад быстро уменьшается. Инерционные моменты рыскания, как правило, на порядок больше аэродинамических моментов рыскания и больше, чем инерционные моменты вокруг других осей. Инерционные моменты рыскания возникают из-за горизонтальной волны большой амплитуды и широкой S-образной формы тела. Этот результат говорит о том, что летающие змеи могут использовать инерционное вращение в качестве механизма маневрирования.

Для более детального ознакомления с нюансами исследования рекомендую заглянуть в доклад ученых и дополнительные материалы к нему.

А желающие ознакомится с программным обеспечением, использованным для анализа планирования летающей змеи, могут перейти по этой ссылке.

Эпилог

В данном исследовании ученые использовали новейшие методики захвата движения и трехмерного моделирования, что позволило им создать анатомически точную модель летающей змеи.

Понять динамику полета птицы когда-то тоже было сложно, однако она не озадачивала ученых так сильно, как это делает летающая змея. В природе существует не так и много примеров бескрылых полетов, и все они сопряжены с и использованием нестандартных механизмов, позволяющих животному планировать, а не падать камнем на землю.

В случае летающих змей очень важную роль играет волнистость, которая наблюдается в движении ползающих и плавающих змей. Дополнительным механизмом стабилизации планирования является корректировка дорсовентрального угла изгиба тела. Объединив воедино эти элементы, летающие змеи способны перелетать с дерева на дерево, точно зная место будущей посадки.

Авторы сего труда считают, что их данные не только позволили нам лучше понять повадки украшенных древесных змей, но и получить дополнительное вдохновение для создания змееподобных роботов. Да, такие роботы уже есть. Они ползают, могут перемещаться по сложным поверхностям и проникать в труднодоступные места, но могут ли они летать?

С такими рассуждениями наш мир скоро будет похож на город машин из Матрицы, где по стенам ползали крайне необычные (и слегка пугающие) роботизированные существа, назначение которых было сложно понять. Желание человека сделать робо-версию всего, что его окружает, нельзя журить. Такова наша природа все понять, все знать, уметь создавать то, что до нас прекрасно делала природа. Если от роботизированных змей, пауков, собак и других робо-зверей будет намного больше пользы, чем вреда такие исследования полностью оправданы.

Благодарю за внимание, оставайтесь любопытствующими и отличных всем выходных, ребята! :)

Человеческий организм можно без преувеличения причислить к ряду самых сложных биологических систем на планете. Наше тело состоит из миллиардов клеток, множества органов и систем. Но все это великолепие и разнообразие возникли благодаря слиянию лишь двух клеток сперматозоида и яйцеклетки. Думаю, в пояснении, как происходит оплодотворение и что для этого требуется, нет необходимости (подсказка аисты и капуста тут ни при чем). Но вот некоторые аспекты из жизни сперматозоидов долгие годы оставались неясными. Ученые из Бристольского университета, используя современные методики трехмерной микроскопии, смогли рассмотреть движения сперматозоида так, как это не удавалось ранее. Как и за счет чего движется сперматозоид мы узнаем из доклада ученых. Поехали.

Основа исследования

Несмотря на то, что сперматозоиды участвовали в создании жизни задолго до появления научного метода, их путь в научной литературе начался достаточно недавно в 1677 году. Студент медицинского университета Иоганн Гам поделился своими наблюдениями с коллегой и другом Антони ван Левенгуком (1632 1723), который в свою очередь детально рассмотрел и описал семенных зверьков (так он назвал сперматозоиды).


Антони ван Левенгук / Ладзаро Спалланцани / Карл Эрнст фон Бэр

Левенгук предположил, что эти необычные клетки участвуют в оплодотворении, однако его теория, хоть и правдивая, была отвергнута научным сообществом. Еще долгое время считалось, что сперматозоиды это паразиты, а оплодотворением занимается исключительно семенная жидкость.

Лишь спустя почти сто лет, в 1786 году, факт участия сперматозоидов в оплодотворении был доказан Ладзаро Спалланцани (1729 1799) в его работе Experiencias Para Servir a La Historia de La Generacin De Animales y Plantas. Однако его объяснения самого процесса были достаточно туманны: он считал, что яйцеклетка уже является началом нового организма, а сперма нужна лишь для активации процесса роста.

Сам же термин сперматозоид ввел в начале XIX века Карл Эрнст фон Бэр (1792 1876).

Что бы там ни думали ученые несколько веков назад, сперматозоиды имеют вполне четкую функцию, выполнение которой обеспечивается рядом специализированных инструментов. Главная задача сперматозоида человека пройти через половые пути женщины, найти яйцеклетку и передать ей генетический материал мужчины.


Строение сперматозоида

Мужская половая клетка похвастаться габаритами не может, ибо является самой малой в теле человека (если не учитывать хвост): размеры головки составляют 5.0х3.5х2.5 мкм (длина х ширина х высота), длина средней части 4.5 мкм, а длина хвоста 45 мкм.

При этом малые размеры не являются минусом, а продуманным аспектом повышения его скорости. В процессе созревания сперматозоида его ядро (несет в себе одинарный набор хромосом) уплотняется, большая часть цитоплазмы выбрасывается, а в клетке остаются только самые важные органеллы.

Вторым по важности после ядра элементом сперматозоида можно без особых сомнений назвать жгутик, т.е. его хвост. Ибо именно благодаря ему осуществляется движения данной клетке по половым путям женщины. Забавно и то, что среда влагалища крайне губительна для мужских половых клеток, однако семенная жидкость частично снижает негативный эффект, воздействующий на сперматозоиды. Уровень рН внутри женских половых путей позволяет направлять движение сперматозоидов по направлению к матке, где их ждет куда более благоприятная среда.

Ранее считалось, что сперматозоид движется вперед за счет симметричного перемещения своего жгутика из стороны в сторону.


Изображение 1: асимметрия движения жгутика в 3D (сверху); плоская проекция движения жгутика, создающая оптическую иллюзию двусторонней симметрии в 2D-микроскопии (снизу).

Это утверждение высказывалось еще во времена Левенгука. А также привело к симметричной идеализации формы волны в трех измерениях, часто воспринимаемой как коническая спираль, похожая на расширяющийся штопор.

Ввиду двумерной микроскопии многие наблюдения были истолкованы неточно, а порой и совсем неверно. Утверждения касательно симметричности взмахов жгутика противоречит многим наблюдениям, показывающим структурную асимметрию внутри каркаса самого жгутика.

Если взмахи жгутика сперматозоида во время движения все же асимметричны, то как тогда достигается симметрия движения жгутика из стороны в сторону и движение клетки по направлению вперед? Именно этот вопрос и является основным в данном исследовании.

Для получения ответа на него, ученые сопоставили молекулярные и микроскопические наблюдения, показавшие, что сперматозоид человека использует как асимметричный, так и анизотропный контроль для регулирования взмахов жгутика. Другими словами, симметрия реализуется за счет асимметрии: возникает эффект прецессирующего волчка, когда головка вращается (сверля жидкость, слова авторов) одновременно и независимо от того, как жгутик сперматозоида вращается вокруг оси движения.

Результаты исследования

Быстрое движение жгутиков сперматозоидов человека было зарегистрировано с высоким пространственно-временным разрешением в 3D. Были исследованы две группы свободно плавающих сперматозоидов в жидкости с низкой вязкостью: сперматозоиды, плавающие рядом с покровным стеклом (ложится сверху образца во время микроскопии) и вдали от него.


Изображение 2

На 2А и 2С показаны взмахи жгутика сперматозоида, плавающего вблизи и вдали от покровного стекла. Взмахи жгутика характеризуются характерным перекатывающим движением вокруг направления движения сперматозоида.

Комбинированное вращение и поступательное движение жгутика сперматозоидов приводит к спиралевидным траекториям средней точки жгутика с сохраненной хиральностью (отмечено красным на 2А и 2С). Сперматозоиды демонстрируют двунаправленное вращение вокруг своей оси: все свободно плавающие клетки (28 штук) вращались против часовой стрелки, если смотреть с переднего конца (стрелки на 2B и 2D) и лишь 2 клетки вращались по часовой стрелке (они не двигались вперед из-за препятствий на их пути).


Микроскопия сперматозоидов, плавающих рядом с покровным стеклом (соответствует 2А).

Все сперматозоиды (30 клеток) двигались аналогично прецессирующему вращающемуся волчку, в котором вращение головки вокруг продольной оси сперматозоида (_spin), происходит одновременно и независимо от того, как вращается жгутик относительно оси движения (_roll).

На 2В и 2D показаны взмахи жгутика с точки зрения сопутствующей системы координат*, то есть в точке обзора, движущейся вместе со сперматозоидом, но не вращающейся вокруг своей оси движения. Это показывает, что взмахи жгутика крайне симметричны как в плоскостном (xy), так и во внеплоскостном (z) направлениях, что соответствует наблюдениям в 3D.

Сопутствующая система отсчета* система отсчета, связанная с рассматриваемым телом в определенный конкретный момент. Тело внутри этой системы неподвижно. Например, свободно падающий лифт является сопутствующей системой отсчета для свободно падающего в нем тела, а вот Земля не является таковой системой по отношению к телу в лифте.

Проекция траектории середины жгутика (красные линии на 2В и 2D) показывает невероятное множество геометрических узоров, от вращающихся звезд до треугольников, квадратов и петлевых узоров с полярной симметрией. Неправильный узор жгутиков, показанный на 2D для сперматозоидов, плывущих от покровного стекла, также наблюдается и для сперматозоидов, плавающих рядом с покровным стеклом. Такая изменчивость в узорах может быть вызвана несовпадением фазового запаздывания между плоскостными и внеплоскостными компонентами взмаха для каждой клетки, которые увеличиваются во временной шкале перекатывающегося движения. Следовательно, жгутиковые узоры не являются отличительной чертой клеток, плавающих вблизи и далеко от покровного стекла.


Микроскопия и моделирование жгутика, показывающие вращение головки и жгутика вокруг оси движения.

Амплитуда трехмерной волны характеризуется симметричной огибающей в форме пули кривой, в отличие от конической спирали (похожей на расширяющийся штопор), которая часто описывается в литературе. Сперматозоиды, плавающие далеко от покровного стекла, имели более симметричную форму волны, чем клетки, плавающие рядом со стеклом. Таким образом, расположенное рядом покровное стекло является слабым источником асимметрии для взмахов жгутика.

Сперматозоиды, плавающие рядом с покровным стеклом, имели сохраненный угол атаки* -7, со средней ориентацией жгутика сперматозоидов, направленной к покровному стеклу.

Угол атаки* угол между направлением вектора скорости набегающего на тело потока (жидкости или газа) и характерным продольным направлением, выбранным на теле.

Изображение 3

На изображении выше показано сравнение взмахов жгутика в сопутствующей системы отсчета (верхний ряд) и сопутствующей системы отсчета качения (нижний ряд).

На 3E показана истинная природа биения жгутика, как видно с точки зрения сперматозоида, без каких-либо сдвигов при плавании и качении.

Сопутствующая система отсчета качения (3E) показывает, что взмахи жгутика являются анизотропными, т.е. характеристики волны в каждом поперечном направлении (перпендикулярные плоскости взмаха), обозначенные b плоскость (синяя плоскость) и z плоскость (красная плоскость), заметно отличаются.

Если сравнить светло-серые области на синей и красной плоскостях на 3Е, то видно, что взмахи сильно асимметричны в b плоскости и им характерна нарушенная симметрия влево-вправо, напоминающая C-образную форму.

Данное наблюдение сильно контрастирует с симметричными картинами, наблюдаемыми в сопутствующей системе отсчета на 3A.


Форма волны жгутика относительно лабораторной фиксированной системы отсчета (x, y, z).

Анализ основных компонентов (PCA) трехмерной формы волны позволил ученым разложить взмах жгутика на несколько основных режимов формы, называемых здесь режимами PCA. Трехмерную форму волны можно восстановить с хорошей точностью только с двумя режимами формы, как видно с 3B и 3F.

На 3C видно, что первые два режима PCA идентичны по форме, вплоть до поворота на 90, таким образом фиксируя обтекаемую спиральную форму, вызванную качением сперматозоидов.

На 3G, однако, внутренняя асимметричная C-форма полностью обнаруживается только первым режимом PCA. Второй режим PCA на 3G (отмечено оранжевым) вносит небольшие отклонения перпендикулярно первому режиму PCA (отмечено синим), указывая на то, что форма волны может быть разложена на два независимых поперечных направления взмаха, анизотропных по своей природе.

Фурье анализ взмахов позволил реконструировать движение жгутика, используя только два режима Фурье на 3D и 3H. Если коротко, то каждый общий сигнал взмаха может быть аппроксимирован простой суммой двух функций:

f_r(s, t) f⁰(s) + |f¹(s)| sin(t + (s))

Первая функция f⁰(s) не зависит от времени, его называют статическим режимом, и он фиксирует усредненную асимметрию сигнала по длине дуги (s) жгутика.

Вторая функция это синусоидальная бегущая волна, называемая динамическим режимом, колеблющаяся с частотой, захваченной первым пиком спектра мощности сигнала.

Амплитуда и фазовая модуляция бегущей волны вдоль жгутика равны, соответственно, |f¹(s)| и (s) = arg(f¹(s)).

Таким образом, фаза несет информацию о характеристиках бегущей волны. Например, если фаза (s) не изменяется вдоль s, то сигнал не является бегущей волной, а скорее стоячей волной.

Следовательно, статический режим фиксирует любое несоответствие формы сигнала. В таком случае черная прямая линия на 3D отражает симметрию взмаха в плоскостях xy и xz в сопутствующей системе отсчета. Напротив, в сопутствующей системе отсчета качения (3Н) статический режим (черная кривая) характеризуется большой асимметричной амплитудой, напоминающей перевернутую C.


Форма волны жгутика относительно сопутствующей системы отсчета.


Форма волны жгутика относительно сопутствующей системы отсчета качения.

Динамический режим в сопутствующей системе отсчета (красные кривые) на 3D имеет большую амплитуду и является высокосимметричным в плоскостях xy и xz из-за качения сперматозоидов.

А вот динамический режим в сопутствующей системе отсчета качения (красные кривые) на 3H имеет уменьшенную амплитуду формы волны и предпочтительное направление движения.

Фурье-реконструкция формы волны была выполнена за счет суммирования статического и динамического режимов (графики в центре на 3D и 3H), что хорошо согласуется с исходными наблюдениями (графики справа на 3D и 3H).


Изображение 4

Графики выше показывают результаты Фурье анализа трехмерного взмаха жгутика в свободно плавающей популяции сперматозоидов (20 клеток рядом с покровным стеклом и 8 вдали от стекла). В сопутствующей системе отсчета (4А-4С) амплитуды статического режима в обоих направлениях (y_c и z_c) очень малы (верхний ряд графиков на 4B и 4C) из-за симметрии взмахов.

Кроме того, амплитуда (средний ряд) и фаза (нижний ряд) динамических режимов (y_c и z_c) на 4B и 4C фиксирует поперечную симметрию и превышает изотропию в этой системе отсчета из-за того, что сперматозоид вращается вокруг оси движения.

Характеристики бегущей волны для обеих координат (y_c и z_c) одинаковы для всех свободно плавающих клеток: частота 4 Гц, длина волны 100 мкм и скорость волны 400 мкм/с.

В сопутствующей системе отсчета качения (4D-4F) отчетливые статические режимы в b и z плоскостях показывают, что взмахи все же имеют анизотропию в свободно плавающей популяции клеток (4Е и 4F).

Статический режим b плоскости (y_cr) сильно асимметричен и смещен в сторону положительных значений (верхний ряд графиков на 4Е). А вот для z плоскости (z_cr) он колеблется симметрично вдоль длины дуги синусоидальным образом (верхний ряд на 4F).

Амплитуда динамического режима в b плоскости (y¹_cr) увеличивается до выхода на плато (средний ряд на 4E), в то время как динамический режим в z плоскости (z¹_cr) немонотонен по длине дуги (средний ряд на 4F). Характеристики бегущей волны y_cr (b плоскость) составили: частота 8 Гц, длина волны 145 мкм и скорость волны 1120 мкм/с. Характеристики бегущей волны z_cr (z плоскость): частота 6 Гц, длина волны 1526 мкм, а скорость 5174 мкм/с.

Небольшие изменения фазы на больших расстояниях по всей длине жгутика требуют очень высоких скоростей распространения волн. Следовательно, колебания z плоскости фактически ведут себя как стоячая волна, пульсирующая во времени.


Микроскопия не продвигающихся вперед и крутящихся сперматозоидов.

Совокупность вышеописанных данных говорит о том, что взмахи жгутиков используют два коактивных анизотропных поперечных регулятора, которые не слишком отличаются от бегущих электромагнитных волн. Однако каждая поперечная волна (y_cr, z_cr) представляет собой сумму статического и динамического режимов: асимметричной бегущей волны вдоль b плоскости (синий на 4D) и симметричной стоячей волны в z плоскости (красный на 4D).

Любопытно (но не удивительно) и то, что наличие рядом с траекторией движения сперматозоида покровного стекла также имеет свое влияние на амплитуду распространения волны.


Изображение 5

Стекло снижает амплитуду распространения волны из-за гидродинамических взаимодействий между жгутиком и твердой поверхностью покровного стекла.

В сопутствующей системе отсчета (5A и 5B) амплитуда обоих динамических режимов (y_c, z_c) уменьшается по направлению к концевой части жгутика для сперматозоидов рядом с покровным стеклом (графики в центре), в то время как статические режимы остаются без изменений (графики сверху).

Динамический режим z_c лишь немного меньше y_c (синие кривые) на графиках в центре 5A и 5B. Это контрастирует с симметричными, неизменными профилями обоих (y_c, z_c) динамических режимов для сперматозоидов, обнаруженных вдали от стекла (красные кривые на графиках в центре 5А и 5В).

Если же обратить внимание на сопутствующую систему отсчета качения, то природа влияния стекла достаточно анизотропна, поскольку оно влияет лишь на одну плоскость качения, т.е. на b плоскость (5C).

Покровное стекло влияет как на статические, так и на динамические режимы y_cr (график вверху и в центре на 5С). А вот z плоскость (z_cr) остается неизменной (график вверху и в центре на 5D).

Форма статического режима в сопутствующей системе отсчета качения одинакова среди всех сперматозоидов и определяет смещенную от центра правостороннюю спираль, обозначенную h(s) и показанную черной кривой на 5E. Проекция спирали на плоскость качения (зеленая плоскость) представляет собой спираль, направленную против часовой стрелки, которая не имеет полярной симметрии, т.е. смещена в одну сторону (серая проекция на 5E).

Спирали статического режима сильно напоминают логарифмические спирали, которые часто встречаются в природе. Однако в данном случае радиус спирали изменяется немонотонно, увеличиваясь/уменьшаясь с большей скоростью, чем у логарифмических спиралей где-либо еще в природе.

Правосторонняя логарифмическая спираль h(s) на 5E может быть выражена через ее радиус и тангаж (5G), который экспоненциально затухает по длине жгутика. Любое изменение знака в h_y или h_z приводит к переключению спирали на вращение по часовой стрелке, создавая таким образом левостороннюю спираль. Все свободно плавающие сперматозоиды генерировали спирали против часовой стрелки. Лишь два сперматозоида имели спирали по часовой стрелке, хотя и с формой, идентичной 5E. Именно эти две клетке не могли плыть вперед из-за каких-то препятствий на своем пути, однако могли и дальше вращаться вокруг собственной оси кручения.

Во всех случаях вращение спирали коррелирует с направлением качения сперматозоидов следующим образом: спираль против часовой стрелки для вращения по часовой стрелке (если смотреть с заднего конца) и спирали по часовой стрелке для вращения против часовой стрелки.


Изображение 6

Графики 6А и 6В показывают сложную последовательность бегущих волн, когда жгутик вращается вокруг своей оси качения. Изгибные волны распространяются линейно вдоль жгутика с немонотонной амплитудой по длине дуги, характеризующейся резким увеличением в средней части и дистальных областях.

Кручение формы волны характеризуется резкими поворотами по длине дуги (6B и 6C) с одновременными положительными и отрицательными витками. Спиральная форма центральной линии жгутика подвергается феномену, посредством которого участки противоположной хиральности вдоль жгутика сосуществуют. Однако, части жгутика с противоположной хиральностью перемещаются во время взмахов (6C и 6E). Бегущие волны кручения распространяются с той же скоростью, что и волна кривизны.


Изображение 7

Чтобы лучше понять разницу между результатами трехмерной микроскопии, полученными в данном исследовании, и результатами двумерной микроскопии, которые часто описываются в литературе, ученые создали 2D-проекцию из 3D формы волны.

Статический режим двумерной кривизны весьма незначителен (7F). В 2D не может быть обнаружена внутренняя асимметрия формы сигнала. Вместо этого частотный спектр характеризуется двумя частотными пиками (черные маркеры на 7F), а не одним основным частотным пиком, наблюдаемым для трехмерной кривизны (красная кривая на 7F).

Для более подробного ознакомления с нюансами исследования рекомендую заглянуть в доклад ученых и дополнительные материалы к нему.

Эпилог

В данном труде ученые смогли на практике показать, что за счет трехмерной микроскопии можно узнать то, что не даст двумерная например, увидеть изменения направления спирали (изменения хиральности) во время колебаний жгутиков.

На первый взгляд может показаться, что сперматозоиды просто плывут вперед, покачивая своими хвостами. Однако детальное рассмотрение кинематики этих клеток показало, что этот процесс куда сложнее. Взмахи и покачивания жгутиков, вращение самой клетки все это в совокупности позволяет сперматозоиду двигаться вперед.

Ранее часть этих сведений была доступна, но не все детали были описаны подробно, ввиду ограниченности двумерной микроскопии. По мнению ученых, понимание того, как именно сперматозоиды двигаются, может сильно помочь в области репродуктивной медицины. В частности новые данные позволят расширить спектр параметров, по которым определяются нездоровые половые клетки мужчины, что является причиной бесплодия у примерно половины пар.

В любом случае, чем лучше мы понимаем те или иные явления и процессы, особенно происходящие в нашем собственном теле, тем больше вероятность улучшить качество нашей жизнь.

Благодарю за внимание, оставайтесь любопытствующими и хорошей всем рабочей недели, ребята. :)

Немного рекламы

Спасибо, что остаётесь с нами. Вам нравятся наши статьи? Хотите видеть больше интересных материалов? Поддержите нас, оформив заказ или порекомендовав знакомым, облачные VPS для разработчиков от $4.99, уникальный аналог entry-level серверов, который был придуман нами для Вас: Вся правда о VPS (KVM) E5-2697 v3 (6 Cores) 10GB DDR4 480GB SSD 1Gbps от $19 или как правильно делить сервер? (доступны варианты с RAID1 и RAID10, до 24 ядер и до 40GB DDR4).

Dell R730xd в 2 раза дешевле в дата-центре Equinix Tier IV в Амстердаме? Только у нас 2 х Intel TetraDeca-Core Xeon 2x E5-2697v3 2.6GHz 14C 64GB DDR4 4x960GB SSD 1Gbps 100 ТВ от $199 в Нидерландах! Dell R420 2x E5-2430 2.2Ghz 6C 128GB DDR3 2x960GB SSD 1Gbps 100TB от $99! Читайте о том Как построить инфраструктуру корп. класса c применением серверов Dell R730xd Е5-2650 v4 стоимостью 9000 евро за копейки?