Вычислительная геометрия

В наше время компьютеры представляют собой мощные вычислительные машины,
способные выполнять миллионы операций в секунду. И естественно не обойтись без симуляции реального или игрового мира. Одна из задач компьютерного моделирования и симуляции состоит в определении столкновения двух объектов, одно из решений которой реализуется теоремой о разделяющей оси.



Примечание. В статье будет приведен пример с 2 параллелепипедами(далее кубы), но идея для других выпуклых объектов будет сохранена.
Примечание. Вся реализация будет выполнена в Unity.

Акт 0. Общая теория

Для начала нужно познакомиться с "теоремой о разделяющей гиперплоскости".Именно она будет лежать в основе алгоритма.

Теорема. Две выпуклые геометрии не пересекаются, тогда и только тогда, когда между ними существует гиперплоскость, которая их разделяет. Ось ортогональная разделяющей
гиперплоскости называется разделяющей осью, а проекции фигур на нее не пересекаются.


Разделяющая ось (двумерный случай)


Разделяющая ось (трехмерный случай)
Можно заметить, что проекции на разделяющую ось не пересекаются.

Свойство. Потенциальная разделяющая ось будет находиться в следующих множествах:

• Нормы плоскостей каждого куба(красные)
• Векторное произведение ребер кубов ,

где X ребра первого куба (зеленые), а Y второго (синие).



Каждый куб мы можем описать следующими входными данными:

• Координаты центра куба
• Размеры куба (высота, ширина, глубина)
• Кватернион куба

Создадим для этого дополнительный класс, экземпляры которого будут предоставлять информацию о кубе.

public class Box{    public Vector3 Center;    public Vector3 Size;    public Quaternion Quaternion;    public Box(Vector3 center, Vector3 size, Quaternion quaternion)    {       this.Center = center;       this.Size = size;       this.Quaternion = quaternion;    }    // дополнительный конструктор, который    // позволяет сгенерировать объект на основе GameObject    public Box(GameObject obj)    {        Center = obj.transform.position;        Size = obj.transform.lossyScale;        Quaternion = obj.transform.rotation;    }}

Акт 1. Кватернионы

Как часто бывает, объект может вращаться в пространстве. Для того, чтобы найти координаты вершин, с учетом вращения куба, необходимо понять, что такое кватернион.

Кватернион это гиперкомплексное число, которое определяет вращение объекта в пространстве.

Мнимая часть(x,y,z) представляет вектор, который определяет направление вращения
Вещественная часть(w) определяет угол, на который будет совершено вращение.

Его основное отличие от всем привычных углов Эйлера в том, что нам достаточно иметь один вектор, который будет определять направление вращения, чем три линейно независимых вектора, которые вращают объект в 3 подпространствах.

Рекомендую две статьи, в которых подробно рассказывается о кватернионах:

Раз
Два

Теперь, когда у нас есть минимальные представления о кватернионах, давайте поймем, как вращать вектор, и опишем функцию вращение вектора кватернионом.

Формула вращения вектора

искомый вектор
исходный вектор
кватернион
обратный кватернион

Для начала, дадим понятие обратного кватерниона в ортонормированном базисе это кватернион с противоположной по знаку мнимой частью.




Посчитаем






Теперь выпишем отдельные компоненты и из этого произведения соберем новый кватернион






Посчитаем оставшуюся часть, т.е. и получим искомый вектор.

Примечание. Чтобы не загромождать вычисления, приведем только мнимую(векторную) часть этого произведения. Ведь именно она характеризует искомый вектор.







Соберем компоненты вектора






Таким образом необходимый вектор получен

Напишем код:

private static Vector3 QuanRotation(Vector3 v,Quaternion q){        float u0 = v.x * q.x + v.y * q.y + v.z * q.z;        float u1 = v.x * q.w - v.y * q.z + v.z * q.y;        float u2 = v.x * q.z + v.y * q.w - v.z * q.x;        float u3 = -v.x * q.y + v.y * q.x + v.z * q.w;        Quaternion M = new Quaternion(u1,u2,u3,u0);                Vector3 resultVector;        resultVector.x = q.w * M.x + q.x * M.w + q.y * M.z - q.z * M.y;          resultVector.y = q.w * M.y - q.x * M.z + q.y * M.w + q.z * M.x;        resultVector.z = q.w * M.z + q.x * M.y - q.y * M.x + q.z * M.w;                return resultVector;}

Акт 2. Нахождение вершин куба

Зная как вращать вектор кватернионом, не составит труда найти все вершины куба.

Перейдем к функцию нахождении вершин куба. Определим базовые переменные.

private static Vector3[] GetPoint(Box box){        //Тут будут храниться координаты вершин        Vector3[] point = new Vector3[8];        //получаем координаты        //....        return point;}

Далее необходимо найти такую точку(опорную точку), от которой будет легче всего найти другие вершины.

Из центра покоординатно вычитаем половину размерности куба.Потом к опорной точке прибавляем по одной размерности куба.

//...        //первые четыре вершины        point[0] = box.Center - box.Size/2;        point[1] = point[0] + new Vector3(box.Size.x , 0, 0);        point[2] = point[0] + new Vector3(0, box.Size.y, 0);        point[3] = point[0] + new Vector3(0, 0, box.Size.z);//таким же образом находим оставшееся точки        point[4] = box.Center + box.Size / 2;        point[5] = point[4] - new Vector3(box.Size.x, 0, 0);        point[6] = point[4] - new Vector3(0, box.Size.y, 0);        point[7] = point[4] - new Vector3(0, 0, box.Size.z);//...

Можем видеть, как сформированы точки

После нахождения координат вершин, необходимо повернуть каждый вектор на соответствующий кватернион.

//...        for (int i = 0; i < 8; i++)        {            point[i] -= box.Center;//перенос центра в начало координат            point[i] = QuanRotation(point[i], box.Quaternion);//поворот            point[i] += box.Center;//обратный перенос        }//...

Перейдем к проекциям.

Акт 3. Поиск разделяющих осей

Следующим шагом необходимо найти множество осей, претендующих на разделяющую.
Вспомним, что ее можно найти в следующих множествах:

• Нормали плоскостей каждого куба(красные)
• Векторное произведение ребер кубов , где X ребра первого куба (зеленые), а Y второго (синие).

Для того, чтобы получить необходимые оси, достаточно иметь четыре вершины куба, которые формируют ортогональную систему векторов. Эти вершины находятся в первых четырех ячейках массива точек, которые мы сформировали во втором акте.



Необходимо найти нормали плоскостей, порожденные векторами:

• и
• и
• и

Для этого надо перебрать пары ребер куба так, чтобы каждая новая выборка образовывала плоскость, ортогональную всем предыдущим полученным плоскостям. Для меня невероятно тяжело было объяснить как это работает, поэтому я предоставил два варианта кода, которые помогут понять.


Но можно сделать проще:

private static List<Vector3> GetAxis(Vector3[] a, Vector3[] b){        //ребра        Vector3 A;        Vector3 B;//потенциальные разделяющие оси        List<Vector3> Axis = new List<Vector3>();//нормали плоскостей первого куба        for (int i = 1; i < 4; i++)        {            A = a[i] - a[0];            B = a[(i+1)%3+1] - a[0];            Axis.Add(Vector3.Cross(A,B).normalized);        }//нормали второго куба        for (int i = 1; i < 4; i++)        {            A = b[i] - b[0];            B = b[(i+1)%3+1] - b[0];            Axis.Add(Vector3.Cross(A,B).normalized);        }        //...}

Еще мы должны найти все векторные произведения ребер кубов. Это можно организовать простым перебором:

private static List<Vector3> GetAxis(Vector3[] a, Vector3[] b){        //...        //получение нормалей        //...        //Теперь добавляем все векторные произведения        for (int i = 1; i < 4; i++)        {            A = a[i] - a[0];            for (int j = 1; j < 4; j++)            {                B = b[j] - b[0];                if (Vector3.Cross(A,B).magnitude != 0)                {                    Axis.Add(Vector3.Cross(A,B).normalized);                }            }        }        return Axis;}

Акт 4. Проекции на оси

Мы подошли к самому главному моменту. Здесь мы должны найти проекции кубов на все потенциальные разделяющие оси. У теоремы есть одно важное следствие: если объекты пересекаются, то ось на которую величины пересечения проекции кубов минимальна является направлением(нормалью) коллизии, а длинна отрезка пересечения глубиной проникновения.

Но для начала напомним формулу скалярной проекции вектора v на единичный вектор a:

private static float ProjVector3(Vector3 v, Vector3 a){        a = a.normalized;        return Vector3.Dot(v, a) / a.magnitude;        }

Теперь опишем функцию, которая будет определять пересечение проекций на оси-кандидаты.

На вход подаем вершины двух кубов, и список потенциальных разделяющих осей:

private static Vector3 IntersectionOfProj(Vector3[] a, Vector3[] b, List<Vector3> Axis){        for (int j = 0; j < Axis.Count; j++)        {           //в этом цикле проверяем каждую ось           //будем определять пересечение проекций на разделяющие оси из списка кандидатов        }        //Если мы в цикле не нашли разделяющие оси, то кубы пересекаются, и нам нужно         //определить глубину и нормаль пересечения.}

Проекция на ось задается двумя точками, которые имеют максимальные и минимальные значения на самой оси:



Далее создаем функцию, которая возвращает проекционные точки каждого куба. Она принимает два возвращаемых параметра, массив вершин и потенциальную разделяющую ось.

private static void ProjAxis(out float min, out float max, Vector3[] points, Vector3 Axis){        max = ProjVector3(points[0], Axis);        min = ProjVector3(points[0], Axis);        for (int i = 1; i < points.Length; i++)        {            float tmp = ProjVector3(points[i], Axis);            if (tmp > max)            {                max = tmp;            }            if (tmp < min)            {                min= tmp;            }        }}

Итого, применив данную функцию( ProjAxis ), получим проекционные точки каждого куба.

private static Vector3 IntersectionOfProj(Vector3[] a, Vector3[] b, List<Vector3> Axis){        for (int j = 0; j < Axis.Count; j++)        {            //проекции куба a            float max_a;            float min_a;            ProjAxis(out min_a,out max_a,a,Axis[j]);            //проекции куба b            float max_b;            float min_b;            ProjAxis(out min_b,out max_b,b,Axis[j]);                        //...        }        //...}

Далее, на основе проекционных вершин определяем пересечение проекций:



Для этого давайте поместим наши точки в массив и отсортируем его, такой способ поможет нам определить не только пересечение, но и глубину пересечения.

            float[] points = {min_a, max_a, min_b, max_b};            Array.Sort(points);

Заметим следующее свойство:

1) Если отрезки не пересекаются, то сумма отрезков будет меньше, чем отрезок сформированными крайними точками:



2) Если отрезки пересекаются, то сумма отрезков будет больше, чем отрезок сформированными крайними точками:



Вот таким простым условием мы проверили пересечение и непересечение отрезков.

Если пересечения нет, то глубина пересечения будет равна нулю:

            //...            //Сумма отрезков            float sum = (max_b - min_b) + (max_a - min_a);            //Длина крайних точек            float len = Math.Abs(p[3] - p[0]);                        if (sum <= len)            {                //разделяющая ось существует                // объекты непересекаются                return Vector3.zero;            }            //Предполагаем, что кубы пересекаются и рассматриваем текущую ось далее            //....

Таким образом, нам достаточно иметь хоть один вектор, на котором проекции кубов не пересекаются, тогда и сами кубы не пересекаются. Поэтому, когда мы найдем разделяющую ось, мы сможем не проверять оставшееся вектора, и завершить работу алгоритма.

В случае пересечения кубов, все немного интереснее: проекции кубов на все вектора будет пересекаться, и мы должны определить вектор с минимальным пересечением.

Создадим этот вектор перед циклом, и будем хранить в нем вектор с минимальной длинной. Тем самым в конце работы цикла получим искомый вектор.

private static Vector3 IntersectionOfProj(Vector3[] a, Vector3[] b, List<Vector3> Axis){        Vector3 norm = new Vector3(10000,10000,10000);        for (int j = 0; j < Axis.Count; j++)        {                //...        }        //в случае, когда нашелся вектор с минимальным пересечением, возвращаем его        return norm;{

И каждый раз, когда мы находим ось, на которой проекции пересекаются, проверяем является ли она минимальной по длине среди всех. такую ось умножаем на длину пересечения, и результатом будет искомая нормаль(направление) пересечения кубов.

Так же я добавил определение ориентации нормали по отношению первого куба.

//...if (sum <= len){   //разделяющая ось существует   // объекты не пересекаются   return new Vector3(0,0,0);}//Предполагаем, что кубы пересекаются и рассматриваем текущий вектор далее//пересечение проекций - это расстояние между 2 и 1 элементом в нашем массиве//(см. рисунок на котором изображен случай пересечения отрезков)float dl = Math.Abs(points[2] - points[1]);if (dl < norm.magnitude){   norm = Axis[j] * dl;   //ориентация нормали   if(points[0] != min_a)   norm = -norm;}//...

Заключение

Проект с реализацией и примером загружен на GitHub, и ознакомиться можно с ним здесь.

Моей целью было поделиться своим опытом в решение задач связанных с определением пересечений двух выпуклых объектов. А так же доступно и понятно рассказать о данной теореме.