Фридман

ОТО. Энергия как дополнительное измерение в решении Шварцшильда

20.08.2020 18:04:07 |

Автор: admin

Habritants! В этой статье описано получение метрики общего вида, включающей метрики Фридмана и Шварцшильда как частные случаи.

Для понимания материала необходимы знания алгебры: понятие о производных в большей степени; тензорная в меньшей.

Представим, что у пространства есть четвёртое измерение. Как если бы движение в нём забирало у объекта некоторое количество движения или наоборот. Словно гравитация это чисто геометрический эффект создания субпространственной воронки вокруг любого объекта, обладающего энергией.

Вы наверняка натыкались на подобную визуализацию гравитации, если интересуетесь вопросом:

Для того, чтобы оценить глубину такой воронки и механизм взаимодействия объектов, сформулируем выражение интервала сигнатуры (1-4).

3-сферические координаты

Представим 4-ёх мерное пространство $\psi (w,x,y,z) = \mathbb{R}^4$ , и зададим в нём сферические координаты $(r, \theta, \phi, \eta)$ :

$] \, {w = r\sin\theta\sin\phi\cos\eta; \\ x = r\sin\theta\sin\phi\sin\eta; \\ y = r\sin\theta\cos\phi; \\ z = r\cos\theta } \\$

Для этого запишем переходную матрицу:

$\vec{r} = \left( \matrix{w \\ x \\ y \\ z} \right) = \left( \matrix{r\sin\theta\sin\phi\cos\eta \\ r\sin\theta\sin\phi\sin\eta \\ r\sin\theta\cos\phi \\ r\cos\theta } \right)$

Посчитаем переходные коэффициенты:

$g_r = \left| \frac{\partial\vec{r}}{\partial r} \right| = \sqrt{ \left( \frac{\partial w}{\partial r} \hat{h} + \frac{\partial x}{\partial r} \hat{i} + \frac{\partial y}{\partial r} \hat{j} + \frac{\partial z}{\partial r} \hat{k} \right)^2 } = \\ = \sqrt{sin^2\theta\sin^2\phi\cos^2\eta + \sin^2\theta\sin^2\phi\sin^2\eta + sin^2\theta\cos^2\phi + \cos^2\theta} = 1 \\ g_\theta = \left| \frac{\partial\vec{r}}{\partial \theta} \right| = \sqrt{r^2cos^2\theta\sin^2\phi\cos^2\eta+r^2\cos^2\theta\sin^2\phi\sin^2\eta+r^2\cos^2\theta\cos^2\phi+r^2sin^2\theta} = \\ = \sqrt{r^2(sin^2\theta + \cos^2\theta (cos^2\phi + sin^2\phi (cos^2\eta+sin^2\eta)))} = r \\ g_\phi = \left| \frac{\partial\vec{r}}{\partial \phi} \right| = \sqrt{r^2sin^2\theta\cos^2\phi\cos^2\eta + r^2sin^2\theta\cos^2\phi\sin^2\eta + r^2sin^2\theta\sin^2\phi + 0} = \\ = \sqrt{r^2sin^2\theta} = r\sin\theta \\ g_\eta = \left| \frac{\partial\vec{r}}{\partial \eta} \right| = \sqrt{r^2\sin^2\theta\sin^2\phi\sin^2\eta+r^2\sin^2\theta\sin^2\phi\cos^2\eta} = r\sin\theta\sin\phi$

И представим соответствующий $\psi$ интервал:

$ds^2 = \color{red}{(-1)\cdot dt^2} + (dw^2 + \color{green}{ dx^2 + dy^2 + dz^2}) \\ ds^2 = (-1)\cdot dt^2 + (g_r^2 dr^2 + g_\theta^2 d\theta^2 + g_\phi^2 d\phi^2 + g_\eta^2 d\eta^2) \\ ds^2 = (-1)\cdot dt^2 + 1 \cdot dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot \sin^2\phi \cdot d\eta^2 \\ ds^2 = \color{red}{(-1)\cdot dt^2} + \color{magenta}{1 \cdot dr^2} + \color{green}{r^2 \left( d\theta^2 + \sin^2\theta \cdot d\phi^2 + \sin^2\theta \cdot \sin^2\phi \cdot d\eta^2 \right)}$

Красным темпоральная составляющая, представленная аналогично метрике FLRW.
Зелёным пространственная составляющая, представленная аналогично метрике FLRW, и представляющая собой поверхность 3-сферы.

Маджента получилась подвисшим между временем и пространством звеном дифференциалом изменения мультипликатора пространственной части.

Общий вид интервала

Продолжая развитие идей, изложенных в предыдущей статье, положим изменение четвёртого измерения мерой связанной с относительным количеством энергии объектов, следовательно, дополним метрику составляющей $\color{orange}{-dr^2}$ в силу рассмотрения энергетически замкнутой системы, что будет предполагаться истинным и для Вселенной в целом (решение Фридмана), и для сферически симметричного массивного тела (решение Шварцшильда). Читатель не согласный с такой трактовкой, может просто считать это математическим трюком:

$ds^2 = \color{red}{(-1)\cdot dt^2 \left( 1 - \color{magenta}{\frac{dr^2}{dt^2}} \right)} + \color{green}{r^2 \left( d\theta^2 + \sin^2\theta \cdot d\phi^2 + \sin^2\theta \cdot \sin^2\phi \cdot d\eta^2 - \color{orange}{\frac{dr^2}{r^2}} \right)}$

Маджента в темпоральной части понятна:

$\color{magenta}{ \frac{dr^2}{dt^2} = \dot{r}^2 }$

Зелёную переформируем, чтобы показать, что пространство $\psi'(\theta, \phi, \eta) = \mathbb{R}^3 \in \psi$ является псевдоевклидовым:

$\color{green}{r^2 \left( d\theta^2 + \sin^2\theta \cdot d\phi^2 + \sin^2\theta \cdot \sin^2\phi \cdot d\eta^2 - \color{orange}{\frac{dr^2}{r^2}} \right) = \\ = r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot \frac{d\phi^2}{d\theta^2} \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot \sin^2\phi \cdot \frac{d\eta^2}{d\theta^2} \cdot dr^2 - \color{orange}{dr^2} =} \quad \rightarrow (1)$

Производные углов $\phi, \eta$ по углу $\theta$ равны:

$\frac{d\phi^2}{d\theta^2} = \left( \frac{d\theta}{d\vec{r}} \cdot \frac{d\vec{r}}{d\phi} \right)^2 = \left( \frac{g_\phi}{g_\theta} \right)^2 = \frac{1}{\sin^2\theta}; \\ \frac{d\eta^2}{d\theta^2} = \frac{g_\theta^2}{g_\phi^2} = \frac{1}{\sin^2\theta \cdot \sin^2\phi };$

Поэтому с учётом базисных векторов:

$(1) \rightarrow \quad \color{green}{= r^2 \cdot d\theta^2 \cdot \vec{e_{\theta 1}}^2 + r^2 \cdot d\theta^2 \cdot \vec{e_{\theta 2}}^2 + r^2 \cdot d\theta^2 \cdot \vec{e_{\theta 3}}^2 - \color{orange}{dr^2 \cdot \vec{e_r}^2} = } \quad \rightarrow \ (2)$

что представляет локальное псевдоевклидово 3-пространство $\psi'_1(x_1, y_1, z_1)$ с линейными по $d\theta$ базисными векторами:

$d\theta \cdot \vec{e_{\theta 1}} = dx_1 \cdot \vec{e_x}; \\ d\theta \cdot \vec{e_{\theta 2}} = dy_1 \cdot \vec{e_y}; \\ d\theta \cdot \vec{e_{\theta 3}} = dz_1 \cdot \vec{e_z};$

с масштабным фактором $inline$ , и с мгновенной длиной $inline$ , в нашем случае совокупно редуцированной на величину $inline$ :

$(2) \rightarrow \quad \color{green}{ = r^2 \cdot \left( dx_1^2 \cdot \vec{e_\theta}^2 + dy_1^2 \cdot \vec{e_\phi}^2 + dz_1^2 \cdot \vec{e_\eta}^2 - \color{orange}{\frac{dr^2}{r^2} \cdot \vec{e_r}^2} \right) = } \quad \rightarrow \ (3)$

Без оранжевой составляющей получилась пространственная часть интервала стандартной космологической модели для плоского пространства с возможной деградацией пространственного масштабного фактора $inline$ по времени, как в FLRW.

Гиперповерхность 3-сферы является внутри себя линейной по угловым координатам, или, иначе говоря, пространственная часть интервала получилась плоской для неизменного $r \ (dr = 0)$ . Упаковать лишний $inline$ будет практичнее снова в сферических, только уже обычных для трёхмерной сферы $(x_1, y_1, z_1) \rightarrow(\rho, \varphi, \zeta)$ . Чтобы различать координаты для 3-сферической и 2-сферической систем, последние обозначим $(\rho, \varphi, \zeta)$ :

$(3) \rightarrow \quad \color{green}{ r^2 \cdot \left( dx_1^2 + dy_1^2 +dz_1^2 - \color{orange}{\frac{dr^2}{r^2}} \right) = r^2 \cdot \left( d\rho^2 - \color{orange}{\frac{dr^2}{r^2}} + \rho^2 \cdot d\varphi^2 + \rho^2 \cdot \sin^2 \varphi \cdot d\zeta^2 \right) = \\ = r^2 \cdot \left( \left(1 - \color{orange}{\frac{d(\ln r)^2}{d\rho^2}} \right) d\rho^2 + \rho^2 \cdot ( d\varphi^2 + \sin^2 \varphi \cdot d\zeta^2) \right) }$

где порядок отношения величин $dr = r d\rho \ \Rightarrow r = e^\rho$ , а $\varphi, \zeta$ по теореме тангенсов:

${ d\varphi = \frac{r}{\rho} \cdot d\phi; \\ d\zeta = \frac{r \cdot \sin \phi}{\rho \cdot \sin\varphi} \cdot d\eta. }$

Тогда полный интервал будет:

$ds^2 = \color{red}{(-1)\cdot dt^2 \left( 1 - \color{magenta}{\frac{dr^2}{dt^2}} \right)} + \color{green}{ r^2 \cdot \left( \left(1 - \color{orange}{\frac{d(\ln r)^2}{d\rho^2}} \right) d\rho^2 + \rho^2 \cdot ( d\varphi^2 + \sin^2 \varphi \cdot d\zeta^2) \right)} \qquad (A)$

Получился комбинированный интервал словно слепленный из вида интервала метрики FLRW и метрики Шварцшильда, каждый из которых представляет частный случай физических взаимодействий. Теперь посмотрим как из $inline$ получаются соответствующие решения.

Вид интервала для метрики Фридмана

Чисто математически интервал вида $inline$ превращается в метрику FLRW стандартной космологической модели простым исключением энергетической составляющей $inline$ :

$ds^2 = \color{red}{(-1)\cdot dt^2} + \color{green}{ r^2 \cdot \left( d\rho^2 + \rho^2 \cdot ( d\varphi^2 + \sin^2 \varphi \cdot d\zeta^2) \right)}$

Что, как показано выше, можно также переписать так:

$ds^2 = \color{red}{(-1)\cdot dt^2} + \color{green}{ r^2 \cdot \left( dx^2 + dy^2 + dz^2 \right)}$

Решение уравнений ОТО для такого интервала даёт зависимость $r \propto t^{2/3}$ .

Однако, эмпирические данные ККС для объектов $inline$ показывают консолидированное отклонение от этой зависимости.

Возможно, решение для интервала вида $inline$ даст более точную зависимость, но я пока его не нашёл.

Решение ОТО через метрику Шварцшильда

Сравним полученный интервал с метрикой Шварцшильда:

$ds^2 = -\color{red}{(1-\frac{\rho_s}{\rho})} \cdot dt^2 + \color{orange}{\frac{1}{1 - \frac{\rho_s}{\rho}}} \cdot d\rho^2 + \rho^2 \cdot d\phi^2 + \rho^2 \sin^2 \phi \cdot d\zeta^2$

Если представить систему взаимодействующих объектов в низкоэнергетическом масштабе $(dr/r \rightarrow \infty)$ , то $inline$ можно принять равным единице без потери математической связности, пространство при этом станет псевдоевклидовым, а интервал $inline$ можно переписать следующим образом:

$ds^2 = (-1)\cdot \color{red}{ \left( 1 - \frac{dr^2}{dt^2} \right) } \cdot dt^2 + \color{orange}{ \left(1 - \frac{dr^2}{d\rho^2} \right) } \cdot d\rho^2 + \rho^2 \cdot ( d\varphi^2 + \sin^2 \varphi \cdot d\zeta^2)$

Математически это ровно то же самое, как если бы мы выполнили фокус $\pm dr^2$ для пустого 3-пространства в сферических координатах $(\rho, \varphi, \zeta)$ .

То есть для плоского вакуумного случая интервал $inline$ будет иметь решение аналогичное решению метрики Шварцшильда, при условии эквивалентности подцвеченных красным и оранжевым множителей. Получим систему:

$1-\frac{\rho_s}{\rho} = 1 - \frac{dr^2}{dt^2}; \\ \frac{1}{1 - \frac{\rho_s}{\rho}} = 1 - \frac{dr^2}{d\rho^2}.$

где $t, r, \rho$ по порядку: время, кривизна (энергия), радиус (расстояние) в сферически симметричном гравитационном поле по нулевой общей кривизне пространства.
Путём нехитрых математических преобразований получим весьма лаконичное решение:

$dt^2 + dr^2 - d\rho^2 = 0,$

которое подтверждает, что:

Четвёртая координата линейна радиальной координате.
Четвёртая координата является координатой по мнимой оси.

Первое, на мой взгляд, очень важно, потому что показывает, что энергия, представленная как дополнительная ось, почти изотропна наблюдаемым. Второе позволяет понять, почему она проявляет себя иначе. И ненаблюдаема.

Кроме того, хочется отметить, что сама постановка в интервале энергии с отрицательным знаком относительно пространства и положительным относительно времени позволяет сформулировать их взаимоотношения следующим образом: пространство это энергия-время, оно преодолевается за энергию-время.

Резюме

Мне кажется, продолжение курса на геометризацию физики показывает себя весьма перспективным направлением. Мнимость энергетической оси в космологии могла бы послужить перекидным мостиком к уравнениям Максвелла.

Заметки на полях. Забегая вперёд, позволю себе предположить, что одного мнимого измерения для организации механизмов заряда и массы будет мало. Плюс электро-магнитный дуализм как аргумент в пользу не менее двух измерений. И некоторая симметрия в форме: временное измерение + два энергетических = три пространственных.
При переходе к микро масштабам я попробую двигаться в направлении расщепления $inline$ :

$display$

Подробнее..

Категории: Астрономия , Научно-популярное , Физика , Математика , Читальный зал , Фридман , Метрика , Кривизна , Пространство , Общая теория относительности , Пространство минковского , Пространство-время , Метрика пространства , Теория всего , Специальная теория относительности , Интервал , Кривизна вселенной , Кривизна пространства , Шварцшильд

Космология. Подробный разбор решения Фридмана

09.07.2020 16:21:19 |

Автор: admin

Habritants! Когда в процессе моего ознакомления с темой решения уравнений общей теории относительности для метрики Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера выяснилось, что единого транспарентного материала на эту тему на русском языке нет, я решил запостить разбор в виде статьи, заодно ещё раз самому лучше вникнув в тему.
Всем желающим найти собственное решение уравнений общей теории относительности Эйнштейна или просто лучше понять бытие посвящается.

В статье О кривизне пространства , в которой Фридман впервые приводит решение ОТО для нестационарной Вселенной, Александр Александрович указывает лишь метрику в виде интервала и уравнения-результат, справедливо полагая само решение не заслуживающей внимания рутиной.
Но в поисках вариаций на тему рутина горит как кокс. Поэтому в путь.

Для понимания материала необходимы знания алгебры: понятие о производных в большей степени; тензорная в меньшей.

Метрика

Рассмотрим получение метрики FLRW, которая по сути является основанием решения Фридмана, начав с упрощённого случая. Полностью и достаточно подробно, но без пояснений, хорошо описано здесь (pdf).
I. Представим одномерное пространство $\psi$ , с протянутой внутри него осью $inline$ , равномерно искривлённым:

Можно сказать, что пространство $\psi$ является одномерной гиперповерхностью постоянной кривизны в двухмерном пространстве (x,y).
Зададим произвольную точку $inline$ в пространстве $\psi$ , тогда с одной стороны, длина перемещения из точки A в любую сторону пространства $\psi$ определяется формулой (1):

$display$

где $inline$ координаты в декартовой системе координат, смещённой относительно $\psi$ , то есть имеющей начало O вне рассматриваемого пространства.
С другой же стороны, кривизна $\psi$ характеризуется радиусом R, который задан формулой (2):

$display$

Продифференцируем (2), чтобы получить взаимозависимость скоростей изменения координат $inline$ и $inline$ : $inline$ . Или:

$dy=-\frac{xdx}{y}$

Заметки на полях. Форма зависимости $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$ замечательно резонирует с отношением из доказательства Харди теоремы Пифагора: $\frac{dc}{da}=\frac{a}{с}$ (a катет, c гипотенуза).
В нашем случае катеты нелинейно перерастают друг в друга при постоянной гипотенузе.

Подставляем $inline$ отсюда в (1), и выражаем $inline$ через $inline$ : $dl^2=dx^2+dy^2=dx^2+\frac{x^2dx^2}{y^2}=dx^2+\frac{x^2dx^2}{R^2-x^2}$
$\frac{dl^2}{dx^2}=1+\frac{x^2}{R^2-x^2}=\frac{R^2}{R^2-x^2}$
Получим:

$\frac{dl^2}{dx^2}=\frac{1}{1-\frac{x^2}{R^2}}$

Если пространство плоское ( $R \rightarrow$ ) $\frac{dl^2}{dx^2}=1$ . Как если бы перед $inline$ был ноль.
Если пространство положительной кривизны, у длины появляется отклонение, зависящее от $inline$ . Множитель перед $inline$ в этом случае $inline$ .
Для отрицательной кривизны знак множителя надо изменить на отрицательный ( $inline$ ). Можно представить все три случая так:

$\frac{dl^2}{dx^2}=\frac{1}{1-k\frac{x^2}{R^2}}$

Чем дальше мы движемся в таком пространстве $\psi$ при неизменном радиусе кривизны $inline$ , тем хуже (проходим всё меньшее расстояние) у нас будет это получаться в сферическом пространстве, без изменений в плоском, и лучше (большее расстояние) в гиперболическом.

II. Расширим пространство $\psi$ до трёхмерного (x,y,z). Будем подразумевать, что радиус его кривизны $inline$ одинаков в каждой точке, как если бы оно было поверхностью 3-сферы все три оси скручены подобно оси $inline$ , образуя 3-сферу радиуса $inline$ . Произведём те же операции, что для одномерного варианта, чтобы получить уравнение для перемещения в трёхмерном пространстве (3):

Подробно вывод пространственной составляющей в декартовых координатах

$inline$ (1)
$inline$ дифференцируем и выражаем dw:
$dw^2=\left[ \frac{xdx+ydy+zdz}{w} \right]^2$
$inline$
$dw^2= \frac{\left[xdx+ydy+zdz \right]^2}{R^2 - x^2+y^2+z^2}$ подставляем в (1):

$dl^2=dx^2+dy^2+dz^2+\color{red}{\frac{(xdx+ydy+zdz)^2}{R^2-(x^2+y^2+z^2)}}$

Красным кривая часть, отличающая метрику FRW от плоской метрики пространства Минковского.
В таком представлении хорошо видно, что последнее кривое слагаемое по осям совсем никак впрямую не разнести, что, в свою очередь, приведёт к появлению недиагональных членов метрического тензора, а это значительно усложнит дальнейшие вычисления (или сделает невозможными, я не пробовал).
Поэтому надо искать обходной путь. Необходимо найти такое координатное представление, чтобы кривизна могла быть выражена отдельно для каждого базисного вектора.
Сферические координаты здесь отлично подходят для раздельного представления кривизны, потому что вторая и третья координата являются углами, и зависимы от кривизны линейно, вместо квадратичной зависимости декартовых координат. Что при первой координате качественно идентичной декартовым всё же даёт возможность выразить кривизну удобным образом (4), так что вся она сворачивается в знаменатель множителя при первой координате в виде составляющей $inline$ :

Подробно переход к сферическим координатам и получение представления

$$display$$\vec{r}=\left( \matrix{x\cr y\cr z} \right) = \left( \matrix{r\sin\theta\cos\phi\cr r\sin\theta\sin\phi\cr r\cos\theta} \right)$$display$$

красным здесь снова кривая часть:
$dl^2=dx^2+dy^2+dz^2+\color{red}{\frac{(xdx+ydy+zdz)^2}{R^2-(x^2+y^2+z^2)}}=$
$= dr^2+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2+\color{red}{\frac{(\vec{r}\cdot d\vec{r})}{R^2-r^2}} =$
$= dr^2+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2+\color{red}{\frac{r^2\cdot dr^2}{R^2-r^2}} =$
$= \left[ \color{red}{\frac{r^2}{R^2-r^2}}+1 \right] dr^2 +r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2 =$
$= \left[ \frac{R^2}{R^2-\color{red}{r^2}} \right] dr^2 +r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2 =$

$dl^2=\color{red}{\frac{1}{1-k\frac{r^2}{R^2}}}dr^2+\color{green}{r^2}d\theta^2+\color{blue}{r^2\sin^2\theta} d\phi^2$

где
$inline$ линейная координата (первая),
$d\theta, d\phi$ угловые координаты (вторая и третья),
$inline$ ;
и получается, что члены метрического тензора, выделенные цветом (по очереди красный, зелёный, синий):
$\gamma_{11}=\left( 1-k\frac{r^2}{R^2} \right)^{-1}$
$\gamma_{22}=r^2$
$\gamma_{33}=r^2\sin^2\theta$
это диагональные члены метрического тензора.

III. Всё? Нет.
Произведём замену первой координаты $inline$ , выразив её через радиус кривизны: $inline$ ; $inline$ .
Подставим в (4), и получим сопутствующие координаты с сопутствующим расстоянием $inline$ , что удобно для расширяющейся Вселенной и изменяющегося $inline$ (5):

$dl^2=R^2 \left[ \color{red}{\frac{1}{1-kx^2}}dx^2+\color{green}{x^2}d\theta^2+\color{blue}{x^2\sin^2\theta} d\phi^2 \right]$

Заметки на полях. Последнюю замену $inline$ , $inline$ чисто математически можно интерпретировать как переход к углу (sic!) размера $inline$ , при этом $inline$ дуга длины $inline$ . Это важно. Я вернусь к этому в одной из следующих статей.

$\gamma_{11}=R^2/(1-kx^2)$
$\gamma_{22}=R^2x^2$
$\gamma_{33}=R^2x^2\sin^2\theta$

И вот он наш метрический тензор:

$$display$$\gamma_{ij}=\left[ \matrix{\gamma_{11}&\gamma_{12}&\gamma_{13}\cr\gamma_{21}&\gamma_{22}&\gamma_{23}\cr\gamma_{31}&\gamma_{32}&\gamma_{33}} \right]=\left[ \matrix{\frac{R^2}{1-kx^2}&0&0\cr0&R^2x^2&0\cr0&0&R^2x^2\sin^2\theta} \right]$$display$$

Тензор пространства-времени

Соберём нашу метрику пространства в интервал, добавив время в (5):

$ds^2=-dt^2+dl^2=\color{magenta}{-1}\cdot dt^2+R^2 \left[ \color{red}{\frac{1}{1-kx^2}}dx^2+\color{green}{x^2}d\theta^2+\color{blue}{x^2\sin^2\theta} d\phi^2 \right]$

Здесь предполагается, что за время $inline$ по оси $inline$ точка A перемещается в пространстве $\psi$ на $inline$ . Размерность оси времени равна $inline$ (скорость света), при которой $inline$ (светоподобный интервал равен нулю).
Получим тензор пространства-времени:

$$display$$g_{\mu\nu} = \left[ \matrix{-1&0&0&0\cr 0& \gamma_{11}&\gamma_{12}&\gamma_{13}\cr 0 &\gamma_{21}&\gamma_{22}&\gamma_{23}\cr 0&\gamma_{31}&\gamma_{32}&\gamma_{33}} \right] = \left[ \matrix{\color{magenta}{-1}&0&0&0\cr 0& \color{red}{\frac{R^2}{1-kx^2}}&0&0\cr 0 &0&\color{green}{R^2x^2}&0\cr 0&0&0&\color{blue}{R^2x^2\sin^2 \theta}} \right]$$display$$

Символы Кристоффеля второго рода

Для расчёта тензора кривизны нам необходимо определить символы Кристоффеля (коэффициенты связности).
I. Всё начинается с того, что некая точка (частица) движется в отсутствии сторонних сил (ускорение равно нулю) в декартовых координатах $inline$ :

$\frac{\partial^2 x^i}{\partial t^2} = 0$

где $inline$ .
Однако, если перейти к сферическим координатам $(x,y,z) \rightarrow (r,\theta,\phi)$ , это простое тождество впрямую работать уже не будет.
Необходимо сначала цивилизованно перейти к координатам $x'^j=(r,\theta,\phi)$ :

$\frac{\partial x^i}{\partial t} = \color{red}{\left( \frac{\partial x^i}{\partial x'^j} \right)} \frac{\partial x'^j}{\partial t}$

Красным члены матрицы трансформации (якобианы):

$$display$$\color{red}{\frac{\partial x^i}{\partial x'^j}}=\left( \matrix{\sin\theta\cos\phi&r\cos\theta\cos\phi&-r\sin\theta\sin\phi\cr\sin\theta\sin\phi&r\cos\theta\sin\phi&-r\sin\theta\cos\phi\cr\cos\theta&-r\sin\theta&0} \right)$$display$$

Осталось продифференцировать ещё раз по времени:

$\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial x^i}{\partial t}\right)=\frac{\partial}{\partial t}\left( \color{red}{\frac{\partial x^i}{\partial x'^j} } \frac{\partial x'^j}{\partial t}\right)$

Получим:

$\frac{\partial^2 x^i}{\partial t^2}=\color{red}{\frac{\partial x^i}{\partial x'^j}}\frac{\partial^2 x'^j}{\partial t^2}+\frac{\partial^2 x^i}{\partial x'^j \partial x'^k}\frac{\partial x'^j}{\partial t} \frac{\partial x'^k}{\partial t}=0$

Таким образом, получается условие отсутствия ускорения в сферических координатах. Мы можем лишь привести его к более удобному виду. В левом слагаемом якобиан остаётся нетронутым из-за прелести дифференцирования по частям, в правом слагаемом от якобиана берётся производная.
Видно, что если мы домножим последнее представление на инвертированный якобиан, мы освободим ускорение по одной из координат (зелёным), приведя его к виду исходного в декартовых:

$\color{green}{\frac{\partial^2 x'^l}{\partial t^2}} + \color{magenta}{\left[ \left( \left\{ \frac{\partial x}{\partial x'}\right\}^{-1}\right)_i^l \frac{\partial^2 x^i}{\partial x'^j \partial x'^k} \right]}\frac{\partial x'^j}{\partial t}\frac{\partial x'^k}{\partial t} = 0$

И вот та монструозная маджента, получившаяся в правом слагаемом в качестве множителя при производных координат $inline$ , и есть символ Кристоффеля второго рода (6):

$$display$$\Gamma^\color{red}{l}_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}=\left(\left\{ \frac{\partial x}{\partial x'}\right\}^{-1}\right)_i^\color{red}{l} \frac{\partial^2 x^i}{\partial x'^\color{green}{j} \partial x'^\color{blue}{k}}$$display$$

То есть символы Кристоффеля характеризуют метрику в том, насколько её форма искажает значение по каждой из координат при переносе некоторой точки относительно начала координат.
Ещё проще, символы Кристоффеля это множители базисных векторов, соответствующие их переносу в пространстве, заданном метрикой.

II. Несомненный плюс предыдущего способа представления коэффициентов связности в том, что он одновременно даёт понятие об уравнении геодезической. Но, возможно, кому-то будет понятнее вариант представления символов Кристоффеля через дифференцирование базисных векторов. Очень понятно расписано в книге Ю.А. Аменадзе Теория упругости (pdf, параграф 4).
Дело в том, что изменение метрики от точки к точке означает изменение базисных векторов в этих точках. Удобно выразить изменение базисного вектора через его производную.
Так как в криволинейной системе координат базисные векторы являются функциями, аргументом которых является положение точки, то и производные взятые прямо по координатам будут отличны от нуля (7):

$$display$$\frac{\partial \vec{e_\color{green}{x'^j}}}{\partial \color{blue}{x'^k}}=\Gamma^\color{red}{l}_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}\vec{e_\color{red}{x'^l}}$$display$$

Множителем при полученном в результате такого дифференцирования векторе будет символ Кристоффеля второго рода.
Видно, что $\Gamma^\color{red}{l}_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}$ это множитель при базисном векторе $inline$\vec{e_\color{red}{x'^l}}$inline$, соответствующий его искривлению при перемещении базисного вектора $inline$\vec{e_\color{green}{x'^j}}$inline$ по оси $\color{blue}{x'^k}$ :
$\color{red}{l}$ координата базисного вектора, при котором стоит коэффициент;
$\color{green}{j}$ координата изменяемого базисного вектора;
$\color{blue}{k}$ координата по которой отслеживается изменение.
То есть для декартовых координат, перенос точки в которых не влияет на размер базисных векторов, все символы будут равны нулю. Это очевидно так же, как и то, что при переносе точки в сферических координатах, величина базисных векторов угловых величин (второй и третьей координат) меняется. В некотором роде, это плата за линейность кривизне.
В метрике FRW, отличной от сферической наличием множителя при первой координате, в результате собственно этой её особенности, перенос базиса вдоль первой координаты также приведёт к его изменению.
Рассчитать коэффициенты связности можно, пользуясь формулой из их определения.

Например

$$display$$\frac{\partial \vec{e_\color{green}{x'^j}}}{\partial \color{blue}{x'^k}}=\Gamma^\color{red}{l}_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}\vec{e_\color{red}{x'^l}}$$display$$

При этом:

$|\vec{e_x}|=\sqrt{g_{xx}}=\sqrt{\frac{R^2}{1-kx^2}}=\frac{R}{\sqrt{1-kx^2}}$

Отсюда:

$$display$$\frac{\partial \vec{e_\color{green}{x}}}{\partial \color{blue}{x}}=\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{R}{\sqrt{1-kx^2}} \right) =\frac{kx}{1-kx^2}\frac{R}{\sqrt{1-kx^2}}=\color{magenta}{\frac{kx}{1-kx^2}}\vec{e_\color{red}{x}}$$display$$

Собственно, маджента и есть нужный коэффициент:

$$display$$\Gamma^\color{red}{l}_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}=\Gamma^\color{red}{x}_{\color{green}{x}\color{blue}{x}}=\color{magenta}{\frac{kx}{1-kx^2}}$$display$$

Фишка в том, что после дифференцирования нужно вынести требуемый базисный вектор, а остальное утрамбовать.

Но не во всех случаях это удобно, поэтому выведем универсальную формулу.

Выразим

Домножим обе части (7) скалярно на $inline$ :

$\color{red}{e_m\frac{\partial e_j}{\partial x^k}}=\color{green}{\Gamma^l_{jk} e_l e_m}$

1. При этом скалярное произведение векторов:

$g_{mj}=(e_m \cdot e_j)$

Продифференцируем последнее по $inline$ :

$\frac{\partial g_{mj}}{\partial x^k}=\color{red}{e_m \frac{\partial e_{j}}{\partial x^k}} + e_j \frac{\partial e_{m}}{\partial x^k}$

И выразим нужный член:

$\color{red}{e_m \frac{\partial e_{j}}{\partial x^k}} = \frac{\partial g_{mj}}{\partial x^k} - e_j \frac{\partial e_{m}}{\partial x^k}$

Подставим в изначальное:

$\frac{\partial g_{mj}}{\partial x^k} - e_j \frac{\partial e_{m}}{\partial x^k}=\Gamma^l_{jk} e_l \cdot e_m = |e_l \cdot e_m = g_{lm}| =\color{green}{\Gamma^l_{jk} g_{lm}}$

2. По определению для произвольного вектора $\vec{r}$ верно:

$\frac{\partial r}{\partial x^k}=e_k; \frac{\partial r}{\partial x^j}=e_j$

Следовательно:

$\frac{\partial e_k}{\partial x^j}=\frac{\partial e_j}{\partial x^k}$

Сопоставляя с (7), получим:

$\Gamma^l_{kj}=\Gamma^l_{jk}$

3. То есть символы тождественны по нижним индексам. Отсюда следует, что:

$\frac{\partial g_{mj}}{\partial x^k} - e_j \frac{\partial e_{m}}{\partial x^k} = \frac{\partial g_{mk}}{\partial x^j} - e_k \frac{\partial e_{m}}{\partial x^j}=\color{green}{\Gamma^l_{jk} g_{lm}}$

Или можно представить так:

$\left( \frac{\partial g_{mj}}{\partial x^k} - e_j \frac{\partial e_{m}}{\partial x^k} \right) + \left( \frac{\partial g_{mk}}{\partial x^j} - e_k \frac{\partial e_{m}}{\partial x^j} \right) =2\color{green}{\Gamma^l_{jk} g_{lm}}$

Перераспределим:

$\left( \frac{\partial g_{mj}}{\partial x^k} + \frac{\partial g_{mk}}{\partial x^j} \right) - \color{blue}{\left( e_j \frac{\partial e_{m}}{\partial x^k} + e_k \frac{\partial e_{m}}{\partial x^j} \right)} =2\color{green}{\Gamma^l_{jk} g_{lm}}$

4. Синяя часть сквозит производной произведения:

$\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^m}=\frac{\partial}{\partial x^m} (e_j \cdot e_k) = e_j \frac{\partial e_k}{\partial x^m}+e_k\frac{\partial e_j}{\partial x_m}$

Пользуясь тем, что:

$\frac{\partial e_k}{\partial x^m}=\frac{\partial e_m}{\partial x^k};\qquad\frac{\partial e_j}{\partial x^m}=\frac{\partial e_m}{\partial x^j}$

Получим (у Аменадзе здесь опечатка):

$\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^m}=\color{blue}{e_j \frac{\partial e_m}{\partial x^k}+e_k\frac{\partial e_m}{\partial x_j}}$

5. Подставим в п.4:

$\left( \frac{\partial g_{mj}}{\partial x^k} + \frac{\partial g_{mk}}{\partial x^j} - \color{blue}{\frac{\partial g{jk}}{\partial x^m}} \right) =2\color{green}{\Gamma^l_{jk} g_{lm}}$

И, наконец

коэффициент связности через члены тензора пространства-времени:

$$display$$\Gamma_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}^\color{red}{l}=\frac{1}{2}g^{\color{red}{l}m}(\partial_\color{green}{j}g_{m\color{blue}{k}}+\partial_\color{blue}{k}g_{m\color{green}{j}}-\partial_mg_{\color{blue}{k}\color{green}{j}})$$display$$

Подразумевая, что сокращения следует читать так

1. Что такое $g^{lm}$ ? Это представление тензора $g_{lm}$ в ковариантных координатах. Сам тензор пространства-времени $g_{lm}$ у нас представлен в контрвариантных координатах. Это начала тензорной алгебры, которые доступно разложены, например, здесь.
В данном случае, для нас важно, что в координатах с ортогональным базисом действует правило:

$g^{ll}=g_{ll}^{-1}$

то есть диагональные члены представления тензора в ковариантных и ковариантных координатах взаимно обратны:

$$display$$g^{ll}=\left( \matrix{-1&0&0&0\cr0&\frac{1-kx^2}{R^2}&0&0\cr0&0&\frac{1}{R^2x^2}&0\cr0&0&0&\frac{1}{R^2x^2\sin^2\theta}} \right)$$display$$

2. Как читать запись типа $\partial_\color{red}{a}g_{\color{green}{b}\color{blue}{c}}$ ? Это просто сокращение от:

$$display$$\partial_\color{red}{a}g_{\color{green}{b}\color{blue}{c}}=\frac{\partial g_{\color{green}{b}\color{blue}{c}}}{\partial x^\color{red}{a}}$$display$$

III. Теперь уже можно от вопроса теоретического представления переходить к прагматическому вопросу получения коэффициентов.
В нашем случае, когда все члены по несовпадающим индексам равны нулю ( $g^{lm} = |l \neq m| = 0$ ), мы можем ещё немного упростить полученную формулу:

$$display$$\Gamma_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}^\color{red}{l}=\frac{1}{2}g^{\color{red}{l}\color{red}{l}}(\partial_\color{green}{j}g_{\color{red}{l}\color{blue}{k}}+\partial_\color{blue}{k}g_{\color{red}{l}\color{green}{j}}-\partial_\color{red}{l}g_{\color{blue}{k}\color{green}{j}})$$display$$

что полностью выглядит так:

$$display$$\Gamma_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}^\color{red}{l}=\frac{1}{2}g^{\color{red}{l}\color{red}{l}}\left( \frac{\partial g_{\color{red}{l}\color{blue}{k}}}{\partial x^\color{green}{j}}+\frac{\partial g_{\color{red}{l}\color{green}{j}}}{\partial x^\color{blue}{k}}-\frac{\partial g_{\color{blue}{k}\color{green}{j}}}{\partial x^\color{red}{l}} \right)$$display$$

Всё, осталось только внимательно и аккуратно посчитать.

Все нулевые коэффициенты связности метрики FLRW

$\Gamma_{ij}^l=0 \qquad\qquad\qquad \forall i\ne j\ne k$

$\Gamma_{x\theta}^t = \Gamma_{\theta x}^t = \Gamma_{x \phi}^t=\Gamma_{\phi x}^t = \Gamma_{\theta\phi}^t = \Gamma_{\phi\theta}^t = 0$
$\Gamma_{t\theta}^x = \Gamma_{\theta t}^x = \Gamma_{t\phi}^x = \Gamma_{\phi t}^x = \Gamma_{\theta\phi}^x = \Gamma_{\phi\theta}^x = 0$
$\Gamma_{t x}^\theta = \Gamma_{x t}^\theta=\Gamma_{t\phi}^\theta = \Gamma_{\phi t}^\theta=\Gamma_{x \phi}^\theta=\Gamma_{\phi x}^\theta = 0$
$\Gamma_{t\alpha}^\phi = \Gamma_{x t}^\phi = \Gamma_{t \theta}^\phi = \Gamma_{\theta t}^\phi = \Gamma_{x \theta}^\phi=\Gamma_{\theta x}^\phi=0$

$\Gamma_{tt}^t=0$

$\Gamma_{\theta\theta}^\theta = \frac{g^{\theta\theta}}{2} \left(\frac{\partial g_{\theta\theta}}{\partial \theta} \right) = 0 \qquad\qquad \frac{\partial g_{\theta\theta}}{\partial \theta} = 0$

$\Gamma_{\phi\phi}^\phi = 0$

$\Gamma_{t x}^t=\frac{g^{t t}}{2}\frac{\partial g_{t t}}{\partial x}= \left| \frac{\partial g_{tt}}{\partial x}=0 \right|=0$

$\Gamma_{t x}^t = \Gamma_{x t}^t = \Gamma_{\theta t}^t = \Gamma_{t \theta}^t = \Gamma_{\phi t}^t = \Gamma_{t \phi}^t = 0$

$\Gamma_{t t}^x=\frac{g^{x x}}{2}\frac{\partial g_{tt}}{\partial x}= \left| \frac{\partial g_{tt}}{\partial x}=0 \right|=0$

$\Gamma_{tt}^x=\Gamma_{tt}^\theta=\Gamma_{tt}^\phi=0$

$\Gamma_{x\theta}^x=\frac{g^{x x}}{2} \left( \frac{\partial g_{x \theta}}{\partial x} +\frac{\partial g_{x x}}{\partial \theta} -\frac{\partial g_{x \theta}}{\partial x} \right) = 0$

$\Gamma_{x \theta}^x = \Gamma_{\theta x}^x = \Gamma_{\phi x}^x = \Gamma_{x \phi}^x = \Gamma_{\theta\phi}^\theta = \Gamma_{\phi\theta}^\theta = 0$

$\Gamma_{x x}^\phi = \left| \frac{\partial g_{x x}}{\partial \phi} = 0 \right| = 0$

$\Gamma_{x x}^\theta=\left| \frac{\partial g_{x x}}{\partial \theta} = 0 \right| = 0$

$\Gamma_{\theta \theta}^\phi = \left| \frac{\partial g_{\theta \theta}}{\partial \phi} = 0 \right| = 0$

Итого: 45/64

Все ненулевые коэффициенты связности метрики FLRW

$\Gamma_{x x}^x =\frac{g^{x x}}{2} \left(\frac{\partial g_{x x}}{\partial x} \right) = \frac{1}{2}\frac{1-kx^2}{R^2}\frac{R^2}{(1-kx^2)^2}(2kx)=\frac{kx}{1-kx^2}$

$\Gamma_{x x}^t=\frac{1}{2}g^{t t} \left( \frac{\partial g_{t x}}{\partial x}+\frac{\partial g_{x t}}{\partial x} - \frac{\partial g_{x x}}{\partial t} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial g_{x x}}{\partial t} \right) = \frac{RR'}{1-kx^2} \qquad R'=\frac{\partial R}{\partial t}$

$\Gamma_{\theta\theta}^t=\frac{1}{2}g^{tt} \left( \frac{\partial g_{t\theta}}{\partial \theta}+\frac{\partial g_{t\theta}}{\partial \theta} - \frac{\partial g_{\theta\theta}}{\partial t} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial g_{\theta\theta}}{\partial t} \right) = x^2RR' \qquad R'=\frac{\partial R}{\partial t}$

$\Gamma_{\phi\phi}^t=\frac{1}{2}g^{tt} \left( \frac{\partial g_{t\phi}}{\partial \phi}+\frac{\partial g_{t\phi}}{\partial \phi} - \frac{\partial g_{\phi\phi}}{\partial t} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial g_{\phi\phi}}{\partial t} \right) = x^2\sin^2\theta RR' \qquad R'=\frac{\partial R}{\partial t}$

$\Gamma_{t x}^x = \frac{1}{2}g^{x x} \left( \frac{\partial g_{x x}}{\partial t}+\frac{\partial g_{x t}}{\partial x} - \frac{\partial g_{x t}}{\partial x} \right) = \frac{1}{2} g^{x x} \left( \frac{\partial g_{x x}}{\partial t} \right) = \frac{1-kx^2}{2R^2} \frac{2RR'}{1-kx^2}=\frac{R'}{R}$

$\Gamma_{t x}^x = \Gamma_{x t}^x = \Gamma_{t \theta}^\theta = \Gamma_{\theta t}^\theta = \Gamma_{t \phi}^\phi = \Gamma_{\phi t}^\phi = \frac{R'}{R}$

$\Gamma_{\theta \theta}^x = \frac{1}{2}g^{x x} \left( \frac{\partial g_{x \theta}}{\partial \theta} +\frac{\partial g_{x \theta}}{\partial \theta} - \frac{\partial g_{\theta \theta}}{\partial x}\right) = -\frac{1}{2}g^{x x} \left( \frac{\partial g_{\theta \theta}}{\partial x}\right) =-\frac{1-kx^2}{2R^2} 2R^2x = -x (1-kx^2)$

$\Gamma_{\phi\phi}^x = \frac{1}{2}g^{x x} \left( \frac{\partial g_{x \phi}}{\partial \phi} +\frac{\partial g_{x \phi}}{\partial \phi} - \frac{\partial g_{\phi\phi}}{\partial x}\right) = -\frac{1}{2}g^{x x} \left( \frac{\partial g_{\phi \phi}}{\partial x}\right) =-\frac{1-kx^2}{2R^2}2R^2\sin^2\theta x = -x \sin^2\theta (1-kx^2)$

$\Gamma_{\phi\phi}^\theta=\frac{g_{\theta\theta}}{2} \left( \frac{\partial g_{\theta\phi}}{\partial \phi} +\frac{\partial g_{\theta\phi}}{\partial \phi} - \frac{\partial g_{\phi\phi}}{\partial \theta}\right) =-\frac{1}{2 R^2 x^2}(2R^2 x^2 \sin\theta\cos\theta)=-\sin\theta\cos\theta$

$\Gamma_{x \theta}^\theta=\frac{g^{\theta \theta}}{2} \left( \frac{\partial g_{\theta \theta}}{\partial x}+\frac{\partial g_{\theta x}}{\partial \theta}-\frac{\partial g_{\theta x}}{\partial \theta} \right)=\frac{1}{2 R^2 x^2}(2R^2 x)=x^{-1}$

$\Gamma_{x \theta}^\theta=\Gamma_{\theta x}^\theta=x^{-1}$

$\Gamma_{x \phi}^\phi=\frac{g^{\phi\phi}}{2} \left( \frac{\partial g_{\phi \phi}}{\partial x}+\frac{\partial g_{\phi x}}{\partial \phi}-\frac{\partial g_{\phi x}}{\partial \phi} \right)=\frac{1}{2R^2x^2\sin^2\theta}(2R^2\sin^2\theta x)= x^{-1}$

$\Gamma_{x \phi}^\phi=\Gamma_{\phi x}^\phi = x^{-1}$

$\Gamma_{\phi\theta}^\phi = \frac{g^{\phi\phi}}{2}\left( \frac{\partial g_{\phi \theta}}{\partial \phi}+ \frac{\partial g_{\phi\phi}}{\partial \theta} -\frac{\partial g_{\phi \theta}}{\partial \phi} \right) = \frac{1}{2R^2 x^2 \sin^2\theta}2R^2 x^2 \sin\theta \cos\theta =\tan^{-1}\theta$

$\Gamma_{\phi \theta}^\phi=\Gamma_{\theta \phi}^\phi=\tan^{-1}\theta$
Итого: 19/64

Скомпонуем для наглядности, и можно переходить к заключительной части.

$$display$$\Gamma^t = \left( \matrix{\Gamma_{tt}^t & \Gamma_{tx}^t&\Gamma_{t\theta}^t & \Gamma_{t\phi}^t \cr \Gamma_{x t}^t & \Gamma_{xx}^t&\Gamma_{x\theta}^t & \Gamma_{x\phi}^t \cr \Gamma_{\theta t}^t & \Gamma_{\theta x}^t & \Gamma_{\theta\theta}^t & \Gamma_{\theta\phi}^t \cr \Gamma_{\phi t}^t & \Gamma_{\phi x}^t&\Gamma_{\phi\theta}^t & \Gamma_{\phi\phi}^t} \right) = \left( \matrix{0&0&0&0 \cr 0&\frac{RR'}{1-kx^2}&0&0 \cr 0&0&x^2RR'&0 \cr 0&0&0& x^2\sin^2\theta^2RR'} \right)$$display$$

$$display$$\Gamma^x=\left( \matrix{\Gamma_{tt}^x & \Gamma_{t x}^x & \Gamma_{t\theta}^x & \Gamma_{t\phi}^x \cr \Gamma_{x t}^x & \Gamma_{x x}^x & \Gamma_{x \theta}^x & \Gamma_{x \phi}^x \cr \Gamma_{\theta t}^x & \Gamma_{\theta x}^x&\Gamma_{\theta\theta}^x & \Gamma_{\theta\phi}^x \cr \Gamma_{\phi t}^x &\Gamma_{\phi x}^x & \Gamma_{\phi\theta}^x & \Gamma_{\phi\phi}^x} \right) = \left( \matrix{ 0&\frac{R'}{R}&0&0\cr\frac{R'}{R}&\frac{kx}{1-kx^2}&0&0\cr0&0&-x(1-kx^2)&0\cr0&0&0&-x\sin^2\theta(1-kx^2)} \right)$$display$$

$$display$$\Gamma^\theta=\left( \matrix{\Gamma_{tt}^\theta & \Gamma_{t x}^\theta & \Gamma_{t\theta}^\theta & \Gamma_{t\phi}^\theta \cr \Gamma_{x t}^\theta & \Gamma_{x x}^\theta & \Gamma_{x \theta}^\theta & \Gamma_{x \phi}^\theta\cr\Gamma_{\theta t}^\theta & \Gamma_{\theta x}^\theta & \Gamma_{\theta\theta}^\theta & \Gamma_{\theta\phi}^\theta \cr \Gamma_{\phi t}^\theta & \Gamma_{\phi x}^\theta & \Gamma_{\phi\theta}^\theta & \Gamma_{\phi\phi}^\theta} \right) = \left( \matrix{0&0&\frac{R'}{R}&0 \cr 0&0&x^{-1}&0 \cr \frac{R'}{R}&x^{-1}&0&0 \cr 0&0&0&-\sin\theta\cos\theta} \right)$$display$$

$$display$$\Gamma^\phi = \left( \matrix{\Gamma_{tt}^\phi &\Gamma_{t x}^\phi & \Gamma_{t\theta}^\phi & \Gamma_{t\phi}^\phi \cr \Gamma_{x t}^\phi & \Gamma_{x x}^\phi & \Gamma_{x \theta}^\phi & \Gamma_{x \phi}^\phi \cr \Gamma_{\theta t}^\phi & \Gamma_{\theta x}^\phi & \Gamma_{\theta\theta}^\phi & \Gamma_{\theta\phi}^\phi \cr \Gamma_{\phi t}^\phi & \Gamma_{\phi x}^\phi & \Gamma_{\phi\theta}^\phi & \Gamma_{\phi\phi}^\phi} \right) = \left( \matrix{0&0&0&\frac{R'}{R} \cr 0&0&0&x^{-1} \cr 0&0&0&\tan^{-1}\theta \cr\frac{R'}{R}&x^{-1}&\tan^{-1}\theta&0} \right)$$display$$

Тензор кривизны, его свёртка и свёртка свёртки

Тензор Риччи, с которого начинается математическая формулировка уравнений ОТО, является свёрткой тензора кривизны Римана. Скаляр кривизны, присутствующий во втором слагаемом левой части это уже свёртка тензора Риччи.
То есть всё, что нам нужно это вычислить компоненты тензора Римана.
I. Компоненты тензора Римана.
Вооружимся формулой расчёта членов тензора кривизны через коэффициенты связности:

$R_{i j k}^l = \frac{\partial \Gamma_{i k}^l}{\partial x^j} + \frac{\partial \Gamma_{j k}^l}{\partial x^i} + \sum_{p=1}^n \left( \Gamma_{i k}^p \Gamma_{j p}^l - \Gamma_{j k}^p \Gamma_{i p}^l \right)$

по которой нам потребуются только члены вида $R^\color{red}{l}_{i \color{red}{l} k}$ , а так как наш тензор пространства-времени диагональный, то ненулевыми будут только компоненты вида $R^\color{red}{l}_{\color{blue}{k} \color{red}{l} \color{blue}{k}}$ :

$$display$$R^\color{red}{l}_{\color{blue}{k} \color{red}{l} \color{blue}{k}} = \partial_\color{red}{l}\Gamma^\color{red}{l}_{\color{blue}{k} \color{blue}{k}} - \partial_\color{blue}{k}\Gamma^\color{red}{l}_{\color{red}{l} \color{blue}{k}} + \Gamma^p_{\color{blue}{k} \color{blue}{k}}\Gamma^\color{red}{l}_{\color{red}{l} p} - \Gamma^p_{\color{red}{l} \color{blue}{k}}\Gamma^\color{red}{l}_{\color{blue}{k} p}$$display$$

Здесь подразумевается суммирование по правилу Эйнштейна (по $p=t,x,\theta,\phi$ ).

Примеры расчёта компонентов тензора Римана

$R^x_{t x t}=\partial_x\Gamma^x_{t t} -\partial_t\Gamma^x_{x t} + \Gamma^t_{t t}\Gamma^x_{x t} - \Gamma^t_{x t}\Gamma^x_{t t} +\Gamma^x_{t t}\Gamma^x_{x x} - \Gamma^x_{x t}\Gamma^x_{t x} +$

$+ \Gamma^\theta_{t t}\Gamma^x_{x \theta} - \Gamma^\theta_{x x}\Gamma^x_{t \theta} + \Gamma^\phi_{t t}\Gamma^x_{x \phi} - \Gamma^\phi_{x t}\Gamma^x_{t \phi} = 0 - \frac{\partial}{\partial t} \frac{R'}{R} + 0 - 0 + 0 +$

$- \left( \frac{R'}{R} \right)^2 + 0 - 0 + 0 - 0 = - \frac{R''}{R} + \left( \frac{R'}{R} \right)^2 - \left( \frac{R'}{R} \right)^2 = - \frac{R''}{R}$

$R^\theta_{t \theta t} = R^\phi_{t\phi t} = - \frac{R''}{R}$

$R^t_{x t x}=\partial_t\Gamma^t_{x x} - \partial_x\Gamma^t_{t x} + \Gamma^t_{x t}\Gamma^t_{t t} - \Gamma^t_{t x}\Gamma^t_{x t} +\Gamma^x_{x x}\Gamma^t_{t x} - \Gamma^x_{t x}\Gamma^t_{x x} +$

$+ \Gamma^\theta_{x x}\Gamma^t_{t \theta} - \Gamma^\theta_{t t}\Gamma^t_{x \theta} + \Gamma^\phi_{x x}\Gamma^t_{t \phi} - \Gamma^\phi_{t x}\Gamma^t_{x \phi} = \frac{\partial}{\partial t}\frac{RR'}{1-kx^2} - 0 + 0 - 0 + 0 -$

$- \frac{R'}{R} \cdot \frac{RR'}{1-kx^2} + 0 - 0 + 0 - 0 = \frac{RR''}{1-kx^2} + \frac{R'^2}{1-kx^2} - \frac{R'^2}{1-kx^2} = \frac{RR''}{1-kx^2}$

$R^\theta_{x \theta x}=\partial_\theta\Gamma^\theta_{x x} -\partial_x\Gamma^\theta_{\theta x} + \Gamma^t_{x x}\Gamma^\theta_{\theta t} - \Gamma^t_{\theta x}\Gamma^\theta_{x t} +\Gamma^x_{x x}\Gamma^\theta_{\theta x} - \Gamma^x_{\theta x}\Gamma^\theta_{x x} +$

$+ \Gamma^\theta_{x x}\Gamma^\theta_{\theta \theta} - \Gamma^\theta_{\theta x}\Gamma^\theta_{x \theta} + \Gamma^\phi_{x x}\Gamma^\theta_{\theta \phi} - \Gamma^\phi_{\theta x}\Gamma^\theta_{x \phi} = 0 - \frac{\partial (x^{-1})}{\partial x} +$

$+\frac{RR'}{1-kx^2} \cdot \frac{R'}{R} - 0 + \frac{kx}{1+kx^2} \cdot x^{-1} - 0 + 0 - x^{-1} \cdot x^{-1} + 0 - 0 =$

$= x^{-2} + \frac{R'^2}{1-kx^2} + \frac{k}{1-kx^2} - x^{-2} = \frac{R'^2}{1-kx^2} + \frac{k}{1-kx^2}$

$R^\phi_{x \phi x}=\partial_\phi\Gamma^\phi_{x x} -\partial_x\Gamma^\phi_{\phi x} + \Gamma^t_{x x}\Gamma^\phi_{\phi t} - \Gamma^t_{\phi x}\Gamma^\phi_{x t} +\Gamma^x_{x x}\Gamma^\phi_{\phi x} - \Gamma^x_{\phi x}\Gamma^\phi_{\phi x} +$

$+ \Gamma^\theta_{x x}\Gamma^\phi_{\phi \theta} - \Gamma^\theta_{\phi x}\Gamma^\phi_{x \theta} + \Gamma^\phi_{x x}\Gamma^\phi_{\phi \phi} - \Gamma^\phi_{\phi x}\Gamma^\phi_{x \phi} = 0 - \frac{\partial (x^{-1})}{\partial x} +$

$+ \frac{RR'}{1-kx^2} \cdot \frac{R'}{R} - 0 + \frac{kx}{1+kx^2} \cdot x^{-1} - 0 + 0 - x^{-1} \cdot x^{-1} + 0 - 0 =$

$= x^{-2} + \frac{R'^2}{1-kx^2} + \frac{k}{1-kx^2} - x^{-2} = \frac{R'^2}{1-kx^2} + \frac{k}{1-kx^2}$

и т.д.

II. Компоненты тензора Риччи.
Осталось самое простое, сложить:
$R_{tt} = R^m_{tmt} = R^x_{t x t} + R^\theta_{t \theta t} + R^\phi_{t \phi t} = -3\frac{R''}{R}$
$R_{xx} = R^m_{xmx} = R^t_{x t x} + R^\theta_{x \theta x} + R^\phi_{x \phi x} = \frac{RR''}{1-kx^2} + \frac{2R'^2}{1-kx^2} + \frac{2k}{1-kx^2}$
$R_{\theta\theta} = R^m_{\theta m \theta} = x^2RR''+2x^2R'^2+2x^2k$
$R_{\phi\phi} = R^m_{\phi m \phi} = x^2RR''\sin^2\theta+2x^2R'^2\sin^2\theta+2x^2k\sin^2\theta$
И, затем, выразить пространственные составляющие через соответствующие компоненты тензора пространства-времени:

$R_{xx} = \color{red}{\frac{R^2}{1-kx^2}} \frac{1}{R^2} \left( RR'' + 2R'^2 + 2k \right)$

$R_{\theta\theta} = \color{green}{R^2x^2} \frac{1}{R^2} \left( RR''+2R'^2+2k \right)$

$R_{\phi\phi} = \color{blue}{R^2x^2\sin^2\theta} \frac{1}{R^2} \left( RR''+2R'^2+2k \right)$

То есть иначе их можно выразить так:

$R_{ii} = \frac{g_{ii}}{R^2} \left( RR'' + 2R'^2 + 2k \right)$

Вид под скляр готов.

III. Скалярная кривизна.
Формула скаляра:

$R = g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$

Снова подразумевая суммирование по повторяющимся нижним и верхним индексам. Значит, в нашем случае:

$R = \sum_{i=0}^3 (g^{ii}R_{ii})= \sum_{i=0}^3 \left( g^{ii} \frac{g_{ii}}{R^2}(RR''+2R'^2+2K)\right) = 6\frac{R''}{R}+6 \frac{R'^2}{R^2} +6\frac{k}{R^2}$

Уравнения общей теории относительности

Математическая формулировка ОТО выглядит так:

$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R + \lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$

где $R_{\mu\nu}$ тензор Риччи, $g_{\mu\nu}$ тензор пространства времени, $inline$ скаляр Риччи, $\lambda g_{\mu\nu}$ мрачная лямбда, $\pi, G, c$ вселенские константы, $T_{\mu\nu}$ тензор энергии-импульса.

Тензор материи $T_{\mu\nu}$ у Фридмана определён скромно:

$$display$$T_{\mu\nu} = \left[ \matrix{c^2\rho &0&0&0 \cr 0&0&0&0 \cr 0&0&0&0 \cr 0&0&0&0} \right]$$display$$

где $inline$ фундаментальная скорость, $\rho$ плотность массы пыли.
Такой подход и даёт два уравнения, полученных Фридманом, которые теперь можем получить и мы, подставив заданное $g_{\mu\nu}$ и расчётные $R_{\mu\nu}$ и $inline$ .

Для пространственных координат $inline$ :

$\frac{g_{ii}}{R^2} \left( RR'' + 2R'^2 + 2k \right)-\frac{1}{2} g_{ii} \left( 6\frac{R''}{R}+6 \frac{R'^2}{R^2} +6\frac{k}{R^2} \right) + \lambda g_{ii} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{ii}$

Что после ряда упрощений даст:

$\frac{R'^2}{R^2} + 2\frac{R''R}{R^2} + \frac{k}{R^2} - \lambda = 0$
Для временной координаты $inline$ :

$-\frac{3R''}{R} -\frac{1}{2} g_{ii} \left( 6\frac{R''}{R}+6 \frac{R'^2}{R^2} +6\frac{k}{R^2} \right) + \lambda g_{ii} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{ii}$

Или после упрощения:

$3 \frac{R'^2}{R^2} + 3\frac{k}{R^2} - \lambda = \frac{8\pi G}{c^2} \rho$

Резюме

Если справа вместо тензора энергии-импульса пыли подставить тензор энергии-импульса идеальной жидкости, в результате получатся два немного более сложных, чем в оригинальной статье, независимых уравнения, из которых получаются базовые уравнения современной стандартной космологической модели $\Lambda$ -CDM.
Левая, геометрическая часть решения при этом остаётся неизменной.

Надеюсь, кому-то этот разбор будет полезным. Tschuss!

Подробнее..

Категории: Научно-популярное , Физика , Математика , Читальный зал , Космология , Фридман , Метрика , Flrw , Frw , Символы кристоффеля , Кривизна , Пространство , Гиперпространство , Решение , Ото , Общая теория относительности , Эйнштейн

	Русский
	English

Фридман

ОТО. Энергия как дополнительное измерение в решении Шварцшильда

3-сферические координаты

Общий вид интервала

Вид интервала для метрики Фридмана

Решение ОТО через метрику Шварцшильда

Резюме

Космология. Подробный разбор решения Фридмана

Метрика

Тензор пространства-времени

Символы Кристоффеля второго рода

Тензор кривизны, его свёртка и свёртка свёртки

Уравнения общей теории относительности

Резюме

Категории

Последние комментарии