Метрика

ОТО. Энергия как дополнительное измерение в решении Шварцшильда

20.08.2020 18:04:07 |

Автор: admin

Habritants! В этой статье описано получение метрики общего вида, включающей метрики Фридмана и Шварцшильда как частные случаи.

Для понимания материала необходимы знания алгебры: понятие о производных в большей степени; тензорная в меньшей.

Представим, что у пространства есть четвёртое измерение. Как если бы движение в нём забирало у объекта некоторое количество движения или наоборот. Словно гравитация это чисто геометрический эффект создания субпространственной воронки вокруг любого объекта, обладающего энергией.

Вы наверняка натыкались на подобную визуализацию гравитации, если интересуетесь вопросом:

Для того, чтобы оценить глубину такой воронки и механизм взаимодействия объектов, сформулируем выражение интервала сигнатуры (1-4).

3-сферические координаты

Представим 4-ёх мерное пространство $\psi (w,x,y,z) = \mathbb{R}^4$ , и зададим в нём сферические координаты $(r, \theta, \phi, \eta)$ :

$] \, {w = r\sin\theta\sin\phi\cos\eta; \\ x = r\sin\theta\sin\phi\sin\eta; \\ y = r\sin\theta\cos\phi; \\ z = r\cos\theta } \\$

Для этого запишем переходную матрицу:

$\vec{r} = \left( \matrix{w \\ x \\ y \\ z} \right) = \left( \matrix{r\sin\theta\sin\phi\cos\eta \\ r\sin\theta\sin\phi\sin\eta \\ r\sin\theta\cos\phi \\ r\cos\theta } \right)$

Посчитаем переходные коэффициенты:

$g_r = \left| \frac{\partial\vec{r}}{\partial r} \right| = \sqrt{ \left( \frac{\partial w}{\partial r} \hat{h} + \frac{\partial x}{\partial r} \hat{i} + \frac{\partial y}{\partial r} \hat{j} + \frac{\partial z}{\partial r} \hat{k} \right)^2 } = \\ = \sqrt{sin^2\theta\sin^2\phi\cos^2\eta + \sin^2\theta\sin^2\phi\sin^2\eta + sin^2\theta\cos^2\phi + \cos^2\theta} = 1 \\ g_\theta = \left| \frac{\partial\vec{r}}{\partial \theta} \right| = \sqrt{r^2cos^2\theta\sin^2\phi\cos^2\eta+r^2\cos^2\theta\sin^2\phi\sin^2\eta+r^2\cos^2\theta\cos^2\phi+r^2sin^2\theta} = \\ = \sqrt{r^2(sin^2\theta + \cos^2\theta (cos^2\phi + sin^2\phi (cos^2\eta+sin^2\eta)))} = r \\ g_\phi = \left| \frac{\partial\vec{r}}{\partial \phi} \right| = \sqrt{r^2sin^2\theta\cos^2\phi\cos^2\eta + r^2sin^2\theta\cos^2\phi\sin^2\eta + r^2sin^2\theta\sin^2\phi + 0} = \\ = \sqrt{r^2sin^2\theta} = r\sin\theta \\ g_\eta = \left| \frac{\partial\vec{r}}{\partial \eta} \right| = \sqrt{r^2\sin^2\theta\sin^2\phi\sin^2\eta+r^2\sin^2\theta\sin^2\phi\cos^2\eta} = r\sin\theta\sin\phi$

И представим соответствующий $\psi$ интервал:

$ds^2 = \color{red}{(-1)\cdot dt^2} + (dw^2 + \color{green}{ dx^2 + dy^2 + dz^2}) \\ ds^2 = (-1)\cdot dt^2 + (g_r^2 dr^2 + g_\theta^2 d\theta^2 + g_\phi^2 d\phi^2 + g_\eta^2 d\eta^2) \\ ds^2 = (-1)\cdot dt^2 + 1 \cdot dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot \sin^2\phi \cdot d\eta^2 \\ ds^2 = \color{red}{(-1)\cdot dt^2} + \color{magenta}{1 \cdot dr^2} + \color{green}{r^2 \left( d\theta^2 + \sin^2\theta \cdot d\phi^2 + \sin^2\theta \cdot \sin^2\phi \cdot d\eta^2 \right)}$

Красным темпоральная составляющая, представленная аналогично метрике FLRW.
Зелёным пространственная составляющая, представленная аналогично метрике FLRW, и представляющая собой поверхность 3-сферы.

Маджента получилась подвисшим между временем и пространством звеном дифференциалом изменения мультипликатора пространственной части.

Общий вид интервала

Продолжая развитие идей, изложенных в предыдущей статье, положим изменение четвёртого измерения мерой связанной с относительным количеством энергии объектов, следовательно, дополним метрику составляющей $\color{orange}{-dr^2}$ в силу рассмотрения энергетически замкнутой системы, что будет предполагаться истинным и для Вселенной в целом (решение Фридмана), и для сферически симметричного массивного тела (решение Шварцшильда). Читатель не согласный с такой трактовкой, может просто считать это математическим трюком:

$ds^2 = \color{red}{(-1)\cdot dt^2 \left( 1 - \color{magenta}{\frac{dr^2}{dt^2}} \right)} + \color{green}{r^2 \left( d\theta^2 + \sin^2\theta \cdot d\phi^2 + \sin^2\theta \cdot \sin^2\phi \cdot d\eta^2 - \color{orange}{\frac{dr^2}{r^2}} \right)}$

Маджента в темпоральной части понятна:

$\color{magenta}{ \frac{dr^2}{dt^2} = \dot{r}^2 }$

Зелёную переформируем, чтобы показать, что пространство $\psi'(\theta, \phi, \eta) = \mathbb{R}^3 \in \psi$ является псевдоевклидовым:

$\color{green}{r^2 \left( d\theta^2 + \sin^2\theta \cdot d\phi^2 + \sin^2\theta \cdot \sin^2\phi \cdot d\eta^2 - \color{orange}{\frac{dr^2}{r^2}} \right) = \\ = r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot \frac{d\phi^2}{d\theta^2} \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot \sin^2\phi \cdot \frac{d\eta^2}{d\theta^2} \cdot dr^2 - \color{orange}{dr^2} =} \quad \rightarrow (1)$

Производные углов $\phi, \eta$ по углу $\theta$ равны:

$\frac{d\phi^2}{d\theta^2} = \left( \frac{d\theta}{d\vec{r}} \cdot \frac{d\vec{r}}{d\phi} \right)^2 = \left( \frac{g_\phi}{g_\theta} \right)^2 = \frac{1}{\sin^2\theta}; \\ \frac{d\eta^2}{d\theta^2} = \frac{g_\theta^2}{g_\phi^2} = \frac{1}{\sin^2\theta \cdot \sin^2\phi };$

Поэтому с учётом базисных векторов:

$(1) \rightarrow \quad \color{green}{= r^2 \cdot d\theta^2 \cdot \vec{e_{\theta 1}}^2 + r^2 \cdot d\theta^2 \cdot \vec{e_{\theta 2}}^2 + r^2 \cdot d\theta^2 \cdot \vec{e_{\theta 3}}^2 - \color{orange}{dr^2 \cdot \vec{e_r}^2} = } \quad \rightarrow \ (2)$

что представляет локальное псевдоевклидово 3-пространство $\psi'_1(x_1, y_1, z_1)$ с линейными по $d\theta$ базисными векторами:

$d\theta \cdot \vec{e_{\theta 1}} = dx_1 \cdot \vec{e_x}; \\ d\theta \cdot \vec{e_{\theta 2}} = dy_1 \cdot \vec{e_y}; \\ d\theta \cdot \vec{e_{\theta 3}} = dz_1 \cdot \vec{e_z};$

с масштабным фактором $inline$ , и с мгновенной длиной $inline$ , в нашем случае совокупно редуцированной на величину $inline$ :

$(2) \rightarrow \quad \color{green}{ = r^2 \cdot \left( dx_1^2 \cdot \vec{e_\theta}^2 + dy_1^2 \cdot \vec{e_\phi}^2 + dz_1^2 \cdot \vec{e_\eta}^2 - \color{orange}{\frac{dr^2}{r^2} \cdot \vec{e_r}^2} \right) = } \quad \rightarrow \ (3)$

Без оранжевой составляющей получилась пространственная часть интервала стандартной космологической модели для плоского пространства с возможной деградацией пространственного масштабного фактора $inline$ по времени, как в FLRW.

Гиперповерхность 3-сферы является внутри себя линейной по угловым координатам, или, иначе говоря, пространственная часть интервала получилась плоской для неизменного $r \ (dr = 0)$ . Упаковать лишний $inline$ будет практичнее снова в сферических, только уже обычных для трёхмерной сферы $(x_1, y_1, z_1) \rightarrow(\rho, \varphi, \zeta)$ . Чтобы различать координаты для 3-сферической и 2-сферической систем, последние обозначим $(\rho, \varphi, \zeta)$ :

$(3) \rightarrow \quad \color{green}{ r^2 \cdot \left( dx_1^2 + dy_1^2 +dz_1^2 - \color{orange}{\frac{dr^2}{r^2}} \right) = r^2 \cdot \left( d\rho^2 - \color{orange}{\frac{dr^2}{r^2}} + \rho^2 \cdot d\varphi^2 + \rho^2 \cdot \sin^2 \varphi \cdot d\zeta^2 \right) = \\ = r^2 \cdot \left( \left(1 - \color{orange}{\frac{d(\ln r)^2}{d\rho^2}} \right) d\rho^2 + \rho^2 \cdot ( d\varphi^2 + \sin^2 \varphi \cdot d\zeta^2) \right) }$

где порядок отношения величин $dr = r d\rho \ \Rightarrow r = e^\rho$ , а $\varphi, \zeta$ по теореме тангенсов:

${ d\varphi = \frac{r}{\rho} \cdot d\phi; \\ d\zeta = \frac{r \cdot \sin \phi}{\rho \cdot \sin\varphi} \cdot d\eta. }$

Тогда полный интервал будет:

$ds^2 = \color{red}{(-1)\cdot dt^2 \left( 1 - \color{magenta}{\frac{dr^2}{dt^2}} \right)} + \color{green}{ r^2 \cdot \left( \left(1 - \color{orange}{\frac{d(\ln r)^2}{d\rho^2}} \right) d\rho^2 + \rho^2 \cdot ( d\varphi^2 + \sin^2 \varphi \cdot d\zeta^2) \right)} \qquad (A)$

Получился комбинированный интервал словно слепленный из вида интервала метрики FLRW и метрики Шварцшильда, каждый из которых представляет частный случай физических взаимодействий. Теперь посмотрим как из $inline$ получаются соответствующие решения.

Вид интервала для метрики Фридмана

Чисто математически интервал вида $inline$ превращается в метрику FLRW стандартной космологической модели простым исключением энергетической составляющей $inline$ :

$ds^2 = \color{red}{(-1)\cdot dt^2} + \color{green}{ r^2 \cdot \left( d\rho^2 + \rho^2 \cdot ( d\varphi^2 + \sin^2 \varphi \cdot d\zeta^2) \right)}$

Что, как показано выше, можно также переписать так:

$ds^2 = \color{red}{(-1)\cdot dt^2} + \color{green}{ r^2 \cdot \left( dx^2 + dy^2 + dz^2 \right)}$

Решение уравнений ОТО для такого интервала даёт зависимость $r \propto t^{2/3}$ .

Однако, эмпирические данные ККС для объектов $inline$ показывают консолидированное отклонение от этой зависимости.

Возможно, решение для интервала вида $inline$ даст более точную зависимость, но я пока его не нашёл.

Решение ОТО через метрику Шварцшильда

Сравним полученный интервал с метрикой Шварцшильда:

$ds^2 = -\color{red}{(1-\frac{\rho_s}{\rho})} \cdot dt^2 + \color{orange}{\frac{1}{1 - \frac{\rho_s}{\rho}}} \cdot d\rho^2 + \rho^2 \cdot d\phi^2 + \rho^2 \sin^2 \phi \cdot d\zeta^2$

Если представить систему взаимодействующих объектов в низкоэнергетическом масштабе $(dr/r \rightarrow \infty)$ , то $inline$ можно принять равным единице без потери математической связности, пространство при этом станет псевдоевклидовым, а интервал $inline$ можно переписать следующим образом:

$ds^2 = (-1)\cdot \color{red}{ \left( 1 - \frac{dr^2}{dt^2} \right) } \cdot dt^2 + \color{orange}{ \left(1 - \frac{dr^2}{d\rho^2} \right) } \cdot d\rho^2 + \rho^2 \cdot ( d\varphi^2 + \sin^2 \varphi \cdot d\zeta^2)$

Математически это ровно то же самое, как если бы мы выполнили фокус $\pm dr^2$ для пустого 3-пространства в сферических координатах $(\rho, \varphi, \zeta)$ .

То есть для плоского вакуумного случая интервал $inline$ будет иметь решение аналогичное решению метрики Шварцшильда, при условии эквивалентности подцвеченных красным и оранжевым множителей. Получим систему:

$1-\frac{\rho_s}{\rho} = 1 - \frac{dr^2}{dt^2}; \\ \frac{1}{1 - \frac{\rho_s}{\rho}} = 1 - \frac{dr^2}{d\rho^2}.$

где $t, r, \rho$ по порядку: время, кривизна (энергия), радиус (расстояние) в сферически симметричном гравитационном поле по нулевой общей кривизне пространства.
Путём нехитрых математических преобразований получим весьма лаконичное решение:

$dt^2 + dr^2 - d\rho^2 = 0,$

которое подтверждает, что:

Четвёртая координата линейна радиальной координате.
Четвёртая координата является координатой по мнимой оси.

Первое, на мой взгляд, очень важно, потому что показывает, что энергия, представленная как дополнительная ось, почти изотропна наблюдаемым. Второе позволяет понять, почему она проявляет себя иначе. И ненаблюдаема.

Кроме того, хочется отметить, что сама постановка в интервале энергии с отрицательным знаком относительно пространства и положительным относительно времени позволяет сформулировать их взаимоотношения следующим образом: пространство это энергия-время, оно преодолевается за энергию-время.

Резюме

Мне кажется, продолжение курса на геометризацию физики показывает себя весьма перспективным направлением. Мнимость энергетической оси в космологии могла бы послужить перекидным мостиком к уравнениям Максвелла.

Заметки на полях. Забегая вперёд, позволю себе предположить, что одного мнимого измерения для организации механизмов заряда и массы будет мало. Плюс электро-магнитный дуализм как аргумент в пользу не менее двух измерений. И некоторая симметрия в форме: временное измерение + два энергетических = три пространственных.
При переходе к микро масштабам я попробую двигаться в направлении расщепления $inline$ :

$display$

Подробнее..

Категории: Астрономия , Научно-популярное , Физика , Математика , Читальный зал , Фридман , Метрика , Кривизна , Пространство , Общая теория относительности , Пространство минковского , Пространство-время , Метрика пространства , Теория всего , Специальная теория относительности , Интервал , Кривизна вселенной , Кривизна пространства , Шварцшильд

Космология. Подробный разбор решения Фридмана

09.07.2020 16:21:19 |

Автор: admin

Habritants! Когда в процессе моего ознакомления с темой решения уравнений общей теории относительности для метрики Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера выяснилось, что единого транспарентного материала на эту тему на русском языке нет, я решил запостить разбор в виде статьи, заодно ещё раз самому лучше вникнув в тему.
Всем желающим найти собственное решение уравнений общей теории относительности Эйнштейна или просто лучше понять бытие посвящается.

В статье О кривизне пространства , в которой Фридман впервые приводит решение ОТО для нестационарной Вселенной, Александр Александрович указывает лишь метрику в виде интервала и уравнения-результат, справедливо полагая само решение не заслуживающей внимания рутиной.
Но в поисках вариаций на тему рутина горит как кокс. Поэтому в путь.

Для понимания материала необходимы знания алгебры: понятие о производных в большей степени; тензорная в меньшей.

Метрика

Рассмотрим получение метрики FLRW, которая по сути является основанием решения Фридмана, начав с упрощённого случая. Полностью и достаточно подробно, но без пояснений, хорошо описано здесь (pdf).
I. Представим одномерное пространство $\psi$ , с протянутой внутри него осью $inline$ , равномерно искривлённым:

Можно сказать, что пространство $\psi$ является одномерной гиперповерхностью постоянной кривизны в двухмерном пространстве (x,y).
Зададим произвольную точку $inline$ в пространстве $\psi$ , тогда с одной стороны, длина перемещения из точки A в любую сторону пространства $\psi$ определяется формулой (1):

$display$

где $inline$ координаты в декартовой системе координат, смещённой относительно $\psi$ , то есть имеющей начало O вне рассматриваемого пространства.
С другой же стороны, кривизна $\psi$ характеризуется радиусом R, который задан формулой (2):

$display$

Продифференцируем (2), чтобы получить взаимозависимость скоростей изменения координат $inline$ и $inline$ : $inline$ . Или:

$dy=-\frac{xdx}{y}$

Заметки на полях. Форма зависимости $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$ замечательно резонирует с отношением из доказательства Харди теоремы Пифагора: $\frac{dc}{da}=\frac{a}{с}$ (a катет, c гипотенуза).
В нашем случае катеты нелинейно перерастают друг в друга при постоянной гипотенузе.

Подставляем $inline$ отсюда в (1), и выражаем $inline$ через $inline$ : $dl^2=dx^2+dy^2=dx^2+\frac{x^2dx^2}{y^2}=dx^2+\frac{x^2dx^2}{R^2-x^2}$
$\frac{dl^2}{dx^2}=1+\frac{x^2}{R^2-x^2}=\frac{R^2}{R^2-x^2}$
Получим:

$\frac{dl^2}{dx^2}=\frac{1}{1-\frac{x^2}{R^2}}$

Если пространство плоское ( $R \rightarrow$ ) $\frac{dl^2}{dx^2}=1$ . Как если бы перед $inline$ был ноль.
Если пространство положительной кривизны, у длины появляется отклонение, зависящее от $inline$ . Множитель перед $inline$ в этом случае $inline$ .
Для отрицательной кривизны знак множителя надо изменить на отрицательный ( $inline$ ). Можно представить все три случая так:

$\frac{dl^2}{dx^2}=\frac{1}{1-k\frac{x^2}{R^2}}$

Чем дальше мы движемся в таком пространстве $\psi$ при неизменном радиусе кривизны $inline$ , тем хуже (проходим всё меньшее расстояние) у нас будет это получаться в сферическом пространстве, без изменений в плоском, и лучше (большее расстояние) в гиперболическом.

II. Расширим пространство $\psi$ до трёхмерного (x,y,z). Будем подразумевать, что радиус его кривизны $inline$ одинаков в каждой точке, как если бы оно было поверхностью 3-сферы все три оси скручены подобно оси $inline$ , образуя 3-сферу радиуса $inline$ . Произведём те же операции, что для одномерного варианта, чтобы получить уравнение для перемещения в трёхмерном пространстве (3):

Подробно вывод пространственной составляющей в декартовых координатах

$inline$ (1)
$inline$ дифференцируем и выражаем dw:
$dw^2=\left[ \frac{xdx+ydy+zdz}{w} \right]^2$
$inline$
$dw^2= \frac{\left[xdx+ydy+zdz \right]^2}{R^2 - x^2+y^2+z^2}$ подставляем в (1):

$dl^2=dx^2+dy^2+dz^2+\color{red}{\frac{(xdx+ydy+zdz)^2}{R^2-(x^2+y^2+z^2)}}$

Красным кривая часть, отличающая метрику FRW от плоской метрики пространства Минковского.
В таком представлении хорошо видно, что последнее кривое слагаемое по осям совсем никак впрямую не разнести, что, в свою очередь, приведёт к появлению недиагональных членов метрического тензора, а это значительно усложнит дальнейшие вычисления (или сделает невозможными, я не пробовал).
Поэтому надо искать обходной путь. Необходимо найти такое координатное представление, чтобы кривизна могла быть выражена отдельно для каждого базисного вектора.
Сферические координаты здесь отлично подходят для раздельного представления кривизны, потому что вторая и третья координата являются углами, и зависимы от кривизны линейно, вместо квадратичной зависимости декартовых координат. Что при первой координате качественно идентичной декартовым всё же даёт возможность выразить кривизну удобным образом (4), так что вся она сворачивается в знаменатель множителя при первой координате в виде составляющей $inline$ :

Подробно переход к сферическим координатам и получение представления

$$display$$\vec{r}=\left( \matrix{x\cr y\cr z} \right) = \left( \matrix{r\sin\theta\cos\phi\cr r\sin\theta\sin\phi\cr r\cos\theta} \right)$$display$$

красным здесь снова кривая часть:
$dl^2=dx^2+dy^2+dz^2+\color{red}{\frac{(xdx+ydy+zdz)^2}{R^2-(x^2+y^2+z^2)}}=$
$= dr^2+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2+\color{red}{\frac{(\vec{r}\cdot d\vec{r})}{R^2-r^2}} =$
$= dr^2+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2+\color{red}{\frac{r^2\cdot dr^2}{R^2-r^2}} =$
$= \left[ \color{red}{\frac{r^2}{R^2-r^2}}+1 \right] dr^2 +r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2 =$
$= \left[ \frac{R^2}{R^2-\color{red}{r^2}} \right] dr^2 +r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2 =$

$dl^2=\color{red}{\frac{1}{1-k\frac{r^2}{R^2}}}dr^2+\color{green}{r^2}d\theta^2+\color{blue}{r^2\sin^2\theta} d\phi^2$

где
$inline$ линейная координата (первая),
$d\theta, d\phi$ угловые координаты (вторая и третья),
$inline$ ;
и получается, что члены метрического тензора, выделенные цветом (по очереди красный, зелёный, синий):
$\gamma_{11}=\left( 1-k\frac{r^2}{R^2} \right)^{-1}$
$\gamma_{22}=r^2$
$\gamma_{33}=r^2\sin^2\theta$
это диагональные члены метрического тензора.

III. Всё? Нет.
Произведём замену первой координаты $inline$ , выразив её через радиус кривизны: $inline$ ; $inline$ .
Подставим в (4), и получим сопутствующие координаты с сопутствующим расстоянием $inline$ , что удобно для расширяющейся Вселенной и изменяющегося $inline$ (5):

$dl^2=R^2 \left[ \color{red}{\frac{1}{1-kx^2}}dx^2+\color{green}{x^2}d\theta^2+\color{blue}{x^2\sin^2\theta} d\phi^2 \right]$

Заметки на полях. Последнюю замену $inline$ , $inline$ чисто математически можно интерпретировать как переход к углу (sic!) размера $inline$ , при этом $inline$ дуга длины $inline$ . Это важно. Я вернусь к этому в одной из следующих статей.

$\gamma_{11}=R^2/(1-kx^2)$
$\gamma_{22}=R^2x^2$
$\gamma_{33}=R^2x^2\sin^2\theta$

И вот он наш метрический тензор:

$$display$$\gamma_{ij}=\left[ \matrix{\gamma_{11}&\gamma_{12}&\gamma_{13}\cr\gamma_{21}&\gamma_{22}&\gamma_{23}\cr\gamma_{31}&\gamma_{32}&\gamma_{33}} \right]=\left[ \matrix{\frac{R^2}{1-kx^2}&0&0\cr0&R^2x^2&0\cr0&0&R^2x^2\sin^2\theta} \right]$$display$$

Тензор пространства-времени

Соберём нашу метрику пространства в интервал, добавив время в (5):

$ds^2=-dt^2+dl^2=\color{magenta}{-1}\cdot dt^2+R^2 \left[ \color{red}{\frac{1}{1-kx^2}}dx^2+\color{green}{x^2}d\theta^2+\color{blue}{x^2\sin^2\theta} d\phi^2 \right]$

Здесь предполагается, что за время $inline$ по оси $inline$ точка A перемещается в пространстве $\psi$ на $inline$ . Размерность оси времени равна $inline$ (скорость света), при которой $inline$ (светоподобный интервал равен нулю).
Получим тензор пространства-времени:

$$display$$g_{\mu\nu} = \left[ \matrix{-1&0&0&0\cr 0& \gamma_{11}&\gamma_{12}&\gamma_{13}\cr 0 &\gamma_{21}&\gamma_{22}&\gamma_{23}\cr 0&\gamma_{31}&\gamma_{32}&\gamma_{33}} \right] = \left[ \matrix{\color{magenta}{-1}&0&0&0\cr 0& \color{red}{\frac{R^2}{1-kx^2}}&0&0\cr 0 &0&\color{green}{R^2x^2}&0\cr 0&0&0&\color{blue}{R^2x^2\sin^2 \theta}} \right]$$display$$

Символы Кристоффеля второго рода

Для расчёта тензора кривизны нам необходимо определить символы Кристоффеля (коэффициенты связности).
I. Всё начинается с того, что некая точка (частица) движется в отсутствии сторонних сил (ускорение равно нулю) в декартовых координатах $inline$ :

$\frac{\partial^2 x^i}{\partial t^2} = 0$

где $inline$ .
Однако, если перейти к сферическим координатам $(x,y,z) \rightarrow (r,\theta,\phi)$ , это простое тождество впрямую работать уже не будет.
Необходимо сначала цивилизованно перейти к координатам $x'^j=(r,\theta,\phi)$ :

$\frac{\partial x^i}{\partial t} = \color{red}{\left( \frac{\partial x^i}{\partial x'^j} \right)} \frac{\partial x'^j}{\partial t}$

Красным члены матрицы трансформации (якобианы):

$$display$$\color{red}{\frac{\partial x^i}{\partial x'^j}}=\left( \matrix{\sin\theta\cos\phi&r\cos\theta\cos\phi&-r\sin\theta\sin\phi\cr\sin\theta\sin\phi&r\cos\theta\sin\phi&-r\sin\theta\cos\phi\cr\cos\theta&-r\sin\theta&0} \right)$$display$$

Осталось продифференцировать ещё раз по времени:

$\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial x^i}{\partial t}\right)=\frac{\partial}{\partial t}\left( \color{red}{\frac{\partial x^i}{\partial x'^j} } \frac{\partial x'^j}{\partial t}\right)$

Получим:

$\frac{\partial^2 x^i}{\partial t^2}=\color{red}{\frac{\partial x^i}{\partial x'^j}}\frac{\partial^2 x'^j}{\partial t^2}+\frac{\partial^2 x^i}{\partial x'^j \partial x'^k}\frac{\partial x'^j}{\partial t} \frac{\partial x'^k}{\partial t}=0$

Таким образом, получается условие отсутствия ускорения в сферических координатах. Мы можем лишь привести его к более удобному виду. В левом слагаемом якобиан остаётся нетронутым из-за прелести дифференцирования по частям, в правом слагаемом от якобиана берётся производная.
Видно, что если мы домножим последнее представление на инвертированный якобиан, мы освободим ускорение по одной из координат (зелёным), приведя его к виду исходного в декартовых:

$\color{green}{\frac{\partial^2 x'^l}{\partial t^2}} + \color{magenta}{\left[ \left( \left\{ \frac{\partial x}{\partial x'}\right\}^{-1}\right)_i^l \frac{\partial^2 x^i}{\partial x'^j \partial x'^k} \right]}\frac{\partial x'^j}{\partial t}\frac{\partial x'^k}{\partial t} = 0$

И вот та монструозная маджента, получившаяся в правом слагаемом в качестве множителя при производных координат $inline$ , и есть символ Кристоффеля второго рода (6):

$$display$$\Gamma^\color{red}{l}_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}=\left(\left\{ \frac{\partial x}{\partial x'}\right\}^{-1}\right)_i^\color{red}{l} \frac{\partial^2 x^i}{\partial x'^\color{green}{j} \partial x'^\color{blue}{k}}$$display$$

То есть символы Кристоффеля характеризуют метрику в том, насколько её форма искажает значение по каждой из координат при переносе некоторой точки относительно начала координат.
Ещё проще, символы Кристоффеля это множители базисных векторов, соответствующие их переносу в пространстве, заданном метрикой.

II. Несомненный плюс предыдущего способа представления коэффициентов связности в том, что он одновременно даёт понятие об уравнении геодезической. Но, возможно, кому-то будет понятнее вариант представления символов Кристоффеля через дифференцирование базисных векторов. Очень понятно расписано в книге Ю.А. Аменадзе Теория упругости (pdf, параграф 4).
Дело в том, что изменение метрики от точки к точке означает изменение базисных векторов в этих точках. Удобно выразить изменение базисного вектора через его производную.
Так как в криволинейной системе координат базисные векторы являются функциями, аргументом которых является положение точки, то и производные взятые прямо по координатам будут отличны от нуля (7):

$$display$$\frac{\partial \vec{e_\color{green}{x'^j}}}{\partial \color{blue}{x'^k}}=\Gamma^\color{red}{l}_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}\vec{e_\color{red}{x'^l}}$$display$$

Множителем при полученном в результате такого дифференцирования векторе будет символ Кристоффеля второго рода.
Видно, что $\Gamma^\color{red}{l}_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}$ это множитель при базисном векторе $inline$\vec{e_\color{red}{x'^l}}$inline$, соответствующий его искривлению при перемещении базисного вектора $inline$\vec{e_\color{green}{x'^j}}$inline$ по оси $\color{blue}{x'^k}$ :
$\color{red}{l}$ координата базисного вектора, при котором стоит коэффициент;
$\color{green}{j}$ координата изменяемого базисного вектора;
$\color{blue}{k}$ координата по которой отслеживается изменение.
То есть для декартовых координат, перенос точки в которых не влияет на размер базисных векторов, все символы будут равны нулю. Это очевидно так же, как и то, что при переносе точки в сферических координатах, величина базисных векторов угловых величин (второй и третьей координат) меняется. В некотором роде, это плата за линейность кривизне.
В метрике FRW, отличной от сферической наличием множителя при первой координате, в результате собственно этой её особенности, перенос базиса вдоль первой координаты также приведёт к его изменению.
Рассчитать коэффициенты связности можно, пользуясь формулой из их определения.

Например

$$display$$\frac{\partial \vec{e_\color{green}{x'^j}}}{\partial \color{blue}{x'^k}}=\Gamma^\color{red}{l}_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}\vec{e_\color{red}{x'^l}}$$display$$

При этом:

$|\vec{e_x}|=\sqrt{g_{xx}}=\sqrt{\frac{R^2}{1-kx^2}}=\frac{R}{\sqrt{1-kx^2}}$

Отсюда:

$$display$$\frac{\partial \vec{e_\color{green}{x}}}{\partial \color{blue}{x}}=\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{R}{\sqrt{1-kx^2}} \right) =\frac{kx}{1-kx^2}\frac{R}{\sqrt{1-kx^2}}=\color{magenta}{\frac{kx}{1-kx^2}}\vec{e_\color{red}{x}}$$display$$

Собственно, маджента и есть нужный коэффициент:

$$display$$\Gamma^\color{red}{l}_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}=\Gamma^\color{red}{x}_{\color{green}{x}\color{blue}{x}}=\color{magenta}{\frac{kx}{1-kx^2}}$$display$$

Фишка в том, что после дифференцирования нужно вынести требуемый базисный вектор, а остальное утрамбовать.

Но не во всех случаях это удобно, поэтому выведем универсальную формулу.

Выразим

Домножим обе части (7) скалярно на $inline$ :

$\color{red}{e_m\frac{\partial e_j}{\partial x^k}}=\color{green}{\Gamma^l_{jk} e_l e_m}$

1. При этом скалярное произведение векторов:

$g_{mj}=(e_m \cdot e_j)$

Продифференцируем последнее по $inline$ :

$\frac{\partial g_{mj}}{\partial x^k}=\color{red}{e_m \frac{\partial e_{j}}{\partial x^k}} + e_j \frac{\partial e_{m}}{\partial x^k}$

И выразим нужный член:

$\color{red}{e_m \frac{\partial e_{j}}{\partial x^k}} = \frac{\partial g_{mj}}{\partial x^k} - e_j \frac{\partial e_{m}}{\partial x^k}$

Подставим в изначальное:

$\frac{\partial g_{mj}}{\partial x^k} - e_j \frac{\partial e_{m}}{\partial x^k}=\Gamma^l_{jk} e_l \cdot e_m = |e_l \cdot e_m = g_{lm}| =\color{green}{\Gamma^l_{jk} g_{lm}}$

2. По определению для произвольного вектора $\vec{r}$ верно:

$\frac{\partial r}{\partial x^k}=e_k; \frac{\partial r}{\partial x^j}=e_j$

Следовательно:

$\frac{\partial e_k}{\partial x^j}=\frac{\partial e_j}{\partial x^k}$

Сопоставляя с (7), получим:

$\Gamma^l_{kj}=\Gamma^l_{jk}$

3. То есть символы тождественны по нижним индексам. Отсюда следует, что:

$\frac{\partial g_{mj}}{\partial x^k} - e_j \frac{\partial e_{m}}{\partial x^k} = \frac{\partial g_{mk}}{\partial x^j} - e_k \frac{\partial e_{m}}{\partial x^j}=\color{green}{\Gamma^l_{jk} g_{lm}}$

Или можно представить так:

$\left( \frac{\partial g_{mj}}{\partial x^k} - e_j \frac{\partial e_{m}}{\partial x^k} \right) + \left( \frac{\partial g_{mk}}{\partial x^j} - e_k \frac{\partial e_{m}}{\partial x^j} \right) =2\color{green}{\Gamma^l_{jk} g_{lm}}$

Перераспределим:

$\left( \frac{\partial g_{mj}}{\partial x^k} + \frac{\partial g_{mk}}{\partial x^j} \right) - \color{blue}{\left( e_j \frac{\partial e_{m}}{\partial x^k} + e_k \frac{\partial e_{m}}{\partial x^j} \right)} =2\color{green}{\Gamma^l_{jk} g_{lm}}$

4. Синяя часть сквозит производной произведения:

$\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^m}=\frac{\partial}{\partial x^m} (e_j \cdot e_k) = e_j \frac{\partial e_k}{\partial x^m}+e_k\frac{\partial e_j}{\partial x_m}$

Пользуясь тем, что:

$\frac{\partial e_k}{\partial x^m}=\frac{\partial e_m}{\partial x^k};\qquad\frac{\partial e_j}{\partial x^m}=\frac{\partial e_m}{\partial x^j}$

Получим (у Аменадзе здесь опечатка):

$\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^m}=\color{blue}{e_j \frac{\partial e_m}{\partial x^k}+e_k\frac{\partial e_m}{\partial x_j}}$

5. Подставим в п.4:

$\left( \frac{\partial g_{mj}}{\partial x^k} + \frac{\partial g_{mk}}{\partial x^j} - \color{blue}{\frac{\partial g{jk}}{\partial x^m}} \right) =2\color{green}{\Gamma^l_{jk} g_{lm}}$

И, наконец

коэффициент связности через члены тензора пространства-времени:

$$display$$\Gamma_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}^\color{red}{l}=\frac{1}{2}g^{\color{red}{l}m}(\partial_\color{green}{j}g_{m\color{blue}{k}}+\partial_\color{blue}{k}g_{m\color{green}{j}}-\partial_mg_{\color{blue}{k}\color{green}{j}})$$display$$

Подразумевая, что сокращения следует читать так

1. Что такое $g^{lm}$ ? Это представление тензора $g_{lm}$ в ковариантных координатах. Сам тензор пространства-времени $g_{lm}$ у нас представлен в контрвариантных координатах. Это начала тензорной алгебры, которые доступно разложены, например, здесь.
В данном случае, для нас важно, что в координатах с ортогональным базисом действует правило:

$g^{ll}=g_{ll}^{-1}$

то есть диагональные члены представления тензора в ковариантных и ковариантных координатах взаимно обратны:

$$display$$g^{ll}=\left( \matrix{-1&0&0&0\cr0&\frac{1-kx^2}{R^2}&0&0\cr0&0&\frac{1}{R^2x^2}&0\cr0&0&0&\frac{1}{R^2x^2\sin^2\theta}} \right)$$display$$

2. Как читать запись типа $\partial_\color{red}{a}g_{\color{green}{b}\color{blue}{c}}$ ? Это просто сокращение от:

$$display$$\partial_\color{red}{a}g_{\color{green}{b}\color{blue}{c}}=\frac{\partial g_{\color{green}{b}\color{blue}{c}}}{\partial x^\color{red}{a}}$$display$$

III. Теперь уже можно от вопроса теоретического представления переходить к прагматическому вопросу получения коэффициентов.
В нашем случае, когда все члены по несовпадающим индексам равны нулю ( $g^{lm} = |l \neq m| = 0$ ), мы можем ещё немного упростить полученную формулу:

$$display$$\Gamma_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}^\color{red}{l}=\frac{1}{2}g^{\color{red}{l}\color{red}{l}}(\partial_\color{green}{j}g_{\color{red}{l}\color{blue}{k}}+\partial_\color{blue}{k}g_{\color{red}{l}\color{green}{j}}-\partial_\color{red}{l}g_{\color{blue}{k}\color{green}{j}})$$display$$

что полностью выглядит так:

$$display$$\Gamma_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}^\color{red}{l}=\frac{1}{2}g^{\color{red}{l}\color{red}{l}}\left( \frac{\partial g_{\color{red}{l}\color{blue}{k}}}{\partial x^\color{green}{j}}+\frac{\partial g_{\color{red}{l}\color{green}{j}}}{\partial x^\color{blue}{k}}-\frac{\partial g_{\color{blue}{k}\color{green}{j}}}{\partial x^\color{red}{l}} \right)$$display$$

Всё, осталось только внимательно и аккуратно посчитать.

Все нулевые коэффициенты связности метрики FLRW

$\Gamma_{ij}^l=0 \qquad\qquad\qquad \forall i\ne j\ne k$

$\Gamma_{x\theta}^t = \Gamma_{\theta x}^t = \Gamma_{x \phi}^t=\Gamma_{\phi x}^t = \Gamma_{\theta\phi}^t = \Gamma_{\phi\theta}^t = 0$
$\Gamma_{t\theta}^x = \Gamma_{\theta t}^x = \Gamma_{t\phi}^x = \Gamma_{\phi t}^x = \Gamma_{\theta\phi}^x = \Gamma_{\phi\theta}^x = 0$
$\Gamma_{t x}^\theta = \Gamma_{x t}^\theta=\Gamma_{t\phi}^\theta = \Gamma_{\phi t}^\theta=\Gamma_{x \phi}^\theta=\Gamma_{\phi x}^\theta = 0$
$\Gamma_{t\alpha}^\phi = \Gamma_{x t}^\phi = \Gamma_{t \theta}^\phi = \Gamma_{\theta t}^\phi = \Gamma_{x \theta}^\phi=\Gamma_{\theta x}^\phi=0$

$\Gamma_{tt}^t=0$

$\Gamma_{\theta\theta}^\theta = \frac{g^{\theta\theta}}{2} \left(\frac{\partial g_{\theta\theta}}{\partial \theta} \right) = 0 \qquad\qquad \frac{\partial g_{\theta\theta}}{\partial \theta} = 0$

$\Gamma_{\phi\phi}^\phi = 0$

$\Gamma_{t x}^t=\frac{g^{t t}}{2}\frac{\partial g_{t t}}{\partial x}= \left| \frac{\partial g_{tt}}{\partial x}=0 \right|=0$

$\Gamma_{t x}^t = \Gamma_{x t}^t = \Gamma_{\theta t}^t = \Gamma_{t \theta}^t = \Gamma_{\phi t}^t = \Gamma_{t \phi}^t = 0$

$\Gamma_{t t}^x=\frac{g^{x x}}{2}\frac{\partial g_{tt}}{\partial x}= \left| \frac{\partial g_{tt}}{\partial x}=0 \right|=0$

$\Gamma_{tt}^x=\Gamma_{tt}^\theta=\Gamma_{tt}^\phi=0$

$\Gamma_{x\theta}^x=\frac{g^{x x}}{2} \left( \frac{\partial g_{x \theta}}{\partial x} +\frac{\partial g_{x x}}{\partial \theta} -\frac{\partial g_{x \theta}}{\partial x} \right) = 0$

$\Gamma_{x \theta}^x = \Gamma_{\theta x}^x = \Gamma_{\phi x}^x = \Gamma_{x \phi}^x = \Gamma_{\theta\phi}^\theta = \Gamma_{\phi\theta}^\theta = 0$

$\Gamma_{x x}^\phi = \left| \frac{\partial g_{x x}}{\partial \phi} = 0 \right| = 0$

$\Gamma_{x x}^\theta=\left| \frac{\partial g_{x x}}{\partial \theta} = 0 \right| = 0$

$\Gamma_{\theta \theta}^\phi = \left| \frac{\partial g_{\theta \theta}}{\partial \phi} = 0 \right| = 0$

Итого: 45/64

Все ненулевые коэффициенты связности метрики FLRW

$\Gamma_{x x}^x =\frac{g^{x x}}{2} \left(\frac{\partial g_{x x}}{\partial x} \right) = \frac{1}{2}\frac{1-kx^2}{R^2}\frac{R^2}{(1-kx^2)^2}(2kx)=\frac{kx}{1-kx^2}$

$\Gamma_{x x}^t=\frac{1}{2}g^{t t} \left( \frac{\partial g_{t x}}{\partial x}+\frac{\partial g_{x t}}{\partial x} - \frac{\partial g_{x x}}{\partial t} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial g_{x x}}{\partial t} \right) = \frac{RR'}{1-kx^2} \qquad R'=\frac{\partial R}{\partial t}$

$\Gamma_{\theta\theta}^t=\frac{1}{2}g^{tt} \left( \frac{\partial g_{t\theta}}{\partial \theta}+\frac{\partial g_{t\theta}}{\partial \theta} - \frac{\partial g_{\theta\theta}}{\partial t} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial g_{\theta\theta}}{\partial t} \right) = x^2RR' \qquad R'=\frac{\partial R}{\partial t}$

$\Gamma_{\phi\phi}^t=\frac{1}{2}g^{tt} \left( \frac{\partial g_{t\phi}}{\partial \phi}+\frac{\partial g_{t\phi}}{\partial \phi} - \frac{\partial g_{\phi\phi}}{\partial t} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial g_{\phi\phi}}{\partial t} \right) = x^2\sin^2\theta RR' \qquad R'=\frac{\partial R}{\partial t}$

$\Gamma_{t x}^x = \frac{1}{2}g^{x x} \left( \frac{\partial g_{x x}}{\partial t}+\frac{\partial g_{x t}}{\partial x} - \frac{\partial g_{x t}}{\partial x} \right) = \frac{1}{2} g^{x x} \left( \frac{\partial g_{x x}}{\partial t} \right) = \frac{1-kx^2}{2R^2} \frac{2RR'}{1-kx^2}=\frac{R'}{R}$

$\Gamma_{t x}^x = \Gamma_{x t}^x = \Gamma_{t \theta}^\theta = \Gamma_{\theta t}^\theta = \Gamma_{t \phi}^\phi = \Gamma_{\phi t}^\phi = \frac{R'}{R}$

$\Gamma_{\theta \theta}^x = \frac{1}{2}g^{x x} \left( \frac{\partial g_{x \theta}}{\partial \theta} +\frac{\partial g_{x \theta}}{\partial \theta} - \frac{\partial g_{\theta \theta}}{\partial x}\right) = -\frac{1}{2}g^{x x} \left( \frac{\partial g_{\theta \theta}}{\partial x}\right) =-\frac{1-kx^2}{2R^2} 2R^2x = -x (1-kx^2)$

$\Gamma_{\phi\phi}^x = \frac{1}{2}g^{x x} \left( \frac{\partial g_{x \phi}}{\partial \phi} +\frac{\partial g_{x \phi}}{\partial \phi} - \frac{\partial g_{\phi\phi}}{\partial x}\right) = -\frac{1}{2}g^{x x} \left( \frac{\partial g_{\phi \phi}}{\partial x}\right) =-\frac{1-kx^2}{2R^2}2R^2\sin^2\theta x = -x \sin^2\theta (1-kx^2)$

$\Gamma_{\phi\phi}^\theta=\frac{g_{\theta\theta}}{2} \left( \frac{\partial g_{\theta\phi}}{\partial \phi} +\frac{\partial g_{\theta\phi}}{\partial \phi} - \frac{\partial g_{\phi\phi}}{\partial \theta}\right) =-\frac{1}{2 R^2 x^2}(2R^2 x^2 \sin\theta\cos\theta)=-\sin\theta\cos\theta$

$\Gamma_{x \theta}^\theta=\frac{g^{\theta \theta}}{2} \left( \frac{\partial g_{\theta \theta}}{\partial x}+\frac{\partial g_{\theta x}}{\partial \theta}-\frac{\partial g_{\theta x}}{\partial \theta} \right)=\frac{1}{2 R^2 x^2}(2R^2 x)=x^{-1}$

$\Gamma_{x \theta}^\theta=\Gamma_{\theta x}^\theta=x^{-1}$

$\Gamma_{x \phi}^\phi=\frac{g^{\phi\phi}}{2} \left( \frac{\partial g_{\phi \phi}}{\partial x}+\frac{\partial g_{\phi x}}{\partial \phi}-\frac{\partial g_{\phi x}}{\partial \phi} \right)=\frac{1}{2R^2x^2\sin^2\theta}(2R^2\sin^2\theta x)= x^{-1}$

$\Gamma_{x \phi}^\phi=\Gamma_{\phi x}^\phi = x^{-1}$

$\Gamma_{\phi\theta}^\phi = \frac{g^{\phi\phi}}{2}\left( \frac{\partial g_{\phi \theta}}{\partial \phi}+ \frac{\partial g_{\phi\phi}}{\partial \theta} -\frac{\partial g_{\phi \theta}}{\partial \phi} \right) = \frac{1}{2R^2 x^2 \sin^2\theta}2R^2 x^2 \sin\theta \cos\theta =\tan^{-1}\theta$

$\Gamma_{\phi \theta}^\phi=\Gamma_{\theta \phi}^\phi=\tan^{-1}\theta$
Итого: 19/64

Скомпонуем для наглядности, и можно переходить к заключительной части.

$$display$$\Gamma^t = \left( \matrix{\Gamma_{tt}^t & \Gamma_{tx}^t&\Gamma_{t\theta}^t & \Gamma_{t\phi}^t \cr \Gamma_{x t}^t & \Gamma_{xx}^t&\Gamma_{x\theta}^t & \Gamma_{x\phi}^t \cr \Gamma_{\theta t}^t & \Gamma_{\theta x}^t & \Gamma_{\theta\theta}^t & \Gamma_{\theta\phi}^t \cr \Gamma_{\phi t}^t & \Gamma_{\phi x}^t&\Gamma_{\phi\theta}^t & \Gamma_{\phi\phi}^t} \right) = \left( \matrix{0&0&0&0 \cr 0&\frac{RR'}{1-kx^2}&0&0 \cr 0&0&x^2RR'&0 \cr 0&0&0& x^2\sin^2\theta^2RR'} \right)$$display$$

$$display$$\Gamma^x=\left( \matrix{\Gamma_{tt}^x & \Gamma_{t x}^x & \Gamma_{t\theta}^x & \Gamma_{t\phi}^x \cr \Gamma_{x t}^x & \Gamma_{x x}^x & \Gamma_{x \theta}^x & \Gamma_{x \phi}^x \cr \Gamma_{\theta t}^x & \Gamma_{\theta x}^x&\Gamma_{\theta\theta}^x & \Gamma_{\theta\phi}^x \cr \Gamma_{\phi t}^x &\Gamma_{\phi x}^x & \Gamma_{\phi\theta}^x & \Gamma_{\phi\phi}^x} \right) = \left( \matrix{ 0&\frac{R'}{R}&0&0\cr\frac{R'}{R}&\frac{kx}{1-kx^2}&0&0\cr0&0&-x(1-kx^2)&0\cr0&0&0&-x\sin^2\theta(1-kx^2)} \right)$$display$$

$$display$$\Gamma^\theta=\left( \matrix{\Gamma_{tt}^\theta & \Gamma_{t x}^\theta & \Gamma_{t\theta}^\theta & \Gamma_{t\phi}^\theta \cr \Gamma_{x t}^\theta & \Gamma_{x x}^\theta & \Gamma_{x \theta}^\theta & \Gamma_{x \phi}^\theta\cr\Gamma_{\theta t}^\theta & \Gamma_{\theta x}^\theta & \Gamma_{\theta\theta}^\theta & \Gamma_{\theta\phi}^\theta \cr \Gamma_{\phi t}^\theta & \Gamma_{\phi x}^\theta & \Gamma_{\phi\theta}^\theta & \Gamma_{\phi\phi}^\theta} \right) = \left( \matrix{0&0&\frac{R'}{R}&0 \cr 0&0&x^{-1}&0 \cr \frac{R'}{R}&x^{-1}&0&0 \cr 0&0&0&-\sin\theta\cos\theta} \right)$$display$$

$$display$$\Gamma^\phi = \left( \matrix{\Gamma_{tt}^\phi &\Gamma_{t x}^\phi & \Gamma_{t\theta}^\phi & \Gamma_{t\phi}^\phi \cr \Gamma_{x t}^\phi & \Gamma_{x x}^\phi & \Gamma_{x \theta}^\phi & \Gamma_{x \phi}^\phi \cr \Gamma_{\theta t}^\phi & \Gamma_{\theta x}^\phi & \Gamma_{\theta\theta}^\phi & \Gamma_{\theta\phi}^\phi \cr \Gamma_{\phi t}^\phi & \Gamma_{\phi x}^\phi & \Gamma_{\phi\theta}^\phi & \Gamma_{\phi\phi}^\phi} \right) = \left( \matrix{0&0&0&\frac{R'}{R} \cr 0&0&0&x^{-1} \cr 0&0&0&\tan^{-1}\theta \cr\frac{R'}{R}&x^{-1}&\tan^{-1}\theta&0} \right)$$display$$

Тензор кривизны, его свёртка и свёртка свёртки

Тензор Риччи, с которого начинается математическая формулировка уравнений ОТО, является свёрткой тензора кривизны Римана. Скаляр кривизны, присутствующий во втором слагаемом левой части это уже свёртка тензора Риччи.
То есть всё, что нам нужно это вычислить компоненты тензора Римана.
I. Компоненты тензора Римана.
Вооружимся формулой расчёта членов тензора кривизны через коэффициенты связности:

$R_{i j k}^l = \frac{\partial \Gamma_{i k}^l}{\partial x^j} + \frac{\partial \Gamma_{j k}^l}{\partial x^i} + \sum_{p=1}^n \left( \Gamma_{i k}^p \Gamma_{j p}^l - \Gamma_{j k}^p \Gamma_{i p}^l \right)$

по которой нам потребуются только члены вида $R^\color{red}{l}_{i \color{red}{l} k}$ , а так как наш тензор пространства-времени диагональный, то ненулевыми будут только компоненты вида $R^\color{red}{l}_{\color{blue}{k} \color{red}{l} \color{blue}{k}}$ :

$$display$$R^\color{red}{l}_{\color{blue}{k} \color{red}{l} \color{blue}{k}} = \partial_\color{red}{l}\Gamma^\color{red}{l}_{\color{blue}{k} \color{blue}{k}} - \partial_\color{blue}{k}\Gamma^\color{red}{l}_{\color{red}{l} \color{blue}{k}} + \Gamma^p_{\color{blue}{k} \color{blue}{k}}\Gamma^\color{red}{l}_{\color{red}{l} p} - \Gamma^p_{\color{red}{l} \color{blue}{k}}\Gamma^\color{red}{l}_{\color{blue}{k} p}$$display$$

Здесь подразумевается суммирование по правилу Эйнштейна (по $p=t,x,\theta,\phi$ ).

Примеры расчёта компонентов тензора Римана

$R^x_{t x t}=\partial_x\Gamma^x_{t t} -\partial_t\Gamma^x_{x t} + \Gamma^t_{t t}\Gamma^x_{x t} - \Gamma^t_{x t}\Gamma^x_{t t} +\Gamma^x_{t t}\Gamma^x_{x x} - \Gamma^x_{x t}\Gamma^x_{t x} +$

$+ \Gamma^\theta_{t t}\Gamma^x_{x \theta} - \Gamma^\theta_{x x}\Gamma^x_{t \theta} + \Gamma^\phi_{t t}\Gamma^x_{x \phi} - \Gamma^\phi_{x t}\Gamma^x_{t \phi} = 0 - \frac{\partial}{\partial t} \frac{R'}{R} + 0 - 0 + 0 +$

$- \left( \frac{R'}{R} \right)^2 + 0 - 0 + 0 - 0 = - \frac{R''}{R} + \left( \frac{R'}{R} \right)^2 - \left( \frac{R'}{R} \right)^2 = - \frac{R''}{R}$

$R^\theta_{t \theta t} = R^\phi_{t\phi t} = - \frac{R''}{R}$

$R^t_{x t x}=\partial_t\Gamma^t_{x x} - \partial_x\Gamma^t_{t x} + \Gamma^t_{x t}\Gamma^t_{t t} - \Gamma^t_{t x}\Gamma^t_{x t} +\Gamma^x_{x x}\Gamma^t_{t x} - \Gamma^x_{t x}\Gamma^t_{x x} +$

$+ \Gamma^\theta_{x x}\Gamma^t_{t \theta} - \Gamma^\theta_{t t}\Gamma^t_{x \theta} + \Gamma^\phi_{x x}\Gamma^t_{t \phi} - \Gamma^\phi_{t x}\Gamma^t_{x \phi} = \frac{\partial}{\partial t}\frac{RR'}{1-kx^2} - 0 + 0 - 0 + 0 -$

$- \frac{R'}{R} \cdot \frac{RR'}{1-kx^2} + 0 - 0 + 0 - 0 = \frac{RR''}{1-kx^2} + \frac{R'^2}{1-kx^2} - \frac{R'^2}{1-kx^2} = \frac{RR''}{1-kx^2}$

$R^\theta_{x \theta x}=\partial_\theta\Gamma^\theta_{x x} -\partial_x\Gamma^\theta_{\theta x} + \Gamma^t_{x x}\Gamma^\theta_{\theta t} - \Gamma^t_{\theta x}\Gamma^\theta_{x t} +\Gamma^x_{x x}\Gamma^\theta_{\theta x} - \Gamma^x_{\theta x}\Gamma^\theta_{x x} +$

$+ \Gamma^\theta_{x x}\Gamma^\theta_{\theta \theta} - \Gamma^\theta_{\theta x}\Gamma^\theta_{x \theta} + \Gamma^\phi_{x x}\Gamma^\theta_{\theta \phi} - \Gamma^\phi_{\theta x}\Gamma^\theta_{x \phi} = 0 - \frac{\partial (x^{-1})}{\partial x} +$

$+\frac{RR'}{1-kx^2} \cdot \frac{R'}{R} - 0 + \frac{kx}{1+kx^2} \cdot x^{-1} - 0 + 0 - x^{-1} \cdot x^{-1} + 0 - 0 =$

$= x^{-2} + \frac{R'^2}{1-kx^2} + \frac{k}{1-kx^2} - x^{-2} = \frac{R'^2}{1-kx^2} + \frac{k}{1-kx^2}$

$R^\phi_{x \phi x}=\partial_\phi\Gamma^\phi_{x x} -\partial_x\Gamma^\phi_{\phi x} + \Gamma^t_{x x}\Gamma^\phi_{\phi t} - \Gamma^t_{\phi x}\Gamma^\phi_{x t} +\Gamma^x_{x x}\Gamma^\phi_{\phi x} - \Gamma^x_{\phi x}\Gamma^\phi_{\phi x} +$

$+ \Gamma^\theta_{x x}\Gamma^\phi_{\phi \theta} - \Gamma^\theta_{\phi x}\Gamma^\phi_{x \theta} + \Gamma^\phi_{x x}\Gamma^\phi_{\phi \phi} - \Gamma^\phi_{\phi x}\Gamma^\phi_{x \phi} = 0 - \frac{\partial (x^{-1})}{\partial x} +$

$+ \frac{RR'}{1-kx^2} \cdot \frac{R'}{R} - 0 + \frac{kx}{1+kx^2} \cdot x^{-1} - 0 + 0 - x^{-1} \cdot x^{-1} + 0 - 0 =$

$= x^{-2} + \frac{R'^2}{1-kx^2} + \frac{k}{1-kx^2} - x^{-2} = \frac{R'^2}{1-kx^2} + \frac{k}{1-kx^2}$

и т.д.

II. Компоненты тензора Риччи.
Осталось самое простое, сложить:
$R_{tt} = R^m_{tmt} = R^x_{t x t} + R^\theta_{t \theta t} + R^\phi_{t \phi t} = -3\frac{R''}{R}$
$R_{xx} = R^m_{xmx} = R^t_{x t x} + R^\theta_{x \theta x} + R^\phi_{x \phi x} = \frac{RR''}{1-kx^2} + \frac{2R'^2}{1-kx^2} + \frac{2k}{1-kx^2}$
$R_{\theta\theta} = R^m_{\theta m \theta} = x^2RR''+2x^2R'^2+2x^2k$
$R_{\phi\phi} = R^m_{\phi m \phi} = x^2RR''\sin^2\theta+2x^2R'^2\sin^2\theta+2x^2k\sin^2\theta$
И, затем, выразить пространственные составляющие через соответствующие компоненты тензора пространства-времени:

$R_{xx} = \color{red}{\frac{R^2}{1-kx^2}} \frac{1}{R^2} \left( RR'' + 2R'^2 + 2k \right)$

$R_{\theta\theta} = \color{green}{R^2x^2} \frac{1}{R^2} \left( RR''+2R'^2+2k \right)$

$R_{\phi\phi} = \color{blue}{R^2x^2\sin^2\theta} \frac{1}{R^2} \left( RR''+2R'^2+2k \right)$

То есть иначе их можно выразить так:

$R_{ii} = \frac{g_{ii}}{R^2} \left( RR'' + 2R'^2 + 2k \right)$

Вид под скляр готов.

III. Скалярная кривизна.
Формула скаляра:

$R = g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$

Снова подразумевая суммирование по повторяющимся нижним и верхним индексам. Значит, в нашем случае:

$R = \sum_{i=0}^3 (g^{ii}R_{ii})= \sum_{i=0}^3 \left( g^{ii} \frac{g_{ii}}{R^2}(RR''+2R'^2+2K)\right) = 6\frac{R''}{R}+6 \frac{R'^2}{R^2} +6\frac{k}{R^2}$

Уравнения общей теории относительности

Математическая формулировка ОТО выглядит так:

$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R + \lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$

где $R_{\mu\nu}$ тензор Риччи, $g_{\mu\nu}$ тензор пространства времени, $inline$ скаляр Риччи, $\lambda g_{\mu\nu}$ мрачная лямбда, $\pi, G, c$ вселенские константы, $T_{\mu\nu}$ тензор энергии-импульса.

Тензор материи $T_{\mu\nu}$ у Фридмана определён скромно:

$$display$$T_{\mu\nu} = \left[ \matrix{c^2\rho &0&0&0 \cr 0&0&0&0 \cr 0&0&0&0 \cr 0&0&0&0} \right]$$display$$

где $inline$ фундаментальная скорость, $\rho$ плотность массы пыли.
Такой подход и даёт два уравнения, полученных Фридманом, которые теперь можем получить и мы, подставив заданное $g_{\mu\nu}$ и расчётные $R_{\mu\nu}$ и $inline$ .

Для пространственных координат $inline$ :

$\frac{g_{ii}}{R^2} \left( RR'' + 2R'^2 + 2k \right)-\frac{1}{2} g_{ii} \left( 6\frac{R''}{R}+6 \frac{R'^2}{R^2} +6\frac{k}{R^2} \right) + \lambda g_{ii} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{ii}$

Что после ряда упрощений даст:

$\frac{R'^2}{R^2} + 2\frac{R''R}{R^2} + \frac{k}{R^2} - \lambda = 0$
Для временной координаты $inline$ :

$-\frac{3R''}{R} -\frac{1}{2} g_{ii} \left( 6\frac{R''}{R}+6 \frac{R'^2}{R^2} +6\frac{k}{R^2} \right) + \lambda g_{ii} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{ii}$

Или после упрощения:

$3 \frac{R'^2}{R^2} + 3\frac{k}{R^2} - \lambda = \frac{8\pi G}{c^2} \rho$

Резюме

Если справа вместо тензора энергии-импульса пыли подставить тензор энергии-импульса идеальной жидкости, в результате получатся два немного более сложных, чем в оригинальной статье, независимых уравнения, из которых получаются базовые уравнения современной стандартной космологической модели $\Lambda$ -CDM.
Левая, геометрическая часть решения при этом остаётся неизменной.

Надеюсь, кому-то этот разбор будет полезным. Tschuss!

Подробнее..

Категории: Научно-популярное , Физика , Математика , Читальный зал , Космология , Фридман , Метрика , Flrw , Frw , Символы кристоффеля , Кривизна , Пространство , Гиперпространство , Решение , Ото , Общая теория относительности , Эйнштейн

О мерности и нативной форме пространства

07.08.2020 16:22:19 |

Автор: admin

Habritants! Я хочу поделиться с вами размышлениями "об общем, так сказать, геометрическом характере нашего мира" ( А.А. Фридман), начиная с самого днища с философии, и постепенно выгребая к свету. Гипотеза сырая, буду благодарен за любую конструктивную критику и идеи.

Мир не плоск!
Совсем не плоск!

Пролог

Давным-давно, когда Земля была ещё плоской, любое место в ойкумене можно было задать двумя координатами направлением и расстоянием.
Затем Аристотель, глядя на звёзды, нашёл там доводы в пользу шарообразности нашего мира.
Позже Страбон, наблюдая уходящие к горизонту корабли, обратил внимание на то, что в перспективе они не сжимались в точку, но первым скрывался корпус, паруса же оставались ещё видны. Не менее гениально.
Ещё позже Ариабхата, который также одним из первых, ещё в шестом веке, предположил, что Земля и планеты вращаются вокруг Солнца, весьма точно оценил размеры нашей огромной планеты.
Которая оказалась такой крохотной теперь, когда мы задаём точки-события четырьмя координатами, и вновь считаем пространство псевдо-евклидовым (плоским), а свет (море) прямым, потому что вдали от водоворотов сумма углов треугольника 180. Как в треугольнике, начерченном палкой на песке той бухты, где стоял Страбон.
Что-то во всём этом не давало мне покоя, и я решил основательно озадачиться вопросами мироустройства, в результате чего, пока СУБД на моём ноуте аккуратно обсчитывает данные для следующей статьи из серии про космологическое красное смещение, пишу эту заметку с идеями о структурном устройстве мира.

Макропредпосылки

Насущная необходимость пересмотра философской и, следовательно, физико-математической базы для модели Метагалактики для меня очевидна. Ей прощают всё больше и больше, затыкая новые дыры тёмными словами. Давайте вспомним, что в рамках существующей -CDM-модели не объясняются:

Тёмная энергия. Некая сила тянет Метагалактику в разные стороны. Как стало известно с ускорением. А возможно, и нет. Сила невидимая, явление необъяснимое.
Тёмная материя. Некая материя присутствует в недрах многих галактик, влияя на характер их вращения. Материя невидимая, явление необъяснимое.
Тёмный поток. Множество галактик движутся в одну сторону. Внятное объяснение отсутствует.
Изотропность реликтового излучения и наличие Великих стен противоречат друг другу.
Зависимость расширения пространства от гравитационной связанности объектов. Объяснение отсутствует.
Характер экспансии пространства Метагалактики изменяется. Механизм и принцип его изменения не объясняются моделью.
Постоянные расхождения в определении постоянной Хаббла для различных способов и исследуемых групп объектов.

Тот факт, что модель называется в честь явлений, которые не может объяснить, кажется весьма занимательным.

Недавно появилась новость о расхождениях в скорости расширения разных областей наблюдаемой части Метагалактики.

Есть вероятность, что проблема не в недостатке новых, более точных и развёрнутых данных, а в неверном трактовании существующих. В ошибочном понимании физических зависимостей, происходящем от скупости теоретических моделей.

Микропредпосылки

Со студенческой скамьи я поражался тому, что никто не смотрит в направлении разрешения принципа квантовой неопределённости через увеличение мерности пространства. Ведь если нечто вращается в четырёх измерениях подобно гироскопу (вращается ось вращения), то в трёхмерном срезе угадать, где оно в следующий момент его проколет, практически невозможно, не зная пространственной глубины центра вращения и радиусов вращений первого и оси.
А ведь может вращаться и ось вращения вращения и центр бродить, где тогда искать эту точку, которая на самом деле вовсе не точка, а область?

Постройте произвольно плоскость, выберите точку на внутренней, красной рамке и постарайтесь построить зависимость её движения по точкам, в которых та пересекает плоскость.
А теперь добавьте ко всей системе ещё одну размерность ещё одну ось вращения и вместо плоскости рассекайте пространством. Да представьте, что оно не очень плоское.
Да! И дополнительных измерений может быть несколько

С тех пор мои взгляды несколько изменились, но, по-прежнему, включают увеличение мерности пространства. Вероятностный характер всей квантовой механики от волновой функции до эффективного сечения столкновения может быть объяснён, например, через парадигму абсолютно упругой не вязкой многомерной ( $n \geqslant 4$ ) жидкости (далее осциллятор), в которой фундаментальные частицы являются возмущениями: волнами колебаниями гиперповерхности осциллятора при перемещении, но квантами в процессах преобразования и поглощения, так как могут участвовать в них только полной мерой своей энергии, вследствие упругости осциллятора.

Тогда постоянная Планка определялась бы величиной предельной дискретизации осциллятора (как на гифке выше величина колебания не может быть меньше величины зерна), а принцип неопределённости возникал бы вследствие невозможности поймать все значения волны по наблюдению трёхмерного среза, когда колеблется область пространства.
При этом, предвосхищая скептические замечания наиболее искушённых в квантовой механике читателей о многочисленных опытах, однозначно разрешающих неравенства Белла в пользу значений, предсказанных квантовой механикой, замечу, что теория наличия дополнительных измерений это, в принципе, теория нелокальных параметров: любое возмущение трёхмерной гиперповерхности относительно 4+ измерения может быть связано, чисто теоретически, с бесконечно удалённой точкой этой же трёхмерной гиперповерхности.
Множество явлений квантовой механики с введением четвёртого измерения становятся проще и понятнее:

Квантовая неопределённость при наличии дополнительного измерения, в котором могла бы колебаться гиперповерхность, становится вполне интуитивно понятным явлением, возникающим вследствие невозможности предсказать и определить траекторию и прочие характеристики явлений в n-мерном пространстве по наблюдению их поведения в трёхмерном срезе, который является своего рода разделом фаз.
Эффективное сечение появляется в результате того, что совпадающие в трёх измерениях результирующие действия (проекции) частиц-колебаний не гарантируют их взаимодействия по причине их взаимного отклонения в четвёртом и более.
Туннельный эффект простое огибание барионного барьера относительно лёгкой частицей-колебанием, посредством большего радиуса её движения в четвёртом измерении. И отражение обратно в случае попадания на барьер и отскока.
Квантовая запутанность наличие связи (взаимодействия) между частицами-субъектами в дополнительном измерении.
Обязательность несовпадения спина и наличие минимального порога энергии при явлении рассеяния фотона на фотоне, если интерпретировать колебания фотона буквально как вращение некоторой среды, выступают характеристиками этого вращения, и совпадающие по спину фотоны, имея единое направление вращения, проходят друг сквозь друга с большей вероятностью, а фотон низкой энергии имеет слишком редкие витки для обеспечения высокой вероятности столкновения.

Сферическая форма распределения вероятностей обнаружения электрона в атоме водорода, например, по сути может просто описывать вероятность присутствия пика волны в определённом месте трёхмерного пространства в определённое время по причине наличия неизвестных компонент угла и радиуса её колебания в дополнительных измерениях.
И несоблюдение закона сохранения энергии в микро и макро масштабах, как, например, потеря энергии фотона при растяжении пространства (в рамках стандартной космологической модели), можно было бы объяснить перераспределением энергии фотона между движением по видимым осям и с участием невидимой оси, которое можно лишь косвенно угадывать в его трёхмерных проявлениях.
Множество эффектов квантовой механики, кажущихся сложными и контринтуитивными в трёхмерном пространстве, предстаёт достаточно тривиально объяснимыми при дополнении наблюдаемой реальности дополнительными измерениями.
По сути, вся квантовая механика является продуктом фиксации наблюдений, начиная с основ волновой функции Шрёдингера, и никаким образом не объясняет значительного изменения природных принципов при переходе к масштабу фундаментальных частиц.

Когда я был студентом, у меня не было Интернета, чтобы знать обо всех физических и космологических теориях, но как выясняется теперь, я поражался совершенно не зря. В направлении дополнительных измерений мысли были и есть, но настолько мало прижившихся, что они легко уложатся в небольшой исторический экскурс в рамках настоящей статьи.

Хроники четвёртого измерения

Одним из первых идеей четвёртого измерения заразился британский математик Чарльз Говард Хинтон, давший название 4-мерному кубу тессеракт и плотно занимавшийся темой четвёртого измерения, в отрыве, однако, от нашего бренного мира. Исключительно с математической точки зрения. Но даже в таком виде эту тему потом немного эксплуатировали Лавкрафт и Хайнлайн.
Это прекрасная демонстрация проекции вращающегося 4-куба на 3-пространство:

Следом за ним, в 1884 году, некто Эдвин Эббот Эббот публикует роман Флатландия. Наверное, можно сказать, что это руководство для плоского ума к пониманию пространства. Хоть и задумывался он немного о другом, английским писателям в целом свойственна такая особенность становиться популярными у читателя, на которого не рассчитывали.

Первым серьёзным разработчиком темы стал Гуннар Нордстрём, сформулировавший в 1914-ом году альтернативную теорию тяготения, построенную на метрике (1,4), одно измерение времени и четыре измерения пространства. Теория не подтвердилась экспериментально.

Чуть позже на базе такой же метрики была построена теория Теодора Калуцы. Так пишет о его теории Митио Каку в своём опусе Гиперпространство, вдохновившем Muse на альбом Origin of Symmetry, который я весьма долго слушал кругами, и который созвучен названию данной статьи. Всё сходится.
Коротко о теории просто вставить четыре величины, полностью описывающих электромагнитное поле, расширив мерность метрического тензора на единицу.
Так широко в то время тензор растягивать было не принято, поэтому случай зафиксировался в анналах истории.
А вслед за этим Оскар Клейн сформулировал гипотезу, согласно которой дополнительное измерение может быть ненаблюдаемым вследствие его компактификации.

Однако, и эта теория не подтвердилась, и дополнительные измерения заехали в архив до семидесятых годов двадцатого века, когда получила распространение теория струн. Я не буду даже ссылку здесь ставить: сам Шелдон Купер занимался теорией струн.
По результату моего поверхностного ознакомления с теорией, суть её в том, чтобы переложить загадки микро масштаба мироздания из физического кармана в другой геометрический и там попробовать их разгадать. Всё ещё тщетно, что, в общем-то, показательно.

Это все из известных мало-мальски значимых изысканий в направлении увеличения мерности пространства.

Коротко о философии

Коротко о философии это, конечно, оксюморон. На этом аспекте принято останавливаться томами и годами. Я же здесь постараюсь быть максимально лаконичным. Самый хороший вид философии математика, ей будет посвящено гораздо больше букв и знаков моей жизни, но для общего понимания взглядов будет полезно ознакомиться с ними от самых истоков.
Коротко охарактеризовать мой подход можно как модернизированный механицизм на фоне идеализированного детерминизма и тотального эволюционизма.

Унисофия

Олдскульный механицизм, сторонниками которого были, среди прочих, Ньютон, Галилей и Лаплас, постулирует явные анахронизмы, связанные с отсутствием представлений о некоторых теориях, возникших позже: вроде неделимости и цельности атомов и независимость времени; и неявные анахронизмы, которые ещё только, возможно, предстоит разрушить существование пространства как самостоятельного объекта физики.
Но, как видно из описания осциллятора, сам подход мне близок в части наличия зерна. В части попытки объяснения полей через механистические процессы, происходящие в областях, скрытых от глаз и современных инструментов homo sapiens, что эквивалентно: в областях, находящихся вне фотонного слоя. Ведь, очевидно, если фотоны согласно своей некоторой внутренней особенности формируют консолидированную трёхмерную гиперповерхность n-мерного пространства, мы просто не увидим всё, что на-под ней.
Итак, механицизм, пусть даже развитый дополнительными измерениями, но всё же сохраняет свою страшную порочную связь с детерминизмом, который наверняка являлся ночами множеству учёных мужей в облике демона Лапласа как осознание абсолютной бессмысленности бытия в такой парадигме. Если всё предопределено начальным состоянием системы, и результат может быть рассчитан ещё до начала, то: Зачем?!.
Непосильные муки жрецов классических точных наук длились долго, до 1926 г., пока Шрёдингер не опубликовал своё уравнение. Проклятие было снято в микро масштабе результат до события неизвестен, Вселенная катится в неизвестном направлении, от нас, человечества, возможно, что-то зависит. Ура.
Введение осциллятора как тотально детерминированной субстанции в таком контексте означало бы новый виток самоуничижительной рефлексии. Если бы не наличие, во-первых, небольшой вероятности того, что у человека всё-таки есть право выбора, не определяемое его генами и обстоятельствами. Я бы сказал, что в таком случае, именно это и было бы определяющим фактором наличия сознания.
Тогда группа развитых существ могла бы помещать комплексный исходник, представляющий совокупность их собственных черт, в специальной пустой зоне для выращивания нового развитого существа. Так наша Вселенная, например, в результате развития и симбиотического объединения интеллектов электронной и биологической природы, постепенно агрегирующих неживую материю для формирования себя как единого целого, то есть являя собой процесс становления чего-то в макро масштабе, может в современном состоянии представлять собой аналог зиготы.
И даже от этой мыслительной конструкции всё ещё очень тянет человечиной. Стоит облечь этот скетч в художественную форму?
Во-вторых, наша реальность может быть этим самым просчётом результата. Да, это инвариант представления Вселенная сон Будды, но в сочетании с идеей эволюции он играет новыми красками: Вселенная и есть Будда. Вселенная и есть демон Лапласа.
Кроме того, что славянское быть/будь имеет те же этимологические корни в праиндоевропейском языке, что и имя Будда на санскрите, отражая в том числе его суть: существовать.
То есть Вселенная существует, потому что может. И развивается, и эволюционирует, потому что может. Потому что знать результат, и идти к нему это совсем не одно и то же. Тем более, что будучи машиной для определения результата, внутри себя Вселенная результат никогда не осознает.
Кстати, идея с дорогой и целью интересно представлена у Э. Фрома в Иметь или быть как разница западного и восточного менталитетов. Мне было очень полезно для личностного роста.
Но вернёмся в колею. Я назвал свой детерминизм идеализированным, потому что материальный мир можно представить проекцией мира идей. И наоборот. Они как бы взаимно сочленены таким образом, что материя является формой выражения идей, а идеи эволюционируют через своё материальное представление.
Можно условно представить пространство идей как 0-мерную область все идеи транспарентны из любой точки пространства. А материальное пространство имеет размерность сущностей, которые его заполняют, являясь проекциями идей.
Если представлять эволюционное древо идей как граф, то у него есть начальная точка, к которой всё сходится. Базовая, единственная, первая, самая простая идея.
Поэтому весь изложенный концепт я назвал бы унисофией.

Эволюция материи
Многие, наверняка, в своих философских изысканиях натыкались на мысль об относительности макро и микро масштабов. Что нашими атомами могут быть чьи-то галактики, и наоборот мы можем существовать в сопле титана.
Относительность времени накладывает на эту мысль дополнительный флёр. Для титана длительность нашей Вселенной промежуток времени от попадания заразы в респираторную систему до сморкания.
Однако, эта блестящая мысль находится в противоречии с другим параметром. Сложность.
Микро и макро масштабы различны не только размером, но и количеством возможных форм и их взаимодействий. Семнадцать фундаментальных частиц и три способа взаимодействия $\Rightarrow$ 100+ химических элементов и усложнение взаимодействий (валентность, дисперсионное притяжение) $\Rightarrow$ молекулы и структурная (пространственная) организация $\Rightarrow$ клетки и вещественный обмен $\Rightarrow$ организмы и нервные системы $\Rightarrow$ сознание и интернет $\Rightarrow$ искусственный разум и информационная интеграция $\Rightarrow$ ???
На среднем уровне, хорошо просматриваемом с помощью технических инструментов современного человечества отчётливо видно увеличение индивидуальности объектов с возрастанием масштаба. Их усложнение.
Их эволюция на базе простейших способов взаимодействия возникают всё более сложные, включающие в себя базовые, но на новый лад, в комбинациях.
И если ретроспективно проследить это развитие, видно, что количество типов объектов и взаимодействий уменьшается, организация упрощается.
Кроме того, фундаментальные взаимодействия, известные в настоящее время, можно структурировать следующим образом:

Гравитация. Однополярное взаимодействие.
Электрослабое. Двухполярное взаимодействие.
Сильное. Трёхполярное взаимодействие.

При этом известные фундаментальные частицы последовательно наследуют способность участия во всё более сложных взаимодействиях от первого к третьему (исключая, разве что глюоны, которые, вообще говоря, вместе с кварками явления в себе, то есть без них и кварки в электрослабых участвовать не будут).

Заметки на полях. Если электромагнитное и гравитационное взаимодействия являются взаимодействиями разного типа, то почему нет заряженных безмассовых частиц?

Если ретроспективно продолжить идею эволюции материи к самым истокам, то в основании мы должны получить некоторую пару явлений, происходящих от одной причины, и образующую фундаментальную дихотомию. Своего рода Инь-Ян.
Такой вот получается анзац: все три вида фундаментальных взаимодействий это одно и то же взаимодействие с разным геометрическим ключом (для различных конфигураций движения, см. гравитомагнетизм).

Эволюция идей
Вместе с тем, уменьшение количества типов объектов и их взаимодействий означает упрощение идей, материальными проекциями которых они являются. Тогда сами эти идеи, по мере приближения к основанию мироздания, должны становиться проще, нисходя до той же пары, а затем и одной.
Подтверждение такого умозаключения можно найти в повторяющихся базовых идеях на разных уровнях организации материи, но в разных вариациях. В нас самих, людях, стремление к изменениям, новым свершениям борется со стремлением сохранить достигнутое, как реформаторство и консерватизм, как мужское и женское начало, как маскулинный и фемининный признак, как прямая и вращение.
В то же время идеи борются между собой через свои материальные проявления. Например, развитие сущностей происходит несколькими путями деление, слияние, поглощение.
Деление занимает свои ниши у простейших организмов, но сама идея начинается весьма близко к началу с фотонов. Слияние больше применимо к более сложным объектам, но начинается там же в фундаментальной основе. Как и поглощение.
Если абстрагироваться от обыденного порядка вещей в достаточной степени, можно заметить, что он не единственно возможный порядок. Чтобы двигаться дальше вглубь, необходимо понимать, что существо с рядом оголённых костных образований вокруг отверстия, в которое необходимо регулярно вливать оксид водорода и помещать органические соединения для продолжения жизнедеятельности не норма, а только один из возможных вариантов. И уж точно не венец творения.
Я это к тому, что вокруг нас огромное количество обыденных явлений, каждое из которых является выражением идей, подсказкой.
Так, например, разделение множества организмов на два пола созвучно электрослабому взаимодействию (двухполярное взаимодействие). Но в то же время уже включает в себя как вариации гомосексуальность (однополярное) и полиаморность (двухполярное плюс валентность).
Или сам факт получения энергии извне через поглощение других сущностей это вполне рациональное явление, происходящее от повышения концентрации энергии на каждом из уровней переработки солнечной от планктона до льва. Но идея такого механизма также могла и, вероятно, сложилась эволюционно.
В основании, предполагаю, будет идея о несуществовании. Идея смерти. Она пронизывает всю Вселенную насквозь, проявляясь в каждой её пылинке.
Потому что для осознания собственного существования, необходимо принятие идеи небытия: раз, чтобы прекратить существовать, надо быть, то чтобы быть, надо сперва не существовать. И это вроде бы так интуитивно понятно, но одним из возможных следствий этого является: "Всё возникло из Ничего". А это уже не выглядит таким уж бесспорным.
Если вам нравится эта, более художественно-философская сторона, моих ментальных странствий, то здесь больше Бионический человек.
В этой же статье вернёмся к прикладной стороне. Языком в пространстве идей является математика. Для меня очевидно, что дальнейшее углубление в понимание мира, в котором мы живём, возможно только на языке его прошивки.

Математика как вселенский ассемблер
Это работает в две стороны. С одной явления наблюдаемого мира могут быть описаны знаками, символизирующими объекты, процессы и их характеристики. С другой (это предположение) любое рациональное развитие таких знаковых комбинаций является идейным основанием реально существующих явлений.
То есть, я подразумеваю, что математика это язык, на котором философская парадигма Вселенной может быть наиболее точно выражена, потому что математика это язык идей, а Вселенная их материальное выражение. И это само по себе совершенно не ново, но дополнительная нота в этом аккорде поиск физико-философского смысла в привычных, простых, но пока весьма абстрактных математических формах, таких как, например:

Длина отрезка в n-мерном пространстве определяется суммой квадратов проекций на оси. Это, в общем-то, следствие теоремы Пифагора. Почему форма именно такова?
Что является фундаментальным основанием тригонометрического представления ( $e^{\hat{z} t}$ ) гармонического колебания?
Как Чак Норрис смог досчитать до бесконечности дважды?

Ответы на эти вопросы могли бы значительно продвинуть познание в сложившуюся щель между макро и микро космосами астрофизикой и квантовой механикой.
Думаю, за ответами на них может быть сокрыта сама тайна творения. Но существует вероятность, что как только её кто-то осознает, этот уровень закончится, и начнётся новый. А у меня дети, так что займёмся пока чем-то менее опасным.

Ненаблюдаемость четвёртого измерения
В предыдущей статье я разбирался с тем, как получается метрика FLRW. Четвёртая мера там использована в виде линейного множителя в метрическом тензоре, в виде некоторого показателя кривизны $inline$ :

$ds^2 = -c^2 \cdot dt^2 + R^2 \cdot dl^2$

В том представлении всё пространство Вселенной наполнено гомогенной, равномерно распределённой энергией массы, искривляющей пространство так же равномерно. При этом процесс носит динамический характер масса растягивается, вследствие чего плотность энергии деградирует. Деградирует и кривизна.
Вместе с тем, каждый массивный объект (решение Шварцшильда) искривляет вокруг себя пространство дополнительно.
Получается, масса, будучи энергией, создаёт кривизну. А что не масса, то энергия в чистом виде бозоны электромагнитного и сильного взаимодействия этой кривизне подчиняются. Из всех фундаментальных частиц не обладают массой только фотоны и глюоны.
Я предлагаю допустить, что вся энергия и есть кривизна. Тогда массивные частицы не искривляют пространство для всех остальных частиц. Они и есть искривление пространства. Как и не массивные.

Для существа, ощущающего мир плоским, все отклонения от евклидовой геометрии пространства будут казаться энергией.

Четвёртое измерение вполне наблюдаемо, мы просто настолько привыкли к тому, что ручка падает со стола на пол, а горячие предметы обжигают, что не видим общего все виды энергии могут быть описаны как искривление наблюдаемого 3-пространства, которое может быть формализовано через дополнение ещё одним (как минимум) измерением.

Мы наблюдаем этот мир через фотон. И если гнётся фотон гнётся мир.

С другой стороны, как было уже написано выше, вид энергии электромагнитное излучение может представлять собой такой вид движения, который определённым образом сориентирован в пространстве относительно осциллятора, и сообразно этому своему внутреннему свойству формирует трёхмерную гиперповерхность, над и под которой могут присутствовать движения других относительных конфигураций (например, бозон Хиггса со спином 0 может быть примером полностью перпендикулярного 3-пространству движения), которые исчерпывающе объясняли бы все эффекты полей.
Вот тут с галёрки подсказывают: Ана и Ката. Спасибо, мистер Хинтон!

Принцип образования массы
Не так давно, в 2015-ом году Нобелевскую премию по физике получило исследование Артура Мак-Дональда и Такааки Каджиты, подтвердившее наличие нейтринных осцилляций.
Вот здесь подробно-доступно.
Осцилляция массы это, как мне кажется, ключ. Масса не является каким-то внутренним неотъемлемым свойством частицы, масса это характеристика ориентации n-мерного движения по отношению к наблюдаемому 3-пространству. У нейтрино ориентация шатается, у остальных относительно стабильна.
К слову, ничем, кроме массы, поколения нейтрино не отличаются.
Получается, что если представить все фундаментальные частицы различными формами искривления колебательного движения в 4+ пространстве, то у частиц имеющих прямой угол между вектором колебательного движения и осями $inline$ 3-пространства масса наблюдаться не будет. И наоборот.
Ещё Ньютон считал, что свет может при определённых обстоятельствах порождать материю.
То есть в моём представлении кварк, например, может является повёрнутой электромагнитной волной, и если собрать группу из трёх таких развёрнутых ЭМВ, и сориентировать их колебания перпендикулярно друг другу, то итоговое колебание группы приобретёт новые свойства, а мы получим эскиз модели протона/нейтрона энергии, стабилизированной в 3-пространстве, а заодно объяснение превращениям фотонов в кварки и процессам "выхватывания виртуальных кварков из пространства", когда двоим нужен третий: энергия двух перпендикулярных колебаний либо создаёт дополнительное возмущение осциллятора в виде третьего перпендикулярно колебания для стабилизации группы в качестве протона-нейтрона, либо переходит в другое стабильное состояние электромагнитное излучение, и рассеивается.

Кривизна фундаментальных частиц
Предполагая энергию потенциально совершённой работой, а работу, в самом простом представлении, движением, мы можем представить массу законсервированной энергией. То есть стабилизированным в 3-пространстве движением, противопоставляя его нестабильному (вынужденному двигаться со скоростью света) состоянию ЭМВ, тогда кривизна 3-пространства, создаваемая массой будет законсервированным движением, проявляющимся лишь частично в наложенном на него фотонном слое.
То есть массивные объекты являются движением эквивалентным энергии $inline$ , и невидимым в 3-пространстве, потому что последнее создано фотонным слоем. Но фактически существующим в 4+.
Масса это форма существования энергии. Энергия это форма кривизны. Кривизна это результат пространственного отношения движений. Тогда

Каждая фундаментальная частица может быть представлена уравнением движения в n-мерном пространстве, обуславливающим её наблюдаемые в 3-пространстве характеристики.

Самым очевидным на мой взгляд направлением для распутывания того предполагаемого многомерного клубка, которым в новом свете представляются эмпирические данные квантовой механики о взаимодействиях и характеристиках фундаментальных частиц, является анализ данных об электромагнитных волнах в вакууме. Фотоны в пустоте почти лишены внешних воздействий, и все их ключевые черты должны хорошо просматриваться. Плюс к тому, есть огромный пласт исходных данных в виде показателей космологического красного смещения, светимости по частотам и прочее для различных космических объектов, очищенных от влияния локальных искажающих факторов.

Кривизна фотона
Наблюдаемое отклонение кривизны траектории фотона в гравитационном поле компактного массивного объекта не зависит от его, фотона, энергии. Возможно, соотношение кривизны ЭМВ к кривизне гравитационного поля массивного тела на небольшом расстоянии (для появления эффекта гравитационного линзирования) недостаточно велико для обнаружения отклонений, обусловленных количеством энергии ЭМВ?
В таком случае на длительном промежутке времени всё равно возникали бы условия для различимой дисперсии, чего, однако, не происходит.
Тогда собственное движение фотона должно иметь конфигурацию не влияющую на поперечное искривление траектории в видимом пространстве, но, возможно, оказывающим влияние на кривизну траектории продольно.
Очевидно, что поперечное колебание ЭМВ можно считать сбалансированным:

Предположим, что в плоскости $inline$ равномерно проявляется колебание, происходящее в других измерениях, и расположенное перпендикулярно к обеим этим осям. Это одновременно гарантирует сбалансированность и отсутствие влияния на поперечное искривление.
Я подразумеваю эффект схожий с появлением вертикальной составляющей у волн на поверхности воды, если под водой начать двигать рукой в горизонтальном направлении.
Тогда движение по оси $inline$ является проявлением той части колебания, которая, во-первых, не сбалансирована, а во-вторых, не перпендикулярна исходному колебанию.
Можно попробовать формализовать модель фотона, исходя из этих предположений, но сперва я хочу закончить с частью качественных описаний.

Космологическое красное смещение
Результат ещё одной кропотливой работы группы Сола Перлмуттера, за которую он, Брайан Шмидт и Адам Риссбыл были удостоены Нобелевской премии по физике за 2011 год:

Это зависимость космологического красного смещения сверхновых типа SNIa от расстояния.
Само космологическое красное смещение было обнаружено мистером Эдвином Хабблом ещё в тридцатых годах прошлого столетия. Примерно тогда же была проведена параллель и установлена пропорциональная зависимость между ККС, а следовательно, энергией фиксируемого излучения, и космологическим масштабным фактором современной стандартной космологической модели -CDM:

$1+z = \frac{\lambda_o}{\lambda_e} = \frac{\nu_e}{\nu_o} = \frac{E_e}{E_o} = \frac{a(t_o)}{a(t_e)}$

где
z космологическое красное смещение,
$\lambda_o, \lambda_e, \nu_o, \nu_e, E_o, E_e, a(t_o), a(t_e)$ длины волн, частоты, энергии и масштабные факторы в момент приёма (observer) и эмиссии (emitter)
Обращу внимание на четыре детали. На то, что закономерность установлена:

До появления данных с большими значениями ККС ( $inline$ ).
До появления модели фотона.
На основании вида геодезических, получаемых в модели FLRW:
$p \propto \frac{1}{a(t)}$
На основании соотношения де Бройля:
$p = \frac{h}{\lambda}$

Отмечу, что до самого конца жизни в 1953 г. Хаббл пытался найти объяснение ККС в обход модели расширяющейся Вселенной, преимущественно рассматривая кривизну отличной от евклидовой геометрии пространства, а де Бройль в качестве способа разрешения корпускулярно-волнового дуализма выдвинул весьма смелую гипотезу о волновых свойствах всей материи. Из статьи по ссылке выше:
Если же считать электрон волной, то, чтобы он вписался в орбиту заданного радиуса, надо, чтобы длина окружности этой орбиты была равна целому числу длины его волны. Иными словами, окружность орбиты электрона может равняться только одной, двум, трем (и так далее) длинам его волн. В случае нецелого числа длин волны электрон просто не попадет на нужную орбиту.
Моя гипотеза, по сути, является продолжением гипотезы де Бройля. И если в истинности его соотношения (п.4) я не сомневаюсь она вплетена в современную физику и интуитивно понятна, то космологическая часть, следующая из решения Фридмана (весьма обобщённого вида), требует внимательнейшего изучения.
Безотносительно истинности всего выше и ниже написанного я глубоко убеждён, что ККС является самым слабым и недоработанным местом современной космологии, вопреки тому, что является её ключевым параметром.
Если записать интервал следующим образом:

$ds^2 = - c^2dt^2 + R(\beta, \gamma)^2 \cdot dl^2$

где
$\beta = \beta (t, T_{\mu \nu})$ фактор, обусловленный гравитацией материи;
$\gamma = \gamma (t, \nu)$ фактор, обусловленный энергией фотона;
то полученный в результате показатель ККС будет:

$1 + z = \frac{a(\beta_o, \gamma_o)}{a(\beta_e, \gamma_e)}$

И характер погрешности даваемой от принятого в стандартной модели:

$1 + z = \frac{a(\beta_o)}{a(\beta_e)}$

определяется моделью взаимодействия ЭМВ с гравитационным полем.
Прежде, чем пускаться во все тяжкие с построением красивых математических конструкций, я подумал, как бы могла проявить себя такая зависимость в имеющихся данных.
And I got in!

Продольная кривизна и сверхновые
Если собственная кривизна-энергия фотона, взаимодействуя с кривизной пылевидной материи или идеальной жидкости, влияет на итоговую общую кривизну в направлении оси распространения (продольно) (собственная кривизна ЭМВ с одной стороны связана с её частотой, а с другой влияет на взаимодействие с общей кривизной Вселенной в области распространения колебания), то это происходило бы следующим образом:
чем выше частота фотона при эмиссии $\nu_e \ \Rightarrow$ тем меньше радиус собственной кривизны $R \ \Rightarrow$ тем меньше влияние кривизны Вселенной (который масштаб) относительно фотонов меньшей частоты $\Rightarrow$ тем короче путь волны в совокупно искривлённом пространстве.
Значимость такого эффекта даже при его наличии будет ничтожна, но его можно попробовать проверить.
Самые дальние объекты с событием сверхновые типа SNIa это взрыв звезды. Их снимают с использованием стандартных фильтров (фотометрические системы). Последние исследования типа Sloan Digital Sky Survey ведутся с использованием системы ugriz:

В процессе взрыва сверхновой типа Ia подавляющая часть энергии уходит на выталкивание материи самой звезды в пространство, и носит кинематический характер. Электромагнитная составляющая носит скорее характер побочного эффекта, забирая менее 1% от общей энергии взрыва.
ЭМВ появляется в результате бета распада изотопа никеля $^{56}Ni$ до кобальта $^{56}Co$ с выделением гамма-кванта.
Так выглядят графики светимости относительно недавних сверхновых.
График светимости SN2016dxv, $inline$ :

График светимости SN2005hy, $inline$ :

График светимости SN2005fm, $inline$ :

График светимости SN2006fz, $inline$ :

А так выглядит график светимости наиболее хорошо отснятой SN2013hy из сверхновых с большим показателем космологического красного смещения ( $inline$ ):

Аналогичных по древности происхождения, количеству снимков и использованных фильтров пока нет.
На всех графиках хорошо просматривается смещение между пиками светимости на разных фильтрах, особенно $g' \rightarrow r' от зелёного к красному. На$ SN2006fz хорошо видно, что на пятидневном промежутке в центре происходит их пересечение:

следовательно, экстремум графика $inline$ неминуемо раньше экстремума графика $inline$ .
Вместе с тем, на графиках сверхновых с ККС такого же порядка как SN2016dxv ( $inline$ ) расслоения почти не наблюдается, а у SN2013hy оно выглядит наиболее выраженным и максимальным по времени.
Аппроксимация смещения между всеми пиками g, r, u и z примерно одинакова, и равна 4 дням. Ориентировочный возраст сверхновой с таким ККС по современной шкале для плоской Вселенной с плотностью равной критической и без мрачной лямбды составит 7,4 млрд. лет.
4 дня, конечно, выглядят незначительной погрешностью в таком масштабе (если быть точным величина ККС, рассчитанная для аналогичных условий, составит примерно 5,4e-13), но вполне системной погрешностью именно так могли бы соотноситься кривизна одного фотона и гравитационного поля Вселенной в некоторой точке.
На больших же значениях ККС слишком мало данных, чтобы однозначно интерпретировать результат. Здесь каталог, кому интересно: внизу можно выставлять границы требуемых параметров поиска.
Обращу внимание, что в графиках показаны экстремумы по принятому показателю длины волны. Поэтому сравнение напрямую не совсем корректно, но позволяет оценить величину расслоения излучения по времени в зависимости от показателя ККС, которого при одинаковой скорости не должно было возникнуть ни по причине изменения числа принимаемых за секунду фотонов от удаляющегося источника, ни по причине изменения энергии фотонов.

Продольная кривизна и реликт
В применении к космическому сверхвысокочастотному фоновому излучению этот аспект выглядит ещё интереснее, но без картинок и видимой возможности сколько-нибудь точно подтвердить или опровергнуть. Однако, всё же!
По аналогии с предыдущим объяснением такие древние ЭМВ как реликтовое излучение, будучи эмитированы гораздо раньше любой из наблюдавшихся сверхновых ( $inline$ ), должны были бы иметь значительное временное расслоение фотонов разной энергии, и в связи с относительной единовременностью события рекомбинации водорода, такие ЭМВ должны были бы формировать фронты, зависящие как от величины энергии эмиссии фотонов, так и от времени эмиссии. В итоге, такое излучение представляло бы собой достаточно изотропный, смазанной фон, за которым легко могли бы укрыться самые величественные стены (Слоуна).
Минус одна макропредпосылка.

Кривизна пустого пространства
Взглянем на кривизну пространства без внешних факторов: то есть решим уравнения ОТО для пустого (вакуумный случай) плоского (метрика Минковского) локального (без лямбды) пространства, но! с масштабом $inline$ , выполняющим в данном случае функцию кривизны.
Формально исходные данные будут выглядеть так:

$\begin {cases} R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} \cdot R = \frac{8 \pi G}{c^4} \cdot T_{\mu \nu} = 0 ; \\ ds^2 = -c^2 \cdot dt^2 + R^2 \left[ dx^2+dy^2+dz^2 \right]. \\ \end {cases}$

В таком упрощённом случае решением будут два уравнения (темпоральная и пространственная часть, соответственно):

$\color{red}{3 \cdot \frac{\dot{R}^2}{R^2}} = 0; \qquad \color{green}{\frac{\dot{R}^2}{R^2}+\frac{2R \ddot{R}}{R^2}} = 0$

Кому интересно, как считать здесь целая статья.
И если первая (красная) часть решения говорит нам о том, что в отсутствие взаимодействующего объекта энергия (связанная с кривизной: $inline$ ) и время ( $inline$ ) не изменяются, то вторая (зелёная, она повторяет решение Фридмана без лямбды для плоского пространства: формула 4) часть, может быть представлена в виде:

${ \frac{\dot{R}^2}{R^2}+\frac{2R \ddot{R}}{R^2} = 0; \Rightarrow \qquad \frac{dR^2}{c^2 d t^2 R^2} + 2 \cdot R \frac{d^2 R}{c^2 dt^2 R^2} = 0; \Rightarrow \\ \left( \frac{dR^2}{R^2} + 2 \cdot \frac{R \cdot d^2 R}{R^2} + \frac{R^2}{R^2} \right) - \frac{R^2}{R^2} = 0 \cdot c^2 dt^2; \Rightarrow \\ \left( R + dR \right)^2 - R^2 = \color{orange}{0 \cdot c^2 dt^2 \cdot R^2} \qquad (1) }$

Скажем, (1) это пустая геометрия гравитационного взаимодействия с линейным пространственным множителем.
Видно, что правая апельсинка является катетом в прямоугольном треугольнике, из которого следует, что $inline$ величина всегда мгновенно перпендикулярная наблюдаемому 3-пространству.

$A = \sqrt{ \frac{8 \pi G}{c^4} T_{ii}} \color{orange}{= 0}$

Кроме того, я тащил ноль, чтобы показать, что если вместо него будет стоять величина, определяемая тензором энергии-импульса (при $T_{\mu \nu} \ne 0$ ), то треугольник перестанет быть вырожденным, $dR \ne 0$ , что в контексте всего выше написанного можно охарактеризовать так:

Взаимодействием двух носителей энергии-кривизны-движения является обмен энергией-кривизной-движением.

Но для пустого пространства всё же $dR = 0, R \in (-\infty,+\infty)$ . Что формально означает, что осциллятор может принимать любые значения кривизны, однако, снова же, в контексте статьи:

Кривизна пустого пространства не определена.

Я бы сказал, что пространство в его геометрическом смысле не является объектом физики. Парадигма искривления пространства-времени была заложена в ОТО для объяснения воздействия гравитации на фотон, которого в классическом, ньютоновском представлении о гравитации не должно было бы происходить.
Однако уже самой теорией относительности определение гравитации было расширено, фактически, до механизма взаимодействия энергии с энергией через модификацию пространства.
Осталось убрать пустую прокладку и, определив гравитацию просто как механизм взаимодействия энергии и энергии, найти её форму.
Для этого необходимо представить пространство пустым вместилищем сущностей фундаментальных частиц и их производных, а свойство кривизны перенести на локальный объект как меру и способ его взаимодействия.
Проще говоря, я предполагаю, что вследствие гравитации гнётся не пространство-время, но все возможные виды фундаментальных частиц участвуют в этом базовом взаимодействии, при этом скорость течения их собственного времени и траектории изменяются. Фотон при этом гнётся хуже, чем, например, сопоставимая по энергии массивная частица, но так же, как и она, вследствие наличия механизма взаимодействия между его собственной кривизной и кривизной гравитирующего тела, является активным участником процесса, а не пассивным пассажиром геодезических линий.

Форма кривизны
1. Ещё раз взглянем на пространственную часть решения, но уже в пространстве с некоторой энергией, не важно пока какой:

$\color{green}{\frac{\left( R + dR \right)^2 - R^2}{R^2}}= \color{red}{\frac{8 \pi G}{c^2} T_{ii} \cdot dt^2 }$

Вид уравнения в левой части это половина дифференциального уравнения окружности типа $inline$ . Приведу к одному виду, чтобы было понятно:

${ \color{green}{\left( R + dR \right)^2 - R^2}= \color{red}{\frac{8 \pi G}{c^2} T_{ii} \cdot dt^2 \cdot R^2} \\ \color{green}{(x+dx)^2 -x^2} = y^2 - (y+dy)^2 }$

То есть пространственная составляющая механизма гравитации является половиной вращательного движения. Небезосновательной была бы попытка предположить, что второй, недостающей до закона сохранения, частью является уравнение изменения кривизны второго участника обмена энергией, и посмотреть, что из этого получится:

$\color{green}{\frac{ \left( R_\beta + dR_\beta \right)^2 - R_\beta^2}{R_\beta^2} } = \color{blue}{\frac{ R_\gamma^2 - \left( R_\gamma + dR_\gamma \right)^2}{R_\gamma^2} } \qquad (2)$

Слева зелёным подразумевается, например, кривизна гравитирующего объекта, справа синим изменение кривизны фотона. При отсутствии взаимодействующего объекта синяя и зелёная части становятся вращениями неизменного радиуса, сохраняя энергию. В идеально пустом пространстве.
Для всех случаев (2) можно переписать так:

$\color{green}{\frac{ \left( R_\beta + dR_\beta \right)^2 - R_\beta^2}{R_\beta^2} } - \color{blue}{\frac{ R_\gamma^2 - \left( R_\gamma + dR_\gamma \right)^2}{R_\gamma^2} } = 0$

Или, подставив (1):

$\color{red}{\frac{8 \pi G}{c^2} T_{ii} \cdot dt^2} = \color{blue}{\frac{ R_\gamma^2 - \left( R_\gamma + dR_\gamma \right)^2}{R_\gamma^2} } \qquad (3)$

В результате чего, соотношение между радиусом кривизны фотона $R_\gamma$ и внешней кривизной $R_\beta$ на локальном промежутке будут всегда линейны, но длинной дистанции проявляли бы свойства тригонометрической зависимости.
Посмотрим, как это может происходить.
2. Если посмотреть на рисунок выше, видно, что:

$] \angle AOB = \angle \alpha: \cos^2\alpha = \frac{R^2}{(R+dR)^2}$

Тогда для общего случая пространственная часть решения будет:

$\frac{1}{\cos^2\alpha} - 1 = \\ \color{magenta}{\tan^2\alpha = \frac{8 \pi G}{c^2} T_{ii} \cdot dt^2}$

А (2) и (3) можно представить так:

$\color{green}{tan^2\beta} = \frac{8 \pi G}{c^2} T_{ii} \cdot dt^2 = -\color{blue}{\tan^2\gamma}$

где
$\beta$ угол совокупной кривизны Вселенной в точке,
$\gamma$ угол кривизны фотона, который, как и радиус, кривизны связан с частотой, но, в отличии от него, гипотетически должен быть ей линеен: $\gamma \propto \nu \propto E_\gamma$ .
Оставим пока только материальную (зелёную часть):

$\color{green}{\tan\beta} = \sqrt{\frac{8 \pi G}{c^2} T_{ii}} \cdot dt \Rightarrow \\ dt = \frac{c }{\sqrt{8 \pi G}}\cdot \frac{\color{green}{\tan\beta}}{\sqrt{T_{ii}}}$

Время течёт линейно в области пространства, где корень из плотности потока импульса изменяется по тангенциальному закону. Если развитие ККС, принятое сейчас линейным скорости течения времени ( $(1 + z) \propto \frac{dt_o}{dt_e}$ ), поставить в зависимость от угла кривизны ( $\gamma$ ) фотона, то оно приобрело бы лёгкий тригонометрический флёр:

На вид примерно такого же искривления не хватает графику сверхновых, для объяснения ускоренного расширения:

Это, что называется, очень на пальцах. Надо проработать.
3. Ну, и просто, чтобы пунктов в этой части было уже три, формула объёма гиперповерхности 3-сферы:

$V_{3\circ} = \color{red}{8 \pi} R^3$

Как говорится, живите теперь с этим.

Резюме

Прямая как частный случай вращения, а не наоборот, кажется более предпочтительным способом систематизации, потому что всё вокруг нас сферы и вращение. Как-то глупо считать одну из характеристик фотона единственным исключением в этом тотальном правиле.
А что касается количества измерений, их может быть множество. Важно, что вне зависимости от их количества, с ними можно начать работать как с единым радиусом кривизны в квадрате.

Интересно, что сам Фридман использовал для решения интервал в несколько иной форме, чем я использовал в предыдущей статье для расчётов. Он использовал полярные координаты 3-сферы, сделав её радиус варьируемым по времени.
В первом приближении предложенная гипотеза в приложении к имеющимся астрономическим данным даст именно 3-сферическую форму Вселенной.

Спасибо всем, кто вывез. Идеи, как вирусы. Одними нужно переболеть, другие способны убить, а третьи просто перепрошивают исходники навсегда.

Подробнее..

Категории: Научно-популярное , Физика , Математика , Читальный зал , Метрика , Кривизна , Пространство , Общая теория относительности , Пространство минковского , Пространство-время , Метрика пространства , Теория всего , Специальная теория относительности , Интервал , Кривизна вселенной , Кривизна пространства

Manipulation Process Efficiency (MPE) Benchmark

25.12.2020 20:13:02 |

Автор: admin

Бенчмарк для технологии манипуляции

Бенчмарк предназначен для оценки эффективности применения робототехнического комплекса (РТК) в задачах манипуляции предметами по сравнению с использованием ручного человеческого труда.

Бенчмарк содержит следующий набор метрик(коэффициентов):

_aK_a взвешенный коэффициент автономности,
_lK_l взвешенный коэффициент времени обучения выполнению задачи,
_wK_w взвешенный коэффициент грузоподъемности,
_cK_c взвешенный коэффициент коллизионности рабочей сцены,
_dK_d взвешенный коэффициент тяжелых условий труда,
_pK_p взвешенный коэффициент брака,
_oK_o взвешенный коэффициент среднедневной нормы выполнения атомарной операции,
_eK_e взвешенный коэффициент энтропии.

Обобщенная формула вычисления бенчмарка:

Где _i K_i взвешенный коэффициент из набора метрик.

Каждая метрика рассматривает характеристику применения робототехнического комплекса по отношению к аналогичной характеристике в случае применения ручного труда и является безразмерной. Значение каждой метрики интерпретируется по отношению к человеку:

если значение меньше единицы, то применение РТК для измеряемой задачи обладает меньшей эффективностью по сравнению с использованием человеческого труда.
если больше единицы, то применение РТК более эффективно по отношению к использованию ручного труда.

Таким же образом интерпретируется обобщенная оценка, вычисляемая по формуле (1), причем для значения каждой метрики K_i определяется ее вес _i, обозначающий вклад метрики в общий результат.

Вес метрики определяется степенью ее критичности для выполнения отдельных задач и по умолчанию вес коэффициентов одинаков (равен 1).

В случае сравнения РТК с автоматом или другим РТК значение бенчмарка рассчитывается для них отдельно по отношению к человеку и сравнивается. Более эффективный РТК получит большее значение бенчмарка.

Коэффициент автономности робота

Данная метрика служит для оценки дополнительных затрат на участие человека в работе системы. Значение коэффициента находится в диапазоне [01], где 0 полученная система не автономна, для обслуживания требуется постоянное присутствие персонала, 1 полученная система полностью автономна, не требует обслуживающего персонала.

Математическая модель метрики

Для определения коэффициента автономности предлагается использовать вероятность перехода робота в состояние, которое требует взаимодействия с оператором.
Предлагается разделить классы состояний на несколько групп:

e Состояния, связанные непосредственно с манипулятором и его ПО.
c Состояния, связанные оборудованием клиента.
f Состояния связанные с процессами обеспечения системы материалами для дальнейшей работы, если разрешение этих состояний не связано с использованием дополнительных сотрудников.

Для каждого из класса состояний, предлагается ввести вероятность перехода системы в это состояние как отношение количества наблюдений каждого класса событий к общему количеству произведенных операций по формуле:

Где p _i вероятность i класса событий (e, c, f), n_i количество событий i класса, n_a количество операций, произведенных роботом. Под n_a предлагается использовать количество атомарных операций робота, влияющих на окружающую среду.

Для определения коэффициента автономности предлагается использовать следующую формулу:

Где p_e, p_c, p_f вероятности событий классов (e, c, f).

Для оценки доли времени затрачиваемого на обслуживание робота предлагается ввести следующую метрику:

Где p_i вероятность происхождения i класса событий, n_o количество атомарных операций робота за смену t_i нормированное время устранения вывода робота из состояния требующего внешнего вмешательства. Тогда отношение

Где t_sh время смены, может использоваться расчета количества операторов к количеству роботов.

Коэффициент времени обучения новой задаче

Данная метрика показывает, насколько затраты на перенастройку системы больше аналогичных трудозатрат при использовании сотрудников на этой задаче. Величина коэффициента лежит в пределах от [0, +), где значение 0 в случае, если робот не способен обучиться выбранной задаче, значение 1 означает, что переобучение робота занимает время, сравнимое с переобучением человека, значение 2 означает, что эффективнее переобучать робота, чем сотрудников.

Математическая модель метрики

Человек обучается какое-то количество времени. Для сложных задач это могут быть месяцы, для простых задач часы и минуты. Для расчёта коэффициента времени обучения новой задачи предлагается метрика

Где t_h время обучения человека новой задаче, t_rai время обучения интеллектуального агента робота новой задаче.
Параметр t_rai рассчитывается как:

Где t_mh трудоемкость процессов необходимых для обучения интеллектуального агента робота, включающих, но не ограничивающихся:

Время построения сцены, в которой работает система, включая время интеграции модели захвата, в случае использования специализированного захвата.
Время подготовки планировщика траекторий для работы в сцене.
Время обучения Ai решению задачи.

Параметр t_hum, состоит из набора обучающих действий для человека.

Где t_int время плана ввода человека на работу(первичный инструктаж сотрудника), t_hi время i обучающей программы в течении периода, необходимых для обучения человека при получении новой задачи, которые включают в себя, n_yi количество раз в год, n_s количество обучаемых сотрудников.

Коэффициент грузоподъемности робота к человеку

Данная метрика позволяет оценить отношение эффективности переноса грузов роботом относительно человека с учетом максимальных нормативных ограничений на труд человека. Величина коэффициента находится в диапазоне (0...+), где 0 робот не способен выполнять задачу, 1 эффективность робота и человека эквивалентна, 2 грузоподъемность робота эквивалентна грузоподъемности двух сотрудников.

Математическая модель метрики

Для определения коэффициента грузоподъемности робота к человеку предлагается использовать следующую формулу:

Где k_r грузоподъемность робота, k_h грузоподъёмность человека.

Для определения грузоподъемности робота предлагается использовать формулу:

где mi перенесенная масса за время t, n количество перенесенных грузов
Для определения коэффициента грузоподъемности человека необходимо руководствоваться законодательством РФ, в частности [1]. С учетом наличия максимально допустимого веса допустимого для подъема мужчиной предлагается использовать следующую формулу:

Где m_i перенесенная масса за время t, n количество перенесенных грузов, k_l мультипликатор, учитывающий нормативную нагрузку на 1 человека, который рассчитывается как

Где k_m коэффициент, зависящий от максимального веса объекта, переносимого человеком за единицу времени, k_A коэффициент динамической работы, совершаемой человеком за смену. Для расчета коэффициента k_m предлагается использовать следующую формулу:

Где m_norm масса допустимая по нормативам работы, m_i масса перенесенной единицы груза.

Где m_i масса перенесенной единицы груза, l среднее расстояние переноса каждого груза.

Таблица 1: Масса поднимаемого и перемещаемого груза вручную, кг

Показатели тяжести трудового процесса

Класс (подкласс) условий труда

оптимальный

допустимый

вредный

3.1

3.2

Подъем и перемещение (разовое) тяжести при чередовании с другой работой

(до 2 раз в час):

для мужчин

для женщин

до 15

до 5

до 30

до 10

до 35

до 12

более 35

более 12

Подъем и перемещение тяжести постоянно в течение рабочего дня (смены)

(более 2 раз в час):

для мужчин

для женщин

до 5

до 3

до 15

до 7

до 20

до 10

более 20

более 10

Суммарная масса грузов, перемещаемых в течение каждого часа рабочего дня (смены):

с рабочей поверхности:

для мужчин

для женщин

до 250

до 100

до 870

до 350

до 1 500

до 700

более 1 500

более 700

с пола:

для мужчин

для женщин

до 100

до 50

до 435

до 175

до 600

до 350

более 600

более 350

Таблица 2: Физическая динамическая нагрузка единицы внешней механической работы за рабочий день (смену), кг*м

Показатели тяжести трудового процесса	Класс (подкласс) условий труда
	оптимальный	допустимый	вредный
	1	2	3.1	3.2
При региональной нагрузке перемещаемого работником груза (с преимущественным участием мышц рук и плечевого пояса работника) при перемещении груза на расстояние до 1 м:
для мужчин для женщин	до 2 500 до 1 500	до 5 000 до 3 000	до 7 000 до 4 000	более 7 000 более 4 000

Список использованных источников:

Письмо Минтруда России от 22.06.2016 N 15-2/ООГ-2247 О работах, связанных с подъемом и перемещением тяжестей
Приложение 20 к Методике проведения специальной оценки условий труда, утвержденной приказом Министерства труда и социальной защиты РФ от 24 января 2014 г. N 33н

Коэффициент коллизионности рабочей сцены

Данная метрика позволяет оценить, каким образом плотность препятствий в рабочей области робота-манипулятора сказывается на времени планирования и выполнения траектории перемещения и на возможности робота вывести рабочий орган в желаемое положение с желаемой ориентацией.

Математическая модель метрики

Для оценки этих характеристик введем в рассмотрение коэффициент коллизионности рабочей сцены:

Где К_c коэффициент коллизионности рабочей сцены; К_cР коэффициент коллизионности рабочей сцены робота; К_cЧ коэффициент коллизионности рабочей сцены человека.

Если этот коэффициент меньше 1, то робот уступает человеку; если больше 1, то робот превосходит человека по скорости выполнения операции; если равен 1, то человек и робот справляются с работой одинаково.

Под коэффициентом коллизионности рабочей сцены робота К_КР будем понимать соотношение:

Где К_{ДОИ Р} коэффициент достижимости областей интереса робота; Т_{СР Р} среднее время выполнения операции роботом.
Под коэффициентом достижимости областей интереса рабочей зоны робота К_{ДОИ Р} будем понимать отношение:

Где V_СПЛ объем областей интереса, для которого удалось спланировать траекторию; V_ОИ общий объем областей интереса.

Область интереса это область рабочего пространства робота-манипулятора, представляющая собой, например, параллелепипед, в которой робот взаимодействует с объектами внешнего мира в рамках конкретной манипуляционной задачи.

Траектория робота планируется для некоторого положения и ориентации рабочего органа в пространстве. Поскольку даже в бесконечно малом объеме существует бесконечно большое количество комбинаций возможных положений и ориентаций рабочего органа, выполнить оценку объема области интереса, для которого удалось спланировать траекторию перемещения, в непрерывном пространстве представляет достаточно сложную нетривиальную задачу.
Поэтому перейдем от непрерывного пространства к дискретному. Для этого разобьём область интереса на отдельные ячейки. Поставим области интереса в соответствие набор ориентаций рабочего органа. Набор ориентаций рабочего органа робота-манипулятора может содержать в себе, например, ориентации рабочего органа вдоль вертикальной оси, а также ориентации вдоль осей, отклоненных от вертикальной оси на заданные пользователем углы. Набор ориентаций зависит от специфики манипуляционной задачи. Эти ориентации вместе с координатами центров ячеек используются в качестве целевых положений и ориентаций при решении обратной задачи кинематики.

Пусть область интереса разбита на M ячеек, и области интереса соответствует Q возможных ориентаций рабочего органа. Тогда коэффициентом достижимости областей интереса рабочей зоны (3) для дискретного пространства может быть представлен в виде следующего соотношения:

Где M*Q общее число положений и ориентаций рабочего органа, для которых необходимо спланировать траектории, для данной области интереса; N_СПЛ число положений и ориентаций рабочего органа, для которых получилось спланировать траектории.

Среднее время выполнения операции роботом Т_{СР Р} вычисляется из соотношения:

Где T суммарное время, затраченное на планирование траекторий к центрам ячеек областей интереса со всеми возможными ориентациями рабочего органа, которое вычисляется по формуле:

Где Т_ПЛij время планирования траектории к центру i-той ячейки с j-той ориентацией рабочего органа; Т_ВПij время выполнения спланированной к центру i-той ячейки с j-той ориентацией рабочего органа траектории.

С учетом (4) и (5) формула (2) для расчета коэффициента коллизионности рабочей сцены робота примет вид:

Под коэффициентом коллизионности рабочей сцены человека К_КЧ будем понимать соотношение:

Где К_{ДОИ Ч} коэффициент достижимости областей интереса человека; Т_{СР Ч} среднее время выполнения операции человеком.

Манипуляционная задача выполняется человеком на специальном оборудовании, например, на конвейерной линии, рабочие места которой специально спроектированы с учетом эргономики. Поэтому коэффициент достижимости областей интереса рабочей зоны будет равен единице, поскольку заведомо известно, что человек имеет возможность манипулировать объектами в пределах области интереса. С учетом этого выражение для расчета коэффициента коллизионности рабочей сцены человека (7) примет вид:

Среднее время выполнения операции человеком Т_{СР Ч} может быть известно из технологического процесса или установленных нормативов. Иначе оно находится эмпирическим путем путем прямого замера времени выполнения серии однотипных операций и разделения этого времени на количество операций в серии по формуле:

Где Т _Ч измеренное время выполнения серии однотипных атомарных операций, m количество атомарных операций в серии.

С учетом (6) и (8) коэффициент коллизионности рабочей сцены определяется по формуле:

Коэффициент тяжелых условий труда

Коэффициент тяжелых условий труда показывает сравнение эффективности работы робота и человека в рассматриваемых условиях труда и представляет собой отношение фактического времени работы робота к фактическому времени работы человека за смену. Если коэффициент меньше 1 человек справляется лучше с поставленной задачей; если равен 1 человек и робот справляются с работой одинаково; если больше 1 в данных условия труда робот выполняет операцию лучше.

Математическая модель метрики

Перечень опасных и вредных производственных факторов (ОВПФ) приведен в ГОСТ 12.0.003-74 Опасные и вредные производственные факторы. Классификация. Наличие того или иного ОВПФ может накладывать ограничение на продолжительность непрерывной работы в виде обязательных перерывов на отдых, сокращенной длительности смены, а также перерывов на замену средств индивидуальной защиты. Кроме того, ОВПФ накладывают ограничение на количество рабочих часов в неделю и гарантирует работнику увеличенный оплачиваемый отпуск.

Среди производственных факторов, действующих на РТК, можно выделить следующие:

уровень запыленности и загазованности воздуха рабочей зоны;
уровень температуры воздуха рабочей зоны;
уровень вибрации;
уровень барометрического давления в рабочей зоне и его резкое изменение;
уровень влажности воздуха;
уровень ионизации воздуха;
уровень статического электричества;
уровень электромагнитных излучений;
уровень напряженности электрического поля;
уровень напряженности магнитного поля;
недостаточная освещенность рабочей зоны;
повышенная яркость света;
пониженная контрастность;
прямая и отраженная блесткость;
повышенная пульсация светового потока;
повышенный уровень ультрафиолетовой радиации;
повышенный уровень инфракрасной радиации;
концентрация химических веществ, приводящих к коррозии металла.

Если уровни факторов условий труда попадают в диапазон условий эксплуатации РТК, то существенные перерывы к непрерывной работе комплекса будут сопряжены с плановым техническим обслуживанием. Если уровни факторов условий труда не попадают в диапазон условий эксплуатации РТК, то применятся или дополнительное оснащение комплекса, например, в виде защитных кожухов, или РТК признается неприменимым в текущей конфигурации для данных условий труда, и принимается решение о замене его составных частей. В случае включения дополнительно оснащения в состав РТК перерывы в непрерывной работе могут быть обусловлены также заменой этого оснащения.

Тяжёлые условия труда сказываются на продолжительности фактической работы в смену. Будем использовать эту величину для оценки тяжести условий труда.

Где K_ФР коэффициент фактической работы; t_ФР общее время фактической работы; t_СМ продолжительность смены.

Коэффициент тяжести труда будет иметь вид:

Где K_d коэффициент тяжести труда; K_{ФР Р} коэффициент фактической работы робота; K_{ФР Ч} коэффициент фактической работы человека.

Коэффициент (мера) энтропии объекта

Данная метрика позволяет оценить сложность решаемой с помощью РТК задачи для системы восприятия робота, которая способна работать с неопределенностью исходного положения объектов манипуляции, а также с изменениями физических характеристик объектов во время манипуляций ими.

Математическая модель метрики

Под энтропией объекта будем понимать количество информации, известной об этом объекте. Объект характеризуется положением (x, y, z), ориентацией (R, P, Y), массой m, положением центра масс (xc, yc, zc), габаритами (l, w, h), формой (s). Человек свободно манипулирует огромным числом объектов с разными физическими характеристиками, даже если часть из них ему неизвестна. Поэтому для него энтропия любого объекта равна 0. Примем, что энтропия объекта равна 0, если об объекте известно все, и 1, если не известно ничего. Энтропию объекта будем определять по формуле:

Где S энтропия объекта; S_x, S_y, S_z энтропия положения объекта; S_R, S_P, S_Y энтропия ориентации объекта; S_m энтропия массы объекта; S_xc, S_yc, S_zc энтропия положения центра масс объекта; S_l, S_w, S_h энтропия габаритов объекта, S_s энтропия формы объекта.

Оценка энтропии объекта сводится к установлению величины энтропии параметров, используемых в выражении (1). Рассмотрим ряд частных случаев, связанных с этими параметрами.

Энтропия положения и ориентации объекта:

Если объект расположен в статическом ложементе, то его положение и ориентация заранее известны. В это случае S_x = 0, S_y = 0, S_z = 0, S_R = 0, S_P = 0, S_Y = 0.
Если однотипные объекты сложены ровной стопкой, положение и ориентация основания которой строго зафиксировано, то неизвестна только высота, на которой он расположен. В этом случае S_x = 0, S_y = 0, S_z = 1, S_R = 0, S_P = 0, S_Y = 0.
Если объект расположен в чашеобразном углублении, то известно его положение, но не известна ориентация. В этом случае S_x = 0, S_y = 0, S_z = 0, S_R = 1, S_P = 1, S_Y = 1.
Если объект расположен на плоской поверхности, высота которой относительно робота известна, то известна только высота, на которой он расположен. В этом случае S_x = 1, S_y = 1, S_z = 0, S_R = 1, S_P = 1, S_Y = 1.
Если объект расположен на плоской поверхности, высота которой не известна, и робот оснащен аппаратным и программным обеспечением, позволяющим определять положение и ориентацию объекта, то энтропия будет пропорциональна относительной погрешности расчета той или иной координаты . В этом случае S_x = |_x| / 100, S_y = |_y| / 100, S_z = |_z| / 100, S_R = |_R| / 100, S_P = |_P| / 100, S_Y = |_Y| / 100.

Энтропия массы объекта:

Если масса объекта заранее не известна, то S_m = 1.
Если масса объектов заранее известна и не изменяется среди однотипных объектов, то S_m = 0.
Если средняя масса m объектов заранее известна, но изменяется от одного однотипного объекта к другому на максимальную величину _m, то S_m = |_m| / 2m.

Энтропия положения центра масс объекта:

Если объект представляет собой твердое тело и определение положения его центра масс не составляет труда или известно, то S_xc = 0, S_yc = 0, S_zc = 0.
Если объект представляет собой тонкостенную полую трубу, частично заполненную жидкостью, то можно принять допущение, что центр масс это объекта находится где-то на оси симметрии этого объекта. В этом случае S_xc = 1, S_yc = 1, S_zc = 0.
Если объект представляет собой деформируемое тело, но положение его центра масс не влияет на успех выполнение манипуляционной задачи, то S_xc = 0, S_yc = 0, S_zc = 0.
Если объект представляет собой деформируемое тело, и положение его центра масс существенно влияет на успех выполнение манипуляционной задачи, то S_xc = 1, S_yc = 1, S_zc = 1.

Энтропия габаритов объекта:

Если форма объекта остается неизменной, то не изменяются и его габариты. В этом случае S_l = 0, S_w = 0, S_h = 0.
Если объект представляет собой тело, деформируемое вдоль одной оси, например, пружину, то S_l = 0, S_w = 0, S_h = 1.
Если объект является деформируемым, его форма изменяется в процессе выполнения манипуляционной операции, и робот оснащен аппаратным и программным обеспечением, позволяющим определять габариты объекта, то энтропия будет пропорциональна относительной погрешности расчета габаритов вдоль той или иной координаты . В этом случае S_l = |_l| / 100, S_w = |_w| / 100, S_h = |_h| / 100.

Энтропия формы объекта:

Если форма объекта остается неизменной, то S_s = 0;
Если форма объекта изменяется, то S_s = 1.

Все эти параметры устанавливаются путем визуального осмотра рабочей области, набора объектов манипулировании, измерения их массы, габаритов и изучения технических характеристик составных частей РТК.

Энтропия объекта позволяет оценить сложность решаемой с помощью РТК задачи. Чем меньше энтропия объекта, тем больше информации известно комплексу об объекте и тем выше вероятность успешного выполнения манипуляционной операции. Коэффициент энтропии Кe объекта определяется из соотношения:

Коэффициент брака

Данная метрика позволяет сравнить количественные оценки случаев брака для РТК и неавтоматизированного ручного труда при решении задачи манипуляции. Значения метрики могут находиться в диапазоне (от 0 до +).

Математическая модель метрики

Брак это результат работы технологического процесса, не соответствующий нормам и не применимый в дальнейшем совсем или без дополнительных операций на исправление. Для РТК браком можно считать ситуацию или серию неудачно завершенных атомарных операций. Например:

несколько попыток взятия объекта, приведших к невозможности дальнейшей работы (зацикливание);
несколько неудачных попыток взятия движущегося объекта, за время которых он выходит из области досягаемости;
захват с повреждением объекта.

Относительное количество брака вычисляется как:

Где N_d количество единиц брака, N_a количество единиц всех операций/продукции.

Тогда итоговая метрика будет выражаться через соотношение количества брака, произведенного РТК, по отношению к человеку вычисляется как:

Где DPU_h относительное количество брака, произведенного человеком, DPU_r относительное количество брака, произведенного РТК.

Среднедневная норма времени выполнения атомарной операции

Данная метрика определяет среднюю продолжительность выполнения атомарной операции РТК по сравнению с среднедневной нормой человека, выполняющего эти же операции.

Атомарная операция это логически неделимая часть технологического процесса выполнения более общей задачи. Например: закрутить шуруп, захватить пакет.

Математическая модель

Назовем коэффициентом среднедневной нормы выполнения атомарной операции отношение времени выполнения работы человеком ко времени работы роботизированного комплекса.

Где T_h среднее время выполнения атомарной операции человеком, T_r среднее время выполнения атомарной операции.

Среднее время атомарных операций вычисляется как:

Где t_w общее время, затраченное на выполнение конкретной операции без учета простоев, связанных с независимыми причинами (например, подача товара), но включающая время на устранение исключительных ситуаций; N расчётное количество технологических процессов за измеряемое время работы (расчет производится для человека и робота соответственно).

Таким образом время выполнения атомарной операции складывается из:

Где t_o суммарное время всех атомарных операций, составляющих технологический процесс, включая подготовительно-завершительные операции; t_f суммарное время всех простоев по внутренним причинам, например, возникновение исключительной ситуации из-за неправильной обработки.

Подробнее..

Категории: Машинное обучение , Разработка робототехники , Робототехника , Метрика , Эффективность , Бенчмарк , Подготовка технической документации , Сбер , Измерение эффективности , Sber robotics

	Русский
	English

Метрика

ОТО. Энергия как дополнительное измерение в решении Шварцшильда

3-сферические координаты

Общий вид интервала

Вид интервала для метрики Фридмана

Решение ОТО через метрику Шварцшильда

Резюме

Космология. Подробный разбор решения Фридмана

Метрика

Тензор пространства-времени

Символы Кристоффеля второго рода

Тензор кривизны, его свёртка и свёртка свёртки

Уравнения общей теории относительности

Резюме

О мерности и нативной форме пространства

Пролог

Макропредпосылки

Микропредпосылки

Хроники четвёртого измерения

Коротко о философии

Унисофия

Резюме

Manipulation Process Efficiency (MPE) Benchmark

Бенчмарк для технологии манипуляции

Коэффициент автономности робота

Математическая модель метрики

Коэффициент времени обучения новой задаче

Математическая модель метрики

Коэффициент грузоподъемности робота к человеку

Математическая модель метрики

Коэффициент коллизионности рабочей сцены

Математическая модель метрики

Коэффициент тяжелых условий труда

Математическая модель метрики

Коэффициент (мера) энтропии объекта

Математическая модель метрики

Коэффициент брака

Математическая модель метрики

Среднедневная норма времени выполнения атомарной операции

Математическая модель

Категории

Последние комментарии