Русский
Русский
English
Статистика
Реклама

Ото

Перевод Что мы в действительности знаем о тёмной материи и чёрных дырах?

15.03.2021 18:04:43 | Автор: admin

Художественное изображение представляет небольшие концентрации тёмной материи в галактическом кластере MACSJ 1206. Астрономы измеряли вызванное этим кластером гравитационное линзирование, чтобы получить подробную карту распределения тёмной материи в нём. Количество мелкомасштабной подструктуры тёмной материи, которая должна присутствовать, намного больше, чем прогнозируется моделью.

Если вы переместитесь на 100 лет назад и перебросите выдающихся учёных того времени к нам, как вы думаете, какие научные открытия будут для них самыми потрясающими? Удивятся ли они, узнав, что излучающие почти весь свет звёзды, тот самый свет, что мы видим во Вселенной за пределами Земли, составляет лишь крошечную частицу всей массы Вселенной? Их бы сбило с толку существование сверхмассивных чёрных дыр самых массивных объектов во Вселенной? Или самыми загадочными они находили бы тёмную материю или тёмную энергию?


Легко было бы понять недоверие учёных. Наука, прежде всего, это эмпирическое устремление: наше понимание мира природы и понимание Вселенной складываются в первую очередь из того, что мы измеряем и наблюдаем. Трудно себе представить, что не излучающие собственного света объекты или сущности, которые мы не можем наблюдать прямо в телескоп, составляют столь массивный и важный компонент нашей Вселенной. И всё же почти все современные учёные пришли к одному и тому же выводу: наша Вселенная в основном тёмная. Вот как мы узнали об этом.

Этот фрагмент моделирования образования структуры, с расширением Вселенной в масштабе, представляет миллиарды лет гравитационного роста насыщенной тёмной материей Вселенной. Заметим, что нити и богатые скопления, которые образуются на пересечении нитей, возникают в основном из-за тёмной материи; нормальная материя играет лишь незначительную роль. Рост структуры согласуется с происхождением нашей Вселенной из Большого взрыва.

В смысле теории важно с самого начала понимать две отдельные вещи:

  1. Теория подсказывает нам, чего ожидать в определённых условиях.

  2. Но она говорит нам только о возможном во Вселенной, а не о том, какими должны быть наши предположения об условиях во Вселенной.

Когда Эйнштейн выдвинул нашу современную теорию гравитации Общаую Теорию Относительности, она сотворила то, чего не смогла никакая другая теория. Она не только объяснила всё, что объясняла ведущая тогда теория Ньютона, но и предложила множество прогнозов, которые отличались от прогнозов предшествующей теории; теория Эйнштейна с успехом объяснила орбиту Меркурия, которая до того была нерешённой научной проблемой; она учитывала и включала наблюдаемые факты замедления времени и сокращения длины, а также давала новые прогнозы о гравитационном искривлении и отклонении света, что привело к конкретным наблюдаемым последствиям.

Всего через несколько лет после того, как была предложена Общая Теория Относительности, были проведены критически важные эксперименты, которые подтвердили прогнозы Эйнштейна и опровергли механику Ньютона как нулевую гипотезу.

Настоящие фотопластинки негативов и позитивов из экспедиции Эддингтона 1919 года. Фотопластинки негативов и позитивов из экспедиции Эддингтона 1919 года, линиями показывающие, как расположены идентифицированные звёзды, которые будут использоваться, чтобы измерять отклонения света из-за присутствия Солнца. Это было первое прямое экспериментальное подтверждение общей теории относительности Эйнштейна.

Общая Теория Относительности Эйнштейна дала человечеству фундамент, чтобы понять гравитацию во Вселенной. Она говорит нам о том, что, в зависимости от свойств и конфигурации материи Вселенной, пространство-время изгибается определённым образом. Кривизна пространства и времени, вместе взятых, рассказывает нам, как материя и энергия во всех её формах движется сквозь пространство-время.

С точки зрения теории, это даёт нам поистине безграничные возможности. Можно выдумать Вселенную любой конфигурации, какая вам только понравится. с любой комбинацией масс и частиц, излучения и жидкостей с различными свойствами, распределёнными, как вам нравится,, и Общая Относительность расскажет вам, как это пространство-время будет изгибаться и развиваться, и как все компоненты будут двигаться в этом пространстве-времени.

Но теория не расскажет вам, сама по себе, из чего состоит наша Вселенная или как она себя ведёт. Чтобы это узнать, мы должны наблюдать за Вселенной и определять, что в ней и где.

Как моделирование (красным), так и исследования галактик (синим/фиолетовым) показывают одни и те же крупномасштабные модели кластеризации, даже если присмотреться к математическим деталям. Если бы тёмной материи не было, большая часть этой структуры не только отличалась бы деталями, но и была бы смыта; галактики были бы редки и заполнены лёгкими элементами почти полностью.

Для примера: мы живём во Вселенной, где (грубо и в больших масштабах) количество материи во всех направлениях и областях одно и то же. Обладающая такими свойствами Вселенная, то есть однородная в смысле массы во всех областях (гомогенная) и во всех направлениях (изотропная), не может быть статичной и неизменной. Либо само пространство-время будет сжиматься, приводя к коллапсу объекта какого-то типа, либо оно будет расширяться, и объекты будут разлетаться от нас тем быстрее, чем они дальше.

Однако единственный способ узнать, что это действительно так, наблюдать. Если бы мы не наблюдали Вселенную и не заметили, что, чем в среднем дальше от нас галактика, тем больше её свет смещается к красному, мы не пришли бы к выводу, что Вселенная расширяется. Если бы мы не увидели, в больших масштабах, что средняя плотность Вселенной равномерна с точностью до 99,99 %+, мы не пришли бы к выводу, что она изотропна и гомогенна.

Там, где собралось достаточно материи, чтобы сформировать связанную структуру, которая уже успела пережить коллапс, мы не пришли бы к выводу, что в центре структуры имеет место сверхмассивная сингулярность, если бы у нас не было ошеломляющих данных наблюдения за сверхмассивными чёрными дырами.

Первое опубликованное телескопом Event Horizon изображение чёрной дыры достигло разрешения 22,5 микросекунды, что позволило массиву разрешить горизонт событий чёрной дыры в центре M87. Чтобы достичь такой же резкости, Телескоп с одной тарелкой должен иметь диаметр 12 000 км. Обратите внимание на различия между изображениями 5/6 и 10/11 апреля, которые показывают, что особенности вокруг чёрной дыры меняются с течением времени. Это помогает продемонстрировать важность синхронизации различных наблюдений, а не просто их усреднения по времени.

Когда мы говорим о сверхмассивных чёрных дырах, вы можете вспомнить знаменитое изображение этого гиганта с телескопа Event Horizon в 6,5 миллионов солнечных масс, но это лишь верхушка айсберга. На практике сверхмассивная чёрная дыра есть в центре каждой галактики. У нашего Млечного Пути этот центр имеет массу в 4,5 миллиона Солнц, и мы наблюдали его таким образом:

  • косвенно исходя из данных от звёзд, движущихся вокруг вокруг не излучающих света больших масс в центре галактики;

  • косвенно исходя из данных о попадающей в неё материи, которая вызывает рентгеновское и радиоизлучения, включая вспышки;

  • напрямую, при помощи той же технологии и оборудования, которое измеряли чёрную дыру в центре Messier 87.

Многие из нас надеются на то, что коллабарация с Event Horizon Telescope позволит опубликовать изображение центральной чёрной дыры Млечного Пути в конце этого года. У учёных имеются данные, но, поскольку их примерно в 1500 раз меньше тех, что мы получим с первым изображением, на временной шкале эти данные меняются в 1500 раз быстрее. Создать точное изображение задача гораздо более сложная, особенно учитывая, насколько в такой грязной среде зашумлен радиосигнал. Тем не менее команда выразила оптимизм по поводу того, что снимок будет выпущен в ближайшие несколько месяцев.

Этот 20-летний период жизни звезд вблизи центра нашей галактики увидел ESO (публикация 2018 года). Обратите внимание на то, как разрешение и чувствительность к особенностям обостряются и улучшаются к концу и как все центральные звезды вращаются вокруг невидимой точки центральной чёрной дыры нашей галактики, совпадающей с прогнозами Общей Теории Относительности Эйнштейна.

Сочетание прямых и косвенных доказательств придаёт уверенности в том, что рентгеновское и радиоизлучение, которое мы наблюдаем из различных источников Вселенной, на самом деле чёрная дыра. Чёрные дыры бинарно излучают сигналы электромагнитного излучения. За эти годы мы обнаружили десятки таких сигналов. Активные галактические ядра и квазары питаются сверхмассивными чёрными дырами, и мы даже наблюдали, как они включаются и отключаются, когда материя начинает или перестаёт питать эти центральные двигатели.

На самом деле мы наблюдали сверхмассивные чёрные дыры в мириадах галактик, откуда бы мы ни смотрели. Новый опрос массива LOFAR, к примеру, начинается с северной небесной полусферы. Увидев лишь крошечную часть неба под поясом, учёные уже открыли более 25 000 сверхмассивных чёрных дыр. На карте вы даже можете увидеть, как они собираются и кластеризуются вместе, согласно крупномасштабному распределению массивных галактик в нашей Вселенной.

На этой карте, составленной по результатам исследования LOFAR, показаны сгруппированные во Вселенной сверхмассивные чёрные дыры. Общая карта охватывает 740 квадратных градусов [квадратный градус единица измерения телесных углов. Поскольку один градус обычного плоского угла равен pi/180 радиан, то один квадратный градус определён как (pi/180)2 = 0,0003046174 стерадиан. Сфера содержит 41802/(pi) = 129 600/(pi) = 41 252,961 25 квадратных градусов], или около 2 % неба, и на сегодня обнаружено более 25 000 чёрных дыр. Каждая точка света на этом изображении это активная сверхмассивная чёрная дыра.

И весь этот разговор о чёрных дырах даже не касается самой революционной разработки прошлого десятилетия прямого обнаружения при помощи обсерваторий гравитационных волн. Когда две чёрные дыры, вращаясь вокруг друг друга, сливаются в одну, они порождают гравитационные волны: пульсации пространства-времени, то есть совершенно новое, не электромагнитное (не на основе света) излучение. Когда такие волны проходят через детекторы гравитационных волн, они попеременно сжимают и расширяют пространство, представленное в разных направлениях, и в данных с детекторов мы видим паттерны этих пульсаций.

Единственные успешные детекторы, которые у нас есть прямо сейчас, построены в совместной работе LIGO и Virgo, у них относительно небольшой масштаб, и он ограничивает частоту наблюдаемых волн, соответствующих малым чёрным дырам в последней стадии вращения с потерей энергии и слиянием. В ближайшие годы будут запущены новые космические детекторы, такие как LISA, что позволит нам обнаруживать чёрные дыры большей массы, а также задолго до окончательного слияния наблюдать и более мелкие чёрные дыры.

Художественное представление трёх космических кораблей LISA показывает, что пульсации в пространстве, порождаемые длиннопериодическими гравитационными источниками волн, должны открыть новый, интересный взгляд на Вселенную. Эти волны можно рассматривать как пульсации в ткани самого пространства-времени, но они также являются энергоносителями, которые, в теории, состоят из частиц.

У Вселенной есть ещё одна сложная головоломка: проблема тёмной материи. Если мы возьмём в расчёт всю материю, о которой знаем, всю материю, которую можем наблюдать непосредственно, атомы, плазму, газ, нейтрино, излучения, чёрные дыры и так далее, мы получим около 15 % всей массы, которая вообще должна существовать. Без массы, которая примерно в 6 раз больше наблюдаемой, которая не может сталкиваться или взаимодействовать, как нормальные атомы, мы не можем объяснить следующие явления:

  • паттерны флуктуаций фоновых космических микроволн;

  • крупномасштабное скопление галактик как явление и галактические скопления;

  • движение конкретных галактик внутри кластеров;

  • размеры и массы наблюдаемых галактик;

  • гравитационное линзирование галактик, квазаров или сталкивающихся галактических групп и кластеров.

Добавление всего одного ингредиента, некоей формы холодной материи без столкновений решает головоломку одним махом.

Рентгеновская (розовая) и общие карты материи (синяя) различных сталкивающихся кластеров галактик показывают чёткое разделение между нормальным веществом и гравитационными эффектами одно из самых убедительных свидетельств тёмного вещества. Хотя некоторые из проведённых нами симуляций показывают, что некоторые кластеры могут двигаться быстрее, чем ожидалось, симуляция включает не только гравитацию, но и другие эффекты, такие как обратная связь, образование звёзд и звёздные катаклизмы, которые также могут быть важны для межзвёздного газа. Без тёмной материи эти наблюдения (наряду со многими другими) не могут быть объяснены в достаточной мере.

Так или иначе, объяснение в некотором смысле всё ещё неудовлетворительно. Мы знаем некоторые общие признаки тёмной материи, которые, взятые вместе, рассказывают о Вселенной захватывающую историю. Но нам ещё предстоит напрямую обнаружить какую бы то ни было частицу, которая может быть ответственна за это. Вид материи, чисто коллизионный, не обязательно объясняет структуру космоса, которая появляется в мельчайших масштабах. Возможно, что за это несоответствие отвечают чисто гравитационные эффекты, такие как динамический нагрев, но возможно также, что тёмная материя не настолько проста.

Между тем сейчас мы наблюдаем много сверхмассивных чёрных дыр, которые каким-то образом выросли до миллиарда или более масс Солнца всего за несколько сотен миллионов лет: это сложная головоломка формирования структуры нашей Вселенной. Основываясь на нашем понимании первых звёзд и того, как из них возникли первые чёрные дыры, мы пытаемся объяснить, как они стали такими большими и так быстро, наблюдая этих гигантов значительно раньше предполагаемого.

Если начать с самой первой чёрной дыры, когда Вселенной было всего 100 миллионов лет, тут есть предел скорости, с которой эта чёрная дыра может расти: предел Эддингтона. Либо эти чёрные дыры с самого начала больше, чем предполагают наши теории, формируются раньше, чем мы осознаём, либо они растут быстрее наших представлений и это позволяет им достичь наблюдаемой массы.

Таковы границы наших знаний и представление об одной из самых актуальных проблем современной космологии на сегодня. Благодаря обсерваториям, инструментам и открытиям, которые уже произошли, а также благодаря нашему знанию законов физики, которое помогает нам интерпретировать их и помещать в надлежащий контекст, мы прошли так далеко, насколько это возможно. С другой стороны, есть много поводов, чтобы начать волноваться в связи с новыми технологическими разработками и возможностями наблюдения в самом ближайшем будущем. Это большое дело; мы на границе нашего вечного поиска понимания Вселенной вокруг нас!


Дополню данный материал моей текстовой трансляцией доклада о Невидимой Вселенной кандидата наук, астронома и профессора Йельского университета Приямвады Натараджана. Одна из лучших современных космологов-наблюдателей, она недавно выпустила книгу под названием Картирование небес: радикальные научные идеи, раскрывающие космос.

15:50: Трудно представить, что всего 100 лет назад мы даже не знали, что такое Вселенная. Известные объекты находились всего в нескольких сотнях, *может быть*, некоторые были в нескольких тысячах световых лет от нас. Звёзды, звёздные скопления, шаровые звёздные скопления, туманности и т. д. Некоторые люди утверждали, что спиральные туманности (и, возможно, некоторые эллиптические) на самом деле были целыми галактиками далеко за пределами Млечного Пути, но это была точка зрения меньшинства. Большой спор 1920 года, которые были призваны решить этот вопрос, его не решили. Фактически модераторы дебатов дали больше аргументов в пользу того, что эти туманности являются объектами в нашей Галактике, не одобряя решения, что они находятся за пределами галактики.

В 1916 году была опубликована статья, в которой утверждалось, что в спиральной туманности M101 движутся отдельные звёзды, сегодня известной как галактика Штырькового колеса. Эти данные тогда опровергли, и позже утверждалось, что они ошибочны, но это произошло не раньше, чем многие люди сделали выводы на основе ложных данных.

15:54: Когда у тебя есть наблюдения, которые ну просто неправда, это вызов. В известной работе всего за несколько лет до этого утверждалось, что в близлежащей "спиральной туманности" Pinwheel Galaxy (Messier 101) наблюдаются звёзды, двигающиеся во времени: вращаясь с объектом. Если бы это была галактика далеко за пределами Млечного Пути, эти звёзды двигались бы намного быстрее света. Следовательно, аргумент неверен и этот объект должен находиться рядом, внутри нашей галактики.

У галактики Pinwheel, Messier 101 много общих черт с нашим Млечным Путём, но аналогия определённо неидеальна, поскольку и окраины галактики, и внутренняя область ядра обладают особенностями, отличными от особенностей Млечного Пути.

15:57: Но, когда мы детально смотрим на Pinwheel, даже спустя 105 лет после тех наблюдений, которые утверждали, что он вращается, мы видим, что ничего подобного не происходило. Единственный объект, который вообще двигался в этом поле зрения, звезда, которая редко вторгалась в него, она присутствует в нашей Галактике вдоль линии видимости. Этот объект галактика, она вращается, но для полного витка нужны сотни миллионов лет; мы не можем обнаружить движение звёзд в этой галактике: она более чем в 10 миллионах световых лет отсюда.

.

Относительная плотность вероятности для после учёта статистических и систематических неопределённостей. Только статистические ошибки показаны зелёным цветом; сумма систематики другими цветами. Даже с неопределённостью в Stellar Spectral Library (спектральной библиотеке звёзд) Общая Теория Относительности Эйнштейна надёжно подтверждена.

15:59: Какой урок из этого можно извлечь? Чтобы сделать вывод, что что-то реально и истинно, мы должны измерять не то, что происходит, а две вещи:

  • измерять это до определённого уровня статистической значимости;

  • учитывать наши систематические ошибки и неопределённости.

Как правило, для этого требуется уровень количественной строгости, которого нет в предыдущих исследованиях, а также воспроизводимость и независимое подтверждение, что не только невозможно получить для этих результатов вращения, но и горячо оспаривается многими учёными в этой области.

Короче говоря, если новый эффект реальность, должны существовать несколько независимых способов проверить его или по крайней мере несколько независимых команд, которые без влияния со стороны работают над тем, чтобы обнаружить его.

16:00: Поехали! Весьма волнующий факт, что серия публичных лекций всё ещё продолжается, это мероприятие для широкой публики во время глобальной пандемии. Я рад, что Институт Периметра проделал эту работу!

Трансляция публичной лекции 03 марта 2021 года, доктор Прия Натараджан отдаёт полученные от мероприятия деньги Институту Периметра.

16:04 PM: Очень любопытно посмотреть, как работают слайды: видно ли их и спикера одновременно?

16:06 PM: Нет. Видно слайды Прии, слышен её голос. Тем не менее подача даёт возможность на чём-то сосредоточиться, и я надеюсь, что формат будет интересным и динамичным. Продолжаем!

Вторая по величине чёрная дыра, как её видно с Земли, та, что находится в центре галактики M87, показана здесь с трёх точек зрения. В верхней части оптический вид от Хаббла, в нижней левой радио от NRAO, а в нижней правой рентген от Чандры. Эти различные взгляды имеют также различное разрешение в зависимости от оптической чувствительности, длины волны используемого света и размера зеркал телескопа, используемых для их наблюдения. Всё это примеры излучения из областей вокруг чёрных дыр, демонстрирующие, что чёрные дыры, в конце концов, не такие уж и чёрные.

16:09: Позвольте кое-то прояснить: доказательства существования сверхмассивных чёрных дыр были довольно ошеломляющими гораздо больше чем 10 лет назад. Излучение высокой интенсивности, видимое, в частности, в радиоспектре (внизу слева) и рентгеновском (внизу справа) спектре, должно исходить от очень массивного, энергичного движителя, который сам по себе не излучает света. Кроме того, мы наблюдали звёзды, которые вращаются вокруг галактического центра с конца 1990-х годов, и опять-таки никакого света не испускалось, и доказательства того, что там находится объект массой в миллионы солнечных масс, были довольно надёжными.

С тех пор сделано гораздо больше, но мысль о том, что эти центральные объекты были не чёрной дырой, а чем-то иным, действительно не воспринимали всерьёз.

Одной из сложных головоломок 1500-х годов было то, как планеты двигались очевидно ретроградным образом. Такое движение можно объяснить либо геоцентрической моделью Птолемея (L), либо гелиоцентрической моделью Коперника (R). Однако ни одной из них не удавалось добиться произвольной точности в деталях.

16:12: Я подумал, стоит отметить, что когда мы смотрим на геоцентрическую и гелиоцентрическую модели, наблюдаемое могут объяснить обе. Лишь спустя много лет после Коперника, с появлением идеи Кеплера об эллиптических орбитах, данные были значительно лучше согласованы с гелиоцентрической моделью, чем с любой другой.

Тихо Браге провёл некоторые из лучших наблюдений Марса до изобретения телескопа, и работа Кеплера в значительной степени опиралась на эти данные. Здесь наблюдения Браге за орбитой Марса, особенно во время эпизодов ретроградного движения, предоставили утончённое подтверждение теории эллиптической орбиты Кеплера.

16:15: Прия упоминает, но не утруждаясь (а я думаю, стоило бы потрудиться!), о многочисленных независимых линиях доказательств существования тёмной материи. У нас есть целый ряд наблюдений, которые мы можем провести, и я надеюсь, что она тщательно исследует их. Но если вы хотите сделать упор на количества и спросить: Сколько энергии Вселенной находится в форме чёрных дыр, вы получите ответ порядка ~0,001% от общей энергии Вселенной. Примечательно также, что это почти точно равно количеству отрицательной потенциальной энергии гравитации, которая возникла в результате коллапса вещества, образовавшего сами чёрные дыры!

Эволюция структуры Вселенной в крупном масштабе, от раннего однородного состояния до кластеризованной Вселенной, которую мы знаем сегодня. Тип и изобилие тёмной материи могли бы создать совершенно другую Вселенную, если бы мы изменили то, что удерживает наша Вселенная. Обратите внимание на тот факт, что структуры малого масштаба во всех случаях появляются на ранней стадии, в то время как крупномасштабные структуры возникают намного позже.

16:18: То, о чем говорит Прия, вы можете увидеть на приведенном выше графике: три различных моделирования с тремя различными типами/обличиями тёмной материи. Если Вселенная слишком сгруппирована или наоборот, или же сгущается в разных масштабах по-разному, нежели прогнозирует наша модель, мы, безусловно, сможем исключить эти сценарии. Единственный способ привести крупномасштабную структуру Вселенной в соответствие с наблюдениями это добавить темную материю.

Скорости галактик в кластере Coma, из которых можно вывести общую массу кластера, чтобы удержать его гравитационных границах. Отметим, что эти данные, взятые более чем через 50 лет после первых утверждений Цвицкого, почти полностью совпадают с тем, о чём сам Цвицкий утверждал ещё в 1933 году.

16:21: Ладно, это стоит показать. Видите это график? Он показывает, основываясь на наблюдаемом красном смещении, как быстро движутся отдельные галактики в кластере Coma по отношению к нашей линии видимости. Обратите внимание, что "самые медленные" галактики удаляются от нас примерно на ~4700 км/с, тогда как "самые быстрые" на ~8900 км/с. Разница в ~4200 км/с огромна, это указывает на то, что должно быть достаточно массы, чтобы держать все эти галактики связанными друг с другом даже при этих очень высоких скоростях.

Хотя многие оспаривали это (не наблюдения, а интерпретацию), утверждая, что может существовать объясняющая всё нормальная тёмная материя, этот род наблюдений теперь является жизненно важным свидетельством в понимании загадки тёмной материи.

Галактика, управляемая только нормальной материей (L), будет иметь значительно меньшую скорость вращения в окрестностях, чем по направлению к центру, подобно тому, как движутся планеты в Солнечной системе. Однако наблюдения показывают, что скорости вращения в значительной степени не зависят от радиуса (R) (от галактического центра), а это приводит к выводу о том, что количество невидимой или тёмной материи должно быть больше.

16:24: Я хочу, чтобы вы оценили разницу между галактикой только с нормальной материей, которая будет вращаться, как показано слева, с той, что справа, которая предполагает гало тёмной материи. Если бы это была единственное свидетельство, я свободно признал бы, что объяснение тёмной материей не столь убедительно, как бы ни был убедителен полный набор возможностей тёмной материи.

Любая конфигурация фоновых точек света звёзд, галактик или кластеров искажается из-за влияния массы переднего плана посредством слабого гравитационного линзирования. Сигнатура безошибочна даже при шуме случайной формы.

16:27: Окей, Прия сейчас показывает диаграмму сильного гравитационного притяжения, и это очень важная часть головоломки. Как она показывает, когда у вас есть большая масса, которая оказывается на пути света из удалённого источника, правильная конфигурация может привести к тому, что эта масса будет действовать как сильный объектив, который продуцирует увеличенные изображения, несколько изображений, а также искажённые изображения.

Но что гораздо мощнее, так это слабое гравитационное линзирование, и оно гораздо шире. Галактики, как правило, ориентированы случайно: нижняя левая панель вверху показывает, как они должны выглядеть без искажений, естественным образом. Однако там, где есть большая масса (например, галактический кластер), которое вмешивается в картину, вы видите искажения в форме и ориентации этих галактик. Если вы проведёте статистический анализ, то обнаружите, что вы можете сделать вывод о массе и распределении массы кластеров переднего плана. Вот блестящее изображение, показывающее реконструкцию масс галактического кластера именно из такого типа линзы. Это ранний пример, 1998 год.

По имеющимся данным гравитационного линзирования можно реконструировать массу галактического кластера. Большая часть массы не находится внутри отдельных галактик, показанных здесь в виде пиков, а исходит из межгалактической среды внутри кластера, где, по-видимому, обитает тёмная материя. Модель и более детальные наблюдения могут также выявить подструктуру тёмной материи.

16:31: Самое приятное в гравитационном линзировании то, что для каждой массы переднего плана, которую мы когда-либо наблюдали, всегда есть источники фонового света. Чем больше источников и чем лучше мы их измеряем, тем больше и лучше будет проводиться реконструкция массы объекта на переднем плане. В случае самых насыщенных кластеров галактик это приводит к наибольшему гравитационному линзированию. Это позволяет нам, среди прочего, наблюдать галактики, которые в противном случае были бы слишком удалёнными и слишком бледными, чтобы их можно было увидеть с помощью нынешнего оборудования.

Галактический кластер MACS 0416, с проекта Хаббла Frontier Fields, с массой, показанной в голубом цвете, и увеличением от линзы в пурпурном цвете. Пурпурный цвет это область, где увеличение линзой будет максимальным. Картирование массы кластера позволяет нам определить, какие локации из всех должны быть исследованы в смысле наибольшего увеличения и сверхдальних кандидатов.

16:34: Итак, вы хотите увидеть отличные примеры сильного гравитационного линзирования? Прия решила показать вам Abell 2218, который, несомненно, обладает некоторыми довольно заметными особенностями. Но знаете ли вы, что существует множество огромных, массивных, далёких галактических кластеров не только во Вселенной, но и в каталоге Abell? Давайте посмотрим на мои любимые.

В их число входит Abell 370:

Полосы и дуги, присутствующие в Abell 370, далёком скоплении галактик на расстоянии около 5-6 миллиардов световых лет, являются одними из самых ярких свидетельств гравитационного линзирования и тёмной материи, которые у нас есть. Линзированные галактики ещё дальше, некоторые из них самые далёкие из когда-либо наблюдаемых.

Abell S1063:

.Гигантская эллиптическая галактика в центре галактического кластера Abell S1063 намного больше и светлее Млечного Пути, но многие другие галактики, даже галактики меньшего размера, будут затмевать Млечный Путь.

Abell 2667:

На этом снимке космического телескопа Хаббл показаны дуги и многочисленные искажённые изображения фоновых галактик как результат влияния фонового кластера, Abell 2667.

и Abell 2744.

Скопление Pandora, формально известное как Abell 2744, представляет собой космическое столкновение четырёх независимых кластеров галактик, собранных вместе под действием непреодолимой силы гравитации. Здесь могут быть видны тысячи галактик, но сама Вселенная содержит, возможно, два триллиона.

16:39 PM: Ха! Прия показывает график из новой научной работы, из статьи, которую я сейчас пишу и планирую опубликовать примерно через 6 часов. Интересная штука жизнь!

DAMA/LIBRA, и я говорю здесь свободно, как известно, отличается от других, когда дело доходит до экспериментов с тёмной материей. Да, нам ещё предстоит обнаружить тёмную материю, и, если бы Прия захотела быть менее дипломатичной, чем она была, это имело бы основание.

Внешнее пространство-время чёрной дыры Шварцшильда, известной как параболоид Фламма, легко вычисляется. Но внутри горизонтов событий все геодезические линии ведут к центральной сингулярности.

16:42: Хорошо, теперь мы явно подошли к разговору о чёрной дыре. Мне нравится думать о чёрных дырах с разных точек зрения. Устойчивая сила тяготения хорошее определение: вы не сможете убежать, даже если убегаете со скоростью света, и поэтому, если вы упакуете достаточно материи в достаточно маленький объём пространства, она вся превратится в чёрную дыру.

Когда материя коллапсирует, она неизбежно образует чёрную дыру. Пенроуз первым разработал физику пространства-времени, применимую ко всем наблюдателям во всех точках пространства и во все моменты времени, такую, что она управляет системой, как эта. С тех пор его концепция золотой стандарт в Общей Теории Относительности.

16:45: Чёрные дыры также могут возникать из коллапсирующей материи в результате гибели сверхмассивных звёзд. Заметьте: не только механизм сверхновых, но и другие механизмы, такие как прямой коллапс, могут порождать их.

Это не просто теория; мы буквально видели, как очень массивные звёзды просто исчезают, а сверхновая не взрывается! Должно быть, исчезнувшие звёзды превратились в чёрные дыры.

Фотографии с телескопа Хаббла в видимом/ближнем ИК-диапазоне показывают массивную звезду, её масса примерно в 25 раз превышает массу Солнца; она перестала существовать, сверхновой не возникло, и другого объяснения тоже нет, то есть прямой коллапс единственное разумное и возможное объяснение.

16:48: Действительно ли чёрные дыры это "прокол" в пространстве-времени? Хотите верьте, хотите нет, но это столь же способ воспринимать чёрную дыру, сколь и предыдущий, и на самом деле он довольно обобщённый.

И вот одна забавная вещь: чёрные дыры Шварцшильда (они массивны, но не вращаются) действительно ведут себя как проколы: у нас буквально есть "дыра" (или, математически, топологический дефект) в самом пространстве-времени разрыв. В смысле чёрной дыры Керра (то есть вращающейся и массивной), она уже не совсем дыра, что более реалистично, а скорее сущность, которая на самом деле выводят... ну, мы не уверены, куда именно, но ответ, кажется, "куда-то", а не "в никуда", или на точечную сингулярность. Чёрные дыры Керра имеют кольцеобразные сингулярности, и в отличие от чёрных дыр Шварцвальда до них даже не дотянуться!

Точное математическое описание дыры как с массой, так и с угловым моментом, найдено Роем Керром в 1963 году, это решение обнаружило вместо одного горизонта событий с точечной сингулярностью внутренний и внешний горизонты событий, а также внутреннюю и внешнюю эргосферу плюс кольцевую сингулярность значительного радиуса. Внешний наблюдатель не сможет видеть ничего за внешним горизонтом событий.

16:50: Я должен сказать, что к этому новому формату [лекции] пришлось немного привыкать, но я обнаружил, что поглощён лекцией Прии так же, как и на всех предыдущих открытых лекциях Института Периметра. Это победа технологий над текущими проблемами!

Художественное представление квазара J0313-1806, показывающего сверхмассивную чёрную дыру и ветер экстремально высокой скорости. Квазар, видимый всего через 670 миллионов лет после Большого взрыва, в 1000 раз ярче Млечного Пути и питается от самой ранней из известных сверхмассивных чёрных дыр, масса которых превышает массу Солнца более чем в 1,6 миллиарда раз.

16:54: Теперь Прия рассказывает о сверхмассивных чёрных дырах, и возникает огромный вопрос: как они формируются и растут в нашей Вселенной?

Итак, мы знаем, что они питаются; мы знаем, где они живут; мы знаем, как они влияют на окружающую среду. Но есть ещё много, много открытых вопросов, и некоторые группы учёных активно обсуждают следующий вопрос: когда галактики сливаются, могут ли сверхмассивные чёрные дыры слиться (или нет) в пределах нынешней эпохи Вселенной. Если нет, то мы можем обнаружить большое количество двойных (или более) сверхмассивных чёрных дыр в центрах галактик, которые достаточно развились!

Две чёрные дыры звёздной массы, когда они часть аккреционного диска или когда они движутся в сверхмассивную чёрную дыру, могут расти в массе, испытывать трение и эффектно сливаться, а сливаясь выпускать вспышку. Вполне возможно, что GW190521 озарил пространство такой вспышкой, когда слились два его прародителя, и что эта конфигурация привела к такому событию.

16:57: Чёрные дыры промежуточной массы должны существоать, но они могут быть не очень распространены. Мы искали их в основном в пределах шаровых звёздных скоплений: скоплений из нескольких сотен тысяч звёзд; находки были спорными и немногочисленными, но мы успешно обнаружили их, как намекает Прия, в случаях, когда близко к одной из этих чёрных дыр промежуточной массы проходит звезда и разрывается на части.

Когда звезда или умершая звезда проходит слишком близко к чёрной дыре, приливные силы концентрированной массы способны полностью уничтожить звезду, разорвав её на части. Хотя небольшая часть материи будет поглощена чёрной дырой, большая часть просто ускорится и будет выброшена обратно в космос.

Эти события приливного разрушения обладают колоссальной энергией, недолговечным феноменом, но появление автоматизированных телескопов, таких как Ziki Transient Facility или Pan-STARRS, за последние несколько лет дало нам взрывной рост обнаружения этих объектов!

Это моделирование показывает два кадра слияния двух сверхмассивных чёрных дыр в реалистичной, богатой межзвёздным газом среде. Если масса сливающихся сверхмассивных чёрных дыр достаточно высока, вполне вероятно, что эти события самые энергонасыщенные одиночные события во всей Вселенной.

17:01: И, конечно, есть соответствующая этому событию рябь в пространстве-времени, даже сверхмассивной вариации. Возможно, Прия намекнула, но не показала, что на данный момент в этой ситуации кроется загадка: выбросят они или поглотят весь газ в окружающей среде, прежде чем приблизятся достаточно для того, чтобы гравитационное излучение слило их воедино.

Когда гравитационная волна проходит через какое-либо место в пространстве, в разное время в разных направлениях она вызывает расширение и сжатие, заставляя длины лазерных плеч меняться во взаимно перпендикулярных ориентациях. Используя это физическое изменение, мы разработали успешные детекторы гравитационных волн, такие как LIGO и Virgo.

17:03: Вот анимация, которую очень любит Прия: рябь от слияния гравитационных волн, которая показывает, как пространство-время сжимается и разжимается во взаимно перпендикулярных направлениях, когда гравитационная волна проходит через него.

17:05: Отлично! Прия рассказывает о своих исследованиях, в частности о том, как мы получаем чёрные дыры, которые достаточно массивны и возникают достаточно рано, чтобы вырасти в то, что мы знаем сегодня как самые ранние сверхмассивные чёрные дыры в молодой Вселенной.

Вот некоторые самые ранние, если вам любопытно.

Новый рекордсмен самая ранняя чёрная дыра. Обратите внимание, что эта дыра, J0313-1806, достигла массы 1,6 миллиарда солнечных масс всего через 670 миллионов лет после Большого Взрыва.

17:08: Прия сейчас показывает анимацию ситуации, когда во Вселенной нами ожидается появление черных дыр определенной массы. Обратите внимание, что эти прогнозы не совпадают с тем, что мы видим; видимая столь рано дыра слишком массивна!

5:11 PM: Хорошая лекция! Так держать, Прия копала глубоко. Мне понравилась доступность, понравилась работа над тем, чтобы ввести в курс дела и очертить границы современных знаний. Единственное, чего я хочу, чтобы ей хватило времени на лекции о том, как мы собираемся решать проблемы на границах знаний, не говоря уже о "Космическом телескопе Джеймса Вебба".

Да, ещё я люблю космический телескоп Джеймса Уэбба.

На Хэллоуин 2019 астрофизик Итан Сигел оделся как космический телескоп Джеймса Уэбба.На Хэллоуин 2019 астрофизик Итан Сигел оделся как космический телескоп Джеймса Уэбба.

17:13: Мне нравится, что Прийя открыта к тёмной материи и относится к ней адекватно: вот что мы думаем об этом, а вот и пределы, то, насколько мы всё проверили, а также задаётся вопросом, насколько надёжны и успешны альтернативы. Мы задаёмся вопросами и подвергаем и подвергаем их соответствующей тщательной проверке.

17:15: Кто это сказал?! Кто сказал: "Мы узнаем, что такое тёмная материя в ближайшие ~10 лет", не добавляя необходимое "если повезёт"? Прия рассказывает о WIMP и аксионах, они вошли в моду, со всеми возможными и самыми разными воплощениями тёмной материи, количество которых близко к бесконечному.

Мы ищем, где это только возможно, и это ценное, разумное усилие. Но если не нашли "ничего из вышеперечисленного", то это не обязательно вызовет переосмысление природы частиц тёмной материи. Мы сомневаемся и пытаемся проверять, но не знаем, что делает природа. Мы можем измерить только то, что можем измерить, и сделать предварительные выводы на основе того, что видим (и не видим).

17:18: Забавный вопрос: что мы будем думать о модной сегодня "причудливой" идее через 100 лет. Прия говорит "multiverse" [акцент на кавычки мультивселенная], но она права: эмпирического обоснования нет (возможно). Она также говорит, что наш разум накладывает ограничения, но, возможно, этих ограничений нет. Точно так же, как Коперник не мог себе представить космический корабль, покидающий Солнечную систему, кто знает, чего не можем себе представить мы!

17:23: Последний вопрос: самая важная черта, чтобы карьера физика была успешной? Прия сказала о двух таких чертах:

  1. Устойчивость.

  2. Умение воображать, мечтать.

Эти отличные советы актуальны не только для физика, но и для программиста тоже, ведь эти две вещи позволяют нам сопротивляться выгоранию, получать удовольствие от того, что мы делаем и упрямо осваивать новое несмотря ни на что.

Узнайте, как прокачаться в других специальностях или освоить их с нуля:

Другие профессии и курсы
Подробнее..

Космология. Подробный разбор решения Фридмана

09.07.2020 16:21:19 | Автор: admin
Habritants! Когда в процессе моего ознакомления с темой решения уравнений общей теории относительности для метрики Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера выяснилось, что единого транспарентного материала на эту тему на русском языке нет, я решил запостить разбор в виде статьи, заодно ещё раз самому лучше вникнув в тему.
Всем желающим найти собственное решение уравнений общей теории относительности Эйнштейна или просто лучше понять бытие посвящается.

В статье О кривизне пространства , в которой Фридман впервые приводит решение ОТО для нестационарной Вселенной, Александр Александрович указывает лишь метрику в виде интервала и уравнения-результат, справедливо полагая само решение не заслуживающей внимания рутиной.
Но в поисках вариаций на тему рутина горит как кокс. Поэтому в путь.

Для понимания материала необходимы знания алгебры: понятие о производных в большей степени; тензорная в меньшей.


Метрика


Рассмотрим получение метрики FLRW, которая по сути является основанием решения Фридмана, начав с упрощённого случая. Полностью и достаточно подробно, но без пояснений, хорошо описано здесь (pdf).
I. Представим одномерное пространство $\psi$, с протянутой внутри него осью $x'$, равномерно искривлённым:
image
Можно сказать, что пространство $\psi$ является одномерной гиперповерхностью постоянной кривизны в двухмерном пространстве (x,y).
Зададим произвольную точку $A(x')$ в пространстве $\psi$, тогда с одной стороны, длина перемещения из точки A в любую сторону пространства $\psi$ определяется формулой (1):

$dl^2=dx^2+dy^2$


где $x, y$ координаты в декартовой системе координат, смещённой относительно $\psi$, то есть имеющей начало O вне рассматриваемого пространства.
С другой же стороны, кривизна $\psi$ характеризуется радиусом R, который задан формулой (2):

$R^2=x^2+y^2$


Продифференцируем (2), чтобы получить взаимозависимость скоростей изменения координат $x$ и $y$: $0=xdx+ydy$. Или:

$dy=-\frac{xdx}{y}$


Заметки на полях. Форма зависимости $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$замечательно резонирует с отношением из доказательства Харди теоремы Пифагора: $\frac{dc}{da}=\frac{a}{с}$ (a катет, c гипотенуза).
В нашем случае катеты нелинейно перерастают друг в друга при постоянной гипотенузе.

Подставляем $dy$ отсюда в (1), и выражаем $y$ через $R$: $dl^2=dx^2+dy^2=dx^2+\frac{x^2dx^2}{y^2}=dx^2+\frac{x^2dx^2}{R^2-x^2}$
$\frac{dl^2}{dx^2}=1+\frac{x^2}{R^2-x^2}=\frac{R^2}{R^2-x^2}$
Получим:

$\frac{dl^2}{dx^2}=\frac{1}{1-\frac{x^2}{R^2}}$


Если пространство плоское ($R \rightarrow $) $\frac{dl^2}{dx^2}=1$. Как если бы перед $x^2$ был ноль.
Если пространство положительной кривизны, у длины появляется отклонение, зависящее от $R$. Множитель перед $x^2$ в этом случае $k=1$.
Для отрицательной кривизны знак множителя надо изменить на отрицательный ($k=-1$). Можно представить все три случая так:

$\frac{dl^2}{dx^2}=\frac{1}{1-k\frac{x^2}{R^2}}$


Чем дальше мы движемся в таком пространстве $\psi$ при неизменном радиусе кривизны $R$, тем хуже (проходим всё меньшее расстояние) у нас будет это получаться в сферическом пространстве, без изменений в плоском, и лучше (большее расстояние) в гиперболическом.

II. Расширим пространство $\psi$ до трёхмерного (x,y,z). Будем подразумевать, что радиус его кривизны $R$ одинаков в каждой точке, как если бы оно было поверхностью 3-сферы все три оси скручены подобно оси $x'$, образуя 3-сферу радиуса $R$. Произведём те же операции, что для одномерного варианта, чтобы получить уравнение для перемещения в трёхмерном пространстве (3):
Подробно вывод пространственной составляющей в декартовых координатах
$dl^2=dx^2+dy^2+dz^2+dw^2$(1)
$R^2=x^2+y^2+z^2+w^2$дифференцируем и выражаем dw:
$dw^2=\left[ \frac{xdx+ydy+zdz}{w} \right]^2$
$w^2=R^2 - x^2+y^2+z^2$
$dw^2= \frac{\left[xdx+ydy+zdz \right]^2}{R^2 - x^2+y^2+z^2}$подставляем в (1):

$dl^2=dx^2+dy^2+dz^2+\color{red}{\frac{(xdx+ydy+zdz)^2}{R^2-(x^2+y^2+z^2)}}$


Красным кривая часть, отличающая метрику FRW от плоской метрики пространства Минковского.
В таком представлении хорошо видно, что последнее кривое слагаемое по осям совсем никак впрямую не разнести, что, в свою очередь, приведёт к появлению недиагональных членов метрического тензора, а это значительно усложнит дальнейшие вычисления (или сделает невозможными, я не пробовал).
Поэтому надо искать обходной путь. Необходимо найти такое координатное представление, чтобы кривизна могла быть выражена отдельно для каждого базисного вектора.
Сферические координаты здесь отлично подходят для раздельного представления кривизны, потому что вторая и третья координата являются углами, и зависимы от кривизны линейно, вместо квадратичной зависимости декартовых координат. Что при первой координате качественно идентичной декартовым всё же даёт возможность выразить кривизну удобным образом (4), так что вся она сворачивается в знаменатель множителя при первой координате в виде составляющей $-kr^2$:
Подробно переход к сферическим координатам и получение представления

$$display$$\vec{r}=\left( \matrix{x\cr y\cr z} \right) = \left( \matrix{r\sin\theta\cos\phi\cr r\sin\theta\sin\phi\cr r\cos\theta} \right)$$display$$


красным здесь снова кривая часть:
$dl^2=dx^2+dy^2+dz^2+\color{red}{\frac{(xdx+ydy+zdz)^2}{R^2-(x^2+y^2+z^2)}}=$
$= dr^2+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2+\color{red}{\frac{(\vec{r}\cdot d\vec{r})}{R^2-r^2}} = $
$= dr^2+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2+\color{red}{\frac{r^2\cdot dr^2}{R^2-r^2}} =$
$= \left[ \color{red}{\frac{r^2}{R^2-r^2}}+1 \right] dr^2 +r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2 =$
$= \left[ \frac{R^2}{R^2-\color{red}{r^2}} \right] dr^2 +r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2 =$


$dl^2=\color{red}{\frac{1}{1-k\frac{r^2}{R^2}}}dr^2+\color{green}{r^2}d\theta^2+\color{blue}{r^2\sin^2\theta} d\phi^2$


где
$dr$ линейная координата (первая),
$d\theta, d\phi$ угловые координаты (вторая и третья),
$k=-1,0,1$;
и получается, что члены метрического тензора, выделенные цветом (по очереди красный, зелёный, синий):
$\gamma_{11}=\left( 1-k\frac{r^2}{R^2} \right)^{-1}$
$\gamma_{22}=r^2$
$\gamma_{33}=r^2\sin^2\theta$
это диагональные члены метрического тензора.

III. Всё? Нет.
Произведём замену первой координаты $r$, выразив её через радиус кривизны: $r=Rx$; $dr=Rdx$.
Подставим в (4), и получим сопутствующие координаты с сопутствующим расстоянием $x$, что удобно для расширяющейся Вселенной и изменяющегося $R$ (5):

$dl^2=R^2 \left[ \color{red}{\frac{1}{1-kx^2}}dx^2+\color{green}{x^2}d\theta^2+\color{blue}{x^2\sin^2\theta} d\phi^2 \right]$


Заметки на полях. Последнюю замену $r=Rx$, $dr=Rdx$ чисто математически можно интерпретировать как переход к углу (sic!) размера $x$, при этом $r$ дуга длины $Rx$. Это важно. Я вернусь к этому в одной из следующих статей.

$\gamma_{11}=R^2/(1-kx^2)$
$\gamma_{22}=R^2x^2$
$\gamma_{33}=R^2x^2\sin^2\theta$

И вот он наш метрический тензор:

$$display$$\gamma_{ij}=\left[ \matrix{\gamma_{11}&\gamma_{12}&\gamma_{13}\cr\gamma_{21}&\gamma_{22}&\gamma_{23}\cr\gamma_{31}&\gamma_{32}&\gamma_{33}} \right]=\left[ \matrix{\frac{R^2}{1-kx^2}&0&0\cr0&R^2x^2&0\cr0&0&R^2x^2\sin^2\theta} \right]$$display$$



Тензор пространства-времени


Соберём нашу метрику пространства в интервал, добавив время в (5):

$ds^2=-dt^2+dl^2=\color{magenta}{-1}\cdot dt^2+R^2 \left[ \color{red}{\frac{1}{1-kx^2}}dx^2+\color{green}{x^2}d\theta^2+\color{blue}{x^2\sin^2\theta} d\phi^2 \right]$


Здесь предполагается, что за время $dt$ по оси $t$ точка A перемещается в пространстве $\psi$ на $dl$. Размерность оси времени равна $c$ (скорость света), при которой $ds^2=0$ (светоподобный интервал равен нулю).
Получим тензор пространства-времени:

$$display$$g_{\mu\nu} = \left[ \matrix{-1&0&0&0\cr 0& \gamma_{11}&\gamma_{12}&\gamma_{13}\cr 0 &\gamma_{21}&\gamma_{22}&\gamma_{23}\cr 0&\gamma_{31}&\gamma_{32}&\gamma_{33}} \right] = \left[ \matrix{\color{magenta}{-1}&0&0&0\cr 0& \color{red}{\frac{R^2}{1-kx^2}}&0&0\cr 0 &0&\color{green}{R^2x^2}&0\cr 0&0&0&\color{blue}{R^2x^2\sin^2 \theta}} \right]$$display$$



Символы Кристоффеля второго рода


Для расчёта тензора кривизны нам необходимо определить символы Кристоффеля (коэффициенты связности).
I. Всё начинается с того, что некая точка (частица) движется в отсутствии сторонних сил (ускорение равно нулю) в декартовых координатах $x^i=(x,y,z)$:

$\frac{\partial^2 x^i}{\partial t^2} = 0$


где $x^i=|i=1,2,3|=x,y,z$.
Однако, если перейти к сферическим координатам $(x,y,z) \rightarrow (r,\theta,\phi)$, это простое тождество впрямую работать уже не будет.
Необходимо сначала цивилизованно перейти к координатам $x'^j=(r,\theta,\phi)$:

$\frac{\partial x^i}{\partial t} = \color{red}{\left( \frac{\partial x^i}{\partial x'^j} \right)} \frac{\partial x'^j}{\partial t}$


Красным члены матрицы трансформации (якобианы):

$$display$$\color{red}{\frac{\partial x^i}{\partial x'^j}}=\left( \matrix{\sin\theta\cos\phi&r\cos\theta\cos\phi&-r\sin\theta\sin\phi\cr\sin\theta\sin\phi&r\cos\theta\sin\phi&-r\sin\theta\cos\phi\cr\cos\theta&-r\sin\theta&0} \right)$$display$$


Осталось продифференцировать ещё раз по времени:

$\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial x^i}{\partial t}\right)=\frac{\partial}{\partial t}\left( \color{red}{\frac{\partial x^i}{\partial x'^j} } \frac{\partial x'^j}{\partial t}\right)$


Получим:

$\frac{\partial^2 x^i}{\partial t^2}=\color{red}{\frac{\partial x^i}{\partial x'^j}}\frac{\partial^2 x'^j}{\partial t^2}+\frac{\partial^2 x^i}{\partial x'^j \partial x'^k}\frac{\partial x'^j}{\partial t} \frac{\partial x'^k}{\partial t}=0$


Таким образом, получается условие отсутствия ускорения в сферических координатах. Мы можем лишь привести его к более удобному виду. В левом слагаемом якобиан остаётся нетронутым из-за прелести дифференцирования по частям, в правом слагаемом от якобиана берётся производная.
Видно, что если мы домножим последнее представление на инвертированный якобиан, мы освободим ускорение по одной из координат (зелёным), приведя его к виду исходного в декартовых:

$\color{green}{\frac{\partial^2 x'^l}{\partial t^2}} + \color{magenta}{\left[ \left( \left\{ \frac{\partial x}{\partial x'}\right\}^{-1}\right)_i^l \frac{\partial^2 x^i}{\partial x'^j \partial x'^k} \right]}\frac{\partial x'^j}{\partial t}\frac{\partial x'^k}{\partial t} = 0$


И вот та монструозная маджента, получившаяся в правом слагаемом в качестве множителя при производных координат $x'^j,x'^k$, и есть символ Кристоффеля второго рода (6):

$$display$$\Gamma^\color{red}{l}_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}=\left(\left\{ \frac{\partial x}{\partial x'}\right\}^{-1}\right)_i^\color{red}{l} \frac{\partial^2 x^i}{\partial x'^\color{green}{j} \partial x'^\color{blue}{k}}$$display$$


То есть символы Кристоффеля характеризуют метрику в том, насколько её форма искажает значение по каждой из координат при переносе некоторой точки относительно начала координат.
Ещё проще, символы Кристоффеля это множители базисных векторов, соответствующие их переносу в пространстве, заданном метрикой.

II. Несомненный плюс предыдущего способа представления коэффициентов связности в том, что он одновременно даёт понятие об уравнении геодезической. Но, возможно, кому-то будет понятнее вариант представления символов Кристоффеля через дифференцирование базисных векторов. Очень понятно расписано в книге Ю.А. Аменадзе Теория упругости (pdf, параграф 4).
Дело в том, что изменение метрики от точки к точке означает изменение базисных векторов в этих точках. Удобно выразить изменение базисного вектора через его производную.
Так как в криволинейной системе координат базисные векторы являются функциями, аргументом которых является положение точки, то и производные взятые прямо по координатам будут отличны от нуля (7):

$$display$$\frac{\partial \vec{e_\color{green}{x'^j}}}{\partial \color{blue}{x'^k}}=\Gamma^\color{red}{l}_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}\vec{e_\color{red}{x'^l}}$$display$$


Множителем при полученном в результате такого дифференцирования векторе будет символ Кристоффеля второго рода.
Видно, что $\Gamma^\color{red}{l}_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}$ это множитель при базисном векторе $inline$\vec{e_\color{red}{x'^l}}$inline$, соответствующий его искривлению при перемещении базисного вектора $inline$\vec{e_\color{green}{x'^j}}$inline$ по оси $\color{blue}{x'^k}$:
$\color{red}{l}$ координата базисного вектора, при котором стоит коэффициент;
$\color{green}{j}$ координата изменяемого базисного вектора;
$\color{blue}{k}$ координата по которой отслеживается изменение.
То есть для декартовых координат, перенос точки в которых не влияет на размер базисных векторов, все символы будут равны нулю. Это очевидно так же, как и то, что при переносе точки в сферических координатах, величина базисных векторов угловых величин (второй и третьей координат) меняется. В некотором роде, это плата за линейность кривизне.
В метрике FRW, отличной от сферической наличием множителя при первой координате, в результате собственно этой её особенности, перенос базиса вдоль первой координаты также приведёт к его изменению.
Рассчитать коэффициенты связности можно, пользуясь формулой из их определения.
Например

$$display$$\frac{\partial \vec{e_\color{green}{x'^j}}}{\partial \color{blue}{x'^k}}=\Gamma^\color{red}{l}_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}\vec{e_\color{red}{x'^l}}$$display$$


При этом:

$|\vec{e_x}|=\sqrt{g_{xx}}=\sqrt{\frac{R^2}{1-kx^2}}=\frac{R}{\sqrt{1-kx^2}}$


Отсюда:

$$display$$\frac{\partial \vec{e_\color{green}{x}}}{\partial \color{blue}{x}}=\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{R}{\sqrt{1-kx^2}} \right) =\frac{kx}{1-kx^2}\frac{R}{\sqrt{1-kx^2}}=\color{magenta}{\frac{kx}{1-kx^2}}\vec{e_\color{red}{x}}$$display$$


Собственно, маджента и есть нужный коэффициент:

$$display$$\Gamma^\color{red}{l}_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}=\Gamma^\color{red}{x}_{\color{green}{x}\color{blue}{x}}=\color{magenta}{\frac{kx}{1-kx^2}}$$display$$


Фишка в том, что после дифференцирования нужно вынести требуемый базисный вектор, а остальное утрамбовать.

Но не во всех случаях это удобно, поэтому выведем универсальную формулу.
Выразим
Домножим обе части (7) скалярно на $e_m$:

$\color{red}{e_m\frac{\partial e_j}{\partial x^k}}=\color{green}{\Gamma^l_{jk} e_l e_m}$


1. При этом скалярное произведение векторов:

$g_{mj}=(e_m \cdot e_j)$


Продифференцируем последнее по $x^k$:

$\frac{\partial g_{mj}}{\partial x^k}=\color{red}{e_m \frac{\partial e_{j}}{\partial x^k}} + e_j \frac{\partial e_{m}}{\partial x^k}$


И выразим нужный член:

$\color{red}{e_m \frac{\partial e_{j}}{\partial x^k}} = \frac{\partial g_{mj}}{\partial x^k} - e_j \frac{\partial e_{m}}{\partial x^k}$



Подставим в изначальное:

$ \frac{\partial g_{mj}}{\partial x^k} - e_j \frac{\partial e_{m}}{\partial x^k}=\Gamma^l_{jk} e_l \cdot e_m = |e_l \cdot e_m = g_{lm}| =\color{green}{\Gamma^l_{jk} g_{lm}}$



2. По определению для произвольного вектора $\vec{r}$ верно:

$\frac{\partial r}{\partial x^k}=e_k; \frac{\partial r}{\partial x^j}=e_j$


Следовательно:

$\frac{\partial e_k}{\partial x^j}=\frac{\partial e_j}{\partial x^k}$


Сопоставляя с (7), получим:

$\Gamma^l_{kj}=\Gamma^l_{jk}$


3. То есть символы тождественны по нижним индексам. Отсюда следует, что:

$\frac{\partial g_{mj}}{\partial x^k} - e_j \frac{\partial e_{m}}{\partial x^k} = \frac{\partial g_{mk}}{\partial x^j} - e_k \frac{\partial e_{m}}{\partial x^j}=\color{green}{\Gamma^l_{jk} g_{lm}}$


Или можно представить так:

$\left( \frac{\partial g_{mj}}{\partial x^k} - e_j \frac{\partial e_{m}}{\partial x^k} \right) + \left( \frac{\partial g_{mk}}{\partial x^j} - e_k \frac{\partial e_{m}}{\partial x^j} \right) =2\color{green}{\Gamma^l_{jk} g_{lm}}$


Перераспределим:

$\left( \frac{\partial g_{mj}}{\partial x^k} + \frac{\partial g_{mk}}{\partial x^j} \right) - \color{blue}{\left( e_j \frac{\partial e_{m}}{\partial x^k} + e_k \frac{\partial e_{m}}{\partial x^j} \right)} =2\color{green}{\Gamma^l_{jk} g_{lm}}$


4. Синяя часть сквозит производной произведения:

$\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^m}=\frac{\partial}{\partial x^m} (e_j \cdot e_k) = e_j \frac{\partial e_k}{\partial x^m}+e_k\frac{\partial e_j}{\partial x_m} $


Пользуясь тем, что:

$\frac{\partial e_k}{\partial x^m}=\frac{\partial e_m}{\partial x^k};\qquad\frac{\partial e_j}{\partial x^m}=\frac{\partial e_m}{\partial x^j}$


Получим (у Аменадзе здесь опечатка):

$\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^m}=\color{blue}{e_j \frac{\partial e_m}{\partial x^k}+e_k\frac{\partial e_m}{\partial x_j}}$


5. Подставим в п.4:

$\left( \frac{\partial g_{mj}}{\partial x^k} + \frac{\partial g_{mk}}{\partial x^j} - \color{blue}{\frac{\partial g{jk}}{\partial x^m}} \right) =2\color{green}{\Gamma^l_{jk} g_{lm}}$


И, наконец

коэффициент связности через члены тензора пространства-времени:

$$display$$\Gamma_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}^\color{red}{l}=\frac{1}{2}g^{\color{red}{l}m}(\partial_\color{green}{j}g_{m\color{blue}{k}}+\partial_\color{blue}{k}g_{m\color{green}{j}}-\partial_mg_{\color{blue}{k}\color{green}{j}})$$display$$


Подразумевая, что сокращения следует читать так
1. Что такое $g^{lm}$? Это представление тензора $g_{lm}$ в ковариантных координатах. Сам тензор пространства-времени $g_{lm}$ у нас представлен в контрвариантных координатах. Это начала тензорной алгебры, которые доступно разложены, например, здесь.
В данном случае, для нас важно, что в координатах с ортогональным базисом действует правило:

$g^{ll}=g_{ll}^{-1}$


то есть диагональные члены представления тензора в ковариантных и ковариантных координатах взаимно обратны:

$$display$$g^{ll}=\left( \matrix{-1&0&0&0\cr0&\frac{1-kx^2}{R^2}&0&0\cr0&0&\frac{1}{R^2x^2}&0\cr0&0&0&\frac{1}{R^2x^2\sin^2\theta}} \right)$$display$$


2. Как читать запись типа $\partial_\color{red}{a}g_{\color{green}{b}\color{blue}{c}}$? Это просто сокращение от:

$$display$$\partial_\color{red}{a}g_{\color{green}{b}\color{blue}{c}}=\frac{\partial g_{\color{green}{b}\color{blue}{c}}}{\partial x^\color{red}{a}}$$display$$




III. Теперь уже можно от вопроса теоретического представления переходить к прагматическому вопросу получения коэффициентов.
В нашем случае, когда все члены по несовпадающим индексам равны нулю ($g^{lm} = |l \neq m| = 0$), мы можем ещё немного упростить полученную формулу:

$$display$$\Gamma_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}^\color{red}{l}=\frac{1}{2}g^{\color{red}{l}\color{red}{l}}(\partial_\color{green}{j}g_{\color{red}{l}\color{blue}{k}}+\partial_\color{blue}{k}g_{\color{red}{l}\color{green}{j}}-\partial_\color{red}{l}g_{\color{blue}{k}\color{green}{j}})$$display$$


что полностью выглядит так:

$$display$$\Gamma_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}^\color{red}{l}=\frac{1}{2}g^{\color{red}{l}\color{red}{l}}\left( \frac{\partial g_{\color{red}{l}\color{blue}{k}}}{\partial x^\color{green}{j}}+\frac{\partial g_{\color{red}{l}\color{green}{j}}}{\partial x^\color{blue}{k}}-\frac{\partial g_{\color{blue}{k}\color{green}{j}}}{\partial x^\color{red}{l}} \right)$$display$$



Всё, осталось только внимательно и аккуратно посчитать.
Все нулевые коэффициенты связности метрики FLRW

$\Gamma_{ij}^l=0 \qquad\qquad\qquad \forall i\ne j\ne k$


$\Gamma_{x\theta}^t = \Gamma_{\theta x}^t = \Gamma_{x \phi}^t=\Gamma_{\phi x}^t = \Gamma_{\theta\phi}^t = \Gamma_{\phi\theta}^t = 0$
$\Gamma_{t\theta}^x = \Gamma_{\theta t}^x = \Gamma_{t\phi}^x = \Gamma_{\phi t}^x = \Gamma_{\theta\phi}^x = \Gamma_{\phi\theta}^x = 0$
$\Gamma_{t x}^\theta = \Gamma_{x t}^\theta=\Gamma_{t\phi}^\theta = \Gamma_{\phi t}^\theta=\Gamma_{x \phi}^\theta=\Gamma_{\phi x}^\theta = 0$
$\Gamma_{t\alpha}^\phi = \Gamma_{x t}^\phi = \Gamma_{t \theta}^\phi = \Gamma_{\theta t}^\phi = \Gamma_{x \theta}^\phi=\Gamma_{\theta x}^\phi=0$

$\Gamma_{tt}^t=0$



$\Gamma_{\theta\theta}^\theta = \frac{g^{\theta\theta}}{2} \left(\frac{\partial g_{\theta\theta}}{\partial \theta} \right) = 0 \qquad\qquad \frac{\partial g_{\theta\theta}}{\partial \theta} = 0$


$ \Gamma_{\phi\phi}^\phi = 0$



$\Gamma_{t x}^t=\frac{g^{t t}}{2}\frac{\partial g_{t t}}{\partial x}= \left| \frac{\partial g_{tt}}{\partial x}=0 \right|=0$


$\Gamma_{t x}^t = \Gamma_{x t}^t = \Gamma_{\theta t}^t = \Gamma_{t \theta}^t = \Gamma_{\phi t}^t = \Gamma_{t \phi}^t = 0$

$\Gamma_{t t}^x=\frac{g^{x x}}{2}\frac{\partial g_{tt}}{\partial x}= \left| \frac{\partial g_{tt}}{\partial x}=0 \right|=0$


$\Gamma_{tt}^x=\Gamma_{tt}^\theta=\Gamma_{tt}^\phi=0$

$\Gamma_{x\theta}^x=\frac{g^{x x}}{2} \left( \frac{\partial g_{x \theta}}{\partial x} +\frac{\partial g_{x x}}{\partial \theta} -\frac{\partial g_{x \theta}}{\partial x} \right) = 0$



$\Gamma_{x \theta}^x = \Gamma_{\theta x}^x = \Gamma_{\phi x}^x = \Gamma_{x \phi}^x = \Gamma_{\theta\phi}^\theta = \Gamma_{\phi\theta}^\theta = 0$

$\Gamma_{x x}^\phi = \left| \frac{\partial g_{x x}}{\partial \phi} = 0 \right| = 0$


$\Gamma_{x x}^\theta=\left| \frac{\partial g_{x x}}{\partial \theta} = 0 \right| = 0$


$\Gamma_{\theta \theta}^\phi = \left| \frac{\partial g_{\theta \theta}}{\partial \phi} = 0 \right| = 0$


Итого: 45/64

Все ненулевые коэффициенты связности метрики FLRW

$\Gamma_{x x}^x =\frac{g^{x x}}{2} \left(\frac{\partial g_{x x}}{\partial x} \right) = \frac{1}{2}\frac{1-kx^2}{R^2}\frac{R^2}{(1-kx^2)^2}(2kx)=\frac{kx}{1-kx^2}$



$\Gamma_{x x}^t=\frac{1}{2}g^{t t} \left( \frac{\partial g_{t x}}{\partial x}+\frac{\partial g_{x t}}{\partial x} - \frac{\partial g_{x x}}{\partial t} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial g_{x x}}{\partial t} \right) = \frac{RR'}{1-kx^2} \qquad R'=\frac{\partial R}{\partial t}$


$\Gamma_{\theta\theta}^t=\frac{1}{2}g^{tt} \left( \frac{\partial g_{t\theta}}{\partial \theta}+\frac{\partial g_{t\theta}}{\partial \theta} - \frac{\partial g_{\theta\theta}}{\partial t} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial g_{\theta\theta}}{\partial t} \right) = x^2RR' \qquad R'=\frac{\partial R}{\partial t}$


$\Gamma_{\phi\phi}^t=\frac{1}{2}g^{tt} \left( \frac{\partial g_{t\phi}}{\partial \phi}+\frac{\partial g_{t\phi}}{\partial \phi} - \frac{\partial g_{\phi\phi}}{\partial t} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial g_{\phi\phi}}{\partial t} \right) = x^2\sin^2\theta RR' \qquad R'=\frac{\partial R}{\partial t}$



$\Gamma_{t x}^x = \frac{1}{2}g^{x x} \left( \frac{\partial g_{x x}}{\partial t}+\frac{\partial g_{x t}}{\partial x} - \frac{\partial g_{x t}}{\partial x} \right) = \frac{1}{2} g^{x x} \left( \frac{\partial g_{x x}}{\partial t} \right) = \frac{1-kx^2}{2R^2} \frac{2RR'}{1-kx^2}=\frac{R'}{R} $


$\Gamma_{t x}^x = \Gamma_{x t}^x = \Gamma_{t \theta}^\theta = \Gamma_{\theta t}^\theta = \Gamma_{t \phi}^\phi = \Gamma_{\phi t}^\phi = \frac{R'}{R}$

$\Gamma_{\theta \theta}^x = \frac{1}{2}g^{x x} \left( \frac{\partial g_{x \theta}}{\partial \theta} +\frac{\partial g_{x \theta}}{\partial \theta} - \frac{\partial g_{\theta \theta}}{\partial x}\right) = -\frac{1}{2}g^{x x} \left( \frac{\partial g_{\theta \theta}}{\partial x}\right) =-\frac{1-kx^2}{2R^2} 2R^2x = -x (1-kx^2)$



$\Gamma_{\phi\phi}^x = \frac{1}{2}g^{x x} \left( \frac{\partial g_{x \phi}}{\partial \phi} +\frac{\partial g_{x \phi}}{\partial \phi} - \frac{\partial g_{\phi\phi}}{\partial x}\right) = -\frac{1}{2}g^{x x} \left( \frac{\partial g_{\phi \phi}}{\partial x}\right) =-\frac{1-kx^2}{2R^2}2R^2\sin^2\theta x = -x \sin^2\theta (1-kx^2)$



$\Gamma_{\phi\phi}^\theta=\frac{g_{\theta\theta}}{2} \left( \frac{\partial g_{\theta\phi}}{\partial \phi} +\frac{\partial g_{\theta\phi}}{\partial \phi} - \frac{\partial g_{\phi\phi}}{\partial \theta}\right) =-\frac{1}{2 R^2 x^2}(2R^2 x^2 \sin\theta\cos\theta)=-\sin\theta\cos\theta$



$\Gamma_{x \theta}^\theta=\frac{g^{\theta \theta}}{2} \left( \frac{\partial g_{\theta \theta}}{\partial x}+\frac{\partial g_{\theta x}}{\partial \theta}-\frac{\partial g_{\theta x}}{\partial \theta} \right)=\frac{1}{2 R^2 x^2}(2R^2 x)=x^{-1}$


$\Gamma_{x \theta}^\theta=\Gamma_{\theta x}^\theta=x^{-1}$

$\Gamma_{x \phi}^\phi=\frac{g^{\phi\phi}}{2} \left( \frac{\partial g_{\phi \phi}}{\partial x}+\frac{\partial g_{\phi x}}{\partial \phi}-\frac{\partial g_{\phi x}}{\partial \phi} \right)=\frac{1}{2R^2x^2\sin^2\theta}(2R^2\sin^2\theta x)= x^{-1}$


$\Gamma_{x \phi}^\phi=\Gamma_{\phi x}^\phi = x^{-1}$

$\Gamma_{\phi\theta}^\phi = \frac{g^{\phi\phi}}{2}\left( \frac{\partial g_{\phi \theta}}{\partial \phi}+ \frac{\partial g_{\phi\phi}}{\partial \theta} -\frac{\partial g_{\phi \theta}}{\partial \phi} \right) = \frac{1}{2R^2 x^2 \sin^2\theta}2R^2 x^2 \sin\theta \cos\theta =\tan^{-1}\theta $


$\Gamma_{\phi \theta}^\phi=\Gamma_{\theta \phi}^\phi=\tan^{-1}\theta$
Итого: 19/64

Скомпонуем для наглядности, и можно переходить к заключительной части.

$$display$$\Gamma^t = \left( \matrix{\Gamma_{tt}^t & \Gamma_{tx}^t&\Gamma_{t\theta}^t & \Gamma_{t\phi}^t \cr \Gamma_{x t}^t & \Gamma_{xx}^t&\Gamma_{x\theta}^t & \Gamma_{x\phi}^t \cr \Gamma_{\theta t}^t & \Gamma_{\theta x}^t & \Gamma_{\theta\theta}^t & \Gamma_{\theta\phi}^t \cr \Gamma_{\phi t}^t & \Gamma_{\phi x}^t&\Gamma_{\phi\theta}^t & \Gamma_{\phi\phi}^t} \right) = \left( \matrix{0&0&0&0 \cr 0&\frac{RR'}{1-kx^2}&0&0 \cr 0&0&x^2RR'&0 \cr 0&0&0& x^2\sin^2\theta^2RR'} \right)$$display$$



$$display$$\Gamma^x=\left( \matrix{\Gamma_{tt}^x & \Gamma_{t x}^x & \Gamma_{t\theta}^x & \Gamma_{t\phi}^x \cr \Gamma_{x t}^x & \Gamma_{x x}^x & \Gamma_{x \theta}^x & \Gamma_{x \phi}^x \cr \Gamma_{\theta t}^x & \Gamma_{\theta x}^x&\Gamma_{\theta\theta}^x & \Gamma_{\theta\phi}^x \cr \Gamma_{\phi t}^x &\Gamma_{\phi x}^x & \Gamma_{\phi\theta}^x & \Gamma_{\phi\phi}^x} \right) = \left( \matrix{ 0&\frac{R'}{R}&0&0\cr\frac{R'}{R}&\frac{kx}{1-kx^2}&0&0\cr0&0&-x(1-kx^2)&0\cr0&0&0&-x\sin^2\theta(1-kx^2)} \right)$$display$$



$$display$$\Gamma^\theta=\left( \matrix{\Gamma_{tt}^\theta & \Gamma_{t x}^\theta & \Gamma_{t\theta}^\theta & \Gamma_{t\phi}^\theta \cr \Gamma_{x t}^\theta & \Gamma_{x x}^\theta & \Gamma_{x \theta}^\theta & \Gamma_{x \phi}^\theta\cr\Gamma_{\theta t}^\theta & \Gamma_{\theta x}^\theta & \Gamma_{\theta\theta}^\theta & \Gamma_{\theta\phi}^\theta \cr \Gamma_{\phi t}^\theta & \Gamma_{\phi x}^\theta & \Gamma_{\phi\theta}^\theta & \Gamma_{\phi\phi}^\theta} \right) = \left( \matrix{0&0&\frac{R'}{R}&0 \cr 0&0&x^{-1}&0 \cr \frac{R'}{R}&x^{-1}&0&0 \cr 0&0&0&-\sin\theta\cos\theta} \right)$$display$$



$$display$$\Gamma^\phi = \left( \matrix{\Gamma_{tt}^\phi &\Gamma_{t x}^\phi & \Gamma_{t\theta}^\phi & \Gamma_{t\phi}^\phi \cr \Gamma_{x t}^\phi & \Gamma_{x x}^\phi & \Gamma_{x \theta}^\phi & \Gamma_{x \phi}^\phi \cr \Gamma_{\theta t}^\phi & \Gamma_{\theta x}^\phi & \Gamma_{\theta\theta}^\phi & \Gamma_{\theta\phi}^\phi \cr \Gamma_{\phi t}^\phi & \Gamma_{\phi x}^\phi & \Gamma_{\phi\theta}^\phi & \Gamma_{\phi\phi}^\phi} \right) = \left( \matrix{0&0&0&\frac{R'}{R} \cr 0&0&0&x^{-1} \cr 0&0&0&\tan^{-1}\theta \cr\frac{R'}{R}&x^{-1}&\tan^{-1}\theta&0} \right)$$display$$




Тензор кривизны, его свёртка и свёртка свёртки


Тензор Риччи, с которого начинается математическая формулировка уравнений ОТО, является свёрткой тензора кривизны Римана. Скаляр кривизны, присутствующий во втором слагаемом левой части это уже свёртка тензора Риччи.
То есть всё, что нам нужно это вычислить компоненты тензора Римана.
I. Компоненты тензора Римана.
Вооружимся формулой расчёта членов тензора кривизны через коэффициенты связности:

$R_{i j k}^l = \frac{\partial \Gamma_{i k}^l}{\partial x^j} + \frac{\partial \Gamma_{j k}^l}{\partial x^i} + \sum_{p=1}^n \left( \Gamma_{i k}^p \Gamma_{j p}^l - \Gamma_{j k}^p \Gamma_{i p}^l \right)$


по которой нам потребуются только члены вида $R^\color{red}{l}_{i \color{red}{l} k}$, а так как наш тензор пространства-времени диагональный, то ненулевыми будут только компоненты вида $R^\color{red}{l}_{\color{blue}{k} \color{red}{l} \color{blue}{k}}$:

$$display$$R^\color{red}{l}_{\color{blue}{k} \color{red}{l} \color{blue}{k}} = \partial_\color{red}{l}\Gamma^\color{red}{l}_{\color{blue}{k} \color{blue}{k}} - \partial_\color{blue}{k}\Gamma^\color{red}{l}_{\color{red}{l} \color{blue}{k}} + \Gamma^p_{\color{blue}{k} \color{blue}{k}}\Gamma^\color{red}{l}_{\color{red}{l} p} - \Gamma^p_{\color{red}{l} \color{blue}{k}}\Gamma^\color{red}{l}_{\color{blue}{k} p}$$display$$


Здесь подразумевается суммирование по правилу Эйнштейна (по $p=t,x,\theta,\phi$).

Примеры расчёта компонентов тензора Римана
1.

$ R^x_{t x t}=\partial_x\Gamma^x_{t t} -\partial_t\Gamma^x_{x t} + \Gamma^t_{t t}\Gamma^x_{x t} - \Gamma^t_{x t}\Gamma^x_{t t} +\Gamma^x_{t t}\Gamma^x_{x x} - \Gamma^x_{x t}\Gamma^x_{t x} + $


$ + \Gamma^\theta_{t t}\Gamma^x_{x \theta} - \Gamma^\theta_{x x}\Gamma^x_{t \theta} + \Gamma^\phi_{t t}\Gamma^x_{x \phi} - \Gamma^\phi_{x t}\Gamma^x_{t \phi} = 0 - \frac{\partial}{\partial t} \frac{R'}{R} + 0 - 0 + 0 + $


$- \left( \frac{R'}{R} \right)^2 + 0 - 0 + 0 - 0 = - \frac{R''}{R} + \left( \frac{R'}{R} \right)^2 - \left( \frac{R'}{R} \right)^2 = - \frac{R''}{R}$



$R^\theta_{t \theta t} = R^\phi_{t\phi t} = - \frac{R''}{R}$



2.

$ R^t_{x t x}=\partial_t\Gamma^t_{x x} - \partial_x\Gamma^t_{t x} + \Gamma^t_{x t}\Gamma^t_{t t} - \Gamma^t_{t x}\Gamma^t_{x t} +\Gamma^x_{x x}\Gamma^t_{t x} - \Gamma^x_{t x}\Gamma^t_{x x} + $


$ + \Gamma^\theta_{x x}\Gamma^t_{t \theta} - \Gamma^\theta_{t t}\Gamma^t_{x \theta} + \Gamma^\phi_{x x}\Gamma^t_{t \phi} - \Gamma^\phi_{t x}\Gamma^t_{x \phi} = \frac{\partial}{\partial t}\frac{RR'}{1-kx^2} - 0 + 0 - 0 + 0 - $


$- \frac{R'}{R} \cdot \frac{RR'}{1-kx^2} + 0 - 0 + 0 - 0 = \frac{RR''}{1-kx^2} + \frac{R'^2}{1-kx^2} - \frac{R'^2}{1-kx^2} = \frac{RR''}{1-kx^2}$



3.

$ R^\theta_{x \theta x}=\partial_\theta\Gamma^\theta_{x x} -\partial_x\Gamma^\theta_{\theta x} + \Gamma^t_{x x}\Gamma^\theta_{\theta t} - \Gamma^t_{\theta x}\Gamma^\theta_{x t} +\Gamma^x_{x x}\Gamma^\theta_{\theta x} - \Gamma^x_{\theta x}\Gamma^\theta_{x x} + $


$ + \Gamma^\theta_{x x}\Gamma^\theta_{\theta \theta} - \Gamma^\theta_{\theta x}\Gamma^\theta_{x \theta} + \Gamma^\phi_{x x}\Gamma^\theta_{\theta \phi} - \Gamma^\phi_{\theta x}\Gamma^\theta_{x \phi} = 0 - \frac{\partial (x^{-1})}{\partial x} + $


$+\frac{RR'}{1-kx^2} \cdot \frac{R'}{R} - 0 + \frac{kx}{1+kx^2} \cdot x^{-1} - 0 + 0 - x^{-1} \cdot x^{-1} + 0 - 0 =$


$ = x^{-2} + \frac{R'^2}{1-kx^2} + \frac{k}{1-kx^2} - x^{-2} = \frac{R'^2}{1-kx^2} + \frac{k}{1-kx^2} $



4.

$ R^\phi_{x \phi x}=\partial_\phi\Gamma^\phi_{x x} -\partial_x\Gamma^\phi_{\phi x} + \Gamma^t_{x x}\Gamma^\phi_{\phi t} - \Gamma^t_{\phi x}\Gamma^\phi_{x t} +\Gamma^x_{x x}\Gamma^\phi_{\phi x} - \Gamma^x_{\phi x}\Gamma^\phi_{\phi x} + $


$ + \Gamma^\theta_{x x}\Gamma^\phi_{\phi \theta} - \Gamma^\theta_{\phi x}\Gamma^\phi_{x \theta} + \Gamma^\phi_{x x}\Gamma^\phi_{\phi \phi} - \Gamma^\phi_{\phi x}\Gamma^\phi_{x \phi} = 0 - \frac{\partial (x^{-1})}{\partial x} +$


$ + \frac{RR'}{1-kx^2} \cdot \frac{R'}{R} - 0 + \frac{kx}{1+kx^2} \cdot x^{-1} - 0 + 0 - x^{-1} \cdot x^{-1} + 0 - 0 = $


$= x^{-2} + \frac{R'^2}{1-kx^2} + \frac{k}{1-kx^2} - x^{-2} = \frac{R'^2}{1-kx^2} + \frac{k}{1-kx^2}$


и т.д.


II. Компоненты тензора Риччи.
Осталось самое простое, сложить:
$R_{tt} = R^m_{tmt} = R^x_{t x t} + R^\theta_{t \theta t} + R^\phi_{t \phi t} = -3\frac{R''}{R}$
$R_{xx} = R^m_{xmx} = R^t_{x t x} + R^\theta_{x \theta x} + R^\phi_{x \phi x} = \frac{RR''}{1-kx^2} + \frac{2R'^2}{1-kx^2} + \frac{2k}{1-kx^2}$
$R_{\theta\theta} = R^m_{\theta m \theta} = x^2RR''+2x^2R'^2+2x^2k$
$R_{\phi\phi} = R^m_{\phi m \phi} = x^2RR''\sin^2\theta+2x^2R'^2\sin^2\theta+2x^2k\sin^2\theta$
И, затем, выразить пространственные составляющие через соответствующие компоненты тензора пространства-времени:

$R_{xx} = \color{red}{\frac{R^2}{1-kx^2}} \frac{1}{R^2} \left( RR'' + 2R'^2 + 2k \right)$


$R_{\theta\theta} = \color{green}{R^2x^2} \frac{1}{R^2} \left( RR''+2R'^2+2k \right) $


$R_{\phi\phi} = \color{blue}{R^2x^2\sin^2\theta} \frac{1}{R^2} \left( RR''+2R'^2+2k \right) $


То есть иначе их можно выразить так:

$R_{ii} = \frac{g_{ii}}{R^2} \left( RR'' + 2R'^2 + 2k \right)$


Вид под скляр готов.

III. Скалярная кривизна.
Формула скаляра:

$R = g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$


Снова подразумевая суммирование по повторяющимся нижним и верхним индексам. Значит, в нашем случае:

$R = \sum_{i=0}^3 (g^{ii}R_{ii})= \sum_{i=0}^3 \left( g^{ii} \frac{g_{ii}}{R^2}(RR''+2R'^2+2K)\right) = 6\frac{R''}{R}+6 \frac{R'^2}{R^2} +6\frac{k}{R^2}$



Уравнения общей теории относительности


Математическая формулировка ОТО выглядит так:

$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R + \lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$


где $R_{\mu\nu}$ тензор Риччи, $g_{\mu\nu}$ тензор пространства времени, $R$ скаляр Риччи, $\lambda g_{\mu\nu}$ мрачная лямбда, $\pi, G, c$ вселенские константы, $T_{\mu\nu}$ тензор энергии-импульса.

Тензор материи $T_{\mu\nu}$ у Фридмана определён скромно:

$$display$$T_{\mu\nu} = \left[ \matrix{c^2\rho &0&0&0 \cr 0&0&0&0 \cr 0&0&0&0 \cr 0&0&0&0} \right]$$display$$


где $c$ фундаментальная скорость, $\rho$ плотность массы пыли.
Такой подход и даёт два уравнения, полученных Фридманом, которые теперь можем получить и мы, подставив заданное $g_{\mu\nu}$ и расчётные $R_{\mu\nu}$ и $R$.
  1. Для пространственных координат $i=k=1,2,3$:

    $\frac{g_{ii}}{R^2} \left( RR'' + 2R'^2 + 2k \right)-\frac{1}{2} g_{ii} \left( 6\frac{R''}{R}+6 \frac{R'^2}{R^2} +6\frac{k}{R^2} \right) + \lambda g_{ii} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{ii} $


    Что после ряда упрощений даст:

    $\frac{R'^2}{R^2} + 2\frac{R''R}{R^2} + \frac{k}{R^2} - \lambda = 0 $

  2. Для временной координаты $i=k=0$:

    $-\frac{3R''}{R} -\frac{1}{2} g_{ii} \left( 6\frac{R''}{R}+6 \frac{R'^2}{R^2} +6\frac{k}{R^2} \right) + \lambda g_{ii} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{ii}$


    Или после упрощения:

    $3 \frac{R'^2}{R^2} + 3\frac{k}{R^2} - \lambda = \frac{8\pi G}{c^2} \rho$



Резюме


Если справа вместо тензора энергии-импульса пыли подставить тензор энергии-импульса идеальной жидкости, в результате получатся два немного более сложных, чем в оригинальной статье, независимых уравнения, из которых получаются базовые уравнения современной стандартной космологической модели $\Lambda$-CDM.
Левая, геометрическая часть решения при этом остаётся неизменной.

Надеюсь, кому-то этот разбор будет полезным. Tschuss!
Подробнее..

Перевод Спросите Итана пространство-время реальная сущность или просто концепция?

28.02.2021 12:13:00 | Автор: admin

Схема сильного искривления пространства-времени вблизи горизонта событий чёрной дыры. Чем ближе вы приближаетесь к массивному телу, тем сильнее искривляется пространство. В итоге вы оказываетесь в таком месте, откуда не может убежать даже свет: внутри горизонта событий.

Большинство людей, думая о Вселенной, представляют себе материальные объекты, находящиеся на огромных космических расстояниях друг от друга. Под действием собственной гравитации материя схлопывается, формируя такие космические структуры, как галактики. Газовые облака, сжимаясь, порождают звёзды и планеты. Звёзды испускают свет, сжигая топливо в реакциях ядерного синтеза. Этот свет проходит по всей Вселенной, подсвечивая всё, на что натолкнётся. Однако Вселенная это не только объекты внутри неё. Есть ещё и ткань пространства-времени, играющая по своим правилам по правилам общей теории относительности (ОТО). Ткань пространства-времени искривляется в присутствии материи и энергии, при этом само искривление ткани пространства-времени диктует материи и энергии, как им двигаться. Но что такое, конкретно, пространство-время это нечто реальное, или просто облегчающий подсчёты инструмент? Об этом нас спрашивает читатель:
Что именно представляет собой пространство-время? Это реальная штука типа атомов, или математический конструкт, используемый для описания того, как масса порождает гравитацию?


Отличный вопрос, а его тема достаточно сложна для размышлений. Более того, до появления Эйнштейна наше представление о Вселенной сильно отличалось от текущего. Давайте вернёмся в далёкое прошлое Вселенной, когда у нас ещё не было концепции пространства-времени, и будем двигаться вперёд, до сегодняшнего дня.


На всех масштабах, от макроскопических до субатомных, размеры фундаментальных частиц играют мало роли в определении конечных размеров составных структур. Являются ли эти строительные кирпичики материи воистину фундаментальными точечными частицами, неизвестно до сих пор. Однако мы разбираемся в строении Вселенной от гигантских, космических масштабов, до крохотных, субатомных. К примеру, в человеческом теле содержится около 1028 атомов.

На фундаментальном уровне мы уже давно подозревали, что если взять какой угодно объект во Вселенной, и начать делить его на всё меньшие и меньшие составные части, в итоге можно достичь чего-то неделимого. Слово атом буквально и означает неделимый, от греческого . Первое упоминание об этой идее встречается 2400 лет назад, у Демокрита. Однако вполне вероятно, что идею могли придумать и раньше. Такие неделимые сущности реально существуют они известны, как квантовые частицы. Несмотря на то, что мы назвали атомами элементы таблицы Менделеева, истинно неделимыми являются субатомные частицы кварки, глюоны и электроны (а также те частицы, что вовсе не встречаются в атомах).

Все эти кванты связываются вместе и составляют все известные нам сегодня составные структуры Вселенной от протонов и атомов до молекул и людей. И все эти кванты, вне зависимости от их типа материя это или антиматерия, есть у них масса или нет, фундаментальные они или составные, субатомные у них масштабы или космические существуют в рамках той же самой Вселенной, что и мы.


Если знать все правила, отвечающие за движение объекта в пространстве-времени, а также начальные условия и все силы, действующие между объектом и остальной частью системы, можно предсказать, как он будет двигаться сквозь пространство и время. Но местоположение объекта нельзя указать точно, не добавив к пространственным координатам временную.

А это важно, поскольку если вы хотите, чтобы все вещи во Вселенной делали что-то друг с другом взаимодействовали, связывались, формировали структуры, передавали энергию нужно, чтобы существовал способ это делать. Представьте себе пьесу, в которой все персонажи прописаны, актёры готовы их играть, костюмы подготовлены, все строки прописаны и выучены. Недостаёт лишь одной, но очень важной вещи сцены.

Что играет роль сцены в физике?

До появления Эйнштейна сцену обустраивал Ньютон. Всех актёров Вселенной можно было описать набором координат местоположением в трёхмерном пространстве и моментом во времени. Всё было похоже на решётку декартовых координат трёхмерную структуру с осями x, y и z, где у каждого объекта может быть импульс, описывающий его движение в пространстве как функция от времени. Само время считалось линейным, идущим с неизменной скоростью. В представлении Ньютона пространство и время были абсолютными.


Мы часто представляем себе пространство в виде трёхмерной решётки, хотя это чрезмерное упрощение, зависящее от системы отсчёта. На самом деле пространство-время искривляется в присутствии материи и энергии, а расстояния в нём не фиксированы, а изменяются с расширением или сжатием Вселенной

Однако открытие в конце XIX века радиоактивности бросило на картину мира Ньютона тень сомнений. Узнав, что атомы могут испускать субатомные частицы, движущиеся со скоростью света, мы поняли нечто удивительное: когда частица движется со скоростью, близкой к скорости света, она воспринимает пространство и время совершенно не так, как объект, движущийся медленно или покоящийся.

Нестабильные частицы, очень быстро распадающиеся в состоянии покоя, жили тем дольше, чем ближе их скорость была к скорости света. Эти частицы проходили расстояния большие, чем должны были, исходя из их скорости и времени жизни. А при попытке подсчитать энергию или импульс движущейся частицы разные наблюдатели (движущиеся с разными скоростями относительно неё) получали несовпадающие значения.

Получается, что с концепцией пространства-времени от Ньютона что-то было не так. На скоростях, близких к скорости света время удлиняется, расстояния сжимаются, а энергия и импульс зависят от системы отсчёта. То есть, ваше восприятие Вселенной зависит от того, как вы двигаетесь.


Световые часы, в которых протон отражается от двух зеркал, могут отсчитывать время для любого наблюдателя. И хотя двое наблюдателей могут не сойтись во мнении о том, сколько времени прошло между двумя моментами, они могут договориться о законах физики и константах Вселенной, в частности, о скорости света. У неподвижного наблюдателя время идёт как обычно, а у быстро движущегося часы будут идти медленнее, чем у неподвижного.

Эйнштейн отвечает за выдающийся прорыв в концепции реальности, описывавшей, какие величины не меняются при движении наблюдателя, а какие зависят от системы отсчёта. К примеру, скорость света одинакова для всех наблюдателей, как и масса покоя любого количества материи. А вот расстояние между двумя точками сильно зависит от вашего движения вдоль линии, их соединяющей. Скорость, с которой идут ваши часы, также зависит от вашего движения.

Пространство и время оказались не абсолютными, как думал Ньютон, и воспринимались разными наблюдателями по-разному. Они оказались относительными, поэтому теория и называется теорией относительности. Более того, между восприятием неким наблюдателем пространства и времени есть определённая связь. Через пару лет после публикации Эйнштейном специальной теории относительности (СТО) её вывел его бывший профессор Герман Минковский. Он вывел единую математическую структуру, включающую пространство и время: пространство-время. Как писал он сам,

Отныне время само по себе и пространство само по себе становятся пустой фикцией, и только единение их сохраняет шанс на реальность.

Сегодня это пространство-время широко используется до сих пор, если можно пренебречь гравитацией: пространство Минковского.


Световой конус, трёхмерная поверхность, составленная из всех возможных световых лучей, приходящих и исходящих из одной точки пространства-времени. Чем больше вы проходите в пространстве, тем меньше вы проходите во времени, и наоборот. Сегодня на вас может воздействовать только то, что было в световом конусе прошлого. В будущем вы сможете воспринять только те вещи, которые содержатся в вашем световом конусе будущего. Это иллюстрация плоского пространства Минковского, не искривлённого пространства ОТО.

Но в реальной Вселенной есть гравитация. Это сила не действует мгновенно через огромные пространства космоса. Она распространяется с той же скоростью, что и все безмассовые кванты: со скоростью света. Все правила, сформулированные в СТО, остаются применимыми, но чтобы включить в картину гравитацию, требовалось нечто большее: представление о наличии у пространства-времени собственной кривизны, зависящей от присутствия в нём материи и энергии.

В каком-то смысле это просто: если вы разместили на сцене актёров, сцена должна выдерживать их вес. Если актёры массивные, а сцена не идеально жёсткая, она будет деформироваться в их присутствии.

То же явление работает и с пространством-временем: наличие материи и энергии искривляет его, а это искривление влияет на расстояния (пространство) и скорость хода часов (время). Более того, влияние это получается довольно сложным. Если вычислять влияние материи и энергии на пространство-время, то пространственные и временные эффекты оказываются связанными. Линии трёхмерной решётки, которую мы представляли в СТО, в ОТО искривляются.


Появление массы в пустой трёхмерной решётке заставляет её линии искривляться определённым образом. Они как бы вытягиваются в сторону массы.

Пространство-время можно представлять себе как чисто вычислительный инструмент, и остановиться на этом. В математике даже пространство-время можно описать метрическим тензором. Этот формализм позволяет вычислить, как любое поле, прямая, дуга, расстояние и т.п. могут существовать в нём определённым, точно описанным образом. Пространство может быть плоским или сколь угодно искривленным, конечным или бесконечным, открытым или закрытым, и состоять из любого количества измерений. В ОТО метрический тензор четырёхмерный (с тремя пространственными и одним временным измерением), а кривизну пространства-времени определяют материя, энергия и его внутренние напряжённости.

Проще говоря, кривизну пространства-времени определяет содержимое Вселенной. А затем можно взять кривизну пространства-времени и предсказать, как любая часть материи и энергии будет двигаться и меняться со временем. Правила ОТО позволяют нам предсказывать, как материя, свет, антиматерия, нейтрино и даже гравитационные волны будут двигаться сквозь Вселенную. Все эти предсказания прекрасно совпадают с нашими наблюдениями и измерениями.


Сигнал от события GW190521, связанного с появлением гравитационных волн, зафиксированный тремя детекторами. Продолжительность сигнала составила около 13 мс, но он представляет энергию, эквивалентную преобразованию 8 солнечных масс в чистую энергию через уравнение Эйнштейна E = mc2.

Что мы не измеряем, так это само пространство-время. Мы можем измерять расстояния и временные интервалы но всё это непрямое зондирование лежащего в их основе пространства-времени. Мы можем измерить всё, что с нами взаимодействует тела, инструменты, детекторы однако взаимодействие происходит только при наличии двух объектов в одной точке пространства-времени, когда при их встрече регистрируется событие.

Мы можем измерить все воздействия, которые искривлённое пространство-время оказывает на материю и энергию Вселенной, а именно:
  • Красное смещение излучения, порождённое расширением Вселенной;
  • Изгиб света из-за присутствия на переднем плане масс;
  • Увлечение инерциальных систем отсчёта при наличии вращающегося тела;
  • Дополнительная прецессия орбит из-за гравитационных эффектов, выходящая за рамки предсказаний Ньютона;
  • Набирание энергии светом, падающим в гравитационное поле, и потеря энергии при выходе из него;


А также множество других воздействий. Однако из того, что мы можем измерять лишь воздействие пространства-времени на материю и энергию Вселенной, но не само пространство-время, следует, что пространство-время ведёт себя неотличимым от простого инструмента вычисления образом.


Квантовая гравитация пытается объединить ОТО Эйнштейна с квантовой механикой. Квантовые поправки к классической гравитации обозначаются в виде петлевых диаграмм, как та, что показана на рисунке белым цветом. Если расширить Стандартную Модель, включив в неё гравитацию, симметрия, описывающая CPT (симметрия Лоренца) может стать только приблизительной, могут появиться её нарушения. Однако пока что в экспериментах таких нарушений не наблюдалось.

Но это не значит, что пространство-время не является реальной физической сущностью. Наблюдая актёров, играющих пьесу, вы вправе назвать то место, где идёт пьеса, сценой, будь то поле, платформа, голая земля и т.п. Даже если бы пьеса разыгрывалась в невесомости космоса, вы бы просто могли отметить, что в качестве сцены используется свободно падающая система отсчёта.

В физической Вселенной, насколько нам известно, невозможно существование объектов и взаимодействие между ними без пространства-времени. Где есть пространство-время, там работают законы физики, и существуют фундаментальные квантовые поля, лежащие в основе всего. В каком-то смысле, ничто это вакуум пустого пространства-времени, а разговор о том, что происходит в отсутствии пространства-времени, не имеет смысла по крайней мере, с точки зрения физики. Нет смысла говорить о где, лежащем за границами пространства, и когда, выходящем за границы времени. Возможно, что-то такое и существует, но физических концепций этой сущности у нас нет.


Анимация взаимодействия пространства-времени с массой, движущейся сквозь него. Из неё видно, что пространство-время это не просто некая ткань. Всё трехмерное пространство искривляется в присутствии массы и энергии. Несколько вращающихся друг вокруг друга масс порождают гравитационные волны.

Самое интересное, что у нас есть ещё много вопросов о природе пространства-времени, оставшихся без ответа. Являются ли пространство и время квантовыми и дискретными, разделёнными на невидимые участки, или же они непрерывны? Является ли гравитация квантовым взаимодействием, как все остальные известные силы, или это классическая, непрерывная ткань, тянущаяся вплоть до планковских масштабов? Если пространство-время отличается от того, что говорит нам ОТО, то как именно, и каким образом мы можем это обнаружить?

Но, несмотря на всё то, что пространство-время позволяет нам предсказать и узнать, оно не является такой же реальной сущностью, как атом. Нельзя каким-то образом напрямую обнаружить пространство-время обнаружить можно только отдельные кванты материи и энергии, существующие в вашем пространстве-времени. Мы описали пространство-время в виде ОТО Эйнштейна, и она успешно предсказывает и объясняет все физические явления, когда-либо обнаруженные и измеренные нами. Однако вопрос о том, что оно собой представляет, и реально оно или нет, для современной науки пока остаётся открытым.
Подробнее..

Категории

Последние комментарии

  • Имя: Макс
    24.08.2022 | 11:28
    Я разраб в IT компании, работаю на арбитражную команду. Мы работаем с приламы и сайтами, при работе замечаются постоянные баны и лаги. Пацаны посоветовали сервис по анализу исходного кода,https://app Подробнее..
  • Имя: 9055410337
    20.08.2022 | 17:41
    поможем пишите в телеграм Подробнее..
  • Имя: sabbat
    17.08.2022 | 20:42
    Охренеть.. это просто шикарная статья, феноменально круто. Большое спасибо за разбор! Надеюсь как-нибудь с тобой связаться для обсуждений чего-либо) Подробнее..
  • Имя: Мария
    09.08.2022 | 14:44
    Добрый день. Если обладаете такой информацией, то подскажите, пожалуйста, где можно найти много-много материала по Yggdrasil и его уязвимостях для написания диплома? Благодарю. Подробнее..
© 2006-2024, personeltest.ru