Эйнштейн

Перевод Человек, подчинивший себе половину частиц во Вселенной

24.09.2020 20:09:56 |

Автор: admin

Мы живем буквально в преддверии эпохи квантовых компьютеров. Первые экспериментальные машины уже прямо сейчас доступны для тестирования благодаря облачным технологиям и об этом мы отдельно поговорим в конце статьи.

Но имя одного из крупнейших физиков XX века, плоды работы которого мы пожинаем сейчас, спустя 100 лет, часто остается за кадром. Шатьендранат Бозе мало кому известен за пределами родной страны. Западные СМИ вспоминают его исключительно в паре с Эйнштейном, ограничиваясь только фамилией.

Перед вами биография ученого из Индии, патриота и мыслителя. Он сделал для своей страны не меньше, чем его современница Ся Пейсу для Китая.

Страну создают не только её культура и традиции. Крупнейшие государства покоятся на плечах ученых, которые, подобно атлантам, закладывают фундамент для будущего процветания своих сограждан.

Человек, которому подчиняется половина частиц во Вселенной именно так однажды профессор физики представил Шатьендраната Бозе своим студентам. Бозе был ученым-энтузиастом. Эрудитом, заложившим основы статистики Бозе Эйнштейна и теории конденсата Бозе Эйнштейна.

Несколько крупных ученых получили Нобелевскую премию за исследования, связанные с областью науки, которую фактически открыл Бозе. Однако его самого премия обошла. Есть ли повод для грусти? Вряд ли. Титул повелителя половины частиц во вселенной сам по себе значит немало.

Ранние годы жизни

Шатьендранат Бозе родился 1 января 1894 года в Калькутте. Он был старшим сыном в большой и сравнительно небедной семье, у него было семь младших сестер. С малых лет Бозе проявлял недюжинные способности к учебе и жаждал знаний.

Его отец, Шурендранат, работал бухгалтером и всеми силами поощрял способности сына. Каждое утро, уходя на работу, он записывал на полу веранды домашнее задание для сына арифметические задачи. Бозе решал их и вечером с гордостью показывал готовые примеры отцу.

В возрасте 13 лет мальчика отдали в известную школу в Центральной Калькутте. Там способности Шатьендраната также не остались без внимания. Учителя признавали, что в области математики и естественных наук ему не было равных и это в престижной школе, где и преподаватели, и ученики были как на подбор.

В 1909 году, когда ему шел шестнадцатый год, Бозе принял решение пройти промежуточный курс естественных наук в Президентском университете.

А тем временем на Западе Альберт Эйнштейн уже был заслуженно известен своей специальной теорией относительности, опубликованной в 1905 году.

Преподавателями Шатьендраната в Президентском колледже были знаменитые Джагадиш Чандра Бос и сэр Прафулла Чандра Рэй. В 17 лет он успешно сдал промежуточные экзамены и спустя два года стал бакалавром наук в области математики. Стоит ли говорить, что Шатьендранат снова был лучшим в своем классе.

В 1915 году в возрасте 21 года Бозе стал магистром прикладной математики Калькуттского университета. При этом ему удалось установить абсолютный рекорд среднего балла 92%.

На Западе началась Первая мировая Война. Альберт Эйнштейн публикует общую теорию относительности.

Логичным продолжением карьеры любого ученого является получение докторской степени. Любого, но не Бозе. Это было бы слишком просто. Докторской диссертации он предпочел преподавание. С 1916 по 1921 год он читал лекции студентам физического факультета университета Калькутты.

Приблизительно в это время в руки Бозе попала только-только опубликованная общая теория относительности. Труд Эйнштейна очаровал Бозе настолько, что, заручившись помощью своего друга, он в кратчайшие сроки перевел научные работы Эйнштейна с немецкого языка на английский и опубликовал их сборник.

Отдельно отметим, что Бозе был полиглотом. Он хорошо знал множество языков. Среди них бенгали, английский, французский, немецкий и санскрит.

В том же 1921 году Эйнштейн был удостоен Нобелевской премии за заслуги в области теоретической физики. В частности за объяснение фотоэффекта. Это был поворотный шаг в развитии квантовой теории. И вряд ли во всей Индии нашелся бы более преданный фанат Эйнштейна, чем Бозе.

Прорыв

В том же году Бозе покинул родную Калькутту и устроился лектором на физическом факультете Университета Дакки (Бангладеш). Вот что он говорил о ситуации в университете в письме своему другу:

Прошло уже больше месяца со дня моего переезда в твою часть страны. Работа все еще не началась. В университете было ценных вещей, однако из-за тотальной халатности они пришли в удручающее состояние. Кроме того, мы страдаем от нехватки научной прессы. Руководство пообещало оформить несколько подписок и приобрести старые номера. Поговаривают даже об отдельной научной библиотеке

Благодаря стараниям Бозе в университете открылись новые кафедры и лаборатории в частности, продвинутые курсов для студентов факультетов физики и химии. Своим студентам Бозе читал лекции по термодинамике и классическому электромагнетизму.

Как раз во время одной из своих лекций Бозе почувствовал, что существующие выводы из закона излучения Планка неполны. После долгих раздумий и консультаций с коллегами Бозе опубликовал статью, в которой без использования классической физики он приходит к тем же результатам, что и сам Планк. Это был настоящий прорыв. Поначалу выведенная им формула была отвергнута учеными как радикальная и противоречащая консервативным научным взглядам. Но он не унывал. Вместо этого он отправил свою статью непосредственно Альберту Эйнштейну в Германию.

В каком-то смысле Бозе помог Эйнштейну возродить свою научную карьеру. Иронично пионер квантовой революции в начале 1920-х активно препятствовал ей. Письмо Бозе оказалось отрезвляющим глотком свежего воздуха и заняло внимание великого ученого.

Эйнштейн сразу же осознал, какое значение имеет письмо от молодого индийского физика. Его стараниями статья Бозе была переведена на немецкий и опубликована в Zeitschrift fr Physik, популярном немецком научном издании. Так родилась статистика Бозе Эйнштейна.

Эйнштейн был крайне впечатлен тем, что ради научного прогресса никому не известный молодой ученый из Индии решился отправить ему свою спорную статью. Позднее он писал Бозе: Ваша статья важный шаг вперед. И она мне очень нравится!.

Чем больше Эйнштейн размышлял о статье, тем сильнее она влияла на его мировоззрение. Причина, по которой работа Бозе дала точные результаты, крылась в том, что, поскольку фотоны неотличимы друг от друга, нельзя рассматривать любые два фотона с одинаковой энергией как два разных фотона. Это довольно простая для понимания мысль. Рассмотрим пример.

Вы одновременно подбрасываете две различимые и несмещенные монеты в воздух. Существует 4 возможных результата:

Вероятность того, что выпадет два орла составляет всего 1/4. Но все меняется, если сделать монеты неотличимыми друг от друга. В этой ситуации возможны уже три исхода: одновременно два орла, одновременно две решки и орел + решка. Таким образом, шанс выпадения двух орлов увеличивается до 1/3. В мире статистики Бозе вероятность возникновения тех или иных событий может отличаться от наших ожиданий.

Эйнштейн осознал важность этого предположения даже раньше, чем сам Бозе. Он воспринял идею индийского ученого и распространил её на атомы. Это позволило Эйнштейну предсказать существование феномена, известного нам как конденсат Бозе Эйнштейна.

Конденсат Бозе Эйнштейна это так называемое пятое состояние материи. В нем каждый атом становится неотличим от других, и образуется гигантский суператом. В обычном газе атомы находятся в беспорядочном движении с очень высокой скоростью, в то время как в случае с конденсатом Бозе Эйнштейна они остаются вместе в состоянии совершенной гармонии.

Только в 1995 году, спустя 70 лет после того, как было сделано это предсказание, ученым удалось обнаружить существование конденсата Бозе Эйнштейна.

Эта работа стала для Бозе ключом к сотрудничеству с самыми видными учеными Европы тех лет. Для этого он подал заявление на двухлетний отпуск. Университет отпустил Бозе только после того, как он показал вице-канцлеру университета благодарственное письмо от Эйнштейна.

По прибытии в Париж Бозе написал своему кумиру:

Университет предоставил мне двухгодичный отпуск. Всего неделю назад я впервые приехал в Париж. Не знаю, получится ли у меня продолжить свою работу под вашим руководством в Германии. Однако, если вы согласитесь стать моим руководителем, исполнится моя давняя мечта.

С нетерпением Бозе ждал, что Эйнштейн ответит на его просьбу. В то же самое время ему посчастливилось познакомиться с Марией Кюри и помочь ей провести некоторые измерения пьезоэлектрического эффекта. Затем Морис де Бройль лично ознакомил Бозе с дифракцией рентгеновских лучей и спектроскопией. Наконец, пришел ответ от Эйнштейна:

Искренне благодарен вам за письмо. Рад, что скоро у меня будет возможность познакомиться с вами лично.

Бозе отправился в Берлин. Поработать с самим Эйнштейном у него не вышло, однако встреча с мэтром принесла свои плоды. Эйнштейн написал для Бозе рекомендательное письмо. Это позволило ему познакомиться с лучшими немецкими учеными: Фрицем Габером, Лизой Мейтнер и Максом Борном.

В 1926 году Бозе вернулся в Дакку. Ему было 32 года, но без докторской степени он не мог претендовать на должность профессора. Ситуацию спасло все то же письмо Эйнштейна: Бозе был назначен главой факультета физики университета Дакки.

Знания, полученные в Европе, помогли Бозе реформировать университет. Он самостоятельно разработал оборудование для лаборатории рентгеновской кристаллографии. Построил массу других лабораторий, выбил у руководства бюджет на строительство библиотеки. Под его руководством также был открыт центр исследований в области унифицированных теорий поля. Вплоть до 1945 года Бозе продолжал активную работу на факультете.

Когда раздел Индии стал неизбежен, ему пришлось вернуться в Калькутту. Отделение Пакистана виделось ему огромной раной в сердце любимой страны. Из-за депрессии у Бозе не получалось сосредоточиться на научных изысканиях.

Он преподавал в родном городе до самой пенсии. Новаторские идеи принесли Бозе восхищенные отзывы Эйнштейна и коллег по цеху. Обеспечили место в пантеоне крупнейших ученых-физиков. Но мало кто знает о человеческих качествах Бозе. Он был не просто ученым, но человеком, который хотел постичь окружающий мир во всей его полноте, во всей сложности. И непосредственно научная работа была лишь малой частью его собственной вселенной.

Кроме того, он был страстным патриотом. Много сил он потратил на продвижение бенгальского как языка, на котором ведется преподавание. Бозе лично перевел десятки статей на бенгальский. Он считал своим долгом открыть науку своим соотечественникам на их родном языке.

Пенсия

В 62 года Бозе оставил работу и вышел на пенсию, получив статус почетного профессора. Последовали бесчисленные приглашения на крупные мероприятия и вечеринки. Бозе отвергал большую часть приглашений. Не хватало ставшего привычным удовольствия от науки. Постоянного поиска новых знаний и свершения открытий. Поэтому спустя короткое время он вернулся в Калькуттский университет и продолжил исследования в области ядерной физики, органической химии и единой теории поля. Здесь он был на своем месте.

Как раз в это время Поль Дирак, знаменитый физик, посетил Калькутту вместе со своей женой. Примечательна история одной из совместных поездок Бозе и Дирака.

Комфортное заднее сиденье в машине получили Дирак и его супруга. Крупный Бозе сел впереди, рядом с водителем. В попутчики Бозе взял двух своих учеников. Каким-то образом всем удалось разместиться рядом с Бозе на переднем сиденье. На удивленный вопрос о том, не тесновато ли им, Бозе рассмеялся и обезоруживающим тоном ответил: Мы верим в статистику Бозе-Эйнштейна. А, как пояснил Дирак удивленной жене, в статистике Бозе-Эйнштейна всё очень тесно связано.

Именно Дирак, ставший близким другом Бозе, предложил термин бозон в память о вкладе ученого в теоретическую физику.

В 1958 году Бозе избрали членом Лондонского Королевского Общества. Год спустя правительство назначило его национальным профессором. Бозе занимал эту должность вплоть до своей кончины. Как уже было сказано выше, Нобелевскую премию он так и не получил. Когда Бозе спросили, что он думает по этому поводу, он скромно ответил: Я получил всё признание, которого заслуживаю.

Он умер в Калькутте в возрасте 80 лет. С ним ушла целая эпоха. Без натяжки можно сказать, что Шатьендранат Бозе один из величайших физиков Индии. И не только на основании его научных достижений, но и потому что он искренне любил свою страну.

Новость вместо заключения

В самом начале статьи мы обещали, что еще вернемся к теме квантовых вычислительных систем. Современные технологии делают доступным то, что когда-то можно было увидеть только в крупных научных лабораториях. Уже не первый год существуют квантовые вычислительные системы, доступ к которым обеспечивается облачными решениями.

В начале сентября стало известно о еще одном перспективном проекте. Исполнит ли он собственные обещания или окажется очередным журналистским квантовым утенком, покажет время. Приведем здесь короткое описание канадского проекта Xanadu.

2 сентября компания Xanadu (Занаду) из Торонто объявила о запуске первой в мире общедоступной платформы фотонных квантовых вычислений. Клиенты платформы смогут получить доступ к 8-, 12- и (в ближайшем будущем) к 24-кубитным машинам через облако.

По словам Кристиана Уидбрука, основателя и генерального директора Xanadu, каждые шесть месяцев компания собирается удваивать количество кубитов в своих облачных системах. В ближайшие месяцы Xanadu планирует опубликовать документ о фотонных квантовых вычислений, который, по сути, будет представлять из себя учебник о том, как масштабироваться до миллионов кубитов.

Принцип работы Xanadu, квантовые вычисления с непрерывными переменными, не использует генераторы одиночных фотонов. Вместо них применяются так называемые сжатые состояния, состоящие из суперпозиций множества фотонов.

Подробнее..

Категории: Биографии гиков , Научно-популярное , Квантовые технологии , История it , Блог компании ит-град , Эйнштейн , Индия , Бозон , Бозе , Бозе-конденсат

Перевод Спросите Итана космологическая постоянная Эйнштейна и тёмная энергия это одно и то же?

30.01.2021 18:12:04 |

Автор: admin

В отдалённом будущем Вселенную могут ожидать различные варианты судеб, но если тёмная энергия и правда постоянная а об этом свидетельствуют все данные то её развитие продолжит идти по красной кривой. Эта кривая приведёт Вселенную к варианту тепловой смерти. Однако тёмная энергия не обязательно должна быть космологической постоянной.

Одна из самых загадочных составляющих Вселенной тёмная энергия. Честно говоря, её вообще не должно было быть. Раньше мы довольно логично предполагали, что Вселенная сбалансирована, и что её расширению противодействуют силы гравитации, действующие на всё, что в ней есть. Если гравитация выиграет, Вселенная снова сколлапсирует. Если выиграет расширение, всё разлетится в небытие. Однако сделанные после 1990 года наблюдения говорят о том, что расширение не просто выигрывает удалённые галактики удаляются от нас со всё возрастающей скоростью. Однако можно ли назвать это новой идеей, или же это просто воскрешение того, что Эйнштейн назвал когда-то своей величайшей ошибкой: космологической постоянной ? Такой вопрос задаёт наш читатель:

Космологическая постоянная Эйнштейна и тёмная энергия это одно и то же? Почему со временем термин тёмная энергия заменил изначальный термин космологическая постоянная? Идентичны ли они, или нет, и почему?

Тут есть несколько вопросов. Давайте вернёмся назад, к изначальной идее Эйнштейна, космологической постоянной.

Сегодня мы знаем, что значительная часть галактик, отличных от Млечного Пути, имеют спиралевидную форму. Все спиральные туманности, которые мы изучали с 1920-х годов, представляют собой другие галактики. Однако во времена Эйнштейна это было далеко не очевидно.

Необходимо помнить, что когда Эйнштейн работал над теорией гравитации, которая должна была заменить и вытеснить закон всемирного тяготения Ньютона, нам мало что было известно о Вселенной. Конечно, астрономия существовала уже тысячи лет, и телескопы были в ходу значительную часть этого срока. Мы измеряли звёзды, кометы, астероиды, туманности. Мы видели рождение новых и сверхновых. Мы открывали переменные звёзды и атомы. Мы обнаруживали интересные структуры в небе спиральные и эллиптические.

Но мы не знали, что эти спирали и эллипсы были самостоятельными галактиками. Эта идея была лишь второй по популярности; лидировало мнение о том, что это некие сущности (возможно, формирующиеся звёзды), находящиеся внутри Млечного Пути, который представлял собой всю вселенную. Эйнштейн искал такую теорию гравитации, которую можно было бы применить ко всему сущему включая и всю известную Вселенную.

Гравитационное поведение Земли вблизи Солнца лучше объясняется не наличием невидимого гравитационного притяжения, а свободным падением Земли в искривлённом Солнцем пространстве. Кратчайшее расстояние между двумя точками не прямая линия, а геодезическая кривая линия, определяемая гравитационной деформацией пространства-времени.

Проблема стала очевидной, когда Эйнштейну удалось сформулировать своё величайшее достижение: общую теорию относительности (ОТО). Вместо того, чтобы полагаться на массы, бесконечно быстро воздействующие друг на друга на бесконечных расстояниях, Эйнштейн представил совершенно другую концепцию. Во-первых, поскольку пространство и время были не абсолютными, а относительными для каждого из наблюдателей, теория должна была делать идентичные предсказания для всех наблюдателей: как говорят физики, быть "релятивистски инвариантной". А это означало, что отдельные понятия пространства и времени необходимо было сплести в единую четырёхмерную ткань пространства-времени. Гравитационные эффекты уже распространялись не с бесконечной скоростью, а ограничились скоростью гравитации, которая, по теории Эйнштейна, равняется скорости света.

Ключевым прорывом Эйнштейна стала замена притягивающих друг друга масс на искривление пространства-времени, действующее как на материю, так и на энергию. Искривлённое пространство-время диктовало материи и энергии, как им нужно двигаться. А материя и энергия в каждый момент времени говорят пространству, как ему изгибаться. И так они воздействуют друг на друга после каждого сдвига материи и энергии немного меняется кривизна пространства. Их изменениями управляют уравнения общей теории относительности.

Анимация реакции пространства-времени на движущуюся в нём массу. Она позволяет представить себе пространство-время не как двумерную ткань, а как реальный объект. Трёхмерное пространство искривляется из-за наличия и свойств материи и энергии. Движение нескольких масс вокруг друг друга вызывает гравитационные волны.

Если бы Эйнштейн на этом и остановился, он бы запустил космическую революцию. С одной стороны (так сказать, с одной стороны знака равенства в уравнении) вся материя и энергия Вселенной. С другой стороны кривизна пространства-времени. На этом всё должно заканчиваться предсказания уравнения должны говорить о том, что произойдёт в будущем.

И когда Эйнштейн решал эти уравнения для большого расстояния от небольшой массы, он получал закон всемирного тяготения Ньютона. Но при приближении к массе начинали вылезать поправки как объяснявшие до того необъяснимые отклонения орбиты Меркурия, так и предсказывавшие, что свет звёзд, проходящий мимо Солнца, должен отклоняться от прямой. Именно так впервые общую теорию относительности и подтвердили на практике.

Однако в другой ситуации возникла ещё одна проблема. Если предположить, что Вселенная равномерно заполнена материей, то из уравнений получается, что она нестабильна. Если она начала существовать в статичном пространстве-времени, то должна схлопнуться. Для исправления ситуации Эйнштейн изобрёл космологическую постоянную.

Если Вселенная не расширяется, её можно заполнить стационарной материей любого вида, но она всегда будет схлопываться в чёрную дыру. В контексте гравитации Эйнштейна такая Вселенная нестабильна, и должна расширяться.

Нужно понять, откуда берётся идея космологической постоянной. В математике есть мощнейший инструмент, повсеместно использующийся и в физике: дифференциальное уравнение. Это может быть что-то настолько простое, как закон Ньютона F = ma. Подобное уравнение просто объясняет, как некие величины поведут себя в следующий момент. После того, как этот момент прошёл, их можно подставить в то же уравнение, и оно снова предскажет, что произойдёт с ними в следующий момент.

Дифференциальное уравнение, к примеру, может рассказать, что случится с шаром, катящимся с холма. Оно говорит, какой у него будет путь, как он будет ускоряться, как его местоположение будет меняться во времени. Решая дифференциальное уравнение, описывающее движение шара, катящегося с холма, вы сможете точно построить его траекторию.

Дифференциальное уравнение скажет вам почти всё, что вам захочется узнать о шаре, катящемся с холма. Но оно не может сказать вам одного: насколько высоко находится холм. Вы не знаете, расположен ли этот холм на горном плато, заканчивается ли он на уровне моря, или в кратере потухшего вулкана. Одинаковые холмы, расположенные на разных высотах, будут описываться одним и тем же дифференциальным уравнением.

Шар, едва балансирующий на вершине холма, являет пример нестабильного равновесия. Гораздо стабильнее для шара быть где-нибудь в низине. Но какое значение высоты этой низины ноль, положительное или отрицательное? Математика качения шара с холма будет идентичной вплоть до константы, обозначающей эту высоту.

Похожая проблема возникает в матанализе, когда вы впервые учитесь брать неопределённый интеграл печально известная плюс константа, которую нужно добавлять в конце. Конечно, ОТО это не одно дифференциальное уравнение, а матрица из 16 дифференциальных уравнений, 10 из которых друг от друга не зависят. Но к каждому из них можно определённым образом добавить константу она и стала известной, как космологическая постоянная. Возможно, вы удивитесь, но это единственное, что можно прибавить к ОТО без фундаментального изменения сути теории (кроме ещё одной формы материи или энергии).

НО Эйнштейн добавил к своей теории космологическую постоянную не потому, что это можно было сделать, но потому, что с его точки зрения это было предпочтительнее. Без добавления константы его уравнения говорили, что Вселенная должна расширяться или сжиматься, но ничего подобного заметно не было. И вместо того, чтобы поверить уравнениям, Эйнштейн ввёл в них константу, чтобы исправить казавшуюся сломанной ситуацию. Прислушайся он к уравнениям, он предсказал бы расширение Вселенной. Вместо этого работы других учёных опровергли выбор Эйнштейна, а он сам отказался от космологической постоянной только в 1930-х годах, когда расширение Вселенной подтвердили наблюдения.

В процессе расширения Вселенной обычная и тёмная материи, а также излучение, становятся менее плотными. Однако тёмная энергия и энергия поля во время инфляции присущи самому пространству. Поэтому плотность тёмной энергии остаётся постоянной.

Проблема в том, что космологическая постоянная не похожа на известные нам формы энергии. Возьмём материю во Вселенной присутствует постоянное количество её частиц. С расширением Вселенной оно не меняется, поэтому её плотность падает. Если взять излучение, то там не только количество квантов постоянно, но и излучение, путешествуя по расширяющейся Вселенной, растягивается с точки зрения наблюдателя, который его когда-нибудь уловит. Плотность его падает, а каждый квант со временем ещё и теряет энергию.

Но космологическая постоянная это постоянная форма энергии, присущая самому пространству. Это как если бы поверхность Земли была не на уровне моря, а приподнялась бы на несколько метров. Да, эту новую высоту можно было бы просто назвать уровнем моря, но со Вселенной так не получится. Нет способа узнать величину значения космологической постоянной мы просто предположили, что она нулевая. Но это не обязательно она может иметь любое значение, положительное, отрицательное, или нулевое.

Различные компоненты и вклады в плотность энергии Вселенной, и их относительное доминирование. Излучение доминировало над материей в первые 9000 лет, потом стала доминировать материя, а затем вперёд вышла космологическая постоянная. Всех остальных составляющих слишком мало. Однако тёмная энергия может оказаться не эквивалентной космологической постоянной.

Экстраполируя назад по времени, к более ранней, горячей, плотной и мелкой Вселенной, мы можем и не заметить космологической постоянной. На ранних этапах её значительно превосходили материя и излучение. Только после того, как Вселенная расширилась и охладилась, плотность материи и энергии упали достаточно для того, чтобы космологическая постоянная смогла проявиться.

Это если она вообще существует.

Тёмная энергия может оказаться космологической постоянной. И, действительно, учитывая все сегодняшние наблюдения, кажется, что так и есть изменение скорости расширения Вселенной со временем проходит так, как диктует космологическая постоянная. Однако тут есть свои погрешности, поэтому тёмная энергия может со временем, в принципе:

увеличиваться или уменьшаться,
менять плотность энергии,
развиваться каким-то новым сложным способом.

Хотя у нас есть ограничения на значения величин тёмной энергии за последние 6 млрд лет, мы не можем с абсолютной точностью назвать её постоянной.

Плотность материи, излучения и тёмной энергии хорошо известны. Однако для тёмной энергии в уравнениях всё ещё остаётся много пространства для манёвра. Она может оказаться постоянной, но может и меняться со временем.

Нам, конечно, хотелось бы знать, постоянная она или нет. И мы будем выяснять это, как обычно делается в науке улучшая наблюдения и проводя их последовательно. Ключом к этому служат большие наборы данных, а также зондирование Вселенной в широком спектре расстояний. Ведь все мельчайшие подробности изменения скорости расширения Вселенной по времени нам помогает выяснять то, как менялся свет, путешествующий через Вселенную. Если тёмная энергия будет точно равняться космологической постоянной, то её развитие будет следовать определённой кривой. Если нет то другой, и мы сможем это увидеть.

К концу 2020-х годов у нас будет огромный и сложный наземный комплекс для наблюдения за Вселенной. Всё благодаря обсерватории им. Веры Рубин, которая превзойдёт достижения всех существующих инструментов таких, как Pan-STARRS и Слоановский обзор неба. У нас будет огромный набор космических наблюдений благодаря европейской обсерватории Евклид и телескопу Нэнси Роман от НАСА они смогут увидеть в 50 раз больше подробностей, чем видит телескоп Хаббла. Все эти новые данные помогут нам определить, действительно ли тёмная энергия идентична тому, что предсказывает космологическая постоянная, и изменяется ли она во времени.

Вместо того чтобы добавлять в уравнение космологическую постоянную, сегодня тёмную энергию считают ещё одним энергетическим компонентом расширяющейся Вселенной. В такой обобщённой форме уравнение явно показывает невозможность существования статичной Вселенной, а также помогает увидеть разницу между добавлением космологической постоянной и включением в уравнение обобщённой формы тёмной энергии.

Существует большое искушение иногда и я этим грешу объединить два этих понятия и считать, что тёмная энергия это просто космологическая постоянная. Понятно, почему так хочется сделать космологическая постоянная уже является частью ОТО, и её не нужно отдельно объяснять. Более того, мы не знаем, как подсчитывать нулевую энергию пустого пространства в квантовой теории поля, а она вносит точно такой же вклад во Вселенную, как и космологическая постоянная. Наконец, все наши наблюдения соответствуют тому, что тёмная энергия является космологической постоянной, и ничего больше усложнять не нужно.

Однако именно из этого следует чрезвычайная важность новых измерений. Если бы мы не озаботились тщательным и точным измерением Вселенной, мы бы так и не открыли теорию относительности. Мы бы не обнаружили квантовую физику, не провели бы большую часть исследований, заслуживших нобелевские премии и продвинувшие нас в XX и XXI веках. Через 10 лет у нас будут данные, которые помогут определить, отличается ли тёмная энергия от космологической постоянной с погрешностью в 1%.

Слева вверху область видимости телескопа Хаббл сегодня. Сравните с областью, которую сможет увидеть телескоп Нэнси роман (бывший WFIRST) причём с таким же разрешением и за такое же время. Такое широкое поле зрения позволит нам собрать данные по большему количеству удалённых сверхновых, чем мы когда-либо собирали. Мы сможем проводить глубокие и широкие наблюдения за галактиками на огромных масштабах. Если тёмная энергия отличается от космологической постоянной хотя бы на 1%, мы узнаем об этом через десять лет.

Космологическая постоянная может оказаться идентичной тёмной энергии, но это не обязательно. И даже если они окажутся одним и тем же, нам всё равно захочется понять, почему космологическая постоянная ведёт себя так, а не иначе. В наступившем 2021 году важно помнить, что ответы на самые глубокие наши космические вопросы можно разглядеть на лице Вселенной. Единственный способ получить их обратиться к самой физической реальности.

Подробнее..

Категории: Астрономия , Научно-популярное , Физика , Общая теория относительности , Эйнштейн , Тёмная энергия , Космологическая постоянная

Перевод Черные дыры могут иметь волосы. Эйнштейн не прав?

22.02.2021 16:14:10 |

Автор: admin

Недавно проведенное исследование американских физиков об экстремальных черных дырах может опровергнуть знаменитую теорему об отсутствии волос.

Согласно общей теории относительности Эйнштейна, черные дыры обладают только тремя наблюдаемыми свойствами: массой, спином (момент импульса) и зарядом. Дополнительных характеристик, или, как называют их физики, волос, не существует.

Чтобы объяснить идею, представим однояйцевых близнецов. Они имеют одинаковый генотип, это генетические копии, но даже такие близнецы будут различаться множеством вещей: от темперамента до прически. Черные дыры, согласно теории гравитации Альберта Эйнштейна, могут иметь всего три характеристики: массу, спин и заряд. Если эти значения одинаковы для любых двух черных дыр, то они идентичны, будет невозможно отличить одну от другой. У черных дыр нет волос.

Согласно классической общей теории относительности, такие черные дыры были бы абсолютно идентичны, отмечает Пол Чеслер, физик-теоретик из Гарвардского университета.

Однако ученые задаются вопросом, верна ли теорема об отсутствии волос. В 2012 году математик Стефанос Аретакис, работавший тогда в Кембриджском университете, а теперь в Университете Торонто, предположил, что некоторые черные дыры могут иметь нестабильности (instabilities) на горизонте событий.

Нестабильности придали бы одним участкам горизонта черной дыры более сильное гравитационное притяжение, чем другим. Получается, что в таком случае даже идентичные черные дыры будут различимыми.

Однако уравнения Аретакиса показали, что это возможно только для так называемых экстремальных черных дыр тех, которые имеют максимально возможное значение для массы, спина или заряда. И, по словам Чеслера, такие черные дыры не могут существовать в природе.

Но допустим, что есть почти экстремальная черная дыра, которая приближается к максимальным значениям, но не достигает их. Такая черная дыра может существовать, по крайней мере, теоретически. Опровергнет ли это теорему об отсутствии волос?

В докладе, опубликованном в конце января, показано, что это возможно.

Более того, земные детекторы гравитационных волн могут уловить такие волосы.

Аретакис предположил, что существует некоторая информация, которая остается на горизонте событий, прокомментировал Гаурав Ханна, физик из Массачусетского университета и Университета Род-Айленда, один из соавторов исследования.

Ученые предполагают, что свидетельства образования черной дыры или более поздних возмущений горизонта событий (например, падение вещества в черную дыру) могут создавать гравитационную нестабильность на горизонте событий почти экстремальной черной дыры или рядом с ним.

Мы предполагаем, что гравитационный сигнал, который мы обнаружим, будет сильно отличаться от обычных черных дыр, которые не являются экстремальными, говорит Ханна.

Если у черных дыр есть волосы, значит сохраняется некоторая информация об их прошлом, это затронет и знаменитый информационный парадокс черных дыр, который сформулирован Стивеном Хокингом, как отмечает Лия Медейрос, астрофизик из Института перспективных исследований в Принстоне.

Этот парадокс обнажает фундаментальный конфликт между общей теорией относительности и квантовой механикой, двумя столпами физики XX века.

Если опровергнем одно из условий информационного парадокса, мы сможем решить сам парадокс. Одно из условий это теорема об отсутствии волос.

Последствия этого открытия будут значительным. Если мы сможем доказать, что реальное пространство-время черной дыры за пределами черной дыры отличается от того, что мы ожидаем увидеть, тогда, я думаю, это будет иметь действительно огромное значение для общей теории относительности, сказала Медейрос, соавтор октябрьского доклада, который посвящен тому, соответствует ли наблюдаемая геометрия черных дыр предположениям.

Однако, пожалуй, самым захватывающим моментом исследования является то, что оно открывает путь, как объединить наблюдения за черными дырами и фундаментальную физику. Обнаружение волос на черных дырах, пожалуй, на самых экстремальных астрофизических лабораториях во Вселенной, может позволить исследовать такие идеи, как теория струн и квантовая гравитация, таким способом, каким раньше это было невозможно.

Оказывается, уравнения Эйнштейна настолько сложны, что мы ежегодно открываем новые их свойства.

Пол Чеслер

Одна из больших проблем с теорией струн и квантовой гравитацией заключается в том, что эти предположения сложно проверить, утверждает Медейрос, так что, если у нас есть что-то, что можно проверить даже удаленно, это просто потрясающе.

Однако встречаются и серьезные препятствия. Нет уверенности в существовании почти экстремальных черных дыр. По словам Чеслера, в лучших моделях на данный момент обычно образуются черные дыры, которые на 30% отличаются от экстремальных значений. И даже если почти экстремальные дыры существуют, не совсем понятно, достаточно ли чувствительны детекторы гравитационных волн для определения нестабильности по волосам.

Более того, предполагается, что волосы крайне скоротечны, они длятся доли секунды.

Но сам доклад выглядит основательным. Я не думаю, что кто-то в сообществе сомневается в этом, сказал Чеслер.

Следующий этап посмотреть, какие сигналы мы будем обнаруживать с помощью детекторов гравитационных волн: сейчас мы работаем с LIGO и Virgo, но запускается новые инструменты, например, LISA, совместный эксперимент Европейского космического агентства и НАСА по исследованию гравитационных волн.

Теперь следует опираться на их работу и действительно вычислить, какой будет частота гравитационного излучения. Важно понять, как мы можем измерить и идентифицировать его, отмечает Хельви Витек, астрофизик из Университета Иллинойса, Урбана-Шампейн.

Хотя шансы на обнаружить волосы не так велики, такое открытие поставит под сомнение общую теорию относительности Эйнштейна и докажет существование почти экстремальных черных дыр.

Мы хотели бы знать, позволяет ли природа существовать такому зверю, говорит Ханна.

Подробнее..

Категории: Астрономия , Научно-популярное , Чёрные дыры , Эйнштейн , Блог компании timeweb , Timeweb , Теория относительности

Космология. Подробный разбор решения Фридмана

09.07.2020 16:21:19 |

Автор: admin

Habritants! Когда в процессе моего ознакомления с темой решения уравнений общей теории относительности для метрики Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера выяснилось, что единого транспарентного материала на эту тему на русском языке нет, я решил запостить разбор в виде статьи, заодно ещё раз самому лучше вникнув в тему.
Всем желающим найти собственное решение уравнений общей теории относительности Эйнштейна или просто лучше понять бытие посвящается.

В статье О кривизне пространства , в которой Фридман впервые приводит решение ОТО для нестационарной Вселенной, Александр Александрович указывает лишь метрику в виде интервала и уравнения-результат, справедливо полагая само решение не заслуживающей внимания рутиной.
Но в поисках вариаций на тему рутина горит как кокс. Поэтому в путь.

Для понимания материала необходимы знания алгебры: понятие о производных в большей степени; тензорная в меньшей.

Метрика

Рассмотрим получение метрики FLRW, которая по сути является основанием решения Фридмана, начав с упрощённого случая. Полностью и достаточно подробно, но без пояснений, хорошо описано здесь (pdf).
I. Представим одномерное пространство $\psi$ , с протянутой внутри него осью $inline$ , равномерно искривлённым:

Можно сказать, что пространство $\psi$ является одномерной гиперповерхностью постоянной кривизны в двухмерном пространстве (x,y).
Зададим произвольную точку $inline$ в пространстве $\psi$ , тогда с одной стороны, длина перемещения из точки A в любую сторону пространства $\psi$ определяется формулой (1):

$display$

где $inline$ координаты в декартовой системе координат, смещённой относительно $\psi$ , то есть имеющей начало O вне рассматриваемого пространства.
С другой же стороны, кривизна $\psi$ характеризуется радиусом R, который задан формулой (2):

$display$

Продифференцируем (2), чтобы получить взаимозависимость скоростей изменения координат $inline$ и $inline$ : $inline$ . Или:

$dy=-\frac{xdx}{y}$

Заметки на полях. Форма зависимости $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$ замечательно резонирует с отношением из доказательства Харди теоремы Пифагора: $\frac{dc}{da}=\frac{a}{с}$ (a катет, c гипотенуза).
В нашем случае катеты нелинейно перерастают друг в друга при постоянной гипотенузе.

Подставляем $inline$ отсюда в (1), и выражаем $inline$ через $inline$ : $dl^2=dx^2+dy^2=dx^2+\frac{x^2dx^2}{y^2}=dx^2+\frac{x^2dx^2}{R^2-x^2}$
$\frac{dl^2}{dx^2}=1+\frac{x^2}{R^2-x^2}=\frac{R^2}{R^2-x^2}$
Получим:

$\frac{dl^2}{dx^2}=\frac{1}{1-\frac{x^2}{R^2}}$

Если пространство плоское ( $R \rightarrow$ ) $\frac{dl^2}{dx^2}=1$ . Как если бы перед $inline$ был ноль.
Если пространство положительной кривизны, у длины появляется отклонение, зависящее от $inline$ . Множитель перед $inline$ в этом случае $inline$ .
Для отрицательной кривизны знак множителя надо изменить на отрицательный ( $inline$ ). Можно представить все три случая так:

$\frac{dl^2}{dx^2}=\frac{1}{1-k\frac{x^2}{R^2}}$

Чем дальше мы движемся в таком пространстве $\psi$ при неизменном радиусе кривизны $inline$ , тем хуже (проходим всё меньшее расстояние) у нас будет это получаться в сферическом пространстве, без изменений в плоском, и лучше (большее расстояние) в гиперболическом.

II. Расширим пространство $\psi$ до трёхмерного (x,y,z). Будем подразумевать, что радиус его кривизны $inline$ одинаков в каждой точке, как если бы оно было поверхностью 3-сферы все три оси скручены подобно оси $inline$ , образуя 3-сферу радиуса $inline$ . Произведём те же операции, что для одномерного варианта, чтобы получить уравнение для перемещения в трёхмерном пространстве (3):

Подробно вывод пространственной составляющей в декартовых координатах

$inline$ (1)
$inline$ дифференцируем и выражаем dw:
$dw^2=\left[ \frac{xdx+ydy+zdz}{w} \right]^2$
$inline$
$dw^2= \frac{\left[xdx+ydy+zdz \right]^2}{R^2 - x^2+y^2+z^2}$ подставляем в (1):

$dl^2=dx^2+dy^2+dz^2+\color{red}{\frac{(xdx+ydy+zdz)^2}{R^2-(x^2+y^2+z^2)}}$

Красным кривая часть, отличающая метрику FRW от плоской метрики пространства Минковского.
В таком представлении хорошо видно, что последнее кривое слагаемое по осям совсем никак впрямую не разнести, что, в свою очередь, приведёт к появлению недиагональных членов метрического тензора, а это значительно усложнит дальнейшие вычисления (или сделает невозможными, я не пробовал).
Поэтому надо искать обходной путь. Необходимо найти такое координатное представление, чтобы кривизна могла быть выражена отдельно для каждого базисного вектора.
Сферические координаты здесь отлично подходят для раздельного представления кривизны, потому что вторая и третья координата являются углами, и зависимы от кривизны линейно, вместо квадратичной зависимости декартовых координат. Что при первой координате качественно идентичной декартовым всё же даёт возможность выразить кривизну удобным образом (4), так что вся она сворачивается в знаменатель множителя при первой координате в виде составляющей $inline$ :

Подробно переход к сферическим координатам и получение представления

$$display$$\vec{r}=\left( \matrix{x\cr y\cr z} \right) = \left( \matrix{r\sin\theta\cos\phi\cr r\sin\theta\sin\phi\cr r\cos\theta} \right)$$display$$

красным здесь снова кривая часть:
$dl^2=dx^2+dy^2+dz^2+\color{red}{\frac{(xdx+ydy+zdz)^2}{R^2-(x^2+y^2+z^2)}}=$
$= dr^2+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2+\color{red}{\frac{(\vec{r}\cdot d\vec{r})}{R^2-r^2}} =$
$= dr^2+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2+\color{red}{\frac{r^2\cdot dr^2}{R^2-r^2}} =$
$= \left[ \color{red}{\frac{r^2}{R^2-r^2}}+1 \right] dr^2 +r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2 =$
$= \left[ \frac{R^2}{R^2-\color{red}{r^2}} \right] dr^2 +r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2 =$

$dl^2=\color{red}{\frac{1}{1-k\frac{r^2}{R^2}}}dr^2+\color{green}{r^2}d\theta^2+\color{blue}{r^2\sin^2\theta} d\phi^2$

где
$inline$ линейная координата (первая),
$d\theta, d\phi$ угловые координаты (вторая и третья),
$inline$ ;
и получается, что члены метрического тензора, выделенные цветом (по очереди красный, зелёный, синий):
$\gamma_{11}=\left( 1-k\frac{r^2}{R^2} \right)^{-1}$
$\gamma_{22}=r^2$
$\gamma_{33}=r^2\sin^2\theta$
это диагональные члены метрического тензора.

III. Всё? Нет.
Произведём замену первой координаты $inline$ , выразив её через радиус кривизны: $inline$ ; $inline$ .
Подставим в (4), и получим сопутствующие координаты с сопутствующим расстоянием $inline$ , что удобно для расширяющейся Вселенной и изменяющегося $inline$ (5):

$dl^2=R^2 \left[ \color{red}{\frac{1}{1-kx^2}}dx^2+\color{green}{x^2}d\theta^2+\color{blue}{x^2\sin^2\theta} d\phi^2 \right]$

Заметки на полях. Последнюю замену $inline$ , $inline$ чисто математически можно интерпретировать как переход к углу (sic!) размера $inline$ , при этом $inline$ дуга длины $inline$ . Это важно. Я вернусь к этому в одной из следующих статей.

$\gamma_{11}=R^2/(1-kx^2)$
$\gamma_{22}=R^2x^2$
$\gamma_{33}=R^2x^2\sin^2\theta$

И вот он наш метрический тензор:

$$display$$\gamma_{ij}=\left[ \matrix{\gamma_{11}&\gamma_{12}&\gamma_{13}\cr\gamma_{21}&\gamma_{22}&\gamma_{23}\cr\gamma_{31}&\gamma_{32}&\gamma_{33}} \right]=\left[ \matrix{\frac{R^2}{1-kx^2}&0&0\cr0&R^2x^2&0\cr0&0&R^2x^2\sin^2\theta} \right]$$display$$

Тензор пространства-времени

Соберём нашу метрику пространства в интервал, добавив время в (5):

$ds^2=-dt^2+dl^2=\color{magenta}{-1}\cdot dt^2+R^2 \left[ \color{red}{\frac{1}{1-kx^2}}dx^2+\color{green}{x^2}d\theta^2+\color{blue}{x^2\sin^2\theta} d\phi^2 \right]$

Здесь предполагается, что за время $inline$ по оси $inline$ точка A перемещается в пространстве $\psi$ на $inline$ . Размерность оси времени равна $inline$ (скорость света), при которой $inline$ (светоподобный интервал равен нулю).
Получим тензор пространства-времени:

$$display$$g_{\mu\nu} = \left[ \matrix{-1&0&0&0\cr 0& \gamma_{11}&\gamma_{12}&\gamma_{13}\cr 0 &\gamma_{21}&\gamma_{22}&\gamma_{23}\cr 0&\gamma_{31}&\gamma_{32}&\gamma_{33}} \right] = \left[ \matrix{\color{magenta}{-1}&0&0&0\cr 0& \color{red}{\frac{R^2}{1-kx^2}}&0&0\cr 0 &0&\color{green}{R^2x^2}&0\cr 0&0&0&\color{blue}{R^2x^2\sin^2 \theta}} \right]$$display$$

Символы Кристоффеля второго рода

Для расчёта тензора кривизны нам необходимо определить символы Кристоффеля (коэффициенты связности).
I. Всё начинается с того, что некая точка (частица) движется в отсутствии сторонних сил (ускорение равно нулю) в декартовых координатах $inline$ :

$\frac{\partial^2 x^i}{\partial t^2} = 0$

где $inline$ .
Однако, если перейти к сферическим координатам $(x,y,z) \rightarrow (r,\theta,\phi)$ , это простое тождество впрямую работать уже не будет.
Необходимо сначала цивилизованно перейти к координатам $x'^j=(r,\theta,\phi)$ :

$\frac{\partial x^i}{\partial t} = \color{red}{\left( \frac{\partial x^i}{\partial x'^j} \right)} \frac{\partial x'^j}{\partial t}$

Красным члены матрицы трансформации (якобианы):

$$display$$\color{red}{\frac{\partial x^i}{\partial x'^j}}=\left( \matrix{\sin\theta\cos\phi&r\cos\theta\cos\phi&-r\sin\theta\sin\phi\cr\sin\theta\sin\phi&r\cos\theta\sin\phi&-r\sin\theta\cos\phi\cr\cos\theta&-r\sin\theta&0} \right)$$display$$

Осталось продифференцировать ещё раз по времени:

$\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial x^i}{\partial t}\right)=\frac{\partial}{\partial t}\left( \color{red}{\frac{\partial x^i}{\partial x'^j} } \frac{\partial x'^j}{\partial t}\right)$

Получим:

$\frac{\partial^2 x^i}{\partial t^2}=\color{red}{\frac{\partial x^i}{\partial x'^j}}\frac{\partial^2 x'^j}{\partial t^2}+\frac{\partial^2 x^i}{\partial x'^j \partial x'^k}\frac{\partial x'^j}{\partial t} \frac{\partial x'^k}{\partial t}=0$

Таким образом, получается условие отсутствия ускорения в сферических координатах. Мы можем лишь привести его к более удобному виду. В левом слагаемом якобиан остаётся нетронутым из-за прелести дифференцирования по частям, в правом слагаемом от якобиана берётся производная.
Видно, что если мы домножим последнее представление на инвертированный якобиан, мы освободим ускорение по одной из координат (зелёным), приведя его к виду исходного в декартовых:

$\color{green}{\frac{\partial^2 x'^l}{\partial t^2}} + \color{magenta}{\left[ \left( \left\{ \frac{\partial x}{\partial x'}\right\}^{-1}\right)_i^l \frac{\partial^2 x^i}{\partial x'^j \partial x'^k} \right]}\frac{\partial x'^j}{\partial t}\frac{\partial x'^k}{\partial t} = 0$

И вот та монструозная маджента, получившаяся в правом слагаемом в качестве множителя при производных координат $inline$ , и есть символ Кристоффеля второго рода (6):

$$display$$\Gamma^\color{red}{l}_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}=\left(\left\{ \frac{\partial x}{\partial x'}\right\}^{-1}\right)_i^\color{red}{l} \frac{\partial^2 x^i}{\partial x'^\color{green}{j} \partial x'^\color{blue}{k}}$$display$$

То есть символы Кристоффеля характеризуют метрику в том, насколько её форма искажает значение по каждой из координат при переносе некоторой точки относительно начала координат.
Ещё проще, символы Кристоффеля это множители базисных векторов, соответствующие их переносу в пространстве, заданном метрикой.

II. Несомненный плюс предыдущего способа представления коэффициентов связности в том, что он одновременно даёт понятие об уравнении геодезической. Но, возможно, кому-то будет понятнее вариант представления символов Кристоффеля через дифференцирование базисных векторов. Очень понятно расписано в книге Ю.А. Аменадзе Теория упругости (pdf, параграф 4).
Дело в том, что изменение метрики от точки к точке означает изменение базисных векторов в этих точках. Удобно выразить изменение базисного вектора через его производную.
Так как в криволинейной системе координат базисные векторы являются функциями, аргументом которых является положение точки, то и производные взятые прямо по координатам будут отличны от нуля (7):

$$display$$\frac{\partial \vec{e_\color{green}{x'^j}}}{\partial \color{blue}{x'^k}}=\Gamma^\color{red}{l}_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}\vec{e_\color{red}{x'^l}}$$display$$

Множителем при полученном в результате такого дифференцирования векторе будет символ Кристоффеля второго рода.
Видно, что $\Gamma^\color{red}{l}_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}$ это множитель при базисном векторе $inline$\vec{e_\color{red}{x'^l}}$inline$, соответствующий его искривлению при перемещении базисного вектора $inline$\vec{e_\color{green}{x'^j}}$inline$ по оси $\color{blue}{x'^k}$ :
$\color{red}{l}$ координата базисного вектора, при котором стоит коэффициент;
$\color{green}{j}$ координата изменяемого базисного вектора;
$\color{blue}{k}$ координата по которой отслеживается изменение.
То есть для декартовых координат, перенос точки в которых не влияет на размер базисных векторов, все символы будут равны нулю. Это очевидно так же, как и то, что при переносе точки в сферических координатах, величина базисных векторов угловых величин (второй и третьей координат) меняется. В некотором роде, это плата за линейность кривизне.
В метрике FRW, отличной от сферической наличием множителя при первой координате, в результате собственно этой её особенности, перенос базиса вдоль первой координаты также приведёт к его изменению.
Рассчитать коэффициенты связности можно, пользуясь формулой из их определения.

Например

$$display$$\frac{\partial \vec{e_\color{green}{x'^j}}}{\partial \color{blue}{x'^k}}=\Gamma^\color{red}{l}_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}\vec{e_\color{red}{x'^l}}$$display$$

При этом:

$|\vec{e_x}|=\sqrt{g_{xx}}=\sqrt{\frac{R^2}{1-kx^2}}=\frac{R}{\sqrt{1-kx^2}}$

Отсюда:

$$display$$\frac{\partial \vec{e_\color{green}{x}}}{\partial \color{blue}{x}}=\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{R}{\sqrt{1-kx^2}} \right) =\frac{kx}{1-kx^2}\frac{R}{\sqrt{1-kx^2}}=\color{magenta}{\frac{kx}{1-kx^2}}\vec{e_\color{red}{x}}$$display$$

Собственно, маджента и есть нужный коэффициент:

$$display$$\Gamma^\color{red}{l}_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}=\Gamma^\color{red}{x}_{\color{green}{x}\color{blue}{x}}=\color{magenta}{\frac{kx}{1-kx^2}}$$display$$

Фишка в том, что после дифференцирования нужно вынести требуемый базисный вектор, а остальное утрамбовать.

Но не во всех случаях это удобно, поэтому выведем универсальную формулу.

Выразим

Домножим обе части (7) скалярно на $inline$ :

$\color{red}{e_m\frac{\partial e_j}{\partial x^k}}=\color{green}{\Gamma^l_{jk} e_l e_m}$

1. При этом скалярное произведение векторов:

$g_{mj}=(e_m \cdot e_j)$

Продифференцируем последнее по $inline$ :

$\frac{\partial g_{mj}}{\partial x^k}=\color{red}{e_m \frac{\partial e_{j}}{\partial x^k}} + e_j \frac{\partial e_{m}}{\partial x^k}$

И выразим нужный член:

$\color{red}{e_m \frac{\partial e_{j}}{\partial x^k}} = \frac{\partial g_{mj}}{\partial x^k} - e_j \frac{\partial e_{m}}{\partial x^k}$

Подставим в изначальное:

$\frac{\partial g_{mj}}{\partial x^k} - e_j \frac{\partial e_{m}}{\partial x^k}=\Gamma^l_{jk} e_l \cdot e_m = |e_l \cdot e_m = g_{lm}| =\color{green}{\Gamma^l_{jk} g_{lm}}$

2. По определению для произвольного вектора $\vec{r}$ верно:

$\frac{\partial r}{\partial x^k}=e_k; \frac{\partial r}{\partial x^j}=e_j$

Следовательно:

$\frac{\partial e_k}{\partial x^j}=\frac{\partial e_j}{\partial x^k}$

Сопоставляя с (7), получим:

$\Gamma^l_{kj}=\Gamma^l_{jk}$

3. То есть символы тождественны по нижним индексам. Отсюда следует, что:

$\frac{\partial g_{mj}}{\partial x^k} - e_j \frac{\partial e_{m}}{\partial x^k} = \frac{\partial g_{mk}}{\partial x^j} - e_k \frac{\partial e_{m}}{\partial x^j}=\color{green}{\Gamma^l_{jk} g_{lm}}$

Или можно представить так:

$\left( \frac{\partial g_{mj}}{\partial x^k} - e_j \frac{\partial e_{m}}{\partial x^k} \right) + \left( \frac{\partial g_{mk}}{\partial x^j} - e_k \frac{\partial e_{m}}{\partial x^j} \right) =2\color{green}{\Gamma^l_{jk} g_{lm}}$

Перераспределим:

$\left( \frac{\partial g_{mj}}{\partial x^k} + \frac{\partial g_{mk}}{\partial x^j} \right) - \color{blue}{\left( e_j \frac{\partial e_{m}}{\partial x^k} + e_k \frac{\partial e_{m}}{\partial x^j} \right)} =2\color{green}{\Gamma^l_{jk} g_{lm}}$

4. Синяя часть сквозит производной произведения:

$\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^m}=\frac{\partial}{\partial x^m} (e_j \cdot e_k) = e_j \frac{\partial e_k}{\partial x^m}+e_k\frac{\partial e_j}{\partial x_m}$

Пользуясь тем, что:

$\frac{\partial e_k}{\partial x^m}=\frac{\partial e_m}{\partial x^k};\qquad\frac{\partial e_j}{\partial x^m}=\frac{\partial e_m}{\partial x^j}$

Получим (у Аменадзе здесь опечатка):

$\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^m}=\color{blue}{e_j \frac{\partial e_m}{\partial x^k}+e_k\frac{\partial e_m}{\partial x_j}}$

5. Подставим в п.4:

$\left( \frac{\partial g_{mj}}{\partial x^k} + \frac{\partial g_{mk}}{\partial x^j} - \color{blue}{\frac{\partial g{jk}}{\partial x^m}} \right) =2\color{green}{\Gamma^l_{jk} g_{lm}}$

И, наконец

коэффициент связности через члены тензора пространства-времени:

$$display$$\Gamma_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}^\color{red}{l}=\frac{1}{2}g^{\color{red}{l}m}(\partial_\color{green}{j}g_{m\color{blue}{k}}+\partial_\color{blue}{k}g_{m\color{green}{j}}-\partial_mg_{\color{blue}{k}\color{green}{j}})$$display$$

Подразумевая, что сокращения следует читать так

1. Что такое $g^{lm}$ ? Это представление тензора $g_{lm}$ в ковариантных координатах. Сам тензор пространства-времени $g_{lm}$ у нас представлен в контрвариантных координатах. Это начала тензорной алгебры, которые доступно разложены, например, здесь.
В данном случае, для нас важно, что в координатах с ортогональным базисом действует правило:

$g^{ll}=g_{ll}^{-1}$

то есть диагональные члены представления тензора в ковариантных и ковариантных координатах взаимно обратны:

$$display$$g^{ll}=\left( \matrix{-1&0&0&0\cr0&\frac{1-kx^2}{R^2}&0&0\cr0&0&\frac{1}{R^2x^2}&0\cr0&0&0&\frac{1}{R^2x^2\sin^2\theta}} \right)$$display$$

2. Как читать запись типа $\partial_\color{red}{a}g_{\color{green}{b}\color{blue}{c}}$ ? Это просто сокращение от:

$$display$$\partial_\color{red}{a}g_{\color{green}{b}\color{blue}{c}}=\frac{\partial g_{\color{green}{b}\color{blue}{c}}}{\partial x^\color{red}{a}}$$display$$

III. Теперь уже можно от вопроса теоретического представления переходить к прагматическому вопросу получения коэффициентов.
В нашем случае, когда все члены по несовпадающим индексам равны нулю ( $g^{lm} = |l \neq m| = 0$ ), мы можем ещё немного упростить полученную формулу:

$$display$$\Gamma_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}^\color{red}{l}=\frac{1}{2}g^{\color{red}{l}\color{red}{l}}(\partial_\color{green}{j}g_{\color{red}{l}\color{blue}{k}}+\partial_\color{blue}{k}g_{\color{red}{l}\color{green}{j}}-\partial_\color{red}{l}g_{\color{blue}{k}\color{green}{j}})$$display$$

что полностью выглядит так:

$$display$$\Gamma_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}^\color{red}{l}=\frac{1}{2}g^{\color{red}{l}\color{red}{l}}\left( \frac{\partial g_{\color{red}{l}\color{blue}{k}}}{\partial x^\color{green}{j}}+\frac{\partial g_{\color{red}{l}\color{green}{j}}}{\partial x^\color{blue}{k}}-\frac{\partial g_{\color{blue}{k}\color{green}{j}}}{\partial x^\color{red}{l}} \right)$$display$$

Всё, осталось только внимательно и аккуратно посчитать.

Все нулевые коэффициенты связности метрики FLRW

$\Gamma_{ij}^l=0 \qquad\qquad\qquad \forall i\ne j\ne k$

$\Gamma_{x\theta}^t = \Gamma_{\theta x}^t = \Gamma_{x \phi}^t=\Gamma_{\phi x}^t = \Gamma_{\theta\phi}^t = \Gamma_{\phi\theta}^t = 0$
$\Gamma_{t\theta}^x = \Gamma_{\theta t}^x = \Gamma_{t\phi}^x = \Gamma_{\phi t}^x = \Gamma_{\theta\phi}^x = \Gamma_{\phi\theta}^x = 0$
$\Gamma_{t x}^\theta = \Gamma_{x t}^\theta=\Gamma_{t\phi}^\theta = \Gamma_{\phi t}^\theta=\Gamma_{x \phi}^\theta=\Gamma_{\phi x}^\theta = 0$
$\Gamma_{t\alpha}^\phi = \Gamma_{x t}^\phi = \Gamma_{t \theta}^\phi = \Gamma_{\theta t}^\phi = \Gamma_{x \theta}^\phi=\Gamma_{\theta x}^\phi=0$

$\Gamma_{tt}^t=0$

$\Gamma_{\theta\theta}^\theta = \frac{g^{\theta\theta}}{2} \left(\frac{\partial g_{\theta\theta}}{\partial \theta} \right) = 0 \qquad\qquad \frac{\partial g_{\theta\theta}}{\partial \theta} = 0$

$\Gamma_{\phi\phi}^\phi = 0$

$\Gamma_{t x}^t=\frac{g^{t t}}{2}\frac{\partial g_{t t}}{\partial x}= \left| \frac{\partial g_{tt}}{\partial x}=0 \right|=0$

$\Gamma_{t x}^t = \Gamma_{x t}^t = \Gamma_{\theta t}^t = \Gamma_{t \theta}^t = \Gamma_{\phi t}^t = \Gamma_{t \phi}^t = 0$

$\Gamma_{t t}^x=\frac{g^{x x}}{2}\frac{\partial g_{tt}}{\partial x}= \left| \frac{\partial g_{tt}}{\partial x}=0 \right|=0$

$\Gamma_{tt}^x=\Gamma_{tt}^\theta=\Gamma_{tt}^\phi=0$

$\Gamma_{x\theta}^x=\frac{g^{x x}}{2} \left( \frac{\partial g_{x \theta}}{\partial x} +\frac{\partial g_{x x}}{\partial \theta} -\frac{\partial g_{x \theta}}{\partial x} \right) = 0$

$\Gamma_{x \theta}^x = \Gamma_{\theta x}^x = \Gamma_{\phi x}^x = \Gamma_{x \phi}^x = \Gamma_{\theta\phi}^\theta = \Gamma_{\phi\theta}^\theta = 0$

$\Gamma_{x x}^\phi = \left| \frac{\partial g_{x x}}{\partial \phi} = 0 \right| = 0$

$\Gamma_{x x}^\theta=\left| \frac{\partial g_{x x}}{\partial \theta} = 0 \right| = 0$

$\Gamma_{\theta \theta}^\phi = \left| \frac{\partial g_{\theta \theta}}{\partial \phi} = 0 \right| = 0$

Итого: 45/64

Все ненулевые коэффициенты связности метрики FLRW

$\Gamma_{x x}^x =\frac{g^{x x}}{2} \left(\frac{\partial g_{x x}}{\partial x} \right) = \frac{1}{2}\frac{1-kx^2}{R^2}\frac{R^2}{(1-kx^2)^2}(2kx)=\frac{kx}{1-kx^2}$

$\Gamma_{x x}^t=\frac{1}{2}g^{t t} \left( \frac{\partial g_{t x}}{\partial x}+\frac{\partial g_{x t}}{\partial x} - \frac{\partial g_{x x}}{\partial t} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial g_{x x}}{\partial t} \right) = \frac{RR'}{1-kx^2} \qquad R'=\frac{\partial R}{\partial t}$

$\Gamma_{\theta\theta}^t=\frac{1}{2}g^{tt} \left( \frac{\partial g_{t\theta}}{\partial \theta}+\frac{\partial g_{t\theta}}{\partial \theta} - \frac{\partial g_{\theta\theta}}{\partial t} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial g_{\theta\theta}}{\partial t} \right) = x^2RR' \qquad R'=\frac{\partial R}{\partial t}$

$\Gamma_{\phi\phi}^t=\frac{1}{2}g^{tt} \left( \frac{\partial g_{t\phi}}{\partial \phi}+\frac{\partial g_{t\phi}}{\partial \phi} - \frac{\partial g_{\phi\phi}}{\partial t} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial g_{\phi\phi}}{\partial t} \right) = x^2\sin^2\theta RR' \qquad R'=\frac{\partial R}{\partial t}$

$\Gamma_{t x}^x = \frac{1}{2}g^{x x} \left( \frac{\partial g_{x x}}{\partial t}+\frac{\partial g_{x t}}{\partial x} - \frac{\partial g_{x t}}{\partial x} \right) = \frac{1}{2} g^{x x} \left( \frac{\partial g_{x x}}{\partial t} \right) = \frac{1-kx^2}{2R^2} \frac{2RR'}{1-kx^2}=\frac{R'}{R}$

$\Gamma_{t x}^x = \Gamma_{x t}^x = \Gamma_{t \theta}^\theta = \Gamma_{\theta t}^\theta = \Gamma_{t \phi}^\phi = \Gamma_{\phi t}^\phi = \frac{R'}{R}$

$\Gamma_{\theta \theta}^x = \frac{1}{2}g^{x x} \left( \frac{\partial g_{x \theta}}{\partial \theta} +\frac{\partial g_{x \theta}}{\partial \theta} - \frac{\partial g_{\theta \theta}}{\partial x}\right) = -\frac{1}{2}g^{x x} \left( \frac{\partial g_{\theta \theta}}{\partial x}\right) =-\frac{1-kx^2}{2R^2} 2R^2x = -x (1-kx^2)$

$\Gamma_{\phi\phi}^x = \frac{1}{2}g^{x x} \left( \frac{\partial g_{x \phi}}{\partial \phi} +\frac{\partial g_{x \phi}}{\partial \phi} - \frac{\partial g_{\phi\phi}}{\partial x}\right) = -\frac{1}{2}g^{x x} \left( \frac{\partial g_{\phi \phi}}{\partial x}\right) =-\frac{1-kx^2}{2R^2}2R^2\sin^2\theta x = -x \sin^2\theta (1-kx^2)$

$\Gamma_{\phi\phi}^\theta=\frac{g_{\theta\theta}}{2} \left( \frac{\partial g_{\theta\phi}}{\partial \phi} +\frac{\partial g_{\theta\phi}}{\partial \phi} - \frac{\partial g_{\phi\phi}}{\partial \theta}\right) =-\frac{1}{2 R^2 x^2}(2R^2 x^2 \sin\theta\cos\theta)=-\sin\theta\cos\theta$

$\Gamma_{x \theta}^\theta=\frac{g^{\theta \theta}}{2} \left( \frac{\partial g_{\theta \theta}}{\partial x}+\frac{\partial g_{\theta x}}{\partial \theta}-\frac{\partial g_{\theta x}}{\partial \theta} \right)=\frac{1}{2 R^2 x^2}(2R^2 x)=x^{-1}$

$\Gamma_{x \theta}^\theta=\Gamma_{\theta x}^\theta=x^{-1}$

$\Gamma_{x \phi}^\phi=\frac{g^{\phi\phi}}{2} \left( \frac{\partial g_{\phi \phi}}{\partial x}+\frac{\partial g_{\phi x}}{\partial \phi}-\frac{\partial g_{\phi x}}{\partial \phi} \right)=\frac{1}{2R^2x^2\sin^2\theta}(2R^2\sin^2\theta x)= x^{-1}$

$\Gamma_{x \phi}^\phi=\Gamma_{\phi x}^\phi = x^{-1}$

$\Gamma_{\phi\theta}^\phi = \frac{g^{\phi\phi}}{2}\left( \frac{\partial g_{\phi \theta}}{\partial \phi}+ \frac{\partial g_{\phi\phi}}{\partial \theta} -\frac{\partial g_{\phi \theta}}{\partial \phi} \right) = \frac{1}{2R^2 x^2 \sin^2\theta}2R^2 x^2 \sin\theta \cos\theta =\tan^{-1}\theta$

$\Gamma_{\phi \theta}^\phi=\Gamma_{\theta \phi}^\phi=\tan^{-1}\theta$
Итого: 19/64

Скомпонуем для наглядности, и можно переходить к заключительной части.

$$display$$\Gamma^t = \left( \matrix{\Gamma_{tt}^t & \Gamma_{tx}^t&\Gamma_{t\theta}^t & \Gamma_{t\phi}^t \cr \Gamma_{x t}^t & \Gamma_{xx}^t&\Gamma_{x\theta}^t & \Gamma_{x\phi}^t \cr \Gamma_{\theta t}^t & \Gamma_{\theta x}^t & \Gamma_{\theta\theta}^t & \Gamma_{\theta\phi}^t \cr \Gamma_{\phi t}^t & \Gamma_{\phi x}^t&\Gamma_{\phi\theta}^t & \Gamma_{\phi\phi}^t} \right) = \left( \matrix{0&0&0&0 \cr 0&\frac{RR'}{1-kx^2}&0&0 \cr 0&0&x^2RR'&0 \cr 0&0&0& x^2\sin^2\theta^2RR'} \right)$$display$$

$$display$$\Gamma^x=\left( \matrix{\Gamma_{tt}^x & \Gamma_{t x}^x & \Gamma_{t\theta}^x & \Gamma_{t\phi}^x \cr \Gamma_{x t}^x & \Gamma_{x x}^x & \Gamma_{x \theta}^x & \Gamma_{x \phi}^x \cr \Gamma_{\theta t}^x & \Gamma_{\theta x}^x&\Gamma_{\theta\theta}^x & \Gamma_{\theta\phi}^x \cr \Gamma_{\phi t}^x &\Gamma_{\phi x}^x & \Gamma_{\phi\theta}^x & \Gamma_{\phi\phi}^x} \right) = \left( \matrix{ 0&\frac{R'}{R}&0&0\cr\frac{R'}{R}&\frac{kx}{1-kx^2}&0&0\cr0&0&-x(1-kx^2)&0\cr0&0&0&-x\sin^2\theta(1-kx^2)} \right)$$display$$

$$display$$\Gamma^\theta=\left( \matrix{\Gamma_{tt}^\theta & \Gamma_{t x}^\theta & \Gamma_{t\theta}^\theta & \Gamma_{t\phi}^\theta \cr \Gamma_{x t}^\theta & \Gamma_{x x}^\theta & \Gamma_{x \theta}^\theta & \Gamma_{x \phi}^\theta\cr\Gamma_{\theta t}^\theta & \Gamma_{\theta x}^\theta & \Gamma_{\theta\theta}^\theta & \Gamma_{\theta\phi}^\theta \cr \Gamma_{\phi t}^\theta & \Gamma_{\phi x}^\theta & \Gamma_{\phi\theta}^\theta & \Gamma_{\phi\phi}^\theta} \right) = \left( \matrix{0&0&\frac{R'}{R}&0 \cr 0&0&x^{-1}&0 \cr \frac{R'}{R}&x^{-1}&0&0 \cr 0&0&0&-\sin\theta\cos\theta} \right)$$display$$

$$display$$\Gamma^\phi = \left( \matrix{\Gamma_{tt}^\phi &\Gamma_{t x}^\phi & \Gamma_{t\theta}^\phi & \Gamma_{t\phi}^\phi \cr \Gamma_{x t}^\phi & \Gamma_{x x}^\phi & \Gamma_{x \theta}^\phi & \Gamma_{x \phi}^\phi \cr \Gamma_{\theta t}^\phi & \Gamma_{\theta x}^\phi & \Gamma_{\theta\theta}^\phi & \Gamma_{\theta\phi}^\phi \cr \Gamma_{\phi t}^\phi & \Gamma_{\phi x}^\phi & \Gamma_{\phi\theta}^\phi & \Gamma_{\phi\phi}^\phi} \right) = \left( \matrix{0&0&0&\frac{R'}{R} \cr 0&0&0&x^{-1} \cr 0&0&0&\tan^{-1}\theta \cr\frac{R'}{R}&x^{-1}&\tan^{-1}\theta&0} \right)$$display$$

Тензор кривизны, его свёртка и свёртка свёртки

Тензор Риччи, с которого начинается математическая формулировка уравнений ОТО, является свёрткой тензора кривизны Римана. Скаляр кривизны, присутствующий во втором слагаемом левой части это уже свёртка тензора Риччи.
То есть всё, что нам нужно это вычислить компоненты тензора Римана.
I. Компоненты тензора Римана.
Вооружимся формулой расчёта членов тензора кривизны через коэффициенты связности:

$R_{i j k}^l = \frac{\partial \Gamma_{i k}^l}{\partial x^j} + \frac{\partial \Gamma_{j k}^l}{\partial x^i} + \sum_{p=1}^n \left( \Gamma_{i k}^p \Gamma_{j p}^l - \Gamma_{j k}^p \Gamma_{i p}^l \right)$

по которой нам потребуются только члены вида $R^\color{red}{l}_{i \color{red}{l} k}$ , а так как наш тензор пространства-времени диагональный, то ненулевыми будут только компоненты вида $R^\color{red}{l}_{\color{blue}{k} \color{red}{l} \color{blue}{k}}$ :

$$display$$R^\color{red}{l}_{\color{blue}{k} \color{red}{l} \color{blue}{k}} = \partial_\color{red}{l}\Gamma^\color{red}{l}_{\color{blue}{k} \color{blue}{k}} - \partial_\color{blue}{k}\Gamma^\color{red}{l}_{\color{red}{l} \color{blue}{k}} + \Gamma^p_{\color{blue}{k} \color{blue}{k}}\Gamma^\color{red}{l}_{\color{red}{l} p} - \Gamma^p_{\color{red}{l} \color{blue}{k}}\Gamma^\color{red}{l}_{\color{blue}{k} p}$$display$$

Здесь подразумевается суммирование по правилу Эйнштейна (по $p=t,x,\theta,\phi$ ).

Примеры расчёта компонентов тензора Римана

$R^x_{t x t}=\partial_x\Gamma^x_{t t} -\partial_t\Gamma^x_{x t} + \Gamma^t_{t t}\Gamma^x_{x t} - \Gamma^t_{x t}\Gamma^x_{t t} +\Gamma^x_{t t}\Gamma^x_{x x} - \Gamma^x_{x t}\Gamma^x_{t x} +$

$+ \Gamma^\theta_{t t}\Gamma^x_{x \theta} - \Gamma^\theta_{x x}\Gamma^x_{t \theta} + \Gamma^\phi_{t t}\Gamma^x_{x \phi} - \Gamma^\phi_{x t}\Gamma^x_{t \phi} = 0 - \frac{\partial}{\partial t} \frac{R'}{R} + 0 - 0 + 0 +$

$- \left( \frac{R'}{R} \right)^2 + 0 - 0 + 0 - 0 = - \frac{R''}{R} + \left( \frac{R'}{R} \right)^2 - \left( \frac{R'}{R} \right)^2 = - \frac{R''}{R}$

$R^\theta_{t \theta t} = R^\phi_{t\phi t} = - \frac{R''}{R}$

$R^t_{x t x}=\partial_t\Gamma^t_{x x} - \partial_x\Gamma^t_{t x} + \Gamma^t_{x t}\Gamma^t_{t t} - \Gamma^t_{t x}\Gamma^t_{x t} +\Gamma^x_{x x}\Gamma^t_{t x} - \Gamma^x_{t x}\Gamma^t_{x x} +$

$+ \Gamma^\theta_{x x}\Gamma^t_{t \theta} - \Gamma^\theta_{t t}\Gamma^t_{x \theta} + \Gamma^\phi_{x x}\Gamma^t_{t \phi} - \Gamma^\phi_{t x}\Gamma^t_{x \phi} = \frac{\partial}{\partial t}\frac{RR'}{1-kx^2} - 0 + 0 - 0 + 0 -$

$- \frac{R'}{R} \cdot \frac{RR'}{1-kx^2} + 0 - 0 + 0 - 0 = \frac{RR''}{1-kx^2} + \frac{R'^2}{1-kx^2} - \frac{R'^2}{1-kx^2} = \frac{RR''}{1-kx^2}$

$R^\theta_{x \theta x}=\partial_\theta\Gamma^\theta_{x x} -\partial_x\Gamma^\theta_{\theta x} + \Gamma^t_{x x}\Gamma^\theta_{\theta t} - \Gamma^t_{\theta x}\Gamma^\theta_{x t} +\Gamma^x_{x x}\Gamma^\theta_{\theta x} - \Gamma^x_{\theta x}\Gamma^\theta_{x x} +$

$+ \Gamma^\theta_{x x}\Gamma^\theta_{\theta \theta} - \Gamma^\theta_{\theta x}\Gamma^\theta_{x \theta} + \Gamma^\phi_{x x}\Gamma^\theta_{\theta \phi} - \Gamma^\phi_{\theta x}\Gamma^\theta_{x \phi} = 0 - \frac{\partial (x^{-1})}{\partial x} +$

$+\frac{RR'}{1-kx^2} \cdot \frac{R'}{R} - 0 + \frac{kx}{1+kx^2} \cdot x^{-1} - 0 + 0 - x^{-1} \cdot x^{-1} + 0 - 0 =$

$= x^{-2} + \frac{R'^2}{1-kx^2} + \frac{k}{1-kx^2} - x^{-2} = \frac{R'^2}{1-kx^2} + \frac{k}{1-kx^2}$

$R^\phi_{x \phi x}=\partial_\phi\Gamma^\phi_{x x} -\partial_x\Gamma^\phi_{\phi x} + \Gamma^t_{x x}\Gamma^\phi_{\phi t} - \Gamma^t_{\phi x}\Gamma^\phi_{x t} +\Gamma^x_{x x}\Gamma^\phi_{\phi x} - \Gamma^x_{\phi x}\Gamma^\phi_{\phi x} +$

$+ \Gamma^\theta_{x x}\Gamma^\phi_{\phi \theta} - \Gamma^\theta_{\phi x}\Gamma^\phi_{x \theta} + \Gamma^\phi_{x x}\Gamma^\phi_{\phi \phi} - \Gamma^\phi_{\phi x}\Gamma^\phi_{x \phi} = 0 - \frac{\partial (x^{-1})}{\partial x} +$

$+ \frac{RR'}{1-kx^2} \cdot \frac{R'}{R} - 0 + \frac{kx}{1+kx^2} \cdot x^{-1} - 0 + 0 - x^{-1} \cdot x^{-1} + 0 - 0 =$

$= x^{-2} + \frac{R'^2}{1-kx^2} + \frac{k}{1-kx^2} - x^{-2} = \frac{R'^2}{1-kx^2} + \frac{k}{1-kx^2}$

и т.д.

II. Компоненты тензора Риччи.
Осталось самое простое, сложить:
$R_{tt} = R^m_{tmt} = R^x_{t x t} + R^\theta_{t \theta t} + R^\phi_{t \phi t} = -3\frac{R''}{R}$
$R_{xx} = R^m_{xmx} = R^t_{x t x} + R^\theta_{x \theta x} + R^\phi_{x \phi x} = \frac{RR''}{1-kx^2} + \frac{2R'^2}{1-kx^2} + \frac{2k}{1-kx^2}$
$R_{\theta\theta} = R^m_{\theta m \theta} = x^2RR''+2x^2R'^2+2x^2k$
$R_{\phi\phi} = R^m_{\phi m \phi} = x^2RR''\sin^2\theta+2x^2R'^2\sin^2\theta+2x^2k\sin^2\theta$
И, затем, выразить пространственные составляющие через соответствующие компоненты тензора пространства-времени:

$R_{xx} = \color{red}{\frac{R^2}{1-kx^2}} \frac{1}{R^2} \left( RR'' + 2R'^2 + 2k \right)$

$R_{\theta\theta} = \color{green}{R^2x^2} \frac{1}{R^2} \left( RR''+2R'^2+2k \right)$

$R_{\phi\phi} = \color{blue}{R^2x^2\sin^2\theta} \frac{1}{R^2} \left( RR''+2R'^2+2k \right)$

То есть иначе их можно выразить так:

$R_{ii} = \frac{g_{ii}}{R^2} \left( RR'' + 2R'^2 + 2k \right)$

Вид под скляр готов.

III. Скалярная кривизна.
Формула скаляра:

$R = g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$

Снова подразумевая суммирование по повторяющимся нижним и верхним индексам. Значит, в нашем случае:

$R = \sum_{i=0}^3 (g^{ii}R_{ii})= \sum_{i=0}^3 \left( g^{ii} \frac{g_{ii}}{R^2}(RR''+2R'^2+2K)\right) = 6\frac{R''}{R}+6 \frac{R'^2}{R^2} +6\frac{k}{R^2}$

Уравнения общей теории относительности

Математическая формулировка ОТО выглядит так:

$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R + \lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$

где $R_{\mu\nu}$ тензор Риччи, $g_{\mu\nu}$ тензор пространства времени, $inline$ скаляр Риччи, $\lambda g_{\mu\nu}$ мрачная лямбда, $\pi, G, c$ вселенские константы, $T_{\mu\nu}$ тензор энергии-импульса.

Тензор материи $T_{\mu\nu}$ у Фридмана определён скромно:

$$display$$T_{\mu\nu} = \left[ \matrix{c^2\rho &0&0&0 \cr 0&0&0&0 \cr 0&0&0&0 \cr 0&0&0&0} \right]$$display$$

где $inline$ фундаментальная скорость, $\rho$ плотность массы пыли.
Такой подход и даёт два уравнения, полученных Фридманом, которые теперь можем получить и мы, подставив заданное $g_{\mu\nu}$ и расчётные $R_{\mu\nu}$ и $inline$ .

Для пространственных координат $inline$ :

$\frac{g_{ii}}{R^2} \left( RR'' + 2R'^2 + 2k \right)-\frac{1}{2} g_{ii} \left( 6\frac{R''}{R}+6 \frac{R'^2}{R^2} +6\frac{k}{R^2} \right) + \lambda g_{ii} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{ii}$

Что после ряда упрощений даст:

$\frac{R'^2}{R^2} + 2\frac{R''R}{R^2} + \frac{k}{R^2} - \lambda = 0$
Для временной координаты $inline$ :

$-\frac{3R''}{R} -\frac{1}{2} g_{ii} \left( 6\frac{R''}{R}+6 \frac{R'^2}{R^2} +6\frac{k}{R^2} \right) + \lambda g_{ii} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{ii}$

Или после упрощения:

$3 \frac{R'^2}{R^2} + 3\frac{k}{R^2} - \lambda = \frac{8\pi G}{c^2} \rho$

Резюме

Если справа вместо тензора энергии-импульса пыли подставить тензор энергии-импульса идеальной жидкости, в результате получатся два немного более сложных, чем в оригинальной статье, независимых уравнения, из которых получаются базовые уравнения современной стандартной космологической модели $\Lambda$ -CDM.
Левая, геометрическая часть решения при этом остаётся неизменной.

Надеюсь, кому-то этот разбор будет полезным. Tschuss!

Подробнее..

Категории: Научно-популярное , Физика , Математика , Читальный зал , Космология , Фридман , Метрика , Flrw , Frw , Символы кристоффеля , Кривизна , Пространство , Гиперпространство , Решение , Ото , Общая теория относительности , Эйнштейн

Геометрическое представление кривизны пространства в метрике Шварцшильда

25.09.2020 14:16:06 |

Автор: admin

или два плюс два равно четыре.

Для понимания статьи достаточно школьного курса математики.

Форма множителя в метрике Шварцшильда давно не давала мне покоя своей изысканной двуличностью, и я решил уделить некоторое время изысканиям возможностей её преобразования. Сама метрика Шварцшильда получается в результате решения ОТО для вакуумного случая (тензор энергии-импульса равен нулю):

$ds^2 = - \left(1- 2 \frac{GM}{c^2 r}\right) c^2 dt^2 + \left(1- 2 \frac{GM}{c^2 r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2$

Она описывает пространственно-временной континуум в окрестностях произвольного компактного массивного объекта. Компактного, значит, девиации формы незначительны в отношении к массе. Проще говоря, круглый и плотный. Обычно здесь приводят в пример чёрную дыру. Никто почему-то не приводит примеров некомпактных объектов. Герметичная палка из пенопласта в открытом космосе на бесконечном удалении от массивных объектов, например, некомпактный объект. Кубический конь на расстоянии, с которого можно разглядеть печаль в его глазах тоже.

Через объём 3-сферы

Произведём замену:

$M=\frac{E}{c^2}$

Тогда метрика станет такой:

$$display$$ds^2 = - \left(1- 2 \frac{GE}{c^\color{red}{4} r}\right) c^2 dt^2 + \left(1- 2 \frac{GE}{c^\color{red}{4} r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2$$display$$

Замена была нужна только для того, чтобы обратить внимание на четвёртую степень у скорости света, потому что все циферки в формулах имеют значение. Об этом говорит вся история физики любая эмпирически полученная формула со временем получает теоретическое основание, объясняющее значения всех математических форм, которые в ней содеражатся.
Обычно в представлении этой метрики часть, связанную с физическими константами и массой тела, создающего поле, выражают через радиус Шварцшильда:

$r_s = 2 \cdot \frac{GE}{c^4}$

потому что метрика имеет особенность в этой точке. Здесь время, буквально, останавливается.
Вот так, в таком случае, выглядит вся метрика:

$ds^2 = - \left(1- \frac{r_s}{ r}\right) c^2 dt^2 + \left(1- \frac{r_s}{r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2$

Но в продолжение рассуждений о физической сути явлений эта двойка:

$r_s = \color{red}{2} \cdot \frac{GE}{c^4}$

тоже должна быть осмыслена. Поэтому представим так:

$u = \frac{GE}{c^4}$

Это просто половина гравитационного радиуса $inline$ , и размерность у него такая же. Получим:

$1 - 2\frac{GE}{c^4r} = 1 - 2\frac{u}{r}$

Напрашивается:

$= \left( 1 - 2\frac{u}{r} + \frac{u^2}{r^2} \right) - \frac{u^2}{r^2} = \left( 1 - \frac{u}{r} \right)^2 - \frac{u^2}{r^2} = \left( \frac{r - u}{r} \right)^2 - \frac{u^2}{r^2} =$

$= \frac{(r-u)^2 - u^2}{r^2} \qquad \qquad (1)$

Уже неплохо. Зарисуем. Представим $inline$ конечным отрезком, $inline$ его частью, как показано на рисунке ниже. Очевидно, что $inline$ .

Любопытно, кстати, что из $inline$ следует, что точка $inline$ находится за (под) горизонтом событий объекта энергии $inline$ . Вот так легко она находится, а мы не можем.
Теперь покажем, что отношение вида $inline$ будет выполняться для всех точек, имеющих геометрическое место на перпендикуляре к $inline$ в точке $inline$ :

$\frac{(r-u)^2 - u^2}{r^2} = \frac{((r-u)^2 + a^2) - (u^2 + a^2)}{r^2} = \frac{b^2 - d^2}{r^2} \qquad \qquad (2)$

для любых $inline$ и $inline$ .
Говоря проще, разность квадратов $inline$ эквивалентна разности любых величин, проекциями которых на $inline$ являются $inline$ и $inline$ соответственно, при условии, что точка $inline$ у них общая.
Дальше предположим, что $inline$ и $inline$ , наоборот, проекции $inline$ на какие-то оси, то есть пифагорова сумма двух величин, в исходном виде перпендикулярных друг другу. Переводя это в требование, рассмотрим случай $\angle{OCB} = \pi/2$ , для которого верно:

$b^2 = r^2 - d^2 \rightarrow (2) \rightarrow \frac{b^2 - d^2}{r^2} = 1 - 2\frac{d^2}{r^2} \qquad \qquad (3)$

Доработаем $inline$ аналогично начальной итерации:

$1 - 2\frac{d^2}{r^2} = \left( 1 - 2\frac{d^2}{r^2} + \frac{d^4}{r^4} \right) - \frac{d^4}{r^4} = \frac{(r^2-d^2)^2 - d^4}{r^4} =$

$= \frac{b^4 - d^4}{\sqrt{b^2 + d^2}^4} = \frac{b^4 - d^4}{r^4}\qquad \qquad (4)$

Вот и четвёртая степень. Формула объёма 3-сферы:

$V = \frac{\pi^2 \cdot R^4}{2}$

Это я к тому, что если домножить и разделить $inline$ на $\pi^2/2$ :

$\frac{b^4 - d^4}{r^4} = \frac{\pi^2}{2} \cdot \frac{2}{\pi^2} \cdot \frac{b^4 - d^4}{r^4} = \frac{V_b - V_d}{V_r} \qquad \qquad (5)$

то множитель в метрике Шварцшильда превращается в разность объёмов двух 3-сфер, построенных вокруг двух радиальных проекций точки относительно центра поля, соотнесённой к объёму 3-сферы, образуемой полным расстоянием между точкой и центром поля.
С учётом того, что полный радиус задаётся проекциями, всю эту конструкцию весьма лаконично задают два параметра, один из которых связан с энергией, а второй нет. Там точно две координаты.

Выводы

Замечательными следствиями такого представления являются:
1. Из формы множителя видно, что поведение фотона ограничивает видимую зону пятимерного пространства-времени. За её пределами можно спрятать нечто гравитирующее, но невидимое.
2. Наличие второй спрятанной координаты избавляет от парадокса нулевого времени.
3. Раз кривизна пространства вокруг массивного тела может быть всегда разложена на две компоненты, одна из которых связана с энергией тела, а вторая исключительно с пространством, то следующим шагом надо решить уравнения ОТО для вакуумного случая пятимерного пространства-времени. Об этом в следующей статье.

Бонус. Через угол

Очевидно, что можно выразить значимость поля в точке через плоский угол, выражающий отклонение траектории движения от плоского пространства (в отсутствие гравитационных полей).
Выразим величины $inline$ и $inline$ через угол $\alpha = \angle{OBC}$ : $b = r \cdot \cos\alpha; \ d = r \cdot \sin\alpha$ . Назовём его угол кривизны траектории. Тогда множитель можно выразить очень по-разному:

$1 - 2\frac{GE}{c^4r} = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos^4\alpha - \sin^4\alpha = 1 - 2 \sin^2\alpha =$

$= \frac{1-\tan^2\alpha}{1 + \tan^2\alpha} = \cos2\alpha \qquad \qquad (6)$

Особенно мне нравится вариант с тангенсами.

Подставим в исходный интервал:

$ds^2 = -\cos 2\alpha \cdot c^2dt^2 + \cos^{-1} 2\alpha \cdot dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2$

Всё, как и должно, превращается в плоскую метрику Минковского при $\alpha = 0$ .
Здесь точно должен быть пятый
Продолжение следует.

Подробнее..

Категории: Научно-популярное , Физика , Математика , Космология , Кривизна , Пространство , Гиперпространство , Общая теория относительности , Эйнштейн , Гравитация , Шварцшильд , Теория относительности , Решение ото

ОТО. Геометрическое представление кривизны пространства в метрике Шварцшильда. Часть 2

23.02.2021 10:12:21 |

Автор: admin

или один плюс три снова четыре.

Для понимания статьи необходим школьный курс математики, и, может быть, даже достаточен.

В предыдущей статье мы выяснили, что множитель кривизны пространства в метрике Шварцшильда в каждое мгновение может быть представлен как сумма двух перпендикулярных мер (длин), одна из которых зависит от энергии массивного тела, создающего гравитационное поле, а вторая нет.
В этой статье, я объясню выводы предыдущей статьи, часть которых оказалась неочевидна, а также продолжу развитие идеи распрямления искривлённого четырёхмерного пространства-времени через энергетическую глубину.

Чтобы не скакать по ссылкам, предыдущая статья здесь целиком.

Форма множителя в метрике Шварцшильда давно не давала мне покоя своей изысканной двуличностью, и я решил уделить некоторое время изысканиям возможностей её преобразования. Сама метрика Шварцшильда получается в результате решения ОТО для вакуумного случая (тензор энергии-импульса равен нулю):

$ds^2 = - \left(1- 2 \frac{GM}{c^2 r}\right) \cdot c^2 dt^2 + \left(1- 2 \frac{GM}{c^2 r}\right)^{-1} \cdot dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2$

Через объём 3-сферы

Произведём замену:

$M=\frac{E}{c^2}$

Тогда метрика станет такой:

$r_s = 2 \cdot \frac{GE}{c^4}$

$ds^2 = - \left(1- \frac{r_s}{ r}\right) c^2 dt^2 + \left(1- \frac{r_s}{r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2$

Но в продолжение рассуждений о физической сути явлений эта двойка:

$r_s = \color{red}{2} \cdot \frac{GE}{c^4}$

тоже должна быть осмыслена. Поэтому представим так:

$u = \frac{GE}{c^4}$

Это просто половина гравитационного радиуса $inline$ , и размерность у него такая же. Получим:

$1 - 2\frac{GE}{c^4r} = 1 - 2\frac{u}{r}$

Напрашивается:

$= \left( 1 - 2\frac{u}{r} + \frac{u^2}{r^2} \right) - \frac{u^2}{r^2} = \left( 1 - \frac{u}{r} \right)^2 - \frac{u^2}{r^2} = \left( \frac{r - u}{r} \right)^2 - \frac{u^2}{r^2} =$

$= \frac{(r-u)^2 - u^2}{r^2} \qquad \qquad (1)$

$\frac{(r-u)^2 - u^2}{r^2} = \frac{((r-u)^2 + a^2) - (u^2 + a^2)}{r^2} = \frac{b^2 - d^2}{r^2} \qquad \qquad (2)$

$b^2 = r^2 - d^2 \rightarrow (2) \rightarrow \frac{b^2 - d^2}{r^2} = 1 - 2\frac{d^2}{r^2} \qquad \qquad (3)$

Доработаем $inline$ аналогично начальной итерации:

$1 - 2\frac{d^2}{r^2} = \left( 1 - 2\frac{d^2}{r^2} + \frac{d^4}{r^4} \right) - \frac{d^4}{r^4} = \frac{(r^2-d^2)^2 - d^4}{r^4} =$

$= \frac{b^4 - d^4}{\sqrt{b^2 + d^2}^4} = \frac{b^4 - d^4}{r^4}\qquad \qquad (4)$

Вот и четвёртая степень. Формула объёма 3-сферы:

$V = \frac{\pi^2 \cdot R^4}{2}$

Это я к тому, что если домножить и разделить $inline$ на $\pi^2/2$ :

$\frac{b^4 - d^4}{r^4} = \frac{\pi^2}{2} \cdot \frac{2}{\pi^2} \cdot \frac{b^4 - d^4}{r^4} = \frac{V_b - V_d}{V_r} \qquad \qquad (5)$

Через угол

$1 - 2\frac{GE}{c^4r} = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos^4\alpha - \sin^4\alpha = 1 - 2 \sin^2\alpha =$

$= \frac{1-\tan^2\alpha}{1 + \tan^2\alpha} = \cos2\alpha \qquad \qquad (6)$

Особенно мне нравится вариант с тангенсами.

Подставим в исходный интервал:

$ds^2 = -\cos 2\alpha \cdot c^2dt^2 + \cos^{-1} 2\alpha \cdot dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2$

Если коротко, то мы представляем метрику Шварцшильда:

$ds^2 = - \left(1- 2 \frac{GM}{c^2 r}\right) \cdot c^2 dt^2 + \left(1- 2 \frac{GM}{c^2 r}\right)^{-1} \cdot dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2$

где $inline$ масса тела, $inline$ интервал, $inline$ время, $r, \theta, \phi$ сферические координаты, $inline$ вселенские константы, так:

$ds^2 = - \frac{V_b - V_d}{V_r} \cdot c^2 dt^2 + \frac{V_r}{V_b - V_d} \cdot dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2 \qquad (1)$

где $inline$ объёмы 3-сфер, заданных радиусами: $inline$ в псевдоевклидовом пространстве, энергорадиусом $inline$ массы гравитирующего тела и их суммой $r = \sqrt{b^2 + d^2}$ ;
и так:

$ds^2 = -\cos 2\alpha \cdot c^2dt^2 + \cos^{-1} 2\alpha \cdot dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2 \qquad (2)$

где $\alpha$ угол кривизны угол отклонения траектории объекта от нормальной (от её проекции на плоское трёхмерное пространство).
Физически интерпретировать смысл формулы $inline$ можно было бы так: объект, движущийся в бесконечном вечном асимптотически плоском пространстве Шварцшильда, приближаясь к массивному объекту, будет испытывать дефицит пространства в направлении центра масс гравтела, словно там из ткани космоса вынули часть 4-объёма, пропорциональную массе гравтела и обратно пропорциональную расстоянию до его центра масс. Важным аспектом при этом является то, что изменение кривизны происходит линейно изменению четырёхмерного объёма 3-сферы, а не трёхмерного, потому оно и выглядит таким одутловатым в стандартной метрике.
Это достаточно образная трактовка, которая возможно поможет взглянуть на метрику другими глазами. А формулу $inline$ я пока трактовать не буду, потому что по ходу данной статьи она ещё получит свою интерпретацию.
Далее я сперва объясню выводы предыдущей статьи, а затем перейду к развитию темы с представлением метрики через дополнительное измерение.

Часть 1. Выводы предыдущей статьи и пояснения к ним

Выводы предыдущей статьи с пояснениями

Выводы

Из возможности такого представления были сделаны следующие выводы:
1. Из формы множителя видно, что поведение фотона ограничивает видимую зону пятимерного пространства-времени. За её пределами можно спрятать нечто гравитирующее, но невидимое.
2. Наличие второй спрятанной координаты избавляет от парадокса нулевого времени.
3. Раз кривизна пространства вокруг массивного тела может быть всегда разложена на две компоненты, одна из которых связана с энергией тела, а вторая исключительно с пространством, то следующим шагом надо решить уравнения ОТО для вакуумного случая пятимерного пространства-времени.

Ограничение видимой зоны пятимерного пространства

Чтобы наглядно объяснить первый вывод предыдущей статьи, представим множитель кривизны траектории объекта так:

где $inline$ полное расстояние $inline$ до массивного объекта, $inline$ величина координаты, не связанной с энергией массивного тела, $inline$ величина координаты, связанной с энергией массивного тела, энергетическая глубина.
Единственное отличие от представления в предыдущей статье в том, что для наглядности картинка перевёрнута: переставлены местами величины $inline$ и $inline$ , то есть энергетическая глубина как бы отнесена к движущейся точке, вместо самого объекта. На итоговый результат это не влияет, но позволяет наглядно представить множитель $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ , потому что обратные проекции $inline$ и $inline$ на гипотенузу $inline$ являются квадратами косинуса и синуса угла $\angle BOC = \alpha$ соответственно. Иначе говоря:

$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \frac{OA^2 - AB^2}{OB^2}$

Таким образом, кривизна движения объекта, находящегося в точке $inline$ относительно массивного объекта в точке $inline$ определяется как отношение разности площадей кругов радиусов $inline$ (синего) и $inline$ (красного) в отношении к кругу радиуса $inline$ .
Движение по осям рекурсивно влияет на обе координаты измерения неразрывно связаны, и в зависимости от показателя массы движущегося объекта траектория кривой будет изменяться, принимая крайнее положение при $m=0, \ ds^2 = 0$ , то есть для фотона. При этом область возможных траекторий движущихся объектов, обладающих массой, будет находится с одной стороны от траектории фотона $inline$ (в стандартном представлении интервала, для $inline$ наоборот $inline$ ), будучи ею предельно ограничена.
Таким образом, в обстоятельствах описываемых интервалом, заданным через угол кривизны, пространство всегда можно условно разделить на две области: дофотонную внутреннюю (ниже обозначена красным: при той же кривизне проходимые расстояния меньше, чем у света), и постфотонную внешнюю (ниже синим).

Из изложенного логически вытекает отрицательность интервала $inline$ привычного вида для объектов в синей части, и как следствие его пространственно-подобность. Однако, это следствие ограниченной применимости интервала четырёхмерного пространства-времени для описания континуума большей размерности.
Если мысленно увязать ось $inline$ с явлением энергии, то синюю область можно попробовать трактовать как часть плоского пространства, которая однако вследствие гравитации имеет такую энергетическую плотность, что электромагнитные волны её обтекают, и делают тем самым ненаблюдаемой.
Совсем утрировано: все объекты с более кривыми траекториями, чем у света, будут видимы, а менее кривые нет. При этом для того, чтобы оказаться скрытыми, им совершенно необязательно двигаться быстрее света проходить большее пространство за то же время находится правее прямой, соответствующей $inline$ в точке. Им достаточно находится ниже этой прямой, и они останутся скрыты гравитационным искривлением, взаимодействуя с гравитирующим объектом легче, чем свет.
Завершу эту главу фантазией, предположив, что в тёмное пространство под синим подолом гравитационного поля можно было бы спрятать, например, пару гораздо более энергоёмких поколений частиц (II и III), таких неустойчивых в нашем 4-континууме.
Если большое количество такого рода частиц разместить компактно, то такое скопление при наблюдении проявляло бы свойства тёмной материи само создавало гравитационное поле, оставаясь при этом вне фотонного пространства невидимым.
Естественно, это всего лишь недоказанные наброски большими мазками. Догадки, которые должны быть высказаны уже только затем, чтобы выявить противоречивость подхода в целом на раннем этапе. А также, вопреки своей возможной ложности в деталях, они могут, наоборот, подстегнуть чей-то интерес к подходу.

Ненулевое время в особенной точке метрики

Здесь предлагаю для начала взглянуть на изменение угла кривизны в динамике:

Если условно представить движение объекта в гравитационном поле поворотом относительно плоского трёхмерного пространства наблюдателя, то исходное количество движения останется прежним, изменится только его конфигурация.
Я хочу сказать, что гравитационное поле можно представить пожирателем движения фундаментальных частиц, словно оно является воронкой в никуда, поворачивая их перемещение из наблюдаемого пространства в невидимом направлении, определённо связанном с наблюдаемым нами явлением энергии.
Причём, говоря поворачивая, я, естественно, не подразумеваю поворот в обычном, наблюдаемом пространстве. Гравитационное поле забирает часть движения частиц, как если бы те вращались и могли быть охарактеризованы частотой вращения комплексной составляющей, а гравитационное поле было берегом, который поджимает заходящие на него волны меняет количество движения вдоль, переводя его в движение поперёк. Увеличивает мнимую составляющую, уменьшая вещественную.
Таким образом, в предлагаемой парадигме континуума расширенной мерности движение не исчезает и не растягивается/сжимается. Оно перетекает из плоского наблюдаемого пространства $inline$ в перпендикулярном направлении совокупно определённом ранее как единая ось $inline$ , хоть полноценной осью, изоморфной остальным, судя по всему, не является. Однако ставка на аналогичное представление времени сто лет назад сыграла, хоть ось времени также не совсем обычна, поэтому продолжим пилить в этом месте.
Изменение относительного положения движущегося объекта в пространстве рекурсивно влияет на характеристику его дальнейшего движения так, как если бы на каждый тик $inline$ часть движения переходила из наблюдаемого плоского пространства в перпендикулярном ему направлении или наоборот в зависимости от направления.
Соответственно, точка $r_{s} = 2 GE / c^4$ (угол кривизны $\alpha = \pi / 4$ ) является граничным условием для безмассового объекта, при котором количество наблюдаемого движения объекта становится равно количеству движения изымаемого полем, что реконфигурирует собственное движение объекта в нечто иное, но прекращения движения последнего в пространстве $inline$ при этом всё же не происходит. Движение остаётся, мы его просто не видим.
Время объекта не останавливается, а энергия количество движения не становится бесконечной.

Решение уравнений ОТО для пятимерного пространства

Вначале я попытался пойти этим путём. С позволения сказать, в штыковую атаку. Но несколько недиагональных компонент в тензоре Риччи получились отличными от нуля (из-за взаимного влияния координат на неизвестные функции), и я не знал, что с этим дальше делать. Насильно приравнять нулю, и получить требуемую форму взаимодействия искомых функций, дало интересный результат, но, кроме этого допущения, логически получалось, что дополнительное измерение, будучи связанным с энергией, имело все шансы оказаться включением правой части уравнений составной частью тензора энергии-импульса (ТЭИ), и тогда его введение в геометрическую левую часть вряд ли сохраняло бы тождества.
В итоге, глядя на косую симметрию в метрике Шварцшильда и на угловую форму мультипликатора в метрике Фридмана, я подумал, а не получилось ли так, что на существующем этапе развития физической теории использование римановой геометрии дало чрезвычайно изящное представление о гравитационном поле в виде ОТО настолько прекрасное, что оно намертво вплело парадигму изгибаемого, неевклидового пространства-времени в умы нескольких поколений физиков. Окажись она ложной не в математическом выражении, но в самой сути представления явлений природы, и стагнация развития теоретической физики, запертой в тензорной ловушке, была бы обеспечена.
Забегая вперёд, выскажу догадку, что если всё-таки развернуть ТЭИ через геометрическое представление тотально, то его можно будет перенести в левую часть, и свернуть с формами пространственного тензора в более развитую, сложную, но в то же время и более лаконичную, форму расширенной мерности.
Однако, чтобы сделать это необходимо попытаться понять суть происходящих процессов называемых явлением гравитации заново. С какой-то другой, неизученной стороны.
Показанный в предыдущей статье принцип демонстрирует возможность ежемгновенного разложения искривления пространства вокруг массивного компактного объекта на ортогональные компоненты, что даёт нам возможность сделать шаг назад, к евклидовой геометрии, и посмотреть с этой позиции на явление гравитации как на поведение объектов внутри евклидова пространства увеличенной размерности, как если бы гравитация была явлением деформирующим сами объекты и их наблюдаемое поведение (относительность времени), а пространство и время при этом оставляла абсолютными (что даёт в перспективе отличный мостик обратно к энергии и её сохранению).
Подход в лоб не сработал, и я пошёл в обход.

Дополнительная ось комплексного пространства

Невидимое окно, в которое вытекает движение, выраженное объёмом $inline$ в объёмном представлении кривизны, возникает на горизонте объекта и зовёт в себя провалиться, тем неотвратимее, чем выше его относительная важность (масса к массе) против объекта и расстояние, читай, пространство, которое их разделяет.
Если объект склоняется к этому окну не только в видимом пространстве, но и незримо начинает участвовать в некотором дополнительном движении, по мере приближения соотносясь с мерой внутреннего движения объекта собственной участвуя в потоке, и отдавая на это часть собственного движения из видимого пространства, то из другого среза видимого пространства такой процесс выглядел бы как искривление времени, хотя в самом деле являлся его перераспределением.
Скажу проще. Кусок четырёхмерного объёма $inline$ , чьё возникновение в объёмном представлении кривизны в метрике Шварцшильда:

$\frac{V_b - V_d}{V_r} = | V_d = 0 | = 1$

обуславливает её отклонение от псевдоевклидовой метрики, то есть, собственно, и отвечает за возникновение этой самой кривизны континуума, в четырёхмерной (3-пространство и время) версии последнего вырезается на каждый тик $inline$ , и разжиженные остатки пространства-времени стягиваются в центр, склеиваясь краями, чтобы не было видно дыры.
Я же просто предлагаю попробовать дать этой катаракте собственное измерение, чтобы уже перестать натягивать четырёхмерную сову на пятимерный, как минимум, глобус.
В дополнение к трём осям $(\rho, \theta, \phi)$ (для удобства сразу представим его в сферических координатах) введём ось $inline$ .
В предыдущей статье мы увидели, что радиальное смещение объекта в гравитационном поле в любой момент времени может быть представлено пифагоровой суммой двух величин:

$display$

одна из которых $inline$ не связана с энергией массивного тела (в отсутствие $inline$ оставляет пространство-время плоским), а другая $inline$ связана.
Теперь, чтобы двигаться дальше, представим составляющую $inline$ частью мнимой оси $inline$ , а $inline$ частью вещественной оси $\rho$ :

$r^2 = \rho^2 + \imath^2 w^2$

где $\rho$ радиальная координата псевдоевклидова пространства, а $inline$ дополнительная ось энергетического характера.
Как минимум, чтобы не получать $inline$ при дифференцировании последнего.

Двухмерная радиальная координата

Дальше в комплексном представлении радиальной координаты используется только соответствующая координата плоского пространства $\rho$ . Ось $\rho$ будет вещественной, её единичным вектором будет $\hat{h}$ .
Мнимой осью будет количество требуемого (изымаемого из наблюдаемого пространства) гравитацией движения объекта (как своего рода эвфемизм для $inline$ , ведь именно наличие энергии массы создаёт поле) элементарной частицы или их совокупности $inline$ . Для обозначения единичного вектора этой оси мы введём несколько необычное для мнимой единицы обозначение $\hat{v} = \sqrt{-1}$ , чтобы далее не путать со стандартным набором $\imath, \jmath, k$ мнимых единиц в кватернионе, с которым столкнёмся в третьей статье цикла.
Тогда состояние поля, создаваемого некоторым массивным объектом, в любой точке расширенного таким образом пространства можно представить как разность квадратов расстояния до центра объекта в плоском 3-пространстве и некоторой энергетической глубины, которую требует поле в виде своего рода контрибуции движения, изымаемого из плоского наблюдаемого пространства, объекта, перемещающегося с наличием радиальной компоненты:

$\vec{r}^2 = \vec{\rho}^2 + \vec{w}^2 = \hat{h}^2 \cdot \rho^2 + \hat{v}^2 \cdot w^2$

В представленном таким двухмерным образом пространстве $( \rho, w )$ , мы можем описать произвольный вектор $\vec{r}$ через векторную сумму действительного и мнимого векторов:

$\vec{r} = \vec{\rho} + \vec{w} = \hat{h} \cdot \rho + \hat{v} \cdot w$

Кроме того, ввиду псевдоевклидовости комплексной плоскости верным будут также:

$d\vec{r}^2 = \hat{h}^2 \cdot d\rho^2 + \hat{v}^2 \cdot dw^2 = d\rho^2 - dw^2$

Также нам пригодится такой результат дифференцирования первой формулы в этой главе:

$\vec{r} \cdot d\vec{r} = \hat{h}^2 \cdot \rho \cdot d\rho + \hat{v}^2 \cdot w \cdot dw$

Эта замечательная форма даст нам далее некоторые удобные инструменты.

Комплексное представление расширенного пространства

Теперь не поленимся, и проверим как изменится выражение множителя метрики Шварцшильда в комплексном представлении:

$\begin{array}{rlcl} ] & \Xi & = & 1- 2 \cdot \frac{GE}{c^4 r}; \\ ] & \vec{u} & = & \frac{GE}{c^4} = e^{z_1} = e^{x_1 + \imath \alpha}, \ \vec{u}, z_1 \in \mathbb{C}; \\ ] & \vec{r} & = & e^{z_2} = e^{x_2 + \imath \alpha} = |r| \cdot e^{\imath \alpha}, \ \vec{r}, z_2 \in \mathbb{C}: \quad \Xi = 1 - 2 \cdot \frac{\vec{u}}{\vec{r}}; \\ & \Xi & = & 1 - 2 \cdot \frac{\vec{u}}{\vec{r}} + \frac{\vec{u}^2}{\vec{r}^2} - \frac{\vec{u}^2}{\vec{r}^2} = \left( \frac{\vec{r} - \vec{u}}{\vec{r}} \right)^2 - \frac{\vec{u}^2}{\vec{r}^2} = \\ & & = & \left( \frac{\vec{r} - \vec{u}}{\vec{r}} \right)^2 + \frac{\vec{a}^2}{\vec{r}^2} - \frac{\vec{u}^2}{\vec{r}^2} - \frac{\vec{a}^2}{\vec{r}^2}, \quad \vec{a} \in \mathbb{C} : \\ ] & \Re(r) & = & ( \vec{r} - \vec{u} ) + \vec{a}; \\ ] & \Im(r) & = & (\vec{u} - \vec{a}) / \imath = - (\vec{u} - \vec{a}) \cdot \imath: \\ & \vec{r} & = & \Re(r) + \Im(r) \cdot \imath \\ \exists & e^{\imath \alpha}, \quad \vec{a} & \perp & \vec{r}: \\ & \Re^2(r) & = & ( \vec{r} - \vec{u} )^2 + \vec{a}^2; \\ & \Im^2(r) & = & - \vec{u}^2 - \vec{a}^2 : \\ & \Xi & = & \frac{\Re^2(r)}{\vec{r}^2} + \frac{\Im^2(r) }{ \vec{r}^2}; \\ ] & \vec{\rho} & = & \Re(r); \\ ] & \vec{w} & = & \Im(r): \\ & \Xi & = & (\vec{\rho}^2 + \vec{w}^2 ) / \vec{r}^2 = \\ & & = & |\vec{r}|^2 / \vec{r}^2 = \\ & & = & e^{-2 \alpha \imath} \end{array}$

Любую пару скалярных чисел $inline$ можно представить парой таких коллинеарных векторов $( \vec{r}; \vec{u} ) \in \mathbb{C}$ в комплексной плоскости, что угол поворота (кривизны) $\alpha = \mathtt{ Arg(\vec{r}) }$ задавал его действительную и мнимую части как обратные проекции векторов $(\vec{r} - \vec{u})$ и $\vec{u}$ на оси, соответственно.
Наглядно (показано в первом квадранте, для четвёртого отрицательного угла $\alpha$ естественно, тоже работает):

Переворот дополнительной оси $inline$ из действительного во мнимое пространство позволил нам выразить радиальную компоненту метрики Шварцшильда гораздо элегантнее:

$\frac { dr^2 }{ 1 - 2 \cdot \frac{ GE }{ c^4 \cdot r}} = e^{ 2 \alpha \imath } \cdot d\vec{r}^2 \rightarrow (1)$

Это, как минимум, красиво.

Время

Множитель темпоральной компоненты при переносе вектора $\vec{r}$ на комплексную плоскость перевернулся, но для компоненты в целом это ничего не меняет хоть аргумент стал отрицательным, $\cos$ чётная функция.

$\begin{array}{ccl} e^{-2 \hat{v} \alpha } \cdot dt^2 & = & \left[ \hat{h} \cdot \cos (-\alpha) + \hat{v} \cdot \sin (-\alpha) \right]^2 \cdot dt^2 = \\ & = & \left[ \cos^2 \alpha + \hat{ v }^2 \cdot \sin^2 \alpha \right] \cdot dt^2 \end{array}$

Именно это свойство времени подспудно подтолкнуло меня к мысли о его абсолютности как бы взаимно не располагались две другие части расширенной метрики, время объекта в континууме наблюдателя всегда меняется одинаково. Оно тратится на перемещение, в каком бы направлении не происходило движение, и как бы ни выражалось.
Подробнее об этом в третьей статье цикла.

Радиальная компонента

Очевидно, что $e^{ 2 \alpha \imath }$ часть самого вектора $\vec{r} = |r| \cdot e^{ \alpha \imath }$ , тогда нам остаётся только дополнить её модулем $inline$ , чтобы сломать окончательно:

$(1) \rightarrow e^{ 2 \alpha \imath } \cdot d\vec{r}^2 = \frac{ |r|^2 \cdot e^{ 2 \alpha \imath } \cdot d\vec{r}^2 }{ |r|^2 } = \left( \frac{ \vec{r} \cdot d\vec{r} }{ |r| } \right)^2 \rightarrow (2)$

Как было показано выше, $\vec{r} \cdot d\vec{r} = \hat{h}^2 \cdot \rho \cdot d\rho + \hat{v}^2 \cdot w \cdot dw$ , подставим:

$(2) \rightarrow \left( \frac{ \vec{r} \cdot d\vec{r} }{ |r| } \right)^2 = \left( \frac{ \hat{h}^2 \cdot \rho \cdot d\rho + \hat{v}^2 \cdot w \cdot dw }{ |r| } \right)^2 = \hat{h}^4 \cdot \cos^2 \alpha \cdot d\rho^2 + \hat{v}^4 \cdot \sin^2 \alpha \cdot dw^2$

И вот энергоглубина, выделенная в отдельную координату $inline$ , изящно отвалилась по шву от плоского пространства.

Угловые координаты

Чтобы преобразовать угловые координаты, выразим квадрат вектора $\vec{r}$ с учётом поворота на угол кривизны:

$\begin{array}{ccl} \vec{r}^2 & = & \hat{h}^2 \cdot |r|^2 \cdot\cos^2 \alpha + \hat{v}^2 \cdot |r|^2 \cdot \sin^2 \alpha = \\ & = & ( \rho^2 + w^2 ) \cdot (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = \\ & = & \rho^2 \cdot \cos^2 \alpha - w^2 \cdot \sin^2 \alpha - \rho^2 \cdot \sin^2 \alpha + w^2 \cdot \cos^2 \alpha = \\ & = & \rho^2 \cdot \cos^2 \alpha - w^2 \cdot \sin^2 \alpha - \frac{ \rho^2 \cdot w^2 }{ |r|^2 } + \frac{ w^2 \cdot \rho^2 }{ |r|^2 } = \\ & = & \rho^2 \cdot \cos^2 \alpha - w^2 \cdot \sin^2 \alpha = \\ & = & \rho^2 \cdot \cos^2 \alpha + \hat{v}^2 \cdot w^2 \cdot \sin^2 \alpha \end{array}$

Преобразование интервала

Теперь мы можем разделить координаты во всём интервале полностью:

$\begin{array}{ccl} ds^2 & = & \left( 1 - \frac{ GE }{ \mathtt{ c }^4 r } \right) \cdot dt^2 - \left( 1 - \frac{ GE }{ \mathtt{ c }^4 r } \right)^{-1} \cdot dr^2 - r^2 \cdot d\theta^2 - r^2 \cdot \sin^2 \theta \cdot d\phi^2 = \\ & = & \color{red}{ \cos^2 \alpha \cdot dt^2 - \sin^2 \alpha \cdot dt^2 } - \\ & - & \color{green} { \cos^2 \alpha \cdot d\rho^2 - \cos^2 \alpha \cdot \rho^2 \cdot \left[ d\theta^2 + \sin^2 \theta \cdot d\phi^2 \right] } - \\ & - & \color{blue}{ \sin^2 \alpha \cdot dw^2 + \sin^2 \alpha \cdot w^2 \cdot \left[ d\theta^2 + \sin^2 \theta \cdot d\phi^2 \right] } = \\ & = & \color{red}{ \cos^2 \alpha \cdot dt^2 } - \color{green} { \cos^2 \alpha \cdot \left[ d\rho^2 + \rho^2 \cdot d\theta^2 + \rho^2 \cdot \sin^2 \theta \cdot d\phi^2 \right] } - \\ & - & \color{red}{ \sin^2 \alpha \cdot dt^2 } + \color{blue}{ \sin^2 \alpha \cdot \left[ - dw^2 + w^2 \cdot d\theta^2 + w^2 \cdot \sin^2 \theta \cdot d\phi^2 \right] } = \\ & = & \cos^2 \alpha \cdot \left[ \color{red}{ dt^2 } - \color{green} { d\rho^2 - \rho^2 \cdot d\theta^2 - \rho^2 \cdot \sin^2 \theta \cdot d\phi^2 } \right] - \\ & - & \sin^2\alpha \cdot \left[ \color{red}{ dt^2 } - \color{magenta}{ \hat{?}^2 } \color{blue}{ \cdot dw^2 - w^2 \cdot d\theta^2 - w^2 \cdot \sin^2 \theta \cdot d\phi^2 } \right] \rightarrow ? \\ & \rightarrow & \cos^2 \alpha \cdot \color{green}{ ds_\rho^2 } - \sin^2 \alpha \cdot \color{blue}{ ds_w^2 } \end{array}$

Вот так поворот. Был бы, если бы не перевёрнутый знак перед $inline$ (маджента). Именно такая возможность представления формы метрики Шварцшильда не давала мне покоя, но почему возникает ошибка?
Как бы по-идиотски это не звучало, она возникает, потому что мы выносим не тот минус один, который, будучи вынесенным, даст положительное значение при $inline$ , а тот, который оставит $inline$ отрицательным, как и оба других слагаемых угловых координат.
Для того, чтобы разобраться в этой математике, нам потребуется ввести дополнительный вектор $\hat{ u }^2 = -1, \ \hat{ u } \in \Im$ мнимой оси комплексного пространства, который задаёт 3-пространство относительно времени в стандартном интервале, например, в метрике Минковского:

$ds^2 = dx_0^2 + \hat{ u }^2 \cdot \left[ dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2 \right]$

Тогда введённый ранее вектор $\hat{ v }^2 = -1, \hat{ v } \in \Im$ будет ему всегда перпендикулярен $\hat{ u } \perp \hat{ v }$ по определению.
Но, как известно, математики для двух мнимых осей нет, только для трёх, поэтому введём сразу ещё один базовый мнимый вектор $\hat{ w }^2 = -1, \hat{ w } \in \Im$ , и определим результаты взаимных операций над ними аналогично кватернионам:

$\hat{ u }^2 = \hat{ v }^2 = \hat{ w }^2 = \hat{ u } \cdot \hat{ v } \cdot \hat{ w } = -1, \\ \hat{ u } \cdot \hat{ v } = \hat{ w }, \ \hat{ v } \cdot \hat{ w } = \hat{ u }, \ \hat{ w } \cdot \hat{ u } = \hat{ v }, \\ \hat{ v } \cdot \hat{ u } = - \hat{ w }, \ \hat{ w } \cdot \hat{ v } = - \hat{ u }, \ \hat{ u } \cdot \hat{ w } = - \hat{ v }$

Тогда интервал метрики Шварцшильда с мнимыми векторами в явном виде будет:

$\begin{array}{ccl} ds^2 & = & \color{red}{ (\cos^2 \alpha + \hat{v}^2 \cdot \sin^2 \alpha ) \cdot dt^2 } + \\ & + & \color{green}{ \hat{u}^2 \cdot \cos^2 \alpha \cdot \left( d\rho^2 + \rho^2 \cdot \left[ d\theta^2 + \sin^2 \theta \cdot d\phi^2 \right] \right) } + \\ & + & \color{blue}{\hat{u}^2 \cdot \sin^2 \alpha \cdot \left( \hat{v}^4 \cdot dw^2 + \hat{ v }^2 \cdot w^2 \cdot \left[ d\theta^2 + \sin^2 \theta \cdot d\phi^2 \right] \right) } = \\ & = & \color{red}{ \cos^2 \alpha \cdot dt^2 } + \color{green}{ \hat{u}^2 \cdot \cos^2 \alpha \cdot \left( d\rho^2 + \rho^2 \cdot \left[ d\theta^2 + \sin^2 \theta \cdot d\phi^2 \right] \right) } + \\ & + & \color{red}{ \hat{v}^2 \cdot \sin^2 \alpha \cdot dt^2 } + \color{blue}{ \hat{u}^2 \cdot \sin^2 \alpha \cdot \left( \hat{v}^4 \cdot dw^2 + \hat{ v }^2 \cdot w^2 \cdot \left[ d\theta^2 + \sin^2 \theta \cdot d\phi^2 \right] \right) } = \\ & = & \cos^2 \alpha \cdot \color{green}{ ds_\rho^2 } + \\ & + & \sin^2 \alpha \cdot \color{magenta}{ \hat{ v }^2 } \cdot \left( \color{red}{ dt^2 } + \color{blue}{ (-\hat{ w })^2 \cdot dw^2 + (- \hat{ u })^2 \cdot w^2 \cdot \left[ d\theta^2 + \sin^2 \theta \cdot d\phi^2 \right] } \right) \end{array}$

Можно менять направление тройки $\hat{ u } \cdot \hat{ v } \cdot \hat{ w } = -1 \rightarrow \hat{ w } \cdot \hat{ v } \cdot \hat{ u } = -1$ с левого на правое, можно выносить $\hat{ v }^2$ (маджента) направо операции некоммутативны. Как ни крути, на языке кватернионов перед всеми пространственными слагаемыми в последней строке будет квадрат мнимого вектора.
Тогда, приняв, что $ds_\rho^2 = \hat{h}^2 \cdot dt^2 + \hat{u}^2 \cdot \left( d\rho^2 + \rho^2 \cdot d\theta^2 + \rho^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2 \right)^2$ квадрат проекции вектора $d\vec{ s } \in \psi$ , принадлежащего расширенному комплексному пространству $\psi ( \hat{h}, \vec{r} (\hat{u}, \hat{v}, \hat{w}), \hat{\theta}, \hat{\phi} ) = \mathbb{R}^6 \ \dagger$ ), на условно плоское пространство наблюдателя $\psi_\rho ( \hat{h}, \hat{u}, \hat{\theta}, \hat{\phi} ) = \mathbb{R}^4$ , а $inline$ по аналогии, квадрат проекции этого же вектора внутрь подпространства $\psi_w ( \hat{h}, \hat{v}, \hat{w}, \hat{\theta}, \hat{\phi} ) = \mathbb{R}^5$ , то движение объекта в гравитационном поле может быть представлено как чистый поворот:

$ds'^2 = \cos^2 \alpha \cdot ds_\rho^2 + \hat{v}^2 \cdot \sin^2 \alpha \cdot ds_w^2 = \left( e^{\hat{v} \alpha} \cdot d\vec{s} \right)^2 = \left( \mathbf{v} \cdot d\vec{s} \right)^2 \quad \quad (3)$

где $\mathbf{v} = e^{ \hat{v} \alpha } = \cos \alpha + \hat{v} \cdot \sin \alpha$ ротор, нормализованный вектор поворота. Пока только как индуктивный эскиз от частного к общему.
В третьей статье цикла я постараюсь обобщить модель интервала из тех черт, которые проступили по ходу проведённого изыскания, и других известных свойств явлений природы. Так, чтобы поворотами приводить интервал к известным частным случаям.
$\dagger$ минимальное количество осей для формализации шесть: время $\hat{h}$ , трёхсоставная радиальная ось $\vec{r} ( \hat{ u }, \hat{ v }, \hat{ w } )$ , две угловые оси $\hat{ \theta }, \hat{ \phi }$ .
Простыми словами геометрия траектории объекта в сферически симметричном гравитационном поле может быть представлена как поворот четырёхмерного плоского (псевдоевклидова) пространства-времени относительно дополнительных, пятой и шестой мнимых осей.

Заключение

Сначала я подумал, что, возможно, если детально разобраться с единицами измерения угла кривизны $\alpha$ , расчёт относительных траекторий массивных тел через $inline$ стал бы гораздо проще и точнее. И к этому несомненно стоит вернуться.
Но, ввиду просматривающейся тенденции, я решил уделить время гораздо более интересному направлению развития теории:
1. Специальная теория относительности. Взаимное движение объектов разных кинетических энергий может быть представлено как движение в континуумах, повёрнутых друг относительно друга (буст).
2. Общая теория относительности. Решение Фридмана. Масштабный фактор расширения Вселенной может быть представлен как угол поворота относительно дополнительной, ненаблюдаемой оси.
3. Общая теория относительности. Решение Шварцшильда. Изменение интервала, соответствующее движению объекта в гравитационном поле, можно представить как поворот относительно дополнительных ненаблюдаемых осей.
Я подумал, что неплохо было бы составить мат. модель, которая обобщала бы все эти повороты. Подобная генерализация, впрессованная в контуры известных вакуумных решений и СТО, могла бы случайно наследовать ряд свойств необходимых, чтобы соответствовать и другим наблюдаемым физическим эффектам. Возможно, она позволила бы взглянуть под другим углом на многие известные явления природы, и дать им интерпретацию. Это, кроме того, что она позволила бы легко обсчитывать комбинированные движения как сумму поворотов. Да много чего ещё там вкусного может быть дух захватывает от этой перспективы.
А с Геометрическим представлением кривизны в метрике Шварцшильда локально я вроде закончил.
Читателей очень прошу, кому не лень, проверить математику. Я её люблю, она взаимна, но она царица, а я всего лишь человек могу ошибаться.

Подробнее..

Перевод Спросите Итана пространство-время реальная сущность или просто концепция?

28.02.2021 12:13:00 |

Автор: admin

Схема сильного искривления пространства-времени вблизи горизонта событий чёрной дыры. Чем ближе вы приближаетесь к массивному телу, тем сильнее искривляется пространство. В итоге вы оказываетесь в таком месте, откуда не может убежать даже свет: внутри горизонта событий.

Большинство людей, думая о Вселенной, представляют себе материальные объекты, находящиеся на огромных космических расстояниях друг от друга. Под действием собственной гравитации материя схлопывается, формируя такие космические структуры, как галактики. Газовые облака, сжимаясь, порождают звёзды и планеты. Звёзды испускают свет, сжигая топливо в реакциях ядерного синтеза. Этот свет проходит по всей Вселенной, подсвечивая всё, на что натолкнётся. Однако Вселенная это не только объекты внутри неё. Есть ещё и ткань пространства-времени, играющая по своим правилам по правилам общей теории относительности (ОТО). Ткань пространства-времени искривляется в присутствии материи и энергии, при этом само искривление ткани пространства-времени диктует материи и энергии, как им двигаться. Но что такое, конкретно, пространство-время это нечто реальное, или просто облегчающий подсчёты инструмент? Об этом нас спрашивает читатель:

Что именно представляет собой пространство-время? Это реальная штука типа атомов, или математический конструкт, используемый для описания того, как масса порождает гравитацию?

Отличный вопрос, а его тема достаточно сложна для размышлений. Более того, до появления Эйнштейна наше представление о Вселенной сильно отличалось от текущего. Давайте вернёмся в далёкое прошлое Вселенной, когда у нас ещё не было концепции пространства-времени, и будем двигаться вперёд, до сегодняшнего дня.

На всех масштабах, от макроскопических до субатомных, размеры фундаментальных частиц играют мало роли в определении конечных размеров составных структур. Являются ли эти строительные кирпичики материи воистину фундаментальными точечными частицами, неизвестно до сих пор. Однако мы разбираемся в строении Вселенной от гигантских, космических масштабов, до крохотных, субатомных. К примеру, в человеческом теле содержится около 10²⁸ атомов.

На фундаментальном уровне мы уже давно подозревали, что если взять какой угодно объект во Вселенной, и начать делить его на всё меньшие и меньшие составные части, в итоге можно достичь чего-то неделимого. Слово атом буквально и означает неделимый, от греческого . Первое упоминание об этой идее встречается 2400 лет назад, у Демокрита. Однако вполне вероятно, что идею могли придумать и раньше. Такие неделимые сущности реально существуют они известны, как квантовые частицы. Несмотря на то, что мы назвали атомами элементы таблицы Менделеева, истинно неделимыми являются субатомные частицы кварки, глюоны и электроны (а также те частицы, что вовсе не встречаются в атомах).

Все эти кванты связываются вместе и составляют все известные нам сегодня составные структуры Вселенной от протонов и атомов до молекул и людей. И все эти кванты, вне зависимости от их типа материя это или антиматерия, есть у них масса или нет, фундаментальные они или составные, субатомные у них масштабы или космические существуют в рамках той же самой Вселенной, что и мы.

Если знать все правила, отвечающие за движение объекта в пространстве-времени, а также начальные условия и все силы, действующие между объектом и остальной частью системы, можно предсказать, как он будет двигаться сквозь пространство и время. Но местоположение объекта нельзя указать точно, не добавив к пространственным координатам временную.

А это важно, поскольку если вы хотите, чтобы все вещи во Вселенной делали что-то друг с другом взаимодействовали, связывались, формировали структуры, передавали энергию нужно, чтобы существовал способ это делать. Представьте себе пьесу, в которой все персонажи прописаны, актёры готовы их играть, костюмы подготовлены, все строки прописаны и выучены. Недостаёт лишь одной, но очень важной вещи сцены.

Что играет роль сцены в физике?

До появления Эйнштейна сцену обустраивал Ньютон. Всех актёров Вселенной можно было описать набором координат местоположением в трёхмерном пространстве и моментом во времени. Всё было похоже на решётку декартовых координат трёхмерную структуру с осями x, y и z, где у каждого объекта может быть импульс, описывающий его движение в пространстве как функция от времени. Само время считалось линейным, идущим с неизменной скоростью. В представлении Ньютона пространство и время были абсолютными.

Мы часто представляем себе пространство в виде трёхмерной решётки, хотя это чрезмерное упрощение, зависящее от системы отсчёта. На самом деле пространство-время искривляется в присутствии материи и энергии, а расстояния в нём не фиксированы, а изменяются с расширением или сжатием Вселенной

Однако открытие в конце XIX века радиоактивности бросило на картину мира Ньютона тень сомнений. Узнав, что атомы могут испускать субатомные частицы, движущиеся со скоростью света, мы поняли нечто удивительное: когда частица движется со скоростью, близкой к скорости света, она воспринимает пространство и время совершенно не так, как объект, движущийся медленно или покоящийся.

Нестабильные частицы, очень быстро распадающиеся в состоянии покоя, жили тем дольше, чем ближе их скорость была к скорости света. Эти частицы проходили расстояния большие, чем должны были, исходя из их скорости и времени жизни. А при попытке подсчитать энергию или импульс движущейся частицы разные наблюдатели (движущиеся с разными скоростями относительно неё) получали несовпадающие значения.

Получается, что с концепцией пространства-времени от Ньютона что-то было не так. На скоростях, близких к скорости света время удлиняется, расстояния сжимаются, а энергия и импульс зависят от системы отсчёта. То есть, ваше восприятие Вселенной зависит от того, как вы двигаетесь.

Световые часы, в которых протон отражается от двух зеркал, могут отсчитывать время для любого наблюдателя. И хотя двое наблюдателей могут не сойтись во мнении о том, сколько времени прошло между двумя моментами, они могут договориться о законах физики и константах Вселенной, в частности, о скорости света. У неподвижного наблюдателя время идёт как обычно, а у быстро движущегося часы будут идти медленнее, чем у неподвижного.

Эйнштейн отвечает за выдающийся прорыв в концепции реальности, описывавшей, какие величины не меняются при движении наблюдателя, а какие зависят от системы отсчёта. К примеру, скорость света одинакова для всех наблюдателей, как и масса покоя любого количества материи. А вот расстояние между двумя точками сильно зависит от вашего движения вдоль линии, их соединяющей. Скорость, с которой идут ваши часы, также зависит от вашего движения.

Пространство и время оказались не абсолютными, как думал Ньютон, и воспринимались разными наблюдателями по-разному. Они оказались относительными, поэтому теория и называется теорией относительности. Более того, между восприятием неким наблюдателем пространства и времени есть определённая связь. Через пару лет после публикации Эйнштейном специальной теории относительности (СТО) её вывел его бывший профессор Герман Минковский. Он вывел единую математическую структуру, включающую пространство и время: пространство-время. Как писал он сам,

Отныне время само по себе и пространство само по себе становятся пустой фикцией, и только единение их сохраняет шанс на реальность.

Сегодня это пространство-время широко используется до сих пор, если можно пренебречь гравитацией: пространство Минковского.

Световой конус, трёхмерная поверхность, составленная из всех возможных световых лучей, приходящих и исходящих из одной точки пространства-времени. Чем больше вы проходите в пространстве, тем меньше вы проходите во времени, и наоборот. Сегодня на вас может воздействовать только то, что было в световом конусе прошлого. В будущем вы сможете воспринять только те вещи, которые содержатся в вашем световом конусе будущего. Это иллюстрация плоского пространства Минковского, не искривлённого пространства ОТО.

Но в реальной Вселенной есть гравитация. Это сила не действует мгновенно через огромные пространства космоса. Она распространяется с той же скоростью, что и все безмассовые кванты: со скоростью света. Все правила, сформулированные в СТО, остаются применимыми, но чтобы включить в картину гравитацию, требовалось нечто большее: представление о наличии у пространства-времени собственной кривизны, зависящей от присутствия в нём материи и энергии.

В каком-то смысле это просто: если вы разместили на сцене актёров, сцена должна выдерживать их вес. Если актёры массивные, а сцена не идеально жёсткая, она будет деформироваться в их присутствии.

То же явление работает и с пространством-временем: наличие материи и энергии искривляет его, а это искривление влияет на расстояния (пространство) и скорость хода часов (время). Более того, влияние это получается довольно сложным. Если вычислять влияние материи и энергии на пространство-время, то пространственные и временные эффекты оказываются связанными. Линии трёхмерной решётки, которую мы представляли в СТО, в ОТО искривляются.

Появление массы в пустой трёхмерной решётке заставляет её линии искривляться определённым образом. Они как бы вытягиваются в сторону массы.

Пространство-время можно представлять себе как чисто вычислительный инструмент, и остановиться на этом. В математике даже пространство-время можно описать метрическим тензором. Этот формализм позволяет вычислить, как любое поле, прямая, дуга, расстояние и т.п. могут существовать в нём определённым, точно описанным образом. Пространство может быть плоским или сколь угодно искривленным, конечным или бесконечным, открытым или закрытым, и состоять из любого количества измерений. В ОТО метрический тензор четырёхмерный (с тремя пространственными и одним временным измерением), а кривизну пространства-времени определяют материя, энергия и его внутренние напряжённости.

Проще говоря, кривизну пространства-времени определяет содержимое Вселенной. А затем можно взять кривизну пространства-времени и предсказать, как любая часть материи и энергии будет двигаться и меняться со временем. Правила ОТО позволяют нам предсказывать, как материя, свет, антиматерия, нейтрино и даже гравитационные волны будут двигаться сквозь Вселенную. Все эти предсказания прекрасно совпадают с нашими наблюдениями и измерениями.

Сигнал от события GW190521, связанного с появлением гравитационных волн, зафиксированный тремя детекторами. Продолжительность сигнала составила около 13 мс, но он представляет энергию, эквивалентную преобразованию 8 солнечных масс в чистую энергию через уравнение Эйнштейна E = mc².

Что мы не измеряем, так это само пространство-время. Мы можем измерять расстояния и временные интервалы но всё это непрямое зондирование лежащего в их основе пространства-времени. Мы можем измерить всё, что с нами взаимодействует тела, инструменты, детекторы однако взаимодействие происходит только при наличии двух объектов в одной точке пространства-времени, когда при их встрече регистрируется событие.

Мы можем измерить все воздействия, которые искривлённое пространство-время оказывает на материю и энергию Вселенной, а именно:

Красное смещение излучения, порождённое расширением Вселенной;
Изгиб света из-за присутствия на переднем плане масс;
Увлечение инерциальных систем отсчёта при наличии вращающегося тела;
Дополнительная прецессия орбит из-за гравитационных эффектов, выходящая за рамки предсказаний Ньютона;
Набирание энергии светом, падающим в гравитационное поле, и потеря энергии при выходе из него;

А также множество других воздействий. Однако из того, что мы можем измерять лишь воздействие пространства-времени на материю и энергию Вселенной, но не само пространство-время, следует, что пространство-время ведёт себя неотличимым от простого инструмента вычисления образом.

Квантовая гравитация пытается объединить ОТО Эйнштейна с квантовой механикой. Квантовые поправки к классической гравитации обозначаются в виде петлевых диаграмм, как та, что показана на рисунке белым цветом. Если расширить Стандартную Модель, включив в неё гравитацию, симметрия, описывающая CPT (симметрия Лоренца) может стать только приблизительной, могут появиться её нарушения. Однако пока что в экспериментах таких нарушений не наблюдалось.

Но это не значит, что пространство-время не является реальной физической сущностью. Наблюдая актёров, играющих пьесу, вы вправе назвать то место, где идёт пьеса, сценой, будь то поле, платформа, голая земля и т.п. Даже если бы пьеса разыгрывалась в невесомости космоса, вы бы просто могли отметить, что в качестве сцены используется свободно падающая система отсчёта.

В физической Вселенной, насколько нам известно, невозможно существование объектов и взаимодействие между ними без пространства-времени. Где есть пространство-время, там работают законы физики, и существуют фундаментальные квантовые поля, лежащие в основе всего. В каком-то смысле, ничто это вакуум пустого пространства-времени, а разговор о том, что происходит в отсутствии пространства-времени, не имеет смысла по крайней мере, с точки зрения физики. Нет смысла говорить о где, лежащем за границами пространства, и когда, выходящем за границы времени. Возможно, что-то такое и существует, но физических концепций этой сущности у нас нет.

Анимация взаимодействия пространства-времени с массой, движущейся сквозь него. Из неё видно, что пространство-время это не просто некая ткань. Всё трехмерное пространство искривляется в присутствии массы и энергии. Несколько вращающихся друг вокруг друга масс порождают гравитационные волны.

Самое интересное, что у нас есть ещё много вопросов о природе пространства-времени, оставшихся без ответа. Являются ли пространство и время квантовыми и дискретными, разделёнными на невидимые участки, или же они непрерывны? Является ли гравитация квантовым взаимодействием, как все остальные известные силы, или это классическая, непрерывная ткань, тянущаяся вплоть до планковских масштабов? Если пространство-время отличается от того, что говорит нам ОТО, то как именно, и каким образом мы можем это обнаружить?

Но, несмотря на всё то, что пространство-время позволяет нам предсказать и узнать, оно не является такой же реальной сущностью, как атом. Нельзя каким-то образом напрямую обнаружить пространство-время обнаружить можно только отдельные кванты материи и энергии, существующие в вашем пространстве-времени. Мы описали пространство-время в виде ОТО Эйнштейна, и она успешно предсказывает и объясняет все физические явления, когда-либо обнаруженные и измеренные нами. Однако вопрос о том, что оно собой представляет, и реально оно или нет, для современной науки пока остаётся открытым.

Подробнее..

Категории: Научно-популярное , Физика , Вселенная , Ото , Эйнштейн , Пространство-время , Сто , Минковский

Проблематика измерения скорости света

18.03.2021 20:06:33 |

Автор: admin

Человечество исследует свет как физическое явление уже больше 2000 лет. Может сложиться впечатление, что этот феномен досконально изучен. Но не все так однозначно. На некоторые вопросы до сих пор нет однозначного ответа.

Как все начиналось

Вообще, при изучении света у ученых всегда возникали различные сложности. Для античных ученых проблемой являлось определение самой природы света. Некоторые из них объясняли способность человека видеть лучами, идущими из глаз. А римский писатель Лукреций, наоборот был близок к истине. В своих трудах он писал о том, что свет и тепло состоят из маленьких движущихся частиц, но, к сожалению, его идеи не обрели популярности. В итоге, сформированная в античности точка зрения о бесконечной скорости света была основной до 17 века.

17 век стал началом активного изучения природы света. Изобретение телескопа, корпускулярная теория света Ньютона и Декарта, волновая теория Гука и Гюйгенса, а также первая оценка скорости света Олафа Рёмера. Изучая затмения спутников Юпитера, он заметил, что время затмений отклоняется от усредненного расписания, в зависимости от расстояние между Землей и Юпитером. Когда оно увеличивается, то затмения отстают от расписания, и наоборот. Рёмер связал этот факт с тем, что свет проходит больший или меньший путь, в зависимости от положения планет. К сожалению, у ученых 17 века, в том числе и Рёмера, не было возможности достаточно точно измерить время и расстояния. Поэтому, пользуясь доступными ему средствами, он рассчитал скорость света и получил 220000 км/с.

Рисунок из статьи Рёмера. Рёмер наблюдал затмения в точках E. K. L. H, G, F

Как обстоят дела сегодня

Если 17 век можно охарактеризовать отсутствием необходимых технологий, то в наше время с этим проблем нет. Высокочастотные лазеры, невероятно точные часы. Но возникает другая проблема практическая реализация измерения скорости. Представим измерение скорости света. Возьмём точные часы, источник света, например лазер, и зеркало. Включим лазер и измерим, за какое время луч пройдет от лазера до зеркала и обратно. Поделим два расстояния от лазера до зеркала на время и получим скорость света. В ходе такого эксперимента мы получим двустороннюю скорость света. Двусторонняя, потому что свет во время измерения проходит один и тот же путь два раза(от лазера до зеркала и обратно). В чем может быть проблема? Возможно, скорость света явление анизотропное, то есть имеет различное значение в разных направлениях. Например. в одну сторону луч движется со скоростью c/2, а возвращается мгновенно. Различия могут быть менее существенными, например в несколько процентов. Но для того, чтобы подтвердить или опровергнуть эту теорию необходимо измерить одностороннюю скорость света.

Схема измерения скорости света

Одновременность и синхронизация Эйнштейна

Для измерения односторонней скорости света мы не обойдемся одними часами как в случае измерения двусторонней скорости (т.е. по замкнутой траектории). Самого понятия односторонняя скорость нет, пока мы не определим, что такое одно и то же время в двух разных местах. Поэтому понадобится пара часов, чтобы измерить время старта и финиша по одной временной шкале. Для этого нужно синхронизировать часы. Именно от того, каким образом мы сделаем это, зависит измерение величины односторонней скорости. Таким образом, одновременность двух событий в одной системе отсчета, разделенных расстоянием определяется соглашением о том, как синхронизировать часы в этих двух точках. В работе К электродинамике движущихся тел Эйнштейн предложил схему, которая названа синхронизацией Эйнштейна. Согласно ей, односторонняя скорость света равна двусторонней независимо от направления. В той же работе Эйнштейн писал: это не предпосылка и не гипотеза о физической природе света, а требование, которое я делаю на основании свободного выбора, чтобы получить понятие одновременности.

Синхронизация Эйнштейна. Время t вторых часов определяется таким образом, чтобы оно равнялось половине времени, за которое свет проходит расстояние 2*AB

База, который час?

Как изменится понимание процессов во вселенной, если окажется, что односторонняя скорость света не одинаковая в разных направлениях? Представим себе такую картину: офис NASA на Земле хочет синхронизировать часы с космической станцией. Допустим, что свет от Земли до станции и обратно проходит за 20 минут. Офис отправляет сообщение в 12:00. Если односторонняя скорость света равна c, то сигнал дойдет до станции за 10 минут. Экипаж устанавливает свои часы на 12:10 и шлет ответ Земле, который дойдет в 12:20. Теперь представим, что до станции односторонняя скорость света равна c/2, а обратно свет доходит мгновенно. Офис также отправляет сообщение в 12:00. Сигнал доходит до станции в 12:20, но экипаж думает, что односторонняя скорость света равна c, поэтому устанавливает часы на 12:10 и шлет ответ офису, который доходит мгновенно. Земля получает сообщение, в котором говорится, что время на станции установлено на 12:10, причем сигнал получен Землей в 12:20. Для наблюдателя ничего не изменилось, но часы в обоих случаях синхронизированы по-разному.

Пространственно-временная диаграмма. Для наблюдателей два случая идентичны, но часы синхронизированы по-разному

Современные исследования

Периодически, возникают исследования, заявляющие о том, что односторонняя скорость света определена. В 2009 году в октябрьском выпуске Американского физического журнала вышла статья о том, как группа ученых нашла способ определить одностороннюю скорость света. Но через определенное время различные ученые опровергли представленный метод и показали, что в ходе исследования была измерена двусторонняя скорость

Текст статьи можно найти на сайте журнала

На сегодняшний день мы не знаем величину односторонней скорости света. Зачем об этом вообще говорить, если общепринятые физические модели работают. Если нельзя определить одностороннюю скорость света, то имеет ли смысл понятие одновременности для двух объектов, разделенных расстоянием? Возможно, это просто случайная причуда Вселенной, а может быть ключ к следующей смене парадигм к физике.

Подробнее..

Категории: Научно-популярное , Физика , Эйнштейн , Скорость света , Эксперименты , Блог компании itsoft

Перевод Спросите Итана по какой фундаментальной причине E mc?

23.05.2021 20:21:44 |

Автор: admin

Альберт Эйнштейн в 1920 году. Хотя он и совершил множество прорывов в физике, от специальной и общей теорий относительности до фотоэлектрического эффекта и статистической механики, многие задачи он решить не сумел. Самым его знаменитым уравнением остаётся E = mc.

Спросите любого человека, даже не разбирающегося в науке, о достижениях Эйнштейна, и вам приведут в пример самое его знаменитое уравнение: E = mc. Проще говоря, оно означает, что энергия равняется массе, перемноженной с квадратом скорости света. И это очень многое говорит о нашей Вселенной. Единственное уравнение говорит о том, сколько энергии содержится в массивной частице в состоянии покоя, и сколько энергии требуется для создания частиц и античастиц. Оно говорит нам о том, сколько энергии высвобождается в ядерных реакциях, и сколько энергии порождает аннигиляция материи с антиматерией.

Но почему? Почему энергия равняется массе, перемноженной с квадратом скорости света? Почему не как-то иначе? Об этом спрашивает наш читатель:

Уравнение Эйнштейна потрясающе элегантное. Но реальна ли его простота, или же только кажется? Выводится ли оно напрямую из эквивалентности энергии любой массы и квадрата скорости света (а это вообще кажется удивительным совпадением)? Или оно существует только потому, что его члены определены удобным способом?

Отличный вопрос. Давайте исследуем самое знаменитое уравнение Эйнштейна, и посмотрим, почему оно не могло быть другим.

Подготовка к испытаниям ракеты с ядерным двигателем, 1967. Она работает на преобразовании массы в энергию, в основе которого лежит знаменитое уравнение E = mc.

Для начала нужно кое-что понять касательно энергии. Её очень сложно определить, особенно далёкому от физики человеку. Навскидку мы можем придумать несколько примеров.

Существует потенциальная энергия, т.е. некая форма сохранённой энергии, которую можно освободить. Например, бывает гравитационная потенциальная энергия, когда мы поднимаем массу на большую высоту. Химическая потенциальная энергия, хранящаяся в таких молекулах, как сахара, и способная производить окисление. Электрическая потенциальная энергия, когда накопленный в аккумуляторе или конденсаторе заряд можно разрядить, высвобождая её.
Существует кинетическая энергия, присущая движущимся объектам.
Существует электрическая энергия кинетическая энергия, присущая движущимся зарядам и электрическим токам.
И ядерная энергия, или энергия, высвобождаемая переходами атомов в более стабильные состояния.

И, конечно же, множество других типов. Энергия это одна из тех вещей, которые мы узнаем, когда увидим. Но физикам требуется более универсальное определение. Одно из лучших такое: извлечённая или извлекаемая энергия это количественная оценка нашей способности произвести работу.

Фотоэлектрический эффект описывает ионизацию электронов фотонами в зависимости от длин волн отдельных фотонов, а не от интенсивности света, суммарной энергии или какого-либо ещё свойства. Если у кванта света достаточно энергии, он может взаимодействовать с электроном, ионизировав его, выбив его из материала, что даст сигнал, который можно обнаружить. Такие фотоны переносят энергию и выполняют работу над ударяемыми ими электронами.

У работы есть своё физическое определение: это сила, прикладываемая в направлении, совпадающем с направлением движения предмета, умноженная на расстояние его перемещения. Поднятие штанги на определённую высоту требует провести работу против силы гравитации, и увеличивает гравитационную потенциальную энергию. Отпустив штангу, мы преобразуем её гравитационную потенциальную энергию в кинетическую. Ударяющая пол штанга преобразует кинетическую энергию в комбинацию из тепловой, механической и звуковой энергии. Энергия в этих процессах не создаётся и не уничтожается, а преобразуется из одной формы в другую.

Большинство людей размышляют о формуле E = mc в терминах анализа размерностей. Они говорят: так, энергия измеряется в Джоулях, а Джоуль это килограмм на метр в квадрате на секунду в квадрате. Поэтому, чтобы превратить массу в энергию, нужно умножить это на метр в квадрате, делённый на секунду в квадрате. При этом у нас есть фундаментальная константа с размерностью метр/секунда. Эти рассуждения разумны, но не достаточны.

Фотографии с Тринити, первого в мире испытания технологии ядерного оружия. Показана ситуация спустя 16, 25, 53 и 100 мс после зажигания. Самая высокая температура достигается в самом начале взрыва, до того, как его объём многократно вырастает.

Ведь вы можете измерять любую скорость в метрах в секунду, а не только скорость света. Кроме того, природе никто не запрещает выдать пропорциональную константу какой-нибудь множитель типа , , 2, и т.п., чтобы сделать уравнение верным. Чтобы понять, почему уравнение должно выглядеть, как E = mc, и почему других вариантов быть не может, нам надо представить физическую ситуацию, в которой можно будет различить разные интерпретации. Такой теоретический инструмент известен, как мысленный эксперимент (или gedankenexperiment, как сказал бы Эйнштейн), и стал одной из великих идей, появившихся в голове Эйнштейна и укоренившихся в научном мейнстриме.

Мы можем представить, что у частицы есть энергия, присущая её массе покоя, и энергия её движения кинетическая. Можно представить, что частица начала свой путь, находясь высоко в гравитационном поле, то есть с большим запасом потенциальной энергии, но изначально не двигалась. Если мы её уроним, потенциальная энергия превратится в кинетическую, а энергия массы покоя останется той же. Перед самым ударом о землю никакой потенциальной энергии у неё не останется только кинетическая и энергия массы покоя, какие бы они ни были.

У обозначенной оранжевым частицы, покоящейся над поверхностью земли, не будет кинетической энергии, но будет большой запас потенциальной. Если её отправить в свободное падение, она приобретёт кинетическую энергию, в которую превратится потенциальная.

Теперь добавим ещё одну идею: что у всех частиц есть двойники-античастицы, и что когда они сталкиваются друг с другом, то аннигилируют, выделяя чистую энергию.

Да, E = mc описывает взаимоотношение массы и энергии, включая количество энергии, необходимое для создания из ничего пар частица-античастица, и то, сколько энергии вы получите, когда такая пара аннигилирует. Но мы пока этого не знаем, мы хотим это доказать!

Давайте представим, что у нас не одна частица находится высоко в гравитационном поле, а сразу и частица, и античастица, и они готовы упасть. Рассмотрим два разных сценария развития, и изучим их последствия.

Появление пар частица-античастица (слева) из чистой энергии реакция полностью обратимая (справа), они могут аннигилировать, превратившись в энергию. Но для многих систем частиц обратимость не гарантирована.

Сценарий 1: частица и античастица падают, и аннигилируют прямо перед ударом о землю. Ситуация похожа на описанную ранее, просто мы её удвоили. И частица, и античастица начинали с некоего количества энергии массы покоя. Мы не знаем, сколько её было, просто знаем, что у частицы и античастицы они одинаковые, поскольку массы частиц идентичны массам соответствующих античастиц.

Теперь они обе падают, превращая потенциальную гравитационную энергию в кинетическую, в дополнение к их энергии массы покоя. Как и в предыдущем случае, перед ударом о землю вся их энергия заключена в двух видах энергии массы покоя и кинетической. Только теперь перед самым столкновением они аннигилируют, превращаясь в два фотона, общая энергия которых должна равняться сумме энергий массы покоя и кинетических энергий обеих частиц.

Однако для фотона, массы не имеющего, энергия описывается одним только импульсом, помноженным на скорость света: E = pc. Какой бы ни была энергия обеих частиц перед столкновением с землёй, энергия этих фотонов должна в сумме давать сумму энергию частиц.

Если пара частица-античастица аннигилирует в чистую энергию (два фотона), имея в запасе много гравитационной потенциальной энергии, то в энергию фотона перейдёт только масса покоя (оранжевый). Если уровнить эти частицы вниз, чтобы они аннигилировали непосредственно перед ударом, у них будет больше энергии, что приведёт к появлению более синих фотонов.

Сценарий 2: частица и античастица аннигилируют в чистую энергию, а потом падают вниз до земли в виде фотонов с нулевой массой покоя. Тогда вся их энергия массы покоя превратится в энергию фотонов.

Получается, что в данном случае общая энергия этих фотонов, у каждого из которых есть энергия E = pc, должна быть равной сумме энергий масс покоя частицы и античастицы.

Теперь представим, что эти фотоны добрались до поверхности планеты, и после этого мы измеряем их энергию. По закону сохранения, их энергия должна равняться энергии фотонов из первого сценария. Значит, фотон должен набирать энергию, падая в гравитационном поле. Это явление известно, как гравитационный синий сдвиг. Кроме того, из этого следует идея о том, что масса покоя частицы должна равняться E = mc.

Когда квант излучения покидает гравитационное поле, его частота должна испытать красный сдвиг, чтобы энергия сохранилась. При падении частота должна сдвинуться в синий диапазон. Это имеет смысл, только если гравитация связана не только с массой, но и с энергией. Гравитационное красное смещение одно из ключевых предсказаний Общей теории относительности Эйнштейна. Но его только недавно проверили в окружении с такими сильными полями, как центр нашей Галактики.

Есть только одно определение энергии, подходящее ко всем частицам, и имеющим, и не имеющим массу, и удовлетворяющее сценариям 1 и 2, которые должны выдать одинаковые результаты. E = (m²c⁴ + p²c²). Посмотрим, что с ним будет в разных ситуациях.

У массивной частицы в состоянии покоя и без импульса энергия будет равной (m²c⁴), то есть, E = mc.
Безмассовая частица обязана двигаться, а её масса покоя равна нулю. Её энергия равняется (pc), или E = pc.
У массивной частицы, движущейся значительно медленнее скорости света, импульс можно записать как p = mv, и тогда её энергия становится равной (mc⁴ + mvc). Это можно переписать как E = mc * (1 + v/c), если v значительно меньше c.

Если вам незнаком последний член, не расстраивайтесь. Если v очень мало по сравнению с c, вы можете выполнить разложение в ряд Тейлора, и получите E = mc [1 + (v/c) + ...]. Взяв первые два члена, вы получите E = mc + mv: массу покоя плюс старую добрую, нерелятивистскую формулу кинетической энергии.

Вверху: фотон движется внутри коробки. В середине: коробка поглотила фотон. Внизу: фотон переиспущен в противоположном направлении. Из такого эксперимента, принимая законы сохранения энергии и импульса, можно вывести знаменитое E = mc.

Конечно, так выводить E = mc не стоит, но это мой любимый способ иллюстрации этой задачи. Могу порекомендовать ещё три способа иллюстрации, а также описание того, как это сделал сам Эйнштейн. Второй моей любимой иллюстрацией вывода этой формулы будет рассмотрение фотона, движущегося в неподвижной коробке с зеркалом на одной из стенок.

Когда фотон сталкивается с зеркалом, он на некоторое время поглощается, в результате чего коробка должна приобрести немного энергии, и начать двигаться в том же направлении, что и фотон это единственный способ сохранить энергию и импульс.

После переиспускания фотон движется в противоположном направлении, поэтому коробке (потерявшей немного массы после переиспускания фотона) нужно двигаться вперёд ещё быстрее.

И хотя тут много неизвестных, в такой ситуации можно написать множество уравнений, которым необходимо совпадать. Общая энергия всех частей системы и общий момент должны быть эквивалентными. Если решить эти уравнения, получится только одно определение энергии массы покоя: E = mc.

Эйнштейн выводит Специальную теорию относительности перед зрителями, 1934 год. Если потребовать сохранения энергии и применить теорию относительности к подходящим системам, необходимо, чтобы E = mc.

Можно представить себе совсем не такую вселенную, в которой мы живём. Возможно, там не сохраняется энергия и тогда формула E = mc может не быть универсальным выражением массы покоя. Возможно, мы могли бы нарушить закон сохранения импульса тогда наше определение общей энергии, E = (m²c⁴ + p²c²), не было бы верным. А если бы там не действовала Общая теория относительности, или импульс и энергия фотона не были бы связаны соотношением E = pc, тогда E = mc не была бы универсальной формулой для массивных частиц.

Но в нашей Вселенной энергия сохраняется, и работает Общая теория относительности. Поэтому нужно просто подобрать подходящие условия эксперимента. И даже не проводя его на самом деле, можно прийти только к одному непротиворечивому значению для энергии массы покоя частицы. Можно представить себе вселенную, в которой взаимоотношение массы и энергии были бы другими, но она была бы совсем непохожей на нашу. И это не просто удобное определение это единственный способ сохранить энергию и импульс с имеющимися у нас законами физики.

Подробнее..

Категории: Научно-популярное , Физика , Эйнштейн , Энергия , Теория относительности , Спросите итана , Масса покоя , Закон сохранения

Соглашение Эйнштейна и einsum

27.02.2021 14:17:14 |

Автор: admin

Удивительное дело, но в русскоязычном сегменте интернета почти нет материала, разъясняющего понятным языком соглашение Эйнштейна о суммировании. Не менее удивительно то, что материалов, позволяющих понять принцип работы функции einsum в русскоязычном интернете ещё меньше. На английском есть довольно развёрнутый ответ о работе einsum на stack overflow, а на русском только некоторое число сайтов, предоставляющих кривой перевод этого самого ответа. Хочу исправить эту проблему с недостатком материалов, и всех, кому интересно приглашаю к прочтению!

Обсуждаем соглашение Эйнштейна

Прежде всего отмечу, что соглашение Эйнштейна чаще всего используется в тензорном анализе и его приложениях, поэтому дальше в статье будет несколько референсов к тензорам.
Когда вы только начинаете работать с тензорами, вас может смутить, что кроме привычных подстрочных индексов, используются также и надстрочные индексы, которые по началу вообще можно принять за возведение в степень. Пример:
"а с верхним индексом i" будет записано как a^i , а "a в квадрате с верхним индексом i" будет записываться (a^i)^2 . Возможно, по-началу это вводит в заблуждение и кажется неудобным, но со временем можно привыкнуть.

Соглашение: далее в статье объекты вида a_ix_i или a_ix^i я буду называть термами.

О чём вообще соглашение Эйнштейна?

Соглашение Эйнштейна призвано уменьшить число знаков суммирования в выражении. Есть три простых правила, определяющие, насколько то или иное выражение корректно записано в нотации Эйнштейна.

Правило 1: Суммирование ведётся по всем индексам, повторяющимся дважды в одном терме.

Пример: рассмотрим выражение следующего вида:

$\sum_{i = 1}^3 a_ix_i = a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3$

С использованием соглашения Эйнштейна это выражение может быть переписано так:

$a_ix_i \text{ или } a_ix^i$

Таким образом мы избавляемся от знака суммы, и просто пишем единственный терм. Обратим внимание, что в этом терме индекс i повторяется дважды, а значит, в соответствие с первым правилом мы понимаем, что суммирование ведётся по индексу i, а точнее, по всем возможным значениям, которые принимает этот индекс.

Рассмотрим ещё один пример: пусть нам нужно умножить матрицу $A \in \mathbb{R}^{m\times n}$ на вектор $v \in \mathbb{R}^{n}$ . Результатом будет являться вектор $b \in \mathbb{R}^{m}$ . По определению:

$b_i = \sum\limits_{j = 1}^n A_{ij} v_j, ~ i = 1, \ldots, m$

Соглашение Эйнштейна позволяет избавиться от знака суммы:

$b_i = A_{ij}v_{j} = A_{ij}v^{j}$

Заметим, что в терм индекс i входит один раз, а индекс j входит два раза, а значит, суммирование ведётся по индексу j.

Определение 1. Индекс, который входит в терм дважды, называется фиктивным индексом.

Определение 2. Свободным индексом назовём все индексы в терме, не являющие фиктивными.

Отметим, что каждый фиктивный индекс может быть заменён любым другим фиктивным индексом, при условии, что

Новый фиктивный индекс не входит в множество свободных индексов терма.
Новый фиктивный индекс принимает то же множество значений, что и старый фиктивный индекс.

Чтобы объяснить проще, рассмотрим следующий код на языке Python:

for i in range(M):    for j in range(N):        b[i, j] = A[i, j] * v[j]

Этот код кратко описывает процесс умножения матрицы на вектор, а точнее, этот пример. Здесь индекс j является фиктивным, а индекс i свободным. Суммирование в соглашении Эйнштейна ведётся по фиктивным индексам. Имя переменной j мы можем заменить на любое другое.

Правило 2. В каждом терме не может встречаться более двух одинаковых индексов.

Второе правило говорит нам, что мы можем написать $a_{ij}b_{ij}$ , но не можем написать $a_{ii}b_{ij}$ или $a_{ij}b_{jj}$ , несмотря на то, что на практике такие выражения всё же имеют смысл.
Больше примеров:

a_i^i здесь i является фиктивным индексом, т.к. повторяется дважды;

$a_i^{jj}$ здесь i является свободным индексом, а j фиктивным;

$a_{ii}^{jj}$ здесь и i, и j являются фиктивными индексами;

$a_{ij}^{ij}$ здесь и i, и j являются фиктивными индексами;

$a_{ii}^{ij}$ не правильно по второму правилу (индекс i входит в терм трижды);

Из примеров выше можно заключить, что когда мы считаем число вхождений индексов в терм, мы не делаем разницы между верхними и нижними индексами, и считаем их вместе. Ещё один важный пример: когда мы видим выражение следующего вида

$a_{ij}b_{i} + a_{ji}b_{j}$

Мы должны понимать, что это выражение записано верно, и не противоречит второму правилу. Действительно, если посчитать все вхождения индексов, то получится, что индекс i входит 3 раза, как и индекс j, но в выражении записано два терма, а не один, и если посчитать вхождение индексов в каждый терм отдельно (как того и требует второе правило), то мы увидим, что ничего не нарушается.

Правило 3. В уравнениях, записанных с использованием соглашения Эйнштейна свободные индексы слева и свободные индексы справа должны совпадать.

Рассмотрим несколько примеров для закрепления этого правила:

$b_i = A_{ij}v_{j}$ этот пример мы уже рассматривали выше, здесь i является свободным индексом левой части уравнения, и свободным индексом правой части уравнения;

$a_i = A_{ki}B_{kj}x_{j} + C_{ik}u_{k}$ пример посложнее. Посчитаем вхождения индексов для каждого терма: в первый терм правой части k и j входят дважды, значит, они являются фиктивными индексами, i входит один раз, значит, является свободным. Во второй терм правой части k входит два раза, i один, значит, k фиктивный, i свободный. В левой части индекс i входит один раз, а значит, является свободным. Итог: индекс i является свободным для обеих частей уравнения, а значит, правило 3 выполнено.

Рассмотрим так же несколько примеров, в которых третье правило не выполняется:

$x_i = A_{ij}$ слева i является свободным индексом, но справа свободны индексы i и j;

$x_j=A_{ik}u_k$ слева свободен индекс j, но справа свободен индекс i. Свободные индексы не совпадают;

$x_i = A_{ik}u_k + c_j$ здесь слева свободен индекс i, а справа свободны индексы i, j;

Пример упрощения сложного выражения с помощью соглашения Эйнштейна: тензорный поезд

Пусть пятимерный тензор. Тогда утверждается, что он может быть представлен в следующем виде:

$A_{i_1i_2i_3i_4i_5} = \sum_{j_4=1}^{R_4}\sum_{j_3=1}^{R_3}\sum_{j_2=1}^{R_2}\sum_{j_1=1}^{R_1}G^{(1)}_{i_1j_1}G^{(2)}_{j_1i_2j_2}G^{(3)}_{j_2i_3j_3}G^{(4)}_{j_3i_4j_4}G^{(5)}_{j_4i_5}$

Там сейчас не очень важно, что из себя представляется каждая $G^{(k)}$ , и что такое R_i . Наша задача сейчас исключительно синтаксическая игра. Нужно упростить выражение, особо не вникая в смысл происходящего.
Прежде всего видно, что свободными индексами являются i_1, i_2, i_3, i_4, i_5 , а фиктивными, соответственно индексы j_1, j_2, j_3, j_4 . Расположим индексы в соседних множителях так, чтобы в первом множителе индекс, по которому идёт суммирование, стоял снизу, а во втором тот же самый индекс стоял сверху. Так же заметим, что множителями являются тензоры $G^{(k)}$ , и у них в верхнем регистре уже стоит (k) . Чтобы повысить читаемость, будем оборачивать множители в скобки, и только потом ставить индексы. Само же упрощённое выражение переписывается из исходного почти дословно:

$A_{i_1i_2i_3i_4i_5}=\left(G^{(1)}\right)_{i_1j_1}\left(G^{(2)}\right)_{i_2j_2}^{j_1}\left(G^{(3)}\right)_{i_3j_3}^{j_2}\left(G^{(4)}\right)_{i_4j_4}^{j_3}\left(G^{(5)}\right)_{i_5}^{j_4}$

Ура, мы научились упрощать сложные выражения с помощью соглашения Эйнштейна!

Обсуждаем einsum

einsum это функция, присутствующая в нескольких популярных библиотеках для Python (NumPy, TensorFlow, PyTorch). Во всех библиотеках, в которых эта функция реализована, она работает одинаково (с точностью до функционала структур, определённых в конкретной библиотеке), поэтому нет смысла рассматривать один и тот же пример в разных библиотеках, достаточно рассказать про einsum в одной конкретной библиотеке. Далее в статье я буду использовать NumPy. einsum применяет соглашение Эйнштейна о суммировании к переданным массивам. Функция принимает множество опционально аргументов, про них лучше почитать в документации, мы же сейчас разберём, как передавать шаблон, по которому функция будет применять соглашение Эйнштейна.

Рассмотрим сразу такой пример: пусть $A \in \mathbb{R}^{3\times5}$ , $B \in \mathbb{R}^{5\times2}$ две матрицы, и мы хотим их перемножить. Результатом будет матрица $M \in \mathbb{R}^{3\times2}$ , которую мы можем записать следующим образом, используя определение матричного умножения и соглашение Эйнштейна:

$M_{ij}=\sum_{k=1}^{5}A_{ik}B_{kj} = A_{ik}B_{kj}$

Теперь пусть мы хотим перемножить их программно. Ну, это можно довольно просто сделать с помощью трёх вложенных циклов:

M = np.zeros((3, 2))for i in range(3):    for j in range(2):        for k in range(5):            M[i, j] = A[i, k] * B[k, j]

Либо, используя функцию einsum можно написать это произведение в одну строчку:

M = np.einsum("ik,kj->ij", A, B)

Разберёмся, что за магия происходит в этой строчке. einsum принимает один обязательный аргумент: шаблон, по которому будет применено соглашение Эйнштейна. Шаблон этот выглядит так:

"{индексы, определяющие размерность первого массива},{индексы, определяющие размерность второго массива}->{индексы, определяющие размерность результирующего массива}"

Поведение шаблона einsum определяется следующими правилами:

Если один и тот же индекс встречается слева и справа от запятой (до стрелочки), то суммирование будет вестись по этому индексу;
Если после стрелочки ничего не написано, то суммирование произойдёт по всем встреченным осям;
Никакой индекс не должен встречаться 3 и более раз;

Таким образом мы видим, что einsum очень естественно поддерживает понятие свободных и фиктивных индексов, а также первые два правила, которые мы вводили, пока обсуждали соглашение Эйнштейна. Кроме того, как выражение, написанное с помощью соглашения Эйнштейна, может быть развёрнуто с помощью введения знаков суммы, так и функция einsum может быть развёрнута с помощью нескольких вложенных циклов. Это может быть очень удобно на первых порах, пока не сформируется устойчивое понимание einsum.

Рассмотрим теперь некоторое количество примеров разной степени сложности, чтобы закрепить понимание einsum:

Одна einsum, чтобы править всеми

Пример 1. Сумма всех значений вектора:

vector = np.array([1, 2, 3, 4, 5])result = np.einsum("i->", vector)print(result)

Output

Пример 2. Сумма всех значений матрицы:

matrix = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])result = np.einsum("ij->", matrix)print(result)

Output

Пример 3. Сумма значений по столбцам:

matrix = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])result = np.einsum("ij->j", matrix)print(result)

Output

[9, 12]

Пример 4. Сумма значений по строкам:

matrix = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])result = np.einsum("ij->i", matrix)print(result)

Output

[3, 7, 11]

Пример 5. Транспонирование (я об этом не написал, но оси, по которым суммирования не произошло, мы можем возвращать в любом порядке):

matrix = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])result = np.einsum("ij->ji", matrix)print(result)

Output

[[1, 3, 5], [2, 4, 6]]

Пример 6. Умножение матрицы на вектор:

matrix = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])vector = np.array([[1, 2]])result = np.einsum("ij,kj->ik", matrix, vector)print(result)

Заметим, что вектор имеет форму $1 \times 2$ , и чтобы умножить матрицу на него по правилам, его нужно было бы транспонировать. Однако с помощью einsum мы можем задать ось, по которой будет вестись суммирование, и немного выиграть по памяти, не создавая копию уже существующего вектора.

Output

[[5], [11], [17]]

Пример 7. Умножение матрицы на матрицу:

matrix1 = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])matrix2 = np.array([[1, 0], [0, 1]])result = np.einsum("ik,kj->ij", matrix1, matrix2)print(result)

Output

[[1, 2], [3, 4], [5, 6]]

Пример 8. Скалярное произведение векторов:

vector1 = np.array([[1, 2, 3]])vector2 = np.array([[1, 1, 1]])result = np.einsum("ik,jk->", vector1, vector2)print(result)

Output

Пример 9. След матрицы:

matrix1 = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])result = np.einsum("ii->", matrix1)print(result)

Output

Пример 10. Адамарово (покомпонентное) произведение:

matrix1 = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])matrix2 = np.array([[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]])result = np.einsum("ij,ij->ij", matrix1, matrix2)print(result)

Это может показаться контринтутивно, но, как написано выше: если не понятно, что делает einsum запиши через циклы:

result = np.zeros(matrix1.shape, dtype="int32")for i in range(result.shape[0]):    for j in range(result.shape[1]):        result[i, j] += matrix1[i, j] * matrix2[i, j]print(result)

Output

[[1, 0, 0], [0, 5, 0], [0, 0, 9]]

Пример 11. Кронекерово (внешнее) произведение векторов:

vector1 = np.array([1, 2, 3])vector2 = np.array([1, 0, 0])result = np.einsum("i,j->ij", vector1, vector2)print(result)

Output

[[1, 0, 0], [2, 0, 0], [3, 0, 0]]

Пример 12. Транспонирование тензора:

A = np.array([[[0, 1], [1, 2], [2, 3]], [[1, 2], [2, 3], [3, 4]], [[2, 3], [3, 4], [4, 5]]])result = np.einsum("ijk->jki", A)print(result)

Output

[[[0, 1, 2], [1, 2, 3]], [[1, 2, 3], [2, 3, 4]], [[2, 3, 4], [3, 4, 5]]]

Пример 13. Произведение тензора на матрицу по третьей моде:

A = np.array([[[0, 1], [1, 2], [2, 3]], [[1, 2], [2, 3], [3, 4]], [[2, 3], [3, 4], [4, 5]]])U = np.array([[1, 2], [2, 3]])result = np.einsum("ijk,nk->ijn", A, U)print(result)

Output

[[[2, 3], [5, 8], [8, 13]], [[5, 8], [8, 13], [11. 18]], [[8, 13], [11, 18], [14, 23]]]

Итоги

Конечно, einsum поставляет только дополнительный синтаксический сахар. Всегда можно использовать цепочки вложенных циклов, множество библиотечных функций (np.dot, np.outer, np.tensordot, np.transpose, np.cumsum и т.д.), и вообще не использовать einsum. Но если потратить время и понять, как она работает, то можно научиться писать гораздо более сжатый, и, не побоюсь этого слова, эффективный код.

Ссылки

Ролик с примерами einsum (ещё больше примеров).

Соглашение Эйнштейна (база)

Соглашение Эйнштейна (продвинутая часть)

Подробнее..

Категории: Python , Математика , Numpy , Эйнштейн , Einsum , Соглашение эйнштейна

	Русский
	English

Эйнштейн

Ранние годы жизни

Прорыв

Пенсия

Новость вместо заключения

Метрика

Тензор пространства-времени

Символы Кристоффеля второго рода

Тензор кривизны, его свёртка и свёртка свёртки

Уравнения общей теории относительности

Резюме

Через объём 3-сферы

Выводы

Бонус. Через угол

Через объём 3-сферы

Через угол

Часть 1. Выводы предыдущей статьи и пояснения к ним

Выводы

Ограничение видимой зоны пятимерного пространства

Ненулевое время в особенной точке метрики

Решение уравнений ОТО для пятимерного пространства

Дополнительная ось комплексного пространства

Двухмерная радиальная координата

Комплексное представление расширенного пространства

Время

Радиальная компонента

Угловые координаты

Преобразование интервала

Заключение

Как все начиналось

Как обстоят дела сегодня

Одновременность и синхронизация Эйнштейна

База, который час?

Современные исследования

Обсуждаем соглашение Эйнштейна

О чём вообще соглашение Эйнштейна?

Пример упрощения сложного выражения с помощью соглашения Эйнштейна: тензорный поезд

Обсуждаем einsum

Одна einsum, чтобы править всеми

Итоги

Ссылки

Категории

Последние комментарии