Femap

Оптимальная расчетная конечно-элементная модель какая она? такой чаще всего не проговоренный вслух, а порою даже и неосознанный вопрос непременно рождается (как минимум в подсознании) у каждого инженера-расчетчика при получении ТЗ на решение задачи методом конечных элементов. Каковы критерии этой самой расчетной модели-мечты? Пожалуй, здесь стоит отталкиваться от известного философского принципа Всё следует упрощать до тех пор, пока это возможно, но не более того. Вот только как применить этот принцип к нашим научным и инженерным задачам?

Рисунок 1

Критерии оптимальной расчетной конечно-элементной модели

Поразмыслив, проанализировав свой практический опыт, я выделил три основных критерия оптимальной расчетной конечно-элементной модели: 1) физические допущения, адекватные целям расчета; 2) упрощения детализации геометрии, правильный выбор видов конечных элементов и способов их соединения; 3) качественная сетка КЭ. Эта статья является продолжением моего доклада Особенности использования различных видов конечных элементов в Femap с NX Nastran, прочитанного на Femap Symposium 2020. В докладе я обзорно рассказывал о применении этих трех критериев на примере конкретных проектов, а здесь я подробнее расскажу подробнее о втором критерии.

Чтобы определиться с концепцией рациональной расчетной схемы, в которую мы будем преобразовывать (чаще упрощать) исходную геометрическую модель, нужно в первую очередь хорошо понимать физику моделируемого процесса, осознавать факторы и параметры, изменение которых более всего влияет на результат. Необходимо разбираться в видах конечных элементов (линейные, поверхностные, объемные), способах соединения частей модели и в особенностях их совместного применения. Причем части модели могут состоять из конечных элементов разных видов. Да, и конечно же нужно знать возможности используемого вами расчетного комплекса. Расчетный комплекс Femap с NX Nastran поддерживает все виды конечных элементов и позволяет соединять области, состоящие из конечных элементов разных видов, всеми основными способами.

Способы соединения частей КЭ-модели

Существует три основных способа соединения (в более широком смысле слова взаимодействия) частей конечно-элементной модели, передачи нагрузки и внутренних усилий между частями модели. Эта классификация носит условный характер, и я ввел ее для удобства восприятия информации расчетчиками-практиками.
Первый способ соединение конечных элементов разных частей модели узел в узел. Это самый классический способ. При его использовании граница перехода между частями модели не оказывает никакого собственного влияния. Фактически решатель работает с единой сплошной моделью, а части модели существуют только для удобства работы пользователя в пре- и постпроцессоре.

Рисунок 2

Второй способ это применение MPC-связей (multiple point constraint). MPC соединяют узел с узлом (тогда это скорее SPC single point constraint) или узел с группой узлов с помощью жестких или интерполяционных элементов.

Рисунок 3

Третий способ применение контактных поверхностей различных типов (например, склейка или с трением). При использовании этого способа пользователь выбирает контактирующие поверхности, а препроцессор автоматически определяет взаимодействующие узлы.

Рисунок 4

Эти три способа соединения (взаимодействия) даже более чем различны. Например, целые классы задач (штамповка, соударение тел) просто невозможно решить без применения контактных поверхностей. При решении же более простых задач (линейная статика, модальный анализ), как правило, есть возможность выбрать, как именно упрощать геометрию и какой способ соединения частей модели применить.

Практические примеры

Разберем и проанализируем по вышеописанным критериям модель радиобашни, изображенную на рис.3. Расчетная модель радиобашни используется для определения собственных форм и частот колебаний металлоконструкции башни, потому точный учет жесткости силовых элементов исключительно важен. Это очень ответственная задача собственные частоты колебаний необходимы для определения динамической составляющей ветровой нагрузки (см. Руководство по расчету зданий и сооружений на действие ветра к СП 20.13330.2010 Нагрузки и воздействия).

Модель радиобашни состоит из конечных элементов трех видов: 1) несущие вертикальные круглые трубы и связи соединяющих их (также из круглых труб) смоделированы балочными конечными элементами; 2) ребра жесткости, соединяющие трубы и опорную плиту, смоделированы поверхностными КЭ; 3) опорная плита смоделирована солидами (объемными КЭ).

В модели также применены три основных способа соединения частей конечно-элементной модели:
а) узел в узел соединены части модели (линейные), между которыми нет зазоров;
б) с помощью MPC-связей соединены линейные элементы (имитирующие трубы), между которыми есть зазоры. Кроме того, посредством MPC-связей соединены элементы ребер жесткости и вертикальных труб;
в) контакты заданы между нижней гранью ребер жесткости и поверхностью опорной плиты.

Я считаю эту расчётную модель очень грамотным результатом преобразования геометрической модели в расчетную, так как модель достаточно проста, но при этом в ней учтены основные конструктивные элементы, определяющие жесткость конструкции. Как правило, в простых строительных САПР отсутствуют инструменты, позволяющие соединять конечные элементы различных видов (в случае радиобашни не было бы возможности смоделировать опорные элементы). То есть в простой строительной САПР конструкцию радиобашни удалось бы смоделировать лишь из одних труб, разбив их балочными конечными элементами. В этом случае податливость основания не учитывается и собственные частоты колебаний конструкции оказываются завышены.

Далее на примере расчетного комплекса Simcenter Femap c NX Nastran я подробнее расскажу о втором способе соединения частей модели, а точнее о применении MPC-связей. Элементы типа R математически эквивалентны многоточечному уравнению связи (Multipoint Constraints Equations, MPC). Они накладывают постоянные ограничения на компоненты перемещения соединяемых узлов. Каждое уравнение связи выражает зависимую степень свободы как функцию независимой степени свободы.
Элементы RROD, RBAR, RBE1, RBE2 и RTRPLT это жесткие элементы. Элементы RBE3 и RSPLINE интерполяционные элементы, они не являются жесткими.

Рисунок 5

Элемент RBE2 использует уравнения связи, чтобы связывать степени свободы зависимых узлов со степенями свободы независимого узла. Относительные деформации между зависимыми узлами отсутствуют, то есть соответствующие элементы не деформируются. Варьируя настройки степеней свободы RBE2 в поле DEPENDENT (Зависимый), можно получить WELD сварное соединение (активируя шесть степеней свободы TX, TY, TZ, RX, RY, RZ) или BOLT болтовое соединение (активируя TX, TY, TZ, вращения остаются свободными).

В отличие от элементов RBE2, элемент RBE3 не добавляет конструкции дополнительную жесткость, то есть RBE3 это интерполяционный элемент. RBE3 можно использовать как инструмент распределения нагрузки и массы в КЭ-модели, аналогичный грузовым площадям в строительных системах автоматизированного проектирования. Нагрузки в виде сил и моментов, приложенные к зависимому узлу, распределяются в независимые узлы пропорционально весовым коэффициентам.

Рисунок 6

В большинстве случаев в настройках степеней свободы RBE3 в поле INDEPENDENT (Независимый) не рекомендуется активировать вращательные степени свободы.
Подробнее специфика применения RBE2 и RBE3 представлена в статье наших партнеров из компании КАДИС: RBE2 в сравнении с RBE3 в Femap c NX Nastran.

Рисунок 7

Но вернемся от теории к практике и разберем типовую задачу расчета кронштейна, на примере которой отлично видно, что, неправильно задав способ соединения частей модели, мы получим принципиально неверное решение. Кронштейн закреплен на П-образной пластине с помощью двух болтов. К отверстиям кронштейна приложена сила с направлением вдоль пластины. П-образная пластина разбита поверхностными конечными элементами, а кронштейн объемными КЭ. С учетом толщины пластины пластина и кронштейн соприкасаются.

Рисунок 8

Чтобы результат расчета был адекватен, способ соединения кронштейна с П-пластиной (модель передачи нагрузки) должен соответствовать реальной физике работы болтового соединения. Гайки закручены с некоторым усилием (моментом). Этот момент вызывает силу, прижимающую кронштейн к поверхности пластины. Силу трения в свою очередь определяют коэффициент трения и сила реакции. При приложении нагрузки к кронштейну часть его основания прижимается к пластине, а некоторая часть основания, напротив, стремится от него оторваться, вследствие чего при превышении определенной нагрузки происходит частичное раскрытие стыка.

С точки зрения математического моделирования нам необходимо: а) задать непосредственное соединение болтов и гаек с кронштейном и пластиной и б) задать взаимодействие изначально прижатых друг к другу поверхностей. На рис. 9 показаны напряженно-деформированные состояния кронштейна с пластиной при двух вариантах задания соединений. Составляющая а назовем ее имитация болтов в обоих вариантах задана одинаково: два паучка из RBE-элементов и болт из балочных конечных элементов созданы с помощью встроенной API-команды Hole to Hole Fastener.

Первый и второй варианты различаются настройками свойств контактной пары поверхностей составляющей б. В первом варианте настройки контакта соответствуют склейке двух поверхностей, что не отвечает физике работы болтового соединения. Этот вариант можно было бы использовать, если бы кронштейн был соединен с пластиной при помощи сварных швов по периметру и внутри. Адекватное решение (второй вариант расчета) получается при задании контакта с трением. Такой вид взаимодействия поверхностей позволяет учесть эффект частичного раскрытия стыка. Задача при этом становится нелинейной и решение занимает гораздо больше времени в связи с необходимостью обеспечить сходимость решения. Подробнее о нелинейном анализе и обеспечении сходимости можно прочитать в моей статье Просто о нелинейном анализе методом конечных элементов. На примере кронштейна.

Рисунок 9

Существует несколько способов моделирования болтового соединения. Представленный выше способ (балочный элемент + RBE + контакт с трением) относительно прост, однако он позволяет учесть передачу сдвиговых усилий. Есть более точный, но и гораздо более трудоемкий способ моделирования болтового соединения: непосредственное моделирование болтов, гаек, шайб объемными конечными элементами (рис. 10). Этот способ позволяет учесть все тонкости работы болтового соединения (даже контакт в резьбе) и в том числе производить нелинейный анализ с учетом пластичности.

Рисунок 10

Глобально-локальный анализ

Проанализируем теперь сложную конечно-элементную модель марсохода Кьюриосити (Curiosity). На примере марсохода я хочу познакомить читателя с понятием глобально-локального анализа (ГЛА). Глобально-локальный анализ это процесс изолированного рассмотрения отдельных частей конструкции, при котором выполняется условие равенства силовых факторов и перемещений, соответствующих поведению этой части в составе конструкции. Возможность применения ГЛА обоснована принципом Сен-Венана: в частях конструкции, достаточно удаленных от места приложения нагрузки, напряжения и деформации мало зависят от способа приложения нагрузки. Потому часть модели можно вырезать и выполнить анализ только для этой части при условии, что значения силовых факторов на границах выреза заданы правильно.

Рисунок 11

Но вернемся к марсоходу и его модели. Весит марсоход около тонны, его габариты: длина 4,5 метра, ширина 2,5 метра, высота 2,1 метра. В процессе проектирования было проведено множество расчетов средствами Simcenter Femap, в том числе линейный статический анализ, анализ потери устойчивости, нелинейный анализ; рассчитаны отклики на воздействие случайной вибрации, выполнен анализ переходных процессов.

Конечно-элементная модель марсохода, изображенная на рис. 11, это глобальная конечно-элементная модель (ГКЭМ). С ее помощью можно подобрать сечения труб и толщины оболочек, вычислить нагрузки реакции в узлах конструкции. В модели применены линейные, поверхностные и объемные КЭ, части модели соединяются как узел в узел, так и посредством MPC-связей и контактов. Для такой сложной конструкции как марсоход рационально использовать глобальную модель как нагрузочную, а узлы считать отдельно с помощью подробных локальных конечно-элементных моделей (ЛКЭМ) то есть применять алгоритм глобально-локального анализа (рис. 12).

Для расчета узлов в ЛКЭМ очень важно правильно задать граничные условия, силовые факторы. Существует три способа переноса граничных условий из ГКЭМ в локальную конечно-элементную модель: перенос перемещений, перенос силовых факторов, комбинированный способ. Для осуществления этих операций в Femap есть удобный инструмент FreeBody. Чтобы более подробно узнать о ГЛА и о применении FreeBody, рекомендую ознакомиться с докладом Алексея Патая из компании Центр Технических Проектов: Возможности Femap для глобально-локального анализа авиационных конструкций.

Рисунок 12

Заключение

Подведем итоги, опираясь на вышеприведенные результаты анализа трех расчетных моделей: радиобашни, кронштейна и марсохода. Какая она все-таки оптимальная расчетная конечно-элементная модель, и насколько простой модель может быть? Ответ для каждой конкретной задачи индивидуален, но есть общие критерии.

Что касается понимания физики процесса: например, нам не нужно моделировать каждый крепежный элемент радиобашни, чтобы определить собственные формы и частоты колебаний конструкции, требуется учитывать лишь элементы, в целом определяющие распределение масс и жесткость конструкции.

Для подбора сечений в строительных расчетах (металлоконструкции, деревянные конструкции и даже часть железобетонных), где чаще всего можно ограничиться использованием только линейных конечных элементов, достаточно понимать, является ли узел условно жестким или условно шарнирным. Условно потому как в любом шарнирном узле есть трение, а любой жесткий узел все равно имеет некоторую податливость. Для моделирования течений жидкости или газа, с точки зрения геометрической модели, и вовсе достаточно задать поверхность обтекаемого объекта. Так, например, геометрическая модель для определения буксировочного сопротивления судна это прямоугольный параллелепипед, из которого вычтен объем корпуса судна.

На примере расчета кронштейна, соединенного болтами с П-образной пластиной, мы увидели, что очень важно правильно задать способ передачи нагрузки, граничные условия. В противном случае мы получим результат, не соответствующий действительности. Да, в соответствии с принципом Сен-Венана, напряженно-деформированное состояние (НДС) конструкции в глобальной модели на достаточном удалении от неточно смоделированного узла практически не изменится. Но НДС элементов узла будет определено неверно, что может быть критичным, если это ответственный узел и он сильно нагружен. Особенно важно как для точности решения, так и для сходимости правильно задавать нелинейные контакты.

Для сложных же конструкций, таких как марсоход Кьюриосити, делать одну сложную и подробную конечно-элементную модель чаще всего нерационально. Целесообразнее использовать алгоритм глобально-локального анализа, то есть формировать глобальную нагрузочную конечно-элементную модель и локальные конечно-элементные модели для расчета ответственных узлов. Затем, после расчета узлов, при необходимости можно внести изменения-уточнения в ГКЭМ.

Конечно, тема оптимальной расчетной конечно-элементной модели не может быть исчерпана в рамках одной статьи. Но я надеюсь, что мой обобщенный практический опыт и теоретические знания будут полезны, и в следующий раз вы сможете быстрее найти свое оптимальное решение. При этом расчетная модель будет проще, а точность выше!

Филипп Титаренко,
специалист по расчетам на прочность,
продакт-менеджер по направлению Femap
АО Нанософт
E-mail: titarenko@nanocad.ru


Уважаемые читатели, приглашаю вас на бесплатный Профессиональный курс по расчетам методом конечных элементов (март-апрель 2021 г.). Чтобы зарегистрироваться на курс и ознакомиться с его программой, пройдите, пожалуйста, по ссылке здесь или щелкните на рисунок выше.

Профессиональный курс по расчетам МКЭ от АО Нанософт включает в себя как ценные теоретические знания и инженерные методики, ориентированные на прикладное применение, так и практические демонстрации, вокршопы по решению типовых инженерных задач в расчетном комплексе конечно-элементного моделирования Simcenter Femap c NX Nastran.

Курс состоит из трех вебинаров и предназначен для инженеров, технических работников и студентов, работающих в областях, где требуется проведение физических расчетов. В заключительной части каждого вебинара вы сможете задать вопрос ведущему, Филиппу Титаренко, и получить консультации по интересующим вас вопросам.

Даты и время проведения вебинаров:
Инженерный анализ методом конечных элементов в Simcenter Femap, обзор модулей 30 марта, 14:00
Импорт и преобразование геометрической модели в расчетную. Femap с NX Nastran 7 апреля, 11:00
Основные способы соединения частей КЭ-модели, передачи нагрузок в Femap с NX Nastran 15 апреля, 11:00

Бесплатную пробную версию Simcenter Femap с NX Nastran можно скачать здесь.

Привет, Хабр! В названии этой статьи есть словосочетание нелинейный мир Думаю, что большинство читателей поняли смысл этого словосочетания, но я всё же расшифрую его.

Реальные системы можно рассматривать как линейные только в ограниченном диапазоне нагрузок. Реальный же мир вокруг нас нелинеен (рис. 1). Нелинейность есть нарушение принципа суперпозиции в некотором явлении (механической системе): результат действия суммы факторов не равен сумме результатов от отдельных факторов. Однако по разным причинам, в том числе в связи с отсутствием необходимых знаний, навыков моделирования, необходимого программного обеспечения, инженеры зачастую решают задачи только в линейных постановках. Даже когда линейный подход дает очень большие погрешности. Точное же моделирование поведения системы часто требует проведения нелинейного анализа.



Рис. 1

Введение

Пару месяцев назад я опубликовал статью Просто о нелинейном анализе методом конечных элементов. На примере кронштейна. В ней я постарался доступно разъяснить минимальный объем терминов и теории, необходимой для осознанного проведения нелинейного статического анализа, подробно разобрал алгоритм решения простой нелинейной задачи. Повторяться не буду, напомню несколько основных положений и приступим к обзору более сложных явлений, задач механики и инструментов, необходимых для решения этих нелинейных задач.

Линейные допущения часто справедливы, но сегодня при разработке изделий всё чаще необходимо проводить нелинейные расчеты. Чтобы сократить объем экспериментальной отработки, пользователи нуждаются в моделях более высокой точности: уточняются геометрические модели, увеличивается точность физических моделей. Это означает, что учитываются нелинейные эффекты, такие как контакты, большие деформации и свойства материала. Нелинейность задачи может быть обусловлена необходимостью учета истории нагружения конструкции то есть разложение задачи на составляющие воздействия и последующее объединение результатов невозможны. Без учета этих эффектов решения могут оказаться неточными, что приведет к неверным выводам. Или же изделия могут быть спроектированы с очень большим запасом прочности, а потому станут слишком дорогостоящими.

Классическая физика и математика у нас одна, но в разных расчетных комплексах используются разные наборы алгоритмов и инструментов для решения задач методом конечных элементов. В этой статье я расскажу об инструментах, имеющихся в арсенале пре-постпроцессора Femap с решателем NX Nastran, за более чем 35 лет многократно доказавшим свои надежность, точность и скорость. Для решения самых сложных нелинейных задач, в том числе если необходимо учесть историю нагружения конструкции, подходит модуль многошаговых нелинейных решений Multistep Nonlinear (SOL401 / SOL402).

Контакты и применение сабкейсов

В рамках одного многошагового решения можно изменять условия контакта поверхностей с помощью сабкейсов. Сабкейсы это отдельные решения, из которых можно сложить общее решение со сложной историей приложения нагрузок, изменения граничных условий. Например, при моделировании сборки можно добавлять или удалять контакты в определенной последовательности.

Трение может быть учтено в настройках контакта, а коэффициент трения быть постоянным или изменяться в зависимости от скорости, температуры и времени. Детали, которые контактируют, обычно рассматриваются как деформируемые. Но если одна часть намного жестче другой, стоит рассматривать ее как жесткую, чтобы упростить задачу без существенных погрешностей. Это также позволяет применять принудительное перемещение твердого тела на жесткой части в качестве нагрузки.

На рис. 2 изображена модель, в которой резиновое уплотнительное кольцо задано гиперупругим материалом. Моделирование позволяет вычислить напряжения и перемещения в резиновом уплотнительном кольце, используемом для уплотнения крышки, надетой на цилиндр. В целях повышения эффективности модель строится с использованием осевой симметрии. Видимый круг это поперечное сечение уплотнительного кольца. Размеры кольца уплотнителя в ненапряженном состоянии меньше диаметра цилиндра, поэтому начальное положение уплотнительного кольца показывает, что уплотнительное кольцо и цилиндр частично перекрываются. На первом этапе моделирования при определении контакта производится компенсация перекрытия, то есть уплотнительное кольцо растягивается радиально. Затем колпачок опускается и уплотнительное кольцо деформируется при соприкосновении со стенкой цилиндра. Таким образом образуется уплотнение.


Рис. 2

Геометрические несовершенства конечно-элементной сетки могут быть исправлены путем настройки допусков по зазорам и натягам или путем сглаживания граней. В случае возникновения трудностей со сходимостью есть множество вариантов решения этой проблемы. Например, опция Нормальная регуляризация полезна, когда условия контакта включают мягкие материалы, такие как резина. Тангенциальная регуляризация позволяет избежать разрывов в силах трения. Кроме того, локальная жесткость и демпфирование в контакте контролируются пользователем, что также может использоваться для улучшения сходимости. В постпроцессоре могут быть проанализированы следующие результаты: контактное давление, расстояние по нормали, скольжение, контактные силы.

Существует множество применений для контактов, включая болтовые соединения, имитацию падения и посадку с натягом. Моделировать болтовые соединения можно с помощью 1D конечных элементов (балки, стержни), 2D (плоские элементы) или 3D-элементов. Преднатяжение можно выполнять с помощью нескольких сабкейсов например, если нужно смоделировать последовательность затяжки болтов. Сабкейсы преднатяжения могут быть реализованы не только первыми по счету, но и в любой последовательности. При анализе других сабкейсов вычисленные преднапряжения сохраняются, но фактическая нагрузка на болты может изменяться при дальнейшем приложении нагрузок. Пользователи могут анализировать нормальные, сдвиговые напряжения, моменты в болтах на протяжении всего решения.

На рис. 3 изображена модель, позволяющая проанализировать следующую последовательность сборки/нагрузки/разгрузки: затяжка болта 1, затяжка болта 4, затяжка болта 2, затяжка болта 3, приложение эксплуатационной нагрузки, снятие нагрузки, снятие затяжки.


Рис. 3

Большие перемещения (деформации) и анализ после потери устойчивости

Большие линейные и угловые перемещения это фундаментальные нелинейные эффекты (рис. 4). Они учитывают изменение положения нагрузки по мере деформации системы. Также существует эффект изменения жесткости изделия от нагрузки. Решение после потери устойчивости это нелинейное решение с включенными эффектами больших деформаций.

Нагрузка вызывает потерю жесткости изделия, приводящую к последующим большим деформациям при небольших изменениях нагрузки. Существуют эффективные алгоритмы, позволяющие анализировать систему после превышения критической нагрузки потери устойчивости.


Рис. 4

Анализ после потери устойчивости это особый тип статического сабкейса в Femap. В стандартном квазистатическом анализе нагрузки увеличиваются в соответствии с законом, определенным пользователем. Но некоторые изделия неустойчивы из-за их формы после достижения определенного уровня нагрузки. Такие изделия скачкообразно теряют жесткость в некотором диапазоне нагрузок. Для решения подобного рода задач следует использовать алгоритм длины дуги (arc length) с его помощью решают задачи неустойчивого изгиба, потери устойчивости. Решение позволяет не только определить критическую нагрузку потери устойчивости на изгиб, но и проанализировать, как будет вести себя конструкция после того как она потеряет устойчивость. Вместо изменения нагрузок, основанных на временном приращении, алгоритм автоматически изменяет приращения нагрузки пропорционально перемещениям, а не времени.

Начальные несовершенства формы оказывают в задачах потери устойчивости большое влияние. Несовершенства формы могут быть учтены как искривления в геометрии/сетке, что можно использовать для учета несовершенств производственного процесса. Пользователь может моделировать места преднамеренного изгиба или моделировать повреждения, полученные в ходе эксплуатации.

Физическая нелинейность (нелинейность свойств материалов). Пластичность, гиперупругость, вязкость, ползучесть и композиты

В традиционном линейном анализе все материалы рассматриваются как линейные и упругие. Многошаговый нелинейный решатель Femap поддерживает нелинейные свойства совместно с изотропным, ортотропным, анизотропным поведением. Также поддерживаются еще несколько нелинейных моделей поведения материала, включая пластичность, гиперупругость, ползучесть и повреждение (damage). Пользователям, которым требуется задать уникальные свойства материалов, предоставлена возможность дополнительно добавлять собственные модели материалов.

Пластичные модели материалов с различными настройками доступны для моделирования. Пользователи могут задать кривую напряжений-деформаций как билинейную или полилинейную (рис. 5). Эффекты нагрузки/разгрузки могут быть описаны с помощью изотропных, кинематических или смешанных моделей упрочнения. Кривые напряжений-деформаций также могут быть дополнены температурной зависимостью. Таким образом материалы, зависимость свойств которых от температуры необходимо учесть при решении задачи, могут быть описаны адекватно.


Рис. 5

Гиперупругие материалы благодаря своим свойствам широко используются в различных отраслях. Они не зависят от скорости деформации. К таким материалам относятся резина, пена, биологические и полимерные материалы. Они поддерживают очень большие деформации (более 600%), практически несжимаемы, а также для них могут быть заданы температурные зависимости. Доступны стандартные модели материалов Муни-Ривлина (Mooney-Rivlin), Огдена (Ogden) с эффектом Муллинса (Mullins) и модели пенопласта. На рис. 6 изображена модель кожуха рукоятки переключения передач. Материал кожуха задан как гиперупругий резиновый материал с использованием модели Муни-Ривлина. Поверхности кожуха настроены для самоконтакта.


Рис. 6

Вязкоупругие материалы это упругие материалы, обладающие способностью рассеивания механической энергии из-за влияния вязкости.

Эластичные материалы, такие как резина, растягиваются мгновенно и быстро возвращаются в исходное состояние после снятия нагрузки. Вязкость (внутреннее трение) это свойство тела оказывать сопротивление перемещению одной его части относительно другой. Femap поддерживает вязкоупругие материалы с формулировками серий Кельвина и Прони. Модель Кельвина отражает явление упругого последействия, которое представляет собой изменение упругой деформации во времени, когда она или постоянно нарастает до некоторого предела после приложения нагрузки, или постепенно уменьшается после ее снятия (рис. 7). Когда снимается напряжение, материал постепенно расслабляется до недеформированной стадии. Модель Кельвина применяется для органических полимеров, резины, дерева при невысокой нагрузке.


Рис. 7

Деформации типа ползучести происходят с течением времени без какого-либо изменения нагрузки. Деформация при ползучести, как и при пластичности, является необратимой (неупругой), поведение материала при ползучести несжимаемое.
Многие материалы, особенно в условиях высокой температуры, могут испытывать деформации типа ползучести. Femap использует стандартную модель ползучести Бейли-Нортона и позволяет задавать температурные зависимости для определяющих коэффициентов.

В большинстве материалов при действии постоянной нагрузки выделяют три стадии ползучести (рис. 8). На первой стадии скорость деформации уменьшается со временем. Это явление наблюдается в течение короткого периода времени. Вторая стадия, более длительная, характеризуется постоянным значением скорости деформации. На третьей стадии скорость деформации быстро увеличивается вплоть до полного разрушения материала (разрыва образца).


Рис. 8

Многошаговый нелинейный решатель Femap может моделировать нелинейное поведение композиционных материалов в результате внутрислоевого или межслоевого разрушения (рис. 9).

В случае внутрислоевого разрушения отдельные слои ослабевают и теряют жесткость при превышении определенного уровня нагрузки. Решатель отслеживает жесткость каждого слоя в изделии и обновляет жесткость элемента по мере того как слои становятся более поврежденными. В крайнем случае может произойти полная потеря жесткости в элементе. Внутрислоевые разрушения (для однонаправленного или тканого слоя) бывают различных типов: разрушение волокон, разрушение матрицы, разрушение связей между матрицей и волокнами.

При межслоевом разрушении связь между слоями изделия может ослабнуть и потерять жесткость. Femap использует связующие элементы для моделирования такого поведения. Моделирование показывает области, где связь теряется и слои могут отделяться.


Рис. 9

Учет истории нагружения. Многошаговые решения с применением сабкейсов

Состояние конструкции в некоторых случаях зависит от последовательности приложения нагрузок, то есть нелинейность задачи может быть обусловлена необходимостью учета истории нагружения конструкции. Есть задачи, в которых достаточно учесть исходное напряженно-деформированное состояние (часто для нелинейностей, связанных с поведением материала). Но иногда бывает необходимо учесть сложную историю нагружения, состоящую из нескольких сабкейсов с изменяющимися силовыми факторами и граничными условиями. Граничные условия могут меняться при изменении площадок контакта.

Важной особенностью многошагового нелинейного решателя Femap является то, что он может поддерживать несколько сабкейсов и выполнять различные решения такие как статические, динамические, модальные в отдельных сабкейсах в рамках одного решения. В дополнение к изменению типа анализа в сабкейсах также можно изменять настройки параметров и граничные условия. Это открывает пользователям большие возможности настройки решений. Вот типовой сценарий с использованием сабкейсов: каждый сабкейс начинается с условий, в которых закончился предыдущий сабкейс. Такой сабкейс называется последовательным. Но пользователь также может начать решение снова и не в последовательном сабкейсе.

На рис. 10 показан пример моделирования трех компонентов авиационного двигателя: два фланца и ступица соединены болтами в несколько этапов. Для эффективного решения используется симметричный сектор модели. На первом этапе анализируются отклонения от пресс-формы для одного фланца и ступицы. На втором два болта затягиваются, чтобы соединить фланец и ступицу. На третьем рассматривается запрессовка второго фланца. На четвертом затягиваются еще два болта, чтобы соединить второй фланец и ступицу. Затем, на пятом этапе, анализируется нагрузка от высокоскоростного вращения полностью соединенных деталей. Последним шагом является модальный анализ он используется для прогнозирования напряжений от вибрации. Этот полный набор из шести шагов может быть выполнен в рамках одного анализа, что позволяет получить богатый набор данных для понимания напряженно-деформированного состояния двигателя.


Рис. 10

В дополнение к статическим сабкейсам поддерживаются динамические (transient). Этот тип сабкейса может начинать решение или следовать за статическими сабкейсами (рис. 11). При запуске решения могут быть применены начальные условия в форме перемещений или скорости. Например, для моделирования падения рационально начинать решение с точки непосредственно перед ударом и задавать начальную скорость, равную скорости удара. Если динамический анализ следует за статическим или другим динамическим анализом, то отклонения, скорости, ускорения в начале сабкейса будут такими же, как в конце предыдущего сабкейса.

В динамическом сабкейсе сгенерированные силы инерции, демпфирование, матрица жесткости и силы уравновешены приложенными нагрузками. Силы инерции можно отключить при анализе переходных процессов. Это очень полезно для ускорения решения и перехода к стационарному состоянию.


Рис. 11

Динамический анализ и моделирование кинематических связей

Моделирование падения часто выполняется для электронных приборов, чтобы понять, насколько хорошо они переживут столкновение с землей. На рис. 12 отображен ударный процесс, возникающий при падении тепловизионной камеры. Материал корпуса из поликарбоната моделируется как упругопластичный материал, а внутренняя печатная плата и электронные компоненты как линейно-упругие материалы. Динамический анализ начинается с точки соприкосновения тепловизора с землей. Камере задается начальная скорость, соответствующая высоте, с которой она была сброшена (в данном случае это высота 1 метр). Камера быстро соприкасается с землей и отскакивает. Анализируются напряжения и деформации корпуса и бортов.


Рис. 12

Femap поддерживает применение кинематических связей для соединения различных частей сборки. Поддерживаются основные типы шарниров, такие как цилиндрические, сферические шарниры, жесткие и гибкие направляющие.
На рис. 13 изображен процесс развертывания солнечных панелей спутника, соединенных посредством цилиндрического шарнира. С помощью данной модели можно оценить вибрации и определить уровень напряжений.


Рис. 13

Заключение

Главными критериями качества для оценки расчетной модели и полученных результатов всегда были и будут сравнение с натурными экспериментами и аналитическими решениями. Нелинейные модели не являются исключением из правил. Разработчики Femap из компании Siemens проверяют нелинейные формулировки с помощью тестов NAFEMS (Международная ассоциация инженерного моделирования и анализа) и аналитических решений.
В дополнение к проверке формулировок, алгоритмы регулярно тестируются с помощью большой библиотеки тестовых моделей, чтобы избежать появления ошибок по мере добавления улучшений и расширений.

Однако перед каждым инженером каждый раз встает вопрос адекватности принятых допущений, правильного использования имеющихся программных инструментов и многокритериальной оценки полученных результатов.

В данной статье предложен обзор актуальных нелинейных задач и инструментов для их решения. Безусловно, этой информации недостаточно, чтобы на практике приступить к решению вышеобозначенных задач. Поэтому приглашаю вас на бесплатный вебинар Femap и возможности модуля многошаговых нелинейных решений Multistep Nonlinear, который состоится 19 ноября 2020 года в 12:00. Во второй половине вебинара я решу задачу растяжения металлического образца с учетом пластичности и изотропного упрочнения материала.


Ознакомиться с обзором возможностей расчетного комплекса Femap с NX Nastran можно здесь, а скачать бесплатную пробную версию Femap с NX Nastran здесь.

Филипп Титаренко,
продакт-менеджер по направлению Femap
АО Нанософт
E-mail: titarenko@nanocad.ru

Литература
1. Femap с NX Nastran, Simcenter 3D Многошаговые нелинейные решатели: SOL401 / SOL402.Multistep Nonlinear (перевод Ф.В. Титаренко). Siemens.
2. NX Nastran Handbook of Nonlinear Analysis (Solutions 106 and 129). Siemens.

Привет, Хабр! Цель написания этой статьи как можно более понятно представить приемы конечно-элементного моделирования на примере такой непростой темы, как нелинейный анализ. Я более семи лет проработал в отделе динамической прочности АО ВПК НПО машиностроения, где занимался расчетно-экспериментальным сопровождением изделий ракетно-космической отрасли. Также около трех лет помогал строительным и нефтяным компаниям закрывать их самые сложные расчетные проблемы. Пришло время поделиться опытом.

Продакт-менеджер по направлению Femap АО Нанософт Филипп Титаренко

Введение, или Зачем и про что эта статья

Далеко не все инженеры умеют решать задачи нелинейного анализа. А многих, даже из числа тех, кто специализируется на расчетах в программах конечно-элементного анализа, словосочетание нелинейный анализ вводит в заблуждение или же вовсе пугает. Тем, кто мимоходом пробовал решать такие задачи, вспоминаются окна с большим количеством настроек и какие-то графики, которые куда-то движутся и при этом что-то не сходится (рис. 1). Однако не только научные задачи, но и современные инженерные нормы и стандарты зачастую требуют учитывать нелинейность в расчетных моделях. Причем эти требования существуют не только в космической, авиационной, машиностроительной отраслях. Так, например, свод правил СП 385.1325800.2018 Защита зданий и сооружений от прогрессирующего обрушения при проведении расчетов требует учитывать геометрическую и физическую (пластичность, ползучесть и др.) нелинейности.


Рисунок 1

Статистика на сегодняшний день такова, что около 90% расчетов приходится на линейный анализ. С точки зрения экономики, линейный анализ это быстро, просто и дешево. Но если вам необходимо рассчитать отклик на воздействие ударов, учесть инерционные эффекты, проследить изменение температурных или других параметров во времени, учесть наличие поверхностей контакта, геометрические нелинейности или сложные механизмы поведения материалов, без нелинейного анализа и без умения правильно настроить решатель вам не обойтись. Основные виды нелинейности физическая геометрическая и обусловленная наличием поверхностей контакта.

В Рунете (да и в глобальной сети) на тему нелинейного анализа методом конечных элементов есть два условных типа образовательных материалов: 1) не слишком длинные инструкции, куда и в какой последовательности нажать в вашей САПР, чтобы рассчитать ваши балку, нагрев, кронштейн, течение, либо 2) толстые институтские учебники/научные работы или многостраничные руководства пользователя, которые можно и нужно долго изучать но в ближайшие дни и недели вряд ли получится что-то посчитать самостоятельно.

Данная статья это попытка автора на конкретном примере в конкретной САПР проиллюстрировать алгоритм проведения нелинейного статического анализа с нуля и до анализа решения, при этом предложив некоторые объяснения теоретическим основам, связанным с настройками решателя.

Задачу мы будем решать в пре-постпроцессоре Femap с решателем NX Nastran, еще с середины 70-х годов прошлого века многократно доказавшим свои надежность, точность и скорость. Я пользуюсь Femap 2020.2, но в целом алгоритм решения такого рода задач идентичен не только в предыдущих версиях Femap, но и в других КЭ расчетных комплексах.

На чем будем тренироваться? Нелинейный статический анализ

Нет, тренироваться, в отличие от героя старой кинокомедии (рис. 2), будем не на кошках.


Рисунок 2

Нам предстоит рассчитать Г-образный кронштейн за пределом текучести стали. Реальным прототипом кронштейна может быть альпинистский шлямбур, кронштейн на МКС или элемент навесного вентилируемого фасада. Я выбрал его потому что, с одной стороны, не хотел брать готовую модель, а с другой хорошо было бы не тратить много времени читателя на процесс создания геометрии. С точки зрения модели все будет максимально просто, больше внимания я уделю теории и настройкам решателя. При таком подходе у читателя будет возможность самостоятельно повторить весь процесс от создания модели до ее численного анализа. И даже провести натурный эксперимент.

В процессе подготовки статьи я обнаружил у себя дома подобный, но перфорированный кронштейн (рис. 3), ранее выведенный мною плоскогубцами за пределы текучести правда, при других граничных условиях закрепления. И в других целях не научно-экспериментальных, а в бытовых


Рисунок 3

Но при желании вы всегда сможете верифицировать свой численный эксперимент: такие кронштейны есть во всех строительных магазинах.

Немного теории: отличия линейного и нелинейного анализа

Для практики решения инженерных задач с точки зрения внутренних расчетных алгоритмов важно осознавать, что в нелинейном анализе нагрузки прикладываются постепенно и фактически решатель последовательно решает множество задач. При линейном статическом анализе всегда делается лишь один шаг: от начального состояния к конечному. При решении нелинейной задачи все заданные нагрузки будут приложены к телу не сразу.

Исходными данными для каждого последующего шага в нелинейном анализе является состояние модели на предыдущем шаге. Причем на каждом шаге внутренние и внешние силы (энергетические параметры) должны быть уравновешены с учетом некоторой погрешности (рис. 4). Величину допустимой погрешности определяет критерий сходимости (Convergence Tolerances). Обычно этот критерий задается в процентах от приложенной нагрузки, где под нагрузкой понимаются все приложенные к модели внешние силы или, в случае нагружения перемещением, силы реакции. Обилие настроек объясняется сложностью расчетных алгоритмов, сопутствующих нелинейному анализу. Типовое значение критерия сходимости по силам находится в диапазоне от 0,1 до 1% приложенной нагрузки. В поиске сходимости на шаге решения программа может выполнить множество итераций. По этим причинам решение нелинейных задач занимает намного больше машинного времени, чем решение линейных статических задач. Важно осознавать, что многошагового подхода могут по разным причинам (типам нелинейностей) требовать задачи, результат решения которых не зависит от времени.


Рисунок 4

Самый простой пример, на котором можно понять это утверждение, нагружение упруго-пластичной конструкции нагрузкой, при которой напряжение превысит предел текучести. Решатель заранее не знает, при какой нагрузке напряжение в отдельных узлах модели превысит этот предел и, следовательно, принципиально изменятся параметры уравнений, описывающих напряженно-деформированное состояние тела. При этом на каждом шаге приращения силы нужно учитывать изменение зоны пластической деформации. Поэтому решение проходит множество шагов приращения нагрузки, а шаги в свою очередь при необходимости выполняются за определенное количество итераций. Вычисления матрицы жесткости могут повторно осуществляться на каждом шаге решения. Частота пересчета матрицы жесткости задается пользователем. Пластичность это физическая нелинейность.

В связи с многошаговостью и итерационностью процесса решения рекомендую освоить вкладку Nonlinear History (Нелинейная хронология решения), на которую можно перейти, запустив решатель. В ней вы сможете по графику в режиме реального времени отслеживать количество выполненных итераций и уровень достигнутой нагрузки (Load Factor). По этому графику можно анализировать скорость сходимости решения. Если что-то пошло не так, то решатель прервет процесс решения и выдаст сообщение, что решение не сходится.

Линейный анализ может использоваться только для анализа моделей с линейными материалами при условии, что нелинейностей других видов нет. Линейные материалы могут быть изотропными, ортотропными или анизотропными. Если материал в модели имеет нелинейные характеристики напряжение деформации под заданной нагрузкой, должен использоваться нелинейный анализ. В нелинейном анализе могут быть использованы различные типы моделей материалов.

При нелинейном статическом анализе динамические явления, подобные инерционным силам и силам демпфирования, не учитываются. Обработка нелинейного статического решения отличается от обработки линейного статического решения несколькими основными позициями, представленными в табл. 1.



Общей теории на этом достаточно, а о том, как настроить алгоритмы решения глобальной нелинейной системы алгебраических уравнений, порождаемой методом конечных элементов, я напишу ниже, когда мы дойдем до соответствующего места при разборе нашего практического примера с кронштейном. В Femap большая часть этих настроек находится в диалоговом окне Nastran Nonlinear Analysis, куда можно попасть из диалогового окна Analysis Set, установив 10..Nonlinear Static в поле Analysis Type и несколько раз нажав кнопку Next. Но всему свое время.

Приступим к практике: моделирование кронштейна и линейный анализ в Femap с NX Nastran

В командном меню открываем File Preferences вкладка Geometry/Model. В настройках Solid Geometry Scale Factor устанавливаем Meters, что соответствует системе СИ измерений физических величин.

Наш Г-образный кронштейн будет состоять из двух квадратных пластин со сторонами длиной 0,1 метра, расположенных в перпендикулярных плоскостях. В командном меню перейдем в Geometry Surface Corners и последовательно создадим две квадратные пластины.
1) Координаты вершин для первой пластины: 1) X = 0; Y = 0; Z = 0; 2) X = 0,1; Y = 0; Z = 0; 3) X = 0,1; Y = 0; Z = 0,1; 4) X = 0; Y = 0; Z = 0,1.
2) Для второй: 1) X = 0; Y = 0; Z = 0; 2) X = 0; Y = 0,1; Z = 0; 3) X = 0; Y = 0,1; Z = 0,1; 4) X = 0; Y = 0; Z = 0,1.

Последовательно забив эти точки в диалоговое окно Locate Enter Corner of Surface, получим нужную геометрию. Нажатием клавиш Ctrl+A мы можем отобразить нашу геометрию в центре видового экрана в удобном масштабе.

Далее создадим материал наших пластин (Сталь 3) и определим его свойства. Для этого в панели Model Info, расположенной в левой части экрана, раскроем вкладку Model, затем щелкнем правой кнопкой мыши на строке Materials и нажмем New. Откроется диалоговое окно Define Material ISOTROPIC. В поле Title введем наименование St3. В поле General зададим модуль Юнга (Youngs Modulus), E = 2e11, коэффициент Пуассона (Poissons Ratio), nu = 0,3, плотность (Mass Density) = 7850. На вкладку Nonlinear пока переходить не будем. Нажимаем ОК, а затем Cancel.

Создадим тип конечного элемента и укажем его свойства. Для этого во вкладке Model щелкнем правой кнопкой мыши на строке Properties и нажмем New. Откроется диалоговое окно Define Property Plate Element Type. В поле Title введем наименование Pl0005. Во вкладке Material выберем 1..St3. Затем нажмем кнопку Elem/Property Type и убедимся, что флажок стоит в нужном месте: Plane Elements Plate. То есть выбран плоский конечный элемент пластина. Зададим толщину пластины, для этого в поле Thicknesses установим TavgorT1 = 0,005. Нажимаем ОК, а затем Cancel.

Сохраним нашу модель, для чего нажмем File Save As, выберем путь для сохранения файла и имя файла. Я назову его KronNonlin.

Зададим свойства сетки конечно-элементной модели. Для этого в командном меню нажмем Mesh Mesh Control Size On Surface. В диалоговом окне Entity Selection Select Surface(s) to Set Mesh Size нажмем Select All, чтобы выбрать все поверхности. Нажав ОК, мы попадаем в диалоговое окно Automatic Mesh Sizing. В поле Element Size выставляем значение 0,005 и нажимаем ОК. Теперь характерный размер наших конечных элементов будет равен 5 мм. На линиях модели появились точки, дающие нам информацию о том, какого размера будут элементы после создания конечных элементов.

Теперь создадим конечно-элементную модель. В командном меню нажмем Mesh Geometry Surface. В диалоговом окне Entity Selection Select Surfaces to Mesh нажимаем Select All и ОК. В поле Property установим созданный нами тип КЭ 1..Pl0005, а в поле Mesher флажок Quad. Нажимаем OK. Конечно-элементная модель создана. Теперь закрепим кронштейн и нагрузим его внешними силами.

Крепить кронштейн мы будем за четыре узла (такое закрепление более всего соответствует креплению заклепками или точечной сварке) по шести степеням свободы, и по линии стыка двух пластин по трем степеням свободы (оставив возможность вращения вокруг линии).


Рисунок 5

Задаем граничные условия закрепления. Для этого щелкаем правой кнопкой мыши на Constraints, нажимаем New и вводим название Constr. Далее нажимаем правой кнопкой на Constraints Definitions и выбираем закрепление по узлам (Nodes). Выбрав четыре узла, как показано на рис. 5, закрепляем их по шести степеням свободы; нажимаем ОК. В поле Title диалогового окна Create Nodal Constraints/DOF пишем 4nodes и нажимаем на кнопку Fixed, чтобы ограничить перемещение-вращение. Нажимаем ОК. Вновь щелкаем правой кнопкой на Constraint Definitions и выбираем закрепление по линии (Curves). В поле Title диалогового окна Create Constraints on Geometry указываем Line и нажимаем кнопку Pinned No Translation, чтобы ограничить перемещение, оставив возможность вращения.

Зададим условия нагружения, для чего правой кнопкой мыши щелкнем на Loads New. Новый Set назовем Vert. Нажимаем правой кнопкой на Load Definitions Nodal и выбираем четыре узла, к которым будут приложены данные нагрузки. В диалоговом окне Create Loadson Nodal назовем нашу нагрузку Force600. Узловые силы направлены по оси Y в отрицательном направлении. Величина узловой нагрузки FY минус 600 Ньютон. Таким образом, к каждому из четырех узлов будет приложена нагрузка по 600 Ньютон (то есть 240 кг на все четыре узла).

Далее переходим к настройкам анализа. В командном меню выбираем Model Analyses. Нажимаем кнопку New, чтобы выбрать тип анализа и решатель. В поле Title вводим Linear. Выбираем Analysis Program 36..Simcenter Nastran и Analysis Type 1..Static. Затем нажатием на кнопку Analyze запускаем расчет. Решение занимает у меня меньше одной секунды (!). Femap показывает нам окно наблюдений за результатами анализа: Simcenter Nastran Analysis Monitor. Строка Analysis complete 0 означает, что анализ успешно завершен.

В Model Info щелкаем правой кнопкой мыши на Results All Results Deform. Теперь мы видим деформированное состояние нашего кронштейна в гиперболизированном виде. На мой взгляд, деформированное состояние визуально чрезмерно преувеличено, поэтому нажмем F6: откроется диалоговое окно View options. Перейдем во вкладку PostProcessing, Deformed Style в поле Scale установим 4%. Теперь визуализация деформированного состояния модели преувеличена меньше. Максимальные перемещения можно посмотреть в левом нижнем углу модели они составляют 0,0026 м.

Нажмем клавишу F5 и отобразим распределение напряжений по модели. В поле Contour Style установим флажок на Contour, затем нажмем кнопку Deformed and Contour Data. Во вкладке Contour выберем 7033 Plate Top Von Mises Stress, чтобы Femap отобразил напряжения в узлах. Наша модель стала разноцветной, цвета отображают уровень напряженности (рис. 6). В правой части экрана мы видим шкалу, отображающую, какому цвету какой уровень напряжений соответствует. Чтобы скрыть геометрическую исходную модель, нажмем на иконку View Surfaces Toggle. Максимальные напряжения достигают 332,4 МПа, что значительно выше предела текучести 210 МПа для стали Ст3.


Рисунок 6

Итак, напряжения в точках кронштейна значительно выше предела текучести. Линейный анализ не учитывает текучесть-пластичность материалов и связанный с этим явлением эффект перераспределения напряжений, поэтому данное распределение напряжений не соответствует реальности. Переходим к нелинейному анализу.

Практика: нелинейный статический анализ в Femap с NX Nastran

Чтобы перейти от линейной к нелинейной модели, нам нужно выполнить всего пару действий (разбиение, условия закрепления и нагрузки мы не меняем).

Изменим свойства материала, добавив пластические деформации; для этого во вкладке Materials щелкнем правой кнопкой мыши на нашем материале 1 St3 и нажмем Edit. Перейдем на вкладку Nonlinear и в поле Nonlinearity Type выберем Plastic. В поле Yield Criterion выберем 0..von Mises, в поле Initial Yield Stress вводим значение 210 000 000 (то есть 210 МПа). Жмем ОК.

NX Nastran поддерживает следующие критерии пластичности:

• Мизеса (von Mises) для пластичного материала используется в большинстве случаев;
• Треска (Tresca) для хрупких и некоторых пластичных материалов;
• Друкера-Прагера (Drucker-Prager) для материалов типа грунта и бетона с внутренним трением;
• Мора-Кулона (Mohr-Coulomb) для материалов типа камень с внутренним трением.
• Осталось настроить решатель.

В командном меню выбираем Model Analyses. Нажимаем кнопку New, чтобы выбрать тип анализа и решатель. В поле Title вводим Nonlinear1. Выбираем Analysis Program 36..Simcenter Nastran и Analysis Type 10..Nonlinear Static. Нажимаем кнопку Next. В окне Nastran Executive and Solution Options ставим галочку на Number of Processors и вводим число процессоров на нашем компьютере. Затем нажимаем кнопку Next шесть раз подряд, не меняя стандартные настройки в диалоговых окнах, пока не попадем в диалоговое окно Nastran Nonlinear Analysis. Это ключевое окно для настроек нелинейного анализа, потому остановимся на этом месте поподробнее и рассмотрим его поля-настройки (рис. 7).


Рисунок 7

При необходимости учета эффекта ползучести нужно установить галочку в поле Creep.
В поле Basic устанавливаем количество шагов приращения нагрузки (Increments or Time Steps) и максимальное количество итераций на каждом шаге (Max Iterations / Steps). В случае нелинейного статического анализа Increments or Time Steps отражают уровень нагрузки. На графике Nonlinear History (Нелинейная хронология), иллюстрирующем в реальном времени количество выполненных итераций, уровень нагрузки отложен на вертикальной оси и называется Load Factor. Его величина лежит в диапазоне от 0 до 1. За заданное количество шагов нагрузка меняется от 0 до полной; при этом, если того требуют условия сходимости, в рамках одного шага выполняется несколько итераций. Эти два параметра очень важны, в каждой задаче нужно постараться выбрать золотую середину между слишком большим количеством шагов и итераций и слишком маленьким. Если их слишком мало, то решение не сойдется или будет оказано негативное влияние на точность. Если же их количество окажется чрезмерным, решение будет затрачивать очень много машинных мощностей, времени, и может быть оказано негативное влияние на сходимость. Чтобы исследовать влияние этих параметров, мы прорешаем нашу задачку с кронштейном несколько раз при различных сочетаниях количества шагов и итераций, наблюдая при этом за графиком нелинейной хронологии.

Для нелинейной статической задачи в поле Stiffness Updates можно выбрать один из трех методов (AUTO, ITER, SEMI) обновления матрицы жесткости тела, а также количество итераций (Iteration Before Update), через которое матрица будет обновляться. Если метод выбран неверно, то автоматически будет использоваться 0..Default (по умолчанию). В методе AUTO матрица жесткости обновляется исходя из оценок сходимости разных численных методов (квазиньютоновского, с линейной итерацией, половинного деления) и с выбором того из них, что даст минимальное количество обновлений матрицы жесткости. Метод SEMI подобен методу AUTO, но обновление матрицы жесткости обязательно проводится и на первой итерации после изменения нагрузки, что бывает эффективно для сильно нелинейных процессов. Метод ITER (в нелинейном анализе во времени ему подобен метод TSTEP) проводит обновление матрицы жесткости после указанного в поле Iteration Before Update количества итераций. Метод ITER эффективен для сильно нелинейных процессов, при которых геометрия тела в процессе деформирования резко изменяется (например, при потере устойчивости).

В поле Output Control задаются настройки вывода результатов на промежуточных шагах нагружения (временных шагах, если речь идет об анализе во времени). При проведении статического нелинейного анализа во вкладке Intermediate можно выбрать один из следующих вариантов: 0..Default (по умолчанию), YES (выводить), NO (не выводить), All (выводить на всех шагах). При нелинейном анализе во времени можно задать, через какое количество шагов следует выводить результат.

В поле Convergence Tolerance задаются допуски на удовлетворение условий сходимости для нагрузок (Load), перемещений (Displacement) и внутренней работы (Work). Влияние допуска по сходимости (Convergence Tolerances) на точность и время решения задачи рассмотрим на примере модели, изученной разработчиками Femap с NX Nastran из компании Siemens.
Очень большая нелинейная модель (950 000 DOFs) была тщательно исследована, чтобы определить влияние различных допусков критерия сходимости на время выполнения и точность расчета. В этой модели не было теплопередачи, зазоров или контактов. Результаты исследования показали, что приемлемая точность решения (в сравнении с решением, полученным при очень высоком уровне допуска по сходимости) может быть достигнута как для уровня допуска по сходимости высокий, так и для уровня инженерный. Уровень допуска по сходимости предварительная оценка дает результат с теми же общими тенденциями, что и более высокие уровни допуска, но ответы недостаточно точны для рабочего проекта. При уменьшении уровня допуска по сходимости расчет происходит значительно быстрее. В табл. 2 можно количественно оценить представленные тенденции.



В поле Solution Strategy Overrides устанавливаются настройки процесса решения глобальной нелинейной системы алгебраических уравнений, порождаемой методом конечных элементов. Для осознанного изменения этих настроек нужно обладать знаниями и опытом если их недостаточно, лучше оставить установки по умолчанию. Приведу некоторые разъяснения.
Arc-Length Method устанавливает величину временного шага (догрузки) с учетом информации о перемещении узлов тела его следует использовать, если задача связана с резкой деформацией (потерей устойчивости).

Полный метод Ньютона-Рафсона (Full Newton-Raphson) очень быстро сходится, но нуждается в дополнительном времени на создание дополнительной матрицы для полной матрицы системы алгебраических уравнений на каждой итерации.

Модифицированный метод Ньютона-Рафсона (Modified Newton-Raphson) не нуждается в таком действии, но сходится значительно медленнее, поэтому для его ускорения могут применяться дополнительные процедуры: Line Search (линейного поиска), Quasi-Newton (квазиньютоновского ускорения) и/или Bisection (половинного деления).

Таким образом, мы разобрали основные настройки для нелинейного статического анализа (настройки нелинейного анализа во времени им во многом подобны). Для расчета нашего кронштейна в окне Nastran Nonlinear Analysis установим следующие параметры: в поле Increments or Time Steps 50, Max Iterations / Step 5, Stiffness Updates Method 1..AUTO, Iterations Before Update 5, Intermediate 1..YES. Остальные настройки оставим без изменений. Нажимаем ОК и переходим в окно Analysis Set Manager. Чтобы запустить расчет, нажмем кнопку Analyze. Femap автоматически откроет окно Simcenter Nastran Analysis Monitor. Перейдем во вкладку Нелинейная хронология, переставив флажок с log на Nonlinear History (рис. 8).


Рисунок 8

Здесь отображается график, иллюстрирующий в реальном времени количество выполненных итераций и (в случае нашего нелинейного статического анализа) Load Factor, то есть фактор нагрузки от 0 до 1. В правом верхнем углу мы видим информацию о номере текущей итерации. Обращаю внимание, что это не номер шага приращения нагрузки, а именно номер текущей итерации. Каждый шаг приращения нагрузки может содержать в себе несколько итераций это необходимо для выполнения алгоритмов, реализующих сходимость решения. Если приращение не сходится, это означает, что изменение в нагрузке слишком велико, чтобы перейти к следующему шагу; нагрузка снижается выполняются дополнительные итерации внутри одного шага.

В окне Model Info откроем вкладку Results All Results. Двойной щелчок мыши на строчке решений открывает результаты при различных уровнях нагрузки от 0 до 100%. Проанализируем совместно график нелинейной хронологии и напряженно-деформированное состояние кронштейна при различных уровнях нагрузки.

При уровне нагрузки от 0 до 0,62 (Load Factor) напряжения меньше предела текучести 210 МПа, после начинается пластическая деформация стали кронштейна. Единице 1 соответствует полная приложенная нагрузка 240 кг на четыре узла. Максимальные напряжения выделены красным цветом они сконцентрированы возле линии пересечения поверхностей. При уровне нагрузки от 0,62 до 1 зона пластических деформаций растет максимальные напряжения (в отличие от линейного анализа) не увеличиваются. При факторе нагрузки 0,82 скорость роста кривой уменьшается это значит, что для удовлетворения условий сходимости на каждый шаг требуется большее количество итераций. Мы смогли достигнуть полной нагрузки 1 максимальные перемещения составили 0,00283 м. В некоторых случаях (например, если бы мы значительно увеличили нагрузку) геометрия деформированного тела искажается настолько, что при данной стратегии (настройках решателя) сходимости достичь не удастся. Как видим, результаты нелинейного анализа качественно и количественно отличаются от результатов линейного анализа.

Проведем еще три расчета, выставив разные настройки по количеству шагов приращений и итераций (рис. 9). В первом случае были выставлены Increments or Time Steps 50, Max Iterations / Step 5.


Рисунок 9

Условия сходимости были соблюдены в 1-м, 2-м и 4-м расчетных случаях. В 3-м расчетном случае фатальная ошибка с пояснением, что решение не сходится, появилась при уровне нагрузки 0,8. Обратим внимание, что во 2-м и 4-м расчетах решение было выполнено успешно (полная нагрузка 1) при значительно меньшем количестве шагов и итераций. Наша модель достаточно проста, и все расчеты были проведены менее чем за 5 секунд. На больших моделях благодаря правильному выбору числа шагов приращения нагрузки и итераций может быть сэкономлено много машинного времени.

Заключение

За рамками этой статьи осталось множество вопросов: многоступенчатое нагружение (применение Case и Subcase), применение нелинейных контактов, нелинейный анализ во времени, действия в случаях, когда решение разваливается. Но я надеюсь, что основная цель статьи достигнута у тех читателей, кто не имеет обширного опыта в решении нелинейных задач, теперь есть минимальный набор теоретических знаний и практических образов, чтобы начать работу с нелинейным анализом методом конечных элементов.

Литература

1. Basic Nonlinear Analysis Users Guide. Siemens.
2. Рудаков К.Н. Femap 10.2.0. Геометрическое и конечно-элементное моделирование конструкций. К.: КПИ, 2011. 317 с., ил.

Филипп Титаренко,
продакт-менеджер по направлению Femap
АО Нанософт
E-mail: titarenko@nanocad.ru

Уважаемые читатели, приглашаю вас на три интересные и полезные мероприятия, которые состоятся в ближайшее время:

1. 20 августа я провожу бесплатный вебинар Нелинейный анализ в Femap с NX Nastran.
2. 17 сентября жду вас на вебинаре Контактные задачи в Femap с NX Nastran. Ссылка на него появится в ближайшие дни в разделе мероприятий.
   
   На вебинарах я с удовольствием отвечу на ваши вопросы.
3. 9 и 10 сентября будет проходить Femap Симпозиум 2020, в ходе которого специалисты российских промышленных компаний и разработчики Femap из Siemens поделятся инженерным опытом и навыками в сфере конечно-элементного моделирования. Чтобы подробнее узнать о симпозиуме, пройдите по ссылке.