Русский
Русский
English
Статистика
Реклама

Динамическая система

Визуализация хаоса как представляют аттракторы динамических систем

28.08.2020 16:14:16 | Автор: admin

(с)

Среди ученых ходит байка о нетривиальном способе сделать свой доклад интересным и увлекательным. Во время выступления нужно выбрать в зале самого недоумевающего, самого потерянного слушателя, и рассказывать персонально ему, да так, чтобы зажечь в глазах огонек интереса.

Еще известен афоризм, приписываемый физику Ричарду Фейнману: Если вы ученый, квантовый физик, и не можете в двух словах объяснить пятилетнему ребенку, чем вы занимаетесь, вы шарлатан.

Доступно объяснять устройство сложных вещей великий навык, однако бывают истории, о которые сломает язык даже самый искусный оратор. Теория динамических систем вот та область, где без визуализации чувствуешь себя слепым садовником в окружении колючих, увенчанных шипами растений.

Сложные непериодические режимы поведения динамических систем можно описать непериодическими траекториями так называемыми странными аттракторами, имеющими фрактальную структуру. Сегодня покажем, как визуализируют поведение странных и некоторых других аттракторов.

Great attractor



Если остановить на улице первого попавшегося человека, посветить ему в лицо фонариком и спросить, что он знает об аттракторах, то, скорее всего, ничего не услышим услышим о Великом аттракторе, притягивающем к себе в глубинах космоса сотни тысяч галактик, чтобы однажды перезапустить Матрицу.

На самом деле космологические аттракторы это области гравитационной аномалии, вызванные, по всей видимости, особыми галактическими скоплениями, и не имеющие прямого отношения к теме статьи.

Безусловно, стоит отметить, что теория динамических систем особенно хорошо подходит для определения возможных асимптотических состояний различных космологических моделей. Да и видео интересное посмотрите.

Lorenz attractor



Один из самых знаменитых аттракторов аттрактор Лоренца, получивший известность благодаря массовому распространению термина эффект бабочки. Помимо того, что при визуализации аттрактора его форма напоминает бабочку, он представляет собой набор хаотических решений системы Лоренца.


Демонстрация хаотических систем, подобных аттрактору Лоренца (можно сделать самому на C++).

Суть решений Эдварда Лоренца в нелинейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений можно передать следующим образом: в любой физической системе при отсутствии совершенного знания начальных условий мы не способны в полной мере предсказать ее будущее. Физические системы могут быть полностью непредсказуемыми даже при отсутствии квантовых эффектов.

Hidden attractor



Аттрактор называется скрытым, если его область притяжения не пересекается с определенной открытой окрестностью точек равновесия. В противном случае он называется самовозбуждающимся аттрактором (self-excited attractor).

Классификация аттракторов (скрытые или самовозбуждающиеся) появилась только в 2009 году после того как был обнаружен скрытый аттрактор в простейшей электрической цепи Чуа с одним нелинейным резистором, демонстрирующей режимы хаотических колебаний.

Multiscroll attractor



Это целое семейство многокомпонентных аттракторов, включающее в том числе модифицированный скрытый хаотический аттрактор Чуа.

Nonchaotic attractor



Помимо обычных хаотических аттракторов существуют периодические, квазипериодические, а также странные нехаотические аттракторы.

Один из основных критериев, по которому аттрактор можно причислить к нехаотическим, расчет показателей Ляпунова. В этом типе аттракторов для системы экспоненты Ляпунова не являются положительными.

Hyperchaotic attractor



Hyperchaotic attractor это визуализация дифференциальных уравнений Safieddine Bouali. Гиперхаотические аттракторы существуют только в динамических системах, размерность фазового пространства которых более или равна четырем. Модели гиперхаотических аттракторов могут использоваться в реальных приложениях, имеющих отношение к безопасной связи и шифрованию.

Limit Cycle



Непрерывная динамическая система с изолированной орбитой, подразумевающая самоподдерживающиеся колебания (например, колебания маятниковых часов или сердцебиение во время отдыха).

Rssler attractor



Хаотический аттрактор системы дифференциальных уравнений Рёсслера. В 1976 году врач Отто Рёсслер представил трехмерную модель динамики химических реакций, протекающих в некоторой смеси с перемешиванием. Для аттрактора Рёсслера характерна фрактальная структура в фазовой плоскости.


На аттракторе Рёсслера траектории не пересекают сами себя. Поверхности, образующие странный аттрактор, делятся на отдельные слои, создавая бесконечное множество поверхностей, каждая из которых находится чрезвычайно близко к соседней. Можно допустить, что лента, которая образует основание аттрактора, подобна многослойному листу Мёбиуса.

Spiral attractor



Spiral attractor аттрактор, позволивший изучить жизнь амеб Dictyostelium discoideum. При истощении питательных ресурсов амебы секретируют циклический аденозинмонофосфат (цАМФ) сигнальные молекулы, привлекающие соседние клетки к центральному местоположению. Голодные миксамёбы (одноклеточная стадия развития Dictyostelium), подчиняясь сигналам, сползаются к центру, который образовался в результате склеивания первых миксамёб, случайно оказавшихся рядом. Соединяясь с помощью молекул клеточной адгезии, они образуют агрегат из нескольких десятков тысяч клеток. Собственно, этот процесс и представлен на видео.

Tinkerbell attractor



Карта Тинкербелла динамическая система с дискретным временем, демонстрирующая хаотическое поведение в двумерном пространстве. Форму Тинкербелла можно изменить, чтобы получить другие хаотические аттракторы в системах защищенных коммуникаций, использующих хаос связи.

Thomas' cyclically symmetric attractor



Трехмерный аттрактор, предложенный биоинформатиком Рене Томасом, может рассматриваться как траектория демпфирующей частицы, движущейся в трехмерной решетке сил.

Ikeda attractor



Фрактальный набор, к которому притягивается орбита любой точки на плоскости, если мы продолжаем итерацию определенной карты от плоскости к самой себе.

Заключение



Мы рассмотрели лишь несколько известных типов аттракторов. Всего же вы можете найти упоминания о сотне различных аттракторов.

Надо отметить, что это очень молодая область науки, и поиск, начавшийся с идеи уйти от математической абстракции в сторону практического создания хаоса, продолжается по сей день.

Неизменно одно: наш интерес с силой Великого аттрактора притягивают системы, чрезвычайно чувствительные к небольшим отклонениям в описании начального состояния. Мы сталкиваемся с этими системами не из праздного любопытства мы живем среди них и благодаря им.
Подробнее..

Использование проволочных моделей для визуализации научных данных

19.04.2021 14:06:47 | Автор: admin
Что же это такое?

Начну с банальности никто не будет спорить с утверждением, что каждая научная проблема нуждается во всестороннем рассмотрении. Иногда очень помогает буквальное использование этого подхода хорошо бы уметь построить модель исследуемого процесса и просто взглянуть на неё с разных сторон. Далее я попробую показать, как это работает в применении к исследованию динамических систем и связанных с ними объектов


Динамические системы и фазовые траектории


В предыдущей статье я попытался рассказать о своём приложении для исследования динамических систем, которые можно описать с помощью систем Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ). Это приложение ориентировано, прежде всего, на графический способ представления результатов и их визуальный анализ.

Динамическая система это система, которая изменяется (эволюционирует) с течением времени, причем её состояние в определенный момент однозначно определяется начальным состоянием. Часто динамическую систему можно описать с помощью набора переменных, зависящих от времени. Для конкретной динамической системы обычно задаются начальные значения переменных, описывающих её, а также законы, по которым эти переменные изменяются. Часто такой закон имеет вид системы ОДУ, которая связывает скорость изменения переменных с их величинами.

$\begin{cases} \dot y_1=f_1(y_1..y_n,c_1..c_m) \\ \dot y_2 = f_2(y_1..y_n,c_1..c_m) \\ ... \\ \dot y_n=f_n(y_1..y_n,c_1..c_m) \end{cases}$

,
где $y_i,i =1..n$ переменные системы, $c_j,j=1..m$ параметры, $\dot y$ производная $y$ по времени.

Для анализа поведения динамической системы можно использовать графики зависимостей переменных от времени. Например, динамическая система простого маятника, колеблющегося в одной плоскости, является двумерной (имеет размерность два), то есть описывается двумя переменными отклонением маятника от вертикали и его скоростью. Отклонение и скорость периодические функции от времени, и их графики имеют соответствующий вид.

Одним из важных видов представления динамической системы является ее фазовая траектория кривая в пространстве всех возможных состояний, описывающая эволюцию системы, начиная от начального её положения. Для системы с двумя переменными это двумерная кривая, для периодических колебаний простого маятника эта кривая замкнутая, поскольку время от времени система возвращается в своё первоначальное состояние. Для системы с тремя переменными её фазовая траектория это уже кривая в трехмерном пространстве (нужно заметить, что именно начиная с размерности три динамические системы, представляемые с помощью систем ОДУ, демонстрируют различные интересные типы поведения, в частности, хаотическое). Для изображения кривой в трехмерном пространстве естественно использовать проволочную модель.

Много ли проволоки расходуется на создание проволочной модели?


Проволочная (или каркасная) модель это просто изображение трехмерного объекта, состоящее только из рёбер, то есть объектов одномерных. На экране компьютера проволочная модель состоит из отрезков прямых и кривых, формирующих как бы объемное изображение. Поскольку экран плоский и на нём мы видим лишь проекцию изображения на плоскость, объемность проволочной модели не всегда очевидна, поэтому необходимо применять различные способы передачи глубины изображения. Например, можно использовать перспективную проекцию (при которой более далекие от наблюдателя рёбра имеют относительно меньший размер, чем более близкие), или отобразить дальние рёбра при помощи специальных оттенков или цветов (скажем, более тусклых). Самый же простой способ придать проволочной модели объемность это подвергнуть её интерактивному вращению, то есть дать пользователю возможность рассматривать модель как бы с разных сторон. Для просмотра трехмерных фазовых траекторий в приложении, предназначенном для исследования динамических систем, мне понадобилось написать просмотрщик (viewer вьюер) проволочных моделей.

Проволочный куб


Идею такого вьюера я позаимствовал из одной очень древней программы 90-ых годов, она называлась 3DViewer, её автор Oscar Garcia (garciao@mof.govt.nz, 1 Clyde St, Rotorua, New Zealand). Эта программа позволяла просматривать проволочные модели, заданные в виде текстовых файлов очень простой структуры: в начале файла в отдельных строках указываются точки всех вершин, формирующих рёбра (в виде трех вещественных координат), а затем задаются собственно рёбра (с помощью номеров вершин и кодов цветов, которыми рисуется соответствующее ребро). Мой вьюер работает значительно медленнее, чем оригинальный 3DViewer, тем не менее, он позволяет вращать модель, а также приближать и отдалять её. Для просмотра фазовой траектории нужно просто решить соответствующую систему ОДУ и сгенерировать текстовый файл для вьюера (кривая аппроксимируется с помощью множества отрезков прямых, они и являются рёбрами модели).

Для систем более чем третьего порядка фазовая траектория это уже кривая в пространстве размерности больше, чем три, но её проекцию в трехмерное пространство все равно удобно рассматривать с помощью вьюера. Вот пример изображения фазовой траектории для системы Дадрас-Момени в виде её проекций на три координатных плоскости, а также вращаемой проволочной модели

$\begin{cases} \dot y_1=c_1y_1-y_2y_3-y_4 \\ \dot y_2=y_1y_3-c_2y_2+y_3\\ \dot y_3=y_1y_2-c_3y_3+y_1\\ \dot y_4=-y_4-c_4y_1 \end{cases}, \ \ c_1=7, c_2=25, c_3=4.3, c_4=0.5 $


Аттрактор Дадрас-Момени


Ещё один пример проволочной модели для динамической системы
Другой пример проволочной модели для динамической системы, описывающей генератор Анищенко-Астахова

Генератор Анищенко-Астахова



Проволочные модели для представления параметрических пространственных кривых


Помимо фазовых траекторий, с помощью вьюера проволочных моделей можно просматривать и любые трехмерные кривые, заданные в параметрическом виде

$\begin{cases} x=x(t)\\y=y(t), \ \ t \in [t_0,t_1] \\z=z(t)\end{cases}$


Заданная параметрическая кривая может быть фазовой траекторией какой-то динамической системы, но может ею и не быть (очевидно, что, чтобы представлять собой фазовую траекторию динамической системы, описываемой системой ОДУ, параметрическая кривая должна быть достаточно гладкой, а также не иметь самопересечений, иначе эволюция системы не определялась бы однозначно её начальным положением). Вот пример трехмерной параметрической кривой, просматриваемой с помощью упомянутого вьюера (это коническая спираль)

$\begin{cases} x=tsin(t) \\ y=tcos(t) \\ z=t \end{cases}$


Коническая спираль


Проволочные модели для представления поверхностей


Читая на Хабре статью Двумерные тестовые функции для оптимизации, я обнаружил в ней ссылку на статью в Википедии о тестовых функциях для оптимизации. Рассматривая красивые изображения поверхностей, приведенные в ней, я подумал, что мог бы, в качестве побочной возможности, включить в свое приложение для исследования динамических систем возможность построения и просмотра проволочных моделей для параметрических поверхностей, представленных в виде

$\begin{cases} x=x(u,v) \\y=y(u,v), \ \ \ \ u \in[u_0,u_1], \ \ v \in [v_0,v_1] \\z=z(u,v)\end{cases}$


Параметрические поверхности тоже связаны с динамическими системами если исследовать с систему, зависящую от какого-то параметра, фазовые траектории для разных значений параметра образуют некую поверхность. Проволочная модель для параметрической поверхности может быть изображена как совокупность пространственных кривых, которые строятся в виде сетки: сначала фиксируется $u$ и строится кривая с помощью изменения $v$, так нужно поступить для всех $u$, изменяя их с определенным шагом. Затем, наоборот, для каждого фиксированного $v$ строится кривая при помощи изменения $u$, и опять это делается для каждого $v$, изменяющегося с определённым шагом. Такая поверхность имеет вид популярной в советские времена авоськи, натянутой на прозрачную оболочку. Конечно, у такого способа представления есть определенные недостатки. Прежде всего, он не предусматривает удаления невидимых линий, которое делает поверхность по настоящему реалистичной. Нельзя также раскрасить поверхность в различные цвета или нанести на неё определенную текстуру. Тем не менее, с помощью вращения проволочной модели поверхности на экране можно представить себе, как она выглядит.

Сказано сделано, и я быстро набросал в своей системе опцию построения проволочной модели для заданной поверхности. Для построения нужно заполнить такую форму



В форме следует указать диапазон изменения для $u$ и $v$, количество шагов сетки для каждого из параметров $u$ и $v$, формулы для координат точек поверхности $x$, $y$, $z$ и еще несколько параметров. Заданные в форме описания поверхностей можно сохранить в текстовом файле и считывать их оттуда по мере надобности. Так выглядит проволочная модель поверхности Маккормика

$\begin{cases} x=u, \ \ u \in [-1.5,4] \\y=v, \ \ \ v \in [-3,4] \\z=sin(u+v)+(u-v)^2-1.5u+2.5v+1 \end{cases}$




Еще один пример - функция Голдстайна-Прайса
Функция Голдстайна-Прайса с несколькими локальными минимумами.

Функция Голдстайна-Прайса



Выше приведены примеры поверхностей, которые являются достаточно гладкими, не содержащими крутых пиков и глубоких впадин. Вот пример менее гладкой поверхности, задаваемой функцией Исома

$\begin{cases} x=u, \ \ u,v \in [-10,10] \\y=v, \\z=-cos(x)cos(y)exp(-((x-\pi)^2+(y-\pi)^2)) \end{cases}$


Функция Исома


Другие примеры проволочных моделей для не слишком гладких поверхностей
Табличная функция Холдера с множеством локальных минимумов и четырьмя глобальными минимумами

Табличная функция Холдера


Функция Букина N 6 с множеством локальных минимумов, лежащих на гребне

Функция Букина N 6


Функция Розенброка, ограниченная диском. Особенность этой функции в том, что её область определения это не прямоугольник, а круг.

Функция Розенброка, ограниченная диском



Рассмотренные примеры позволяют сделать вывод, что для анализа поверхностей проволочные модели применимы лишь ограничено, поскольку для не слишком гладких поверхностей их изображение является не очень легким для восприятия. Для приложения, с помощью которого созданы примеры это, возможно, является следствием упрощенного подхода к формированию изображения (область определения покрывается сеткой с постоянным шагом). Можно было бы применять уменьшенный шаг для областей с резкими перепадами рельефа, можно было бы также использовать сглаживание кривых, формирующих поверхность.

Тем не менее, проволочные модели трехмерных объектов (кривых и поверхностей) являются очень простыми для формирования, не требуют больших вычислительных ресурсов для своего отображения и в сочетании с возможностью быстрого просмотра с разных точек зрения могут дать достаточное представление об объектах моделирования.

Для чего предназначена проволочная конструкция, изображенная на фото в начале статьи?
Это кротоловка. Мне показалось, что она выглядит замысловатее, чем некоторые не очень простые фазовые траектории, например, для модели Гаврилова-Шильникова (катастрофа голубого неба).

Модель Гаврилова-Шильникова




Ссылки


Подробнее..

Категории

Последние комментарии

  • Имя: Макс
    24.08.2022 | 11:28
    Я разраб в IT компании, работаю на арбитражную команду. Мы работаем с приламы и сайтами, при работе замечаются постоянные баны и лаги. Пацаны посоветовали сервис по анализу исходного кода,https://app Подробнее..
  • Имя: 9055410337
    20.08.2022 | 17:41
    поможем пишите в телеграм Подробнее..
  • Имя: sabbat
    17.08.2022 | 20:42
    Охренеть.. это просто шикарная статья, феноменально круто. Большое спасибо за разбор! Надеюсь как-нибудь с тобой связаться для обсуждений чего-либо) Подробнее..
  • Имя: Мария
    09.08.2022 | 14:44
    Добрый день. Если обладаете такой информацией, то подскажите, пожалуйста, где можно найти много-много материала по Yggdrasil и его уязвимостях для написания диплома? Благодарю. Подробнее..
© 2006-2024, personeltest.ru