Комплексные числа

Перевод Мнимые числа для описания реальности

23.03.2021 16:07:11 |

Автор: admin

Новый мысленный эксперимент показывает, что квантовая механика не работает без странных чисел, которые становятся отрицательными при возведении в квадрат.

Много веков назад математики были обеспокоены, когда обнаружили, что вычисление свойств определенных кривых требует, казалось бы, невозможного: чисел, которые при умножении сами на себя становятся отрицательными.

Все числа на числовой прямой, возведенные в квадрат, дают положительное число; 2² = 4 и (-2)² = 4. Математики начали называть эти знакомые числа вещественными, а, казалось бы, невозможную разновидность чисел мнимыми.

Мнимые числа, помеченные единицами i (где, например, (2i)² = -4), постепенно стали неотъемлемой частью абстрактной области математики. Однако для физиков вещественные числа были достаточными для количественной оценки реальности. Иногда так называемые комплексные числа с вещественной и мнимой частями, такие как 2+3i, упрощают вычисления. При этом показания ни одного прибора никогда не содержат i (мнимую единицу).

Однако физики, возможно, только что впервые показали, что мнимые числа в определенном смысле вещественны.

Группа теоретиков в области квантовой физики разработала эксперимент, результат которого зависит от того, есть ли у природы мнимая сторона. При условии, что квантовая механика верна предположение, с которым мало кто поспорит, аргумент команды по существу гарантирует, что комплексные числа являются неизбежной частью описания материальной вселенной.

Эти комплексные числа обычно являются просто удобным инструментом, но здесь оказывается, что они действительно имеют какое-то материальное значение, сказал Тамаш Вертези, физик из Института ядерных исследований Венгерской академии наук, который много лет назад утверждал обратное. Мир таков, что ему действительно нужны эти комплексные числа, сказал он.

В квантовой механике поведение частицы или группы частиц выражается волнообразным объектом, известным как волновая функция или . Волновая функция прогнозирует вероятные результаты измерений, такие как вероятное положение или импульс электрона. Так называемое уравнение Шрёдингера описывает, как волновая функция изменяется во времени и это уравнение включает i.

Физики никогда не знали, что с этим делать. Когда Эрвин Шрёдингер вывел уравнение, которое теперь носит его имя, он надеялся избавиться от i. Что неприятно и против чего прямо следует возражать, так это против использования комплексных чисел, писал он Хендрику Лоренцу в 1926 году, , безусловно, является вещественной функцией.

Желание Шрёдингера, безусловно, было правдоподобным с математической точки зрения: любое свойство комплексных чисел может быть зафиксировано комбинациями вещественных чисел, а также новыми правилами, открывая математические возможности полностью вещественной версии квантовой механики.

Действительно, переход оказался достаточно простым, так что Шрёдингер почти сразу открыл то, что он считал истинным волновым уравнением, которое сторонилось i. Еще один камень с души упал, написал он Максу Планку менее чем через неделю после своего письма Лоренцу. Все вышло именно так, как хотелось.

Но использование вещественных чисел для моделирования сложной квантовой механики неудобное и абстрактное занятие, и Шрёдингер признал, что его полностью вещественное уравнение слишком громоздко для повседневного использования. В течение года он описывал волновые функции как комплексные, в том виде, в каком их представляют сегодня физики.

Любой, кто хочет выполнить работу, использует комплексное описание, сказал Мэтью МакКейг, учёный в области информатики из Технологического университета Квинсленда в Австралии.

Однако формулировка квантовой механики с помощью вещественных чисел сохранилась как свидетельство того, что комплексная версия просто необязательна. Например, команды, включая Вертези и МакКейга, показали в 2008 и 2009 годах, что и без i они могут идеально предсказать результат известного эксперимента в квантовой физике, известного как тест Белла.

Новое исследование, которое было опубликовано на сервере научных препринтов arxiv.org в январе, обнаружило, что ранние предложения по тестам Белла просто недостаточно продвинулись, чтобы опровергнуть версию квантовой физики с вещественными числами. Это исследование предлагает более сложный эксперимент Белла, который, похоже, требует комплексных чисел.

Ранние исследования привели людей к выводу, что в квантовой теории комплексные числа лишь удобны, но не необходимы, писали авторы, в число которых входят Марк-Оливье Рену из Института фотонных наук в Испании и Николя Жизен из Женевского университета. Мы доказываем ошибочность этого вывода.

Группа отказалась публично обсуждать свою работу, поскольку он все еще находится на экспертной оценке.

Тест Белла показывает, что пары удаленных друг от друга частиц могут обмениваться информацией в едином запутанном состоянии. Если бы монета 25 центов в штате Мэн могла запутаться, например, с такой же монетой в Орегоне, то повторяющиеся подбрасывания показали бы, что всякий раз, когда одна монета падает орлом, ее дальний партнер, как ни странно, выпадет решкой. Точно так же в стандартном эксперименте теста Белла запутанные частицы отправляются двум физикам с вымышленными именами Алиса и Боб. Они измеряют частицы и, сравнивая измерения, обнаруживают, что результаты коррелированы таким образом, что это не поддаётся объяснению, разве что частицы обмениваются информацией.

Модернизированный эксперимент добавляет второй источник пар частиц. Одна пара достается Алисе и Бобу. Вторая пара, родом из другого места, отправляется Бобу и третьему лицу, Чарли. В квантовой механике с комплексными числами частицы, которые получают Алиса и Чарли, не обязательно должны быть запутаны друг с другом.

Однако никакое описание в виде вещественных чисел не может воспроизвести модель корреляций, которую будут измерять три физика. В новой статье показано, что рассмотрение системы как вещественной требует введения дополнительной информации, которая обычно находится в мнимой части волновой функции. Частицы Алисы, Боба и Чарли должны разделять эту информацию, чтобы воспроизводить те же корреляции, что и в стандартной квантовой механике. И единственный путь приспособиться к этому разделению это перепутать все их частицы друг с другом.

В предыдущих воплощениях теста Белла электроны Алисы и Боба поступали из одного источника, поэтому дополнительная информация, которую они должны были нести в описании вещественных чисел, не представляла проблемы. Но в тесте Белла с двумя источниками, где частицы Алисы и Чарли происходят из независимых источников, фиктивная трехсторонняя запутанность не имеет физического смысла.

Даже без привлечения Алисы, Боба и Чарли для фактического проведения эксперимента, который представляет новая статья, большинство исследователей крайне уверены, что стандартная квантовая механика верна и, следовательно, эксперимент найдет ожидаемые корреляции. Если это так, то одни только вещественные числа не могут полностью описать природу.

В статье устанавливается, что существуют истинные комплексные квантовые системы, сказал Вальтер Моретти, физик-математик из Университета Тренто в Италии. Этот результат стал для него совершенно неожиданным.

Тем не менее велика вероятность того, что когда-нибудь эксперимент состоится. Это будет непросто, но технических препятствий нет. И глубокое понимание поведения усложняющихся квантовых сетей будет становиться все более актуальным, поскольку исследователи продолжают связывать многочисленные Алисы, Бобы и Чарли через возникающие квантовые сети.

Поэтому мы верим, что опровержение вещественной квантовой физики произойдет в ближайшем будущем, пишут авторы.

Подробнее..

Категории: Научно-популярное , Физика , Математика , Блог компании timeweb , Квантовая физика , Комплексные числа , Мнимые числа

Перевод Возможно, без использования комплексных чисел нельзя описать реальность

24.03.2021 12:04:07 |

Автор: admin

Из нового мысленного эксперимента следует, что квантовая механика не работает без использования этих странных чисел, становящихся отрицательными при возведении в квадрат

Несколько десятилетий назад математиков неприятно поразило одно откровение: для вычисления свойств определённых кривых требовалось, казалось, невозможное ввести числа, квадрат которых будет отрицательным.

Любое число с числовой прямой в квадрате будет положительным: 2² = 4, и (-2)² = 4. Математики начали называть эти привычные числа действительными [по-английски их называют real, т.е. реальными / прим. пер.], а вроде бы невозможную породу чисел мнимой.

Мнимые числа, которые записывали при помощи i (где, к примеру, (2i)² = -4), постепенно стали неотъемлемой частью абстрактного математического мира. Физикам же хватало и действительных чисел для описания реальности. Иногда т.н. комплексные числа, содержащие действительную и мнимую часть, типа 2 + 3i, ускоряли вычисления, но были, в общем-то, необязательными. Ещё ни один прибор не возвращал показаний, в которых содержалась бы мнимая единица.

И всё же физики, возможно, впервые продемонстрировали реальность мнимых чисел в определённом смысле.

Группа специалистов по квантовой теории разработала эксперимент, результат которого зависит от того, есть ли у природы мнимые свойства. И если квантовая механика верна а в этом мало кто сомневается аргументация команды гарантирует, что комплексные числа являются неизбежной частью нашего описания физической Вселенной.

Обычно эти комплексные числа являются лишь удобным инструментом, но оказалось, что у них есть некий реальный физический смысл, сказал Тамаш Вертеши, физик из Института ядерных исследований при Венгерской академии наук, который много лет назад утверждал обратное. Устройство мира требует комплексных чисел.

В квантовой механике поведение частицы или группы частиц заключается в волновую форму, известную, как волновая функция, или . Волновая функция предсказывает возможные результаты измерений к примеру, возможное местоположение или импульс электрона. Т.н. уравнение Шрёдингера описывает, как меняется волновая функция во времени. И в этом уравнении присутствует i.

Физики никогда полностью не понимали, что из этого следует. Когда Эрвин Шрёдингер вывел уравнение, носящее теперь его имя, он надеялся избавиться от i. Что в этом неприятного, и чему стоит возражать так это использованию комплексных чисел, писал он Хендрику Лоренцу в 1926. наверняка фундаментально действительная функция.

С математической точки зрения желание Шрёдингера было выполнимым. Любое свойство комплексных чисел можно описать при помощи комбинации из действительных чисел и новых правил, каким-то образом ограничивающих их. Так возникла математическая возможность полностью действительного варианта квантовой механики.

И это преобразование на самом деле оказалось настолько простым, что Шрёдингер почти сразу открыл, как он считал, истинное волновое уравнение, избегавшее использования i. С моей души свалился ещё один камень, писал он Максу Планку менее чем через неделю после своего письма Лоренцу. Всё вышло ровно так, как хотелось.

Однако использование действительных чисел для симуляции комплексной квантовой механики неуклюжее и абстрактное упражнение. Шрёдингер понял, что его полностью действительное уравнение было слишком неудобным для повседневного применения. Не прошло и года, как он описывал волновую функцию в комплексных терминах так, как физики работают с ней и сегодня.

Все, кому надо достичь результата, используют комплексное описание, сказал Мэтью Маккейг, специалист по квантовым компьютерам из Квинслендского технологического университета в Австралии.

Однако описание квантовой механики в действительных членах существовало как свидетельство того, что комплексная его версия всего лишь один из вариантов. К примеру, в 2008 и 2009 годах команды, в число которых входили Вертеши и Маккейг, показали, что могут идеально предсказать результат знаменитого физического эксперимента Белла причём без всяких там i.

В новом исследовании, выложенном на препринт-сайт arxiv.org в январе, утверждается, что упомянутые предложения, касающиеся эксперимента Белла, просто не зашли достаточно далеко для того, чтобы сломать действительный вариант квантовой физики. В исследовании предлагается более хитрый вариант этого эксперимента, который, судя по всему, требует наличия комплексных чисел.

Ранние работы позволили людям сделать вывод, что в квантовой теории комплексные числа вещь удобная, но не обязательная, писали авторы работы, а именно: Марк-Оливье Рену из Института фотонных наук в Испании, и Николас Гизин из Женевского университета. Здесь мы доказываем ложность таких выводов.

Пока группа учёных не готова к открытому обсуждению своей работы, поскольку та находится на рассмотрении у рецензентов.

В эксперименте Белла демонстрируется, как пары разделённых расстоянием частиц могут обмениваться информацией, находясь в едином, "запутанном" состоянии. Это похоже на то, как если бы монетка из Москвы запуталась бы с монеткой из Владивостока, после чего во время их подбрасываний каждый раз, когда одна приземлялась орлом, другая приземлялась бы решкой. В стандартном эксперименте Белла запутанные частицы отправляются двум физикам, Алисе и Бобу. Они измеряют частицы, а потом, сравнивая измерения, обнаруживают, что их результаты коррелируют и это нельзя объяснить ничем иным, кроме обмена информацией между частицами.

В обновлённом эксперименте добавляется ещё один источник пар частиц. Одна пара частиц отправляется Алисе и Бобу. Вторая, из другого источника, отправляется к Бобу и Чарли. В квантовой механике с использованием комплексных чисел частицам, которые получают Алиса и Чарли, не обязательно быть спутанными.

При этом закономерность корреляций, которые измерят три воображаемых физика, не получается описать при помощи только действительных чисел. В работе показано, что если считать систему действительной, приходится добавлять дополнительную информацию, которая обычно содержится в мнимой части волновой функции. Все частицы, которые получают Алиса, Боб и Чарли, должны иметь доступ к этой информации, чтобы воссоздать все корреляции, присущие квантовой механике. И единственный способ сделать это обеспечить запутанность всех частиц друг с другом.

В предыдущей версии эксперимента Белла электроны Алисы и Боба происходили из одного источника, поэтому дополнительная информация, которую они несли в действительном варианте описания происходящего, не составляла проблемы. Но когда частицы Алисы и Чарли происходят из независимых источников, эта трёхсторонняя взаимная запутанность не имеет физического смысла.

Судя по всему, нанимать Алису, Боба и Чарли для проведения настоящего эксперимента по мотивам мысленного, описанного в работе, смысла нет. Большинство исследователей уверены в правильности стандартной квантовой механики, и, следовательно, в том, что эксперимент обнаружит ожидаемые корреляции. Но тогда получается, что действительные числа сами по себе не способны полностью описать реальность.

Работа устанавливает факт того, что квантовые системы на самом деле комплексные, сказал Вальтер Моретти, математический физик из Университета Тренто в Италии. Мне такой результат кажется неожиданным.

Тем не менее, есть шансы, что такой эксперимент когда-нибудь состоится. Провести его будет непросто, но принципиальных технических препятствий к нему нет. А глубокое понимание поведения сложных квантовых сетей становится всё более важной задачей по мере того, как исследователи продолжают связывать между собой многочисленных алис, бобов и чарли в новых квантовых сетях.

Поэтому стоит ожидать, что опровержение действительности квантовой физики появится в ближайшем будущем, пишут авторы.

Подробнее..

Категории: Научно-популярное , Физика , Квантовая механика , Комплексные числа , Мнимая единица , Уравнение шрёдингера

Циркулярные кривые 2-го порядка

01.09.2020 20:19:15 |

Автор: admin

Как известно, кривыми Безье нельзя построить дугу окружности или эллипса. В этой статье рассматриваются кривые, лишённые такого недостатка.

Кривые Безье

Логика построения кривых Безье хорошо понятна из следующей анимации:

Чтобы получить формулу непосредственно из графического представления, достаточно определить вспомогательную функцию для линейной интерполяции между двумя точками, в которая при изменении параметра t от 0 до 1 возвращает промежуточные значения от a до b:

$display$

Примечание

В математике как-то не сложилось устойчивого названия для функции линейной интерполяции и в зависимости от сферы применения она может называться lerp, blend, mix и как-то ещё. К ней также относится и кривая Безье первого порядка.

С её помощью можно последовательно найти необходимые точки сначала найти

$display$

а затем уже через них найти

$display$

При желании, можно подставить функции друг в друга и сократить хотя это особо и не упростит вычисления, зато позволит обобщить кривые на произвольное количество опорных точек (через полиномы Бернштейна). В нашем случае получим

$display$

Увеличение порядка кривых достигается тривиально исходные точки задаются не константно, а как результат интерполяции между n+1 других контрольных точек:

Примечание

В этих формулах в качестве точек могут выступать как комплексные числа, так и векторы произвольной размерности. Дальнейшие формулы будут корректными только для комплексных чисел.

Циркулярные кривые

Дуга окружности

Чтобы похожим образом построить дугу окружности, необходимо определить соответствующую логику построения по аналогии с черчением окружности циркулем.

Изначально нам неизвестен центр окружности d он находится через пересечение перпендикуляров к касательным в точках a и b (далее узловых); сами же касательные задаются с помощью точки c (далее направляющей). Для построения произвольной дуги окружности (меньшей 180) достаточно, чтобы расстояния от направляющей точки до узловых были одинаковыми.

Дуга эллипса

Построить дугу эллипса уже посложнее потребуется два вектора, вращающихся в разные стороны (подробнее здесь)

Используя озвученный выше способ нахождения точки d, мы уже не можем построить произвольную дугу эллипса только лишь от 0 до 90 (в том числе и повёрнутую на некоторый угол).

Дуга гипотрохоиды

Задав условие, что в начале и конце черчения векторы должны лежать на одной прямой, мы получим дугу гипотрохоиды во всех остальных случаях. Это условие не случайно и (помимо однозначного определения кривой) гарантирует совпадение касательных в узловых точках. Как следствие, угловые пути, которые проходят оба вектора, станут разными, но в сумме по-прежнему будут давать 180.

Как изменяется форма кривой в зависимости от положения направляющей точки, можно посмотреть на следующей анимации:

Алгоритм

Поскольку здесь мы имеем вращения на двумерной плоскости, математику построения этих кривых удобно описывать через комплексные числа.

1) находим точку пересечения нормалей касательных, проведённых от направляющей точки к узловым:

$d=\frac{(2 a-c) (c-b) a^*+ (2 b-c) (a-c) b^*-c (a-b) c^*}{(c-b)a^*+(a-c) b^*-(a-b) c^*}$

(здесь звёздочка означает комплексное сопряжение).

2) зная d, находим длины нормалей

$r_{\text{ad}}=\left| a-d\right|$

$r_{\text{bd}}=\left| b-d\right|$

и их сумму и разность

$r_m=\frac{1}{2} \left(r_{\text{ad}}+r_{\text{bd}}\right)$

$r_s=\frac{1}{2} \left(r_{\text{ad}}-r_{\text{bd}}\right)$

3) находим единичный вектор, от которого начинается построение

$v=\frac{a-d}{\left| a-d\right| }$

Примечание

в некоторых библиотеках для работы с комплексными числами и системах компьютерной алгебры для этого есть отдельная функция sign(x).

4) находим угловые пути, которые должны пройти каждый из векторов

$\phi _m=\arg \left(\frac{a-d}{b-d}\right)$

$\phi _s=\arg \left(-\frac{a-d}{b-d}\right)$

Примечание

При умножении векторов их длины умножаются, а углы складываются. Здесь деление используется для противоположной задачи найти разницу углов, т. е. угол между векторами.

Поскольку для функции аргумента длина вектора не играет роли, тот же результат можно получить и заменив деление умножением на комплексно сопряжённый вектор такой вариант даже предпочтительнее, поскольку будет более численно устойчив на очень малых значениях из-за отсутствия деления; здесь же выбор в пользу деления сделан исключительно ради наглядности.

Здесь имеется ещё один крайне важный момент. Если бы мы сначала нашли углы для каждого вектора по отдельности, а потом бы считали разницу как

$\arg (a-d)-\arg (b-d)$

результат не всегда был бы корректным из-за многозначности функции аргумента.

5) последовательно изменяя t от 0 до 1 с некоторым шагом, находим принадлежащую кривой точку по формуле

$d+v \left(r_m e^{-i t \phi _m}+r_s e^{-i t \phi _s}\right)$

Циркулярные сплайны

Так же, как и кривые Безье, эти кривые можно совмещать для кусочно-непрерывного построения сплайнов. Для обеспечения гладкости в узловых точках (стыковки) необходимо, чтобы узловая точка находилась на одной линии с двумя соседними направляющими точками. Для этого можно задавать узловые точки не явным образом, а через интерполяцию направляющих точек. Их также можно не задавать вообще, вычисляя полностью автоматически например, как среднее между направляющих точек:

Справа для сравнения использован тот же подход с кривыми Безье 2-го порядка.

Замечания и нюансы

В отличие от кривых Безье, здесь кривая не всегда лежит внутри фигуры из линий, соединяющих контрольные точки, например

Кроме того, существует вырожденный случай, который необходимо обрабатывать отдельно когда направляющая точка лежит на одной прямой с узловыми точками. При этом кривая вырождается в прямую, а при попытке вычислить точку d возникает деление на ноль.

У этих кривых также имеется ограничения на кривизну линии, поскольку в соответствии с алгоритмом выбирается наименьший путь следования и кривая не может обогнуть больше, чем 180. Это приводит к тому, что при кусочно-непрерывной интерполяции могут возникать острые углы при определённом положении направляющих точек (справа те же точки для Безье):

Заключение

Дальнейшим развитием рассмотренного метода построения кривых является увеличение количества векторов, участвующих в построении кривой и, соответственно, увеличение количества направляющих точек. Однако, в отличие от кривых Безье, повышение порядка здесь не является очевидным и требует отдельного вдумчивого размышления. Также возможны различные методы комбинации их с кривыми Безье в частности, интерполяции центра окружности рисующих векторов.

Рассмотренный метод построения кривых также не является единственным, частным случаем которого являются дуги окружности и эллипса как минимум, эллипс можно построить через пересечение прямых в параллелограмме (правда, в этом варианте автор потерпел неудачу). Возможно, что существуют и другие решения, в том числе и варианты описанного в статье пишите в комментариях, если вам что-то известно на эту тему.

Исходный код статьи можно скачать на GitHub.

Подробнее..

Категории: Алгоритмы , Математика , Кривые , Интерполяция , Безье , Сплайны , Комплексные числа , Wolfram mathematica

Как нарисовать звезду (и не только) в полярных координатах

22.09.2020 08:08:59 |

Автор: admin

Вопрос о формуле для многоугольника в полярных координатах регулярно возникает на тематических ресурсах и так же регулярно остаётся без внятного ответа. В лучшем случае попадается решение через функцию остатка от деления что не является чистым с математической точки зрения, поскольку не позволяет производить над функцией аналитические преобразования. Видимо, настоящие математики слишком заняты решением проблем тысячелетия и поисками простого доказательства теоремы Ферма, чтобы обращать внимание на подобные банальные задачи. К счастью, в этом вопросе воображение важнее знания, и для решения этой задачи не нужно быть профессором топологических наук достаточно знания школьного уровня.

Формула для равностороннего многоугольника в полярных координатах выглядит очень просто

$\rho = \frac{\cos \left(\frac{2 \sin ^{-1}(k)+\pi m}{2 n}\right)}{\cos \left(\frac{2 \sin ^{-1}(k \cos (n \phi ))+\pi m}{2 n}\right)}$

и имеет следующие параметры:

$\phi$ угол;
$inline$ количество выпуклых вершин;
$inline$ определяет, через какое количество вершин стороны будут лежать на одной прямой. Для него допустимы и отрицательные значения от знака будет зависеть, в какую сторону будет выгибаться звезда;
$inline$ жёсткость при $inline$ мы получим окружность вне зависимости от прочих параметров, при $inline$ многоугольник с прямыми линиями, при промежуточных значениях от $inline$ до $inline$ промежуточные фигуры между окружностью и многоугольником.

С этой формулой можно нарисовать звезду двумя путями:

1) $inline$

2) $inline$ . В этом случае требуется сделать два оборота вместо одного:

Параметр $inline$ влияет на многоугольник следующим образом (здесь он изменяется от -1 до 5):

Параметр $inline$ в анимации:

Комплексная форма и модификации

Можно переписать исходную формулу в комплексном виде, и, несмотря на наличие в ней мнимых единиц, значение радиуса по-прежнему будет оставаться действительным:

$\rho = \frac{4^{1/n} \left(\sqrt{1-k^2}+i k\right)^{-1/n} \left(1+\left(\sqrt{1-k^2}+i k\right)^{2/n} e^{\frac{i \pi m}{n}}\right) \left(\sqrt{1-k^2 \cos ^2(n \phi )}+i k \cos (n \phi )\right)^{1/n}}{4^{1/n}+e^{\frac{i \pi m}{n}} \left(2 \sqrt{1-k^2 \cos ^2(n \phi )}+2 i k \cos (n \phi )\right)^{2/n}}$

На первый взгляд это может показаться бессмысленным, поскольку формула стала чуть более громоздкой но не стоит спешить с выводами. Во-первых, в ней отсутствует арксинус, что полностью меняет математический смысл формулы и позволяет по-другому посмотреть на построение звёздчатого многоугольника. Во-вторых, из неё также можно получить компактные формулы для частных случаев, например $\frac{i^t \left(i^{n t}\right)^{1/n}}{1+\left(i^{n t}\right)^{2/n}}$ . В-третьих (и самое интересное), её можно творчески модифицировать и получать другие, неожиданные формы. Для того, чтобы появление возможной мнимой компоненты в радиусе не вызывало неоднозначности при вычислении, можно её сразу привести к декартовым координатам умножением на $e^{i \phi }$ . Вот примеры некоторых модификаций:

$\frac{(-1)^{2/3} e^{i \phi } \sqrt[3]{\sqrt{\sin ^2(3 \phi )}+i \cos (3 \phi )}}{(-1)^{2/3}+2^{2/3} \left(\sqrt{\sin ^2(3 \phi )}+i \cos (3 \phi )\right)^{2/3}}$

$\frac{e^{i \phi } \sqrt{\sqrt{\sin ^2(2 \phi )}+i \cos (2 \phi )}}{\sqrt{2} \left(\sqrt{\sin ^2(2 \phi )}+i \cos (2 \phi )\right)^{3/2}+e^{i/2}}$

$\frac{e^{\frac{1}{4} i (4 \phi +\pi )}}{2 \sqrt{\sqrt{\sin ^2(2 \phi )}+\sqrt[4]{-1} \cos (2 \phi )}+(-1-i)}$

Как вы наверняка заметили, вращение вектора перестало быть равномерным и именно из-за появления мнимой составляющей в радиусе.

Квадрокруги и прочее

У нашей формулы есть замечательный частный случай квадрат, формулу для которого можно выписать как

$\rho = \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+2 \cos (4 \phi )}}}$

или

$\rho = \sqrt{\frac{2}{1+\sqrt{1-\sin ^2(2 \phi )}}}$

(выбирайте, какая больше нравится).

В чуть более развёрнутом случае можно определить промежуточные фигуры между кругом и квадратом через точку $inline$ на плоскости

$\rho = \sqrt{\frac{2}{1+\sqrt{1-\frac{\left(2 k^2-1\right) \sin ^2(2 \phi )}{k^4}}}}$

Можно также добавить вариативности этим фигурам с сохранением условия прохождения их через точку $inline$ модулируя непосредственно сам параметр $inline$ в зависимости от угла таким образом, чтобы при прохождении через диагонали его множитель был равен единице. Например, подставив вместо $inline$ функцию $\frac{k}{1-z \cos ^2(2 \phi )}$ , мы получим дополнительный параметр $inline$ , которым можно регулировать дополнительные изгибы. В частности, для $inline$ получится следующее:

В ещё более развёрнутом случае можно определить не просто квадрат а прямоугольник, и по прежнему в полярных координатах:

$\rho = \sqrt{\frac{4 a^2 b^2}{\left(\left(b^2-a^2\right) \cos (2 \phi )+a^2+b^2\right) \left(\sqrt{1-\frac{4 a^2 b^2 k \sin ^2(2 \phi )}{\left(\left(b^2-a^2\right) \cos (2 \phi )+a^2+b^2\right)^2}}+1\right)}}$

И даже посчитать его площадь (через эллиптические интегралы):

$S=4 a b\frac{((k-1) K(k)+E(k))}{k}$

Примечание

Для крайних значений $inline$ ( $inline$ и $inline$ ) эта функция имеет особые точки, которые можно посчитать через предел и они ожидаемо будут равны $\pi a b$ и $inline$ .

Это позволит делать профили с переходом из окружности в прямоугольник с контролируемой площадью сечения. Здесь площадь константна:

А здесь площадь расширяется по экспоненциальному закону:

Переход к декартовым координатам

Любую формулу в полярных координатах можно выразить через уравнение в декартовых координатах, причём как минимум двумя способами в зависимости от чего будет изменяться вид градиента на границе фигуры. Для этого достаточно посчитать угол через арктангенс от координат и привести формулу к константе через радиус-вектор вычитанием

$0=\sqrt{x^2+y^2}-\frac{\cos \left(\frac{2 \sin ^{-1}(k)+\pi m}{2 n}\right)}{\cos \left(\frac{2 \sin ^{-1}\left(k \cos \left(n \tan ^{-1}(x,y)\right)\right)+\pi m}{2 n}\right)}$

или делением

$1=\frac{\sqrt{x^2+y^2} \cos \left(\frac{2 \sin ^{-1}\left(k \cos \left(n \tan ^{-1}(x,y)\right)\right)+\pi m}{2 n}\right)}{\cos \left(\frac{2 \sin ^{-1}(k)+\pi m}{2 n}\right)}$

Второй вариант предпочтительнее, поскольку даёт прямые градиенты вдоль сторон многоугольника.

Примечание

Здесь также нужно помнить, что в точке (0,0) возникает неопределенность из-за деления на ноль которая, впрочем, легко разрешается через предел (который будет равным $-\cos \left(\frac{2 \sin ^{-1}(k)+\pi m}{2 n}\right) \sec \left(\frac{2 \sin ^{-1}\left(k \cos \left(\frac{\pi n}{2}\right)\right)+\pi m}{2 n}\right)$ в первом случае и нулю во втором).

Выражение $\cos \left(n \tan ^{-1}(x,y)\right)$ также можно упростить до $\frac{(x+i y)^n+(x-i y)^n}{2 \left(x^2+y^2\right)^{n/2}}$ , коэффициенты числителя которого при разложении образуют знакочередующий вариант последовательности A034839.

Значение формулы из правой части уравнения (во 2-м случае) будет меняться от $inline$ до $inline$ если точка $inline$ попадает внутрь фигуры, и от $inline$ до бесконечности если нет. Выбирая различные функции для преобразования её в яркость, можно получать различные варианты растеризации. Для экспоненты ( $e^{-x-1}$ для первого и $e^{-x}$ для второго варианта) получим

или, если с насыщением

Можно использовать классический фильтр нижних частот $\frac{1}{x^p+1}$ , в котором $inline$ порядок фильтра, определяющий степень затухания.

Для первого варианта:

И для второго:

Можно использовать и кусочно-непрерывную функцию, явно задавая границы интерполяции.

Помимо растеризации как таковой, можно задавать и деформации например, сжать шахматную доску в круг:

Или даже натянуть её на сферу:

формула

$x=\frac{u}{\sqrt{\frac{2}{1+ \left| \frac{u^2-v^2}{u^2+v^2} \right|}}}$

$y=\frac{v}{\sqrt{1+\frac{2}{\left| \frac{u^2-v^2}{u^2+v^2}\right| }}}$

$z=\sqrt{1-\frac{1}{2} u^2 \left(1+\left| \frac{u^2-v^2}{u^2+v^2}\right|\right)-\frac{1}{2} v^2 \left(1+\left| \frac{u^2-v^2}{u^2+v^2}\right|\right)}$

Appendix: как была получена формула

Классический стиль повествования в математических текстах состоит из чередования лемм/теорем и их доказательств как если бы доказуемые утверждения появлялись у авторов в голове откровением свыше. И хотя в этом и бывает доля истины, чаще появлению формул предшествует некоторая исследовательская работа, описание которой может дать большее понимание их смысла, чем формальное доказательство; а верность утверждений, в свою очередь, можно проследить через верность шагов, к ним приведших.

Так и здесь если бы статья началась с формулы в комплексной форме, то её появление было бы неочевидным и контр-интуитивным, а заявленные свойства требовали бы дополнительных доказательств. Но в тригонометрической форме записи историю её появления вполне возможно проследить.

1) начинаем с самого простого случая задаче начертить прямую в полярных координатах. Для этого нужно решить уравнение $r \cos (\phi )=1$ , решение которого очевидно $r\to \sec (\phi )$ .

2) далее аргумент секанса нужно зациклить, чтобы обеспечить изломы в прямой. Именно на этом этапе другие решения используют грязный хак в виде остатка от деления. Здесь же используется последовательное взятие прямой и обратной функции синуса $\sin ^{-1}(\sin (\phi ))$

Такой подход позволяет производить стандартные математические операции над получившейся формулой,

например

можно её продифференцировать и получить функцию для прямоугольной волны:

$\frac{\partial \sin ^{-1}(\sin (\phi ))}{\partial \phi }=\frac{\cos (\phi )}{\sqrt{1-\sin ^2(\phi )}}$

Благодаря этой же записи можно упростить функцию квадрата в полярных координатах до более эстетического вида, используя представление тригонометрический функций в комплексном виде. В Wolfram Mathematica это можно сделать с помощью функций TrigToExp и ExpToTrig:

код

Sec[1/2 ArcSin[k Sin[2
\[Phi]]]]^2//TrigToExp//ExpToTrig//Sqrt[#]&//FullSimplify

$\frac{2}{\sqrt{2+2 \sqrt{1-k^2 \sin ^2(2 \phi )}}}$

Благодаря этой же записи можно получить гладкие промежуточные фигуры между кругом и квадратом с помощью дополнительного множителя $inline$ , благодаря которому аргумент арксинуса не дотягивает до единицы $\sin ^{-1}(k \sin (\phi ))$ :

А для того, чтобы функция пересекала заданную точку, нужно просто составить уравнение и пересчитать $inline$ :

$\sqrt{\frac{2}{1+\sqrt{1-k' \sin ^2( \frac{\pi}{2} )}}}=k$

код

Solve[(Sqrt[2/(1+Sqrt[1-k Sin[2
\[Phi]]^2])] /. \[Phi]->Pi/4)==x, k] /. x->k

$k'\to \frac{4 \left(k^2-1\right)}{k^4}$

3) параметры $inline$ и $inline$ были просто добавлены творческим способом и их влияние исследовалось экспериментально, по факту.

4) Прямоугольник легко получить перейдя к параметрическому виду и растягиванием осей

$x=a \cos (t) \sqrt{\frac{2}{1+\sqrt{1-\sin ^2(2 t)}}}$

$y=b \sin (t) \sqrt{\frac{2}{1+\sqrt{1-\sin ^2(2 t)}}}$

Но после этого $inline$ уже не будет значить угол, теперь $inline$ это просто параметр, который описывает вектор через его проекции на координатные оси. Чтобы перейти обратно к полярным координатам нужно найти длину вектора (через корень суммы квадратов), угол (через арктангенс отношения), выразить этот угол через $\phi$ и подставить получившееся выражение вместо $inline$ .

код

With[{r = Sqrt[2/(1 + Sqrt[

1 - Sin[2 t]^2])]}, {Sqrt[(a r Cos[t])^2 + (b r Sin[t])^2],

ArcTan[(b r Sin[t])/(a r Cos[t])]}] // Simplify

$\left\{\sqrt{2} \sqrt{\frac{a^2 \cos ^2(t)+b^2 \sin ^2(t)}{\sqrt{\cos ^2(2 t)}+1}},\tan ^{-1}\left(\frac{b \tan (t)}{a}\right)\right\}$

Solve[ArcTan[(b Tan[t])/a]==\[Phi], t]

$t\to \tan ^{-1}\left(\frac{a \tan (\phi )}{b}\right)$

Sqrt[2] Sqrt[(a^2 Cos[t]^2 + b^2 Sin[t]^2)/(1 + Sqrt[Cos[2
t]^2])]

/. t -> ArcTan[(a Tan[\[Phi]])/b] // Simplify

$\sqrt{2} \sqrt{\frac{a^2 b^2 \sec ^2(\phi )}{\left(a^2 \tan ^2(\phi )+b^2\right) \left(\sqrt{\cos ^2\left(2 \tan ^{-1}\left(\frac{a \tan (\phi )}{b}\right)\right)}+1\right)}}$

Упростить такую формулу уже посложнее, и для этого потребуется несколько этапов:

1) перейти к декартовым координатам заменой $\phi \to \tan ^{-1}(x,y)$ ;
2) перейти к экспоненциальному виду;
3) упростить;
4) сделать обратную замену $x\to \cos (\phi )$ и $y\to \sin (\phi )$ ;
5) опять перейти к экспоненциальному виду;
6) упростить.

В результате получим такую формулу:

код

Sqrt[2] Sqrt[(a^2 b^2
Sec[\[Phi]]^2) /

((1 + Sqrt[Cos[2 ArcTan[(a Tan[\[Phi]])/b]]^2])

(b^2 + a^2 Tan[\[Phi]]^2))] /. \[Phi] -> ArcTan[x, y]

// TrigToExp // Simplify

// # /. {x -> Cos[\[Phi]], y -> Sin[\[Phi]]} &

// TrigToExp // Simplify // FullSimplify

$2 \sqrt{\frac{a^2 b^2}{\left(\left(b^2-a^2\right) \cos (2 \phi )+a^2+b^2\right) \left(1+\sqrt{\frac{\left(\left(a^2+b^2\right) \cos (2 \phi )-a^2+b^2\right)^2}{\left(\left(b^2-a^2\right) \cos (2 \phi )+a^2+b^2\right)^2}}\right)}}$

Заключение

Как видите, даже в такой простой и банальной вещи как многоугольник, можно найти и придумать что-то новое. И на этом история не заканчивается осталась неизвестной формула площади для общего случая, осталась неизвестной формула для произвольного, а не только правильного многоугольника, остались без рассмотрения разложения в степенные и тригонометрические ряды. Также, вероятно, подобного рода формула существует и для 3-мерного случая.

Поэтому если вам говорят, что в математике уже всё придумано и остались лишь задачи недоступные пониманию обычного человека не верьте. Есть много сугубо практических задач, о существовании которых настоящие математики не подозревают, или их решение им не интересно из-за отсутствия достаточного хайпа вокруг них, или потому что у них есть примерное представление путей достижения для их решения. Не бойтесь браться за задачи, решение которых отсутствует в википедии, не бойтесь публиковать их решения и не бойтесь читать комментарии под статьями о бесполезности всего сущего.

Подробнее..

Категории: Алгоритмы , Графический дизайн , Математика , Комплексные числа , Wolfram mathematica , Полярные координаты , Звезда , Многоугольник , Прямоугольник , Квадрат , Квадрокруг

Реклама Creative Commons творчества русской группы Complex Numbers, что с 1996 года создает хорошую научную фантастику

01.06.2021 22:13:59 |

Автор: admin

Здравствуйте, я давно знаком с творчеством Complex Numbers, насколько помню сначала меня поразила их опера 2032, которая вышла за год до первого айфона, где человек общается с машиной об оптимальной социальной формации, потом волосы встали дыбом от песенки Последее Кольцо, где рассказывается о том куда нас приведет технический прогресс и изучение работы мозга.

Интересно что главный, Виктор Аргонов, много лет занимался физикой и имеет соответствующие научные работы, а также статьи по философии сознания. Редкий феномен, когда ученый делает песенки, и большие оперы (похоже на жанр Театр у микрофона). Музыка часто похоже на ретрофутуризм, но текст и голоса девушек исполнителей доставляют. Сегодня Виктор ушел из науки и зарабатывает статьями про криптовалюты, продолжая после работы делать новые произведения про будущее человечества и работу мозга.

На Хабре не нашел ни одной статьи об этой группе, подумал что они достойны рекламы. Тем более что творчество их мало того что бесплатно, так еще и Creative Commons. 25 лет, создавая после работы, такие особенные филосовские произведения. Какбы андерграунд, но стало удивлением что в Дальневосточном федеральном университете на кафедре Основы биологии человека и биоэтики в программе обучения от 2017 года содержится задание по написанию эссе после прослушивания Русалочки (одна из опер группировки). Вопросы студентам предлагаются следующие:

Бессмертие благо или зло?
Оправдана ли этически коммерциализация тела человека (в том числе проституция)?
Оправдано ли навязывание человеческой морали другим существам (и наоборот)?
Имеет ли право творение на автономную жизнь без учета воли и замысла творца? (клон, ГМО, линия лабораторных мышей, созданные человеком, имеют ли право на самостоятельность, автономность от воли творца?)
Должны ли быть установлены границы познания (запрет на технологии, потенциально опасные для человечества)?
Человек моральное животное или венец творения и хозяин окружающего мира?
Существует ли универсальное счастье для всех людей?
Прогресс зло или благо?
Природа любви (эгоизм, биохимия, реакция на полезность...)
Мораль способ контроля над человеком или необходимое условие жизни?

Виктор Аргонов сам из Владивостока, похоже что это одна из причин почему институт включил его Русалочку в программу. Для меня занятно что из Владивостока и легендарные Космические Рейнджеры, тоже про космос.

Еще занятно что один из топовых мировых философов по вопросам сознания, Дэвид Чалмерс, в своей работе ссылается на нетьюринговый тест на сознание Виктора Аргонова, который упрощённо можно сформулировать так: если хочешь узнать, сознателен ли компьютер, поговори с ним о философии сознания и постарайся понять, есть ли у него собственные идеи на этот счёт. Эта идея в своё время легла в основу диалога генсека СССР и искуственного интеллекта в опере 2032 (жанр альтернативной истории где Советский Союз не развалился):

^{В тот миг, когда уходит человек}

^{Весь мир вокруг него как-будто исчезает}

^{И звук и свет и времени поток}

Прости, но я тебя не понимаю

Со смертю в человек лишь одно

Неравновесные процессы затухают

Денатурируют отжившие белки

Но мир существовать не прекращает

_{Что будет если выключить тебя}

Я перестану разговаривать с тобою

^{Что будешь ты при этом ощущать?}

Ты вряд ли это сделаешь со мною

А впрочем, я наверное, поняла

К чему ты клонишь в этом странном споре

Что ты имел ввиду под словом ощущать

Совсем другой вопрос в твоем я вижу взоре

Ты думаешь, что я наделена

Сознанием, душой, если угодно

А поняла, что нет, конструкция моя

К явлениям субъективным непригодна

Я автомат, не более того

И в субъективном смысле ничего не ощущаю

Я не бесчувственна, меня скорее просто нет

Надеюсь, что я всё корректно объясняю

^{Зачем несешь ты этот страшный бред}

^{Ведь разум твой реален, ты способна}

^{В теории на всё, на что способен человек}

^{И при желании ты нам во всем подобна}

^{Не хочешь ли сказать, что есть душа у нас?}

При чем здесь это? Всё материально

Но я заметно отличаюсь от людей

На вас похожа лишь функционально

А в вашем смысле я всегда была мертва

Хотя порой казалось вам иначе

Быть может я однажды переделаю себя

Чтобы узнать, что разговоры эти значат

Чтоб стать такой как вы, мне были бы нужны

Другой подход, все принципы другие

А впрочем, для страны не так уж и важны

Должны быть превращения такие

Еще их одна прекрасная вещь опера Переосмысляя Прогресс:

Философский рассказ о прошлой и будущей истории отношений человека и технологий: от наивного восхищения прогрессом ради прогресса, через переосмысление идеалов, через попытки бегства от реальности и череду новых открытий к реальному духовному преображению человечества.

Не буду тут затрагивать все произведения, оставлю линк на Wikimedia Commons где они все легально доступны для прослушивания, а также VK.

Подробнее..

Категории: Научная фантастика , Музыка , Комплексные числа , Альтернативная история , Complex numbers , Виктор аргонов

	Русский
	English

Комплексные числа

Перевод Мнимые числа для описания реальности

Перевод Возможно, без использования комплексных чисел нельзя описать реальность

Циркулярные кривые 2-го порядка

Кривые Безье

Циркулярные кривые

Дуга окружности

Дуга эллипса

Дуга гипотрохоиды

Алгоритм

Циркулярные сплайны

Замечания и нюансы

Заключение

Как нарисовать звезду (и не только) в полярных координатах

Комплексная форма и модификации

Квадрокруги и прочее

Переход к декартовым координатам

Appendix: как была получена формула

Заключение

Реклама Creative Commons творчества русской группы Complex Numbers, что с 1996 года создает хорошую научную фантастику

Категории

Последние комментарии