Русский
Русский
English
Статистика
Реклама

Теория струн

На пути к теории струн

10.01.2021 12:14:24 | Автор: admin

Эта статья является второй частью конспекта книги Скрытая реальность: Параллельные миры и глубинные законы Космоса.

Современная космология, от Большого взрыва до инфляции, ведет свое начало из общей теории относительности Эйнштейна. В новой теории гравитации Эйнштейн отбросил общепринятое представление о жестком и неизменном пространстве и времени; перед наукой предстал динамический космос. С накопленным к 1920-м годам математическим арсеналом и геометрической интуицией он приступил к развитию единой теории поля.

Под единой теорией поля Эйнштейн подразумевал некую схему, которая позволит включитьвсе силы природы в единую и самосогласованную математическую модель. Но десятилетия напряжённой работы Эйнштейна внаправлении объединения не оказали в то время значительного влияния цель была великой,но для неё не пришло ещё время. Позднее другие исследователи подхватили идею единойтеории. Наиболее успешная схема объединения получила название теорияструн.

Краткая история объединения

Когда Эйнштейн размышлял об объединении, науке были известны две силы: гравитация,описываемая его собственными уравнениями, и электромагнетизм, описываемый уравнениямиМаксвелла. Эйнштейн предполагал объединить две теории в единую математическуюконструкцию, которая сочленила бы действие всех сил в природе.

Цель была весьма амбициозна, и Эйнштейн отнёсся к ней очень серьёзно. У него былауникальная способность полностью отдаваться задаче, которую он перед собой поставил, ипоследние тридцать лет своей жизни он полностью посвятил проблеме объединения. Однако его последние вычисления непролили больше света на вопрос объединения.

После смерти Эйнштейна работа над единой теорией практически прекратилась. Многие физики переключились на изучение микромира, руководствуясь квантовой механикой. При этом делались успехи в раскрытии тайны атома и использовании его скрытой мощи.

В дальнейшем были экспериментально обнаружены друге взаимодействия: сильное ядерное и слабое ядерное. И теперь единая теория должна объединять не две силы, а четыре. Мечта Эйнштейна стала еще более призрачной.

В конце 1960-х и в начале 1970-х годов пошла обратная волна. Физики осознали, чтометоды квантовой теории поля, успешно применённые в электромагнетизме, также хорошоописывают слабое и сильное ядерные взаимодействия. Таким образом, все тринегравитационные силы описываются на одном математическом языке. Более того, приподробном исследовании этих квантовых теорий поля обнаружились взаимосвязи,указывающие на возможное единство электромагнитных, слабых и сильных взаимодействий.

Давайте рассмотрим этот вопрос подробнее. Глэшоу, Салам и Вайнберг предположили, чтоэлектромагнитное и слабое взаимодействия являются проявлениями единого электрослабоговзаимодействия. Электрослабая теория была подтверждена в экспериментах на ускорителе вконце 1970-х и начале 1980-х годов. Глэшоу и Джорджи пошли дальше и предложили, чтоэлектрослабое и сильное взаимодействия являются проявлениями ещё более фундаментальноговзаимодействия, в рамках подхода, который был назван великим объединением. Однакопростейшая версия великого объединения была отброшена, когда учёным не удалосьэкспериментально подтвердить одно из предсказаний что протоны должны время от временираспадаться. Тем не менее есть много других вариантов великого объединения, которые покаэкспериментально не отвергнуты, например, потому, что предсказываемая ими скорость распадапротона настолько мала, что чувствительность современного экспериментального оборудованиянедостаточна для обнаружения распада. Однако даже если великое объединение неподкрепляется экспериментальными данными, уже нет никаких сомнений, что тринегравитационных взаимодействия могут быть описаны на едином математическом языкеквантовой теории поля.

Всё это являлось впечатляющим продвижением к единой теории, однако на такомобнадёживающем фоне возникла досадная проблема. Когда учёные применили методыквантовой теории к четвёртой силе в природе гравитации, оказалось, что математика простоне работает. Как бы успешно ни работали общая теория относительности иквантовая механика на своих естественных масштабах, на больших и малых расстояниях,бессмысленный результат, полученный при попытке их объединения, означал глубокую трещинув понимании законов природы.

В середине 1980-х годов произошёл следующей ключевой скачок. Новая теория, теориясуперструн, завладела умами физиков по всему миру. Она смягчила разногласия между общейтеорией относительности и квантовой механикой и дала надежду, что гравитация может бытьвстроена в объединённый квантово-механический каркас. Была развита впечатляющая и изощрённаяматематическая структура, но многое в теории суперструноставалось неясным.

Открытие теории суперструн дало толчок к развитию других, тесно связанныхтеоретических подходов, направленных на поиски единой теории фундаментальныхвзаимодействий. В частности, суперсимметричная квантовая теория поля и её гравитационноерасширение (супергравитация) глубоко изучались в середине 1970-х годов. Суперсимметричнаяквантовая теория поля и супергравитация основаны на новом принципе суперсимметрии,который был открыт в рамках теории суперструн, но эти подходы подключают суперсимметриюк обычным теориям точечных частиц.

Позже начиная с середины 1990-х годов, попытки теоретиков распутать эти загадкинеожиданно привели теорию струн к сюжету с мультивселенными. Учёным давно былоизвестно, что математические методы, применяемые при анализе теории струн, используютмножество приближений, а потому их можно усовершенствовать. Когда была сделана частьуточнений, учёные осознали, что соответствующий математический аппарат ясно указывает, чтонаша Вселенная является, возможно, частью некоторой мультивселенной.

Квантовые поля

Начнем с рассмотрения традиционной квантовой теории поля.

В классической физике поля описываются как нечто типа тумана, который пронизывает область пространства и может переносить возмущения в виде ряби и колебаний. В квантовой механике понятия поля приводит к квантовой теории поля. Квантовая неопределенность заставляет значение поля в каждой точке случайно колебаться. Подобно воде, состоящей из молекул H2O, квантово-механическое поле состоит из бесконечно малых частиц кванты поля. Но как бы не представлять частицы в рамках квантовой теории поля они математически описываются как крохотные точки, не имеющие пространственного размера и внутренней структуры.

Осведомлённый читатель может не согласиться с утверждением, что каждое полеассоциируется с частицей. Более точное утверждение звучит так: малые флуктуации поля окололокального минимума его потенциала обычно интерпретируются как возбуждения частиц.Этого определения будет достаточно для наших обсуждений. К тому же осведомлённыйчитатель заметит, что локализация частицы в точке сама по себе является идеализацией, потомучто для этого потребуется из принципа неопределённости бесконечный импульс иэнергия. Опять же суть в том, что в квантовой теории поля нет, в принципе, предела того, какможно локализовать частицу.

Вера физиков в квантовую теорию поля обусловлена одним существенным фактором: ни одинэксперимент не противоречит её предсказаниям. Наоборот, данные подтверждают, чтоуравнения квантовой теории поля описывают поведение частиц с изумительной точностью. После такого успеха можно ожидать, что квантовая теория поля является математическимфундаментом для понимания всех сил в природе. В результате упорного труда многих из физиков к концу 1970-х было установлено, чтослабое и сильное ядерные взаимодействия действительно прекрасно описываются квантовойтеорией поля.

Однако многие из физиковбыстро пришли к выводу, что ситуация с четвёртым взаимодействием в природе гравитацией,гораздо тоньше. Как только уравнения общей теории относительности объединяются суравнениями квантовой теории, математика начинает бунтовать. Совместное использованиеуравнений для вычисления квантовой вероятности некоторых физических процессов такихкак вероятность того, что два электрона оттолкнуться друг от друга, притом, что ониэлектромагнитно притягиваются и гравитационно отталкиваются, как правило, приводит кответу бесконечность. Новероятности бесконечными быть не могут. По определению значение вероятности должнонаходиться между 0 и 1 (между 0 и 100, если считать в процентах). Бесконечнаявероятность шлёт очевидный математический намёк: совместное использование уравненийбессмысленно.

Физики выяснили, что проблема кроется в дрожании и флуктуациях из-за квантовойнеопределённости. Математические методы квантовой теории поля были разработаны дляанализа флуктуаций сильных, слабых и электромагнитных полей, но, при их применении кгравитационному полю полю, которое определяет кривизну пространства-времени, оказалось, что они бесполезны. Целое поколение физиков боролось с квантовымифлуктуациями, и к началу 1970-х годов были развиты математические методы, адекватноописывающие квантовые свойства негравитационных полей. Однако флуктуациигравитационного поля качественно другие. Они больше похожи на землетрясение. Посколькугравитационное поле вплетено в саму ткань пространства-времени, квантовые флуктуациисотрясают всю его структуру вдоль и поперёк. Математические методы, используемые дляанализа таких всеобъемлющих квантовых флуктуаций, перестают работать.

В течение многих лет физики смотрели сквозь пальцы на эту проблему, потому что онавозникает только при весьма экстремальных условиях. Гравитация вступает в игру, когдаобъекты очень массивны, а квантовая механика когда их размер очень мал. Редко бывает,чтобы предмет был одновременно и массивный, и малым. Однако подобныеситуации возникают. Когда гравитация и квантовая механика применяются для описания илиБольшого взрыва, или чёрных дыр, то есть когда действительно огромная масса веществасжимается до небольших размеров, математические методы перестают работать.

Насколько массивным и малым должна бытьфизическая система, для того чтобы и гравитация, и квантовая механика играли существеннуюроль. Ответ такой масса, примерно в 109 раз превышающая массу протона, так называемаямасса Планка, сжатая до фантастически малого объёма примерно 10-99 кубического сантиметра(грубо говоря, это сфера с радиусом 10-33 сантиметра с так называемой планковской длиной). Таким образом, расстояние, на котором квантовая гравитация вступаетв права, в миллион миллиардов раз меньшее расстояния, достижимого на самых мощных в миреускорителях. Такая огромная неисследованная территория легко может быть населена новымиполями и их частицами и кто знает, чем ещё.

Однако в середине 1980-х годов вфизическом сообществе поползли слухи, что в направлении объединения произошёл серьёзныйтеоретический прорыв в рамках подхода, названного теорией струн.

Теория струн

Хотя теория струн имеет репутацию сложной теории, её основная идея очень простая. Стандартная точка зрения, до теории струн, состояла в том, что фундаментальныесоставляющие являются точечными частицами точками без внутренней структуры, которые описываются уравнениями квантовой теории поля. Теория струн бросает вызов такому представлению, утверждая, что частицы неявляются точечными. Вместо этого, предлагается рассматривать их каккрошечные, струноподобные вибрирующие нити.

При более детальном рассмотрении, говорит теория, вы увидите, что струны в частицахразного типа неразличимы, но вибрируют они по-разному.Электрон менее массивен чем кварк, и согласно теории струн, это означает, что струнаэлектрона вибрирует менее энергично, чем струна кварка. Различные свойства частиц объясняются разным вибрационным поведением нитей втеории струн, подобно тому как разные вибрации гитарных струн порождают звучание разныхмузыкальных нот.

По причине бесконечномалого размера струны, порядка планковской длины 10-33 сантиметра, даже самые точныесовременные эксперименты не могут подтвердить или опровергнуть протяжённую структуруструны. БАК, на котором частицы сталкиваются друг с другом приэнергиях, превышающих в 10 триллионов раз энергию покоящегося протона, может добраться дорасстояний примерно 10-19 сантиметра; это миллионная от миллиардной доли толщины волоса,но всё же оно слишком велико, на много порядков больше планковских расстояний. Поэтомуструны выглядят как точки, даже если их изучать на самых мощных в мире ускорителях частиц. Тем не менее,согласно теории струн, частицы являются струнами.В этом, в двух словах, и заключается теория струн.

Струны, точки и квантовая гравитация

Следует подчеркнуть три особо важных момента.

Во-первых, когда учёные физики предлагают модель описания природы с помощьюквантовой теории поля, они также выбирают поля, которые войдут в теорию. Этот выбордиктуется экспериментальными ограничениями, а также теоретическими предпосылками. Главным примером является Стандартная модель. Рассматриваемая каквенец достижений физики частиц XX столетия благодаря своей способности правильноописывать большое количество данных, собранных на ускорителях частиц по всему миру,Стандартная модель является квантовой теорией поля. Стандартная модель,безусловно, крайне успешна, но многие физики полагают, что по-настоящему фундаментальноепонимание не требует такого разношёрстного набора ингредиентов. Впечатляющее свойство теории струн состоит в том, что частицы определяются самойтеорией: разные типы частиц соответствуют разному вибрационному поведению струны. Тогда потенциал и перспективы теории струнзаключаются в том, чтобы превзойти квантовую теорию поля путём получения всех свойствчастиц математически. Теория струн строится непоследовательнымиприближениями к полному описанию природы. Она предлагает полное описание с самогоначала.

Во-вторых, среди возможных вибраций струны есть одна, обладающая всеми нужнымисвойствами для того, чтобы быть квантовой частицей гравитационного поля. Исследования выявили свойства, которыми будет обладать гипотетическая частица получившая название гравитон, соответствующая квантовому гравитационному полю. Былопоказано, что гравитон должен быть безмассовым, не иметь заряда и обладать квантовомеханическим свойством, известным как спин-2.

В-третьих, как бы ни была радикальна теория струн, она идёт по протоптанному пути,известному в истории физики. Специальная теория относительности расширяет наше понимание мира высокихскоростей; общая теория относительности идёт дальше и учитывает большие массы; квантовая механика и квантовая теория поля вводятнас в мир малых расстояний. Понятия, привлекаемые этими теориями, и предсказываемые имисвойства непохожи ни на что известное ранее. Более того, если применять эти теории впривычных рамках доступных нам скоростей, размеров и масс, они сведутся к описаниям,открытым до XX столетия к классической механике Ньютона и классическим полямФарадея, Максвелла и других.

Теория струн могла бы претендовать на существенный отрыв от своихпредшественников и отступить от нарисованной схемы ниже. Замечательно, что этого не происходит.Теория струн достаточно революционна для преодоления барьеров физики двадцатого столетия.При этом она достаточно консервативна, чтобы прошедшие три столетия открытий смоглиуютно разместиться в её математическом аппарате.

Пространственные измерения

В первые годы исследований по теории струн физикистолкнулись с фатальными математическими изъянами, например, спонтанное возникновение илиисчезновение энергии. В 1970-х многие думали, что от теории струн необходимо отказаться. Нонекоторые исследователи упорно придерживались другой точки зрения.

В результате сложных исследований было выяснено, что проблемные свойства тесносвязаны с числом пространственных измерений. В уравнениях теории струн нет изъянов во вселенной с девятьюпространственными измерениями и одним временным, что в совокупности составляет десятьизмерений.

Автор книги подмечает, что без технических подробностей будет тяжело или даже невозможность (по крайней мере, для него) объяснить, как это происходит. Так что здесь он дает некую техническую наводку. В теории струн есть одно уравнение, вкотором присутствует вклад вида (D - 10) умножить на (проблему), где D это числопространственно-временных измерений, а проблема это некое математическое выражение,приводящее к проблемному физическому явлению, подобному ранее упомянутому нарушениюзакона сохранения энергии. Автор не может предложить никакого интуитивного, нетехническогообъяснения, почему уравнение имеет именно этот вид. Но в вычислениях возникает именно оно.Простое, но ключевое наблюдение состоит в том, что, если число измерений равно десяти, а нечетырём, как можно было бы ожидать, вклад в уравнение становится 0 умножить на проблему.Поскольку умножение на ноль всегда даёт ноль, во вселенной с десятью пространственно-временными измерениями проблема исчезает. Именнопоэтому физики, занимающиеся теорией струн, рассматривают вселенную, в которой болеечетырёх пространственно-временных измерений.

В начале XX столетия в нескольких статьях математика Калуцы и физика Клейна было высказанопредположение о существовании измерений, легко ускользающих от обнаружения. Онипредсказывали, что в отличие от привычных пространственных измерений, простирающихся набольшие или даже бесконечные расстояния, могут существовать дополнительные измерения,настолько малые и скрученные, что их очень трудно увидеть. На рисунке поверхность высокой трубочки имеет два измерения; длинноевертикальное измерение легко увидеть, а малое круговое измерение обнаружитьтруднее.

Из предложения КалуцыКлейна следует, что похожее различие между однимиизмерениями, большими и легко видимыми, и другими, малыми и слабо различимыми, можетиметь место и для структуры самого пространства. Причина, по которой мы всё знаем опривычных трёх пространственных измерениях, может быть в том, что их протяжённость велика(может даже бесконечны). Однако если дополнительное пространственное измерение скручено и имеет чрезвычайно малый размер, то оно совершенноравноправно обычным нескрученным измерениям и при этом остаётся невидимым даже длясамого мощного современного увеличивающего оборудования. Так начиналась теория КалуцыКлейна, гипотеза о том, что нашаВселенная имеет больше трёх пространственных измерений.

Если вернуться в 1920-е годы, откуда вообще возникла такая экзотическая идея? Калуцазаинтересовался этим, потому что вскоре после публикации Эйнштейном общей теорииотносительности ему на ум пришла одна идея. Он обнаружил, что может модифицировать уравнения Эйнштейна и применить их ковселенной с одним дополнительным пространственным измерением. Результат изучениямодифицированных уравнений оказался захватывающим. Среди модифицированных уравнений Калуца обнаружил уравнения, уже применённыеЭйнштейном для описания гравитации в трёх пространственных и одном временномизмерениях. Но поскольку новая формулировка включала одно дополнительноепространственное измерение, Калуца обнаружил дополнительное уравнение. Получивэто уравнение, Калуца распознал в нём уравнение электромагнитного поля, обнаруженноеМаксвеллом полувеком ранее.

Как показал Калуца, во вселенной с одним дополнительным пространственным измерениемгравитация и электромагнетизм могут быть описаны единым образом как пространственно-временные искривления. Но гравитация рябит в привычных трёх пространственныхизмерениях, а электромагнетизм в четвёртом. Огромной проблемой для гипотезы Калуцыстало объяснение того, почему мы не видим четвёртое пространственное измерение. Именнотогда Калуца предложил описанное выше решение: дополнительные измерения, если онидостаточно малы, могут ускользать от фиксации нашими органами чувств и оборудованием.

Однако последующие исследования показали, чтопрограмма КалуцыКлейна сталкивается с некоторыми препятствиями, самым трудным изкоторых является невозможность встроить детальные свойства частиц материи, таких какэлектрон, в математическую структуру. В течение двух десятилетий предлагались и отвергалисьразличные способы обойти эту проблему. Однако поскольку не былопредложено ни одного подхода, свободного от этих недостатков, то к середине 1940-х годовидея объединения через дополнительные измерения практически была забыта.

Спустя тридцать лет возникла теория струн. Математический аппарат теории струн непросто разрешал существование во Вселенной дополнительных измерений, он требовал ихприсутствия. Теория струн возродилапрограмму КалуцыКлейна, и к середине 1980-х годов учёные во всём мире воодушевлённополагали, что это только вопрос времени, когда теория струн приведёт к полному описанию всей материи ивзаимодействий.

Большие надежды

В первые годы теории струн развитие происходило настолько быстро, что уследить за всеминовостями было практически невозможно. При таком возбуждениипонятно, что некоторые теоретики заговорили о скорой революции в решении основныхпроблем фундаментальной физики: слиянии гравитации и квантовой механики, объединениивсех сил в природе, выяснении происхождения Вселенной. Ноболее умудрённые физики полагали, что такие надежды преждевременны. Теория струннастолько насыщена, обширна и математически трудна, что спустя почти три десятилетия послепервой эйфории современные учёные одолели лишь часть исследовательского пути. С учётомтого, что мир квантовой гравитации в сотни миллиардов миллиардов раз меньше чем всё, чтомы сегодня можем экспериментально измерить, дорога будет длинная, даже по самымскромным оценкам.

Теория струн и свойства частиц

Один из самых основных вопросов всей физики стоит так: почему частицы, которыенаблюдаются в природе, являются именно такими, а не какими-нибудь другими? Интерес к этому вопросу непросто академический, он отражает очень важный факт. Если бы у частиц были другие свойства, ядерные процессы, питающие звёзды, подобные нашему Солнцу, были бы нарушены. Вселенная без звёзд была бы совсем другой. Очевидно, что без солнечного света и тепла невозникла бы сложная цепочка событий, приведшая к возникновению жизни на Земле. Поэтому возникает фундаментальный вопрос: как с помощью ручки, бумаги и, возможно,компьютера, а также руководствуясь нашим пониманием законов природы, вычислить свойствачастиц и получить результаты, которые согласуются с экспериментальными данными.

В рамках квантовой теории поля ответа на этот вопрос нет и не может быть. В квантовойтеории поля измеренные свойства частиц выступают в качестве исходных данных на ихоснове строится и определяется сама теория.

Сможет ли теория струн справиться с этим лучше? Одна из самых красивых черт струнной теории состоит в том, что свойства частиц определяются размером и формойдополнительных измерений. Поскольку струны очень малы, они вибрируют не только в трёхпривычных больших измерениях, но и в малых, свёрнутых измерениях. Колебания струн вструнной теории определяются формой скрученных измерений. Вспоминая, что вибрационноеповедение струн определяет свойства частиц, такие как массу и электрический заряд, мы видим,что эти свойства диктуются геометрией дополнительных измерений. Поэтому если достоверно известно, как выглядят дополнительные измерения в теорииструн, то можно легко предсказать любые свойства вибрирующих струн и, следовательно, всесвойства элементарных частиц, порождённых колебаниями струны. Трудность, как и раньше, втом, что никто не знает, какова точная геометрическая форма дополнительных измерений.Уравнения теории струн накладывают математические ограничения на геометриюдополнительных измерений и требуют, чтобы они принадлежали частному классу такназываемых пространств КалабиЯу. Проблема в том, что неткакой-то одной, выделенной формы КалабиЯу. Наоборот, эти пространства имеют разные размеры и контуры. Дополнительные измерения, различающиесяпо размерам и по форме, порождают разные вибрации струн и, следовательно, разные наборы свойствчастиц. Отсутствие однозначной спецификации для дополнительных измерений являетсяглавным камнем преткновения, который не позволяет струнным теоретикам делатьконкретные предсказания.

В середине 1980-х годов, было известно небольшоеколичество пространств КалабиЯу, поэтому можно было надеяться проанализировать каждоеиз них и соотнести с известной физикой. Спустя несколько лет, число пространств КалабиЯу возросло до нескольких тысяч, что сталосерьёзной задачей для обстоятельного изучения.Время шло и число страниц в каталоге пространств КалабиЯу только увеличивалось. Теперь их больше чем песчинок на пляже. И речи быть не может о том, чтобы математически рассмотретькаждое на роль дополнительных измерений. Поэтому струнные теоретики продолжают поискматематической подсказки, которая позволит выделить из всех возможных пространств КалабиЯу то самое, единственное.

Теория струн пока не реализовала свои возможности по объяснению свойствфундаментальных частиц. В этом отношении теория струн до сих пор не имеет особыхпреимуществ перед квантовой теорией поля.

Теория струн и эксперименты

Если типичная струна имеет чрезвычайно крохотный размер, то для обнаружения еёпротяжённой структуры той самой характеристики, которая отличает её от частицы потребуется ускоритель в миллионы миллиардов раз мощнее, чем БАК. Предполагая, чтовыдающийся технологический прорыв не предвидится, такая ситуация означает, что насравнительно малых энергиях, достижимых на имеющихся ускорителях, струны неотличимы отточечных частиц. Экспериментальная версия упомянутого ранее теоретического факта:на низких энергиях теория струн сводится к квантовой теории поля. Таким образом, даже еслитеория струн и является правильной фундаментальной теорией, в широком диапазоне доступныхэкспериментов она будет проявляться как квантовая теория поля.

Выбор полей и кривых энергий в квантовой теории поля равносилен выбору формыдополнительных измерений в теории струн. Одна из проблем в теории струн состоит в том, чтоматематика, которая связывает свойства частиц с формойдополнительных измерений, в высшей степени своеобразна. Поэтому работа в обратномнаправлении очень трудна использование экспериментальных данных для определенияконкретной формы дополнительных измерений, аналогично тому, как такие данные определяютсостав полей и кривых энергий в квантовой теории поля. В обозримом будущем наиболее обещающим способом связи теории струн сэкспериментальными данными будут предсказания, которые можно объяснить спомощью более традиционных методов, но для которых гораздо более естественное иубедительное объяснение возникает из теории струн.

Теория струн, сингулярность и черные дыры

В большинстве ситуаций квантовая механика и гравитация успешно игнорируют друг друга,при этом первая применяется к малым объектам, таким как молекулы и атомы, а вторая кбольшим объектам, соразмерным звёздам и галактикам. Однако обе теории вынужденывстречаться в мирах, известных как сингулярности. Сингулярность это любая физическаяситуация, реальная или гипотетическая, которая настолько экстремальна (огромные массы,малый размер, гигантская кривизна пространства, проколы или разрывы в самойпространственно-временной структуре), что квантовая механика и общая теорияотносительности ведут себя неадекватно.

Цель любой квантовой теории гравитации - свести воедино квантовуюмеханику и гравитацию таким образом, чтобы сингулярности исчезли. Именно в этом направлении теория струн достигласвоих самых впечатляющих успехов, уменьшив список сингулярностей.

В середине 1980-х годов группа исследователей пришла к выводу, что некоторые проколы в тканипространства, которые доставляли много хлопотуравнениям Эйнштейна, прекрасно ведут себя в теории струн. Ключ к успеху состоял в том, чтоструна в отличие от точечной частицы не может свалиться в такой прокол. Поскольку струна это протяжённый объект, она может удариться о прокол, может обмотаться вокруг него либовоткнуться в него, но подобного рода умеренные взаимодействия совершенно не портятуравнения теории струн. Это важно не потому, что такие изъяны в пространстве действительноимеют место может, да, а может, и нет, а потому, что именно таких свойств физики хотят отквантовой теории гравитации: способности работать осмысленно в ситуации, когда поотдельности отказывают как общая теория относительности, так и квантовая механика.

В 1990-х годах было установлено, что более сильные сингулярности(известные как флоп-сингулярности), возникающие при сжатии сферической областипространства до бесконечно малого размера, тоже описываются теорией струн. Интуицияподсказывает, что струна при движении может накрутиться на такую сжатую областьпространства, подобно обручу на мыльный пузырь, создавая нечто вроде кругового ограждения.Вычисления показывают, что такой струнный щит сводит на нет любые потенциальноразрушительные последствия и гарантирует, что уравнения теории струн остаютсянепротиворечивыми.

За прошедшие годы исследователи показали, что множество других, более сложныхсингулярностей также полностьюконтролируются теорией струн.

Но остаётся проблема устранения с помощью теорииструн сингулярностей чёрных дыр и Большого взрыва, более суровых, чем рассмотренные ранее.

Тем не менее одно важное открытие пролило свет на теорию чёрных дыр. В 1970-х годах вработах Бекенштейна и Хокинга было установлено, что чёрные дыры обладаютопределённой степенью беспорядка, известной как энтропия. Беспорядок внутри чёрной дыры, согласно фундаментальным физическимзаконам, свидетельствует о множестве вариантов случайного размещения её внутренностей.Однако даже после долгих усилий физикам не удалось достаточно хорошо разобраться в том,как устроены внутренности чёрных дыр, не говоря уж о том, чтобы проанализироватьвозможные способы их размещения. Однако смешав фундаментальные ингредиенты теории струн, они построили математическую модель беспорядка чёрнойдыры, достаточно простую и понятную, чтобы извлечь из неё численное значение энтропии.Полученный результат в точности совпал с ответом Бекенштейна и Хокинга. Хотя осталосьмного открытых вопросов, этаработа стала первым надёжным квантово-механическим анализом беспорядка чёрной дыры.Замечательный прогресс в изучении сингулярности чёрной дыры и её энтропии привёлфизическую общественность к обоснованной убеждённости, что со временем оставшиесятрудности, связанные с чёрными дырами и Большим взрывом, будут преодолены.

Оценивая текущий статус теории струн, многие струнные теоретики считают, чтоследующий важный шаг состоит в том, чтобы придать уравнениям теории наиболее полный иточный вид. Большая часть исследований на протяжении первых двух десятилетий развитиятеории до середины 1990-х годов была выполнена с помощью приближённых уравнений, ибомногие полагали, что так можно выявить общие свойства теории. Однако приближённыеуравнения оказались слишком грубы, чтобы дать точные предсказания. Последние открытия вывели понимание на уровень, намного превосходящий тот, чтобыл достигнут приближёнными методами.

Ссылки на все части

Подробнее..

Вселенные по соседству в других измерениях

12.01.2021 12:17:05 | Автор: admin

Эта статья является третьей частью конспекта книги Скрытая реальность: Параллельные миры и глубинные законы Космоса.

Подавляющее большинство явлений, от движения планет довзаимодействия частиц, слишком сложно для точного математического описания. Рассчитывая орбиту Земли, следует учитывать только притяжение Солнца; конечно,лучше учесть ещё и притяжение Луны, но тогда математическая сложность резко возрастает. Еслипопытаться продвинуться дальше и полностью учесть влияние движения остальных планет, тоанализ становится необозримым. К счастью, во многих приложениях можно спокойнопренебрегать всем кроме влияния Солнца, так как эффект от воздействия других тел вСолнечной системе на орбиту Земли весьма незначителен. Подобные приближения лишьподтверждают высказывание, что искусство физики лежит в умении отмести несущественное.

Однако приближения этоне только мощный способ достижения прогресса, в них таится и определённая опасность.Минимальные усложнения при ответе на один вопрос неожиданно могут привести к весьмасущественным последствиям при ответе на другой. Одна дождевая капля вряд ли сможетповлиять на вес валуна. Но если этот валун еле держится на самом краю отвесного склона, товполне вероятно, что дождевая капля приведёт к его скатыванию. Приближение, не учитывающее эту дождевую каплю, приведёт к потересущественного эффекта.

В середине 1990-х годов струнные теоретики натолкнулись на подобную дождевую каплю.Они обнаружили, что различные математические приближения, широко используемые в анализетеории струн, упускают из виду некоторое важное физическое явление. Развив и применив болееточные математические методы, струнные теоретики наконец-то смогли выйти за рамки этихприближений; когда это произошло, в центр внимания попали неожиданные свойства теории.Среди них оказались новые типы параллельных вселенных.

Выход за рамки приближений

Каждая из ведущих дисциплин теоретической физики таких как классическая механика,электромагнетизм, квантовая механика и общая теория относительности определенанекоторым основным уравнением или набором уравнений. Проблема втом, что кроме простейших случаев эти уравнения крайне сложно решить. Поэтому физики,следуя заведённому обычаю, пользуются упрощениями например, не учитывают притяжениеПлутона или считают Солнце шаром, это упрощает вычисления и вселяет надежду получитьприближённое решение основного уравнения.

Довольно долго исследователи в теории струн сталкивались с еще большими трудностями. Нахождение основного уравнения оказалось настолько трудным, что физики смогли написать его лишь приближенно. И даже приближенные уравнения были настолько сложными, что и их упростили. В итоге получилось приближенное исследование приближений. Однако в течение 1990-х годов струнные теоретики показали, как выйти за рамки использования приближений.

Физики используют такой метод приближенного решения задач, как теория возмущений. В вычислениях, как правило, легче осуществить первый шаг,который содержит только самые очевидные вклады. Затем делается второй шаг, включающий более тонкие детали, изменяя, или возмущая ответ напервом шаге.

Если интересует вероятность того, что две частицы, летящиенавстречу друг другу в Большом адронном коллайдере, столкнутся друг с другом, то на первомшаге представьте, что они сталкиваются и отлетают друг от друга рикошетом.

Словосталкиваются не означает, что они напрямую соприкасаются, наоборот, это означает, чтоединственная пуля-переносчик взаимодействия, такая как фотон, вылетает из одной частицыи поглощается другой частицей.

На втором шаге учитывается возможность того, что этичастицы столкнутся дважды (между ними выстрелят два фотона); на третьем шаге возникающаяпоправка даёт вклад в предыдущие два и учитывает возможность трёхкратного столкновениячастиц; и так далее. Теория возмущений работает хорошо, есливероятность взаимодействий частиц возрастающей кратности резко падает.

Спад определяется каждым следующим столкновением счисленным множителем, который называется константой связи, значение которой отражаетвероятность того, что одна частица испустит пулю-переносчика взаимодействия, а втораячастица поглотит её. Для частиц, участвующих в электромагнитных взаимодействиях, например,электронов, экспериментально измерено, что константа связи фотонных пуль равна примерно0,0073. Если многократно умножать 0,0073на себя, то результат быстро станет исчезающее мал. После одной итерации примерно0,0000533, после второй итерации примерно 0,000000389. Поэтому у теоретиков редковозникают проблемы при подсчёте числа многократных столкновений электронов. Вычисленияс многократными столкновениями крайне сложны, а конечный ответ настолько мал, что можноостановиться на нескольких испущенных фотонах и всё равно получить очень точный ответ.

Похожий способ вычислений по теории возмущений долгое время являлся основойструнных исследований. В теории струн имеется некоторое число, которое называется струннойконстантой связи, определяющая вероятностьстолкновения двух струн. Так как измерения этой константы в настоящий момент совершенно гипотетичны, величина струнной константыостаётся абсолютно неизвестной. В течение последних нескольких десятилетий, не имея каких-либо указаний из эксперимента, струнные теоретики сделали ключевое допущение, чтострунная константа мала. Малая струнная константа позволяет физикам с помощью теориивозмущений пролить яркий свет на вычисления. Допущениемалости константы связи позволило провести огромное количество математическихвычислений, которые не только прояснили базовые процессы взаимодействия струн, но такжедали много информации о фундаментальных уравнениях теории.

Если струнная константа действительно мала, то приближённые вычисления достаточноточно отразят физическую суть теории струн. Но что, если она не мала? В отличие от сталкивающихся электронов, большая струнная константа означает, что последовательныеуточнения к приближению на первом шаге приведут к растущим вкладам, поэтому не будетникаких оснований прекратить вычисления на определённом этапе. Тысячи вычислений,проделанных на основе теории возмущений, станут бессмысленными.

Ко второй половине 1990-х учёные обнаружилиновые математические методы, способные перехитрить приближения по теории возмущений,призвав на помощь то, что получило название дуальность.

Дуальность

В 1980-х годах физики осознали, что есть не одна теория струн, а пять разных еёвариантов с заковыристыми именами тип I, тип IIA, тип IIB, O-гетеротическая, E-гетеротическая. Все пять теорий,несмотря на различия в технических деталях, имеют одинаковые общие свойства вибрирующие струны и дополнительные пространственные измерения.

В течение многих лет физики использовали методы теории возмущений для анализа каждойиз пяти теорий струн. При изучении теории струн типа I считалось, что её константа связи мала,поэтому физики пользовались многошаговой процедурой. Такая же процедура использовалась при изучении O-гетеротической теории или любойдругой теории струн. Однако за пределами ограниченной области малых струнных константучёные лишь пожимали плечами, полагая, что используемый ими математический аппаратнедостаточно силён для получения надёжных результатов.

Однако весной 1995 года Виттен потряс струнное сообщество сериейизумительных результатов. Опираясь на результаты других учёных, Виттен привёлубедительное доказательство того, что теперь струнные теоретики могут свободно выйти зарамки малых констант связи. Ключевая идея была простая и сильная. Виттен доказал, что приувеличении константы связи в одной из формулировок теории струн, теория замечательнымобразом постепенно трансформируется в другую формулировкутеории струн, в которой константа связи уменьшается. Например, когда константа связи втеории типа I велика, она переходит в O-гетеротическую теорию струн с малой константойсвязи. Это означает, что пять теорий струн не такие уж и разные. При ограниченномрассмотрении при малых константах связи каждая из них отличается от остальных, но приснятии этого ограничения каждая из теорий струн переходит в другие.

Такая трансформация показывает, что если нельзяпровести вычисления в одной теории струн по теории возмущений, потому что её константасвязи слишком велика, то эти вычисления могут быть легко проделаны на языке другойформулировки теории струн, где применима теория возмущений в силу малости константысвязи. Переход между кажущимися разными теориями называется в физике дуальностью. Безнадёжно трудныевычисления, с одной стороны, становятся вполне осуществимыми, с другой стороны.

Разобравшись в деталях, Виттен и другие исследователи показали, что все пять теорийструн связаны друг с другом целой сетью таких дуальностей. В сплетении теорий идуальностей, названном M-теорией, объединяются успехи всех пятиформулировок, сшитых вместе посредством дуальных взаимосвязей, что приводит к болееглубокому пониманию каждой из них. Одним из открытийоказалось то, что в теории струн есть не только струны.

Согласно Виттену, когда константа связи в теории струн типа I становится большой, этатеория преобразуется в O-гетеротическую теорию с малой константой связи, и наоборот; теориятипа IIB с большой константой связи преобразуется в себя, в теорию типа IIB, но с малойконстантой связи. В случае E-гетеротической и теории типа IIA ситуация более тонкая, но общая картина такова, что все пять теорийявляются участниками целой сети взаимосвязей.

Браны

Почему струны такие особенные? Почему надо рассматриватьфундаментальные объекты, у которых есть только длина? В конце концов, теория сама требует,чтобы Вселенная имела девять пространственных измерений,так почему не рассматривать объекты, имеющие форму двумерных листов или трёхмерныхшариков, или их многомерные аналоги?

Ответ состоит в том, что математика, описывающая фундаментальные составляющие с болеечем одним пространственным измерением, приводит к неустранимым противоречиям (такимкак квантовые процессы с отрицательными вероятностями, а это математическибессмысленный результат). Но когда эти математические рассуждения проводятся для струн, всепротиворечия компенсируют друг друга и возникает самосогласованное описание.Струны, определённо, чем-то выделены.По крайней мере так казалось.

Такой результат не является таинственным математическим совпадением. Наоборот, встрогом математическом смысле струны обладают высокосимметричной формой, и именно этасимметрия позволяет устранить все противоречия.

Вооружившись болееточными методами, небольшая группа теоретиков выяснила, что под математическим покровомтеории струн действительно скрываются структуры с разным числом пространственныхизмерений. Техника теории возмущений слишком груба, чтобы обнаружить эти ингредиенты,но новые методы смогли это сделать. К концу 1990-х годов стало совершенно очевидно, чтотеория струн это не просто теория, описывающая струны.

Были обнаружены объекты сдвумя пространственными измерениями: мембраны,которые также называют два-бранами. Но это ещё не всё. Также были обнаружены объекты стремя пространственными измерениями, так называемые три-браны и так далее вплоть до девять-бран.Математически было установлено, что все эти структуры, подобно струнам, могут вибрировать иизвиваться. Поэтому в этом контексте струну лучше всего рассматривать как один-брану лишьодну из многих сущностей в неожиданно длинном списке фундаментальных кирпичиков теорииструн.

Оказалось, что количествопространственных измерений на самом деле вовсе не девять. Оно равно десяти. И если добавитьвременное измерение, получится точно одиннадцать пространственно-временных измерений.Как такое может быть? Откуда был сделан вывод о необходимых десяти пространственно-временных измеренияхтеории струн. Математические выкладки, приведшие к этому уравнению,были основаны на теории возмущений с малой струнной константой. А это приближениене учитывало одно измерение. Как показал Виттен, причина состояла в том, чтовеличина струнной константы напрямую контролирует размер десятого пространственногоизмерения. Полагая константу связи малой, исследователи невольно делали малым и этопространственное измерение, слишком малым. Более точные методы исправили это упущение, чтопривело к появлению M-теории в которой вселенная выступает уже с десятью пространственнымиизмерениями и одним временным, что в совокупности составляет одиннадцатьпространственно-временных измерений.Именно браны выступают на сцену в истории смультивселенными. Благодаря им исследователи обнаружили ещё одно множествопараллельных вселенных.

Браны и параллельные миры

Как правило, принято считать, что струны очень малы и именно это свойство становитсябольшим препятствием для проверки теории. Однако длина струны определяется её энергией. Энергии, сопоставляемые массамэлектронов, кварков, и других известных частиц настолько малы, что соответствующие струныимеют действительно крошечный размер. Но если в струну впрыснуть достаточно энергии, томожно очень сильно её растянуть. В земных условиях нет никаких возможностей осуществитьподобное, но в принципе это не более чем технологическое ограничение.

Подобно струнам, многомерные браны также могут быть большими. Отсюда возникаетсовершенно новый способ описания космоса в рамках теории струн.

Если три-брана очень велика, возможно даже бесконечно большая, ситуация меняется. Три-брана такого типа полностью заполнит пространство, в котором мы живём, подобно воде,заполняющей аквариум. Такая вездесущность предполагает, что вместо того, чтобы считать три-брану объектом, расположенным в обычных трёх измерениях, следует рассматривать её какоснову самого пространства. Пространство предстанет как вещь, объект, сущность три-брана. Мы движемся внутри три-браны. Струнные теоретикиназывают это сценарием мира на бране.Именно в этот момент в теории струн возникают параллельные вселенные.

Автор сосредоточился на взаимосвязи между три-бранами и тремя пространственнымиизмерениями, потому что хотел провести аналогию с повседневным опытом. Но в теории струнпространственных измерений больше трёх. В многомерном пространстве есть достаточно местадля размещения не только одной три-браны. Возможно, это нелегко представить. Поэтому для наглядности обсуждения сценария мира на бране давайте откажемся от одногопространственного измерения и будем представлять жизнь на гигантской два-бране.

Представим, что на одной такой два-бранеприсутствует всё, что мы привыкли называть Вселенной всё, что есть внутри нашего трёхмерного пространства, сколь угоднодалеко друг от друга. Чтобы представить вторую два-брану, нужно расположить ее рядом с нашей два-браной, только чутьсдвинуть ее в сторону в направлении дополнительных измерений. Столь же легкопредставить три или четыре, или большее число два-бран. Однако браны могут иметь любую ориентацию,быть других размерностей, больших или меньших, и все они могут быть рассмотреныаналогичным образом.

Во всём наборе бран будут действовать одинаковые, фундаментальные физические законы,потому что все они возникают из одной M-теории. Так же как в случае сдочерними вселенными в инфляционной мультивселенной, физические свойства браны могутсущественно меняться в зависимости от дополнительных условий, таких как значения полей,пронизывающих брану, или число её пространственных измерений. В бранном сценарии наша Вселенная лишь одна из многих,населяющих бранную мультивселенную.

Как только идея бранной мультивселенной возникла в струнном сообществе, немедленновозник вопрос. Если гигантские браны существуют по соседству, целые параллельные вселенныевисят где-то рядом, топочему мы не видим их?

Цепкие браны и гравитационные щупальца

Струны бывают двух видов: в виде петель и отрезков нитей. Для миров на бране это различие между петлями и отрезками нитей становится решающим. Могут ли струны улететь с браны? Ответ: петлимогут, отрезки нитей нет.

Знаменитый струнный теоретик Джо Полчински впервые осознал, что всё определяетсяповедением концов струнной нити. Уравнения, убедившие физиков, что браны являются частьюструнной теории, также показали, что между струнами и бранами есть особенно тесная связь.Брана это единственное место для концов струнных отрезков. Математическиевыкладки показывают, что открепить концы струнных отрезков от поверхности браны попростуневозможно. С физической точки зрения, такая ситуация сродни попытке удалить северный или южныйполюс магнита. Струнные нити могут свободно двигатьсявнутри и сквозь брану, но покинуть её они не могут.

Частицы-переносчики трех негравитационных взаимодействия тоже составлены из струнных отрезков. Самыеважные среди них фотоны переносчики электромагнитного взаимодействия. Таким образом,видимый свет может свободно распространяться внутри нашей браны, но не сможет вырваться за её пределы. Вполне возможно, что другой мир на бране находится внескольких миллиметрах от нас, но свет не может преодолеть этот промежуток, и поэтому мыникогда не получим ни малейшего намёка на его существование.

Единственное взаимодействие, которое отличается в этом отношении это гравитация. Особое свойство гравитона спин-2, превышающий в два раза спинчастиц, составленных из струнных отрезков (как фотоны), являющихся переносчикаминегравитационных взаимодействий. Тот факт, что спин гравитона в два раза превышает спинотдельного струнного отрезка, означает, что гравитон можно представить в виде двух такихотрезков, причём концы одного слипаются с концами другого и возникает петля. Поскольку упетель нет концов, они не могут быть захвачены бранами. Поэтому гравитоны могут покинутьодну брану и попасть на другую. Тогда в сценарии мира на бране только с помощью гравитацииможно прощупать то, что находится за пределами нашего трёхмерного пространства.

В 19801990-х годах, до появления концепции бран, физики полагали, чтодополнительные измерения в теории струн имеют приблизительно планковский размер, естественный масштаб для теории, описывающей гравитацию иквантовую механику. Но сценарий мира на бране заставляет думать шире. Поскольку лишьгравитация, слабейшее из всех взаимодействий, может вырваться за пределы привычноготрёхмерного пространства, дополнительные измерения вполне могут иметь достаточно большойразмер и всё равно оставаться невидимыми.

Когда объекты испытывают взаимное гравитационное притяжение,они обмениваются потоками гравитонов. Когда часть гравитонов утекает с поверхности нашей браны и попадает вдополнительные измерения, гравитационное притяжение между объектами ослабевает, онооказывается разбавленным. Экспериментаторы считают, что путём точного измерениягравитационного притяжения между двумя объектами, сближенными на расстояние меньшеечем размер дополнительных измерений, можно перехватить гравитоны прежде, чем они утекут снашей браны; если это так, то экспериментально измеренная сила гравитации должнапропорционально возрастать.

Образование чёрных мини-дыр это ещё один побочный продукт сценария мира на бране. Вероятность возникновения чёрных мини-дыр в протон-протонныхстолкновениях существует только в случае, когда силагравитационного притяжения растёт при уменьшении расстояний. Как и ранее, именносценарий мира на бране делает это возможным.

Цельютаких экспериментов является не только поиск таких экзотических структур как дополнительные измеренияпространства и крошечные чёрные дыры, они также пытаются выяснить, живём мы на бране илинет. В свою очередь, помимо подтверждения сценария мира на бране в теории струн,положительный итог экспериментов станет косвенным свидетельством существования другихвселенных за пределами нашей. Если удастся установить, что мы живём на бране, не останетсяникаких математических оснований считать, что наша Вселенная единственна.

Внутри потока

Математическое осознание того, что в теории струн есть не только струны, но также ибраны, оказало огромное влияние на исследования в этой области. Бранный сценарий исопутствующие ему мультивселенные составляют направление исследований, котороепотенциально может привести к значительному пересмотру наших представлений о реальности.Без точных математических методов, разработанных за последние десятилетия,значительная часть этих открытий осталась бы за пределами возможностей. Однакоосновная проблема, которую физики надеялись решить с помощью точных методов, выборединственной формы пространства дополнительных измерений из многих кандидатов,выявленных теоретическими исследованиями, пока остаётся нерешённой. Новые методы только усугубили проблему. Было открытоогромное количество новых видов пространств дополнительных измерений, что привело кневероятному увеличению числа возможных кандидатов, а понимание того, как выбрать одноединственное пространство, не продвинулось ни на йоту.Ключевым для этих исследований явилось наличие у бран важной характеристики потока. Подобно электрону, порождающему электрическое поле, брана порождает бранное поле бранный туман, заполняющий пространство вокруг неё. Когда в 1800-х годахФарадей проводил первые эксперименты с электрическими и магнитными полями, дляизмерения напряжённости поля он использовал плотность силовых линий поля, расположенныхна заданном расстоянии от источника, и эту величину он назвал потоком поля. Напряжённость поля браны тоже измеряется порождаемым ейпотоком.

Струнные теоретики осознали, что для полного описания дополнительных измерений теорииструн требуется не только определить их форму и размер, но также определитьпронизывающие их потоки созданных бранами полей.

Со времён появления первых математических работ по дополнительным измерениямтеории струн исследователям было известно, что пространства КалабиЯу, как правило,содержат много пустых полостей, подобно пространству внутри мяча. Так продолжалось до тех пор, пока в самом начале новоготысячелетия теоретики не осознали, что пустые полости могут чем-нибудь заполняться. Онимогут быть обёрнуты теми или иными бранами и пронизаны создаваемыми ими потоками полей. В более ранних исследованиях по большей части рассматривались только голые пространства КалабиЯу, длякоторых подобного рода украшения отсутствуют. Когда учёные осознали, что на пространстваКалабиЯу могут быть навешены дополнительные свойства, они обнаружили гигантскийнабор модифицированных пространств дополнительных измерений.

Даже грубый подсчёт даёт представление о масштабе. Рассмотрим поток. Так же как вквантовой механике устанавливается, что число фотонов и электронов всегда целое, точно так же квантоваямеханика доказывает, что силовые линии потока собираются в целочисленные пучки. Они могутпронизывать охватывающую поверхность один раз, два раза, три раза и так далее. В принципе,помимо требования целочисленности, других ограничений не существует. На практике, когдаколичество линий в потоке велико, он стремится исказить пространство КалабиЯу, что делаетиспользованные ранее математические методы неточными. Во избежание попадания в этотматематический омут учёные, как правило, рассматривают потоки с количеством линий неболее 10, а часто и того меньше.

Потоки с большими значениями также приводят к дестабилизации заданной формыКалабиЯу. То есть потоки стремятся заставить форму КалабиЯу увеличиваться в размерах, чтосразу приводит к противоречию с критерием малости дополнительных измерений.

Это означает, что если данное пространство КалабиЯу содержит одну пустую полость, тоеё можно одеть потоком десятью разными способами, что приведёт к десяти новымпространствам дополнительных измерений. Если данное пространство КалабиЯу имеет дветакие полости, то имеем 10 10 = 100 различных способов и так далее. Насколько большим может бытьэто число? Некоторые пространства КалабиЯу имеют порядка пятисот пустых полостей.Рассуждая аналогично, получаем, что число различных форм пространств дополнительныхизмерений будет порядка 10500.

Таким образом, вместо того чтобы просеять кандидатов и отобрать из них нескольковыделенных пространств дополнительных измерений, точные математические методы открылицелый ряд изобилия новых возможностей. Для некоторых струнных теоретиков такой вывод стал большимразочарованием. Не имея какого-нибудь способавыбрать точный вид дополнительных измерений математический аппарат теории струнлишается своей предсказательной силы. Так много надежд возлагалось на математическиеметоды, которые могут работать вне рамок теории возмущений. Теперь же, когда некоторые изэтих методов были реализованы, проблема фиксации формы пространства дополнительныхизмерений только усугубилась. После этого некоторые струнные теоретики совсем приуныли. Другие верят, что сдаваться ещё рано.

Однако иные теоретики придерживаются более радикальной точки зрения. Возможно за десятилетиями бесплодных попыток установить точную форму пространствадополнительных измерений стоит некий смысл. Возможно необходимо рассматривать все возможные формы и потоки,возникающие в математическом аппарате теории струн. Возможно причина,по которой математика наполнена этими возможностями, в том, что они все реальны, каждая изформ задаёт дополнительные измерения в своей отдельной вселенной.

Ссылки на все части

Подробнее..

А что если гравитация и ускоренное расширение Вселенной это следствие энтропии?

06.05.2021 08:19:11 | Автор: admin

Предисловие

Притяжение властвует на больших расстояниях, оно универсально и очевидно в сравнении с другими взаимодействиями, но нюанс заключается в том, что оно невероятно слабо в 1039 раз слабее электромагнитного взаимодействия, а ее влияние на микроскопическом уровне вовсе незаметно. Природа гравитации в мире элементарных частиц ломает умы ученых не один десяток лет, ведь она не хочет мириться ни с квантовой физикой, ни с электродинамикой. Струнная теория так же не может удовлетворить конфликт гравитации с другими взаимодействиями. Но, кажется, мы нашли способ помирить гравитацию с физикой. Как? Предположить, что она не фундаментальное взаимодействие.

Credit: TimeOneCredit: TimeOne

Любой вопрос или замечания Вы можете написать в комментариях. Также я открыт для личного диалога в телеграме или даже беседы в нашем чате. А еще у меня есть телеграм-канал о космологии.

Информация и ее роль во Вселенной

Рассматривая гравитацию во вселенной с инвариантными процессами с точки зрения струнной теории, исследователи пришли к выводу, что гравитация истекает из законов микроскопических взаимодействий и свойства информации. Информация играет важнейшую роль в устройстве Вселенной и понимание ее содержания поможет нам создать точную описательную модель нашего мира. Информация отражает абсолютно все: начиная от состава материи или энергии до его положения. Мера содержания информации характеризуется т.н. энтропией, которая оказывается для нас чрезвычайно полезной, когда речь заходит о выборе объективной меры количества информации.

Попробуем рассмотреть данное предложение в двоичном коде тогда его энтропией будет то количество знаков, которое необходимо для его кодирования и количество их возможных состояний (0 или 1), называемых степенью свободы. По поводу понимания сущности энтропии у меня есть интересная статья, рекомендую к прочтению.

Энтропия черных дыр и интересные выводы об этом

А если вместо предложения у нас будет черная дыра? На мой взгляд, это самый простой и самый сложный для понимания объект одновременно. Многие ошибочно считают, что информация о поглощенном черной дырой теле неизбежно в нем исчезает, а также что единственное известное свойство черной дыры это количество энергии в ней. Благо, все устроено иначе если мы проанализируем взаимодействие черной дыры, то убедимся, что при поглощении объекта от него передается энергия, а также момент импульса, что неизбежно влияет на массу и состояние черной дыры и проще это выражается одним словом информация. Информация об объекте осталась с информацией черной дыры и отражается в последствиях взаимодействия с поглощенным телом. Ну и если поразмыслить еще, то мы вспомним, что утеря информации несет за собой упорядочивание и уменьшение энтропии, что противоречит второму закону термодинамики, гласящем о том, что энтропия замкнутой системы постоянно не убывает. Об этом впервые высказался американский физик Джон Уиллер.

Стивен Хокинг, Credit: New ScientistСтивен Хокинг, Credit: New Scientist

Ага. Эта штука называется голографическим принципом и говорит о том, что любая n-мерная система с i-тым количеством информации экспериментально идентична (n-1)-мерной сфере с тем же количеством информации вне зависимости от того, насколько различны описательные характеристики этих систем. Это в прямом смысле проецирование на экран в кинозале ведь с помощью двухмерной проекции мы получаем такое же количество информации, что и получал оператор с трехмерной. Черная дыра тот же оператор. Она сохраняет объективную информацию об объекте на своей двухмерной поверхности нулей и единиц, именуемой горизонтом событий и отражает ее в виде излучения Хокинга. И никакого нарушения принципа энтропии.

5-мерное антидесситеровское пространство-время заключено в 4-мерную сферу плоской геометрии (голографический экран). Происходящие процессы внутри сферы и на поверхности сферы разные: например, поведение суперструн в пятимерном пространстве для четырехмерного отражается в виде взаимодействия конформных полей, а черная дыра, которая не может существовать в такой четырехмерной сфере, вовсе превращается в горячее излучение.5-мерное антидесситеровское пространство-время заключено в 4-мерную сферу плоской геометрии (голографический экран). Происходящие процессы внутри сферы и на поверхности сферы разные: например, поведение суперструн в пятимерном пространстве для четырехмерного отражается в виде взаимодействия конформных полей, а черная дыра, которая не может существовать в такой четырехмерной сфере, вовсе превращается в горячее излучение.

А что там с гравитацией?

Как я сказал в самом начале, гравитация тесно связана с информацией, а следовательно, и с энтропией. Хуан Малдасена, струнный теоретик, смог рассмотреть гравитацию через призму голографического принципа, представив модель с n-мерным пространством-временем, где материя подчинена струнному взаимодействию, окруженную (n-1)-мерной сферой, где та самая струнная теория превращалась в квантовую гравитацию. Как? Колебания браны неизбежно приводят к гравитационному взаимодействию на граничащей поверхности. Это была первая попытка показать гравитацию как не первопричину, а следствие какого-то другого фундаментального взаимодействия.

Второй, наиболее успешной попыткой стала статья Эрика Верлинде, вышедшая в 2010 году и взбудоражившая умы СМИ и публики О природе тяготения и законов Ньютона. Верлинде на основании энтропийной природы гравитации удалось вывести законы Ньютона и уравнения Эйнштейна. Давайте приступим к основной части этого материала и рассмотрим основные тезисы его работы.

Эрик Верлинде, Credit: Het ParoolЭрик Верлинде, Credit: Het Parool

В первую очередь, в своем исследовании Верлинде утверждает, что гравитация это явление изменения информации о материальных телах, подчиняющееся голографическому принципу. Зададим энергию двух тел, а также их взаимное положение. По второму закону термодинамики энтропия этой системы останется либо постоянной, либо начнет расти. Рост энтропии будет лишь в том случае, если тела начнут сближаться друг со другом, т.к. это вызовет рост степеней свободы системы в ином случае энтропия будет уменьшаться. Так как энтропия должна расти, тела будут неизбежно вступать во взаимодействие, называемое гравитацией. Это похоже на принцип Гейзенберга и флуктуации частицы невозможно единомоментно определить положение и состояние частицы, потому, например, поместив на дно сосуда частицу, вместо ожидаемого покоя в минимуме потенциальной энергии мы будем наблюдать ее колебания, называемые также флуктуациями.

Для доказательства этих соображений предлагаю рассмотреть частицу массой m, находящуюся на расстоянии x от голографического экрана площадью S. Частица будет неизбежно приближаться к голографическому экрану и их микроскопические степени свободы сольются. В таком случае формула приращения энтропии будет:

\Delta S = 2\pi k_В \dfrac{mc}{\hbar} \Delta x.

Энтропийная сила это ни что иное, как причина компенсировать уменьшение энтропии:

\Delta F \Delta x = T \Delta S,

где T температура.

Известно, что сила связана с ускорением, которое также связано и с температурой. Квантовый эффект Унру гласит, что наблюдатель в ускоренной системе отсчета обладает температурой:

k_В T = \dfrac{1}{2\pi} \dfrac{\hbar a}{c},

где a ускорение. Из вышеполученных выражений несложным образом получаем математическое представление второго закона Ньютона:

F = ma.

Теперь представим область пространства, заключенную в сферу с энергией E и с голографической поверхностью. Вспомним, что емкость сферы пропорциональна площади ее поверхности. Тогда мы можем выразить число битов системы N как:

N = \dfrac{1}{2} Nk_В T .

Также вспомним самую знаменитую формулу физики (или, как минимум, Эйнштейна):

E = mc^2,

где m масса, заключенная в части ограниченного сферическим экраном пространства. Подставив в выражение площадь сферы, равную:

A=4\pi R^2,

получим:

F=G\dfrac{Mm}{R^2}.

Удивительно, но мы приходим к неутешительному выводу о том, что гравитацию можно рассматривать как несамостоятельное явление природы, зависящее от энтропии в рамках голографического принципа. Эрик Верлинде в своем исследовании также заметил, что энтропийную природу может иметь и красное смещение, возникающее вследствие градиентов энтропии специально поэтому я также кратко рассмотрю работу (Easson et al.), рассматривающую темную энергию и ускоренное расширение с точки зрения энтропийной природы гравитации. Последующий пункт будет занят математическими вычислениями, вывод по статье ждет вас в соответствующем разделе. Математика для неподготовленных будет ограничена горизонтальными чертами после второй можете продолжить чтение.


Для начала вспомним, что такое темная энергия. По Общей теории относительности и космологическому принципу масштабный фактор a(t) в FLRW-метрике удовлетворяет уравнению Фридмана:

H(t)^2 = \left(\dfrac{\dot a}{a}\right) = \left (\dfrac{8\pi G}{3} \right) \rho,

где масштабный фактор в настоящий момент равен единице, а плотность энергии компоненты, ответственной за расширение Вселенной, где для расширяющейся ускоренно Вселенной:

\rho = \rho_m + \rho_{\gamma},\rho_m(t) = \rho_m(t_0)a(t)^{-3},\rho_{DE}(t) = \rho_{DE}(t_0)a(t)^{-3(1+\omega)},

а также

\omega = \dfrac{p}{\rho c^2}.

Для значения омеги, равного (-1), получим:

a(t)=a(t_0)e^{Ht},

где

H = \sqrt{\dfrac{\Lambda}{3}} = \sqrt{8\pi G\rho_{DE}}.

Продифференцируем уравнение масштабного фактора по времени и получим:

\dfrac{\delta^p}{\delta t^p} a(t) = H^p, \: t \rightarrow 0.

Подставим полученное в уравнение Фридмана:

a(t)=a(t_0)e^{Ht},

где

\sqrt{3}H=\sqrt{\Lambda}=\sqrt{8\pi G\rho_{DE}}.

Предсказанное таким образом значение плотности темной энергии составляет 1018 ГэВ4. Наблюдаемое же значение равно 10-3 эВ4 отличие на 120 порядков! Во избежание данного казуса авторами статьи было предложено энтропийное истолкование космологической константы. Для этого рассмотрим горизонт голографической поверхности с температурой:

T_{\beta} = \dfrac{\hbar}{k_В} \dfrac{H}{2\pi} \sim 3 \times 10^{-30} K.

Из ранее упомянутого эффекта Унру следует, что горизонт, обладающий температурой, должен неизбежно ускоряться:

a_{horizon} = \dfrac{2\pi c k_В T_{\beta}}{\hbar} = cH \sim 10^{-9} \: m/s^2.

При данном мы можем видеть, как темная энергия становится лишним компонентом теперь мы можем объяснить космологическое ускорение без нее. Исследователи решили сравнить свои теоретические изыскания с нашей моделью Вселенной на примере сверхновых типа Ia. Для этого они взяли стандартную формулу фотометрического расстояния и построили две кривые:

D_L = \dfrac{c(1+z)}{H_0} \int^z_0 \dfrac{\delta z'}{H(z')}.

Ускорение, обусловленное энтропийными силами, как оказалось, обеспечивают такой же гладкий переход кривой в горизонтальное положение, что и в уже классической интерпретации светимости сверхновых.

Краткий вывод

На основании проведенных теоретических опытов, можно сделать вывод о том, что:

  1. Энтропийная трактовка гравитации удовлетворяет теоретическим предположениям для модели, соответствующей релятивистской плоской вселенной и ньютоновской вселенной;

  2. Энтропийная трактовка ускоренного расширения вселенной потенциально способно объяснить природу космологического ускорения без привлечения темной энергии.

Сказать, что это круто ничего не сказать. Мы, вероятно, находимся совсем вблизи от нового научного прорыва, похожего на тот, что совершил Альберт Эйнштейн более ста лет назад. Даже если мы не сможем доказать справедливость голографического принципа для нашей Вселенной, мы откроем для себя новый мир, полный струн не музыкальных, конечно, но и на них поиграть мы сможем. А вообще перед нами новое непаханое поле, которое мы только увидели. В голографическом мире мы можем придумать много нового, что-то даже открыть и не только физическое, но и принадлежащее миру математики или химии. Я думаю, свой вывод каждый сформулировал для себя сам. Для интересующихся я оставляю библиографический список с источниками и с интересными материалами по этой теме:

  1. Самодостаточная для популярного понимания энтропийной гравитации статья на Википедии (ссылка);

  2. Статья Информация в голографической Вселенной на Modern Cosmology (ссылка);

  3. Оригинальная статья Эрика Верлинде (ссылка), а также перевод этой статьи Михаилом Ханановичем Шульманом (ссылка);

  4. Статья Entropic Acceletating Universe на arXiv.org (Easson et al., ссылка);

  5. Статья Голографический принцип первая встреча на Modern Cosmology (ссылка);

  6. Моя статья об энтропии Просто об энтропии: без формул и с бытовыми примерами (ссылка);

  7. Статья Черные дыры и голограммы на Хабре (ссылка);

  8. Супер-пупер статья о голографическом принципе на английском (ссылка).

Ну и напоминаю, о том, чтобы читатель не стеснялся задать вопрос или поправить меня в комментариях. Также у меня есть телеграм-канал, где я рассказываю о последних новостях космологии и астрофизики, а также пишу об астрофотографии. Пишите мне в личку или наш чат. Всем добра!

Подробнее..

Перевод Простое и строгое доказательство 2610 измерений в теории струн

14.09.2020 08:09:56 | Автор: admin


вы нигде не найдете.


По крайней мере, у меня не получилось сделать его таковым. Требование определенного и большого числа пространственно-временных измерений (26 для более простой бозонной теории струн и 10 для более сложных суперструн) это один из наиболее неправильно понимаемых аспектов, который, собственно, является основным источником негативных чувств к данной теории. Придется очень постараться, чтобы объяснить происхождение этих странных чисел неспециалистам.


Строго говоря, действительно магическим числом является не сама D-мерность пространства-времени, а D2 измерений, поперечных струне, в которых она может колебаться (минус один для измерения времени и минус один для измерения, продольного струне). Другими словами, 1D-струна образует в пространстве-времени 2D-поверхность, называемую мировым слоем. Магическое число это число оставшихся направлений, доступных для струны. Так и выходит D-2.



Эта картинка была плохо нарисована по крайней мере тысячу раз, так что пусть будет еще одной плохой картинкой больше


24-поистине мистическое число. Джон Баэз дает фантастический отчет о том, почему его любимое число именно 24 которое является одним из драгоценных камней разбросанных по математике. Некоторые из них выглядят абсолютно ничем иным, как чистой нумерологией:


$ 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + 23^2 + 24^2 = 70^2 $


и это работает только для 24, за исключением 0 и 1, конечно. (Если вы любите сложные математические головоломки, попробуйте доказать это. А я не буду). И уж совсем невероятно, как это забавное тождество связано с неожиданно сложной и увлекательной (чудовищно вздорной) математикой и теорией струн (которая действует как клей для чудовищного вздора). Немаловажное значение имеет рождение 24/2 из ряда:


$$display$$ 1 + 2 + 3 + 4 + \ldots "=" -\frac{1}{12} $$display$$


Собственно, именно поэтому в бозонной теории струн D-2=24. В суперструнах эквивалентным безумием будет:


$$display$$ 1 - 2 + 3 - 4 + \ldots "=" \frac{1}{4} $$display$$


что дает D-2=8. В конце концов, это звучит как случайные несвязанные факты (и факты в кавычках), и хотя каждый из них может быть легко объяснен непрофессионалу, я на самом деле не объясняю, какова должна быть связь с числом измерений в теории струн. Я кажусь сумасшедшим не потому, что говорю что-то неправильное, а потому, что эти вещи непоследовательны и бессвязны. Проблема в том, что соединительная ткань слишком сложна с технической точки зрения, и с математической, и с физической, и с психологической, чтобы я мог ее просто объяснить.


Как с наименьшими возможными усилиями убедить когото, что D-2 = 24? Это намного проще, если этот кто-то принимает сумасшедшее уравнение 1+2+3+... = -1/12; но это явно не удовлетворительно строго. Даже если это можно понять, например, с помощью -регуляризации, то есть с регуляризацией теплового ядра + аналитической перенормировкой (и на этот счет уже есть много материала), то это все равно будет неудовлетворительно, поскольку нет никакой причины, по которой все эти манипуляции должны иметь какое-либо отношение к физике. Возможно ли прийти к правильным результатам без этого сумасшедшего уравнения; то есть, по сути, не сталкиваясь с какой-либо нерегулярностью для регуляризации? Да, конечно. Но как именно кратко и элементарно такое проделать?


Я обнаружил, что доказательства D=26 можно примерно классифицировать как:


  1. Квантование светового конуса
    • с сумасшедшим уравнением. Требуется немного знаний о поляризациях массивных / безмассовых векторных бозонов.
    • без сумасшедшего уравнения. Требуется, по существу, изучить все о квантовании струн / алгебре Вирасоро.
  2. Конформная теория поля
    • без сумасшедшего уравнения. Требуется знание конформных теорий поля и конформных аномалий.
  3. Модулярная инвариантность
    • с сумасшедшим уравнением. Требует довольно элементарной квантовой механики и математики.
    • без сумасшедшего уравнения. Требуется элементарная КМ, но с базовым нудным комплексным анализом.

Доказательство 1.1, я недавно привел здесь. Это довольно просто, но вы должны доверять сумасшедшему уравнению. Другое доказательство с сумасшедшим уравнением 3.1, находится в слайдах Баэза.


Доказательства, свободные от безумия, любопытным образом образуют нечестивую Троицу. Каждое из них требует знания только из одной вершины треугольника, который образуют:


  • Теория струн
  • Теоретическая физика
  • Математика

Доказательство 1.2 является наиболее распространенным во введении в теорию струн, так как вы уже изучаете необходимую физику струн в любом случае, и это математически не пугает. Доказательство 2.1 предназначено для более углубленного изучения и дает очень четкую физическую интерпретацию критического числа измерений, поскольку оно непосредственно связано с отменой конформной аномалии. Доказательство 3.2 я никогда раньше не видел оно кажется идеальным для людей, которые знают что-то из базового комплексного анализа (теорема вычетов и все такое) и некоторые азы квантовой механики, что не требует почти никаких знаний о физике струн.


Я очень старался выжать простое доказательство, которое является "строгим" (не использует сумасшедшее уравнение), но у меня ничего не вышло. Я пришел к убеждению, что три вершины треугольника следует понимать как перевод на разные языки одного и того же концептуального ядра, и это ядро нередуцируемо. Так что если два звена в цепи доведены до минимальной сложности, то третьему приходится все это съедать.


Все, что у меня вышло это следующая реализация доказательства 3.2. Оно отодвинет теоретическую и струнную физику на задний план и сосредоточит внимание на математике, то есть будет максимально строгим с математической стороны (хотя иногда будут замахи и на физику). Доказательство будет довольно длинным, но я нахожу его удовлетворительным. Мы соберем 24 по частям (как 2, умноженное на 3, умноженное на 4). Считайте это письмом с извинениями за освобождение 1+2+3+...=-1/12 в дикую природу.


Пруф


Мы уже говорили о мировой поверхности, которую струна образует в пространстве-времени. На этой поверхности мы можем установить систему координат $(\sigma^1,\sigma^2)$. Очевидно, что, хотя наблюдаемые могут быть записаны в терминах этих координат, они должны быть инвариантны при изменениях координат $(\sigma^1,\sigma^2) \rightarrow (\sigma^{1}\prime,\sigma^2 \prime)$. В конце концов, координаты изначально произвольны. Простым примером (локального) изменения координат является растяжение/масштабирование:


$ (\sigma^1, \sigma^2) \rightarrow (\lambda \sigma^1, \lambda\sigma^2) $


Итак, мы понимаем, что наблюдаемые в нашей теории должны быть инвариантны при таких масштабированиях. Это легко сделать классически, но становится очень нетривиальным, когда проблема переходит в удел квантовой механики. Эта масштабная симметрия является частью так называемой конформной симметрии мировой поверхности теории струн.


Представьте себе ситуацию, в которой струна делает петлю во времени, оставляя торовидный след в пространстве-времени. Конечно, множество возможных форм торов это все равно правильный выбор. Мы хотим вычислить вероятность того, что этот процесс произойдет с определенной формой тора, или лучше, квантовой амплитудой, квадрат модуля которой является вероятностью. Основной момент квантовой механики состоит в том, что мы можем вычислить амплитуду, суммируя $exp(iE_it)$ по всем возможным состояниям i, каждое из которых имеет энергию $E_i$, через время t. таким образом,


$ Z = \sum_i e^{i E_i t} $


это общая амплитуда. Z должна удовлетворять нашим симметриям.


Важным моментом является то, что составная система AB из двух невзаимодействующих подсистем A и B имеет вид $Z_{AB} = Z_A Z_B$. Благодаря этому хорошему свойству мы можем сначала сосредоточиться на вычислении Z струны, колеблющейся в одном поперечном измерении, а затем возвести ее в степени D-2, чтобы заставить ее колебаться в поперечных измерениях D-2.



Подобно реальным вибрирующим струнам, струны теории струн имеют гармоники, которые являются целыми кратными фундаментальной.


Таким образом, струна почти точно похожа на настоящие гитарные струны и имеет бесконечные режимы колебаний, или гармоники, или обертоны. Каждая из них представляет собой гармонический осциллятор, который в квантовом варианте имеет энергетические уровни


$ E_n = \omega \left( \frac{1}{2} + n \right) $


Так ведь? Таким образом, Z одного квантового гармонического осциллятора будет


$ Z_{QHO} = \sum_{n=0}^\infty e^{i E_n t} = e^{\frac{i}{2}\omega t} \sum_{n=0}^\infty e^{i n \omega t} = \frac{e^{\frac{i}{2} \omega t}}{1 - e^{i\omega t}} $


Геометрический ряд, который я только что суммировал, кажется, имеет отношение |r| = 1, что означает, что он на самом деле не сходится. Давайте сорвем повязку прямо сейчас: такие вот Z, определенные наивно как у нас, почти никогда не сходятся в лоренцевой (то есть пространственно-временной) теории. Часто мы, физики, говорим, что они осциллирующие, потому что мы суммируем кучу множителей exp(ix), а затем махаем руками, дескать, они каким-то волшебным образом отменяются, но это дешевая ложь мы просто имеем в виду, что они не сходятся. Это справедливо не только в теории струн, но и для всей квантовой теории поля, или для стандартной квантовой механики, или даже для низкочастотного квантового гармонического осциллятора.


И что дальше? Правильней будет сделать время комплексной переменной. Придавая ему мнимую часть, мы заставим Z сходиться. Мало того: когда вы вычисляете из этого непосредственно наблюдаемые величины, а затем возвращаете t обратно к реальной оси, вы восстанавливаете разумные ответы (которые соответствуют эксперименту, когда это возможно). Итак, это не трюк; этот рецепт наше определение того, что значит иметь квантовую теорию в пространстве-времени (не волнуйтесь, предположим, что t является сложным и в верхней полуплоскости Im t > 0.).


Чтобы вернуться в нужное русло, мы предположили, что одна струна в одном измерении имеет бесконечные моды колебаний, которые явно имеют частоты, кратные фундаментальной. На самом деле =1,2,3,... и поэтому Z для нашей 1D-струны является произведением


$ Z_{1,L} = \prod_{k=1}^\infty \frac{e^{\frac{i}{2}k t}}{1- e^{ikt}} = e^{\frac{i}{2} (1+2+3+\ldots)t } \left(\prod_k 1- e^{ikt}\right)^{-1} $


и со всего размаху бухаемся на дно. Безумие 1+2+3+ ... вновь настигло нас. Если бы мы были слабы духом, мы бы поддались и заменили его 1+2+3+...-1/12, и получили бы правильный ответ, пропустив почти всю математику в этой статье. Но мы здесь не для этого, мы здесь для того, чтобы выдавить 24 без использования колдовства. Поэтому давайте продолжим.


Почему расходящаяся сумма вообще появилась в этом показателе? Если вы проследите наши расчеты назад, то увидите, как оно вылазит из нулевых энергий КГО $ E_0 = \frac{\omega}{2} $. Однако энергии нулевого уровня произвольны, и это был просто полезный традиционный выбор. В конечном счете существует двусмысленность в построении квантового ГО из классического ГО, называемая упорядочивающей двусмысленностью, поскольку вам нужно преобразовать коммутирующие переменные p, q в некоммутирующие операторы $\hat p, \hat q$, и нет никакого предпочтительного квантования таких вещей, как pq. Нужно квантование $\hat p, \hat q$? Или $\hat p, \hat q$? Разницей будет константа произвол в энергии нулевой точки. Таким образом, наш самый консервативный заклад заключается в том, что нулевые колебания здесь фактически суммируются до конечного, но неизвестного значения:


$ Z_{1,L}^{-1} = e^{-irt} \; \prod_k 1 - e^{ikt} $


где r неизвестное вещественное число. Обратите внимание, что безумный расчет дал бы магическое значение r = 1/24. Итак, потребуется парочка трюков:


  • Я собираюсь показать, используя симметрию, что 1 / r это число поперечных измерений.
  • Я собираюсь показать, используя другую симметрию, что r = 1/24 в любом случае, даже без 1+2+3+...=-1/12

Чтобы начать говорить об этих симметриях, мне нужно связать мою переменную t с формой тора. Связь заключается в том, что тор строится путем склеивания одноцветных ребер в этом параллелограмме:



где t представляется в виде точки на комплексной плоскости. (Сторону 2 выбрали чтоб частоты =1,2,3,... были целыми числами). Или для чистоты нотации примем =t/2 (+ простое масштабирование, которое, я напоминаю, является симметрией):



Заметим, что при приближении к вещественной оси тор вырождается. Это имеет физический смысл: может ли струна действительно замкнуться в себе в реальном времени? Это было бы путешествие во времени. Такое может произойти только во мнимом времени (по крайней мере, в верхней полуплоскости).


При определении $q:=e^{i2\pi\tau}$, наша $Z_{1, L}$ становится


$ Z_{1,L}^{-1}(\tau) = q^r \; \prod_k (1-q^k) $


Трюк первый


Прежде всего, если мы сдвинем +1, то получим разные параллелограммы



но они образуют один и тот же тор после склеивания (проверьте это!). Если форма на самом деле не меняется, то и физические величины не должны меняться.


Однако при этом преобразовании наша амплитуда действительно преобразуется:


$ Z_{1,L}^{-1} \rightarrow e^{2\pi i r} \, Z_{1,L}^{-1} $


Это не имеет смысла пока мы не вспомним, что это только для одного измерения. Для поперечных размеров D2 полная амплитуда равна $Z^{D-2}_{1, L}$, и она останется инвариантной, если


$ r(D-2) = 1 $


это уравнение определяет критическое измерение теории струн. Если мы найдем целое значение 1 / r, то теория будет иметь смысл только в D = 1/r+2 пространственно-временных измерениях.


Теперь доказать, что r = 1/24, будет не так просто. Чтож, попробуем.


Второй трюк


Другая симметрия, которую мы будем рассматривать, это -1/. Полученные торы не идентичны, но они похожи это масштабированные версии друг друга. Вы можете проверить, что исходная сторона 1 совпадает с новой стороной -1 / , а исходная сторона совпадает с новой стороной 1. Как мы уже говорили, масштабирование мирового пласта должно быть симметрией.


Таким образом, полная амплитуда должна быть инвариантной; однако мы не должны ожидать этого от $Z^{D-2}_{1, L}$. А? Разве $Z^{D-2}_{1, L}$ не является полной амплитудой? Нет, я солгал, чтобы защитить вас от суровой правды. Истина (часть ее) состоит в том, что колебания на струне всегда происходят парами. Существует множество возможных характеристик этой дихотомии: левые и правые движущие силы, голоморфные и антиголоморфные, синус и косинус


Важно то, что для нашего $Z_{1, L}$ (L теперь понимается как левый) также будет парный $Z_{1, R}$ для сестринских колебаний. К счастью, я просто махну рукой, что $Z_{1, R} = Z_{1, L}^*$ так, чтобы общая амплитуда была произведением $|Z^{D-2}_{1, L}|^2$.


Однако это еще не все: хотя мы и учитывали колебания струны относительно опорного положения, нам также необходимо учитывать общее движение центра масс в пространстве. Мы хотим, чтобы струна вернулась в исходную точку через время , если мы хотим, чтобы она замкнулась в тор; но мы не можем просто хотеть этого, нам нужно включить амплитуду вероятности, чтобы это заработало.


Какова амплитуда вероятности того, что квантовая частица в 1D останется в одном и том же месте через определенное время? Намек состоит в том, что для чисто мнимых времен уравнение Шредингера является уравнением теплопроводности. И бесконечно концентрированное пятнышко тепла эволюционирует в соответствии с уравнением теплопроводности в 1D, распространяясь в гауссовский пик, пик которого уменьшается как $(time)^{-1/2}$. Таким образом, позвольте мне предположить, что амплитуда для центра масс примерно такова


$ (\Im \tau)^{-1/2} $


Если это так, то, общая амплитуда должна быть примерно такой


$ Z \sim (\Im \tau)^{-\frac{D-2}{2}} \, | Z_{1,L} |^{2(D-2)} $


и для 1/:


$ \Im \tau \rightarrow \frac{1}{ | \tau |^2} \Im \tau $


поэтому, если бы $Z_{1, L}$ была трансформирована как-то так


$ Z_{1,L} \rightarrow \tau^{-1/2} Z_{1,L} $


наша общая амплитуда была бы инвариантной, и тогда теория имела бы смысл. Теперь я собираюсь доказать, что это может произойти только в том случае, если r=1/24.


Колдовство


Давайте сделаем некоторые предварительные переобозначения


$ Z_{1,L}^{-1} (\tau) = q^r P(\tau)\,,\quad P(\tau) := \prod_{\ell=1}^\infty (1-q^\ell) $


Тогда, наиболее удобным вариантом представления произведения P() будет:


$-\log P(\tau) = - \sum_{\ell=1}^\infty \log(1-q^\ell) = \sum_{l,k = 1}^\infty \frac{1}{k} q^{k\ell} = \sum_{k = 1} \frac{1}{k} \frac{q^k}{1-q^k} = \sum_{k=1} \frac{1}{k} \frac{1}{q^{-k} -1} $


Я использовал разложение Тейлора для -log(1-x) и геометрический ряд. Если вы не уверены, вы можете более тщательно проверить, разумны ли эти шаги (включая своп суммы) для Im >0.


Следующий психоделический аргумент принадлежит Зигелю (да, именно Зигелю). Мы начинаем без видимой причины вот с такой функции комплексной переменной w, с в качестве параметра:


$ f(w) = \cot w \cot \frac{w}{\tau} $


а затем, вводя еще один реальный параметр $\nu$ (наш завершающий ход будет заключаться в том, чтобы устремить его в бесконечность), мы строим комбинацию


$ g(w) = \frac{f(\nu w)}{w} $


Давайте посчитаем полюса g. Быстрый осмотр показывает, что существует набор простых полюсов при w=nkv и еще один при w=nktv, для k=1,2,3,...; плюс тройной полюс при w=0. Вычеты легко вычисляются следующим образом:


$ \operatorname{Res}_{\pm\frac{\pi k}{\nu}} g = \frac{1}{\pi k}\cot \left( \frac{\pi k}{\tau} \right)\\ \operatorname{Res}_{\pm\frac{\pi k \tau}{\nu}} g = \frac{1}{\pi k}\cot \left( \pi k \tau \right)\\ \operatorname{Res}_{0} g = - \frac{1}{3} (\tau + \tau^{-1}) $


Если вычет в тройной точке (полюс третьего порядка) не кажется очевидным, вспомним, что разложение Тейлора котангенса в нуле начинается $\cot s \sim \frac 1 s - \frac s 3$.



График g (w), для ( = i), ( = 1). Белые пятнышки это полюса, и порядок таков, сколько раз цвета повторяются вокруг них.


Теперь должно быть ясно, что g нам для применения теоремы вычетов. Рассмотрим траекторию бегущую против часовой стрелки вокруг параллелограмма с вершинами 1,,1,.


Теорема вычетов гласит:


$ \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(\nu w)}{w} d\omega = \sum_{p \in \operatorname{poles}} \operatorname{Res}_p g $


Сумма на самом деле пробегает по полюсам, которые находятся внутри параллелограмма, но мы скоро увидим, что это не то, о чем нам следует беспокоиться.


Теперь я хотел бы использовать это уравнение, чтобы доказать тождество, которое нам действительно нужно. Однако я докажу это только для на мнимой оси, потому что это проще, но на самом деле это будет верно для всех Im >0. Поскольку обе части уравнения, которое я выведу, голоморфны в над верхней полуплоскостью, их согласия на прямой достаточно, чтобы доказать, что они всегда равны. Короче говоря, предположим, что пока чисто мнимое, но в конце мы можем просто отбросить это предположение.


Заделаем же интеграл на параллелограмме, который теперь ромб. Для $g(w)=f(\nu w)w^{1}$, кажется, первообразную сходу не отгадаешь. Итак, возьмем предел . Нетрудно заметить, что f(vw) сходится к константе (1,-1,1,-1) соответственно на четырех отрезках (если вы ее не видите, запишите ее с помощью комплексных экспонент). Таким образом, в пределе интеграл равен


$ \left( \int_1^\tau - \int_\tau^{-1} + \int_{-1}^{-\tau} - \int_{-\tau}^{1} \right) \frac{dw}{w} $


Легкотня! Интеграл от 1/w это log w, так что позвольте мне просто приписать его и ААА! Контур обхода! Нам нужно выбрать обход для логарифма и убедиться, что он не перепрыгивает через берег разреза. Мы можем использовать симметрию чтоб переписать


$ 2\left( \int_1^\tau + \int_1^{-\tau} \right) \frac{dw}{w} $


и теперь, когда весь путь находится справа, мы можем использовать отрицательную действительную ось в качестве берега разреза и, таким образом, использовать главную ветвь логарифма. Просматривая весь путь, получаем


$ 4 \log \left(\frac{\tau}{i} \right) $


Славненько. Теперь о вычетах. Если , то все полюса сжимаются и приближаются к началу координат; таким образом, в пределе все они находятся внутри ромба, а сумма идет по всем полюсам. Таким образом, сумма равна


$ -\frac{1}{3} (\tau + \tau^{-1}) + 2 \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{1}{\pi k} \cot(\frac{\pi k}{\tau}) + \frac{1}{\pi k} \cot(\pi k \tau) \right) $


на случай, если кто не помнит


$ \cot s = \frac{ e^{is} + e^{-is} }{e^{is} - e^{-is} } = \frac{1 + e^{-2is}}{1 - e^{-2is}} = -1 + \frac{2}{1-e^{-2is}} $


и наша сумма вычетов:


$ -\frac{1}{3} (\tau + \tau^{-1}) + \frac{4}\pi \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} \left( \frac{1}{1-e^{-\frac{2\pi i k}{\tau}} } - \frac{1}{ 1- e^{-2 \pi i k \tau} } \right) \\ =-\frac{1}{3} (\tau + \tau^{-1}) + \frac{2}{\pi} \left(\log P(-1/\tau) - \log P(\tau) \right) $


Наконец-то мы возвращаемся на Землю. Это начинает выглядеть как теорема о нашем произведении P(). Теперь, когда у нас есть обе части равенства, давайте воспользуемся теоремой вычетов.


$ \frac{1}{2} \log\left(\frac{\tau}{i} \right) = - \frac{\pi i}{12} (\tau + \tau^{-1}) - \left(\log P(\tau) - \log(P(-1/\tau) \right) $


А вот и наше магическое число! По крайней мере, половина. Это все еще выглядит как тарабарщина, хотя давайте для пущей наглядности перейдем к экспонентам:


$ e^{\frac{2\pi i / \tau}{24}} P(-1/\tau) = \sqrt{\tau/i} \; e^{\frac{2 \pi i \tau}{24}} P(\tau) $


Казалось бы, ничего особенного, но комбинация


$ \eta(\tau) := e^{\frac{2\pi i \tau}{24}} P(\tau) = q^{\frac{1}{24}} \prod_{k=1}^\infty (1-q^k) $


как мы недавно доказали, красиво трансформируется при преобразовании -1/:


$ \eta(-1/\tau) = \sqrt{\frac{\tau}{i}} \eta(\tau) $


И это все! Именно это мы и искали! Чтоб преобразовать $Z^{-1}_{1, L}(\tau)$ во что надо, замечаем, что оно должно быть самим (), и поэтому r=1/24, и поэтому, наконец


$ D = 26 $


Выводы


Из-за философии, лежащей в основе всего этого поста, чтобы использовать математику как можно более элементарно и чтобы она была самодостаточной, мы ускорили то, что на самом деле является невероятно увлекательной (и, конечно же, гораздо более элегантной) математикой. () это, конечно, функция Дедекинда, и мы доказали ее свойства преобразования в модулярной группе; точнее, что модулярный дискриминант $\Delta(\tau):=(2\pi)^{12}\eta^{24}$ является модулярной формой веса 12. Теория струн тесно связана с этой областью математики; на самом деле я надеюсь, что для тех, кто уже знает этот материал, это послужило беглым взглядом на то, что струны даже имеют отношение к модульным формам. В любом случае, я не думаю, что могу судить предмет, который я на самом деле едва знаю по-верхам, так что тут попримолкну.


Иногда всплывает интересный вопрос: если это так неправильно, то почему 1+2+3+...=-1/12, или -регуляризация / тепловое ядро / суммирование Абеля или как бы вы это ни называли, дают малой кровью тот же правильный результат, что и более строгие пути?


У меня нет ни малейшего представления, почему оно так выходит.


Инстинктивно я бы пробормотал что-нибудь о физическом резоне или аналитичности, но, честно говоря, это просто чистое безумие. Это определенно не совпадение, потому что тот же трюк работает и для суперструн. На самом деле я даже не уверен, какова точная взаимосвязь между тремя различными классами доказательств, они выглядят как совершенно разные рассуждения. В квантовании светового конуса при первом чтении вы даже не понимаете, как масштабная / конформная инвариантность вписывается она очень глубоко зарыта. И если вы случайно знаете какую-то конформную теорию поля, посмотрите, как это доказательство строит 24. Они звучат совсем не как переводы одного и того же, хотя должны.


Удивительно, как много информации о содержании теории несут доказательства D=26 (или D=10), и как много вы уже узнаете о струнах, просто пытаясь объяснить то, что по существу является самым основным фактом теории. Это наглядный пример того, что в теории струн все сходится, ничего не бросается туда просто так, все существенно.


Дополнение


Возможно, существует более быстрое доказательство, если принять теорему Эйлера о пятиугольных числах


$ P(\tau) = \prod_{k=1}^\infty (1-q^n) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} (-1)^k q^{k(3k-1)/2} $


Если вы выделите квадрат в экспоненте вы можете переписать


$ P(\tau) = q^{-1/24} \sum_{k=-\infty}^{\infty} (-1)^k q^{\frac{3}{2}(k-\frac{1}{6})^2} $


таким образом


$ \eta(\tau) = q^{1/24} P(\tau) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} (-1)^k q^{\frac{3}{2}(k-\frac{1}{6})^2} $


С в таком виде уже реально доказать $\eta(1/\tau)=\sqrt{\tau/i}\eta(\tau)$ используя суммирование Пуассона.


Тем не менее, обращение к теореме Эйлера определенно похоже на мошенничество, поэтому я не пошел по этому пути.

Подробнее..

Категории

Последние комментарии

  • Имя: Макс
    24.08.2022 | 11:28
    Я разраб в IT компании, работаю на арбитражную команду. Мы работаем с приламы и сайтами, при работе замечаются постоянные баны и лаги. Пацаны посоветовали сервис по анализу исходного кода,https://app Подробнее..
  • Имя: 9055410337
    20.08.2022 | 17:41
    поможем пишите в телеграм Подробнее..
  • Имя: sabbat
    17.08.2022 | 20:42
    Охренеть.. это просто шикарная статья, феноменально круто. Большое спасибо за разбор! Надеюсь как-нибудь с тобой связаться для обсуждений чего-либо) Подробнее..
  • Имя: Мария
    09.08.2022 | 14:44
    Добрый день. Если обладаете такой информацией, то подскажите, пожалуйста, где можно найти много-много материала по Yggdrasil и его уязвимостях для написания диплома? Благодарю. Подробнее..
© 2006-2024, personeltest.ru