Gravity

Сразу оговорюсь, что деление на века немного условно. Например, спутниковая интерферометрия используется с конца 1980-х годов, при этом высококачественные данные стали общедоступными только в 2000-х годах. Трехмерные модели тоже отнюдь не новинка, и делали их ну очень давно ведь и плоская Земля на трех китах вполне себе объемная модель. Так в чем же разница геологии века прежнего и настоящего?

Слева фрагмент геологической карты США, справа 3D геологическая модель с интерферограммой на поверхности рельефа по данным радарной спутниковой съемки (на шкале Density Gradient,% является характеристикой неоднородности геологической плотности, а Band Magnitude обозначает разность фаз отраженного сигнала радара для пары разновременных снимков)

Геология: ремесло или наука

Как нам подсказывает википедия:

Геология (от др. -греч. Земля + учение, наука) совокупность наук о строении Земли, её происхождении и развитии, основанных на изучении геологических процессов, вещественного состава, структуры земной коры и литосферы всеми доступными методами с привлечением данных других наук и дисциплин.

Таким образом, геология требует использования знаний и методов многих разных наук. Думаю, многие геологи согласятся с такой формулировкой: мастерство геолога заключается в умении интерпретировать данные разных наук и масштабов для построения непротиворечивой геологической модели. Вдумайтесь с течением времени все науки делятся на множество специализаций, а геология требует знания и применения различных наук, не говоря уже о знании самой геологии. Конечно, и геологи тоже специализируются на разных разделах геологии, но об этом как-нибудь в другой раз. При этом многие геологические эксперименты не воспроизводимы из-за своей сложности или продолжительности, а результат интерпретации всех данных зависит от опыта геолога и того, насколько он понимает и умеет использовать разнородные данные.

Век XX

Как мы обсудили выше, физика или математика или наука о данных (data science) сами по себе ценности для геологов не представляют все зависит от того, насколько каждый геолог способен понять их и интерпретировать имеющиеся данные. Общедоступны ли геологические данные в условиях, когда для их получения нужен доступ к специальным архивам (бумажным) и, зачастую, авторам этих данных для получения объяснений? Повторимы ли результаты геологических обследований, выполняемых геологоразведывательными группами из десятков и даже сотен специалистов годами и даже десятилетиями? Может ли физик или математик или специалист по данным получить геологически значимые результаты без участия геолога? За редким исключением, ответ очевиден.

На картинке до хабраката показан фрагмент геологической карты США, достаточно точной пространственно и качественной но только для определенного масштаба. Просто взять и сравнить эту карту с другими данными [очень] сложно, равно как и оценить степень совпадения и имеющиеся отличия (а тем более найти их причины).

Век XXI

Что изменилось в нашем веке? Многое, или даже почти все. Данные стали как общедоступными, так и регулярными благодаря дистанционному зондированию Земли с искусственных спутников Земли. В предыдущей статье я перечислил лишь некоторые из общедоступных наборов данных Общедоступные данные дистанционного зондирования Земли: как получить и использовать и многие из них обновляются для каждой точки поверхности планеты каждые несколько дней, так что мы можем проанализировать изменения, их динамику, оценить зашумленность данных, да и просто работать с этими данными с помощью всей мощи статистических методов. Вместо работы со статичной моделью без возможности ее валидации стали доступны динамические модели и разнообразные методы их оценки.

На картинке до хабраката справа на поверхности рельефа показана интерферограмма (смещение каждой точки земной поверхности в единицах длины волны радара), полученная по разновременной паре радарных снимков Sentinel-1 (до и после близкого к поверхности землетрясения в центре). Сама модель посчитана методом инверсии по данным точного рельефа США, подробности смотрите в предыдущей статье Методы компьютерного зрения для решения обратной задачи геофизики. Поскольку нам известны точные координаты как спутниковых снимков, так и участка рельефа, мы легко совмещаем их. На интерферограмме мы видим разломы как линии разрыва значений фазы, отражающие поверхности как резкие границы, позиции максимального смещения геологических блоков как центры колец Добавим, что направления и значения смещений также вычисляются по радарным данным. На картинке внизу слева показана статичная модель и справа к ней добавлены (черным пунктиром) линии смещения геологических блоков:

Разломы можно выделять старым добрым геологическим методом линеаментным анализом. Линеаменты представляют собой геологически значимые штрихи, получаемые с помощью преобразования Хафа на рельефе или космических снимках. Преобразование Хафа выполняется легко (также доступно во множестве библиотек, например, OpenCV), а вот геологически значимые штрихи это те, которые сочтет значимыми геолог. Мда. Так вот теперь мы можем выделенные штрихи просто сравнить с интерферограммой для выделения из них геологически значимых.

На следующей картинке показано сечение модели через эпицентр землетрясения правый от центра блок поднялся вверх и левый от центра опустился вниз в результате этого сейсмического события:

Откуда мы это знаем? Да мне знакомый геолог сказал. Серьезно. А еще мы можем посчитать значения вертикального смещения (в миллиметрах, кстати, это к слову о точности) и убедиться в этом без помощи геолога. На картинке выше хаброката показана фазовая картинка, обратите внимание на порядок чередования окраски полос (желтым или красным к центру) и поведение рельефа для работающих с интерферограммой специалистов достаточно первого, а для опытного геолога достаточно второго. А можно просто взять и программно посчитать вертикальное смещение поверхности в каждой точке (vertical displacement). Кстати, для анализа смещения при наличии шумов и разрывов используются алгоритмы роутинга на растре задача нетривиальная, поскольку при миллиметровой точности измерений в результате землетрясений возможны вертикальные разрывы поверхности Земли в метры и десятки метров.

Итак, сопоставляя статичную геологическую модель с интерферограммой, мы можем детально проверить положения разломов при их выходе на поверхность, местоположения центров геологических блоков, ограниченных этими разломами, направления и значения смещения геологических блоков и все это сделать без участия геолога! Кроме того, анализируя интерферограммы по серии снимков (есть примеры анализа лет за 40), можно узнать еще больше. Стоит отметить, что это лишь один из примеров. Например, по данным спутниковых гравитометров публикуются модели движения геологических масс, по данным спутниковых магнитометров изучается движение расплавов и жидкостей, Само собой, и геолог, получивший такие результаты, сможет дать намного более точный прогноз о состоянии вулканов, разрушительности и вероятности землетрясений, перспективах бурения на полезные ископаемые и так далее.

В рамках одного из моих SDK-проектов нам понадобилось добавить скриптование, которое бы оказало наименьший эффект на размер конечного бинарного файла, но при этом предоставляло хорошую фунциональность. Это дало старт проекту, который описан в этой статье. Прошу заметить, что т.к. в SDK у нас есть определенные требования, они частично перенеслись на язык скриптования, поэтому в проекте не участвовали некоторые достаточно известные встраиваемые ЯП (но Lua включен для сравнения).

Сайт проекта доступен по ссылке https://gitlab.com/nuald-grp/embedded-langs-footprint Скажу сразу, что на данный момент для меня лично победителем является Chibi-Scheme. Подробности для заинтересовавшихся под катом.

Требования были следующие:

• Максимальная переносимость (только C/C++).
• Достаточно строгая типизация (не позволяющая складывать апельсины с яблоками), соответственно реализации ECMAScript не рассматривались.
• Удобство минимизации самих скриптов (например, чтобы можно было безопасно удалить все переносы строк), соответственно реализации Forth, Lua и Python не рассматривались.
• Лицензия, дружелюбная к коммерческим проектам.

Изначальный список был взят с проекта, в котором они пытаются учесть все возможные встраиваемые ЯП: https://github.com/dbohdan/embedded-scripting-languages Возможно, список не полный, и не содержит дополнительные ЯП, которые могли бы удовлетворять вышеуказанным требованиям. Если вы знаете о таких, пожалуйста, дайте мне знать либо в личку, либо комментарием.

Тестовый код для всех ЯП включал в себя создание и вызов функции, которая складывает "Hello, " и результат вызова внешней (C/C++) функции, возвращающей "world". Код функции представлен в таблице как образец синтаксиса. Конечный исполняемый файл скомпилирован с оптимизацией по размеру и с удалением всех ненужных символов (GCC -s).

Также должен отметить, что хотя изначальный список был достаточно большой, в итоге вышеуказанным требованиям удовлетворили всего 8 ЯП (Lua в списке только для сравнения):

Описание и документация по этим ЯП приведены в GitLab-проекте, здесь же хочу поделиться своими впечатлениями:

• ChaiScript очень интересный наверное самой простой по удобству встраивания, плюс поддерживается крупными компаниями. К сожалению, тот факт, что он состоит только из заголовочных файлов, очень сильно замедляет компиляцию (мой Dell XPS 13 компилирует минимум 2-3 минуты). Также, он достаточно сильно увеличивает размер исполняемого файла.
• Gravity может понравится любителям Swift. Достаточно интересный ЯП, но к сожалению, не так много документации. Ориентирован на мобильную разработку.
• Squirrel достаточно компактный, но достаточно сложно встраивать (любая ошибка в работе со стеком вызовов приводит к краху приложения у них недостаточно хорошая система обработки ошибок).

Chibi-Scheme стал победителем, т.к. поддерживает современный компактный Scheme (R7RS) и имеет достаточно большую дополнительную библиотеку (плюс стандартная библиотека Scheme и возможность использовать уже написанный код). Естественно, встраивание библиотек увеличит конечный код, но даже без библиотек он может полноценно работать (тестовый код не встраивал init-7.scm полностью, а только добавил процедуру string-append).

Встраивание внешних процедур достаточно простое (хотя я вставил лямбду, Chibi-Scheme полноценно работает с чистым C):

res = sexp_define_foreign(*ctx, sexp_context_env(*ctx), "read", 0,                          [](sexp ctx, sexp self, sexp_sint_t n) -> sexp {                            return sexp_c_string(ctx, "world", -1);                          });

Из интересных дополнительных модулей хотел бы отметить:

• (chibi crypto rsa) RSA-шифрование
• (chibi json) операции с JSON
• (chibi net http-server) HTTP-сервер

К сожалению, документация не богатая, но компенсируется доступом ко всему исходному коду. Плюс, Chibi-Scheme известен в своих кругах, и не будет потенциально брошен или переведен в режим минимальной поддержки, как некоторые другие потенциальные кандидаты.

Буду рад услышать все комментарии, и рассмотреть другие ЯП в рамках вышеупомянутых требований. Исследование до сих продолжается, и возможно победитель сменится, но это уже будет зависеть от вас.

Взаимосвязь рельефа и силы тяжести напоминает известную проблему курицы и яйца. С одной стороны, рельеф несомненно влияет на измеряемую на его поверхности силу тяжести уровень рельефа определяет расстояние до центра масс планеты, а возвышения рельефа содержат дополнительные притягивающие массы. С другой стороны, сила тяжести так же несомненно влияет на рельеф, что особенно заметно в океанах, форма поверхности которых повторяет аномалии силы тяжести. Мало этого, на поверхность рельефа воздействуют ветровая и водная эрозия и множество других факторов, так что характер взаимосвязи рельефа и силы тяжести становится сложно предсказать. Космические снимки также воспроизводят формы рельефа вместе с формами и цветами растительности и всего прочего на этом рельефе, так что характер взаимосвязи снимков и рельефа оказывается еще менее очевидным.

К счастью, поле силы тяжести и рельеф поверхности нашей планеты обладают свойством фрактальности, то есть самоподобия на разных масштабах, что и является ключом для определения характера связи между ними.

Измерение фрактальной размерности

Существует множество способов определения фрактальной размерности, и общего у них только наличие характерного пространственного масштаба. Можно производить вычисления фрактальности в пространственной области, а можно и в частотной (компоненты пространственного спектра), дифференцировать и интегрировать Секрет в том, что всё многообразие способов дает схожие результаты и выбор конкретного способа довольно произволен, важно лишь понимать, как результаты выбранного метода вычислений сопоставить с результатами других методов (Gneiting et al., 2012).

Возможно, фундаментальная математика это совсем не то, что вы ожидаете найти в этой публикации, но нам и не потребуются серьезные знания в области интегродифференциального и кумулянтного исчислений мы ограничимся обзорной экскурсией в некоторые из их свойств.

Производная (или дифференциал) означает наклон или приращение кривой, а интеграл (или отрицательная производная) означает заполнение или площадь под кривой. Таким образом, для произвольной кривой (одномерного сигнала) дифференциальный способ оперирует ломаной, характеризующей границу кривой, а интегральный способ площадью под кривой. Удивительно здесь то, что и дифференцирование и интегрирование задают пространственный масштаб, или окно вычислений. С интегралом сразу понятно, ведь площадь, очевидно, зависит от ширины фигуры под кривой, а вот с дифференциалом все не так просто. Подумаем, сколько значений минимально необходимо для вычисления первого дифференциала. Очевидно, два ведь нам нужно посчитать разницу между ними. А для второго дифференциала нам нужно вычислить разницу между двумя первыми дифференциалами, каждый из которых требует два значения и, если взять одно общее значение для вычисления первых дифференциалов, то потребуется три значения. Как видим, для вычисления N-го дифференциала необходимо N+1 значений. Значит, степень производной (дифференциала) также определяет пространственный масштаб. Таким образом, можно определить фрактальную размерность через интегрирование по отрезку изменяемого размера (окну), или через производные разных порядков (включая дробные и отрицательные, при этом последние соответствуют одной из первообразных, то есть интегралам). За подробностями рекомендую обратиться к публикациям ныне покойного профессора Нижегородского государственного университета имени Н. И. Лобачевского (Университет Лобачевского, ННГУ) Александра Ивановича Саичева, в которых я и нашел связь фрактальности с дробными производными (Саичев, В. А. Филимонов, 2008).

Корреляционная размерность и (поли)спектры определяются наборами значений с заданными расстояниями между ними, то есть содержат пространственный масштаб. Через них, соответственно, тоже можно определять фрактальную размерность. Основой для описания и понимания (поли)спектрального и корреляционного видов анализа является анализ кумулянтный (Дубков, Малахов, 1973). Для детального ознакомления рекомендую к прочтению теоретические и практические работы по кумулянтному и биспектральному (полиспектральному) анализу от преподавателей ННГУ Александра Александровича Дубкова и Германа Николаевича Бочкова, у которых мне посчастливилось учиться. Пользуюсь случаем поблагодарить их обоих, а Германа Николаевича еще и поздравить с юбилеем 80 лет!

Далее мы будем пользоваться вычислением фрактальной размерности через дисперсию компонентов оконного дискретного спектра мощности. В пространственной области аналогичный анализ выполняется круговым преобразованием Радона с дисперсией как базовой функцией. Иными словами, если в ранее нами использованном круговом преобразовании Радона, см. Методы компьютерного зрения для решения обратной задачи геофизики, заменить вычисление среднего значения на дисперсию (стандартное отклонение), тоже получится способ вычисления фрактальной размерности, притом довольно популярный (хотя и под разными названиями) в геологической литературе (см. ссылки в конце статьи). В радиофизике для описания подобных преобразований есть так называемые методы синтеза апертуры, то есть получения большого количества отсчетов вместо одного. Классический пример локатор бокового обзора (эхолот, в том числе) излучает и принимает отраженные сигналы непрерывно и для вычисления расстояния до каждой точки береговой линии или рельефа дна используется множество измерений, что позволяет сильно улучшить точность. Для нашей задачи рассмотрим простой пример можем ли мы определить фрактальность в одной точке рельефа разрешением 10 м? Очевидно, нет. Если же мы проанализируем все точки в кольцах радиуса от 1 до 1000 пикселов (в диапазоне 10 м 10 км для заданного разрешения), включающих от 4х до ~6000 пикселов (2R, где R это радиус кольца), то сможем с высокой точностью вычислить фрактальную размерность. При этом точность вычисления пропорциональна квадратному корню из числа пикселов или радиуса колец. А теперь в игру вступают силы природы если мы наблюдаем фрактальность на масштабе от 1 пиксела и более, эта же фрактальность гарантированно присутствует и на меньших масштабах, хотя мы не можем определить точно граничный масштаб. Небольшое отступление: в лабораторных экспериментах с моделированием динамики фотополимеров мы находили этот граничный масштаб в области сотен нанометров (где молекулы образуют сетчатые структуры и не гауссовые и не фрактальные), так что для геологических исследований граничного масштаба просто нет. Таким образом, благодаря самой сути явления фрактальности, становится возможным обнаружить области залегания фрактальных рудных тел размером значительно менее метра при анализе спутниковых оптических или радарных снимков 5-10 м разрешения (например, Sentinel-1 и Sentinel-2). Смотрите практические примеры в публикации Ударим биспектром по бездорожью, или как найти золото в Сибири. Обратите внимание, что сегодня мы рассматриваем спектральный метод, а не биспектральный, который обладает дополнительным важным свойством исключения гауссовых сигналов и, таким образом, значительно более чувствителен за счет полного игнорирования всех гауссовых помех, представляющих неразрешимую проблему для спектрального анализа на субпиксельных масштабах.

Отдельно отметим, что нет принципиальной разницы между двумерным и одномерным анализом фрактальности. Например, для вышеуказанного метода кольцевого преобразования Радона с базовой функцией дисперсией анализ является одномерным (в кольцах) для двумерных исходных данных. Этому методу можно сопоставить двумерный с вычислением дисперсии в кругах или даже квадратах (упрощаются вычисления ценой ухудшения точности из-за потери радиальной симметрии вариация расстояний от центра до границы квадрата искажает масштаб) соответствующего масштаба. Практическая разница возникает при наличии гауссовых помех, которые мы хотим исключить очевидно, что радиально симметричный анализ более применим для такого случая. В литературе можно встретить вариацию указанных подходов с вычислением количества пикселов, превышающих среднее значение (в кольцах, кругах или квадратах) вместо более устойчивого вычисления дисперсии.

Изостазия и граница фрактальности рельефа и силы тяжести

В статье Легенды и мифы геофизики мы узнали, что среди геофизиков существует миф об отсутствии связи между рельефом и силой тяжести, и показали, что на самом эта связь существует для определенного диапазона масштабов. А теперь разберемся с ней подробнее.

Как мы обсудили выше, нижнего предела масштаба фрактальности рельефа для практических целей не существует, а вот верхний предел есть и геологам он хорошо известен как глубина изостазии:

ИЗОСТАЗИЯ (от изо и греч. состояние), состояние механич. равновесия поверхностной оболочки Земли, при котором на некоторой глубине (обычно принимаемой равной 100150 км) в верхней мантии давление вышележащих пород становится одинаковым. В этом случае избыток или недостаток масс на поверхности Земли компенсируется соответствующим перераспределением масс в её недрах. [Большая Российская Энциклопедия Изостазия]

Заметим, что это определение означает, что ниже глубины изостазии недра нашей планеты ведут себя подобно жидкости, а твердые породы располагаются выше этой границы (см. предыдущую ссылку):

кора плавает в вязкой мантии в соответствии с законом Архимеда, т. е. находится в состоянии гидростатич. равновесия. [Большая Российская Энциклопедия Изостазия]

С учетом известного нам соотношения между длиной волны и глубиной ее гравитационного источника, см. Методы компьютерного зрения для решения обратной задачи геофизики, для пространственных компонент рельефа и поля силы тяжести верхняя граница фрактальности составляет примерно 150-300 км, варьируясь для разных регионов планеты. Вполне очевидно, что (сжатая вязкая) жидкость не обладает свойством фрактальности, в отличие от твердых тел, что и является причиной исчезновения эффекта.

Что интересно, известно об эффекте изостазии уже почти три столетия, и первооткрывателем был тот самый Буге (Бугер), результаты работ которого и сегодня вызывают столько недопонимания, см. Легенды и мифы геофизики:

Данные о том, что вес горного сооружения компенсируется более лёгкими массами на глубине, впервые получил П. Бугер в 1749. Проанализировав результаты экспедиции 1736, он обнаружил, что в предгорьях Анд угол уклонения отвеса от вертикали значительно меньше того, который должны создавать массы горного рельефа. [Большая Российская Энциклопедия Изостазия]

Определение границы Мохоровича (Мохо) по значениям фрактальности и корреляции пространственных спектров рельефа и силы тяжести

Обратимся снова к вышеупомянутой статье энциклопедии:

Амер. геолог Дж. Баррелл в 191415 и нидерл. геофизик Ф. Вейнинг-Мейнец в 1931 развили эту схему изостатич. компенсации. Они предположили, что верхняя часть литосферы является упругой, и использовали решение задачи об изгибе внешними силами упругой плиты, плавающей на жидком основании. [Большая Российская Энциклопедия Изостазия]

Из вышесказанного становится понятно, что фрактальность проявляется максимально для твердого слоя (земной коры), далее резко снижается для слоя упругого и совсем исчезает при переходе к вязкой магме. Граница, или подошва, твердой земной коры определяется так называемой границей Мохоровича (Мохо), и до этой границы наблюдаются высокая фрактальность и корреляция пространственных спектров силы поля тяжести и рельефа близка к единице (100%).

Посмотрим на графики из публикации Легенды и мифы геофизики:

Здесь правый график является диагональным сечением левого. Смещение в начале оси абсцисс на графиках соответствует глубине океана на рассматриваемой территории (2.5 5 км). Очень высокая корреляция (90% и выше) наблюдается до маштаба ~15 км, высокая корреляция (75% и выше) до ~35 км, и дальше наблюдается плавный спад значимости корреляции. Как мы рассмотрели ранее, масштаб, на котором исчезает значимая корреляция, и будет соответствовать достижению изостазии. Для океанского дна на рассматриваемой нами территории граница Мохо расположена на глубине 11 км согласно модели CRUST 1.0: A New Global Crustal Model at 1x1 Degrees, что соответствует длине волны 15 км, как мы и видим на графиках. Граница слоя упругости составит около 25 км (длина волны 35 км). Таким образом, по корреляции компонентов пространственных спектров поля силы тяжести и рельефа можно определить границы Мохоровича (Мохо), упругого слоя и изостазии.

Посмотрим также графики значений геологической плотности, вычисленной по фрактальной размерности батиметрии и поля силы тяжести на поверхности из того же ноутбука:

Горизонтальное смещение кривых плотности вызвано приведением поля силы тяжести к поверхности, а батиметрии, очевидно, ко дну океана. Здесь мы также легко выделяем области пространственных масштабов около 15 км и 35 км, как и на предыдущих графиках. Как будет показано далее, значение фрактальной плотности по данным рельефа является оценкой сверху для геологической плотности и при увеличении площади наблюдения при ее неоднородности приводит к систематическому завышению оценки плотности фрактальным методом.

Сила Кориолиса и фрактальность рельефа и силы тяжести

Теперь вспомним, что закон Архимеда, на который ссылается статья энциклопедии выше, является гравитационным выталкиванием (кстати, космонавты на орбите живут без силы Архимеда) и становится ясно, что вся геология определяется гравитационными и инерционными силами в твердых и жидких частях планеты. Инерционные силы, включая силу Кориолиса, чрезвычайно важны для рассмотрения как поверхностных потоков, так и мантийных плюмов и их выходов на поверхность (вулканизм). Хотя всем знакомо явление закручивания жидкости в стоках раковины или ванны, но не все знают, что это направление зависит от полушария, равно как и расположение обрывистого и пологого берегов рек. Ранее я уже показывал детальные геологические модели, и на них легко заметить асимметрию, вызванную силой Кориолиса поэтому, в зависимости от полушария, бурить следует в разных частях рудо- или нефтегазоконтролирующих структур. Кстати, это и еще один способ проверить корректность построенных моделей. Направление тектонических разломов также меняется из-за воздействия силы Кориолиса на тектонические плиты, особенно интересно это проявляется при пересечении экватора. Таким образом, на поверхности планеты появляются асимметричные фрактальные структуры рельефа и поля силы тяжести масштабов до сотен километров, при этом, направление асимметрии сохраняется и до намного больших масштабов.

Если мы рассмотрим острова Индонезии в Южном полушарии, то потоки гидротермальных растворы с минералами под действием силы Кориолиса должны отклоняться влево от направления движения. Посмотрим на региональную модель из статьи Ищем рудное золото на острове Сумбава, Индонезия:

Зная про влияние силы Кориолиса, мы делаем вывод, что гидротермальные растворы двигались из глубины в центре модели и теперь мы можем указать возможное расположение золоторудных выходов для всей западной части острова Сумбава. Из-за радиального распространения рудоконтролирующих структур без учета силы Кориолиса расположение золоторудных выходов кажется хаотическим, хотя, на самом деле, подчиняется строгой закономерности.

В Западной Сибири, расположенной в Северном полушарии, гидротермальные потоки отклоняются вправо. Вернемся к модели из статье Ударим биспектром по бездорожью, или как найти золото в Сибири:

Здесь золотое и молибденовое месторождения расположены с разных сторон выхода глубинной структуры следовательно, контролирующие их гидротермальные потоки двигались в разных направлениях и мы можем на большей модели отследить их источники и найти другие их выходы. Также имеет смысл проанализировать более детальную модель, чтобы выделить две независимые структуры, сливающиеся в единую на рассматриваемом масштабе.

Замечу, что в геологической литературе описания указанной закономерности я никогда не встречал, хотя все это очевидно из школьного курса физики если знать, на что смотреть.

И снова о редукции Бугера (Буге)

В уже упомянутой выше публикации Легенды и мифы геофизики мы показали, что на самом деле, редукция Буге не удаляет (полностью) корреляцию спектральных компонентов измеренной силы тяжести и рельефа. Стоит отметить, что основная проблема проявляется для диапазона масштабов до 20 км, что вовсе не было проблемой для самого Буге, поскольку детальность его данных была ниже и для них придуманная им редукция работала практически идеально. Поскольку это просто классический секрет Полишинеля, то придуманы и способы исправить ситуацию например, исходя из равной фрактальности рельефа и силы тяжести, можно подобрать параметры преобразования Буге, чтобы несколько уменьшить фрактальность (Miranda et al., 2015). В работе (Zhang, Featherstone, 2019) для территории Австралии методами фрактального и спектрального анализа показано, что топография, редукция Буге и аномалии в свободном воздухе имеют почти идентичные фрактальные размерности и спектры, при этом использование редукции Буге приводит к наибольшим ошибкам.

Но зачем же так нужен этот святой Грааль геофизики, идеальная редукция Буге (идеализация, которой не существует)? Ответ прост плоскую карту измеренных значений силы тяжести сложно вручную сопоставлять с плоской же картой рельефа. А результатом редукции Буге должна быть плоская карта с показанными на ней аномалиями силы тяжести, полностью соответствующими аномалиям плотности, не требующая сопоставления с рельефом. Поскольку при этом игнорируется глубинное расположение аномалий, то из-за неоднозначности по глубине, очевидно, часть аномалий плотности будут потеряны что, опять же, не представляло проблемы для самого Буге в силу масштаба его измерений (малые аномалии, которые можно было бы потерять при таком преобразовании, он просто не мог измерить).

Фрактальность рельефа, силы тяжести и снимков

При моделировании поля силы тяжести от набора гауссовых глубинных источников 3D Density Inversion by Circular Hough Transform (Focal Average) and Fractality Index оказывается, что это поле на поверхности обладает выраженной фрактальной размерностью, причем эта размерность пропорциональна распределению плотности с глубиной. Таким образом, становится ясно, что первопричиной является фрактальность гравитационного поля, которая с высочайшей корреляцией проявляется и в рельефе, следовательно, эрозионные процессы не нарушают эту взаимосвязь. Для космических или ортофотоснимков значение фрактальности оказывается выше за счет вариаций цвета, не связанных с изменениями рельефа. Выбирая подходящий спектральный диапазон, в котором поверхность имеет наименьшую спектральную размерность, мы можем оценить плотность пород поверхности. Обратимся к доступному на GitHub ноутбуку Geological Fractality on ALOS DEM AW3D30 and Sentinel-2 SUrface Reflectance Image for Ravar, Kerman Province, Iran:

Плотность, вычисленная по фрактальной размерности рельефа, равна =3200 kg/m при R=0.99, что вполне согласуется с плотностью магматических пород, образующих эту территорию. По космическому снимку значение плотности выше и составляет =3500 kg/m при R=1.00, что соответствует плотности поверхностных метаморфических пород, вероятно покрывающих часть территории. При этом следует учитывать, что индекс фрактальной размерности рассчитывается по вариации значений и систематически завышает оценку в том случае, если территория неоднородна по составу. Таким образом, полученные нами значения являются оценкой сверху. Для получения более точных значений необходимо сегментировать территорию на гомогенные участки и выполнить вычисления для них по отдельности. Кроме того, перегибы кривой фрактальной размерности пропорциональны глубинам, на которых геологическая плотность изменяется.

Заключение

Если вы все же дочитали статью до конца (надеюсь), то я искренне рад за вас! Действительно, это было не так просто ведь мы связали воедино множество подходов из разных наук, начиная от фундаментальной физики и математики, продолжая численным моделированием и заканчивая геологией и геофизикой. Теперь вы знаете множество определений и методов вычисления фрактальности, а главное видите то единственное, что есть у них общего. А еще понимаете, как и почему проявляется фрактальность в природе и, возможно, даже сможете найти золото на далеких теплых островах или в холодной Сибири по открытым данным космической съемки для геологического анализа любой детальности, воспользовавшись современной математикой и физикой для анализа негауссовых процессов и фрактальности.

Также смотрите

• Мои статьи на Хабре
• Теоретические и практические статьи и посты на LinkedIn
• Геологические модели и код на GitHub
• YouTube канал с геологическими моделями
• Геологические модели в виртуальной/дополненной реальности (VR/AR)

Ссылки

Кумулянтный анализ функционального нелинейного преобразования негауссовых случайных процессов и полей, А. А. Дубков, А. Н. Малахов, 1973. http://m.mathnet.ru/links/cd623304046883b7c36697e2e9f9b1d0/dan39067.pdf

Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований, Малахов А.Н.,1978. https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads/2018/01/Malahov1978ru.pdf

Численное моделирование реализаций и спектры квазимультифрактального диффузионного процесса, А. И. Саичев, В. А. Филимонов, 2008. http://www.mathnet.ru/links/2a351947644994381a8272c4fc3ba0dd/jetpl108.pdf

Numerical simulation of the realizations and spectra of a quasi-multifractal diffusion process, A. I. Saichev & V. A. Filimonov, https://link.springer.com/article/10.1134/S0021364008090129

Gneiting, T., evkov, H. & Percival, D. B. Estimators of Fractal Dimension: Assessing the Roughness of Time Series and Spatial Data. Statist. Sci. 27, 247277 (2012).

Zhang, K. & Featherstone, W. Exploring the Detailed Structure of the Local Earths Gravity Field Using Fractal and Fourier Power Spectrum Techniques. (2019).

Miranda, S. A. et al. Fractalness of land gravity data and residual isostatic anomalies map of Argentina, Chile and western Uruguay. Geofsica internacional 54, 315322 (2015).