Введение
Где хранить деньги? это шутливое название поста, периодически появляющегося на компьютерных форумах. Имеется в виду вопрос: в переменных какого типа следует хранить результаты вычислений финансово-экономических расчетов. Обычно такой вопрос возникает у программистов, впервые сталкивающихся с подобными расчетами. Интуитивно они понимают, что здесь округления нежелательны или недопустимы. Интересно, что при этом часто вспоминают легенды о хитрых программистах, сумевших разницу между точным и округленным значением финансовых расчетов перечислять на свой собственный счет. Правда, эти истории названы сказками еще в книге [1], написанной 50 лет назад, причем даже там речь шла лишь о ревизиях банковских систем, основаниями для которых (т.е. для ревизий) могли бы служить подобные истории.
Компьютеры применяются для экономических расчетов уже более 60 лет. Приемы и инструменты таких расчетов хорошо развиты и изучены. Тем не менее, поскольку все-таки возникают вопросы, подобные вынесенному в заголовок, представляется полезным для лучшего понимания проблем экономических расчетов привести как пример одну из самых простых и проверенных временем реализаций в трансляторе аппарата точных вычислений и его особенностей. Под точными далее будут подразумеваться вычисления без округлений и с исходными данными, представленными в виде десятичных дробей. Разумеется, не все данные можно точно представить в десятичном виде, поэтому понятие точный здесь имеет некоторые ограничения, однако для экономических расчетов в большинстве случаев эти ограничения несущественны.
Пример необходимости точных вычислений
Рассмотрим простейший пример: рассчитать выплату 13% с суммы 1 рубль 30 копеек. Это значение легко сосчитать на бумаге столбиком и притом точно: 16.9 копейки. Но если запрограммировать этот же расчет с использованием данных типа double, то получится ответ вроде 1.68999999999999E-001 рубля, поскольку значение 0.169 точно представить в формате IEEE-754 нельзя. Вот тут и начинаются сомнения: не приведет ли ряд подобных вычислений к накоплению погрешности? Определение итоговой погрешности для нетривиальных расчетов само является нетривиальной математической задачей и лучший способ ее решения не допускать погрешностей вообще. Но как это сделать? И какой тип данных должен быть, если тип целый не годится, а тип float обязательно даст погрешность?
Виды представления чисел
Может показаться, что автор ломится в открытую дверь. Есть же в языках типы для работы с деньгами, например, тип DECIMAL в языке C#. Как следует из описания языка [2], Тип значения Decimal подходит для финансовых вычислений, требующих большого количества значимых целых и дробных цифр и отсутствия ошибок округления. Избежать округления с помощью типа Decimal нельзя. Однако он позволяет минимизировать связанные с ним ошибки. Странно, требуется избежать ошибок округления и одновременно утверждается, что этого сделать нельзя.
Одной из причин затруднений в таких случаях является, на мой взгляд, не совсем четкая классификация представления чисел. Многие привыкли делить числа только на целые и действительные, хотя правильнее было бы вначале разделить их на точные и приближенные. При этом целые это подмножество точных, а не все множество. В приведенном примере расчета на бумаге хотя и получились копейки с долями, т.е. нецелое значение, никакой потери точности не произошло. Тип DECIMAL в языке C# корректнее было бы назвать модифицированным FLOAT, поскольку он содержит те же знак, мантиссу и порядок. И значения этого типа все же приближенные, хотя и с очень большим числом значащих цифр.
Аппаратная поддержка точных вычислений
А ведь в процессорах архитектуры IA-32 имеется набор специальных команд так называемой десятичной и двоично-десятичной арифметики. Они предназначены как раз для проведения точных вычислений. Удивительно, но в 64-разрядном режиме эти команды становятся недоступными, можно предположить, что в фирме Intel разработчики заранее расчищают кодовое пространство для новых команд. Но в 32-разрядном режиме такие команды доступны, упрощая вычисления со сколь угодно большой точностью и без округлений. Для проверки автор задавал вопросы коллегам по поводу назначения двоично-десятичной арифметики и убедился, что многие имеют о ней нечеткие представления, например, отвечая, что она нужна только для того, чтобы не переводить число из текста в двоичное и обратно. Такой ответ тоже допустим, поскольку числа действительно представлены не в обычном виде. Но все-таки следует еще раз подчеркнуть, что главное назначение нестандартной арифметики упростить организацию вычислений без потери точности.
Программная поддержка точных вычислений
Механизм вычислений без округлений был встроен, например, в язык PL/1. Этот язык изначально разрабатывался для применения и в области экономических расчетов, для чего он получил наследство от языка экономических задач Кобола. Можно даже предположить, что команды двоично-десятичной арифметики были вставлены в архитектуру IA-32 (точнее, еще в IA-16 в 1978 году) именно для поддержки в языках высокого уровня типа PL/1 аппарата точных вычислений. Поскольку автор сопровождает и использует транслятор языка PL/1 [3], дальнейшее изложение будет относиться к конкретной реализации. Сама реализация довольна проста и объем команд транслятора, обеспечивающих генерацию точных вычислений, не превышает 3-4% от размера транслятора.
Представление чисел FIXED DECIMAL
Граница между представлениями чисел в PL/1 проведена корректно: все числа точного представления имеют тип FIXED, а приближенного представления FLOAT. К сожалению, сами названия FIXED/FLOAT (вместо ТОЧНОЕ/ПРИБЛИЖЕННОЕ) не вносят ясности и интуитивно непонятны. Как, кстати, и распространенное в языках, но совершенно неинформативное название double.
В операторах описания на PL/1 точное представление чисел имеет атрибуты FIXED DECIMAL, после которых указывается общий размер числа и размер дробной части числа, например, FIXED DECIMAL(15,0)или FIXED DECIMAL(12,4) т.е. так можно точно представлять и целые и нецелые значения. Значения можно также представлять и как FIXED BINARY, но далее будет рассматриваться только тип, который может иметь десятичную дробную часть.
В рассматриваемом трансляторе этот тип реализован в двоично-десятичном упакованном коде BCD (Binary Coded Decimal). Каждая цифра BCD записывается в половину байта. При этом старшая значащая пара цифр BCD размещается по старшему адресу. Самая старшая позиция BCD резервируется для знака, который для положительных чисел - ноль, для отрицательных - девять. Число байт для FIXED DECIMAL определяется заданной точностью p (допустимой в стандарте языка от 1 до 15) и равно FLOOR((p+2)/2).
Например, число 12345 с точностью 5, для которого PL/1 выделит FLOOR((5+2)/2)=3 байта памяти, будет записано в байтах как 45 23 01. Максимально допустимое значение, которое можно записать в таком виде 999999999999999. Например, чтобы представить точно значение государственного долга США, который,например, на начало 2013 года составлял около $16,400,000,000,000, потребуется переменная типа FIXED DECIMAL(14,0). Правда, если долг вырастет еще раз в 60, представить его точно в формате стандарта PL/1 будет уже нельзя.
Отрицательное число записывается в дополнительном до 9 коде, который получается вычитанием каждой цифры из 9 и прибавлением к числу единицы. Например, число -2 имеет код (9-2)+1=8 и с точностью 1 будет записано как байт 98, а с точностью 5 будет выглядеть в байтах как 98 99 99.
Может показаться странным, что в этом представлении нет указания положения десятичной точки. Но ведь и в логарифмической линейке не было указателя точки приходилось держать ее позицию в уме. В данном случае за положением десятичной точки следит транслятор и явно указывает ее как параметр при вызове подпрограмм преобразований, ввода-вывода и т.п. А при генерации самих вычислений положение точки рассчитывается транслятором так, чтобы не терялась точность, и тоже держится в уме пока ее не потребуется использовать. Если вернуться к примеру, при генерации умножения транслятор назначит константе 1.3 атрибуты FIXED DECIMAL(2,1), константе 0.13 - атрибуты FIXED DECIMAL(3,2), а результату (значению 0.169) атрибуты FIXED DECIMAL(6,3), совсем как при умножении столбиком, когда ширина результата складывается из размеров множителей. Правда в данном случае ширина должна была бы быть 5, а не 6, но по особенности PL/1 он считает длину результата при точном умножении как p1+p2+1, поскольку стандарт учитывает даже случай умножения комплексных чисел по формуле (a1a2-b1b2)+(a1b2+b1a2)i, где становится возможен еще один перенос разряда.
Системные вызовы точных вычислений
Поскольку точные вычисления не могут быть реализованы за одну-две команды, транслятор генерирует множество вызовов системных подпрограмм, обеспечивающих все необходимые действия: арифметику, функции FLOOR/CEIL/TRUNC, сравнение и т.п. Операнды типа FIXED DECIMAL передаются через стек и туда же возвращается результат операции. При этом операнды всегда расширяются до максимальной длины 8 байт и дописываются или нулями или байтами 99 (для отрицательных).
Ниже приведен фрагмент исходного текста системной библиотеки, обеспечивающий функции вычитания и сложения. Для краткости, текст остальных функций в данной статье не приводится.
; ВЧИТАНИЕ DECIMAL В СТЕКЕ PUBLIC ?DSUOP: ;ГЕНЕРИРУЕТСЯ ВЗОВ ИЗ PL/1 LEA ESI,[ESP]+4 ;НАЧАЛО 1 DECIMAL (УЧЛИ RET) MOV ECX,8 ;МАКСИМАЛЬНАЯ ДЛИНА DECIMAL CLC ;СБРОС ПЕРЕНОСА LEA EDI,[ESI+ECX] ;НАЧАЛО 2 DECIMAL;---- ЦИКЛ ВЧИТАНИЯ ----M2187:MOV AL,[EDI] SBB AL,[ESI] ;ВЧИТАНИЕ С КОРРЕКЦИЕЙ DAS STOSB ;ЗАПИСЬ РЕЗУЛЬТАТА INC ESI LOOP M2187POP ECX ;АДРЕС ВОЗВРАТА MOV ESP,ESI ;ОЧИСТКА СТЕКА JMP ECX ; СЛОЖЕНИЕ DECIMAL В СТЕКЕ EXTRN ?DOVER:NEARPUBLIC ?DADOP: ;ГЕНЕРИРУЕТСЯ ВЗОВ ИЗ PL/1 LEA ESI,[ESP]+4 ;НАЧАЛО 1 DECIMAL (УЧЕТ RET) MOV ECX,8 ;МАКСИМАЛЬНАЯ ДЛИНА DECIMAL CLC ;СБРОС ПЕРЕНОСА LEA EDI,[ESI+ECX] ;НАЧАЛО 2 DECIMAL;---- ЦИКЛ СЛОЖЕНИЯ ДВУХ DECIMAL В СТЕКЕ ----M2283:LODSBADC AL,[EDI] ;СЛОЖЕНИЕ С КОРРЕКЦИЕЙ DAA STOSB ;ЗАПИСЬ ОТВЕТА LOOP M2283;---- ПРОВЕРКА НА ПЕРЕПОЛНЕНИЕ ---- AND AL,0F0H ;ВДЕЛИЛИ ПОСЛЕДНЮЮ ЦИФРУ JZ @ CMP AL,90H ;ОТРИЦАТЕЛЬНЙ НЕ ПЕРЕПОЛНИЛСЯ ? JNZ ?DOVER ;OVERFLOW ДЛЯ DECIMAL ;---- ВХОД С ОЧИСТКОЙ СТЕКА ----@: POP ECX ;АДРЕС ВОЗВРАТА MOV ESP,ESI ;ОЧИСТКА СТЕКА JMP ECX
Как следует из этого текста, для двоично-десятичной арифметики используются команды сложения и вычитания с учетом переноса (ADC/SBB) и две специфические команды коррекции результата (DAA/DAS), те самые, которые исключены в 64-разрядном режиме.
Умножение и деление требует большего числа команд, и поэтому будет выполняться медленнее, хотя в экономических расчетах объем вычислений часто невелик по сравнению, например, с объемом ввода-вывода, и сравнительно медленное выполнение арифметических операций обычно не является критичным.
Обратите внимание, что нет принципиальных ограничений на длину данных типа FIXED DECIMAL: цикл побайтной обработки пар цифр можно сделать любой длины (а, значит, и точности), хотя в соответствии со стандартом языка PL/1 под каждый операнд при вычислениях выделяется 8 байт и эта максимальная длина записана как константа. Если в трансляторе изменить предел размера типа, например с 15 до 31, а в системных подпрограммах заменить константу 8 на 16, то переменные автоматически станут получать длину до 16 байт и обрабатываться с точностью до 31 десятичного разряда теми же самыми подпрограммами. Скорость обработки при этом уменьшится.
Выполнение точных вычислений в PL/1
Вернемся к простейшему примеру точных вычислений, теперь на языке PL/1, добавив деление на ту же константу, чтобы вернуть исходное значение переменной. Вычисления проведем и для типа FIXED DECIMAL и для типа FLOAT(53) аналога типа double в других языках.
test:proc main;dcl x fixed decimal(6,3);x=1.3;x=x*0.13;put skip data(x);x=x/0.13;put skip data(x);dcl y float(53);y=1.3;y=y*0.13;put skip data(y);y=y/0.13;put skip data(y);end test;
Результат вычислений представлен на рисунке.
вычисления с точным и приближенным значениями
Последовательное умножение и деление на одно и то же число для типа FIXED DECIMAL вернуло точное исходное значение переменной, а для типа FLOAT - нет. Хотя, если, например, сначала разделить на три переменную типа FIXED DECIMAL, а затем умножить на три, может появиться вынужденная погрешность, обусловленная невозможностью точно представить рациональное число одна треть десятичной дробью.
Таким образом, аппарат точных вычислений, встроенный в язык PL/1, достаточно прост, компактен, легко реализуется в системной библиотеке и всегда готов к применению. Но иногда такие возможности играют злую шутку с программистами, ранее имевших дело только с целыми и действительными числами и даже не подозревающими о наличии в языке точных вычислений. Например, если в программе на PL/1 в числовой константе нет показателя степени E и при этом явно не указано на преобразование в тип FLOAT, то по умолчанию считается, что требуется точное представление и точные вычисления. Поэтому, например, выражение 25.0+1/3 даст исключение переполнения при выполнении, поскольку транслятор разместит рациональное число 1/3 с максимальной точностью (т.е. займет все допустимые 15 десятичных разрядов) и потом добавить еще два разряда целой части результата сложения будет уже некуда. В то же время выражение 25.0+1Е0/3 будет вычислено приближенно и никакого переполнения не произойдет.
Все эти особенности становятся понятными и логичными, если программист ясно представляет, какой нецелый результат ему нужен в данном месте программы: точный или достаточно приближенного. Если в языке есть только целые и действительные приближенные числа, таких сложностей не возникает, но тогда возникают вопросы при необходимости провести точные вычисления с дробной частью.
Заключение
Хранить деньги, т.е. проводить расчеты, избегая округлений, лучше всего на языках, специально разработанных для решения экономических задач типа Кобола или PL/1 или Бухгалтерия 1С. Однако как показано выше, реализация средств точных вычислений достаточно проста и практически на любом языке можно самостоятельно создать свой аппарат такой обработки. Например, в книге [4] приводится пример организации вычислений со сверхточностью и в сверхдиапазоне. Процессоры архитектуры IA-32 даже имеют специальные команды, облегчающие арифметические вычисления без округлений. Правда в 64-разрядном режиме используемая для этой цели пара команд DAA/DAS становится недоступной, однако это не сильно затруднит реализацию, поскольку такие команды несложно эмулировать программно, например:
;--------------- ЭМУЛЯЦИЯ DAA, ЗАПРЕЩЕННОЙ В РЕЖИМЕ X86-64 ------------------PUBLIC DAA_X86_64: PUSH RDX,RAX LAHF MOV EDX,EAX ;OLD CF И OLD AL AND AH,NOT 1B ;СБРОСИЛИ CF;---- ОБРАБОТКА МЛАДШЕЙ ТЕТРАД ---- TEST AH,10000B ;ЕСЛИ ЕСТЬ AF JNZ @ PUSH RAX AND AL,0FH CMP AL,9 ;ИЛИ ЕСЛИ ЦИФРА БОЛЬШЕ 9 POP RAX JBE M2270@: ADD AL,6 ;КОРРЕКЦИЯ ЦИФР OR AH,10000B ;УСТАНАВЛИВАЕМ AF;---- ОБРАБОТКА СТАРШЕЙ ТЕТРАД ----M2270:TEST DH,1B ;ЕСЛИ СТОЯЛ OLD CF JNZ @ CMP DL,99H ;ИЛИ НУЖЕН ПЕРЕНОС JBE M2271@: OR AH,1B ;УСТАНАВЛИВАЕМ CF ADD AL,60H ;КОРРЕКЦИЯ ТЕТРАД;---- ПИШЕМ ГОТОВЙ БАЙТ И ВОССТАНАВЛИВАЕМ РЕГИСТР И ФЛАГИ ----M2271:SAHF MOV [RSP],AL POP RAX,RDX RET
Основой точных вычислений является точное представление чисел в памяти компьютера. Двоично-десятичное представление позволяет легко организовать точные вычисления для чисел любой длины, т.е. любой точности. Проверено на практике, что для большинства экономических расчетов вполне хватает длины в 15 десятичных разрядов.
Литература
1. Д.Р. Джадд Работа с файлами. Издательство Мир Москва, 1975
2. http://msdn.microsoft.com/ru-ru/library/system.decimal.aspx
3. Д. Караваев К вопросу о совершенствовании языка программирования. RSDN Magazine #4 2011
4. Л.Ф. Штернберг Ошибки программирования и приемы работы на языке ПЛ/1, Москва Машиностроение, 1993
