Головоломка

Чрезвычайно оптимальная форма для печенья Мартина Лерша.

Однажды в декабре норвежский химик и страстный любитель готовки Мартин Лерш раскатал самодельное тесто и приступил к работе. Он поворачивал форму для печенья то в одном, то в другом направлении, создавая лоскутки в виде рождественских ёлок. Но основной целью Лерша была не просто горка вкусного праздничного печенья. Он хотел испечь математически идеальные фигуры.

В течение предыдущих нескольких лет Лерш пытался решить проблему, часто терзающую пекарей. Мы хотим наиболее оптимально использовать тесто, чтобы не приходилось собирать остатки и раскатывать их все заново. На самом деле это вопрос экономии времени, говорит Лерш.

Лерш выбрал приготовление рождественского печенья в качестве проекта для своего блога Khymos, в котором он исследует химию и научную сторону готовки. Он обнаружил, что стандартные формы праздничного печенья обычно не очень плотно соединяются друг с другом. Пухлые Санты, карамельные палочки и пряничные человечки обычно оставляют много лишнего теста. Поставив перед собой задачу создания красивой, но при этом оптимальной формы для печенья, Мартин спроектировал форму, способную выдавливать красивые ряды печенек с минимум остатков теста. Как оказалось, его рождественскую ёлку можно тесселировать.

Тесселяции, получившие известность благодаря голландскому гравёру и художнику Морису Эшеру, являющиеся давней частью исламского искусства это геометрические фигуры, идеально соединяющиеся между собой. (Для примера можно вспомнить мозаику, фрагменты пазлов или тесно упакованные фигуры Тетриса.) Многие из таких тесселяций повторяются снова и снова, подобно рисункам на обоях, а при взгляде издалека ошеломляют.

Лерш решил спроектировать форму для печенья, способную превратить раскатанное тесто в тесселированную плоскость, то есть чтобы между фигурками не оставалось пространства. Эшер когда-то написал, что находит в сложности этих странных паттернов большое удовольствие, поскольку они способны смешивать два и три измерения. И тесселяции действительно давно сбивали с толку и величайшие умы математики, и самые сложные алгоритмы.


В течение предыдущих нескольких лет Лерш экспериментировал с дизайном форм.

Готовка печенья не похожа на то, как будто вы придумываете уравнение на тесте, но, согласно a недавнему исследованию, с точки зрения математики это именно так. Ведущий автор статьи, математик Копенгагенского университета Миккель Абрахамсен, изучает задачу об упаковке. С этой задачей ежедневно сталкиваются предприятия и дизайнеры, когда вычисляют, как уместить максимальное количество объектов в ограниченное пространство. Как можно понять, задача об упаковке влияет на всё, от транспортной отрасли до хранения специй в кухонном шкафу.

Абрахамсен специализируется на изучении того, как алгоритмы можно выражать в геометрической форме именно это и происходит, когда вы вдавливаете форму для печенья в двухмерный холст теста. Мы хотели доказать, что при решении подобных задач об упаковке необходимо решать очень сложные уравнения, рассказывает Абрахамсен.

Команда Абрахамсена утверждает, что задача об упаковке это R-полное уравнение, делающее дальнейший шаг в сложности за пределы нестепенных уравнений, долгое время изучавшихся компьютерными учёными. Сложность задачи частично связана с количеством возможных вариантов. По словам Абрахамсена, чтобы решить задачу оптимальной упаковки тесселяции, занимающей максимально возможное пространство раскатанного теста, нужно заранее знать идеальное расположение каждого отдельного печенья. Однако проблема в том, что существует бесконечное количество способов размещения печенек на листе теста. Плюс при каждом вырезании формой пространство для новых печений уменьшается. Без помощи компьютерной программы вы поймёте уровень оптимальности своей упаковки, только когда кончится место. Для поиска наилучшего решения вам потребуется бесконечное количество попыток, утверждает Абрахамсен.


Эти тесселированные плитки в дворцовом комплексе Альгамбра стали источником вдохновения для Эшера.

Однако это не остановило Лерша, создавшего собственные тематические рождественские тесселяции из колокольчиков, ёлок и других фигур при помощи бесплатной платформы Tess. Друг помог ему напечатать на 3D-принтере несколько форм для печенья, после чего он замесил тесто. Любимое пепперкаке (pepperkake) Лерша это великолепное норвежское имбирное печенье. Работающий химиком Лерш рассказал, что когда-то оно изготавливалось с карбонатом аммония из толчёных оленьих рогов, однако сегодня большинство людей заменяет его разрыхлителем для теста.

Остановившись на рождественской ёлке как на наиболее оптимальной фигуре, Мартин приступил к работе. Подражая узорам Эшера, он расставлял каждую вторую фигуру вниз головой, чтобы их границы идеально совпадали с соседними фигурами. В результате получились переплетённые ряды печенек, между границами которых нет остатков теста.

Однако даже при использовании формы Лерша куски теста остаются по краям паттерна. Именно об этом несовершенстве предупреждал Абрахамсен: существует слишком много переменных при создании формы для печенья сложного контура, чтобы она целиком и каждый раз использовала всё тесто. Для максимизации эффективности можно упростить форму печенек: например, квадратные печенья, вырезаемые из квадратного куска теста. Но, как говорит Лерш, Кому интересно квадратное печенье?


Ещё одна форма Лерша эффективная, но гораздо менее праздничная.

Абрахамсен утверждает, что в случае сложных фигур наподобие рождественских ёлок, нахождение одного наиболее эффективного способа их расположения на плоскости теста на сегодняшний день является нерешаемой задачей. В 1999 году алгоритм был способен решать задачу об упаковке только для квадратного контейнера, содержащего до четырёх объектов (простых восьмиугольников), и для полных расчётов программе требовалось 24 часа. При добавлении в уравнение каждого нового многоугольника алгоритму становилось всё сложнее решать задачу, потому что становится труднее упаковать объект в контейнер, когда пространство уже занято. Насколько известно Абрахамсену, с тех пор не было найдено более быстрого алгоритма.

Однако готовка не всегда заключается в стремлении к совершенству. Нужно поддерживать любые попытки создания наиболее оптимального способа разрезания праздничных печений. Я бы посоветовал людям пробовать это, ради самого удовольствия решения головоломки, говорит Миккель. Об этом полезно размышлять, но не стоит при этом ожидать нахождения оптимального решения.


Лерш согласен с тем, что в настоящее время может и не существовать способа создания математически идеальной партии праздничного печенья. Миру придётся подождать ещё более подходящей фигуры, чем его ёлка (которую друг Лерша несколько лет назад выложил онлайн для свободного скачивания. Счастливого Рождества!) Но он всё равно призывает печь тесселяции, пусть даже для собственного развлечения. Если это позволит кому-то избавиться от страха математики или естественных наук, то так даже лучше.

---

На правах рекламы

Вдсина поздравляет всех с Новым Годом! Пускай 2021 приносит только хорошее, а всякого рода неприятности и ковиды остаются в старом году!
Абсолютно всегда наши виртуальные серверы работают безупречно и без сбоев. Используем исключительно брендовое оборудование, лучшую в своём роде панель управления серверами собственной разработки и одни из лучших дата-центров в России и ЕС. В Новом Году порадуем множеством приятных сюрпризов.

Верные высказыванию, что у успеха много отцов, а неудача всегда сирота (фраза президента США Джона Кеннеди), Дэйв Джонс, Скотт Джонстон, Майк Дэйли и Гэри Тиммонс рассказывают о своём влиянии на классику.

Вот вам задача: как пройти уровень Стальные рудники Кессела (Steel Mines of Kessel), не потеряв никого из леммингов? Даже сейчас такой вопрос можно встретить на профильных форумах. Но чем объяснить такую популярность игры, изданной 14 февраля 1991 года?

Lemmings обладает ключевой чертой Тетриса способностью привлекать как хардкорных, так и казуальных игроков. Головоломка ломает утверждение, что видеоигры нравятся только гикам. Простые механику и дизайн смогут понять даже технически неумелые родители. А увлечение электронными головоломками многие начали именно с этой игры. Мы хотели создать весёлое развлечение, рассказывает дизайнер Дэйв Джонс. С первого взгляда всё кажется просто, но сев за игру придётся поломать голову. Сразу вникаешь в процесс. И не важно какого ты возраста или пола. Но главной причиной успеха считаю оригинальную идею проекта.

Популярность как среди казуалов, так и хардкорщиков объясняется простой механикой. Избежать гибели беспомощного народца стало понятной концепцией со множеством сценариев развития событий. В индустрии, которая стимулирует первобытные инстинкты, Lemmings выделяется тем, что игрок здесь сохраняет жизни.

Такая механика появилась благодаря экспериментам с кодом. Программисты DMA Design Скотт Джонстон и Майк Дэйли поспорили о том, насколько маленьким может быть спрайт, чтобы сохранять при этом индивидуальность. Джонстон считал, что это значение должно быть не меньше 16 пикселей, а Дэйли что можно снизить до восьми. Всё произошло за один день, объясняет Скотт. Lemmings стала третьей игрой, в разработке которой принимал участие. Идея возникла, когда один из сотрудников DMA создал в программе Deluxe Paint анимацию группы маленьких человечков, поднимающихся по крутому склону. На вершине поджидала пушка и расстреливала их. Демка отображала хаос, раскидывая народец по экрану. И тут я подумал: из этого выйдет забавная игра.

Майк выиграл пари, но ведущему аниматору Гэри Тиммонсу предстояло проработать индивидуальность каждого из леммингов. Как он объясняет: Я хотел сделать такую анимацию, чтобы игрок поверил в то, что действительно видит леммингов из арта на коробке с игрой, а не просто множество пикселей. Поэтому ушёл в детали: ноги и волосы у персонажей подвижные, и над этим было интересно работать. Обычно спрайты создают на основе дизайна персонажей. В Lemmings они были завершены до того, как мы переключились на создание концепт-артов и дизайна. Я хотел, чтобы лемминги казались милыми и беспомощными. Выражение сонных глаз помогло этого добиться.

Джонс рассказывает, что у них не было продуманной концепции: Плана не было просто воплощали свои задумки. Проект стал уникальным, поэтому сравнивать его было не с чем. Как комбинезон у Марио, так и зелёные волосы одна из отличительных черт леммингов. Причиной такого дизайна стала экономия времени. Я уменьшил количество цветов до трёх, чтобы появилась возможность использовать множество спрайтов одновременно, говорит Тиммонс. У персонажей такой характерный цвет волос, потому что так я переместил ползунки настройки RGB в приложении DPaint, чтобы не тратить время на проработку палитры.

Lemmings иллюстрирует ключевой принцип дизайна: простые элементы объединяются для создания сложных. Этому способствует выбор профессии леммингам, чтобы преодолевать многочисленные опасности, встречающиеся на пути. Дизайн развивался постепенно, рассказывает Тиммонс. Мы выделили основные навыки леммингов, затем я оживил их, чтобы увидеть, какие работают лучше всего. Старался вложить в анимацию больше жизни и юмора. Например, шахтёр выглядит так, будто прилагает колоссальные усилия, а разрушитель похож на Папая (популярный герой комиксов).

В итоге появилось восемь профессий: альпинист, парашютист, подрывник, блокировщик, строитель, разрушитель, копатель и шахтёр. Каменные столбы можно преодолеть, если разрушитель пробьёт тоннель сквозь них. Возведя строителем мост, можно пересечь лаву и водные преграды. Такой подход стал новаторским. Игроку предлагают выбрать один из четырёх уровней сложности и пройти 120 карт. Позже вышли дополнения, например, Oh No! More Lemmings, а с помощью редактора можно создавать бесчисленное количество карт.

Уровни, отсылающие к Menace и Shadow Of The Beast

В Lemmings программисты направили все свои усилия на создание множества дьявольских головоломок. Мы реализовали почти все задумки, вспоминает Джонс. Дизайн уровней имел решающее значение, но у нас был хороший редактор, встроенный в игру, и несколько талантливых дизайнеров уровней. Внимательные игроки могут попасть на скрытые уровни, смоделированные на основе предыдущих проектов от DMA: Menace и Shadow Of The Beast.

С технической точки зрения Lemmings довольно простая, продолжает Джонс. Мы выбрали верное направление, представив игру с большим количеством персонажей, а не с одним. Код был отредактирован идеально, особенно когда дело касалось столкновение персонажей и изменения местности. Тем не менее, при разработке возникали проблемы. Игра требовала много оперативной памяти, сетует Джонс. Что ограничивало масштаб локации и вызывало проблемы при портировании на консоли. Было сложно добиться стабильной частоты кадров при отображении 120 леммингов на экране, поэтому игра максимально использовала ресурсы Amiga. Это усложнило перенос на другие машины хорошо, что не мы занимались портированием.

Lemmings стремительно набрала популярность. Есть что-то притягательное в спасении маленьких человечков, хотя никто не отнимает возможность уничтожить всех леммингов, если уровень чересчур головоломный. Это было прекрасное время, отмечает Джонс. Одна за другой выходили похвальные рецензии от критиков. Игра держалась в топ-20 на протяжении двух лет, но все лавры достались Psygnosis, поскольку они были издателем. Это одна из тех вещей в мире видеоигр, которые надо просто принять.

Тиммонс соглашается с Дэйвом: Оригинальная концепция с привлекательным дизайном пришлась всем по вкусу. Здесь очень весело отдать приказ одному леммингу, а затем наблюдать как это повлияет на всех остальных. Дизайн персонажей и музыка две вещи, которые запомнятся надолго. Мы потратили много времени на проработку уровней и довольны результатом.

Но для тех, кто помнит Lemmings как светлый и безобидный игровой опыт, примите во внимание следующее: развлечение задело чувства верующих на юге США. Там посчитали, что игра оказывает плохое влияние и разжигает поклонение дьяволу. Некоторые были недовольны стилистикой уровней с лавой, смеётся Джонс. Лемминги прыгали в пасть огнедышащего демона, чтобы закончить уровень, поэтому верующие пытались запретить игру. Хорошо, что у них ничего не вышло.

---