Деривативы

Лемма Ито

26.03.2021 20:17:43 |

Автор: admin

Лемма Ито играет ключевую роль в теории случайных процессов и находит свое приложение в моделях оценки справедливой стоимости финансовых инструментов. Так как стоимость любой производной ценной бумаги является функцией, зависящей в том числе от стохастических факторов, исследование и описание свойств таких функций имеет важное значение.

Лемма Ито применяется к процессам, которые подвержены некоторому сносу, а также воздействию случайных факторов. Такие процессы довольно точно описывают поведение цен на финансовых рынках. Вывод формулы Ито и описание соответствующих свойств в рамках данной статьи будет проведено на базе моделирование цен финансовых активов.

Уравнение цены

Построение прогностической модели стоимости любого финансового актива основано на эмпирическом анализе окружающей нас реальности. Опытным путем установлено, что изменение стоимости финансового актива зависит от (i) времени и (ii) стоимости актива в исходный момент времени x_0 . Это позволяет понять, что цена актива является функцией двух переменных x(x_0, t) .

Наличие зависимости при которой скорость изменения некоторой величины пропорциональна ей самой встречается очень часто и приводит к экспоненциальному росту, примерами служат уравнения радиоактивного распада, размножения и гибели микроорганизмов. Знание закона по которому изменяется цена позволяет составить дифференциальное уравнение.

$dx = rxdt \qquad (1)$

В данное уравнение добавляется безрисковая ставка являющаяся скалирующим коэффициентом, который описывает динамику актива. Для решения уравнения (1) разделяем переменные: $\frac{dx}{x} = rdt$ , интегрируем и в итоге получаем уравнение стоимости финансового актива.

$x = x_0e^{rt} \qquad (2)$

где, - стоимость финансового актива в момент времени .

Надо заметить, что получившееся уравнение позволяет нам точно определить значение цены в любой будущий момент времени, в связи с чем такой процесс можно назвать детерминированным. Однако, на практике цена помимо некоторой детерминированной динамики, определяемой безрисковой ставкой, также подвержена случайным колебаниям, которые должны учитываться при прогнозировании цен.

Исходя из вышесказанного логичным будет выглядеть внедрение в уравнение цены стохастической составляющей, наиболее подходящей моделью которой является броуновское движение.

Броуновское движение

История открытия броуновского движения хорошо известна, поэтому перейдем к описанию его основных физических и математических свойств. В каждый момент времени t_n на частицу оказывается разнонаправленное воздействие очень большого количества молекул, при этом сила их соударения с частицей тоже разная. В результате, наблюдаемая частица совершает хаотические движения. Такая картина является свойственной для финансового рынка, когда на колебания цены в конкретный момент времени оказывают влияние решения огромного количества независимых участников рынка.

Если перенести броуновское движение на координатную плоскость и представить его в дискретном времени, то получим переменную Винера, описывающая одну конкретную реализацию случайного процесса $W_t = \varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \cdots+\varepsilon_n$ , где $\varepsilon_j$ это независимые случайные величины имеющие нормированное нормальное распределение $\sim N(0,1)$ .

На практике, каждая случайная величина $\varepsilon_j$ является приращением цены в соответствующий момент времени t_j . Для того, чтобы задать некоторую амплитуду таких толчков и описать данной моделью поведение какого-то реального актива вводиться коэффициент $\sigma$ , рассчитывающийся на основе статистических данных и являющийся волатильностью. В итоге дискретный процесс Винера трансформируется в формулу: $W_t =\sigma( \varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \cdots+ \varepsilon_n)$ . В силу свойств случайных величин, распределенных нормально, сумма гауссовых чисел $\varepsilon_1 + \varepsilon_2 +\cdots+ \varepsilon_n$ , представляется как $\varepsilon{\sqrt{n}}$ , где $\varepsilon_j \sim N(0,1)$ , а - общее количество случайных движений цены.

В конечном итоге Винеровский процесс, может быть представлен в виде $W_t = \sigma \varepsilon {\sqrt{n}}$ . Его особенность заключается в том, что малое изменение процесса по времени $\Delta t$ присутствует в переменной Винера, как $\sqrt{\Delta t}$ . В геометрической интерпретации это означает, что огибающее семейство всех реализаций такого случайного процесса будут иметь параболический вид.

Добавив к Винеровскому процессу определенную динамику в виде $r\Delta t$ , получим уравнение арифметического броуновское движения со сносом .

$x = x_0 + r\Delta t + \sigma \varepsilon \sqrt{\Delta t} \qquad (3)$

Код python

import pandas as pdimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt%matplotlib inlinesteps = 300num_plots = 50Range = []Values = [0]plt.style.use('ggplot')plt.rcParams['lines.linewidth'] = 0.6fig, ax = plt.subplots()fig.set_figwidth(12)fig.set_figheight(6)colormap = plt.cm.gist_ncarplt.gca().set_prop_cycle(plt.cycler('color', plt.cm.jet(np.linspace(0, 1, 1))))Range = np.arange(steps) for i in range(0, num_plots):    for i in range (1, steps):        x = np.random.random()        if x <= 0.5:            x = -1        else:            x = 1        y = Values[-1] + x        Values.append(y)        ax.plot(Range, Values)    Values = [0]

Постановка задачи

Имея в распоряжении полученное соотношение (3) возникает ощущение, что никакой сложности в прогнозировании цен нет. Так и есть, однако, важно иметь в виду, что с точки зрения финансовой науки не совсем корректно анализировать приращение цены, так как еще в 30 гг. ХХ века было установлено, что нормально распределены не сами цены, а их логарифмы. Следовательно объектом изучения должен быть не сам, а $\ln x$ . Ниже рассмотрим логику перехода от к $d(\ln x)$ .

Для начала из разностной схемы уравнения цены (3) , выразим приращение цены $\Delta x$ , а затем запишем дифференциальное уравнение в непрерывном времени перейдя к дифференциалам.

$x = x_0 + r\Delta t + \sigma \varepsilon \sqrt{\Delta t} \mapsto \Delta x = r\Delta t + \sigma \varepsilon \sqrt{\Delta t} \mapsto dx = rdt + \sigma \delta W$

Заметим, что $dx = rdt + \sigma \delta W$ представляет собой уравнение Ито, то есть такой процесс, где есть некий снос rdt и флуктуация $\sigma \delta W$ , в общем виде записываемый следующим образом:

$dx = a(x,t)dt + b(x,t)\delta W \qquad (4)$

где, - функция сноса, - функция волатильности.

Имея в виду необходимость проанализировать $d(\ln x)$ необходимо перейти от уравнения $dx = rdt + \sigma \delta W$ к уравнению $dx = xrdt + x\sigma \delta W$ . Решается полученное уравнение довольно нетривиально так, как в правой части стохастического дифференциального уравнения стоят не константы, как в уравнении $dx = rdt + \sigma \delta W$ , а функции и $x\sigma$ .

Такого рода задачи финансовой математики помогает решать лемма Ито. Например, лемма Ито также используется для вывода уравнения Блэка-Шоулза-Мертона в частных производных.

Лемма Ито

Для того, чтобы решить СДУ $dx = xrdt + x\sigma \delta W$ требуется взять некую функцию F(x(t)),t) , поведение, которой будет соответствовать общему процессу Ито, то есть зависеть от функций сноса A(x,t) и волатильности B(x,t) , а также аргументом которой будет случайный процесс x(t) . В результате получим связанные с друг другом дифференциальные стохастические уравнения.

$dF(x(t),t) = A(x,t)dt+ B(x,t)\delta W \qquad (5)$

где, дифференциал случайного процесса выглядит, как $dx = a(x,t)dt + b(x,t)\delta W$ *

Лемма Ито позволяет вычислить функции A(x,t) и B(x,t) , если нам даны функции a(x,t) и b(x,t) . Функцию F(x(t), t) предполагаем аналитической, в частности, разложимой в ряд Тейлора в окрестности точки (x_0,t_0) .

$F(x,t) = F(x_0, t_0)+ \frac{\partial F}{\partial x} \Delta x + \frac{1}{2} \frac{\partial ^2F}{\partial x^2}(\Delta x)^2 + \frac{\partial F}{\partial t} \Delta t + \cdots \qquad (6)$

где, частные производные вычисляются в точке и $\Delta x = x - x_, \Delta t = t - t_0$ .

В виду соотношения * учитываем только бесконечно малые $\Delta x, \Delta t, (\Delta x)^2$ ; остальные имеют порядок малости выше $\Delta t$ . В разложение (6) подставляются приращения случайного процесса $\Delta x$ и $(\Delta x)^2$ , а F(x_0, t_0) переносится в левую часть уравнения. Усредняя левую и правую часть (угловые скобки $\left \langle \right \rangle$ обозначают мат. ожидание) получаем:

$\left \langle \Delta F \right \rangle = \frac{\partial F}{\partial x} (a_0 \Delta t) + \frac{1}{2} \frac{\partial ^2F}{\partial x^2}(b_0^2\Delta t) + \frac{\partial F}{\partial t} \Delta t + \cdots$

В самом деле:

$\langle \Delta x \rangle =a_0 \Delta t + b_0 \langle \varepsilon \rangle \sqrt{\Delta t} = a_0 \Delta t$ - в силу того, что $\langle \varepsilon\rangle = 0$ , второе слагаемое исчезает и остается только $a_0\Delta t$ .

$(\Delta x)^2 = a_0^2\Delta t^2 + 2a_0b_0 \varepsilon \Delta t \sqrt{ \Delta t} + b_0^2 \varepsilon^2 \Delta t \Rightarrow_1 a_0^2\Delta t^2 + b_0^2 \varepsilon^2 \Delta t \Rightarrow_2 a_0^2\Delta t^2 + b_0^2 \varepsilon^2 \Delta t \Rightarrow_3$ $\Rightarrow_3 b_0^2 \langle \varepsilon^2 \rangle \Delta t = b_0 \Delta t$ На первом шаге пропадает удвоенное произведение по причине $\langle \varepsilon \rangle=0$ , на втором шаге понимаем, что слагаемое $a_0^2\Delta t^2$ деленное на $\Delta t$ в пределе дает . Таким образом приращение функции $a_0^2 \Delta t^2$ уходит и остается только $b_0^2 \varepsilon^2 \Delta t$ . Так как $\langle \varepsilon^2 \rangle = 1$ на последнем шаге останется только $b_0^2 \Delta t$ .

Имея математическое ожидание приращения функции F(x(t), t) можно выразить функцию сноса A(x,t) и функцию волатильности B(x,t) следующим образом: $A(x,t) = \frac{\left \langle \Delta F \right \rangle}{\Delta t}$ , а $B(x,t) = \frac{\left \langle \Delta F^2 \right \rangle}{\Delta t}$ . Тогда,

$A(x,t)= \frac {\frac{\partial F}{\partial x} (a_0 \Delta t) + \frac{1}{2} \frac{\partial ^2F}{\partial x^2}(b_0^2\Delta t) + \frac{\partial F}{\partial t} \Delta t} {\Delta t} = \frac{\partial F}{\partial x}a_0 + \frac{b_0^2}{2} \frac{\partial ^2F}{\partial x^2} + \frac{\partial F}{\partial t}$ $B^2(x,t)= \frac {(\frac{\partial F}{\partial x} (a_0 \Delta t) + \frac{1}{2} \frac{\partial ^2F}{\partial x^2}(b_0^2\Delta t) + \frac{\partial F}{\partial t} \Delta t)^2} {\Delta t} = b_0^2(\frac{\partial F}{\partial x}) \Rightarrow B(x,t) = b_0(\frac{\partial F}{\partial x})$

Получив функции сноса A(x,t) и функцию волатильности B(x,t) , дифференциал функции можно записать в виде дифференциального стохастического уравнения, заключением которого является лемма Ито:

$dF = \left(\frac{\partial F}{\partial t} + a(x,t)\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{b^2(x,t)}{2} \frac{\partial ^2F}{\partial x^2}\right)dt + b(x,t)\frac{\partial F}{\partial x} \delta W \qquad (6)$

Логарифмическое блуждание

Как отмечалось ранее, принципиальным для финансовой науки было получение уравнения, одновременно описывающего экспоненциальный рост цены и совмещающего в себе стохастическую составляющую. Поставленная задача решается применением леммы Ито. В формуле (6) функция a(x,t) заменяется на , а функция b(x,t) заменяется на $\sigma x$ ; вместо подставляется $\ln x$ .

$d(\ln x) =\left( \frac{\partial(\ln x)}{\partial t} + rx\frac{\partial(\ln x)}{\partial x} + \frac{(\sigma x)^2}{2} \frac{\partial ^2(\ln x)}{\partial x^2} \right) dt + \sigma x\frac{\partial (\ln x)}{\partial x} \delta W$

Вычислив производные и осуществив необходимые преобразования получим.

$d(\ln x) = \left(0 + rx \frac{1}{x} - \frac{(\sigma x)^2}{2} \frac{1}{x^2} \right)dt + \sigma x\frac{1}{x} \delta W \Rightarrow d(\ln x) = \left(r - \frac{\sigma^2}{2} \right)dt + \sigma \delta W$

Так как при и $\delta W$ стоят константы, данное дифференциальное уравнение можно записать в конечных разностях, затем выразить функцию $\ln x$ , после чего функцию цены актива x(t) получить прибегнув к потенцированию. В итоге приходим к принципиально важному уравнению, которое лежит в основе большинства моделей оценки справедливой стоимости финансовых инструментов.

$x = x_0e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})\Delta t+ \sigma \delta W} \qquad (7)$

В отсутствии стохастической составляющей, т.е. при $\sigma = 0$ уравнение (7) превращается в обычное уравнение размножения и гибели (2) , а при r=0 получим логарифмическое блуждание с нулевым сносом.

Код python

import math as mimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt%matplotlib inlineimport scipy.statsfrom scipy.stats import binomfrom scipy.stats import exponr =0.25sigma = 0.1t = 1/360x0 = 100num_plots = 10Days = 360*8Values = []DAYS = []for i in range (0, Days):    DAYS.append(i)plt.style.use('ggplot')plt.rcParams['lines.linewidth'] = 0.6fig, ax = plt.subplots()fig.set_figwidth(18)fig.set_figheight(9)colormap = plt.cm.gist_ncarfor i in range (0,num_plots):        for i in range (0,Days):                if i == 0:            #Генерация случайного числа            distribution = scipy.stats.norm(loc=0,scale=1)            sample = distribution.rvs(size=1)                        P = x0*np.exp( ((r - (sigma**2/2))*t) + (sigma*sample*np.sqrt(t)))            Values.append(P)                    else:            #Генерация случайного числа            distribution = scipy.stats.norm(loc=0,scale=1)            sample = distribution.rvs(size=1)                        K = Values[-1]*np.exp( ((r - (sigma**2/2))*t) + (sigma*sample*np.sqrt(t)))            Values.append(K)    ax.plot(DAYS, Values)    Values= []

Список использованных источников.

Степанов С.С. "Стохастический мир", 2009 г. 376 с.
Жуленев С.В. "Финансовая математика. Введение в классическую теорию. Часть 2.", 2012 г. 419 с.
Ширяев А.Н. "Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты. Модели", 1998 512 с.

Подробнее..

Категории: Визуализация данных , Python , Физика , Математика , Математическое моделирование , Финансы в it , Финансы , Трейдинг , Броуновское движение , Дифференциальные уравнения , Лемма ито , Стохастические процессы , Логарифмическое блуждание , Деривативы , Справедливая стоимость

Математика опционов или модель Блэка-Шоулза

13.04.2021 16:13:10 |

Автор: admin

Всеобщий интерес к модели Блэка-Шоулза (далее - БШ) вызван тем, что в свое время ее авторы произвели революцию сфере оценки справедливой стоимости опционов и иных производных финансовых инструментов. В дальнейшем они получили Нобелевскую премию за свои открытия, а выведенная ими аналитическая формула, стала пожалуй, самой фундаментальной и известной в мире финансов.

Не меньший интерес модель БШ вызывает с точки зрения низкоуровневого математического и теоретико-вероятностного анализа. В статье подробно рассмотрен процесс обоснования опорных и ключевых принципов модели БШ, а также в процессе доказательств выводится аналитическая формула, которая используется для оценки справедливой стоимости опционов.

Базовые понятия

Опцион - договор, по которому покупатель опциона получает право, но не обязательство, совершить покупку или продажу данного актива по заранее оговорённой цене, которая называется ценой исполнения или страйк.

Для целей дальнейшего анализа такой финансовый инструмент наиболее точно представим в виде функции, которая описывает выплаты по опциону в момент экспирации контракта. Для более простого и интуитивного понимания, будем рассматривать опцион типа Call, функция выплат по которому выглядит следующим образом.

где, цена базового актива, цена страйк.

С практической точки зрения, функция предполагает получение выгоды покупателем опциона в случае, если цена базового активапревысит цену страйк x_s и которая будет совпадать с разностью [x-x_s] . В противном случае, держатель опциона получит убыток равный, уплаченной премии за приобретение опционного контракта.

Понятие справедливой стоимости наглядно иллюстрируется тем, что в момент заключения сделки ни одна из сторон не должна находится в преимущественном положении. Такая расстановка сил окажется возможной только в том случае, если стоимость опциона будет равна ожидаемой прибыли по нему. Иначе говоря, мы будем готовы заплатить за опцион ровно столько, сколько сможем на нем заработать (в среднем).

Исходя из вышесказанного, логичным становится исследование функции C= max(x - x_s; 0) , как случайного процесса, зависящего от цены базового активаи времени , поскольку данная функция будет определять получаемую по опциону прибыль в конкретный момент времени, а следовательно и его справедливую стоимость.

Уравнение БШ в частных производных

Чтобы продвинутся в направлении вывода формулы БШ необходимо обратиться к лемме Ито, позволяющей найти дифференциал функции, аргументом, которой является стохастический процесс. При этом необходимо знать стохастическое уравнение самого аргумента, являющегося случайным процессом.

Проанализируем применимость леммы Ито для нашего конкретного случая.

В самом деле, функция выплат C= max(x - x_s; 0) в качестве аргумента содержит случайный процесс x(t) . В силу того, что процесс x(t) является ценой базового актива, то наиболее логично допустить его описание дифференциальным уравнением логарифмического случайного блуждания: $dx = xrdt + x\sigma \delta W$ *. В итоге получим две компоненты, требуемые для применения леммы Ито.

Подставив имеющиеся у нас данные в формулу Ито получим соотношение представленное ниже:

$dC = \left(\frac{\partial C}{\partial t} + xr\frac{\partial C}{\partial x} + \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial x^2}\right)dt + x\sigma\frac{\partial C}{\partial x} \delta W \qquad (1)$

Нашему взору предстанет очень сложное дифференциальное стохастическое уравнение, которое имеет мало перспектив интегрирования в таком виде. Для упрощения уравнения (1) , требуется в первую очередь избавится от стохастической составляющей. Сделать это возможно путем формирования дельта-нейтрального портфеля.

$\Pi = \frac{\partial C}{\partial x} \cdot x - C(x, t) \qquad (2)$

где, $\Delta = \frac{\partial C}{\partial x}$ - дельта опциона или первая производная по .

Далее полагаем, что дельта опциона практически не меняется с изменением, таким образом $\Delta = const$ и дифференциальная форма дельта-нейтрального портфеля имеет следующий вид: $d \Pi = \Delta \cdot dx - dC$ . Заметим, чтонам известно, как логарифмическое случайное блуждание *, аберем из соотношения (1) . В итоге получаем:

$d \Pi = \Delta(xrdt + x\sigma \delta W) - \left [ \left(\frac{\partial C}{\partial t} + xr\frac{\partial C}{\partial x} + \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial x^2}\right)dt + x\sigma\frac{\partial C}{\partial x} \delta W \right ] \qquad (3)$

Если не забыть, что $\Delta = \frac{\partial C}{\partial x}$ и раскрыть скобки, то стохастическая составляющая $x\sigma\frac{\partial C}{\partial x} \delta W$ сократится и останется:

$d \Pi = - \left [\frac{\partial C}{\partial t} + \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial x^2}\right]dt \qquad (4)$

Дифференциальное уравнение выглядит уже вполне пригодно, однако требуется провести еще несколько преобразований. Заменяем переменнуюна $\tau$ , как $\tau = T-t$ , где период. Обе переменные определяют срок до экспирации опциона, однако в случаенаш срок увеличивается, а после замены на $\tau$ , срок будет сокращаться. На уровне производных, осуществленная замена приведет к следующему тождеству: $\frac{\partial C}{\partial t } = - \frac{\partial C}{\partial \tau }$ .

Опираясь на принципы B,S - рынка можно перейти к новому равенству: $d \Pi = \Pi rdt$ , гдебезрисковая ставка. Левую часть этого равенства заменяем соотношением (4) , а вместо $\Pi$ в правой части уравнения подставляем формулу (2) .

$\frac{\partial C}{\partial \tau }dt - \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial x^2}dt =\left( \frac{\partial C}{\partial x} \cdot x - C(x, t) \right ) rdt$

Раскроем скобки, разделим обе части наи получим уравнение БШ в частных производных:

$\frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2 x^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial x^2} + rx\frac{\partial C}{\partial x } \qquad (5)$

Сведение уравнения БШ к уравнению теплопроводности

Получив дифференциальное уравнение БШ, вопрос о поиске его решения остается актуальным. Забегая вперед, окажется, что такое уравнение можно свести к дифференциальному уравнению теплопроводности, решение которого хорошо известно.

Процесс получения уравнения теплопроводности из уравнения БШ носит чисто аналитический характер. Преобразования начинаются с замены $y = \ln x$ . Делается это для того чтобы избавится от функцийи x^2 , которые стоят при первой и второй производных соответственно.

Переходя к новой переменной, дифференцируем по правилу сложной функции, после чегои x^2 сокращаются, а уравнение приобретает следующий вид:

$\frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial y^2} + R\frac{\partial C}{\partial y } \qquad (6)$

где $R = r - \frac{\sigma^2}{2}$

Подробнее

Находим первую производную по, при условии $y = \ln x$

$\frac{\partial C}{\partial x} = \frac{\partial C}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{\partial C}{\partial y} \cdot \frac{1}{x}$

Вторую производную по, при условии $y = \ln x$

$\frac{\partial ^2 C}{\partial x^2} =\left ( \frac{\partial C}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx}\right )_x '= (\frac{\partial C}{\partial y})_x '\cdot \frac{dy}{dx} + \frac{\partial C}{\partial y} \cdot (\frac{dy}{dx})_x' = \left( (\frac{\partial C}{\partial y})_y' \cdot y'\right ) \cdot y'+ \frac{\partial C}{\partial y} \cdot y'' =$ $= \left( \frac{\partial^2 C}{\partial y^2} \frac{1}{x}\right ) \frac{1}{x} - \frac{\partial C}{\partial y} \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x^2}\left ( \frac{\partial^2 C}{\partial y^2} - \frac{\partial C}{\partial y}\right )$

Избавляемся оти

$\frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2 x^2}{2} \cdot \frac{1}{x^2}\left ( \frac{\partial^2 C}{\partial y^2} - \frac{\partial C}{\partial y}\right ) + rx \cdot \frac{1}{x} \frac{\partial C}{\partial y} \Leftrightarrow \frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2}{2} \left( \frac{\partial ^2 C}{\partial y^2} -\frac{\partial C}{\partial y } \right )+ r\frac{\partial C}{\partial y }$

Проводим дальнейшие преобразования для приведения к виду уравнения

$\frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2}{2} \left( \frac{\partial ^2 C}{\partial y^2} -\frac{\partial C}{\partial y } \right )+ r\frac{\partial C}{\partial y } \Rightarrow_1 \frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial y^2} - \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial C}{\partial y } + r\frac{\partial C}{\partial y } \Rightarrow_2$ $\frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial y^2} + (r - \frac{\sigma^2}{2}) \frac{\partial C}{\partial y } \Rightarrow_3 \frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial y^2} + R\frac{\partial C}{\partial y }$

где $R = r - \frac{\sigma^2}{2}$

Следующее преобразование намного менее приятное, однако в пару шагов приводит нас к уравнению теплопроводности. Для этого проводим замену: $C(e^y, \tau) = e^{\alpha y + \beta \tau} \cdot U(y, \tau)$ , а далее подбираем коэффициенты $\alpha$ и $\beta$ так, чтобы ряд членов уравнения взаимно сократились и мы получили искомое уравнение теплопроводности, представленное ниже:

$\frac{\partial U}{\partial \tau } = \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 U}{\partial y^2} \qquad (7)$ Подробнее

Подставляем $Ue^{\alpha y + \beta \tau}$ вместо функциив исходное уравнение

$\left (U e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_\tau ' + rUe^{\alpha y + \beta \tau} = \frac{\sigma^2}{2} \left (U e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_{yy} '' + R\left (U e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_y ' \qquad (*)$

Находим частную производную по $\tau$

$\left (U e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_\tau ' = \frac{\partial U}{\partial \tau} \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} + U \cdot \left ( e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_\tau ' = \frac{\partial U}{\partial \tau} \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} + \beta U \cdot e^{\alpha y + \beta \tau}$

Находим первую частную производную по

$\left (U e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_y ' = \frac{\partial U}{\partial y} \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} + U \cdot \left ( e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_y ' = \frac{\partial U}{\partial y} \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} + \alpha U \cdot e^{\alpha y + \beta \tau}$

Вторую частную производную по

$\left( { \frac{\partial U}{\partial y}} \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} + \alpha U \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} \right)_y '= \left( { \frac{\partial U}{\partial y}} \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} \right)_y' + \left (\alpha U \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_y' =$ $\left( { \frac{\partial^2 U}{\partial y^2}}e^{\alpha y + \beta \tau} + \alpha \frac{\partial U}{\partial y} e^{\alpha y + \beta \tau} \right) + \left ( \alpha \frac{\partial U}{\partial y} e^{\alpha y + \beta \tau} + \alpha^2 U e^{\alpha y + \beta \tau}\right ) =$ $e^{\alpha y + \beta \tau} \left( \frac{\partial^2 U}{\partial y^2} + 2\alpha \frac{\partial U}{\partial y} + \alpha^2 U \right)$

Подставляем найденные производные в уравнениеи делим обе части на $e^{\alpha y + \beta \tau}$

$\frac{\partial U}{\partial \tau} + \beta U + rU = \frac{\sigma^2}{2}\left( \frac{\partial^2 U}{\partial y^2} + 2\alpha \frac{\partial U}{\partial y} + \alpha^2 U \right) + R\left ( \frac{\partial U}{\partial y} + aU \right )$

Теперь положим $\alpha = -\frac{R}{\sigma^2}$ , а $\beta = -(r + \frac{R^2}{2 \sigma^2})$ , тогда получим следующее уравнение:

$\frac{\partial U}{\partial \tau} - (r + \frac{1}{2}\frac{R^2}{\sigma^2}) U + rU = \frac{\sigma^2}{2}\left( \frac{\partial^2 U}{\partial y^2} - \frac {2R}{\sigma^2} \frac{\partial U}{\partial y} + \frac{R^2}{\sigma^4} U \right) + R\left ( \frac{\partial U}{\partial y} - \frac{R}{ \sigma^2}U \right )$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые

В итоге останется соотношение, которое является уравнением тепловодности

$\frac{\partial U}{\partial \tau } = \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 U}{\partial y^2}$

Частным решением уравнения (7) является гауссиана:

$P(y, \tau, y_0) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi \tau }} \cdot \exp(-\frac{(y-y_0)^2}{2\sigma^2 \tau}) \qquad (8)$

Это проверяется непосредственно путем вычисления частных производных $(P)_\tau '$ , $(P)_{yy} ''$ и подстановки их в уравнение (7) .

Проверка решения

Для удобства введем следующее обозначение:

$e^{*} = \exp(-\frac{(y-y_0)^2}{2\sigma^2 \tau})$

Далее найдем частную производную по $\tau$ :

$\frac{\partial P}{\partial \tau} = \left (\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi \tau }} \right )_ \tau ' \cdot e^{*} + \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi \tau }} \cdot \left (\exp(-\frac{(y-y_0)^2}{2\sigma^2 \tau}) \right )_\tau ' =$ $- \frac{1}{2\sigma \tau \sqrt{2\pi \tau}} \cdot e^{*} + \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi \tau}}\cdot e^{*} \cdot \frac{(y-y_0)^2}{2\sigma^2 \tau^2} = e^{*} \left (\frac{(y-y_0)^2}{2 \sigma^3 \tau^2 \sqrt{2\pi \tau}} - \frac{1}{2\sigma \tau \sqrt{2\pi \tau}} \right )$

Затем найдем первую и вторую производную по:

$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi \tau}} \cdot (e^{*})_y' = - \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi \tau}} \cdot e^{*} \cdot \frac{(y-y_0)}{ \sigma^2 \tau} \Rightarrow$ $\frac{\partial^2 P}{\partial y^2} = \left (- \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi \tau}} \cdot e^{*} \cdot \frac{(y-y_0)}{\sigma^2 \tau} \right )_y' = \left (- \frac{1}{\sigma^3 \tau \sqrt{2\pi \tau}} \cdot \left ( e^{*} \cdot (y-y_0) \right ) \right )_y' =$ $- \frac{1}{\sigma^3 \tau \sqrt{2\pi \tau}} \cdot \left[\left( e^{*} \cdot (-\frac{(y-y_0)}{\sigma^2 \tau}) \cdot (y-y_0) \right ) + e^{*} \cdot 1\right] = e^{*} \cdot \left (\frac{(y-y_0)^2}{\sigma^5 \tau^2 \sqrt{2\pi \tau}} - \frac{1}{\sigma^3 \tau \sqrt{2\pi \tau}} \right )$

Подставим обе найденные производные в уравнение (7) и сократим на e^* . В итоге получаем тождество:

$\frac{(y-y_0)^2}{2 \sigma^3 \tau^2 \sqrt{2\pi \tau}} - \frac{1}{2\sigma \tau \sqrt{2\pi \tau}} = \frac{\sigma^2}{2}\left (\frac{(y-y_0)^2}{\sigma^5 \tau^2 \sqrt{2\pi \tau}} - \frac{1}{\sigma^3 \tau \sqrt{2\pi \tau}} \right )$

Значит гауссианав самом деле является частным решением нашего уравнения теплопроводности.

В виду линейности уравнения теплопроводности, для любой непрерывной функции u(s) интеграл:

$\int_ {-\infty}^{+\infty} u(s) P(y, \tau, s)ds,$

зависящий от параметрови $\tau$ , будет также решением уравнения (7) , на самом деле - общим решением. Итак, общее решение уравнения (7) имеет вид:

$U(y, \tau) = \int_{-\infty}^{+\infty} u(s) P(y, \tau, s)ds =\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi \tau }} \int_{-\infty}^{+\infty} u(s) \cdot \exp \left(-\frac{(y-s)^2}{2\sigma^2 \tau}\right)ds \qquad (9)$

Вычисление начальных условий

Для получения окончательного решения по формуле (9) следует найти функцию u(s) . Мы намереваемся доказать, что u(y) = U(y;0) для любой точки. Короткий путь - воспользоваться тем, что при $\tau \mapsto 0$ гауссиана переходит в дельта-функцию Дирака $\delta (y-s)$ и тогда:

$U(y; 0) = \int _{-\infty}^{+\infty}u(s) \delta (y-s)ds = u(y)$

Объясним это подробнее путем применения первой теоремы о среднем: если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] , и при этом функция g(x) не меняет знак и является интегрируемой, тогда существует такое число $c \in[a,b]$ , что:

$\int_{a}^{b} f(x)g(x) dx = f(c) \int_{a}^{b}g(x)dx$

Зададимся произвольно малым $\varepsilon > 0$ .

В виду свойств гауссианы при $\tau \mapsto 0$ "хвосты" $\int_{-\infty}^{y- \varepsilon }, \int_{y-\varepsilon }^{+\infty}$ могут быть сделаны сколь угодно малыми и тогда:

$U(y, \tau) \approx \int_{y- \varepsilon}^{y+ \varepsilon} u(s) P(y, \tau, s)ds$

Далее воспользуемся выше сформулированной теоремой о среднем и найдем $d \in [y-\varepsilon; y+\varepsilon ]$ такое, что

$\int_{y- \varepsilon}^{y+ \varepsilon} u(s) P(y, \tau, s)ds = u(d) \int_{y- \varepsilon}^{y+ \varepsilon} P(y, \tau, s)ds.$

Так как, $\lim_{\tau \mapsto 0} \int_{y- \varepsilon}^{y+ \varepsilon} P(y, \tau, s)ds = 1$ , то $u(d) \int_{y- \varepsilon}^{y+ \varepsilon} P(y, \tau, s)ds \approx u(d)$ . В силу того, что $\varepsilon >0$ выбрано произвольно малым, в пределе при $\tau \mapsto 0$ , получаем $d \mapsto y$ . Окончательно имеем:

Следовательно,

$u(y) = U(y;0) = e^{-\alpha y}\cdot C(e^{y}; 0) = e^{-\alpha y} \cdot \max (e^y -x_s;0)$

Аналитическая формула БШ

Так как, $\max (e^y -x_s;0)=0$ при условии $y < \ln x_s$ , то интеграл в правой части (9) сводится к виду:

$U(y, \tau) = \int_{\ln x_s}^{+\infty} (e^s - x_s)\frac{e^{-\alpha s}}{\sigma \sqrt{2 \pi \tau}} \exp\left(-\frac{(y-s)^2}{2 \sigma^2 \tau}\right)ds \qquad (10)$

Дальнейшее интегрирование соотношения (10) позволяет найти функцию $U(y;\tau)$ , которая соотносится с функцией стоимости опциона, как $C(e^y, \tau) = e^{\alpha y + \beta \tau} \cdot U(y, \tau)$ . Следовательно, нахождение решения $U(y, \tau)$ автоматически позволит найти функцию $C(e^y, \tau)$ .

Решение сводится к разделению интеграла (10) на разность двух интегралов и приведению их к функции нормированного нормального распределения.

После процесса интегрирования, представленного ниже получим анализируемую нами функцию Блэка-Шоулза:

$C = x_0F \left [ \frac{\ln(xe^{r\tau} / x_s)}{\sigma \sqrt{\tau}} + \frac{\sigma \sqrt{\tau}}{2} \right ] - x_se^{-r\tau}F \left [ \frac{\ln(xe^{r\tau} / x_s)}{\sigma \sqrt{\tau}} - \frac{\sigma \sqrt{\tau}}{2} \right ]$

где, функция нормированного нормального распределения, $\sigma -$ волатильность за единичный период.

Подробное решение

Осуществим необходимые замены, пересчитаем пределы интегрирования и вычислим дифференциал новой функции для соотношения:

$z = \frac{(s-y)}{ \sigma \sqrt{\tau}}; \qquad s = z\sigma \sqrt{\tau} + y \qquad$ $z(\ln x_s) = \frac{\ln x_s - y}{\sigma \sqrt{\tau}} =: \gamma \text{ - новый нижний предел}$ $dz = \left (\frac{(s-y)}{2 \sigma \sqrt{\tau}} \right )' ds \Rightarrow dz = \frac{ds}{\sigma \sqrt{\tau}} \Rightarrow ds = \sigma \sqrt{\tau}dz$

Переписываем интеграл с учетом ряда замен в новом виде:

$U(y, \tau) =\int_{\gamma }^{+\infty}\left (e^{(1-\alpha)(\sqrt{\tau} \sigma z + y)} - x_s e^{-\alpha(y + \sqrt{\tau}\sigma z)} \right ) \frac{e^{-\frac{z^2}{2}}}{\sigma \sqrt{2 \pi \tau}} \sqrt{\tau }\sigma dz =$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \int_{\gamma }^{+\infty}\left (e^{(1-\alpha)(\sqrt{\tau} \sigma z + y) -\frac{z^2}{2} } - x_s e^{-\alpha(y + \sqrt{\tau}\sigma z)-\frac{z^2}{2}} \right ) dz$

Далее представим имеющийся у нас интеграл в виде разности интегралов:

$U(y, \tau) =\frac{1}{\sqrt{2 \pi }}\left [ \int_{\gamma }^{+\infty}e^{(1-\alpha)(\sqrt{\tau} \sigma z + y)-\frac{z^2}{2}} dz -\int_{\gamma }^{+\infty} x_s e^{-\alpha(y + \sqrt{\tau}\sigma z)-\frac{z^2}{2}} dz \right ]$

Выделим полный квадрат в показателях экспонент и обозначим красным цветом члены, которые не зависят от переменной интегрирования.

Вынесем из под знака интеграла, выделенные красным цветом сомножители, после чего под интегралами, останутся функции, представимые в виде $e^{-\frac{v^2}{2}}$ , а значит отмеченные синим выражения будут легко сводится к нормированному нормальному распределению.

Обратим внимание на то, что в стандартном виде интеграл нормального распределения в качестве нижнего предела интегрирования содержит $-\infty$ , а верхним пределом является аргумент функции. Следовательно, в нашем случае необходимо поменять местами пределы интегрирования. Для этого воспользуемся свойствами функции нормального распределения:

$\frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \int_{\gamma}^{+\infty} e^{-\frac{z^2}{2}}dz= F(-\gamma) \qquad (*)$

Также постараемся сделать нашу запись более компактной, для этого выше и далее обозначаем функцию нормального распределения через, а ее аргументы заменим буквой. В силу того, функция нормального распределения содержит в качестве аргументов разные выражения, будем различать их, каки. В итоге получим следующую запись:

где, $d_1 = -\left(\gamma - \sigma\sqrt{\tau}(1-\alpha)\right)$ , а $d_2 =- \left( \gamma +\alpha \sigma \sqrt{\tau} \right)$ , с учетом минусов от *.

Теперь требуется провести обратные замены для аргументови, а также для сомножителей, которые выделены красным цветом. Вспоминаем, какие замены нами осуществлялись:

$\gamma =\frac{\ln x_s - y}{\sigma \sqrt{\tau}} ; \qquad \alpha = -\frac{R}{\sigma^2}; \qquad R = r -\frac{\sigma^2}{2};\qquad y = \ln x.$

После обратных замен аргументыив окончательном виде выглядят следующим образом:

$d_1 = \frac{\ln(xe^{r\tau} / x_s)}{\sigma \sqrt{\tau}} + \frac{\sigma \sqrt{\tau}}{2};\qquad d_2 = \frac{\ln(xe^{r\tau} / x_s)}{\sigma \sqrt{\tau}} - \frac{\sigma \sqrt{\tau}}{2}.$

Остается решить вопрос с громоздкими сомножителями, которые стоят перед функциями нормального распределения. Так как мы ищем решение для цены опциона $C(e^y, \tau)$ , то вспоминая замену, сделанную для сведения к уравнению теплопроводности $C(e^y, \tau) = e^{\alpha y + \beta \tau} \cdot U(y, \tau)$ , понимаем, что соотношение ** надо умножить на $e^{\alpha y + \beta \tau}$ .

При умножении складываем показатели экспонент и приступаем к проведению обратных замен. В итоге окажется, что $e^{\alpha y + \beta \tau} \cdot e^{y(1-\alpha ) + \frac{1}{2} \sigma^2 \tau (1-\alpha)^2}$ превратится в, а от $e^{\alpha y + \beta \tau} \cdot e^{{\alpha y+ a^2\sigma^2 \tau /2 }}$ останется только $e^{-r \tau}$ . Таким образом, итоговая формула БШ будет иметь следующий вид:

Список использованных источников

Степанов С.С. "Стохастический мир", 2009 г. 376 с.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для вузов. Часть 2, глава ХХ. 1985 г. 560 с.
Вентцель Е.С. Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. М., ACADEMA, 2003. - 480 с.
Жуленев С.В. "Финансовая математика. Введение в классическую теорию. Часть 2.", 2012 г. 419 с.
Ширяев А.Н. "Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты. Модели", 1998 512 с.

Подробнее..

Категории: Научно-популярное , Физика , Математика , Математическое моделирование , Финансы в it , Финансы , Фондовый рынок , Опционы , Трейдинг , Лемма ито , Стохастические процессы , Деривативы , Справедливая стоимость , Блэк-шоулз

Польза и вред деривативов

10.04.2021 14:17:23 |

Автор: admin

Введение

Многие инвесторы начинают свой путь с относительно простых инструментов: акций и облигаций. Однако рано или поздно им приходится столкнуться с более сложными способами заработка - производными финансовыми инструментами или же деривативами. Одни считают их оружием массового поражения, другие же говорят о возможности увеличения дохода и снижения риска. В данной статье попробуем разобраться, что такое деривативы и как к ним относиться.

Содержание

Введение
Что такое дериватив?
Фьючерсы
Опционы
Свопы
Аргументы за
Аргументы против
Вывод

Что такое дериватив?

Производный финансовый инструмент (дериватив) это договор, по которому обе стороны обязуются или получают возможность выполнить некоторые действия с базовым активом(акциям, облигациями, сырьём и т.д. ). Следует уточнить, что мы имеем дело не с активом, а с документом на покупку или продажу того или иного товара. Например, если акцию мы можем держать сколько угодно, то у дериватива есть свой срок обращения(обычно 3 месяца).

За всю финансовую историю мира появилось множество как обыкновенных, так и весьма экзотических производных инструментов. Однако в статье я буду рассматривать только опционы, фьючерсы и свопы.

Фьючерсы

Данный контракт обязует стороны в будущем продать или купить определённое количество товара по заданной цене . Например, если вы купите фьючерс на акцию на 3 месяца по цене 50 рублей и курс через 3 месяца возрастёт до 75 рублей, то вам поставят акцию по зафиксированной цене - 50, после вы сможете продать её на рынке за 75.

Фьючерсы появились в 18 веке, в качестве страховки для фермеров и торговцев зерном. Первое и ,по моему мнению , самое важное достоинство фьючерсов - хеджирование рисков. Хеджирование - это меры по страхованию рисков на рынке. К примеру, если вы купили акцию и продали фьючерс на неё, и прогноз оказался неудачным, то вы сможете продать акцию за цену покупки. Второе достоинство спекулятивная составляющая. За счёт операционной маржи , которая составляет 5-15% от общей стоимости фьючерсного контракта, спекулянт может увеличить свою прибыль в несколько раз.

Опционы

Опционы похожи на фьючерсы, однако между ними есть некоторые различия. Если фьючерс обязательно нужно исполнить в конце его обращения, то опцион даёт лишь право на исполнение и не к чему не обязывает. Чтобы контрагент согласился на сделку, инвестор должен внести некоторую часть от общей стоимости(5-10%) - так называемую премию.

Существует 2 типа опционов: колл и пут. Колл позволяет купить актив по определённой цене в заданное время. Соответственно инвестор выиграет, если курс пойдёт вверх, так как купит за меньшую цену, а продаст за большую. Пут позволяет продать актив по определённой цене в заданное время. Инвестор получит прибыль от падения актива, так как купит по уже упавшей цене, а продаст за зафиксированную в опционе цену.

Очевидные достоинства опциона заключаются в его свободолюбивом отношении к инвестору. В частности, если курс пойдёт так, как вы предполагали, то можно просто не исполнить опцион, но при этом потерять размер премии. Хеджировать с помощью опционов, с точки зрения потерь, удобнее, чем фьючерсами. Возможность потерять лишь малую часть от своих средств открывает простор для спекуляций, существует множество стратегий торговли опционами, среди них известные в определённых кругах стреддл и стрэнгл.

Свопы

Основная функция свопов - обмен обязательствами между контрагентами. Наиболее распространёнными являются кредитные дефолтные свопы и процентные свопы. Первые имеют плохую репутацию из-за кризиса 2008 года. Вторые же используются крупными компаниями в качестве инструмента хеджирования.

Кредитные дефолтные свопы

CDS - это инструмент, которым пользуются крупные игроки, чтобы защититься от риска неуплаты долгов. Работает это так: пенсионный фонд решает дать в долг компании А с рейтингом BB, однако фонд может инвестировать в активы AA. Поэтому фонд находит страховщика с рейтингом АА и обязует его, в случае дефолта компании А, выплатить долг. За это фонд будет платить часть от процента по долгу страховщику.
Процентные свопы

Процентный своп используется для того, чтобы обменять плавающую процентную ставку на фиксированную или наоборот.

Свопы - это инструмент, которым пользуются подготовленные институциональные инвесторы. Обычным игрокам лучше не стремиться попасть на этот рынок, так как он довольно сложен и требует специальной финансовой подготовки.

Свопы позволяют минимизировать риски или же имеют опции, не доступные опционам и фьючерсам (обмен процентных ставок). При грамотном использовании, данный инструмент позволяет максимизировать прибыль и минимизировать убытки.

Аргументы за

Исходя из вышесказанного, рынок деривативов позволяет инвестору более эффективно управлять портфелем. Производные инструменты отлично подходят для хеджирования рисков(собственно, из-за этого они и были созданы). Также, буквально "вшитая" в контракт маржа позволяет при удачном стечении обстоятельств приумножить свою прибыль.

Неотъемлемым достоинством деривативов является необходимость вносить только определённую часть от основной суммы, что позволяет платить меньше, чем за приобретение реальной акции, облигации и т.д.

Также производные инструменты предоставляют более обширные возможности на рынке. К примеру свопы позволяют обменять процентную ставку или застраховать кредитора от невыплат.

Аргументы против

В своём письме к акционерам Уоррен Баффетт назвал деривативы "финансовым оружием массового поражения". Почему при всех достоинствах данных инструментов, Баффетт отзывается о них так негативно? На самом деле фьючерсы, опционы, свопы и другие контракты, при неправильном использовании, могут приносить большие убытки компаниям.

Так случилось с Amaranth Advisors LLC в 2006 году. Хедж-фонд пытался играть на спреде, но открыл слишком много сделок по фьючерсам на газ, ликвидность которых снизилась из-за большого количества сделок, и потерял 5 млрд. $.

Ещё одним примером является случай компании Allied Lyons. Купив опционы на фунт, чтобы защититься от валютного риска, но при повышении курса компания, вместо того, чтобы отказаться от исполнения опциона пут, начала продавать опционы колл и понесла убытки в размере 269 млн.

Свопы, в особенности CDO и CDS, являлись одной из причин кризиса 2008 года. Отсутствие контроля за рынком производных ценных бумаг со стороны государства, привел к тому, что схемы с участием свопов становились сложнее и менее обеспеченными базисным активом(ипотекой, ипотечными облигациями).

Вывод

Производные инструменты полезны, если их использовать в хеджировании. Конечно можно спекулировать с помощью деривативов, но как показывает практика, такое положение вещей приносит убытки. Пользование таким сложным инструментом предусматривает знание финансового рынка.

В итоге можно сказать, что при достаточной квалификации, контролем за своим портфелем , и чётко поставленных целях, деривативы смогут принести прибыль и помочь защититься от рисков.

Литература

Уильям Шарп "Инвестиции"

Лоран Жак "Опасные игры с деривативами"

Подробнее..

Категории: Финансы в it , Управление рисками , Деривативы

	Русский
	English

Деривативы

Лемма Ито

Уравнение цены

Броуновское движение

Лемма Ито

Математика опционов или модель Блэка-Шоулза

Базовые понятия

Уравнение БШ в частных производных

Сведение уравнения БШ к уравнению теплопроводности

Вычисление начальных условий

Аналитическая формула БШ

Список использованных источников

Польза и вред деривативов

Введение

Содержание

Что такое дериватив?

Фьючерсы

Опционы

Свопы

Аргументы за

Аргументы против

Вывод

Литература

Категории

Последние комментарии