Математика опционов или модель Блэка-Шоулза

Всеобщий интерес к модели Блэка-Шоулза (далее - БШ) вызван тем, что в свое время ее авторы произвели революцию сфере оценки справедливой стоимости опционов и иных производных финансовых инструментов. В дальнейшем они получили Нобелевскую премию за свои открытия, а выведенная ими аналитическая формула, стала пожалуй, самой фундаментальной и известной в мире финансов.

Не меньший интерес модель БШ вызывает с точки зрения низкоуровневого математического и теоретико-вероятностного анализа. В статье подробно рассмотрен процесс обоснования опорных и ключевых принципов модели БШ, а также в процессе доказательств выводится аналитическая формула, которая используется для оценки справедливой стоимости опционов.

Базовые понятия

Опцион - договор, по которому покупатель опциона получает право, но не обязательство, совершить покупку или продажу данного актива по заранее оговорённой цене, которая называется ценой исполнения или страйк.

Для целей дальнейшего анализа такой финансовый инструмент наиболее точно представим в виде функции, которая описывает выплаты по опциону в момент экспирации контракта. Для более простого и интуитивного понимания, будем рассматривать опцион типа Call, функция выплат по которому выглядит следующим образом.

где, цена базового актива, цена страйк.

С практической точки зрения, функция предполагает получение выгоды покупателем опциона в случае, если цена базового активапревысит цену страйк x_s и которая будет совпадать с разностью [x-x_s] . В противном случае, держатель опциона получит убыток равный, уплаченной премии за приобретение опционного контракта.

Понятие справедливой стоимости наглядно иллюстрируется тем, что в момент заключения сделки ни одна из сторон не должна находится в преимущественном положении. Такая расстановка сил окажется возможной только в том случае, если стоимость опциона будет равна ожидаемой прибыли по нему. Иначе говоря, мы будем готовы заплатить за опцион ровно столько, сколько сможем на нем заработать (в среднем).

Исходя из вышесказанного, логичным становится исследование функции C= max(x - x_s; 0) , как случайного процесса, зависящего от цены базового активаи времени , поскольку данная функция будет определять получаемую по опциону прибыль в конкретный момент времени, а следовательно и его справедливую стоимость.

Уравнение БШ в частных производных

Чтобы продвинутся в направлении вывода формулы БШ необходимо обратиться к лемме Ито, позволяющей найти дифференциал функции, аргументом, которой является стохастический процесс. При этом необходимо знать стохастическое уравнение самого аргумента, являющегося случайным процессом.

Проанализируем применимость леммы Ито для нашего конкретного случая.

В самом деле, функция выплат C= max(x - x_s; 0) в качестве аргумента содержит случайный процесс x(t) . В силу того, что процесс x(t) является ценой базового актива, то наиболее логично допустить его описание дифференциальным уравнением логарифмического случайного блуждания: $dx = xrdt + x\sigma \delta W$ *. В итоге получим две компоненты, требуемые для применения леммы Ито.

Подставив имеющиеся у нас данные в формулу Ито получим соотношение представленное ниже:

$dC = \left(\frac{\partial C}{\partial t} + xr\frac{\partial C}{\partial x} + \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial x^2}\right)dt + x\sigma\frac{\partial C}{\partial x} \delta W \qquad (1)$

Нашему взору предстанет очень сложное дифференциальное стохастическое уравнение, которое имеет мало перспектив интегрирования в таком виде. Для упрощения уравнения (1) , требуется в первую очередь избавится от стохастической составляющей. Сделать это возможно путем формирования дельта-нейтрального портфеля.

$\Pi = \frac{\partial C}{\partial x} \cdot x - C(x, t) \qquad (2)$

где, $\Delta = \frac{\partial C}{\partial x}$ - дельта опциона или первая производная по .

Далее полагаем, что дельта опциона практически не меняется с изменением, таким образом $\Delta = const$ и дифференциальная форма дельта-нейтрального портфеля имеет следующий вид: $d \Pi = \Delta \cdot dx - dC$ . Заметим, чтонам известно, как логарифмическое случайное блуждание *, аберем из соотношения (1) . В итоге получаем:

$d \Pi = \Delta(xrdt + x\sigma \delta W) - \left [ \left(\frac{\partial C}{\partial t} + xr\frac{\partial C}{\partial x} + \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial x^2}\right)dt + x\sigma\frac{\partial C}{\partial x} \delta W \right ] \qquad (3)$

Если не забыть, что $\Delta = \frac{\partial C}{\partial x}$ и раскрыть скобки, то стохастическая составляющая $x\sigma\frac{\partial C}{\partial x} \delta W$ сократится и останется:

$d \Pi = - \left [\frac{\partial C}{\partial t} + \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial x^2}\right]dt \qquad (4)$

Дифференциальное уравнение выглядит уже вполне пригодно, однако требуется провести еще несколько преобразований. Заменяем переменнуюна $\tau$ , как $\tau = T-t$ , где период. Обе переменные определяют срок до экспирации опциона, однако в случаенаш срок увеличивается, а после замены на $\tau$ , срок будет сокращаться. На уровне производных, осуществленная замена приведет к следующему тождеству: $\frac{\partial C}{\partial t } = - \frac{\partial C}{\partial \tau }$ .

Опираясь на принципы B,S - рынка можно перейти к новому равенству: $d \Pi = \Pi rdt$ , гдебезрисковая ставка. Левую часть этого равенства заменяем соотношением (4) , а вместо $\Pi$ в правой части уравнения подставляем формулу (2) .

$\frac{\partial C}{\partial \tau }dt - \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial x^2}dt =\left( \frac{\partial C}{\partial x} \cdot x - C(x, t) \right ) rdt$

Раскроем скобки, разделим обе части наи получим уравнение БШ в частных производных:

$\frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2 x^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial x^2} + rx\frac{\partial C}{\partial x } \qquad (5)$

Сведение уравнения БШ к уравнению теплопроводности

Получив дифференциальное уравнение БШ, вопрос о поиске его решения остается актуальным. Забегая вперед, окажется, что такое уравнение можно свести к дифференциальному уравнению теплопроводности, решение которого хорошо известно.

Процесс получения уравнения теплопроводности из уравнения БШ носит чисто аналитический характер. Преобразования начинаются с замены $y = \ln x$ . Делается это для того чтобы избавится от функцийи x^2 , которые стоят при первой и второй производных соответственно.

Переходя к новой переменной, дифференцируем по правилу сложной функции, после чегои x^2 сокращаются, а уравнение приобретает следующий вид:

$\frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial y^2} + R\frac{\partial C}{\partial y } \qquad (6)$

где $R = r - \frac{\sigma^2}{2}$

Подробнее

Находим первую производную по, при условии $y = \ln x$

$\frac{\partial C}{\partial x} = \frac{\partial C}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{\partial C}{\partial y} \cdot \frac{1}{x}$

Вторую производную по, при условии $y = \ln x$

$\frac{\partial ^2 C}{\partial x^2} =\left ( \frac{\partial C}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx}\right )_x '= (\frac{\partial C}{\partial y})_x '\cdot \frac{dy}{dx} + \frac{\partial C}{\partial y} \cdot (\frac{dy}{dx})_x' = \left( (\frac{\partial C}{\partial y})_y' \cdot y'\right ) \cdot y'+ \frac{\partial C}{\partial y} \cdot y'' =$ $= \left( \frac{\partial^2 C}{\partial y^2} \frac{1}{x}\right ) \frac{1}{x} - \frac{\partial C}{\partial y} \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x^2}\left ( \frac{\partial^2 C}{\partial y^2} - \frac{\partial C}{\partial y}\right )$

Избавляемся оти

$\frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2 x^2}{2} \cdot \frac{1}{x^2}\left ( \frac{\partial^2 C}{\partial y^2} - \frac{\partial C}{\partial y}\right ) + rx \cdot \frac{1}{x} \frac{\partial C}{\partial y} \Leftrightarrow \frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2}{2} \left( \frac{\partial ^2 C}{\partial y^2} -\frac{\partial C}{\partial y } \right )+ r\frac{\partial C}{\partial y }$

Проводим дальнейшие преобразования для приведения к виду уравнения

$\frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2}{2} \left( \frac{\partial ^2 C}{\partial y^2} -\frac{\partial C}{\partial y } \right )+ r\frac{\partial C}{\partial y } \Rightarrow_1 \frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial y^2} - \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial C}{\partial y } + r\frac{\partial C}{\partial y } \Rightarrow_2$ $\frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial y^2} + (r - \frac{\sigma^2}{2}) \frac{\partial C}{\partial y } \Rightarrow_3 \frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial y^2} + R\frac{\partial C}{\partial y }$

где $R = r - \frac{\sigma^2}{2}$

Следующее преобразование намного менее приятное, однако в пару шагов приводит нас к уравнению теплопроводности. Для этого проводим замену: $C(e^y, \tau) = e^{\alpha y + \beta \tau} \cdot U(y, \tau)$ , а далее подбираем коэффициенты $\alpha$ и $\beta$ так, чтобы ряд членов уравнения взаимно сократились и мы получили искомое уравнение теплопроводности, представленное ниже:

$\frac{\partial U}{\partial \tau } = \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 U}{\partial y^2} \qquad (7)$ Подробнее

Подставляем $Ue^{\alpha y + \beta \tau}$ вместо функциив исходное уравнение

$\left (U e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_\tau ' + rUe^{\alpha y + \beta \tau} = \frac{\sigma^2}{2} \left (U e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_{yy} '' + R\left (U e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_y ' \qquad (*)$

Находим частную производную по $\tau$

$\left (U e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_\tau ' = \frac{\partial U}{\partial \tau} \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} + U \cdot \left ( e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_\tau ' = \frac{\partial U}{\partial \tau} \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} + \beta U \cdot e^{\alpha y + \beta \tau}$

Находим первую частную производную по

$\left (U e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_y ' = \frac{\partial U}{\partial y} \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} + U \cdot \left ( e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_y ' = \frac{\partial U}{\partial y} \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} + \alpha U \cdot e^{\alpha y + \beta \tau}$

Вторую частную производную по

$\left( { \frac{\partial U}{\partial y}} \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} + \alpha U \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} \right)_y '= \left( { \frac{\partial U}{\partial y}} \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} \right)_y' + \left (\alpha U \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_y' =$ $\left( { \frac{\partial^2 U}{\partial y^2}}e^{\alpha y + \beta \tau} + \alpha \frac{\partial U}{\partial y} e^{\alpha y + \beta \tau} \right) + \left ( \alpha \frac{\partial U}{\partial y} e^{\alpha y + \beta \tau} + \alpha^2 U e^{\alpha y + \beta \tau}\right ) =$ $e^{\alpha y + \beta \tau} \left( \frac{\partial^2 U}{\partial y^2} + 2\alpha \frac{\partial U}{\partial y} + \alpha^2 U \right)$

Подставляем найденные производные в уравнениеи делим обе части на $e^{\alpha y + \beta \tau}$

$\frac{\partial U}{\partial \tau} + \beta U + rU = \frac{\sigma^2}{2}\left( \frac{\partial^2 U}{\partial y^2} + 2\alpha \frac{\partial U}{\partial y} + \alpha^2 U \right) + R\left ( \frac{\partial U}{\partial y} + aU \right )$

Теперь положим $\alpha = -\frac{R}{\sigma^2}$ , а $\beta = -(r + \frac{R^2}{2 \sigma^2})$ , тогда получим следующее уравнение:

$\frac{\partial U}{\partial \tau} - (r + \frac{1}{2}\frac{R^2}{\sigma^2}) U + rU = \frac{\sigma^2}{2}\left( \frac{\partial^2 U}{\partial y^2} - \frac {2R}{\sigma^2} \frac{\partial U}{\partial y} + \frac{R^2}{\sigma^4} U \right) + R\left ( \frac{\partial U}{\partial y} - \frac{R}{ \sigma^2}U \right )$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые

В итоге останется соотношение, которое является уравнением тепловодности

$\frac{\partial U}{\partial \tau } = \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 U}{\partial y^2}$

Частным решением уравнения (7) является гауссиана:

$P(y, \tau, y_0) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi \tau }} \cdot \exp(-\frac{(y-y_0)^2}{2\sigma^2 \tau}) \qquad (8)$

Это проверяется непосредственно путем вычисления частных производных $(P)_\tau '$ , $(P)_{yy} ''$ и подстановки их в уравнение (7) .

Проверка решения

Для удобства введем следующее обозначение:

$e^{*} = \exp(-\frac{(y-y_0)^2}{2\sigma^2 \tau})$

Далее найдем частную производную по $\tau$ :

$\frac{\partial P}{\partial \tau} = \left (\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi \tau }} \right )_ \tau ' \cdot e^{*} + \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi \tau }} \cdot \left (\exp(-\frac{(y-y_0)^2}{2\sigma^2 \tau}) \right )_\tau ' =$ $- \frac{1}{2\sigma \tau \sqrt{2\pi \tau}} \cdot e^{*} + \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi \tau}}\cdot e^{*} \cdot \frac{(y-y_0)^2}{2\sigma^2 \tau^2} = e^{*} \left (\frac{(y-y_0)^2}{2 \sigma^3 \tau^2 \sqrt{2\pi \tau}} - \frac{1}{2\sigma \tau \sqrt{2\pi \tau}} \right )$

Затем найдем первую и вторую производную по:

$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi \tau}} \cdot (e^{*})_y' = - \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi \tau}} \cdot e^{*} \cdot \frac{(y-y_0)}{ \sigma^2 \tau} \Rightarrow$ $\frac{\partial^2 P}{\partial y^2} = \left (- \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi \tau}} \cdot e^{*} \cdot \frac{(y-y_0)}{\sigma^2 \tau} \right )_y' = \left (- \frac{1}{\sigma^3 \tau \sqrt{2\pi \tau}} \cdot \left ( e^{*} \cdot (y-y_0) \right ) \right )_y' =$ $- \frac{1}{\sigma^3 \tau \sqrt{2\pi \tau}} \cdot \left[\left( e^{*} \cdot (-\frac{(y-y_0)}{\sigma^2 \tau}) \cdot (y-y_0) \right ) + e^{*} \cdot 1\right] = e^{*} \cdot \left (\frac{(y-y_0)^2}{\sigma^5 \tau^2 \sqrt{2\pi \tau}} - \frac{1}{\sigma^3 \tau \sqrt{2\pi \tau}} \right )$

Подставим обе найденные производные в уравнение (7) и сократим на e^* . В итоге получаем тождество:

$\frac{(y-y_0)^2}{2 \sigma^3 \tau^2 \sqrt{2\pi \tau}} - \frac{1}{2\sigma \tau \sqrt{2\pi \tau}} = \frac{\sigma^2}{2}\left (\frac{(y-y_0)^2}{\sigma^5 \tau^2 \sqrt{2\pi \tau}} - \frac{1}{\sigma^3 \tau \sqrt{2\pi \tau}} \right )$

Значит гауссианав самом деле является частным решением нашего уравнения теплопроводности.

В виду линейности уравнения теплопроводности, для любой непрерывной функции u(s) интеграл:

$\int_ {-\infty}^{+\infty} u(s) P(y, \tau, s)ds,$

зависящий от параметрови $\tau$ , будет также решением уравнения (7) , на самом деле - общим решением. Итак, общее решение уравнения (7) имеет вид:

$U(y, \tau) = \int_{-\infty}^{+\infty} u(s) P(y, \tau, s)ds =\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi \tau }} \int_{-\infty}^{+\infty} u(s) \cdot \exp \left(-\frac{(y-s)^2}{2\sigma^2 \tau}\right)ds \qquad (9)$

Вычисление начальных условий

Для получения окончательного решения по формуле (9) следует найти функцию u(s) . Мы намереваемся доказать, что u(y) = U(y;0) для любой точки. Короткий путь - воспользоваться тем, что при $\tau \mapsto 0$ гауссиана переходит в дельта-функцию Дирака $\delta (y-s)$ и тогда:

$U(y; 0) = \int _{-\infty}^{+\infty}u(s) \delta (y-s)ds = u(y)$

Объясним это подробнее путем применения первой теоремы о среднем: если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] , и при этом функция g(x) не меняет знак и является интегрируемой, тогда существует такое число $c \in[a,b]$ , что:

$\int_{a}^{b} f(x)g(x) dx = f(c) \int_{a}^{b}g(x)dx$

Зададимся произвольно малым $\varepsilon > 0$ .

В виду свойств гауссианы при $\tau \mapsto 0$ "хвосты" $\int_{-\infty}^{y- \varepsilon }, \int_{y-\varepsilon }^{+\infty}$ могут быть сделаны сколь угодно малыми и тогда:

$U(y, \tau) \approx \int_{y- \varepsilon}^{y+ \varepsilon} u(s) P(y, \tau, s)ds$

Далее воспользуемся выше сформулированной теоремой о среднем и найдем $d \in [y-\varepsilon; y+\varepsilon ]$ такое, что

$\int_{y- \varepsilon}^{y+ \varepsilon} u(s) P(y, \tau, s)ds = u(d) \int_{y- \varepsilon}^{y+ \varepsilon} P(y, \tau, s)ds.$

Так как, $\lim_{\tau \mapsto 0} \int_{y- \varepsilon}^{y+ \varepsilon} P(y, \tau, s)ds = 1$ , то $u(d) \int_{y- \varepsilon}^{y+ \varepsilon} P(y, \tau, s)ds \approx u(d)$ . В силу того, что $\varepsilon >0$ выбрано произвольно малым, в пределе при $\tau \mapsto 0$ , получаем $d \mapsto y$ . Окончательно имеем:

Следовательно,

$u(y) = U(y;0) = e^{-\alpha y}\cdot C(e^{y}; 0) = e^{-\alpha y} \cdot \max (e^y -x_s;0)$

Аналитическая формула БШ

Так как, $\max (e^y -x_s;0)=0$ при условии $y < \ln x_s$ , то интеграл в правой части (9) сводится к виду:

$U(y, \tau) = \int_{\ln x_s}^{+\infty} (e^s - x_s)\frac{e^{-\alpha s}}{\sigma \sqrt{2 \pi \tau}} \exp\left(-\frac{(y-s)^2}{2 \sigma^2 \tau}\right)ds \qquad (10)$

Дальнейшее интегрирование соотношения (10) позволяет найти функцию $U(y;\tau)$ , которая соотносится с функцией стоимости опциона, как $C(e^y, \tau) = e^{\alpha y + \beta \tau} \cdot U(y, \tau)$ . Следовательно, нахождение решения $U(y, \tau)$ автоматически позволит найти функцию $C(e^y, \tau)$ .

Решение сводится к разделению интеграла (10) на разность двух интегралов и приведению их к функции нормированного нормального распределения.

После процесса интегрирования, представленного ниже получим анализируемую нами функцию Блэка-Шоулза:

$C = x_0F \left [ \frac{\ln(xe^{r\tau} / x_s)}{\sigma \sqrt{\tau}} + \frac{\sigma \sqrt{\tau}}{2} \right ] - x_se^{-r\tau}F \left [ \frac{\ln(xe^{r\tau} / x_s)}{\sigma \sqrt{\tau}} - \frac{\sigma \sqrt{\tau}}{2} \right ]$

где, функция нормированного нормального распределения, $\sigma -$ волатильность за единичный период.

Подробное решение

Осуществим необходимые замены, пересчитаем пределы интегрирования и вычислим дифференциал новой функции для соотношения:

$z = \frac{(s-y)}{ \sigma \sqrt{\tau}}; \qquad s = z\sigma \sqrt{\tau} + y \qquad$ $z(\ln x_s) = \frac{\ln x_s - y}{\sigma \sqrt{\tau}} =: \gamma \text{ - новый нижний предел}$ $dz = \left (\frac{(s-y)}{2 \sigma \sqrt{\tau}} \right )' ds \Rightarrow dz = \frac{ds}{\sigma \sqrt{\tau}} \Rightarrow ds = \sigma \sqrt{\tau}dz$

Переписываем интеграл с учетом ряда замен в новом виде:

$U(y, \tau) =\int_{\gamma }^{+\infty}\left (e^{(1-\alpha)(\sqrt{\tau} \sigma z + y)} - x_s e^{-\alpha(y + \sqrt{\tau}\sigma z)} \right ) \frac{e^{-\frac{z^2}{2}}}{\sigma \sqrt{2 \pi \tau}} \sqrt{\tau }\sigma dz =$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \int_{\gamma }^{+\infty}\left (e^{(1-\alpha)(\sqrt{\tau} \sigma z + y) -\frac{z^2}{2} } - x_s e^{-\alpha(y + \sqrt{\tau}\sigma z)-\frac{z^2}{2}} \right ) dz$

Далее представим имеющийся у нас интеграл в виде разности интегралов:

$U(y, \tau) =\frac{1}{\sqrt{2 \pi }}\left [ \int_{\gamma }^{+\infty}e^{(1-\alpha)(\sqrt{\tau} \sigma z + y)-\frac{z^2}{2}} dz -\int_{\gamma }^{+\infty} x_s e^{-\alpha(y + \sqrt{\tau}\sigma z)-\frac{z^2}{2}} dz \right ]$

Выделим полный квадрат в показателях экспонент и обозначим красным цветом члены, которые не зависят от переменной интегрирования.

Вынесем из под знака интеграла, выделенные красным цветом сомножители, после чего под интегралами, останутся функции, представимые в виде $e^{-\frac{v^2}{2}}$ , а значит отмеченные синим выражения будут легко сводится к нормированному нормальному распределению.

Обратим внимание на то, что в стандартном виде интеграл нормального распределения в качестве нижнего предела интегрирования содержит $-\infty$ , а верхним пределом является аргумент функции. Следовательно, в нашем случае необходимо поменять местами пределы интегрирования. Для этого воспользуемся свойствами функции нормального распределения:

$\frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \int_{\gamma}^{+\infty} e^{-\frac{z^2}{2}}dz= F(-\gamma) \qquad (*)$

Также постараемся сделать нашу запись более компактной, для этого выше и далее обозначаем функцию нормального распределения через, а ее аргументы заменим буквой. В силу того, функция нормального распределения содержит в качестве аргументов разные выражения, будем различать их, каки. В итоге получим следующую запись:

где, $d_1 = -\left(\gamma - \sigma\sqrt{\tau}(1-\alpha)\right)$ , а $d_2 =- \left( \gamma +\alpha \sigma \sqrt{\tau} \right)$ , с учетом минусов от *.

Теперь требуется провести обратные замены для аргументови, а также для сомножителей, которые выделены красным цветом. Вспоминаем, какие замены нами осуществлялись:

$\gamma =\frac{\ln x_s - y}{\sigma \sqrt{\tau}} ; \qquad \alpha = -\frac{R}{\sigma^2}; \qquad R = r -\frac{\sigma^2}{2};\qquad y = \ln x.$

После обратных замен аргументыив окончательном виде выглядят следующим образом:

$d_1 = \frac{\ln(xe^{r\tau} / x_s)}{\sigma \sqrt{\tau}} + \frac{\sigma \sqrt{\tau}}{2};\qquad d_2 = \frac{\ln(xe^{r\tau} / x_s)}{\sigma \sqrt{\tau}} - \frac{\sigma \sqrt{\tau}}{2}.$

Остается решить вопрос с громоздкими сомножителями, которые стоят перед функциями нормального распределения. Так как мы ищем решение для цены опциона $C(e^y, \tau)$ , то вспоминая замену, сделанную для сведения к уравнению теплопроводности $C(e^y, \tau) = e^{\alpha y + \beta \tau} \cdot U(y, \tau)$ , понимаем, что соотношение ** надо умножить на $e^{\alpha y + \beta \tau}$ .

При умножении складываем показатели экспонент и приступаем к проведению обратных замен. В итоге окажется, что $e^{\alpha y + \beta \tau} \cdot e^{y(1-\alpha ) + \frac{1}{2} \sigma^2 \tau (1-\alpha)^2}$ превратится в, а от $e^{\alpha y + \beta \tau} \cdot e^{{\alpha y+ a^2\sigma^2 \tau /2 }}$ останется только $e^{-r \tau}$ . Таким образом, итоговая формула БШ будет иметь следующий вид:

Список использованных источников

Степанов С.С. "Стохастический мир", 2009 г. 376 с.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для вузов. Часть 2, глава ХХ. 1985 г. 560 с.
Вентцель Е.С. Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. М., ACADEMA, 2003. - 480 с.
Жуленев С.В. "Финансовая математика. Введение в классическую теорию. Часть 2.", 2012 г. 419 с.
Ширяев А.Н. "Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты. Модели", 1998 512 с.

Трансформеры за последние несколько лет штурмом захватили мир NLP, а сегодня они с успехом применяются в выходящих за рамки NLP приложениях. Они обладают такими возможностями благодаря модулю внимания, который схватывает отношения между всеми словами последовательностей. Но са

Пример расчётного доказательства в Lean

Математики давно используют компьютеры в своей работе как инструменты для сложных вычислений и выполнения рутинных операций перебора. Например, в 1976 году методом компьютерного перебора была доказана

Зарабатывать продажей лекарств, которые заведомо не работают, не только аморально, но и не особо легко. Люди всё-таки обычно не хотят покупать препараты, неэффективность которых была доказана. А вот если вы сумели выдавить заветное p < 0.05 в пользу того, что акупунктура та

В этой статье мы рассмотрим, что такое классификатор, поговорим о мультиклассовой классификации с помощью нейронных сетей. Затем, ознакомившись с контекстом перейдем к основному топику поста к Log-Sum-Exp Trick. Напишем формулы и разберемся, как этот трюк помогает избежать переполнения чисел с плавающей то

В дополнение к открытым спутниковым данным, некоторые из которых перечислены в статье Общедоступные данные дистанционного зондирования Земли: как получить и использовать, существует и множество производных продуктов например, рельеф. Притом можно найти открытый рельеф разного пространственного разрешения, равно как и множество коммерческих, и появляется задача выбрать лучший продукт из доступных.

Призма Вельда-Бланделла

На рубеже четвертого и третьего тысячелетия до нашей эры на Земле возникли две первые цивилизации. В долине Нила после объединения верхнего и нижнего Египта образовалось

Они отличаются тем, что у гибридных (Ca+, Ca/Sb) свинцовый сплав положительных решёток легирован сурьмой, а отрицательных кальцием, тогда как у кальциевых (Ca/Ca) те и другие кальцием. В результате, выделение газов происходит при разных напряжениях заряда, и токи окончания заряда при этих напряжениях тоже разные.

Однако, современные автом

Обложка к комиксу Weird science. 50-годы

NASA разрабатывает планетоход VIPER (Volatiles Investigating Polar Exploration Rover), который будет искать и составлять карту залежей воды на Луне.

Взгляд на наше космическое будущее из 1970-х годов

В период с 1956 по 1962 годы психолог Кейптаунского университета Курт Данцигер проводил масштабный опрос. По его просьбе 436 южноафриканских школьников и студентов написали

Восставший может погрузиться вбездну, апогрузившийся вбездну может вновь восстать. (Говард Филипс Лавкрафт. Зов Ктулху)

В бездну пучин сланцевых пород скалы эпохи Велнока,что на юге графства Херефордшир (Великобритания) раз за разом п

(Примечание переводчика: не нашёл публикации (-ий) по данной теме на Хабре.)

Блоуинг Рок, Северная Каролина, 21 декабря 2018 года организация Great Internet Mersenne

^{Предтеча мультиметра гальванометр}
Многие из нас практически ежедневно использует мультиметр по работе или в ходе реализации каких-то хобби-проектов. Есть простенькие мультиметры, которые измеряют лишь силу тока и напряжение. Есть очень сложные приборы, которые, кажется, способны измерить

Десять лет назад Марк Андриссен написал для Wall Street Journal статью под названием "Софт пожирает мир", в которой говорит о фундаментальном сдвиге ро

На днях столкнулся с предложением открыть карту рассрочки мне это было не особо актуально, но я сходу не понял, чем такая карта будет отличаться от кредитной. По заявлению менеджера основной ее плюс в том, что расплачиваться за товар можно будет несколько месяцев и все это бе

Мне давно нравятся Байесовские сети доверия

Недавно мы писали о противостоянии Apple и Spotify, в рамках которого компании продолжают мериться размерами роялти для музыкантов. Сегодня продолжим тему на повестке антимонопольное разбирательство и новые платные продукты.

Фотография: Joran Quinten. Источник: Unsplash.com

Современный мир удивительное место. Глобальная экономика, производственные цепочки, разнесенные по всему миру, и связность, казалось бы, абсолютно несовместимых между собой вещей через общие точки соприкосновения. Хорошим примером такой связности является то, что ажиотажный спрос на туалетную бумагу в США привел к дефициту электронных товаров всех категорий, а в перспективе вовсе к глобальному сбою в мировой торговле.

Нехватка электронных чипов от процессоров до модулей связи отражается на многих сферах. Поставщики десктопных компьютеров и ноутбуков не могут отгрузить требуемый объем продукции, автомобильная промышленность отказывается от некоторых моделей маш

Проектирование и строительство инструментов для Чрезвычайно большого телескопа (ELT) началось в 2015 году. В данном переводе работы (Ramsay et al.) будет представлен краткий обзор плана создания приборов для ELT.

Любой вопрос или замечания Вы можете написать в комментариях. Также

Более 100 лет известен такой механизм, как двигатель внутреннего сгорания.

Двигатели данного типа применяются повсеместно, как наиболее распространённый способ преобразования химической энергии в механическое движение.

Однако существует еще один вид совершенно замечательного двигателя кот

Ранняя Вселенная, вероятно, является одной из самых захватывающих космологических эпох, во время которой сформировался тот космос, который существует и поныне. Считается, что эта эпоха длилась около миллиарда лет, и за это время от Большого взрыва Вселенная успела выстроить нить галактик, пережить рождение и смерть первых звезд, а также засвидетельствовать появление первых крупных галактик и черных дыр. Историю той Вселенной мы зна

Взаимосвязь рельефа и силы тяжести напоминает известную проблему курицы и яйца. С одной стороны, рельеф несомненно влияет на измеряемую на его поверхности силу тяжести уровень рельефа определяет расстояние до центра масс планеты, а возвышения рельефа содержат дополнительные притягивающие массы. С другой стороны, сила тяжести так же несомненно влияет на рельеф, что особенно заметно в океанах, форма поверхности котор

Любой вопрос или замечания Вы можете написать в комментариях. Также я открыт для личного диалога втелеграмеили беседы внашем чате. А еще у меня есть

Не меньший интерес модель БШ вызывает с точки зрения низкоу

Лемма Ито играет ключевую роль в теории случайных процессов и находит свое приложение в моделях оценки справедливой стоимости финансовых инструментов. Так как стоимость любой производной ценной бумаги является функцией, зависящей в том числе от стохастических факторов, исследование и описание свойств таких функций имеет важное значение.

Лемма Ито применяется к процессам, которые подвержены некоторому сносу, а также воздейств

Не меньший интерес модель БШ вызывает с точки зрения низкоу

Лемма Ито применяется к процессам, которые подвержены некоторому сносу, а также воздейств

Впрошлой статьебыла попытка показать весь процесс обучения, отбора и тестирования моделей на торговой паре EUR/USD. В Google Colab работала схема:обучаем модели->тестируем->рисуем на графике. Попытка оказалась неудачной. Стремление не тащить в Colab тонну кода, а максимально все упростить привело к очень низкому качеству обучения. Сигналы выглядели неубедительно и кучковались

Не меньший интерес модель БШ вызывает с точки зрения низкоу

Видео-версия:

Всем привет.В прошлый раз я

Лемма Ито применяется к процессам, которые подвержены некоторому сносу, а также воздейств

...и не смог уволить сотрудника, который был в этом виноват.

Автор: Артём Наливайко.

Есть такой замечательный французский банк Societe Generale. Точнее не банк даже, а финансовая группа, но не суть. Каждый год правление банка рассылает сотрудникам письмо с кратким рассказом о результатах года. Меняются события, история, менеджмент. Лишь одно имя уже много лет остаётся неизменным.

В

Видео версия:

Несмотря на то, что сейчас

Опционы - вид ценных бумаг, вызывающих постоянный интерес даже у начинающих трейдеров. Об опционах написано немало статей, поэтому мы опустим ознакомительную часть и будем считать, что читатель знаком с основными терминами опционной торговли. Если что, то их толкование несложно найти в интернете.

После первого знакомства с теорией у начинающих торговцев опционами возникает вопрос: а при каких условиях данный набор опционов д

Не меньший интерес модель БШ вызывает с точки зрения низкоу

Видео-версия:

Всем привет.В прошлый раз я

Видео версия:

Несмотря на то, что сейчас

Видео версия:

Несмотря на то, что сейчас

В 21 веке, где ни одного программиста не удивишь теннисным столом, PS5 и ящиком снеков в офисе, нужно задумываться о новых способах мотивации. Ни один стартап не может позволить себе конкурировать с зарплатами талантливых сотрудников, в том числе программистов, гигантов технологического рынка. Чтобы заинтересовать сотрудника в свой проект, чтобы он также как и владелец переживал за развитие компании нужно делиться.

Прежде чем доверять свои деньги банку, хорошо бы убедиться, что там они будут в целости и сохранности, а сам банк не обанкротится через пару месяцев. Под надежностью банка обычно понимают его способность выполнять свои обязательства перед вкладчиками и кредиторами.

Что

В 2020 году произошел небывалый приток частных инвесторов на биржи как в России, так и за рубежом. Например, Московская биржа по итогам года

Сегментом особого внимания особенно в крупных производственных и промышленных организациях является учет спецодежды и спецоснастки с необходимостью оперативного получения информации об их наличии и состоянии, не только в суммовом, но и в количественном выражении.

Беря

В начале марта мы писали о том, что цены на SSD и DRAM продолжают расти, и это явно долгосрочный тренд: в ближайшем времени падения явно не будет. Всего за месяц стоимость чипов DDR4 увеличилась сразу на 7%, а DDR2 так и вовсе на 10%. И эт

Привет, ребят.

Недавно я задался вопросом, какой из путей перевода денег из Европы в Украину наиболее оптимальный. В наши дни существует довольно много банков как реальных, так и виртуальных, позволяющих переводить небольшие суммы денег с минимальными потерями. У каждого из них свои комиссии, свой курс обмена и другие нюансы. Я решил собрать некоторые из тех, которыми я пользуюсь (пользовался) на одной картине и по сути пост

Не меньший интерес модель БШ вызывает с точки зрения низкоу

Лемма Ито применяется к процессам, которые подвержены некоторому сносу, а также воздейств

Сегодня, благодаря MEMS-датчикам, инженеры начинают использовать инерциальные навигационные системы везде, где есть движение. В зависимости от требуемой точности как по углу, так и по координатам, применяют МЕМS-датчики разного уровня цены и интегрированности: от "все датчики в одной микросхеме" до "один датчик - одна микросхема". А сама инерциальная навигация, как часть инженерных систем, впервые появилась в торпедах, кораблях, ра

Предыдущая часть Апереодическое звено первого порядка.

3.4 Апереодическое звено второго порядка

Апереодическое звено выведем на уже известном примере. Мы разбирали вывод уравнений динамики демпфера в этой лекции. Но повторенье - мать ученья. Сначала будет много жесткой математики, а в конце наглядные модели.

У нас есть модел

Это третья часть рассказа про опционы, где мы поговорим про биномиальную модель, риск-нейтральную меру и разберёмся, как рассчитать цену опциона.

Если вы пропустили наш подробный рассказ про опционы, вот ссылки на предыдущие части:
Что такое опционы и кому это нужно.

Несколько лет назад я задумался, что моя работа стала ремеслом. Для того, чтобы ~~разнообразить серые будни~~ повысить свою стоимость как специалиста я поступил в магистратуру и сразу стал вопрос ребром - как после 15 лет после окончания первого ВТУЗа по написать ВКР, за которую не было бы стыдно?

Введение

Так получилось, что практически все 15 лет с того момента, как стал инженером, я занимался обслуживанием теп

Не меньший интерес модель БШ вызывает с точки зрения низкоу

Введение

Многие инвесторы начинают свой путь с относительно простых инструментов: акций и облигаций. Однако рано или поздно им приходится столкнуться с более сложными способами заработка - производными финансовыми инструментами или же деривативами. Одни считают их оружием массового поражения, другие же говорят о возможности увеличения дохода и снижения риска. В данной статье попробуем разобраться, что такое деривативы и ка

Лемма Ито применяется к процессам, которые подвержены некоторому сносу, а также воздейств

Не меньший интерес модель БШ вызывает с точки зрения низкоу

Лемма Ито применяется к процессам, которые подвержены некоторому сносу, а также воздейств

Шикарнейшая история, которая максимально точно характеризует сегодняшний фондовый рынок. Кто готов купить маленький продуктовый магазин в сельской местности Нью-Джерси за сотню миллионов долларов?

За последний год мы наблюдаем рекордные значения по открытию брокерских

Не меньший интерес модель БШ вызывает с точки зрения низкоу

Видео версия:

Несмотря на то, что сейчас

Видео версия:

Несмотря на то, что сейчас

Привет сообществу! Меня зовут Станислав, я занимаюсь торговлей на финансовых рынках (фондовый, срочный и валютный рынок) более 15 лет и в блоге буду рассказывать вам интересные истории из мира финтеха и индустрии трейдинга. Stay tuned.

Брокерская индустрия се

Аналитики Bank of America

Не меньший интерес модель БШ вызывает с точки зрения низкоу

	Русский
	English

Математика опционов или модель Блэка-Шоулза

Базовые понятия

Уравнение БШ в частных производных

Сведение уравнения БШ к уравнению теплопроводности

Вычисление начальных условий

Аналитическая формула БШ

Список использованных источников

Сейчас читают