Опционы

Видео версия:

Несмотря на то, что сейчас я тружусь в банке и моя должность звучит как исполнительный директор, биржевая торговля и создание торговых роботов к моим обязанностям не относится, и этим я развлекаюсь в свободное время. Так как в данном хобби за мной нет надзора, порой я исполняю всякую дичь, которая выходит боком. Вместе с тем, именно небольшие неудачи и поражения интересно разобрать, потому что если не я кто ж вам про такое расскажет, тем более в интернете - ведь тут все успешные как Тони Роббинс, я порой я удивляюсь, как у меня хватает наглости публиковать что-то в одной сети с такими замечательными людьми. Но, тем не менее. Пару слов для преамбулы.

Принято считать, что игра на бирже - это игра с нулевым результатом, то есть когда кто-то выигрывает деньги, их кто-то обязательно должен проиграть. На сегодняшний день это не совсем так, тем более в последние полтора года. Дело в том, что существует огромная масса денег, которые печатаются просто так, для обслуживания гос. долга Соединенных Штатов, и субсидирования их экономики. Часть этих денег получают юридические лица, а часть - физические. Если получателям не удается придумать, куда пристроить эти деньги в реальном секторе, они часто попадают на фондовый рынок, накачивая стоимость тех или иных активов. Поэтому, в последние годы, рынок перекошен в бычью сторону, то есть стратегии типа купи и держи на долгосроке работает. В такой ситуации остается думать о том, какой сектор или какая бумага растет быстрее других, что очень похоже на перестроения из ряда в ряд на шоссе - только перестроился, а другой ряд начинает ехать быстрее.

Тем не менее, случаются и коррекции, вот как сейчас. Некоторые выгадывают приближение коррекции через фигуры технического анализа, уровни, каналы, булл-трапы, ГИПы, некоторые просто событийно предсказывают, что в марте молодые и бестолковые "робингуды", типа меня, вспомнят, что надо платить налоги и начнут распродаваться. Но факт в том, что весенняя коррекция бывает и к ней надо быть готовыми, а я был готов недостаточно - слишком долго вокруг кричали Волки, волки, поэтому я был немного на расслабоне. Так называемый инвестиционный портфель мой состоял большей частью из опционов, причем разных типов.

В лонге, то есть с положительной позицией, я стоял по CALL опционам европейского типа, т.е. варрантами. Особенность таких бумаг на IB в том, что они продаются без плеча, то есть по ним можно переждать любую просадку длинной хоть в год. Тем не менее, они склонны падать гораздо резвее своего базового актива.

В шорте я стоял по PUT опционам американского типа с экспирацией в пределах 2х месяцев, часть из которых продавались ATM (около денег), часть вообще ITM (в деньгах). Плюс, у меня было куплено буквально несколько позиций стоков (акций), и проданы покрытые ими CALL опционы, сильно OTM (вне денег).

Как можете видеть, это совершенно очевидная направленная бычья позиция, хотя и относительно умеренная. В принципе, могло быть сильно хуже, если например, покупать стоки с плечом 1 к 4, покупать прости госсподи CFD, или же например покупать CALL опционы с близкой экспирацией. Что же со всем этим произошло? Для начала, случился разворот на индексах, причем не столько на SP500, сколько на NASDAQ, к которому мой портфель оказался более чувствительным в плане стоков и варрантов. На бычьем рынке единственный параметр, который всех интересует, это Buying power - покупательская способность. Обычно она визуально выше суммы ваших свободных денег в 3-4 раза. В Interactive Brokers наряду с предоставляемым плечом, присутствуют ограничители, которые не позволяют клиенту разгуляться, и нанести своему счету непоправимый вред. Это, в частности Excess Liquidity избыточная ликвидность, запас вашей финансовой прочности. Excess Liquidity = Equity with Loan Value Maintenance Margin стоимость активов - минимальная маржа. Именно последний элемент уравнения создает наибольшие проблемы в моменты возрастания волатильности в ходе коррекции. Дело в том, что существует огромная разница между требуемой маржой покрытого опциона и непокрытого. Наличие у вас позиции по стоку, гарантирует то, что вы исполните обязательство по проданному опциону в любом случае, поэтому при продаже и откупе опциона маржа не меняется. Вверху на картинке влияние на маржу откупа покрытого опциона CALL, она нулевая, внизу - непокрытого PUT - оно существенно больше самой премии продавца.

Но вот что интересно. Несмотря на нулевое изменение Margin, как только Excess Liquidity становится отрицательной, вы не можете отправить ордер на откуп CALL опциона, потому что уменьшится Equity; а сток вы не можете продать, потому что опцион станет не покрытым и Margin тут же увеличится. Другими словами, в таких позициях вы парализованы и вам остается только уповать на милость божию.

Теперь о том, почему цена проданного опциона может резко поменяться, даже если внутренняя стоимость изменилась несущественно, но переоценили временную стоимость.

Там одним из множителей является прогнозируемая волатильность, а она (сигма в формуле Блэка-Шоулза)

возросла в коррекции, так как не только вы, а все кругом ловят stop lossы и margin callы, а их маркет ордера валят цены все ниже.

Если мысленно переместиться в будущее, тета (временная стоимость) перетечет в карман продавца, и останется только внутренняя стоимость - дельта. Но мы находимся в настоящем, поэтому маркет-мейкер задирает цену опциона, а брокер смотрит на нее и увеличивает маржинальные требования, чтоб будущая дельта не потопила и его, вместе с бестолковым клиентом. И теоретически возможная margin без плеча по проданному PUT опциону, если кто не понимает, это цена страйка, умноженная на 100 - это есть обязательство покупки упавших в 0.00 бумаг по цене страйка. По непокрытому CALL она не ограничена вообще ничем, но таких я не продавал и не планирую. Но все это теория, а что же происходит на практике? При отрицательной Excess Liquidity (он показывается красным цветом в Portfolio), я мог только закрывать позиции (кроме покрытых колов, как я уже сказал). Пришло письмецо счастья с морожовым требованием. И я действительно, по мелочи продал какие-то позиции, которые плюсовали несмотря на всю жесть, творящуюся на бирже. Потом, я понял, что прошло полдня, день, а ничего не происходило - это немного успокаивало. Вы таки спросите, а где же в этом момент был твой торговый робот, он же должен был давно сам все позакрывать, и ничего этого не было бы?

В общем-то, хватило бы и обычных стоп-лоссов. Строго говоря, робот нужен в основном для растущего рынка, чтоб не зафиксировать прибыль раньше времени - для организации т.н. "умного трейлинг-стопа", который включается не сразу, а по сигналу, может смотреть за курсом не только текущего инструмента, но и его андерлаинга, а также за индексами, новостным фоном, твиттером, реддитом и прочим. Почему же он не работал?

Ответ прост - когда начинается обвал, ты эмоционально отключаешь нафиг всю автоматизацию, потому что надеешься на чудо, так же и напрочь забываешь правила типа "резать убытки сразу, и дать прибыли течь" - думаешь, вот когда рынок отскочит, вот тогда я и дам прибыли течь, а сейчас буду просто тупо сидеть и смотреть как все идет прахом. И уже на следующий день, когда Excess Liquidity еще упала в район -10% от Net Liquidity, около закрытия биржи произошло вот что:

Брокер ликвидировал часть моих бумаг по рыночным ценам, чтобы привести Excess Liquidity в порядок - это были варранты и 1 сток. При этому был зафиксирован убыток больше 2.5 тысяч долларов. При этом, покрытые Call опционы он не тронул, как и проданные путы автоматически откупать не стал - это было бы вообще трагично. Пока что есть определенная вероятность, что в них удастся досидеть до экспирации или перекатить, с небольшим убытком или даже с прибылью.

Ну что здесь можно сказать.

Именно так, видимо, теряют деньги на бирже от 80 до 95 процентов доморощенных трейдеров. Им дают порезвиться, предоставляют плечо, когда рынок идет вверх, а когда он корректируется, зачастую одной длинной свечой, позиции принудительно закрывают в самой невыгодной для них точке. После чего рынок, возможно, разворачивается, и опять идет вверх, но уже без этих лишних пассажиров - их деньги уже у серьезных парней из хэдж фондов. Бывает конечно и наоборот, когда пассажиры, собравшись в банду на Reddit, раскулачивают серьезных парней (см. историю про GME - GameStop Corp), но это большая редкость. Хотя нынешняя коррекция, в принципе, не такая уж и сильная, но я ощутил, каково это бывает.

Надеюсь, эта история вас хоть чему-то научило, например, не загружаться на всю котлету, и вообще интересоваться, какого размера она у вас на самом деле, без плеча брокера и с учетом потенциальных убытков по проданным опционам.

Удачи!

Видео версия:

Несмотря на то, что сейчас я тружусь в банке и моя должность звучит как исполнительный директор, биржевая торговля и создание торговых роботов к моим обязанностям не относится, и этим я развлекаюсь в свободное время. Так как в данном хобби за мной нет надзора, порой я исполняю всякую дичь, которая выходит боком. Вместе с тем, именно небольшие неудачи и поражения интересно разобрать, потому что если не я кто ж вам про такое расскажет, тем более в интернете - ведь тут все успешные как Тони Роббинс, я порой я удивляюсь, как у меня хватает наглости публиковать что-то в одной сети с такими замечательными людьми. Но, тем не менее. Пару слов для преамбулы.

Принято считать, что игра на бирже - это игра с нулевым результатом, то есть когда кто-то выигрывает деньги, их кто-то обязательно должен проиграть. На сегодняшний день это не совсем так, тем более в последние полтора года. Дело в том, что существует огромная масса денег, которые печатаются просто так, для обслуживания гос. долга Соединенных Штатов, и субсидирования их экономики. Часть этих денег получают юридические лица, а часть - физические. Если получателям не удается придумать, куда пристроить эти деньги в реальном секторе, они часто попадают на фондовый рынок, накачивая стоимость тех или иных активов. Поэтому, в последние годы, рынок перекошен в бычью сторону, то есть стратегии типа купи и держи на долгосроке работает. В такой ситуации остается думать о том, какой сектор или какая бумага растет быстрее других, что очень похоже на перестроения из ряда в ряд на шоссе - только перестроился, а другой ряд начинает ехать быстрее.

Тем не менее, случаются и коррекции, вот как сейчас. Некоторые выгадывают приближение коррекции через фигуры технического анализа, уровни, каналы, булл-трапы, ГИПы, некоторые просто событийно предсказывают, что в марте молодые и бестолковые "робингуды", типа меня, вспомнят, что надо платить налоги и начнут распродаваться. Но факт в том, что весенняя коррекция бывает и к ней надо быть готовыми, а я был готов недостаточно - слишком долго вокруг кричали Волки, волки, поэтому я был немного на расслабоне. Так называемый инвестиционный портфель мой состоял большей частью из опционов, причем разных типов.

В лонге, то есть с положительной позицией, я стоял по CALL опционам европейского типа, т.е. варрантами. Особенность таких бумаг на IB в том, что они продаются без плеча, то есть по ним можно переждать любую просадку длинной хоть в год. Тем не менее, они склонны падать гораздо резвее своего базового актива.

В шорте я стоял по PUT опционам американского типа с экспирацией в пределах 2х месяцев, часть из которых продавались ATM (около денег), часть вообще ITM (в деньгах). Плюс, у меня было куплено буквально несколько позиций стоков (акций), и проданы покрытые ими CALL опционы, сильно OTM (вне денег).

Как можете видеть, это совершенно очевидная направленная бычья позиция, хотя и относительно умеренная. В принципе, могло быть сильно хуже, если например, покупать стоки с плечом 1 к 4, покупать прости госсподи CFD, или же например покупать CALL опционы с близкой экспирацией. Что же со всем этим произошло? Для начала, случился разворот на индексах, причем не столько на SP500, сколько на NASDAQ, к которому мой портфель оказался более чувствительным в плане стоков и варрантов. На бычьем рынке единственный параметр, который всех интересует, это Buying power - покупательская способность. Обычно она визуально выше суммы ваших свободных денег в 3-4 раза. В Interactive Brokers наряду с предоставляемым плечом, присутствуют ограничители, которые не позволяют клиенту разгуляться, и нанести своему счету непоправимый вред. Это, в частности Excess Liquidity избыточная ликвидность, запас вашей финансовой прочности. Excess Liquidity = Equity with Loan Value Maintenance Margin стоимость активов - минимальная маржа. Именно последний элемент уравнения создает наибольшие проблемы в моменты возрастания волатильности в ходе коррекции. Дело в том, что существует огромная разница между требуемой маржой покрытого опциона и непокрытого. Наличие у вас позиции по стоку, гарантирует то, что вы исполните обязательство по проданному опциону в любом случае, поэтому при продаже и откупе опциона маржа не меняется. Вверху на картинке влияние на маржу откупа покрытого опциона CALL, она нулевая, внизу - непокрытого PUT - оно существенно больше самой премии продавца.

Но вот что интересно. Несмотря на нулевое изменение Margin, как только Excess Liquidity становится отрицательной, вы не можете отправить ордер на откуп CALL опциона, потому что уменьшится Equity; а сток вы не можете продать, потому что опцион станет не покрытым и Margin тут же увеличится. Другими словами, в таких позициях вы парализованы и вам остается только уповать на милость божию.

Теперь о том, почему цена проданного опциона может резко поменяться, даже если внутренняя стоимость изменилась несущественно, но переоценили временную стоимость.

Там одним из множителей является прогнозируемая волатильность, а она (сигма в формуле Блэка-Шоулза)

возросла в коррекции, так как не только вы, а все кругом ловят stop lossы и margin callы, а их маркет ордера валят цены все ниже.

Если мысленно переместиться в будущее, тета (временная стоимость) перетечет в карман продавца, и останется только внутренняя стоимость - дельта. Но мы находимся в настоящем, поэтому маркет-мейкер задирает цену опциона, а брокер смотрит на нее и увеличивает маржинальные требования, чтоб будущая дельта не потопила и его, вместе с бестолковым клиентом. И теоретически возможная margin без плеча по проданному PUT опциону, если кто не понимает, это цена страйка, умноженная на 100 - это есть обязательство покупки упавших в 0.00 бумаг по цене страйка. По непокрытому CALL она не ограничена вообще ничем, но таких я не продавал и не планирую. Но все это теория, а что же происходит на практике? При отрицательной Excess Liquidity (он показывается красным цветом в Portfolio), я мог только закрывать позиции (кроме покрытых колов, как я уже сказал). Пришло письмецо счастья с морожовым требованием. И я действительно, по мелочи продал какие-то позиции, которые плюсовали несмотря на всю жесть, творящуюся на бирже. Потом, я понял, что прошло полдня, день, а ничего не происходило - это немного успокаивало. Вы таки спросите, а где же в этом момент был твой торговый робот, он же должен был давно сам все позакрывать, и ничего этого не было бы?

В общем-то, хватило бы и обычных стоп-лоссов. Строго говоря, робот нужен в основном для растущего рынка, чтоб не зафиксировать прибыль раньше времени - для организации т.н. "умного трейлинг-стопа", который включается не сразу, а по сигналу, может смотреть за курсом не только текущего инструмента, но и его андерлаинга, а также за индексами, новостным фоном, твиттером, реддитом и прочим. Почему же он не работал?

Ответ прост - когда начинается обвал, ты эмоционально отключаешь нафиг всю автоматизацию, потому что надеешься на чудо, так же и напрочь забываешь правила типа "резать убытки сразу, и дать прибыли течь" - думаешь, вот когда рынок отскочит, вот тогда я и дам прибыли течь, а сейчас буду просто тупо сидеть и смотреть как все идет прахом. И уже на следующий день, когда Excess Liquidity еще упала в район -10% от Net Liquidity, около закрытия биржи произошло вот что:

Брокер ликвидировал часть моих бумаг по рыночным ценам, чтобы привести Excess Liquidity в порядок - это были варранты и 1 сток. При этому был зафиксирован убыток больше 2.5 тысяч долларов. При этом, покрытые Call опционы он не тронул, как и проданные путы автоматически откупать не стал - это было бы вообще трагично. Пока что есть определенная вероятность, что в них удастся досидеть до экспирации или перекатить, с небольшим убытком или даже с прибылью.

Ну что здесь можно сказать.

Именно так, видимо, теряют деньги на бирже от 80 до 95 процентов доморощенных трейдеров. Им дают порезвиться, предоставляют плечо, когда рынок идет вверх, а когда он корректируется, зачастую одной длинной свечой, позиции принудительно закрывают в самой невыгодной для них точке. После чего рынок, возможно, разворачивается, и опять идет вверх, но уже без этих лишних пассажиров - их деньги уже у серьезных парней из хэдж фондов. Бывает конечно и наоборот, когда пассажиры, собравшись в банду на Reddit, раскулачивают серьезных парней (см. историю про GME - GameStop Corp), но это большая редкость. Хотя нынешняя коррекция, в принципе, не такая уж и сильная, но я ощутил, каково это бывает.

Надеюсь, эта история вас хоть чему-то научило, например, не загружаться на всю котлету, и вообще интересоваться, какого размера она у вас на самом деле, без плеча брокера и с учетом потенциальных убытков по проданным опционам.

Удачи!

P.S. Упомянутый в баннере ролик "Как я писал биржевого торгового робота на Java" https://youtu.be/puCB7fVtEV4

Видео-версия:

Всем привет.В прошлый раз я рассказывал про маржин-колл, что является неоспоримым фейлом в торговле на бирже, и с тех пор ситуация более-менее выровнялась. Как вы могли догадаться, внизу рынка меня разгрузили далеко не на весь депозит, и что важно, брокер не выкупил резко подорожавшие из-за взлета волатильности короткие опционы. Сейчас некоторые из них серьезно подешевели, и я начинаю выкупать их сам, фиксируя кое-какую прибыль, и одну из таких сделок сегодня хотелось бы рассмотреть, в контексте использования торговых роботов. Хотелось бы пояснить, под роботом я никогда не воспринимал высокочастотную торговлю, потому что соревноваться в этом с техникой и линиями игроков с миллиардными капиталами бесполезно. Робот в моем понимании - это автоматизация элементов своей торговой системы, для которой не хватило встроенного функционала терминала брокера, а необходимо это потому, что у вас никогда не будет времени на постоянный анализ изменяющейся обстановки. Тем более, как я уже говорил, трейдинг не является моей основной профессией, а сейчас, с переходом США на летнее время, начало биржевой сессии уже не на полчаса, а на полтора накладывается на рабочее время по Москве, а есть еще премаркет, который открывается в 10:30 утра. В связи с этим, даже при желании я бы не смог контролировать глазами торговлю на всем протяжении, потому что в моем портфеле довольно много тикеров, и все невозможно отсматривать глазами, даже расположив графики мозаикой - пробовал, все это ерунда.Поэтому я использую, особенно на опционах, так называемые GTC (Good-Till-Cancelled) ордера, на то время как в период неопределенности отключена вся автоматизация.И вот как раз сегодня на открытии рынка сработал такой ордер, который вы видите на экране - опционная позиция была выкуплена за половину от входа в сделку, принеся прибыль около 1,5 тысяч долларов.

Услышав это, многие скажут, так и чего тебе не нравится, ты же сволочь на чистой спекуляции, не произведя добавленной стоимости, обогатился? Некоторые, уточнив город проживания Москву, еще и добавят что мол москвичи зажрались, полторы штуки баксов для них уже не деньги. Тем не менее, в ходе сегодняшнего сеанса разоблачения, я покажу, что на самом деле это отвратительная сделка, совершать ее в таком виде не следовало - а нормально отработать эту ситуацию помог бы примитивный алгоритм, который легко реализуется с помощью торгового робота.

Как я говорил ранее, определение точки входа в позицию, это самая ответственная задача, и если вы пока не нашли свой Грааль, да еще такой, чтобы он укладывался в формально описываемые алгоритмы, вы можете заниматься ресерчем, фундаментальным анализом, чтением новостей и сплетен, рисовать фигуры технического анализа, и допустим, в какой-то момент научитесь плюс-минус удачно входить в позицию.

Алгоритмы же выхода из позиции формализуются гораздо веселее. Два из них, наверное, становятся известны начинающему трейдеру в первый день его упражнений в терминале - это стоп-лосс и тейк профит. Со стоп лосом, все совсем просто, это линия, за которой заканчивается размер максимального риска, который вы отмерили на сделку.

Например, вы купили по бумагу за 10 долларов, и больше доллара терять не намерены - тогда стоп будет стоять на 9. Цена, конечно, может проскользнуть на низколиквидном инструменте за уровень стопа, но это не очень страшно. Что же с фиксацией прибыли - с тейк профитами? Ставить тейки по такому принципу тоже можно, но у вас немедленно включится жадность, и задаст вам вопрос - если бумага прет по тренду в вашем направлении, зачем вам фиксировать прибыль на определенном заранее уровне, если можно досмотреть это кино, до куда она все-таки дойдет? На эту тему недвусмысленно высказался Джесси Ливермор - режь убытки сразу, дай прибыли течь.

Посмотрим, что случилось с курсом выкупленного опциона дальше, в течении дня?

Уже сейчас видно, что с дать прибыли течь вообще не срослось. На самом деле в IB существует встроенный инструмент для подобных ситуаций - trail stop, однако есть проблема.

Дело в том, что вы должны определить размер максимальных колебаний отката, который начнет действовать сразу по активации ордера, в результате чего понемногу планка подтянется к цене, и при откате назад, позиция будет закрыта очень быстро, либо вы потеряете на крупном откате. Я пытался настроить активацию ордера на некие условия, но похоже, в IB для инструментов типа опционов это заблокировано, поэтому сделать это может только ваш самописный робот. При шортовой позиции на опцион, время работает на меня, поэтому я могу ждать до самой экспирации, а если опцион вошел в деньги, я могу перекатить его на будущий период, иногда даже диагонально, улучшив страйк - заплатив за него временной стоимостью. Когда время работает на меня, врубать такой trailing коробки - это глупость.

Кроме того, на графике вы можете видеть, что перед закрытием прошлого дня практически не было сделок, и к тому же был просто конский спред в доллар и более между бидом и аском - сработка рыночного, а не лимитного ордера в такой ситуации - это просто подарок для маркетмейкера. На открытии, как водится, спреды вообще огромные, но при этом было уже было гораздо больше сделок. На третьей секунде после открытия рынка, спред конечно, не сильно сузился, но так как курс валился вниз, мой ордер на откуп сработал и зафиксировал прибыль в полторы тысячи долларов.

Но нетрудно заметить, что это было по цене 2.50, а цена немедленно бахнулась на 0.50, то есть с 5 опционов я недополучил 2*100*5, еще целую тысячу долларов. Отвратительная сделка. Стоит заметить, что обычно такого не происходит, и цена опускается медленно и нежно, и GTC ордера вполне хватает. И кто-то скажет, что всех денег не заработать, мол, ты не мог знать, куда пойдет курс опциона, поэтому можно не переживать. Некоторая вероятность того, что гэп премаркета закроется мгновенно, имеет место, но обычно это занимает до получаса, за которые можно было выкупить опцион по более выгодной цене.

Но в том-то и дело, за ночь и утро, на постмаркете и премаркете (где кстати вы тоже можете торговать, если отмечать в настройках графика и ордеров нужные галочки), на базовом активе образовался огромный гэп, то есть разрыв в курсах. Разумеется, я поленился, и вручную не проверил все курсы базовых активов по моим опционным позициям перед открытием рынка - я работаю и занят, да и вообще нет у меня такой привычки. А я бы увидел, что цена акции HGEN резко шмальнула вверх на премаркете и пересекла отметку страйка. Что означает ровно одно - внутренняя стоимость опциона превратилась в тыкву, и стала ноль долларов ноль центов. И у опциона осталась только временная стоимость на будущие три недели. Здесь можно было бы снова грузануть вас формулой Блэка-Шоулза:

Но черт с ней, давайте просто посмотрим, сколько стоял БА на закрытии - 14.05, и сколько стоял этот опцион в 15 страйке - 5.50, а внутри него сидело, вы не поверите, 95 центов внутренней стоимости. Стало быть, 4.55 доллара - это его временная стоимость на конец пятницы, когда он был примерно около 50 дельты (дельта - вероятность экспирации в деньгах). Обратите внимание, примерно столько же 5.50 маркет мейкер просит сейчас за опцион немного в деньгах. А за опцион в 10й дельте, в которую с пятницы на понедельник превратился страйк 15, просят 0.75 (на практике, цена падала и до 0.50, то есть дельта была еще меньше).

Таким образом повторюсь, единственное, что от меня требовалось, так как я мог посмотреть результаты торгов БА на премаркете, это рассчитать с помощью робота цену опциона, и понять, что моя лимитка стоит сильно выше (в 5, черт возьми, раз выше) справедливой цены, и на открытии рынка произойдет очень невыгодная сделка. Я не посмотрел, а вот маркетмейкер - да, у него работа такая, и обнаружив шикарную точку арбитража, он реализовал ее на 3 секунде работы биржи.

И вы таки спросите, если при торговле опираться на дельту, как я мог рассчитать дельту без опционной доски IB, и даже без его веб-калькулятора?

А вот по этой незамысловатой формуле опционного грека Дельта:

=N(d1) 1 where d1= (ln(S/K)+(r-q+^2/2)t)/ t

K - Option strike price N - Standard normal cumulative distribution function r - Risk free interest rate q - Dividend Yield - Volatility of the underlying S - Price of the underlying t - Time to option's expiry

Ну, формула-то незамысловатая, но в ней участвует волатильность, которую (имея в виду implied - Подразумеваемую), потребуется рассчитать. На скале функция выделит так:

def delta(tp :String,S:Double,K:Double,vol:Double,tt:Int,q:Double=0.0,r:Double=0.0) = {       val t = tt/366.0       val d1 = (scala.math.log(S/K)+(r-q+vol*vol/2)*t)/(vol*sqrt(t))       new NormalDistribution(0.0, 1.0).cumulativeProbability(d1) - (if (tp=="P") 1 else 0)     }  Сравниваем:[info] Done compiling.  -0.12389190331572086 

При этом, на четвертом знаке после запятой она перестает биться с калькулятором на сайте IB; мало этого, Dividend Yield по идее должна отниматься от Risk free interest rate, а в калькуляторе, если эти числа устанавливать одинаковыми, греки немного различаются - стало быть, там считают как-то иначе. Но как я говорил, для меня это хобби, и я не обязан разбираться в тонкостях.К тому же, я могу использовать встроенный функционал API IB для расчета волатильности, а также и для расчета справедливой цены опциона перед открытием.

Прогнав свой портфель через эти функции API, мы можем не терять деньги столь бездарно, как в приведенном примере. Соответственно, вместо примитивных GTC ордеров, можно ставить на мониторинг рынка и новостного фона условия произвольной сложности, при сработке которых включается трейлинг.

Желаю вам удачи, до новых встреч!

Опционы - вид ценных бумаг, вызывающих постоянный интерес даже у начинающих трейдеров. Об опционах написано немало статей, поэтому мы опустим ознакомительную часть и будем считать, что читатель знаком с основными терминами опционной торговли. Если что, то их толкование несложно найти в интернете.

После первого знакомства с теорией у начинающих торговцев опционами возникает вопрос: а при каких условиях данный набор опционов даст прибыль, и какую. Даже опытный опционщик сходу не сможет ответить на этот вопрос, если у вас более одного опциона. Для этого необходим анализ опционного портфеля ( набора опционов и , возможно, фьючерсов), который нагляднее всего делается в графическом виде, на диаграмме зависимости прибыли/убытка от стоимости базового актива. В настоящее время существует несколько сайтов для этого, а также отдельных программ.

Автор статьи реализовал анализ опционов с помощью телеграмм-бота, что дает возможность быстрого получения информации об инвестиционном портфеле на смартфоне.

Будем считать, что, кроме опционов, читатель знаком с телеграмм ботами. Поэтому здесь не будет описания создания бота от получения токена до обработки клавиатуры. Вместо этого перечислим концептуальные проблемы, которые возникли при создании программы, и способы их решения.

Запоминание состояния бота между вебхуками

Бот получает сообщения от пользователя через встроенный в телеграмм механизм вебхуков. Каждый вебхук заново запускает программу, но для каждого пользователя необходим свой набор данных. Идентификация пользователей осуществляется через просмотр потока ввода:

$id_init = file_get_contents('php://input');$id=sbs($id_init, '"from":{"id":',',"is_bot":'); //в эту переменную записываем уникальный номер пользователяfunction sbs ($str,$m1,$m2){ //из строки str возвращает подстроку между двумя метками-словами m1 и m2$p1=strpos($str,$m1)+strlen($m1); //длина слова-метки слева$p2=strpos($str,$m2);return substr($str,$p1,$p2-$p1);}

Для каждого пользователя строится следующая структура данных:

1. файл состояния: переменные флажки , которые описывают в частности, идентификационные номера сообщений ( message_Id) для дальнейшей их редакции, актуальное состояние ( ввод количества, ввод страйка и т.д.), вспомогательные данные для построения графика

2. файл данных по составу портфеля ( идентификационный номер ценной бумаги, тип, количество, цена, дата экспирации)

3. файлы для построения графика

После каждого вебхука происходит инициация данных в программе из указанных файлов.

Построение графика для анализа портфеля

График строится по состоянию на момент экспирации опционов, что дает возможность упрощенно представить график каждого инструмента в виде y=kx+b,

где y это размер прибыли/убытка на момент экспирации

х стоимость базового актива

После записи данных в портфель создаются файлы с расширением png с помощью библиотеки GD в несколько этапов:

1) определение Х-координат всех точек перелома на графике (очевидно, что сумма всех линий даст ломанную кривую)

2) определение масштаба изображения (средняя всех координат точек перелома по оси Х, максимальное отклонение от среднего, и максимальный размер по оси Y)

3) создание ассоциативного массива точек, в котором координата X это ключ, координата Y величина, для всей цифровой полуплоскости:

$typ опцион колл, пут или фьючерс

$q количество ( отрицательное продажа)

$cena цена приобретения ценной бумаги

$strike страйк для опционов

$x0 начальная координата по оси Х

$sx масштаб по оси Х

function pparr($typ, $q, $cena, $strike,$x0,$sx){ //функция выдает одномерный массив - координаты x=>y точек по //типу цб, направлению (покупка продажа), цене приобретения и страйку (для опционов)  if ($q<0) { $q=-$q; $drct='-'; }  else $drct='+'; $a=array(); $b=array(); $delta=$sx; //расстояние между точками равно масштабу $scalx for ($i=0;$i<740;$i++){ //кол во точек 740 определено заранее $xkk=$x0+$delta*$i; //значение по оси X if ($typ=='fut') { if ($drct=='+') $a[$xkk]=($xkk-$cena)*$q; else $a[$xkk]=(-$xkk+$cena)*$q; } if ($typ=='call'){ if ($drct=='+') { if ($xkk<=$strike) $a[$xkk]=-$cena*$q; else $a[$xkk]=$q*($xkk-$strike-$cena);} else { if ($xkk<=$strike) $a[$xkk]=$q*$cena; else $a[$xkk]=(-$xkk+$strike+$cena)*$q;}  } if ($typ=='put'){ if ($drct=='+') { if ($xkk<=$strike) $a[$xkk]=(-$xkk+$strike-$cena)*$q; else $a[$xkk]=-$q*$cena;} else { if ($xkk<=$strike) $a[$xkk]=($xkk-$strike+$cena)*$q; else $a[$xkk]=$cena*$q;}  } $b[(string)$xkk]=(string)$a[$xkk]; }return $b; };

4) создание файлов изображений, при этом одновременно строится график для каждой строки из портфеля ( зеленый цвет) и результирующий для портфеля ( красный цвет). Кроме того, know-how заключается в том, что одновременно строится еще четыре изображения для увеличения/уменьшения изображения по оси Х и по оси Y. За счет этого достигается эффект работы он-лайн с клавишами X+,X-,Y+,Y- под графиком. Таким образом, для каждого пользователя в каждый момент времени существует пять файлов изображения.

Анализ рисков опционного портфеля

В тесной связи с прибыльностью находится понятие риска. В количественном выражении риск по опционному портфелю выражается в сумме так называемого гарантийного обеспечения. Гарантийное обеспечение та сумма, которая списывается со счета трейдера при совершении сделки. Фактически, исходя из данных на текущий момент, блокируется сумма максимального убытка (потерь). Однако, и это самое главное, сумма гарантийного обеспечения, списанная с вашего счета, пересчитывается после каждого клиринга ( утро, обед и вечер). Она может как увеличиваться, так и уменьшаться. При спокойном течении торгов (в пределах какого-то диапазона) вы можете увидеть, что сумма на вашем счете растет за счет уменьшения ГО. Однако, ГО может резко вырасти в экстренных ситуациях ( стихийные бедствия, санкции, войны) и не только в экстренных (праздники) . В этом случае у вас может быть списана дополнительная сумма в рамках увеличения ГО. Если денег на вашем счете не хватит для оплаты увеличившегося ГО, наступает маржин-колл, в рамках которого ваши ценные бумаги будут принудительно списаны по текущей рыночной цене, что ведет к обнулению счета.

В телеграмм-боте встроен блок расчета гарантийного обеспечения, в котором реализован следующий подход.

Гарантийное обеспечение для фьючерсов считается по формуле, которая предложена самой Московской биржей:

ГО=БГО+(Цена-Расчетная_Цена)*БП;

где Расчетная_Цена определяется по результатам клиринга и практически равна цене базового актива на момент клиринга, определяется в пунктах

БП стоимость пункта в рублях, зависит, в частности, от курса доллара,

БГО базовое гарантийное обеспечение, определяется биржей, может произвольно увеличиваться, например, перед праздниками

Таким образом, по фьючерсам ГО считается достаточно просто, поскольку все данные есть в открытом доступе. Что касается опционов и тем более сочетаний их в разных комбинациях, Московская биржа не дает однозначного рецепта, вернее не дает данных для их расчета, а предлагает купить модуль расчета ГО.

В телеграмм-боте предлагается следующий подход: риск по опциону такой же , как по фьючерсу, в той мере, насколько опцион похож на фьючерс. При этом понятно, что нас интересуют только убытки, то есть нижняя полуплоскость нашего графика. Попробуем пояснить с помощью графиков.

Вот как выглядит покупка колла в нашем боте:

Гарантийное обеспечение=23.

Что нам показывает график: если стоимость базового актива ( в данном случае стоимость фьючерса на курс рубля к доллару) [вечером] 03.06.2021 будет 75000 и ниже, то наш убыток составит 23 . При повышении этой стоимости до 75023 мы выйдем в безубыток, при дальнейшем росте получим прибыль.

Что мы имеем с точки зрения риска: не при каких обстоятельствах наш убыток не превысит сумму 23. Следовательно, наш опцион совершенно не похож на фьючерс, и в расчете ГО мы можем записать просто сумму 23.

Покупка пута примерно та же картина.

Продажа пута.

Гарантийное обеспечение= 5436.

Можно убедиться, что при стоимости базового актива выше 72750 мы имеем прибыль 44. При снижении стоимости БА до 72706 мы выходим в ноль. При дальнейшем падении стоимости БА наш убыток НИЧЕМ НЕ ОГРАНИЧИВАЕТСЯ.

С точки зрения рисков это фьючерс, купленный по цене 72706. Подставляем это число в формулу ГО для фьючерса и получаем ГО для опциона! Этот ГО достаточно велик (5436), но может превратится в прибыль в течение нескольких дней.

Стоит ли овчинка выделки? Если при условных затратах сегодня 5436 мы получим через несколько дней 44? Мне кажется, риск очень велик. С другой стороны, курс рубля к доллару был таким примерно 3 месяца назад.

С продажей колла будет аналогичная ситуация.

А если одновременно продать пут и кол?

Гарантийное обеспечение не изменилось!

С точки зрения риска понятно почему может реализоваться только один из сценариев либо по фьючерсу, купленному по примерно по 72700 (левая нога) либо по фьючерсу проданному по 75190 ( правая нога). Из них выбираем вариант

с наибольшим ГО , оно и будет мерилом риска.

На графике можно увидеть, что прибыль мы имеем при стоимости базового актива в диапазоне от примерно 72700 до 75190, в остальных случаях получаем убыток, который ничем не ограничивается.

Интерфейс телеграмм-бота

На экране отображаются следующие группы данных:

• подробная инструкция по работе с ботом

• текущие котировки ближайших фьючерсов по трем базовым активам

• таблица Портфель, отображающая состав портфеля, сделанная с помощью интерфейса телеграмм ( можно редактировать)

• значение гарантийного обеспечения

• таблица, дублирующая состав портфеля, построенная как изображение формата png, которую можно копировать и сохранять

• нижняя клавиатура, которую можно скрывать, с кнопками: Добавить позицию в портфель, Анализ портфеля с помощью графика, Обновить котировки

Таблица Портфель создана с помощью InlineKeyboard.

При нажатии на клавиши в этой таблице происходят следующие действия:

• клавиша в столбце К-во редактирует количество ценных бумаг, соответствующее строке, в которой нажата клавиша

• клавишами в столбце Цена можно ввести реальную цену приобретения ценной бумаги. По умолчанию цена вставляется по данным биржи, и для опционов она может значительно отличаться от рыночной

• клавишей Х можно удалить строку.

Прочие клавиши в таблице заблокированы и служат только для передачи информации.

Значение гарантийного обеспечения пересчитывается каждый раз, когда вы нажимаете кнопку Записать в портфель( не показана, возникает в конце процедуры редактирования или добавления инструмента).

Заключение

В телеграмм-боте реализовано запоминание портфеля ценных бумаг для каждого пользователя. Под ценными бумагами понимаются опционы и фьючерсы, базовым активом для которых являются: курс рубля к доллару (Si), стоимость нефти брент (BR), а также индекс РТС (RI). Это самые высоколиквидные деривативы на московской бирже.

В телеграмм-бот заложен алгоритм подсчета гарантийного обеспечения, которое является мерой риска.

С помощью телеграмм-бота можно анализировать опционный портфель на графике прибылей/убытков (P/L график).

Протестировать телеграмм-бота можно по ссылке t.me/@test09062020bot. Или попробовать найти в телеграмме по названию опционный портфель.

Это третья часть рассказа про опционы, где мы поговорим про биномиальную модель, риск-нейтральную меру и разберёмся, как рассчитать цену опциона.

Если вы пропустили наш подробный рассказ про опционы, вот ссылки на предыдущие части:
Что такое опционы и кому это нужно. Ликбез для гика, ч. 6
Опционы: пут-колл парити, броуновское движение. Ликбез для гика, ч. 7

Данный пост основан на расшифровке моих видеолекций Одношаговая биномиальная модель и Расчет опциона, созданных в рамках курса Finmath for Fintech.

Одношаговая биномиальная модель. Можно ли считать цену опциона как математическое ожидание дисконтируемой выплаты? Что может пойти не так?

Следующее понятие, которое необходимо обсудить, риск-нейтральная мера. Это понятие в общем виде требует не-школьной математики, поэтому, как и ранее, мы не будем что-то доказывать в общем виде. Вместо этого начнем с очень простого примера (даже может показаться, что он слишком простой и вообще не имеет никакого отношения к реальным моделям для нашей темы). На этом примере мы увидим, как работают термины, а все результаты, которые мы получим, будут верны и в более общем случае.

Мы рассматриваем биномиальную модель с дискретным временем. У нас есть два момента времени, в которых наблюдается рынок: t₀ и t₁, есть некий рисковый актив, т.е. он содержит в себе риск. Его цена в момент t₀ равна 50. И есть два варианта развития события в будущем (поэтому модель и называется биномиальной): цена может увеличиться до 100 или упасть до 25. Это наш рисковый актив, в котором есть некоторая неопределенность. Также нам в нашей модели нужен некоторый безрисковый актив, аналог банковского счета в надёжном банке. Предположим, у нас риск-нейтральная ставка 20% и, значит, деньги, положенные в момент времени t₀ на депозит в количестве 50 в момент времени t₁ дадут выплату 60.

В нашей модели есть некоторые вероятности. Обозначим их: p вероятность того, что актив увеличится в цене, и вероятность того, что актив в цене уменьшится: 1-p.

Если бы мы работали с активом, в котором нет никакой неопределенности, то цена такого актива в момент времени t₀ была бы просто дисконтированной выплатой в момент t₁, как это есть для безрискового актива. Но у нас есть два варианта с некоторой неопределенностью. Логично выглядит предположение о том, что, используя эти вероятности, мы бы могли просчитать математическое ожидание от дисконтированной выплаты какого-то производного продукта. Если мы рассмотрим колл-опцион на такой риск базовый актив, то его цена, наверное, будет равна математическому ожиданию дисконтированной выплаты в момент времени t₁:

Это наше предположение.

Тут D₁ коэффициент дисконтирования из момента t₁ в момент t₀. Посчитаем, чему будет равно записанное выше выражение. Для определенности давайте скажем, что страйк этого опциона K равен 70. Тогда у нас есть все данные, чтобы посчитать мат. ожидание.

Проверим, работает ли наше предположение. Мы сделаем так: составим некоторый портфель из опциона, базового актива в момент t₀ и рассмотрим его выплату в момент t₁. Составим портфель следующим образом. Мы продаем 15 колл-опционов и покупаем 6 штук базового актива. Берем в долг 125 единиц денег. Такие вот магические цифры, чуть попозже мы увидим, откуда они берутся, как их можно посчитать, но пока это просто выбранные константы. В момент времени t₀ изменение нашего баланса будет выглядеть следующим образом:

Мы получаем прибыль за 15 опционов: +15С₀; платим за шесть единиц базового актива по цене 50: -6*50; получаем: +125 денег.

Далее следует момент времени t₁ и два возможных варианта: когда цена актива (S₁) стала 25 и когда цена актива стала 100. В первом случае, когда цена стала 25 при страйке 70, опцион ничего не стоит. Когда цена стала 100, и мы продали 15 опционов, нам нужно заплатить премию -15*(100-70). Приобретенные шесть единиц базового актива у нас на балансе, мы можем их продать и получить деньги по текущему курсу 6*25 или 6*100 соответственно тому, какая цена реализовалась. Наш долг увеличивается согласно процентной ставке, и мы получаем выплату, в обоих случаях одинаковую, которая не зависит от цены актива: -150. Теперь сложим все числа, которые у нас получились на момент времени t_1. Как видим, в обеих колонках получаем ноль. Это связано с тем, что изначально цифры были специально подобраны.

В момент времени t₁ независимо от того, какой сценарий реализуется, портфель, составленный таким образом, стоит ноль. Следовательно, в момент времени t₀ он тоже должен стоить столько же ноль. Мы опять используем условие отсутствие арбитража на рынке.

Приравняв эту сумму к нулю, мы получаем цену опциона:

Мы видим, что результат 11,6 не совпадает с тем, что получили ранее: 12,5. Этот, казалось бы, интуитивно верный результат не сработал. Составив специальный портфель, мы увидели, что, если бы цена на колл-опцион была 12,5, это бы как раз и означало наличие арбитража на рынке. То есть при такой цене на колл-опцион можно было бы зарабатывать деньги без риска. Давайте разберемся, почему же так получилось.

Одношаговая биномиальная модель. Расчет опциона. Риск-нейтральные вероятности

Чтобы проанализировать полученный результат, давайте немного обобщим модель и будем работать уже не с фиксированными числами, а с какими-то параметрами. Обозначим текущий курс рискового актива как S, введем параметр d и параметр u. У нас к моменту времени цена t₁ рискового актива может пойти либо вниз в d раз, либо вверх в u относительно текущего уровня. Цена безрискового актива по-прежнему определяется некоторым дискаунт-фактором.

Заметим, что по построению параметры модели заданы так, что d<D₁^-1<u (см. рис. 4).

По поводу составления портфеля следует заметить, что мы сразу можем поделить весь портфель на номинал нашей позиции в опционах. Это, возможно, даст нам дробные номиналы в каких-то других позициях, но мы разрешаем себе с этим работать в рамках нашего математического анализа. Мы будем работать с любыми действительными числами как с положительными, так и с отрицательными. В рамках практики рынка отрицательные позиции соответствуют short selling, и могут быть определенные ограничения на такие позиции, но мы этим в нашем тоже анализе пренебрегаем.

Так как мы можем поделить все на номинал нашей позиции в опционах, то мы просто будем рассматривать один опцион. И для составления портфеля остается только два параметра: размеры позиций в рисковом и безрисковом активах.

Купим какое-то количество x базового актива S и возьмем в долг какое-то количество денег, такое, чтобы получить выплату ровно y. Мы его дисконтируем на момент t₀ и получаем D₁y. Мы берем в долг D₁y, а выплатить в момент t₁ нам нужно будет y. Т.е. для баланса это будет сумма -y.

В случае с базовым активом мы покупаем на сумму xS. У нас возможны два случая: когда цена пошла вниз S₁=d*S и когда цена пошла вверх S₁=u*S. Соответственно, наша позиция будет стоить x*d*S или x*u*S. И мы продаем один колл-опцион, в начальный момент времени мы за него получаем премию C₀. В момент времени t₁ мы обязаны сделать выплату по этому опциону, так как взяли на себя это обязательство: -C_d и -C_u соответственно.

Выплата в момент времени t₁ определяется также еще одним параметром страйком опциона, это некоторое заданное число. Как и в прошлый раз, мы бы хотели построить портфель таким образом, чтобы в обоих случаях, вне зависимости от того, какая цена базового актива реализовалась, в конце портфель бы стоил ровно ноль. Давайте посмотрим, можем ли мы это сделать. Перепишем данные в виде системы из двух уравнений:

Эта система из двух уравнений с двумя неизвестными имеет решение. Вычтем одно уравнение из другого, чтобы сразу получить значение x.

Подставляя значение x, можно найти y.

По построению этих уравнений такие значения x и y дают нам в обоих возможных вариантах цену портфеля, равной нулю. Рассуждая точно так же, как и в прошлый раз, портфель на expiry в момент времени t₁ стоит ровно ноль, независимо от того, какая цена базового актива реализуется на рынке. Следовательно, этот портфель должен стоить ноль и в момент t₀, по условию отсутствия арбитража. Таким образом, мы получаем уравнение для цены колл-опциона в начальный момент времени. Запишем выражение для цены колл-опциона C₀ в момент времени t_0, используя наше решение.

Где q новый параметр, который выражается через известные нам коэффициенты:

По построению, так как мы задали параметры u, d и дискаунт-фактор D₁^-1 так, как показано на рис. 4, то значение q лежит в диапазоне от нуля до единицы. То есть в диапазонах, доступных для значений вероятности.

В слагаемом с C_u мы используем q, а для выплаты C_d при движении вниз мы используем (1-q). То есть формулу можно переписать как вычисление математического ожидания, но используя уже не вероятность p, которая соответствует реальной вероятности того, что произойдет на рынке, а некоторую синтетическую вероятность, которая определяется формулой для q. Иначе говоря, мы получили математическое ожидание дисконтированной выплаты, но используя уже некоторые другие вероятности. Это и является вычислением математического ожидания в риск-нейтральной мере.

Вероятность, которую мы получили, это некоторая синтетическая вероятность, которая отличается от реальных вероятностей, которую мы могли бы наблюдать в реальной жизни, но вычисление математического ожидания от дисконтированной выплаты опциона в этой вероятностной мере дает нам правильный ответ для цены опциона.

Такой подход работает и в более сложных моделях, с непрерывным временем и более приближенным к реальности распределением вероятностей. В таких моделях так же, при условии отсутствия арбитража, можно доказать существование риск-нейтральной вероятностной меры, которая позволяет считать цены инструментов как мат. ожидание в этой мере.

На первый взгляд может показаться: то, что вероятности в этой синтетической риск-нейтральной мере никак не связаны с реальными вероятностями возможных исходов, должно сделать их непригодными для практического использования. Но на самом деле это не является препятствием для того, чтобы мат. ожидание, вычисленное в этой синтетической вероятностной мере, имело практическое значение. Нужно только что бы по наблюдаемым на рынке ценам можно было рассчитать нужные риск-нейтральные вероятности. Тогда разные участники рынка смогут прийти к одним и тем же результатам, при этом их оценка реальных вероятностей разных событий может различаться.

Многошаговая биномиальная модель

Подход, описанный здесь для рассуждения про риск-нейтральные вероятности, стал популярен благодаря статье Cox, J. C.; Ross, S. A.; Rubinstein, M. (1979). Option pricing: A simplified approach. Такой подход помогает решить сразу несколько важных проблем.

Во-первых, после публикаций статей Блэка, Шоульца и Мертона в 1973 году появилось успешная, быстро и широко принятая теория прайсинга опционов. Эту теорию нужно было преподавать в университетах. В том числе MBA-студентам и студентам экономических факультетов. Но разделы математики, которые используются для рассуждений, в общем виде в стандартную программу не входят. Даже сегодня и даже для студентов технических специальностей. А преподавать как-то нужно. Ведь MBA-программа это не только красивый диплом для студентов, но и дополнительный заработок для преподавателей математики.

Во-вторых, на одном шаге с двумя исходами статья не заканчивается. Если сложить много таких маленьких шагов, то получается многошаговая модель с полезными свойствами. Ее можно использовать для реализации вычислительного алгоритма.

Если у нас есть фиксированный отрезок времени до expiry опциона, то можно попробовать построить математическую модель, в которой мы разделим этот отрезок на N отрезков, и сказать, что на каждом шаге возможно два исхода. Тогда мы получим решетку возможным исходов (см. рис.6). Тут, как и раньше, голубыми цветом нарисованы возможные значения рискового актива, малиновым цветом нарисован рост безрискового актива. Для рискового актива для каждого значения спота есть два варианта развития ситуации на следующем шаге по времени. Линии между голубыми точками показывают, как они связаны друг с другом.

Далее можно математически проанализировать предельный случай при N . Что и было сделано авторами статьи. Если правильно выбрать параметры u и d, тов пределе решётка будет приближаться к логнормальному распределению. Т.е. в пределе получаем модель Блэка-Шоульца.

Математический анализ такого предельного случая рассматривать не будем, просто приведём некоторую визуализацию. На рис. 7 и 8 нарисованы решетки при больших значениях N. В отличии от рис. 6 нарисованы только точки, показывающие возможные значения, линий между ними нет, чтобы можно было разглядеть детали.

Все статьи этой серии:

Стоимость денег, типы процентов, дисконтирование и форвардные ставки. Ликбез для гика, ч. 1
Облигации: купонные и бескупонные, расчет доходности. Ликбез для гика, ч. 2
Облигации: оценка рисков и примеры использования. Ликбез для гика, ч. 3
Как банки берут друг у друга в долг. Плавающие ставки, процентные свопы. Ликбез для гика, ч. 4
Построение кривой дисконтирования. Ликбез для гика, ч. 5
Что такое опционы и кому это нужно. Ликбез для гика, ч. 6
Опционы: пут-колл парити, броуновское движение. Ликбез для гика, ч. 7

Всеобщий интерес к модели Блэка-Шоулза (далее - БШ) вызван тем, что в свое время ее авторы произвели революцию сфере оценки справедливой стоимости опционов и иных производных финансовых инструментов. В дальнейшем они получили Нобелевскую премию за свои открытия, а выведенная ими аналитическая формула, стала пожалуй, самой фундаментальной и известной в мире финансов.

Не меньший интерес модель БШ вызывает с точки зрения низкоуровневого математического и теоретико-вероятностного анализа. В статье подробно рассмотрен процесс обоснования опорных и ключевых принципов модели БШ, а также в процессе доказательств выводится аналитическая формула, которая используется для оценки справедливой стоимости опционов.

Базовые понятия

Опцион - договор, по которому покупатель опциона получает право, но не обязательство, совершить покупку или продажу данного актива по заранее оговорённой цене, которая называется ценой исполнения или страйк.

Для целей дальнейшего анализа такой финансовый инструмент наиболее точно представим в виде функции, которая описывает выплаты по опциону в момент экспирации контракта. Для более простого и интуитивного понимания, будем рассматривать опцион типа Call, функция выплат по которому выглядит следующим образом.

где, цена базового актива, цена страйк.

С практической точки зрения, функция предполагает получение выгоды покупателем опциона в случае, если цена базового активапревысит цену страйки которая будет совпадать с разностью. В противном случае, держатель опциона получит убыток равный, уплаченной премии за приобретение опционного контракта.

Понятие справедливой стоимости наглядно иллюстрируется тем, что в момент заключения сделки ни одна из сторон не должна находится в преимущественном положении. Такая расстановка сил окажется возможной только в том случае, если стоимость опциона будет равна ожидаемой прибыли по нему. Иначе говоря, мы будем готовы заплатить за опцион ровно столько, сколько сможем на нем заработать (в среднем).

Исходя из вышесказанного, логичным становится исследование функции, как случайного процесса, зависящего от цены базового активаи времени , поскольку данная функция будет определять получаемую по опциону прибыль в конкретный момент времени, а следовательно и его справедливую стоимость.

Уравнение БШ в частных производных

Чтобы продвинутся в направлении вывода формулы БШ необходимо обратиться к лемме Ито, позволяющей найти дифференциал функции, аргументом, которой является стохастический процесс. При этом необходимо знать стохастическое уравнение самого аргумента, являющегося случайным процессом.

Проанализируем применимость леммы Ито для нашего конкретного случая.

В самом деле, функция выплатв качестве аргумента содержит случайный процесс. В силу того, что процессявляется ценой базового актива, то наиболее логично допустить его описание дифференциальным уравнением логарифмического случайного блуждания:*. В итоге получим две компоненты, требуемые для применения леммы Ито.

Подставив имеющиеся у нас данные в формулу Ито получим соотношение представленное ниже:

Нашему взору предстанет очень сложное дифференциальное стохастическое уравнение, которое имеет мало перспектив интегрирования в таком виде. Для упрощения уравнения, требуется в первую очередь избавится от стохастической составляющей. Сделать это возможно путем формирования дельта-нейтрального портфеля.

где, - дельта опциона или первая производная по .

Далее полагаем, что дельта опциона практически не меняется с изменением, таким образом и дифференциальная форма дельта-нейтрального портфеля имеет следующий вид: . Заметим, чтонам известно, как логарифмическое случайное блуждание *, аберем из соотношения. В итоге получаем:

Если не забыть, что и раскрыть скобки, то стохастическая составляющая сократится и останется:

Дифференциальное уравнение выглядит уже вполне пригодно, однако требуется провести еще несколько преобразований. Заменяем переменнуюна, как , где период. Обе переменные определяют срок до экспирации опциона, однако в случаенаш срок увеличивается, а после замены на, срок будет сокращаться. На уровне производных, осуществленная замена приведет к следующему тождеству: .

Опираясь на принципы рынка можно перейти к новому равенству:, гдебезрисковая ставка. Левую часть этого равенства заменяем соотношением, а вместов правой части уравнения подставляем формулу.

Раскроем скобки, разделим обе части наи получим уравнение БШ в частных производных:

Сведение уравнения БШ к уравнению теплопроводности

Получив дифференциальное уравнение БШ, вопрос о поиске его решения остается актуальным. Забегая вперед, окажется, что такое уравнение можно свести к дифференциальному уравнению теплопроводности, решение которого хорошо известно.

Процесс получения уравнения теплопроводности из уравнения БШ носит чисто аналитический характер. Преобразования начинаются с замены. Делается это для того чтобы избавится от функцийи, которые стоят при первой и второй производных соответственно.

Переходя к новой переменной, дифференцируем по правилу сложной функции, после чегои сокращаются, а уравнение приобретает следующий вид:

где

Находим первую производную по, при условии

Вторую производную по, при условии

Избавляемся оти

Проводим дальнейшие преобразования для приведения к виду уравнения

где

Следующее преобразование намного менее приятное, однако в пару шагов приводит нас к уравнению теплопроводности. Для этого проводим замену:, а далее подбираем коэффициентыитак, чтобы ряд членов уравнения взаимно сократились и мы получили искомое уравнение теплопроводности, представленное ниже:

Подставляем вместо функциив исходное уравнение

Находим частную производную по

Находим первую частную производную по

Вторую частную производную по

Подставляем найденные производные в уравнениеи делим обе части на

Теперь положим , а , тогда получим следующее уравнение:

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые

В итоге останется соотношение, которое является уравнением тепловодности

Частным решением уравненияявляется гауссиана:

Это проверяется непосредственно путем вычисления частных производных,и подстановки их в уравнение.

Для удобства введем следующее обозначение:

Далее найдем частную производную по:

Затем найдем первую и вторую производную по:

Подставим обе найденные производные в уравнениеи сократим на. В итоге получаем тождество:

Значит гауссианав самом деле является частным решением нашего уравнения теплопроводности.

В виду линейности уравнения теплопроводности, для любой непрерывной функцииинтеграл:

зависящий от параметрови, будет также решением уравнения, на самом деле - общим решением. Итак, общее решение уравненияимеет вид:

Вычисление начальных условий

Для получения окончательного решения по формулеследует найти функцию. Мы намереваемся доказать, чтодля любой точки. Короткий путь - воспользоваться тем, что пригауссиана переходит в дельта-функцию Дирака и тогда:

Объясним это подробнее путем применения первой теоремы о среднем: если функциянепрерывна на отрезке, и при этом функцияне меняет знак и является интегрируемой, тогда существует такое число, что:

Зададимся произвольно малым.

В виду свойств гауссианы при"хвосты" могут быть сделаны сколь угодно малыми и тогда:

Далее воспользуемся выше сформулированной теоремой о среднем и найдемтакое, что

Так как, , то . В силу того, чтовыбрано произвольно малым, в пределе при , получаем. Окончательно имеем:

Следовательно,

Аналитическая формула БШ

Так как,при условии , то интеграл в правой частисводится к виду:

Дальнейшее интегрирование соотношенияпозволяет найти функцию , которая соотносится с функцией стоимости опциона, как. Следовательно, нахождение решенияавтоматически позволит найти функцию.

Решение сводится к разделению интегралана разность двух интегралов и приведению их к функции нормированного нормального распределения.

После процесса интегрирования, представленного ниже получим анализируемую нами функцию Блэка-Шоулза:

где, функция нормированного нормального распределения,волатильность за единичный период.

Осуществим необходимые замены, пересчитаем пределы интегрирования и вычислим дифференциал новой функции для соотношения:

Переписываем интеграл с учетом ряда замен в новом виде:

Далее представим имеющийся у нас интеграл в виде разности интегралов:

Выделим полный квадрат в показателях экспонент и обозначим красным цветом члены, которые не зависят от переменной интегрирования.

Вынесем из под знака интеграла, выделенные красным цветом сомножители, после чего под интегралами, останутся функции, представимые в виде, а значит отмеченные синим выражения будут легко сводится к нормированному нормальному распределению.

Обратим внимание на то, что в стандартном виде интеграл нормального распределения в качестве нижнего предела интегрирования содержит, а верхним пределом является аргумент функции. Следовательно, в нашем случае необходимо поменять местами пределы интегрирования. Для этого воспользуемся свойствами функции нормального распределения:

Также постараемся сделать нашу запись более компактной, для этого выше и далее обозначаем функцию нормального распределения через, а ее аргументы заменим буквой. В силу того, функция нормального распределения содержит в качестве аргументов разные выражения, будем различать их, каки. В итоге получим следующую запись:

где, , а , с учетом минусов от *.

Теперь требуется провести обратные замены для аргументови, а также для сомножителей, которые выделены красным цветом. Вспоминаем, какие замены нами осуществлялись:

После обратных замен аргументыив окончательном виде выглядят следующим образом:

Остается решить вопрос с громоздкими сомножителями, которые стоят перед функциями нормального распределения. Так как мы ищем решение для цены опциона, то вспоминая замену, сделанную для сведения к уравнению теплопроводности, понимаем, что соотношение ** надо умножить на.

При умножении складываем показатели экспонент и приступаем к проведению обратных замен. В итоге окажется, чтопревратится в, а отостанется только . Таким образом, итоговая формула БШ будет иметь следующий вид:

Список использованных источников

1. Степанов С.С. "Стохастический мир", 2009 г. 376 с.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для вузов. Часть 2, глава ХХ. 1985 г. 560 с.

3. Вентцель Е.С. Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. М., ACADEMA, 2003. - 480 с.

4. Жуленев С.В. "Финансовая математика. Введение в классическую теорию. Часть 2.", 2012 г. 419 с.

5. Ширяев А.Н. "Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты. Модели", 1998 512 с.