Трейдинг

Видео версия:

Несмотря на то, что сейчас я тружусь в банке и моя должность звучит как исполнительный директор, биржевая торговля и создание торговых роботов к моим обязанностям не относится, и этим я развлекаюсь в свободное время. Так как в данном хобби за мной нет надзора, порой я исполняю всякую дичь, которая выходит боком. Вместе с тем, именно небольшие неудачи и поражения интересно разобрать, потому что если не я кто ж вам про такое расскажет, тем более в интернете - ведь тут все успешные как Тони Роббинс, я порой я удивляюсь, как у меня хватает наглости публиковать что-то в одной сети с такими замечательными людьми. Но, тем не менее. Пару слов для преамбулы.

Принято считать, что игра на бирже - это игра с нулевым результатом, то есть когда кто-то выигрывает деньги, их кто-то обязательно должен проиграть. На сегодняшний день это не совсем так, тем более в последние полтора года. Дело в том, что существует огромная масса денег, которые печатаются просто так, для обслуживания гос. долга Соединенных Штатов, и субсидирования их экономики. Часть этих денег получают юридические лица, а часть - физические. Если получателям не удается придумать, куда пристроить эти деньги в реальном секторе, они часто попадают на фондовый рынок, накачивая стоимость тех или иных активов. Поэтому, в последние годы, рынок перекошен в бычью сторону, то есть стратегии типа купи и держи на долгосроке работает. В такой ситуации остается думать о том, какой сектор или какая бумага растет быстрее других, что очень похоже на перестроения из ряда в ряд на шоссе - только перестроился, а другой ряд начинает ехать быстрее.

Тем не менее, случаются и коррекции, вот как сейчас. Некоторые выгадывают приближение коррекции через фигуры технического анализа, уровни, каналы, булл-трапы, ГИПы, некоторые просто событийно предсказывают, что в марте молодые и бестолковые "робингуды", типа меня, вспомнят, что надо платить налоги и начнут распродаваться. Но факт в том, что весенняя коррекция бывает и к ней надо быть готовыми, а я был готов недостаточно - слишком долго вокруг кричали Волки, волки, поэтому я был немного на расслабоне. Так называемый инвестиционный портфель мой состоял большей частью из опционов, причем разных типов.

В лонге, то есть с положительной позицией, я стоял по CALL опционам европейского типа, т.е. варрантами. Особенность таких бумаг на IB в том, что они продаются без плеча, то есть по ним можно переждать любую просадку длинной хоть в год. Тем не менее, они склонны падать гораздо резвее своего базового актива.

В шорте я стоял по PUT опционам американского типа с экспирацией в пределах 2х месяцев, часть из которых продавались ATM (около денег), часть вообще ITM (в деньгах). Плюс, у меня было куплено буквально несколько позиций стоков (акций), и проданы покрытые ими CALL опционы, сильно OTM (вне денег).

Как можете видеть, это совершенно очевидная направленная бычья позиция, хотя и относительно умеренная. В принципе, могло быть сильно хуже, если например, покупать стоки с плечом 1 к 4, покупать прости госсподи CFD, или же например покупать CALL опционы с близкой экспирацией. Что же со всем этим произошло? Для начала, случился разворот на индексах, причем не столько на SP500, сколько на NASDAQ, к которому мой портфель оказался более чувствительным в плане стоков и варрантов. На бычьем рынке единственный параметр, который всех интересует, это Buying power - покупательская способность. Обычно она визуально выше суммы ваших свободных денег в 3-4 раза. В Interactive Brokers наряду с предоставляемым плечом, присутствуют ограничители, которые не позволяют клиенту разгуляться, и нанести своему счету непоправимый вред. Это, в частности Excess Liquidity избыточная ликвидность, запас вашей финансовой прочности. Excess Liquidity = Equity with Loan Value Maintenance Margin стоимость активов - минимальная маржа. Именно последний элемент уравнения создает наибольшие проблемы в моменты возрастания волатильности в ходе коррекции. Дело в том, что существует огромная разница между требуемой маржой покрытого опциона и непокрытого. Наличие у вас позиции по стоку, гарантирует то, что вы исполните обязательство по проданному опциону в любом случае, поэтому при продаже и откупе опциона маржа не меняется. Вверху на картинке влияние на маржу откупа покрытого опциона CALL, она нулевая, внизу - непокрытого PUT - оно существенно больше самой премии продавца.

Но вот что интересно. Несмотря на нулевое изменение Margin, как только Excess Liquidity становится отрицательной, вы не можете отправить ордер на откуп CALL опциона, потому что уменьшится Equity; а сток вы не можете продать, потому что опцион станет не покрытым и Margin тут же увеличится. Другими словами, в таких позициях вы парализованы и вам остается только уповать на милость божию.

Теперь о том, почему цена проданного опциона может резко поменяться, даже если внутренняя стоимость изменилась несущественно, но переоценили временную стоимость.

Там одним из множителей является прогнозируемая волатильность, а она (сигма в формуле Блэка-Шоулза)

возросла в коррекции, так как не только вы, а все кругом ловят stop lossы и margin callы, а их маркет ордера валят цены все ниже.

Если мысленно переместиться в будущее, тета (временная стоимость) перетечет в карман продавца, и останется только внутренняя стоимость - дельта. Но мы находимся в настоящем, поэтому маркет-мейкер задирает цену опциона, а брокер смотрит на нее и увеличивает маржинальные требования, чтоб будущая дельта не потопила и его, вместе с бестолковым клиентом. И теоретически возможная margin без плеча по проданному PUT опциону, если кто не понимает, это цена страйка, умноженная на 100 - это есть обязательство покупки упавших в 0.00 бумаг по цене страйка. По непокрытому CALL она не ограничена вообще ничем, но таких я не продавал и не планирую. Но все это теория, а что же происходит на практике? При отрицательной Excess Liquidity (он показывается красным цветом в Portfolio), я мог только закрывать позиции (кроме покрытых колов, как я уже сказал). Пришло письмецо счастья с морожовым требованием. И я действительно, по мелочи продал какие-то позиции, которые плюсовали несмотря на всю жесть, творящуюся на бирже. Потом, я понял, что прошло полдня, день, а ничего не происходило - это немного успокаивало. Вы таки спросите, а где же в этом момент был твой торговый робот, он же должен был давно сам все позакрывать, и ничего этого не было бы?

В общем-то, хватило бы и обычных стоп-лоссов. Строго говоря, робот нужен в основном для растущего рынка, чтоб не зафиксировать прибыль раньше времени - для организации т.н. "умного трейлинг-стопа", который включается не сразу, а по сигналу, может смотреть за курсом не только текущего инструмента, но и его андерлаинга, а также за индексами, новостным фоном, твиттером, реддитом и прочим. Почему же он не работал?

Ответ прост - когда начинается обвал, ты эмоционально отключаешь нафиг всю автоматизацию, потому что надеешься на чудо, так же и напрочь забываешь правила типа "резать убытки сразу, и дать прибыли течь" - думаешь, вот когда рынок отскочит, вот тогда я и дам прибыли течь, а сейчас буду просто тупо сидеть и смотреть как все идет прахом. И уже на следующий день, когда Excess Liquidity еще упала в район -10% от Net Liquidity, около закрытия биржи произошло вот что:

Брокер ликвидировал часть моих бумаг по рыночным ценам, чтобы привести Excess Liquidity в порядок - это были варранты и 1 сток. При этому был зафиксирован убыток больше 2.5 тысяч долларов. При этом, покрытые Call опционы он не тронул, как и проданные путы автоматически откупать не стал - это было бы вообще трагично. Пока что есть определенная вероятность, что в них удастся досидеть до экспирации или перекатить, с небольшим убытком или даже с прибылью.

Ну что здесь можно сказать.

Именно так, видимо, теряют деньги на бирже от 80 до 95 процентов доморощенных трейдеров. Им дают порезвиться, предоставляют плечо, когда рынок идет вверх, а когда он корректируется, зачастую одной длинной свечой, позиции принудительно закрывают в самой невыгодной для них точке. После чего рынок, возможно, разворачивается, и опять идет вверх, но уже без этих лишних пассажиров - их деньги уже у серьезных парней из хэдж фондов. Бывает конечно и наоборот, когда пассажиры, собравшись в банду на Reddit, раскулачивают серьезных парней (см. историю про GME - GameStop Corp), но это большая редкость. Хотя нынешняя коррекция, в принципе, не такая уж и сильная, но я ощутил, каково это бывает.

Надеюсь, эта история вас хоть чему-то научило, например, не загружаться на всю котлету, и вообще интересоваться, какого размера она у вас на самом деле, без плеча брокера и с учетом потенциальных убытков по проданным опционам.

Удачи!

Видео версия:

Несмотря на то, что сейчас я тружусь в банке и моя должность звучит как исполнительный директор, биржевая торговля и создание торговых роботов к моим обязанностям не относится, и этим я развлекаюсь в свободное время. Так как в данном хобби за мной нет надзора, порой я исполняю всякую дичь, которая выходит боком. Вместе с тем, именно небольшие неудачи и поражения интересно разобрать, потому что если не я кто ж вам про такое расскажет, тем более в интернете - ведь тут все успешные как Тони Роббинс, я порой я удивляюсь, как у меня хватает наглости публиковать что-то в одной сети с такими замечательными людьми. Но, тем не менее. Пару слов для преамбулы.

Принято считать, что игра на бирже - это игра с нулевым результатом, то есть когда кто-то выигрывает деньги, их кто-то обязательно должен проиграть. На сегодняшний день это не совсем так, тем более в последние полтора года. Дело в том, что существует огромная масса денег, которые печатаются просто так, для обслуживания гос. долга Соединенных Штатов, и субсидирования их экономики. Часть этих денег получают юридические лица, а часть - физические. Если получателям не удается придумать, куда пристроить эти деньги в реальном секторе, они часто попадают на фондовый рынок, накачивая стоимость тех или иных активов. Поэтому, в последние годы, рынок перекошен в бычью сторону, то есть стратегии типа купи и держи на долгосроке работает. В такой ситуации остается думать о том, какой сектор или какая бумага растет быстрее других, что очень похоже на перестроения из ряда в ряд на шоссе - только перестроился, а другой ряд начинает ехать быстрее.

Тем не менее, случаются и коррекции, вот как сейчас. Некоторые выгадывают приближение коррекции через фигуры технического анализа, уровни, каналы, булл-трапы, ГИПы, некоторые просто событийно предсказывают, что в марте молодые и бестолковые "робингуды", типа меня, вспомнят, что надо платить налоги и начнут распродаваться. Но факт в том, что весенняя коррекция бывает и к ней надо быть готовыми, а я был готов недостаточно - слишком долго вокруг кричали Волки, волки, поэтому я был немного на расслабоне. Так называемый инвестиционный портфель мой состоял большей частью из опционов, причем разных типов.

В лонге, то есть с положительной позицией, я стоял по CALL опционам европейского типа, т.е. варрантами. Особенность таких бумаг на IB в том, что они продаются без плеча, то есть по ним можно переждать любую просадку длинной хоть в год. Тем не менее, они склонны падать гораздо резвее своего базового актива.

В шорте я стоял по PUT опционам американского типа с экспирацией в пределах 2х месяцев, часть из которых продавались ATM (около денег), часть вообще ITM (в деньгах). Плюс, у меня было куплено буквально несколько позиций стоков (акций), и проданы покрытые ими CALL опционы, сильно OTM (вне денег).

Как можете видеть, это совершенно очевидная направленная бычья позиция, хотя и относительно умеренная. В принципе, могло быть сильно хуже, если например, покупать стоки с плечом 1 к 4, покупать прости госсподи CFD, или же например покупать CALL опционы с близкой экспирацией. Что же со всем этим произошло? Для начала, случился разворот на индексах, причем не столько на SP500, сколько на NASDAQ, к которому мой портфель оказался более чувствительным в плане стоков и варрантов. На бычьем рынке единственный параметр, который всех интересует, это Buying power - покупательская способность. Обычно она визуально выше суммы ваших свободных денег в 3-4 раза. В Interactive Brokers наряду с предоставляемым плечом, присутствуют ограничители, которые не позволяют клиенту разгуляться, и нанести своему счету непоправимый вред. Это, в частности Excess Liquidity избыточная ликвидность, запас вашей финансовой прочности. Excess Liquidity = Equity with Loan Value Maintenance Margin стоимость активов - минимальная маржа. Именно последний элемент уравнения создает наибольшие проблемы в моменты возрастания волатильности в ходе коррекции. Дело в том, что существует огромная разница между требуемой маржой покрытого опциона и непокрытого. Наличие у вас позиции по стоку, гарантирует то, что вы исполните обязательство по проданному опциону в любом случае, поэтому при продаже и откупе опциона маржа не меняется. Вверху на картинке влияние на маржу откупа покрытого опциона CALL, она нулевая, внизу - непокрытого PUT - оно существенно больше самой премии продавца.

Но вот что интересно. Несмотря на нулевое изменение Margin, как только Excess Liquidity становится отрицательной, вы не можете отправить ордер на откуп CALL опциона, потому что уменьшится Equity; а сток вы не можете продать, потому что опцион станет не покрытым и Margin тут же увеличится. Другими словами, в таких позициях вы парализованы и вам остается только уповать на милость божию.

Теперь о том, почему цена проданного опциона может резко поменяться, даже если внутренняя стоимость изменилась несущественно, но переоценили временную стоимость.

Там одним из множителей является прогнозируемая волатильность, а она (сигма в формуле Блэка-Шоулза)

возросла в коррекции, так как не только вы, а все кругом ловят stop lossы и margin callы, а их маркет ордера валят цены все ниже.

Если мысленно переместиться в будущее, тета (временная стоимость) перетечет в карман продавца, и останется только внутренняя стоимость - дельта. Но мы находимся в настоящем, поэтому маркет-мейкер задирает цену опциона, а брокер смотрит на нее и увеличивает маржинальные требования, чтоб будущая дельта не потопила и его, вместе с бестолковым клиентом. И теоретически возможная margin без плеча по проданному PUT опциону, если кто не понимает, это цена страйка, умноженная на 100 - это есть обязательство покупки упавших в 0.00 бумаг по цене страйка. По непокрытому CALL она не ограничена вообще ничем, но таких я не продавал и не планирую. Но все это теория, а что же происходит на практике? При отрицательной Excess Liquidity (он показывается красным цветом в Portfolio), я мог только закрывать позиции (кроме покрытых колов, как я уже сказал). Пришло письмецо счастья с морожовым требованием. И я действительно, по мелочи продал какие-то позиции, которые плюсовали несмотря на всю жесть, творящуюся на бирже. Потом, я понял, что прошло полдня, день, а ничего не происходило - это немного успокаивало. Вы таки спросите, а где же в этом момент был твой торговый робот, он же должен был давно сам все позакрывать, и ничего этого не было бы?

В общем-то, хватило бы и обычных стоп-лоссов. Строго говоря, робот нужен в основном для растущего рынка, чтоб не зафиксировать прибыль раньше времени - для организации т.н. "умного трейлинг-стопа", который включается не сразу, а по сигналу, может смотреть за курсом не только текущего инструмента, но и его андерлаинга, а также за индексами, новостным фоном, твиттером, реддитом и прочим. Почему же он не работал?

Ответ прост - когда начинается обвал, ты эмоционально отключаешь нафиг всю автоматизацию, потому что надеешься на чудо, так же и напрочь забываешь правила типа "резать убытки сразу, и дать прибыли течь" - думаешь, вот когда рынок отскочит, вот тогда я и дам прибыли течь, а сейчас буду просто тупо сидеть и смотреть как все идет прахом. И уже на следующий день, когда Excess Liquidity еще упала в район -10% от Net Liquidity, около закрытия биржи произошло вот что:

Брокер ликвидировал часть моих бумаг по рыночным ценам, чтобы привести Excess Liquidity в порядок - это были варранты и 1 сток. При этому был зафиксирован убыток больше 2.5 тысяч долларов. При этом, покрытые Call опционы он не тронул, как и проданные путы автоматически откупать не стал - это было бы вообще трагично. Пока что есть определенная вероятность, что в них удастся досидеть до экспирации или перекатить, с небольшим убытком или даже с прибылью.

Ну что здесь можно сказать.

Именно так, видимо, теряют деньги на бирже от 80 до 95 процентов доморощенных трейдеров. Им дают порезвиться, предоставляют плечо, когда рынок идет вверх, а когда он корректируется, зачастую одной длинной свечой, позиции принудительно закрывают в самой невыгодной для них точке. После чего рынок, возможно, разворачивается, и опять идет вверх, но уже без этих лишних пассажиров - их деньги уже у серьезных парней из хэдж фондов. Бывает конечно и наоборот, когда пассажиры, собравшись в банду на Reddit, раскулачивают серьезных парней (см. историю про GME - GameStop Corp), но это большая редкость. Хотя нынешняя коррекция, в принципе, не такая уж и сильная, но я ощутил, каково это бывает.

Надеюсь, эта история вас хоть чему-то научило, например, не загружаться на всю котлету, и вообще интересоваться, какого размера она у вас на самом деле, без плеча брокера и с учетом потенциальных убытков по проданным опционам.

Удачи!

P.S. Упомянутый в баннере ролик "Как я писал биржевого торгового робота на Java" https://youtu.be/puCB7fVtEV4

Видео-версия:

Всем привет.В прошлый раз я рассказывал про маржин-колл, что является неоспоримым фейлом в торговле на бирже, и с тех пор ситуация более-менее выровнялась. Как вы могли догадаться, внизу рынка меня разгрузили далеко не на весь депозит, и что важно, брокер не выкупил резко подорожавшие из-за взлета волатильности короткие опционы. Сейчас некоторые из них серьезно подешевели, и я начинаю выкупать их сам, фиксируя кое-какую прибыль, и одну из таких сделок сегодня хотелось бы рассмотреть, в контексте использования торговых роботов. Хотелось бы пояснить, под роботом я никогда не воспринимал высокочастотную торговлю, потому что соревноваться в этом с техникой и линиями игроков с миллиардными капиталами бесполезно. Робот в моем понимании - это автоматизация элементов своей торговой системы, для которой не хватило встроенного функционала терминала брокера, а необходимо это потому, что у вас никогда не будет времени на постоянный анализ изменяющейся обстановки. Тем более, как я уже говорил, трейдинг не является моей основной профессией, а сейчас, с переходом США на летнее время, начало биржевой сессии уже не на полчаса, а на полтора накладывается на рабочее время по Москве, а есть еще премаркет, который открывается в 10:30 утра. В связи с этим, даже при желании я бы не смог контролировать глазами торговлю на всем протяжении, потому что в моем портфеле довольно много тикеров, и все невозможно отсматривать глазами, даже расположив графики мозаикой - пробовал, все это ерунда.Поэтому я использую, особенно на опционах, так называемые GTC (Good-Till-Cancelled) ордера, на то время как в период неопределенности отключена вся автоматизация.И вот как раз сегодня на открытии рынка сработал такой ордер, который вы видите на экране - опционная позиция была выкуплена за половину от входа в сделку, принеся прибыль около 1,5 тысяч долларов.

Услышав это, многие скажут, так и чего тебе не нравится, ты же сволочь на чистой спекуляции, не произведя добавленной стоимости, обогатился? Некоторые, уточнив город проживания Москву, еще и добавят что мол москвичи зажрались, полторы штуки баксов для них уже не деньги. Тем не менее, в ходе сегодняшнего сеанса разоблачения, я покажу, что на самом деле это отвратительная сделка, совершать ее в таком виде не следовало - а нормально отработать эту ситуацию помог бы примитивный алгоритм, который легко реализуется с помощью торгового робота.

Как я говорил ранее, определение точки входа в позицию, это самая ответственная задача, и если вы пока не нашли свой Грааль, да еще такой, чтобы он укладывался в формально описываемые алгоритмы, вы можете заниматься ресерчем, фундаментальным анализом, чтением новостей и сплетен, рисовать фигуры технического анализа, и допустим, в какой-то момент научитесь плюс-минус удачно входить в позицию.

Алгоритмы же выхода из позиции формализуются гораздо веселее. Два из них, наверное, становятся известны начинающему трейдеру в первый день его упражнений в терминале - это стоп-лосс и тейк профит. Со стоп лосом, все совсем просто, это линия, за которой заканчивается размер максимального риска, который вы отмерили на сделку.

Например, вы купили по бумагу за 10 долларов, и больше доллара терять не намерены - тогда стоп будет стоять на 9. Цена, конечно, может проскользнуть на низколиквидном инструменте за уровень стопа, но это не очень страшно. Что же с фиксацией прибыли - с тейк профитами? Ставить тейки по такому принципу тоже можно, но у вас немедленно включится жадность, и задаст вам вопрос - если бумага прет по тренду в вашем направлении, зачем вам фиксировать прибыль на определенном заранее уровне, если можно досмотреть это кино, до куда она все-таки дойдет? На эту тему недвусмысленно высказался Джесси Ливермор - режь убытки сразу, дай прибыли течь.

Посмотрим, что случилось с курсом выкупленного опциона дальше, в течении дня?

Уже сейчас видно, что с дать прибыли течь вообще не срослось. На самом деле в IB существует встроенный инструмент для подобных ситуаций - trail stop, однако есть проблема.

Дело в том, что вы должны определить размер максимальных колебаний отката, который начнет действовать сразу по активации ордера, в результате чего понемногу планка подтянется к цене, и при откате назад, позиция будет закрыта очень быстро, либо вы потеряете на крупном откате. Я пытался настроить активацию ордера на некие условия, но похоже, в IB для инструментов типа опционов это заблокировано, поэтому сделать это может только ваш самописный робот. При шортовой позиции на опцион, время работает на меня, поэтому я могу ждать до самой экспирации, а если опцион вошел в деньги, я могу перекатить его на будущий период, иногда даже диагонально, улучшив страйк - заплатив за него временной стоимостью. Когда время работает на меня, врубать такой trailing коробки - это глупость.

Кроме того, на графике вы можете видеть, что перед закрытием прошлого дня практически не было сделок, и к тому же был просто конский спред в доллар и более между бидом и аском - сработка рыночного, а не лимитного ордера в такой ситуации - это просто подарок для маркетмейкера. На открытии, как водится, спреды вообще огромные, но при этом было уже было гораздо больше сделок. На третьей секунде после открытия рынка, спред конечно, не сильно сузился, но так как курс валился вниз, мой ордер на откуп сработал и зафиксировал прибыль в полторы тысячи долларов.

Но нетрудно заметить, что это было по цене 2.50, а цена немедленно бахнулась на 0.50, то есть с 5 опционов я недополучил 2*100*5, еще целую тысячу долларов. Отвратительная сделка. Стоит заметить, что обычно такого не происходит, и цена опускается медленно и нежно, и GTC ордера вполне хватает. И кто-то скажет, что всех денег не заработать, мол, ты не мог знать, куда пойдет курс опциона, поэтому можно не переживать. Некоторая вероятность того, что гэп премаркета закроется мгновенно, имеет место, но обычно это занимает до получаса, за которые можно было выкупить опцион по более выгодной цене.

Но в том-то и дело, за ночь и утро, на постмаркете и премаркете (где кстати вы тоже можете торговать, если отмечать в настройках графика и ордеров нужные галочки), на базовом активе образовался огромный гэп, то есть разрыв в курсах. Разумеется, я поленился, и вручную не проверил все курсы базовых активов по моим опционным позициям перед открытием рынка - я работаю и занят, да и вообще нет у меня такой привычки. А я бы увидел, что цена акции HGEN резко шмальнула вверх на премаркете и пересекла отметку страйка. Что означает ровно одно - внутренняя стоимость опциона превратилась в тыкву, и стала ноль долларов ноль центов. И у опциона осталась только временная стоимость на будущие три недели. Здесь можно было бы снова грузануть вас формулой Блэка-Шоулза:

Но черт с ней, давайте просто посмотрим, сколько стоял БА на закрытии - 14.05, и сколько стоял этот опцион в 15 страйке - 5.50, а внутри него сидело, вы не поверите, 95 центов внутренней стоимости. Стало быть, 4.55 доллара - это его временная стоимость на конец пятницы, когда он был примерно около 50 дельты (дельта - вероятность экспирации в деньгах). Обратите внимание, примерно столько же 5.50 маркет мейкер просит сейчас за опцион немного в деньгах. А за опцион в 10й дельте, в которую с пятницы на понедельник превратился страйк 15, просят 0.75 (на практике, цена падала и до 0.50, то есть дельта была еще меньше).

Таким образом повторюсь, единственное, что от меня требовалось, так как я мог посмотреть результаты торгов БА на премаркете, это рассчитать с помощью робота цену опциона, и понять, что моя лимитка стоит сильно выше (в 5, черт возьми, раз выше) справедливой цены, и на открытии рынка произойдет очень невыгодная сделка. Я не посмотрел, а вот маркетмейкер - да, у него работа такая, и обнаружив шикарную точку арбитража, он реализовал ее на 3 секунде работы биржи.

И вы таки спросите, если при торговле опираться на дельту, как я мог рассчитать дельту без опционной доски IB, и даже без его веб-калькулятора?

А вот по этой незамысловатой формуле опционного грека Дельта:

=N(d1) 1 where d1= (ln(S/K)+(r-q+^2/2)t)/ t

K - Option strike price N - Standard normal cumulative distribution function r - Risk free interest rate q - Dividend Yield - Volatility of the underlying S - Price of the underlying t - Time to option's expiry

Ну, формула-то незамысловатая, но в ней участвует волатильность, которую (имея в виду implied - Подразумеваемую), потребуется рассчитать. На скале функция выделит так:

def delta(tp :String,S:Double,K:Double,vol:Double,tt:Int,q:Double=0.0,r:Double=0.0) = {       val t = tt/366.0       val d1 = (scala.math.log(S/K)+(r-q+vol*vol/2)*t)/(vol*sqrt(t))       new NormalDistribution(0.0, 1.0).cumulativeProbability(d1) - (if (tp=="P") 1 else 0)     }  Сравниваем:[info] Done compiling.  -0.12389190331572086 

При этом, на четвертом знаке после запятой она перестает биться с калькулятором на сайте IB; мало этого, Dividend Yield по идее должна отниматься от Risk free interest rate, а в калькуляторе, если эти числа устанавливать одинаковыми, греки немного различаются - стало быть, там считают как-то иначе. Но как я говорил, для меня это хобби, и я не обязан разбираться в тонкостях.К тому же, я могу использовать встроенный функционал API IB для расчета волатильности, а также и для расчета справедливой цены опциона перед открытием.

Прогнав свой портфель через эти функции API, мы можем не терять деньги столь бездарно, как в приведенном примере. Соответственно, вместо примитивных GTC ордеров, можно ставить на мониторинг рынка и новостного фона условия произвольной сложности, при сработке которых включается трейлинг.

Желаю вам удачи, до новых встреч!

Лемма Ито играет ключевую роль в теории случайных процессов и находит свое приложение в моделях оценки справедливой стоимости финансовых инструментов. Так как стоимость любой производной ценной бумаги является функцией, зависящей в том числе от стохастических факторов, исследование и описание свойств таких функций имеет важное значение.

Лемма Ито применяется к процессам, которые подвержены некоторому сносу, а также воздействию случайных факторов. Такие процессы довольно точно описывают поведение цен на финансовых рынках. Вывод формулы Ито и описание соответствующих свойств в рамках данной статьи будет проведено на базе моделирование цен финансовых активов.

Уравнение цены

Построение прогностической модели стоимости любого финансового актива основано на эмпирическом анализе окружающей нас реальности. Опытным путем установлено, что изменение стоимости финансового актива зависит от (i) времени и (ii) стоимости актива в исходный момент времени . Это позволяет понять, что цена актива является функцией двух переменных .

Наличие зависимости при которой скорость изменения некоторой величины пропорциональна ей самой встречается очень часто и приводит к экспоненциальному росту, примерами служат уравнения радиоактивного распада, размножения и гибели микроорганизмов. Знание закона по которому изменяется цена позволяет составить дифференциальное уравнение.

В данное уравнение добавляется безрисковая ставка являющаяся скалирующим коэффициентом, который описывает динамику актива. Для решения уравнения разделяем переменные: , интегрируем и в итоге получаем уравнение стоимости финансового актива.

где, - стоимость финансового актива в момент времени .

Надо заметить, что получившееся уравнение позволяет нам точно определить значение цены в любой будущий момент времени, в связи с чем такой процесс можно назвать детерминированным. Однако, на практике цена помимо некоторой детерминированной динамики, определяемой безрисковой ставкой, также подвержена случайным колебаниям, которые должны учитываться при прогнозировании цен.

Исходя из вышесказанного логичным будет выглядеть внедрение в уравнение цены стохастической составляющей, наиболее подходящей моделью которой является броуновское движение.

Броуновское движение

История открытия броуновского движения хорошо известна, поэтому перейдем к описанию его основных физических и математических свойств. В каждый момент временина частицу оказывается разнонаправленное воздействие очень большого количества молекул, при этом сила их соударения с частицей тоже разная. В результате, наблюдаемая частица совершает хаотические движения. Такая картина является свойственной для финансового рынка, когда на колебания цены в конкретный момент времени оказывают влияние решения огромного количества независимых участников рынка.

Если перенести броуновское движение на координатную плоскость и представить его в дискретном времени, то получим переменную Винера, описывающая одну конкретную реализацию случайного процесса , где это независимые случайные величины имеющие нормированное нормальное распределение .

На практике, каждая случайная величинаявляется приращением цены в соответствующий момент времени. Для того, чтобы задать некоторую амплитуду таких толчков и описать данной моделью поведение какого-то реального актива вводиться коэффициент , рассчитывающийся на основе статистических данных и являющийся волатильностью. В итоге дискретный процесс Винера трансформируется в формулу:. В силу свойств случайных величин, распределенных нормально, сумма гауссовых чисел , представляется как , где , а - общее количество случайных движений цены.

В конечном итоге Винеровский процесс, может быть представлен в виде . Его особенность заключается в том, что малое изменение процесса по времени присутствует в переменной Винера, как . В геометрической интерпретации это означает, что огибающее семейство всех реализаций такого случайного процесса будут иметь параболический вид.

Добавив к Винеровскому процессу определенную динамику в виде , получим уравнение арифметического броуновское движения со сносом .

import pandas as pdimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt%matplotlib inlinesteps = 300num_plots = 50Range = []Values = [0]plt.style.use('ggplot')plt.rcParams['lines.linewidth'] = 0.6fig, ax = plt.subplots()fig.set_figwidth(12)fig.set_figheight(6)colormap = plt.cm.gist_ncarplt.gca().set_prop_cycle(plt.cycler('color', plt.cm.jet(np.linspace(0, 1, 1))))Range = np.arange(steps) for i in range(0, num_plots):    for i in range (1, steps):        x = np.random.random()        if x <= 0.5:            x = -1        else:            x = 1        y = Values[-1] + x        Values.append(y)        ax.plot(Range, Values)    Values = [0]

Постановка задачи

Имея в распоряжении полученное соотношение возникает ощущение, что никакой сложности в прогнозировании цен нет. Так и есть, однако, важно иметь в виду, что с точки зрения финансовой науки не совсем корректно анализировать приращение цены, так как еще в 30 гг. ХХ века было установлено, что нормально распределены не сами цены, а их логарифмы. Следовательно объектом изучения должен быть не сам, а . Ниже рассмотрим логику перехода от к .

Для начала из разностной схемы уравнения цены , выразим приращение цены , а затем запишем дифференциальное уравнение в непрерывном времени перейдя к дифференциалам.

Заметим, что представляет собой уравнение Ито, то есть такой процесс, где есть некий снос и флуктуация , в общем виде записываемый следующим образом:

где, - функция сноса, - функция волатильности.

Имея в виду необходимость проанализировать необходимо перейти от уравненияк уравнению . Решается полученное уравнение довольно нетривиально так, как в правой части стохастического дифференциального уравнения стоят не константы, как в уравнении, а функции и .

Такого рода задачи финансовой математики помогает решать лемма Ито. Например, лемма Ито также используется для вывода уравнения Блэка-Шоулза-Мертона в частных производных.

Лемма Ито

Для того, чтобы решить СДУ требуется взять некую функцию, поведение, которой будет соответствовать общему процессу Ито, то есть зависеть от функций сноса и волатильности , а также аргументом которой будет случайный процесс . В результате получим связанные с друг другом дифференциальные стохастические уравнения.

где, дифференциал случайного процесса выглядит, как *

Лемма Ито позволяет вычислить функции и , если нам даны функции и. Функцию предполагаем аналитической, в частности, разложимой в ряд Тейлора в окрестности точки .

где, частные производные вычисляются в точке и .

В виду соотношения * учитываем только бесконечно малые ; остальные имеют порядок малости выше. В разложениеподставляются приращения случайного процесса и, а переносится в левую часть уравнения. Усредняя левую и правую часть (угловые скобки обозначают мат. ожидание) получаем:

В самом деле:

- в силу того, что , второе слагаемое исчезает и остается только .

На первом шаге пропадает удвоенное произведение по причине , на втором шаге понимаем, что слагаемое деленное на в пределе дает . Таким образом приращение функции уходит и остается только . Так как на последнем шаге останется только .

Имея математическое ожидание приращения функции можно выразить функцию сноса и функцию волатильности следующим образом: , а . Тогда,

Получив функции сноса и функцию волатильности , дифференциал функции можно записать в виде дифференциального стохастического уравнения, заключением которого является лемма Ито:

Логарифмическое блуждание

Как отмечалось ранее, принципиальным для финансовой науки было получение уравнения, одновременно описывающего экспоненциальный рост цены и совмещающего в себе стохастическую составляющую. Поставленная задача решается применением леммы Ито. В формулефункция заменяется на , а функция заменяется на ; вместо подставляется .

Вычислив производные и осуществив необходимые преобразования получим.

Так как при и стоят константы, данное дифференциальное уравнение можно записать в конечных разностях, затем выразить функцию , после чего функцию цены актива получить прибегнув к потенцированию. В итоге приходим к принципиально важному уравнению, которое лежит в основе большинства моделей оценки справедливой стоимости финансовых инструментов.

В отсутствии стохастической составляющей, т.е. при уравнение превращается в обычное уравнение размножения и гибели , а при получим логарифмическое блуждание с нулевым сносом.

import math as mimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt%matplotlib inlineimport scipy.statsfrom scipy.stats import binomfrom scipy.stats import exponr =0.25sigma = 0.1t = 1/360x0 = 100num_plots = 10Days = 360*8Values = []DAYS = []for i in range (0, Days):    DAYS.append(i)plt.style.use('ggplot')plt.rcParams['lines.linewidth'] = 0.6fig, ax = plt.subplots()fig.set_figwidth(18)fig.set_figheight(9)colormap = plt.cm.gist_ncarfor i in range (0,num_plots):        for i in range (0,Days):                if i == 0:            #Генерация случайного числа            distribution = scipy.stats.norm(loc=0,scale=1)            sample = distribution.rvs(size=1)                        P = x0*np.exp( ((r - (sigma**2/2))*t) + (sigma*sample*np.sqrt(t)))            Values.append(P)                    else:            #Генерация случайного числа            distribution = scipy.stats.norm(loc=0,scale=1)            sample = distribution.rvs(size=1)                        K = Values[-1]*np.exp( ((r - (sigma**2/2))*t) + (sigma*sample*np.sqrt(t)))            Values.append(K)    ax.plot(DAYS, Values)    Values= []

Список использованных источников.

1. Степанов С.С. "Стохастический мир", 2009 г. 376 с.

2. Жуленев С.В. "Финансовая математика. Введение в классическую теорию. Часть 2.", 2012 г. 419 с.

3. Ширяев А.Н. "Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты. Модели", 1998 512 с.

...и не смог уволить сотрудника, который был в этом виноват.

Автор: Артём Наливайко.

Есть такой замечательный французский банк Societe Generale. Точнее не банк даже, а финансовая группа, но не суть. Каждый год правление банка рассылает сотрудникам письмо с кратким рассказом о результатах года. Меняются события, история, менеджмент. Лишь одно имя уже много лет остаётся неизменным.

В этом году Societe Generale близок к тому, чтобы закрыть убытки, нанесённые действиями Жерома Кервьеля.

Так кто этот страшный человек, Жером Кервьель? Как простой трейдер смог нанести такой огромный ущерб? Зачем он это сделал? Но прежде всего а так ли Жером Кервьель был виновен, или у этой истории есть очень неприятное для банка двойное дно, и она достойна быть одним из лучших финансовых детективов 21-го столетия?

Разбираемся.

Группа Societe Generale раскрыла преступление, исключительное по масштабам и своему характеру: трейдер-одиночка, которому доверили выполнять рядовые операции, незаконно открыл множество позиций в течение последнего года. Воспользовавшись обширными познаниями в области контроля за сделками, почерпнутыми на предыдущей должности, он смог долгое время скрывать свою деятельность. С учетом размеров позиций и чрезвычайно неблагоприятной конъюнктуры рынка мошенничество повлекло за собой убытки в размере 4,9 миллиарда евро -такими словами начинался знаменитый пресс-релиз, опубликованный 24 января 2008 года одним из крупнейших банков Европы.

В одночасье его имя оказалось на первых полосах газет. Финансовый Бен-Ладен - кричали банкиры. Мистер Никто, великий махинатор, трейдер-мошенник - вторили журналисты. Я невиновен - пытался оправдываться Жером, но его толком никто не слушал.

Кем вообще был этот Кервьель? Обычным трейдером невысокого ранга, в задачи которого входила в том числе торговля деривативами сложными и высокорисковыми финансовыми инструментами. Долгое время его работа не вызывала особых нареканий сделки Кервьеля приносили прибыль банку и бонус ему самому. Платили ему не так много около 100 тысяч евро в годовом эквиваленте, достаточно небольшие деньги для банковского трейдера. Поначалу его работа была достаточно однообразной ребалансировать портфель и работать на арбитраже, зарабатывая на разнице в цене на одни и те же финансовые инструменты на разных рынках. Финансовый арбитраж штука практически безрисковая, но как правило весьма низкодоходная. Бывший коллега Кервьеля называл эту работу обезьяньей, то есть достаточно примитивной. Сам Кервьель в мемуарах иронично называл трейдеров уличными проститутками на большой банковской оргии и много раз подчёркивал, что ценность трейдера (как и представительницы древнейшей профессии) определяется только одним его дневным заработком. Фактически, банк требовал от них делать деньги совершенно любым способом.

Ответственность давила чудовищно. Ещё больше давили семейные проблемы годом раньше у Жерома умер отец, а вскоре его бросила жена. Он всегда отлично выглядел и всегда был один, мы никогда не видели его с девушкой - вспоминали потом бывшие коллеги. Вскоре Жером ушел от арбитража в сторону сложной финансовой инженерии, получая то огромную прибыль то не менее гигантские убытки. Так, к лету 2007го его портфель был в минусе на 2,5 миллиарда, но к декабрю он смог не только отыграть потери, но и получить полтора миллиарда прибыли. Та ещё работа, надо сказать.

В один прекрасный день Жером принял на себя чуть больший риск. Потом ещё чуть больший. Потом начал торговать со счетов клиентов практика крайне порочная, но, судя по всему, достаточно частая в те времена. В итоге, стоимость совокупных открытых позициий трейдера перевалила за 50 миллиардов евро в полтора раза больше капитализации самого банка!

Пуркуа бы не па - подумал Жером и пустился во все тяжкие. Он не хотел обманывать своего работодателя, но годовой бонус лучшему сотруднику банка не оставлял ему выбора. По большому счёту, но не делал ничего такого, что не делал бы любой другой трейдер. Жером открывал огромные позиции с огромным риском, вот и всё. EUREX несколько раз сообщала в банк о крупных сделках, но реакции на это не последовало. Финансовый контроль самого банка операции Кервьеля долгое время просто игнорировал. Сам банк потом скажет, что трейдер умело прятал такие сделки за сотнями тысяч рядовых низкорисковых операций на огромные суммы. Скорее всего, это правда - но для чего тогда вообще нужен финансовый контроль?

В начале января Кервьелю позвонили с работы, и предложили на несколько дней покинуть Париж трейдер отказался. А через несколько дней разразился грандиозный скандал. Банк объявил о выявлении сотрудника, который в результате мошеннических и несанкционированных операций нанёс огромный ущерб. Биржи в январе 2008 года и без того лихорадило, а дело Societe Generale изрядно усилило падение, превратив ситуацию в идеальный шторм. Акции компании колоссально упали в цене, всерьёз начались разговоры о банкротстве. Из-за поднявшегося скандала SG был вынужден закрыть все позиции трейдера с огромным убытком порядка 5 миллиардов (!) долларов.

Проблема быстро перестала быть чисто европейской. Мировая финансовая система это по-сути множество сообщающихся сосудов, и известный закон там тоже работает. Волна от брошенного камня превратилась в небольшое цунами. Где-то за океаном в холодном поту проснулся глава ФРС Бен Бернанке, прозванный Helicopter Ben за своё легендарное предложение разбрасывать деньги с вертолёта. Посмотрев на происходящее, он почесал лысый затылок и снизил ставку резервирования (аналог нашей ключевой ставки) аж на 0,75 процента впервые за 25 с лишним лет!

Самое смешное, что банк не смог уволить Кервьеля сразу согласно французскому трудовому законодательству и контракту трейдера, для этого требовалась личная встреча его представителей с сотрудником, что было невозможно судья первым делом запретил сторонам общаться между собой напрямую до окончания процесса. Результат был предсказуемым, Кервьеля признали виновным в мошенничестве и приговорили к пяти годам тюрьмы (два условно) и выплате штрафа в размере 4,9 миллиардов евро. Кервьель отсидел пять месяцев и стал самым большим должником в мире, ведь для выплаты долгов ему пришлось бы работать непрерывно около 200 000 лет.

Своей вины Кервьель не признал и настаивал на аппеляции. Банк говорил: мы понимаем абсурдность штрафа и готовы к обсуждению, как бы намекая признай свою вину, и мы откажемся от претензий к тебе. Кервьель настаивал на своей невиновности и требовал пересмотра дела. В 2014-м году суд оставил приговор в силе, лишь отменив штраф ввиду его полной абсурдности. Самого трейдера на суде не было он в это время совершал паломничество в Ватикан и встречался с Папой Римским.

Его вина казалась совершенно очевидной, вот только дальнейшие события пошли по совсем неожиданному сценарию. Через два года он сумел выиграть очередную аппеляцию. Внезапно начали всплывать малоприятные для банка подробности так, SG не смог привести сколь-нибудь серьёзных доказательств того, что он не знал об операциях Кервьеля. Также банк не смог доказать, что лишь Кервьель совершал огромные и рискованные сделки, превышая все возможные лимиты. То есть действия трейдера были совершенно нормальной практикой для французского банка! Да и сам Кервьель не получал никакой особой сверхприбыли, кроме предусмотренного контрактом вознаграждения. Но самое удивительно вскрылось дальше офицер полиции, которая в 2008 году вела расследование, заявила, что на неё оказывалось колоссальное давление с требованием сконцентрироваться лишь на фактах, которые бы доказывали вину трейдера (привет, французская коррупция!).

В итоге, суд обязал Societe Generale выплатить трейдеру 150 000 евро за незаконное увольлнение и ещё 300 000 в виде неполученного годового бонуса. Жером Кервьель стал на шаг ближе к тому, чтобы доказать собственную невиновность.

К слову, французское общество в этой ситуации поддержало скорее Кервьеля, чем его работодателя 77% французов верили в том, что он был скорее жертвой обстоятельств. Даже Николя Саркози потребовал принять меры - правда, меры оказались не совсем такие, каких ожидала общественность. Вместо наказания для менеджмента банка, французское правительство просто закрыло образовавшуюся дыру в его балансе за счет денег налогоплательщиков.

А теперь попробуем разобраться, как это произошло и что это вообще было. Действительно ли Жером Кервьель был финансовым террористом 1, в одиночку провернувшим гигантскую аферу? Или история была немного сложнее?

Собственно говоря, что делал Кервьель? Он открывал ОЧЕНЬ высокорисковые позиции на ОЧЕНЬ волатильном рынке. В какой-то момент Жерому не фортануло, он привлёк таки внимание банка, который был вынужден как-то реагировать.

Вы спросите - а каковы шансы на то, что финансовый контроль пропустит такую несанкционированную открытую позицию на 50 миллиардов? В наши дни они стремятся к нулю. Ей-богу, даже пролететь на вертолёте над Кремлём будет проще. В 2008 году всё было немного иначе, НАСТОЛЬКО иначе, чтобы допускать подобное. Я задал этот вопрос человеку, который в 2008 году работал (какая ирония) на trading desk в Lehmann Brothers. По его мнению, финансовый контроль того времени был исключительно "дырявым" и "формальным" - и при желании Кервьель мог лего его обмануть. Вообще, сам факт сделок Кервьеля возможен в одном из двух случаев. В первом случае мы признаём, что в одном из самых уважаемых банков Европы работали сотрудники столь бездарные, что в качестве руководителя контроллинга можно было с чистой совестью нанимать даже моего кота. Ну а что пользы столько же, зато задорно мяукает, да и на годовом бонусе можно сэкономить даже если выдать его самосвалом корма.

Другой вариант куда прозаичнее - руководство трейдинга банка было прекрасно осведомлено о сделках Кервьеля, но закрывало на них глаза просто потому, что они были совершенно нормальной практикой. Если так то почему в критической ситуации менеджмент SG сделал всё наихудшим для банка образом? Ведь их действия на первый взгляд выглядят совершенно нелогично ситуация была немедленно предана максимальной огласке, а позиции трейдера были будто нарочно закрыты быстро и с огромным убытком то есть максимально невыгодным для банка образом?

Есть две гипотезы - реалистичная и конспирологическая. Согласно первой, информация о сделках Кервьеля дошла до топ-менеджмента, который поседел от ужаса, и, оценив возможные последствия, предпочел болезненный но надёжный вариант развития событий.

С конспирологической теорией всё немного интереснее. Ещё в феврале 2008 года журналист Сергей Голубицкий высказал такую идею а что, если SG фактически осознанно манипулировал рынком, играя на понижение? И что всё произошедшее грандиозная финансовая афера, а Жером Кервьель в ней лишь пешка? Реакция рынка на произошедшее была с самого начала совершенно очевидной аналитики и до всех событий предсказывали весьма медвежье начало года, а после Кервьеля падение было более чем очевидным. Фактически, потеряв 5 миллиардов долларов, банк (пусть и опосредованно) мог заработать куда больше. О склонности к риску говорит и другой факт в 2018 году американцы наложили на франуцзский банк штраф в размере 1,3 млрд долларов за торговлю с Ираном и Кубой в обход американских санкций. Для того, чтобы его покрыть, SG пришлось продать несколько региональных подразделений. К слову, мой собеседник из Lehmann в эту теорию не верит.

Французы не идиоты. Франуцзы великолепно понимали, что они делают, понимали последствия, возможные риски и возможную прибыль. И согласно конспирологической теории, SG на деле Кервьеля в итоге отлично заработал. Кервьель был обвинён по статье мошенничество, но были ли действия трейдера следствием его желания получить годовой бонус, или он сам был всего лишь пешкой, которой умело манипулировал менеджмент банка, а сама ситуация не более чем попыткой подвинуть рынок? Вероятно, мы никогда этого не узнаем.

А ещё про Кервьеля сняли неплохой фильм ("Аутсайдер"), а перед вторым судебным процессом он выпустил книгу воспоминаний. Такие дела.

Традиционный словарь и комментарии:

Деривативы производные (от базового актива) финансовые инструменты, главная фишка которых привязка к будущей стоимости актива. Деривативы могут представлять собой как относительно простые конструкции, так и совершенно чудовищных финансовых кадавров. Самый простой дериватив договор на поставку товара через полгода по заранее оговоренной цене. Или право его купить. Или право продать. Или всё вместе.

Касаемо действий Бена Бернанке по сути, он резко снижал ключевую ставку для того, чтобы заткнуть деньгами падающие рынки и таким образом сгладить это самое падение и добавить рынку ликвидности. Подобным образом, например, действовал Алан Гринспен во времена пузыря доткомов и много кто ещё. О личностях Бернанке, Гринспена (которого незабвенный Нассим Талеб называл худшим финансистом всех времён) и самом подходе можно написать небольшую книгу.

медвежий и бычий тренды тренд рынка к сокращению или росту соответственно.

Lehmann Brothers- американский банк, обанкротившийся в 2008 году на фоне американского ипотечного кризиса.

"Мошеннический трейдинг", "rogue-trading"- проведение неавторизованных (нанимателем) операций, в результате которых трейдер принимает на себя излишний риск в обход принятых в банке практик. Один из двух "великих грехов" трейдера наряду с инсайдерской торговлей. Зачастую является скорее gambling чем trading.

Более полный список "трейдерских" потерь: там есть и российские компании!(https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trading_losses)

Автор: Артём Наливайко

Оригинал

Всеобщий интерес к модели Блэка-Шоулза (далее - БШ) вызван тем, что в свое время ее авторы произвели революцию сфере оценки справедливой стоимости опционов и иных производных финансовых инструментов. В дальнейшем они получили Нобелевскую премию за свои открытия, а выведенная ими аналитическая формула, стала пожалуй, самой фундаментальной и известной в мире финансов.

Не меньший интерес модель БШ вызывает с точки зрения низкоуровневого математического и теоретико-вероятностного анализа. В статье подробно рассмотрен процесс обоснования опорных и ключевых принципов модели БШ, а также в процессе доказательств выводится аналитическая формула, которая используется для оценки справедливой стоимости опционов.

Базовые понятия

Опцион - договор, по которому покупатель опциона получает право, но не обязательство, совершить покупку или продажу данного актива по заранее оговорённой цене, которая называется ценой исполнения или страйк.

Для целей дальнейшего анализа такой финансовый инструмент наиболее точно представим в виде функции, которая описывает выплаты по опциону в момент экспирации контракта. Для более простого и интуитивного понимания, будем рассматривать опцион типа Call, функция выплат по которому выглядит следующим образом.

где, цена базового актива, цена страйк.

С практической точки зрения, функция предполагает получение выгоды покупателем опциона в случае, если цена базового активапревысит цену страйки которая будет совпадать с разностью. В противном случае, держатель опциона получит убыток равный, уплаченной премии за приобретение опционного контракта.

Понятие справедливой стоимости наглядно иллюстрируется тем, что в момент заключения сделки ни одна из сторон не должна находится в преимущественном положении. Такая расстановка сил окажется возможной только в том случае, если стоимость опциона будет равна ожидаемой прибыли по нему. Иначе говоря, мы будем готовы заплатить за опцион ровно столько, сколько сможем на нем заработать (в среднем).

Исходя из вышесказанного, логичным становится исследование функции, как случайного процесса, зависящего от цены базового активаи времени , поскольку данная функция будет определять получаемую по опциону прибыль в конкретный момент времени, а следовательно и его справедливую стоимость.

Уравнение БШ в частных производных

Чтобы продвинутся в направлении вывода формулы БШ необходимо обратиться к лемме Ито, позволяющей найти дифференциал функции, аргументом, которой является стохастический процесс. При этом необходимо знать стохастическое уравнение самого аргумента, являющегося случайным процессом.

Проанализируем применимость леммы Ито для нашего конкретного случая.

В самом деле, функция выплатв качестве аргумента содержит случайный процесс. В силу того, что процессявляется ценой базового актива, то наиболее логично допустить его описание дифференциальным уравнением логарифмического случайного блуждания:*. В итоге получим две компоненты, требуемые для применения леммы Ито.

Подставив имеющиеся у нас данные в формулу Ито получим соотношение представленное ниже:

Нашему взору предстанет очень сложное дифференциальное стохастическое уравнение, которое имеет мало перспектив интегрирования в таком виде. Для упрощения уравнения, требуется в первую очередь избавится от стохастической составляющей. Сделать это возможно путем формирования дельта-нейтрального портфеля.

где, - дельта опциона или первая производная по .

Далее полагаем, что дельта опциона практически не меняется с изменением, таким образом и дифференциальная форма дельта-нейтрального портфеля имеет следующий вид: . Заметим, чтонам известно, как логарифмическое случайное блуждание *, аберем из соотношения. В итоге получаем:

Если не забыть, что и раскрыть скобки, то стохастическая составляющая сократится и останется:

Дифференциальное уравнение выглядит уже вполне пригодно, однако требуется провести еще несколько преобразований. Заменяем переменнуюна, как , где период. Обе переменные определяют срок до экспирации опциона, однако в случаенаш срок увеличивается, а после замены на, срок будет сокращаться. На уровне производных, осуществленная замена приведет к следующему тождеству: .

Опираясь на принципы рынка можно перейти к новому равенству:, гдебезрисковая ставка. Левую часть этого равенства заменяем соотношением, а вместов правой части уравнения подставляем формулу.

Раскроем скобки, разделим обе части наи получим уравнение БШ в частных производных:

Сведение уравнения БШ к уравнению теплопроводности

Получив дифференциальное уравнение БШ, вопрос о поиске его решения остается актуальным. Забегая вперед, окажется, что такое уравнение можно свести к дифференциальному уравнению теплопроводности, решение которого хорошо известно.

Процесс получения уравнения теплопроводности из уравнения БШ носит чисто аналитический характер. Преобразования начинаются с замены. Делается это для того чтобы избавится от функцийи, которые стоят при первой и второй производных соответственно.

Переходя к новой переменной, дифференцируем по правилу сложной функции, после чегои сокращаются, а уравнение приобретает следующий вид:

где

Находим первую производную по, при условии

Вторую производную по, при условии

Избавляемся оти

Проводим дальнейшие преобразования для приведения к виду уравнения

где

Следующее преобразование намного менее приятное, однако в пару шагов приводит нас к уравнению теплопроводности. Для этого проводим замену:, а далее подбираем коэффициентыитак, чтобы ряд членов уравнения взаимно сократились и мы получили искомое уравнение теплопроводности, представленное ниже:

Подставляем вместо функциив исходное уравнение

Находим частную производную по

Находим первую частную производную по

Вторую частную производную по

Подставляем найденные производные в уравнениеи делим обе части на

Теперь положим , а , тогда получим следующее уравнение:

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые

В итоге останется соотношение, которое является уравнением тепловодности

Частным решением уравненияявляется гауссиана:

Это проверяется непосредственно путем вычисления частных производных,и подстановки их в уравнение.

Для удобства введем следующее обозначение:

Далее найдем частную производную по:

Затем найдем первую и вторую производную по:

Подставим обе найденные производные в уравнениеи сократим на. В итоге получаем тождество:

Значит гауссианав самом деле является частным решением нашего уравнения теплопроводности.

В виду линейности уравнения теплопроводности, для любой непрерывной функцииинтеграл:

зависящий от параметрови, будет также решением уравнения, на самом деле - общим решением. Итак, общее решение уравненияимеет вид:

Вычисление начальных условий

Для получения окончательного решения по формулеследует найти функцию. Мы намереваемся доказать, чтодля любой точки. Короткий путь - воспользоваться тем, что пригауссиана переходит в дельта-функцию Дирака и тогда:

Объясним это подробнее путем применения первой теоремы о среднем: если функциянепрерывна на отрезке, и при этом функцияне меняет знак и является интегрируемой, тогда существует такое число, что:

Зададимся произвольно малым.

В виду свойств гауссианы при"хвосты" могут быть сделаны сколь угодно малыми и тогда:

Далее воспользуемся выше сформулированной теоремой о среднем и найдемтакое, что

Так как, , то . В силу того, чтовыбрано произвольно малым, в пределе при , получаем. Окончательно имеем:

Следовательно,

Аналитическая формула БШ

Так как,при условии , то интеграл в правой частисводится к виду:

Дальнейшее интегрирование соотношенияпозволяет найти функцию , которая соотносится с функцией стоимости опциона, как. Следовательно, нахождение решенияавтоматически позволит найти функцию.

Решение сводится к разделению интегралана разность двух интегралов и приведению их к функции нормированного нормального распределения.

После процесса интегрирования, представленного ниже получим анализируемую нами функцию Блэка-Шоулза:

где, функция нормированного нормального распределения,волатильность за единичный период.

Осуществим необходимые замены, пересчитаем пределы интегрирования и вычислим дифференциал новой функции для соотношения:

Переписываем интеграл с учетом ряда замен в новом виде:

Далее представим имеющийся у нас интеграл в виде разности интегралов:

Выделим полный квадрат в показателях экспонент и обозначим красным цветом члены, которые не зависят от переменной интегрирования.

Вынесем из под знака интеграла, выделенные красным цветом сомножители, после чего под интегралами, останутся функции, представимые в виде, а значит отмеченные синим выражения будут легко сводится к нормированному нормальному распределению.

Обратим внимание на то, что в стандартном виде интеграл нормального распределения в качестве нижнего предела интегрирования содержит, а верхним пределом является аргумент функции. Следовательно, в нашем случае необходимо поменять местами пределы интегрирования. Для этого воспользуемся свойствами функции нормального распределения:

Также постараемся сделать нашу запись более компактной, для этого выше и далее обозначаем функцию нормального распределения через, а ее аргументы заменим буквой. В силу того, функция нормального распределения содержит в качестве аргументов разные выражения, будем различать их, каки. В итоге получим следующую запись:

где, , а , с учетом минусов от *.

Теперь требуется провести обратные замены для аргументови, а также для сомножителей, которые выделены красным цветом. Вспоминаем, какие замены нами осуществлялись:

После обратных замен аргументыив окончательном виде выглядят следующим образом:

Остается решить вопрос с громоздкими сомножителями, которые стоят перед функциями нормального распределения. Так как мы ищем решение для цены опциона, то вспоминая замену, сделанную для сведения к уравнению теплопроводности, понимаем, что соотношение ** надо умножить на.

При умножении складываем показатели экспонент и приступаем к проведению обратных замен. В итоге окажется, чтопревратится в, а отостанется только . Таким образом, итоговая формула БШ будет иметь следующий вид:

Список использованных источников

1. Степанов С.С. "Стохастический мир", 2009 г. 376 с.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для вузов. Часть 2, глава ХХ. 1985 г. 560 с.

3. Вентцель Е.С. Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. М., ACADEMA, 2003. - 480 с.

4. Жуленев С.В. "Финансовая математика. Введение в классическую теорию. Часть 2.", 2012 г. 419 с.

5. Ширяев А.Н. "Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты. Модели", 1998 512 с.

Впрошлой статьебыла попытка показать весь процесс обучения, отбора и тестирования моделей на торговой паре EUR/USD. В Google Colab работала схема:обучаем модели->тестируем->рисуем на графике. Попытка оказалась неудачной. Стремление не тащить в Colab тонну кода, а максимально все упростить привело к очень низкому качеству обучения. Сигналы выглядели неубедительно и кучковались в очевидных местах.

С тех пор утекло много воды, исследования продолжались. Об этом и расскажу + очередной Colab, на этот раз проще и нагляднее.

Двигаемся дальше

По итогам предыдущего этапа разработки, нейросеть таки стала что то предсказывать. На графиках появился более-менее адекватный прогноз, по качеству напоминающий средний индикатор. Практического толку немного, но достаточно, что бы дальше заниматься этим направлением. Основными недостатками было низкое качество прогнозирования и группировка сигналов в очевидных местах.

В прошлой статье об этом было подробно, а здесь просто напомню, что нейросеть отвечает на вопрос куда пойдет цена "вверх" или "вниз" и не отвечает на вопрос насколько сильно будет движение. Ответ бинарный: 1 - вверх, 0 - вниз. Т.е. если после опроса вернулся ответ [0.8, 0.2] это значит "пойдет вверх", а [0.4, 0.6] "наверно пойдет вниз, но это не точно". Разница внутри этих бинарных ответов характеризует степень уверенности сети, +0.6 в первом случае и -0.2 во втором. Чем больше эта разница стремится к 1 (или -1), тем выше качество прогноза.

"Степень уверенности" при которой ответ можно считать сигналом, индивидуальна для каждой модели и определяется при прогоне на тестовых данных. Более того, этот порог различен для сигналов "вверх" и "вниз". Модели, которые будут загружены в колаб, имеют название файла типа BTCUSD_M6_0.66_0.75.h5
Последние два значения и есть эти лимиты. Перед опросом модели из ее названия вынимаются значения срабатывания и сравниваются с ее ответом.

На практике, такой подход привел к тому, что нейросеть оказалась хитрым и ленивым созданием. Она может долго молчать не давая внятных ответов, а потом в очевидном месте выдать десяток сигналов подряд как бы говоря"вы хотели много сигналов? вы их имеете!", а то, что по сути это один сигнал ее не волнует. Такое поведение как раз и объясняется тем, что "сигналом" является переход вышеупомянутого порога. Поэтому, подряд идущие ответы со значениями выше порога дают кучу точек в одном месте на графике.

А хотелось то много сигналов на большом и небольшом движении цены, на спокойном рынке и когда штормит. В итоге, эта проблема была решена, но не на стороне нейросети, а просто костылем прикрученным уже на этапе интерпретации ответов. Опираясь на несложную математику и сопоставляя текущую волатильность с ответами нейросети, удалось динамически менять уровень "уверенности" который считается за сигнал (этого в колабе нет). В итоге прогнозы немного лучше растянулись по графику, стало нагляднее.

Когда эта задачка решилась, возникла необходимость всю эту красоту нарисовать и выставить напоказ. Сегодня браузер является самым массовым средством доставки. Беру открытую библиотеку которая рисует свечи а-ля TradingView, добавляю туда свои сигналы, быстро все это собираю "на коленке" и готово... таков был первоначальный наивный план. На практике, после питона вникать в JavaScript + Vue + NodeJS оказалось погружением в ад. В итоге,сайтзаработал, но тормозит и периодически подвисает, зато график BTC/USD на свечах 5m похож на новогоднюю елку.

Google Colab

В колабе к этой статье будет следующее:

1. установим/подключим все нужные библиотеки

2. загрузим уже обученные модели

3. скачаем данные по паре BTC/USD за последние две недели, в данных будет время, цена и вектор для опроса моделей (подробнее было в предыдущей статье).

4. нарисуем графики с прогнозами, каждый прогноз на, примерно, 1 час вперед.

"Муть какая-то..."скажет внимательный читатель."Ты даешь нам готовые модели + данные из истории. А может модели переобучены на этих данных? Поэтому и прогнозируют".

Читатель был бы прав если бы не одно "но". Модели не меняются, а вот данные подгружаются с биржи самые последние разбитые на свечи 6м, т.е. каждые 6 минут добавляется новый блок данных, всего 3000 блоков. Через сутки график обновится примерно на 10%, а через две недели на 100%. Последний раздел колаба дает возможность скачать архив моделей. Потом архив можно вернуть обратно и проверить результат спустя сутки или более.

Google Colab можно найти поэтой ссылке. Не забудьте сначала залогиниться в свою учетную запись на Google (или Gmail).

Копируйте ноутбук себе.

Если выпрыгнет предупреждение типа
Warning: This notebook was not authored by Google
соглашайтесь и продолжайте, никакие данные не собираются, весь код открыт.

Теперь нужно последовательно запускать блоки сверху вниз...
На этом все.

P.S. Не пытайтесь заработать на реальном рынке, 97% начинающих теряют депозит. Цель исследования - решить интересную задачу.