Русский
Русский
English
Статистика
Реклама

Кривизна

ОТО. Энергия как дополнительное измерение в решении Шварцшильда

20.08.2020 18:04:07 | Автор: admin
Habritants! В этой статье описано получение метрики общего вида, включающей метрики Фридмана и Шварцшильда как частные случаи.

Для понимания материала необходимы знания алгебры: понятие о производных в большей степени; тензорная в меньшей.

Представим, что у пространства есть четвёртое измерение. Как если бы движение в нём забирало у объекта некоторое количество движения или наоборот. Словно гравитация это чисто геометрический эффект создания субпространственной воронки вокруг любого объекта, обладающего энергией.

Вы наверняка натыкались на подобную визуализацию гравитации, если интересуетесь вопросом:

image

Для того, чтобы оценить глубину такой воронки и механизм взаимодействия объектов, сформулируем выражение интервала сигнатуры (1-4).

3-сферические координаты


Представим 4-ёх мерное пространство $\psi (w,x,y,z) = \mathbb{R}^4$, и зададим в нём сферические координаты $(r, \theta, \phi, \eta)$:

$] \, {w = r\sin\theta\sin\phi\cos\eta; \\ x = r\sin\theta\sin\phi\sin\eta; \\ y = r\sin\theta\cos\phi; \\ z = r\cos\theta } \\$


Для этого запишем переходную матрицу:

$\vec{r} = \left( \matrix{w \\ x \\ y \\ z} \right) = \left( \matrix{r\sin\theta\sin\phi\cos\eta \\ r\sin\theta\sin\phi\sin\eta \\ r\sin\theta\cos\phi \\ r\cos\theta } \right) $


Посчитаем переходные коэффициенты:

$ g_r = \left| \frac{\partial\vec{r}}{\partial r} \right| = \sqrt{ \left( \frac{\partial w}{\partial r} \hat{h} + \frac{\partial x}{\partial r} \hat{i} + \frac{\partial y}{\partial r} \hat{j} + \frac{\partial z}{\partial r} \hat{k} \right)^2 } = \\ = \sqrt{sin^2\theta\sin^2\phi\cos^2\eta + \sin^2\theta\sin^2\phi\sin^2\eta + sin^2\theta\cos^2\phi + \cos^2\theta} = 1 \\ g_\theta = \left| \frac{\partial\vec{r}}{\partial \theta} \right| = \sqrt{r^2cos^2\theta\sin^2\phi\cos^2\eta+r^2\cos^2\theta\sin^2\phi\sin^2\eta+r^2\cos^2\theta\cos^2\phi+r^2sin^2\theta} = \\ = \sqrt{r^2(sin^2\theta + \cos^2\theta (cos^2\phi + sin^2\phi (cos^2\eta+sin^2\eta)))} = r \\ g_\phi = \left| \frac{\partial\vec{r}}{\partial \phi} \right| = \sqrt{r^2sin^2\theta\cos^2\phi\cos^2\eta + r^2sin^2\theta\cos^2\phi\sin^2\eta + r^2sin^2\theta\sin^2\phi + 0} = \\ = \sqrt{r^2sin^2\theta} = r\sin\theta \\ g_\eta = \left| \frac{\partial\vec{r}}{\partial \eta} \right| = \sqrt{r^2\sin^2\theta\sin^2\phi\sin^2\eta+r^2\sin^2\theta\sin^2\phi\cos^2\eta} = r\sin\theta\sin\phi $


И представим соответствующий $\psi$ интервал:

$ds^2 = \color{red}{(-1)\cdot dt^2} + (dw^2 + \color{green}{ dx^2 + dy^2 + dz^2}) \\ ds^2 = (-1)\cdot dt^2 + (g_r^2 dr^2 + g_\theta^2 d\theta^2 + g_\phi^2 d\phi^2 + g_\eta^2 d\eta^2) \\ ds^2 = (-1)\cdot dt^2 + 1 \cdot dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot \sin^2\phi \cdot d\eta^2 \\ ds^2 = \color{red}{(-1)\cdot dt^2} + \color{magenta}{1 \cdot dr^2} + \color{green}{r^2 \left( d\theta^2 + \sin^2\theta \cdot d\phi^2 + \sin^2\theta \cdot \sin^2\phi \cdot d\eta^2 \right)}$


Красным темпоральная составляющая, представленная аналогично метрике FLRW.
Зелёным пространственная составляющая, представленная аналогично метрике FLRW, и представляющая собой поверхность 3-сферы.

Маджента получилась подвисшим между временем и пространством звеном дифференциалом изменения мультипликатора пространственной части.

Общий вид интервала


Продолжая развитие идей, изложенных в предыдущей статье, положим изменение четвёртого измерения мерой связанной с относительным количеством энергии объектов, следовательно, дополним метрику составляющей $\color{orange}{-dr^2}$ в силу рассмотрения энергетически замкнутой системы, что будет предполагаться истинным и для Вселенной в целом (решение Фридмана), и для сферически симметричного массивного тела (решение Шварцшильда). Читатель не согласный с такой трактовкой, может просто считать это математическим трюком:

$ds^2 = \color{red}{(-1)\cdot dt^2 \left( 1 - \color{magenta}{\frac{dr^2}{dt^2}} \right)} + \color{green}{r^2 \left( d\theta^2 + \sin^2\theta \cdot d\phi^2 + \sin^2\theta \cdot \sin^2\phi \cdot d\eta^2 - \color{orange}{\frac{dr^2}{r^2}} \right)}$


Маджента в темпоральной части понятна:

$\color{magenta}{ \frac{dr^2}{dt^2} = \dot{r}^2 }$


Зелёную переформируем, чтобы показать, что пространство $\psi'(\theta, \phi, \eta) = \mathbb{R}^3 \in \psi$ является псевдоевклидовым:

$\color{green}{r^2 \left( d\theta^2 + \sin^2\theta \cdot d\phi^2 + \sin^2\theta \cdot \sin^2\phi \cdot d\eta^2 - \color{orange}{\frac{dr^2}{r^2}} \right) = \\ = r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot \frac{d\phi^2}{d\theta^2} \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot \sin^2\phi \cdot \frac{d\eta^2}{d\theta^2} \cdot dr^2 - \color{orange}{dr^2} =} \quad \rightarrow (1) $


Производные углов $\phi, \eta$ по углу $\theta$ равны:

$\frac{d\phi^2}{d\theta^2} = \left( \frac{d\theta}{d\vec{r}} \cdot \frac{d\vec{r}}{d\phi} \right)^2 = \left( \frac{g_\phi}{g_\theta} \right)^2 = \frac{1}{\sin^2\theta}; \\ \frac{d\eta^2}{d\theta^2} = \frac{g_\theta^2}{g_\phi^2} = \frac{1}{\sin^2\theta \cdot \sin^2\phi };$


Поэтому с учётом базисных векторов:

$(1) \rightarrow \quad \color{green}{= r^2 \cdot d\theta^2 \cdot \vec{e_{\theta 1}}^2 + r^2 \cdot d\theta^2 \cdot \vec{e_{\theta 2}}^2 + r^2 \cdot d\theta^2 \cdot \vec{e_{\theta 3}}^2 - \color{orange}{dr^2 \cdot \vec{e_r}^2} = } \quad \rightarrow \ (2)$


что представляет локальное псевдоевклидово 3-пространство $\psi'_1(x_1, y_1, z_1)$ с линейными по $d\theta$ базисными векторами:

$d\theta \cdot \vec{e_{\theta 1}} = dx_1 \cdot \vec{e_x}; \\ d\theta \cdot \vec{e_{\theta 2}} = dy_1 \cdot \vec{e_y}; \\ d\theta \cdot \vec{e_{\theta 3}} = dz_1 \cdot \vec{e_z};$


с масштабным фактором $r$, и с мгновенной длиной $dl^2 = dx_1^2 + dy_1^2 + dz_1^2$, в нашем случае совокупно редуцированной на величину $dr^2/r^2$:

$(2) \rightarrow \quad \color{green}{ = r^2 \cdot \left( dx_1^2 \cdot \vec{e_\theta}^2 + dy_1^2 \cdot \vec{e_\phi}^2 + dz_1^2 \cdot \vec{e_\eta}^2 - \color{orange}{\frac{dr^2}{r^2} \cdot \vec{e_r}^2} \right) = } \quad \rightarrow \ (3)$


Без оранжевой составляющей получилась пространственная часть интервала стандартной космологической модели для плоского пространства с возможной деградацией пространственного масштабного фактора $r$ по времени, как в FLRW.

Гиперповерхность 3-сферы является внутри себя линейной по угловым координатам, или, иначе говоря, пространственная часть интервала получилась плоской для неизменного $r \ (dr = 0)$. Упаковать лишний $dr^2$ будет практичнее снова в сферических, только уже обычных для трёхмерной сферы $(x_1, y_1, z_1) \rightarrow(\rho, \varphi, \zeta)$. Чтобы различать координаты для 3-сферической и 2-сферической систем, последние обозначим $(\rho, \varphi, \zeta)$:

$(3) \rightarrow \quad \color{green}{ r^2 \cdot \left( dx_1^2 + dy_1^2 +dz_1^2 - \color{orange}{\frac{dr^2}{r^2}} \right) = r^2 \cdot \left( d\rho^2 - \color{orange}{\frac{dr^2}{r^2}} + \rho^2 \cdot d\varphi^2 + \rho^2 \cdot \sin^2 \varphi \cdot d\zeta^2 \right) = \\ = r^2 \cdot \left( \left(1 - \color{orange}{\frac{d(\ln r)^2}{d\rho^2}} \right) d\rho^2 + \rho^2 \cdot ( d\varphi^2 + \sin^2 \varphi \cdot d\zeta^2) \right) }$


где порядок отношения величин $ dr = r d\rho \ \Rightarrow r = e^\rho $, а $\varphi, \zeta$ по теореме тангенсов:

${ d\varphi = \frac{r}{\rho} \cdot d\phi; \\ d\zeta = \frac{r \cdot \sin \phi}{\rho \cdot \sin\varphi} \cdot d\eta. }$


Тогда полный интервал будет:

$ds^2 = \color{red}{(-1)\cdot dt^2 \left( 1 - \color{magenta}{\frac{dr^2}{dt^2}} \right)} + \color{green}{ r^2 \cdot \left( \left(1 - \color{orange}{\frac{d(\ln r)^2}{d\rho^2}} \right) d\rho^2 + \rho^2 \cdot ( d\varphi^2 + \sin^2 \varphi \cdot d\zeta^2) \right)} \qquad (A)$


Получился комбинированный интервал словно слепленный из вида интервала метрики FLRW и метрики Шварцшильда, каждый из которых представляет частный случай физических взаимодействий. Теперь посмотрим как из $(A)$ получаются соответствующие решения.

Вид интервала для метрики Фридмана


Чисто математически интервал вида $(A)$ превращается в метрику FLRW стандартной космологической модели простым исключением энергетической составляющей $dr = 0$:

$ds^2 = \color{red}{(-1)\cdot dt^2} + \color{green}{ r^2 \cdot \left( d\rho^2 + \rho^2 \cdot ( d\varphi^2 + \sin^2 \varphi \cdot d\zeta^2) \right)}$


Что, как показано выше, можно также переписать так:

$ds^2 = \color{red}{(-1)\cdot dt^2} + \color{green}{ r^2 \cdot \left( dx^2 + dy^2 + dz^2 \right)}$


Решение уравнений ОТО для такого интервала даёт зависимость $r \propto t^{2/3}$.

Однако, эмпирические данные ККС для объектов $z>0.3$ показывают консолидированное отклонение от этой зависимости.

Возможно, решение для интервала вида $(A)$ даст более точную зависимость, но я пока его не нашёл.

Решение ОТО через метрику Шварцшильда


Сравним полученный интервал с метрикой Шварцшильда:

$ds^2 = -\color{red}{(1-\frac{\rho_s}{\rho})} \cdot dt^2 + \color{orange}{\frac{1}{1 - \frac{\rho_s}{\rho}}} \cdot d\rho^2 + \rho^2 \cdot d\phi^2 + \rho^2 \sin^2 \phi \cdot d\zeta^2$


Если представить систему взаимодействующих объектов в низкоэнергетическом масштабе $(dr/r \rightarrow \infty)$, то $r$ можно принять равным единице без потери математической связности, пространство при этом станет псевдоевклидовым, а интервал $(A)$ можно переписать следующим образом:

$ds^2 = (-1)\cdot \color{red}{ \left( 1 - \frac{dr^2}{dt^2} \right) } \cdot dt^2 + \color{orange}{ \left(1 - \frac{dr^2}{d\rho^2} \right) } \cdot d\rho^2 + \rho^2 \cdot ( d\varphi^2 + \sin^2 \varphi \cdot d\zeta^2)$


Математически это ровно то же самое, как если бы мы выполнили фокус $\pm dr^2$ для пустого 3-пространства в сферических координатах $(\rho, \varphi, \zeta)$.

То есть для плоского вакуумного случая интервал $(A)$ будет иметь решение аналогичное решению метрики Шварцшильда, при условии эквивалентности подцвеченных красным и оранжевым множителей. Получим систему:

$1-\frac{\rho_s}{\rho} = 1 - \frac{dr^2}{dt^2}; \\ \frac{1}{1 - \frac{\rho_s}{\rho}} = 1 - \frac{dr^2}{d\rho^2}.$


где $t, r, \rho $ по порядку: время, кривизна (энергия), радиус (расстояние) в сферически симметричном гравитационном поле по нулевой общей кривизне пространства.
Путём нехитрых математических преобразований получим весьма лаконичное решение:

$dt^2 + dr^2 - d\rho^2 = 0, $


которое подтверждает, что:

  1. Четвёртая координата линейна радиальной координате.
  2. Четвёртая координата является координатой по мнимой оси.

Первое, на мой взгляд, очень важно, потому что показывает, что энергия, представленная как дополнительная ось, почти изотропна наблюдаемым. Второе позволяет понять, почему она проявляет себя иначе. И ненаблюдаема.

Кроме того, хочется отметить, что сама постановка в интервале энергии с отрицательным знаком относительно пространства и положительным относительно времени позволяет сформулировать их взаимоотношения следующим образом: пространство это энергия-время, оно преодолевается за энергию-время.

Резюме


Мне кажется, продолжение курса на геометризацию физики показывает себя весьма перспективным направлением. Мнимость энергетической оси в космологии могла бы послужить перекидным мостиком к уравнениям Максвелла.
Заметки на полях. Забегая вперёд, позволю себе предположить, что одного мнимого измерения для организации механизмов заряда и массы будет мало. Плюс электро-магнитный дуализм как аргумент в пользу не менее двух измерений. И некоторая симметрия в форме: временное измерение + два энергетических = три пространственных.
При переходе к микро масштабам я попробую двигаться в направлении расщепления $r$:

$ds^2 = - dt^2 - dv^2 - dw^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$


Подробнее..

Космология. Подробный разбор решения Фридмана

09.07.2020 16:21:19 | Автор: admin
Habritants! Когда в процессе моего ознакомления с темой решения уравнений общей теории относительности для метрики Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера выяснилось, что единого транспарентного материала на эту тему на русском языке нет, я решил запостить разбор в виде статьи, заодно ещё раз самому лучше вникнув в тему.
Всем желающим найти собственное решение уравнений общей теории относительности Эйнштейна или просто лучше понять бытие посвящается.

В статье О кривизне пространства , в которой Фридман впервые приводит решение ОТО для нестационарной Вселенной, Александр Александрович указывает лишь метрику в виде интервала и уравнения-результат, справедливо полагая само решение не заслуживающей внимания рутиной.
Но в поисках вариаций на тему рутина горит как кокс. Поэтому в путь.

Для понимания материала необходимы знания алгебры: понятие о производных в большей степени; тензорная в меньшей.


Метрика


Рассмотрим получение метрики FLRW, которая по сути является основанием решения Фридмана, начав с упрощённого случая. Полностью и достаточно подробно, но без пояснений, хорошо описано здесь (pdf).
I. Представим одномерное пространство $\psi$, с протянутой внутри него осью $x'$, равномерно искривлённым:
image
Можно сказать, что пространство $\psi$ является одномерной гиперповерхностью постоянной кривизны в двухмерном пространстве (x,y).
Зададим произвольную точку $A(x')$ в пространстве $\psi$, тогда с одной стороны, длина перемещения из точки A в любую сторону пространства $\psi$ определяется формулой (1):

$dl^2=dx^2+dy^2$


где $x, y$ координаты в декартовой системе координат, смещённой относительно $\psi$, то есть имеющей начало O вне рассматриваемого пространства.
С другой же стороны, кривизна $\psi$ характеризуется радиусом R, который задан формулой (2):

$R^2=x^2+y^2$


Продифференцируем (2), чтобы получить взаимозависимость скоростей изменения координат $x$ и $y$: $0=xdx+ydy$. Или:

$dy=-\frac{xdx}{y}$


Заметки на полях. Форма зависимости $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$замечательно резонирует с отношением из доказательства Харди теоремы Пифагора: $\frac{dc}{da}=\frac{a}{с}$ (a катет, c гипотенуза).
В нашем случае катеты нелинейно перерастают друг в друга при постоянной гипотенузе.

Подставляем $dy$ отсюда в (1), и выражаем $y$ через $R$: $dl^2=dx^2+dy^2=dx^2+\frac{x^2dx^2}{y^2}=dx^2+\frac{x^2dx^2}{R^2-x^2}$
$\frac{dl^2}{dx^2}=1+\frac{x^2}{R^2-x^2}=\frac{R^2}{R^2-x^2}$
Получим:

$\frac{dl^2}{dx^2}=\frac{1}{1-\frac{x^2}{R^2}}$


Если пространство плоское ($R \rightarrow $) $\frac{dl^2}{dx^2}=1$. Как если бы перед $x^2$ был ноль.
Если пространство положительной кривизны, у длины появляется отклонение, зависящее от $R$. Множитель перед $x^2$ в этом случае $k=1$.
Для отрицательной кривизны знак множителя надо изменить на отрицательный ($k=-1$). Можно представить все три случая так:

$\frac{dl^2}{dx^2}=\frac{1}{1-k\frac{x^2}{R^2}}$


Чем дальше мы движемся в таком пространстве $\psi$ при неизменном радиусе кривизны $R$, тем хуже (проходим всё меньшее расстояние) у нас будет это получаться в сферическом пространстве, без изменений в плоском, и лучше (большее расстояние) в гиперболическом.

II. Расширим пространство $\psi$ до трёхмерного (x,y,z). Будем подразумевать, что радиус его кривизны $R$ одинаков в каждой точке, как если бы оно было поверхностью 3-сферы все три оси скручены подобно оси $x'$, образуя 3-сферу радиуса $R$. Произведём те же операции, что для одномерного варианта, чтобы получить уравнение для перемещения в трёхмерном пространстве (3):
Подробно вывод пространственной составляющей в декартовых координатах
$dl^2=dx^2+dy^2+dz^2+dw^2$(1)
$R^2=x^2+y^2+z^2+w^2$дифференцируем и выражаем dw:
$dw^2=\left[ \frac{xdx+ydy+zdz}{w} \right]^2$
$w^2=R^2 - x^2+y^2+z^2$
$dw^2= \frac{\left[xdx+ydy+zdz \right]^2}{R^2 - x^2+y^2+z^2}$подставляем в (1):

$dl^2=dx^2+dy^2+dz^2+\color{red}{\frac{(xdx+ydy+zdz)^2}{R^2-(x^2+y^2+z^2)}}$


Красным кривая часть, отличающая метрику FRW от плоской метрики пространства Минковского.
В таком представлении хорошо видно, что последнее кривое слагаемое по осям совсем никак впрямую не разнести, что, в свою очередь, приведёт к появлению недиагональных членов метрического тензора, а это значительно усложнит дальнейшие вычисления (или сделает невозможными, я не пробовал).
Поэтому надо искать обходной путь. Необходимо найти такое координатное представление, чтобы кривизна могла быть выражена отдельно для каждого базисного вектора.
Сферические координаты здесь отлично подходят для раздельного представления кривизны, потому что вторая и третья координата являются углами, и зависимы от кривизны линейно, вместо квадратичной зависимости декартовых координат. Что при первой координате качественно идентичной декартовым всё же даёт возможность выразить кривизну удобным образом (4), так что вся она сворачивается в знаменатель множителя при первой координате в виде составляющей $-kr^2$:
Подробно переход к сферическим координатам и получение представления

$$display$$\vec{r}=\left( \matrix{x\cr y\cr z} \right) = \left( \matrix{r\sin\theta\cos\phi\cr r\sin\theta\sin\phi\cr r\cos\theta} \right)$$display$$


красным здесь снова кривая часть:
$dl^2=dx^2+dy^2+dz^2+\color{red}{\frac{(xdx+ydy+zdz)^2}{R^2-(x^2+y^2+z^2)}}=$
$= dr^2+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2+\color{red}{\frac{(\vec{r}\cdot d\vec{r})}{R^2-r^2}} = $
$= dr^2+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2+\color{red}{\frac{r^2\cdot dr^2}{R^2-r^2}} =$
$= \left[ \color{red}{\frac{r^2}{R^2-r^2}}+1 \right] dr^2 +r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2 =$
$= \left[ \frac{R^2}{R^2-\color{red}{r^2}} \right] dr^2 +r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2 =$


$dl^2=\color{red}{\frac{1}{1-k\frac{r^2}{R^2}}}dr^2+\color{green}{r^2}d\theta^2+\color{blue}{r^2\sin^2\theta} d\phi^2$


где
$dr$ линейная координата (первая),
$d\theta, d\phi$ угловые координаты (вторая и третья),
$k=-1,0,1$;
и получается, что члены метрического тензора, выделенные цветом (по очереди красный, зелёный, синий):
$\gamma_{11}=\left( 1-k\frac{r^2}{R^2} \right)^{-1}$
$\gamma_{22}=r^2$
$\gamma_{33}=r^2\sin^2\theta$
это диагональные члены метрического тензора.

III. Всё? Нет.
Произведём замену первой координаты $r$, выразив её через радиус кривизны: $r=Rx$; $dr=Rdx$.
Подставим в (4), и получим сопутствующие координаты с сопутствующим расстоянием $x$, что удобно для расширяющейся Вселенной и изменяющегося $R$ (5):

$dl^2=R^2 \left[ \color{red}{\frac{1}{1-kx^2}}dx^2+\color{green}{x^2}d\theta^2+\color{blue}{x^2\sin^2\theta} d\phi^2 \right]$


Заметки на полях. Последнюю замену $r=Rx$, $dr=Rdx$ чисто математически можно интерпретировать как переход к углу (sic!) размера $x$, при этом $r$ дуга длины $Rx$. Это важно. Я вернусь к этому в одной из следующих статей.

$\gamma_{11}=R^2/(1-kx^2)$
$\gamma_{22}=R^2x^2$
$\gamma_{33}=R^2x^2\sin^2\theta$

И вот он наш метрический тензор:

$$display$$\gamma_{ij}=\left[ \matrix{\gamma_{11}&\gamma_{12}&\gamma_{13}\cr\gamma_{21}&\gamma_{22}&\gamma_{23}\cr\gamma_{31}&\gamma_{32}&\gamma_{33}} \right]=\left[ \matrix{\frac{R^2}{1-kx^2}&0&0\cr0&R^2x^2&0\cr0&0&R^2x^2\sin^2\theta} \right]$$display$$



Тензор пространства-времени


Соберём нашу метрику пространства в интервал, добавив время в (5):

$ds^2=-dt^2+dl^2=\color{magenta}{-1}\cdot dt^2+R^2 \left[ \color{red}{\frac{1}{1-kx^2}}dx^2+\color{green}{x^2}d\theta^2+\color{blue}{x^2\sin^2\theta} d\phi^2 \right]$


Здесь предполагается, что за время $dt$ по оси $t$ точка A перемещается в пространстве $\psi$ на $dl$. Размерность оси времени равна $c$ (скорость света), при которой $ds^2=0$ (светоподобный интервал равен нулю).
Получим тензор пространства-времени:

$$display$$g_{\mu\nu} = \left[ \matrix{-1&0&0&0\cr 0& \gamma_{11}&\gamma_{12}&\gamma_{13}\cr 0 &\gamma_{21}&\gamma_{22}&\gamma_{23}\cr 0&\gamma_{31}&\gamma_{32}&\gamma_{33}} \right] = \left[ \matrix{\color{magenta}{-1}&0&0&0\cr 0& \color{red}{\frac{R^2}{1-kx^2}}&0&0\cr 0 &0&\color{green}{R^2x^2}&0\cr 0&0&0&\color{blue}{R^2x^2\sin^2 \theta}} \right]$$display$$



Символы Кристоффеля второго рода


Для расчёта тензора кривизны нам необходимо определить символы Кристоффеля (коэффициенты связности).
I. Всё начинается с того, что некая точка (частица) движется в отсутствии сторонних сил (ускорение равно нулю) в декартовых координатах $x^i=(x,y,z)$:

$\frac{\partial^2 x^i}{\partial t^2} = 0$


где $x^i=|i=1,2,3|=x,y,z$.
Однако, если перейти к сферическим координатам $(x,y,z) \rightarrow (r,\theta,\phi)$, это простое тождество впрямую работать уже не будет.
Необходимо сначала цивилизованно перейти к координатам $x'^j=(r,\theta,\phi)$:

$\frac{\partial x^i}{\partial t} = \color{red}{\left( \frac{\partial x^i}{\partial x'^j} \right)} \frac{\partial x'^j}{\partial t}$


Красным члены матрицы трансформации (якобианы):

$$display$$\color{red}{\frac{\partial x^i}{\partial x'^j}}=\left( \matrix{\sin\theta\cos\phi&r\cos\theta\cos\phi&-r\sin\theta\sin\phi\cr\sin\theta\sin\phi&r\cos\theta\sin\phi&-r\sin\theta\cos\phi\cr\cos\theta&-r\sin\theta&0} \right)$$display$$


Осталось продифференцировать ещё раз по времени:

$\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial x^i}{\partial t}\right)=\frac{\partial}{\partial t}\left( \color{red}{\frac{\partial x^i}{\partial x'^j} } \frac{\partial x'^j}{\partial t}\right)$


Получим:

$\frac{\partial^2 x^i}{\partial t^2}=\color{red}{\frac{\partial x^i}{\partial x'^j}}\frac{\partial^2 x'^j}{\partial t^2}+\frac{\partial^2 x^i}{\partial x'^j \partial x'^k}\frac{\partial x'^j}{\partial t} \frac{\partial x'^k}{\partial t}=0$


Таким образом, получается условие отсутствия ускорения в сферических координатах. Мы можем лишь привести его к более удобному виду. В левом слагаемом якобиан остаётся нетронутым из-за прелести дифференцирования по частям, в правом слагаемом от якобиана берётся производная.
Видно, что если мы домножим последнее представление на инвертированный якобиан, мы освободим ускорение по одной из координат (зелёным), приведя его к виду исходного в декартовых:

$\color{green}{\frac{\partial^2 x'^l}{\partial t^2}} + \color{magenta}{\left[ \left( \left\{ \frac{\partial x}{\partial x'}\right\}^{-1}\right)_i^l \frac{\partial^2 x^i}{\partial x'^j \partial x'^k} \right]}\frac{\partial x'^j}{\partial t}\frac{\partial x'^k}{\partial t} = 0$


И вот та монструозная маджента, получившаяся в правом слагаемом в качестве множителя при производных координат $x'^j,x'^k$, и есть символ Кристоффеля второго рода (6):

$$display$$\Gamma^\color{red}{l}_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}=\left(\left\{ \frac{\partial x}{\partial x'}\right\}^{-1}\right)_i^\color{red}{l} \frac{\partial^2 x^i}{\partial x'^\color{green}{j} \partial x'^\color{blue}{k}}$$display$$


То есть символы Кристоффеля характеризуют метрику в том, насколько её форма искажает значение по каждой из координат при переносе некоторой точки относительно начала координат.
Ещё проще, символы Кристоффеля это множители базисных векторов, соответствующие их переносу в пространстве, заданном метрикой.

II. Несомненный плюс предыдущего способа представления коэффициентов связности в том, что он одновременно даёт понятие об уравнении геодезической. Но, возможно, кому-то будет понятнее вариант представления символов Кристоффеля через дифференцирование базисных векторов. Очень понятно расписано в книге Ю.А. Аменадзе Теория упругости (pdf, параграф 4).
Дело в том, что изменение метрики от точки к точке означает изменение базисных векторов в этих точках. Удобно выразить изменение базисного вектора через его производную.
Так как в криволинейной системе координат базисные векторы являются функциями, аргументом которых является положение точки, то и производные взятые прямо по координатам будут отличны от нуля (7):

$$display$$\frac{\partial \vec{e_\color{green}{x'^j}}}{\partial \color{blue}{x'^k}}=\Gamma^\color{red}{l}_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}\vec{e_\color{red}{x'^l}}$$display$$


Множителем при полученном в результате такого дифференцирования векторе будет символ Кристоффеля второго рода.
Видно, что $\Gamma^\color{red}{l}_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}$ это множитель при базисном векторе $inline$\vec{e_\color{red}{x'^l}}$inline$, соответствующий его искривлению при перемещении базисного вектора $inline$\vec{e_\color{green}{x'^j}}$inline$ по оси $\color{blue}{x'^k}$:
$\color{red}{l}$ координата базисного вектора, при котором стоит коэффициент;
$\color{green}{j}$ координата изменяемого базисного вектора;
$\color{blue}{k}$ координата по которой отслеживается изменение.
То есть для декартовых координат, перенос точки в которых не влияет на размер базисных векторов, все символы будут равны нулю. Это очевидно так же, как и то, что при переносе точки в сферических координатах, величина базисных векторов угловых величин (второй и третьей координат) меняется. В некотором роде, это плата за линейность кривизне.
В метрике FRW, отличной от сферической наличием множителя при первой координате, в результате собственно этой её особенности, перенос базиса вдоль первой координаты также приведёт к его изменению.
Рассчитать коэффициенты связности можно, пользуясь формулой из их определения.
Например

$$display$$\frac{\partial \vec{e_\color{green}{x'^j}}}{\partial \color{blue}{x'^k}}=\Gamma^\color{red}{l}_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}\vec{e_\color{red}{x'^l}}$$display$$


При этом:

$|\vec{e_x}|=\sqrt{g_{xx}}=\sqrt{\frac{R^2}{1-kx^2}}=\frac{R}{\sqrt{1-kx^2}}$


Отсюда:

$$display$$\frac{\partial \vec{e_\color{green}{x}}}{\partial \color{blue}{x}}=\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{R}{\sqrt{1-kx^2}} \right) =\frac{kx}{1-kx^2}\frac{R}{\sqrt{1-kx^2}}=\color{magenta}{\frac{kx}{1-kx^2}}\vec{e_\color{red}{x}}$$display$$


Собственно, маджента и есть нужный коэффициент:

$$display$$\Gamma^\color{red}{l}_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}=\Gamma^\color{red}{x}_{\color{green}{x}\color{blue}{x}}=\color{magenta}{\frac{kx}{1-kx^2}}$$display$$


Фишка в том, что после дифференцирования нужно вынести требуемый базисный вектор, а остальное утрамбовать.

Но не во всех случаях это удобно, поэтому выведем универсальную формулу.
Выразим
Домножим обе части (7) скалярно на $e_m$:

$\color{red}{e_m\frac{\partial e_j}{\partial x^k}}=\color{green}{\Gamma^l_{jk} e_l e_m}$


1. При этом скалярное произведение векторов:

$g_{mj}=(e_m \cdot e_j)$


Продифференцируем последнее по $x^k$:

$\frac{\partial g_{mj}}{\partial x^k}=\color{red}{e_m \frac{\partial e_{j}}{\partial x^k}} + e_j \frac{\partial e_{m}}{\partial x^k}$


И выразим нужный член:

$\color{red}{e_m \frac{\partial e_{j}}{\partial x^k}} = \frac{\partial g_{mj}}{\partial x^k} - e_j \frac{\partial e_{m}}{\partial x^k}$



Подставим в изначальное:

$ \frac{\partial g_{mj}}{\partial x^k} - e_j \frac{\partial e_{m}}{\partial x^k}=\Gamma^l_{jk} e_l \cdot e_m = |e_l \cdot e_m = g_{lm}| =\color{green}{\Gamma^l_{jk} g_{lm}}$



2. По определению для произвольного вектора $\vec{r}$ верно:

$\frac{\partial r}{\partial x^k}=e_k; \frac{\partial r}{\partial x^j}=e_j$


Следовательно:

$\frac{\partial e_k}{\partial x^j}=\frac{\partial e_j}{\partial x^k}$


Сопоставляя с (7), получим:

$\Gamma^l_{kj}=\Gamma^l_{jk}$


3. То есть символы тождественны по нижним индексам. Отсюда следует, что:

$\frac{\partial g_{mj}}{\partial x^k} - e_j \frac{\partial e_{m}}{\partial x^k} = \frac{\partial g_{mk}}{\partial x^j} - e_k \frac{\partial e_{m}}{\partial x^j}=\color{green}{\Gamma^l_{jk} g_{lm}}$


Или можно представить так:

$\left( \frac{\partial g_{mj}}{\partial x^k} - e_j \frac{\partial e_{m}}{\partial x^k} \right) + \left( \frac{\partial g_{mk}}{\partial x^j} - e_k \frac{\partial e_{m}}{\partial x^j} \right) =2\color{green}{\Gamma^l_{jk} g_{lm}}$


Перераспределим:

$\left( \frac{\partial g_{mj}}{\partial x^k} + \frac{\partial g_{mk}}{\partial x^j} \right) - \color{blue}{\left( e_j \frac{\partial e_{m}}{\partial x^k} + e_k \frac{\partial e_{m}}{\partial x^j} \right)} =2\color{green}{\Gamma^l_{jk} g_{lm}}$


4. Синяя часть сквозит производной произведения:

$\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^m}=\frac{\partial}{\partial x^m} (e_j \cdot e_k) = e_j \frac{\partial e_k}{\partial x^m}+e_k\frac{\partial e_j}{\partial x_m} $


Пользуясь тем, что:

$\frac{\partial e_k}{\partial x^m}=\frac{\partial e_m}{\partial x^k};\qquad\frac{\partial e_j}{\partial x^m}=\frac{\partial e_m}{\partial x^j}$


Получим (у Аменадзе здесь опечатка):

$\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^m}=\color{blue}{e_j \frac{\partial e_m}{\partial x^k}+e_k\frac{\partial e_m}{\partial x_j}}$


5. Подставим в п.4:

$\left( \frac{\partial g_{mj}}{\partial x^k} + \frac{\partial g_{mk}}{\partial x^j} - \color{blue}{\frac{\partial g{jk}}{\partial x^m}} \right) =2\color{green}{\Gamma^l_{jk} g_{lm}}$


И, наконец

коэффициент связности через члены тензора пространства-времени:

$$display$$\Gamma_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}^\color{red}{l}=\frac{1}{2}g^{\color{red}{l}m}(\partial_\color{green}{j}g_{m\color{blue}{k}}+\partial_\color{blue}{k}g_{m\color{green}{j}}-\partial_mg_{\color{blue}{k}\color{green}{j}})$$display$$


Подразумевая, что сокращения следует читать так
1. Что такое $g^{lm}$? Это представление тензора $g_{lm}$ в ковариантных координатах. Сам тензор пространства-времени $g_{lm}$ у нас представлен в контрвариантных координатах. Это начала тензорной алгебры, которые доступно разложены, например, здесь.
В данном случае, для нас важно, что в координатах с ортогональным базисом действует правило:

$g^{ll}=g_{ll}^{-1}$


то есть диагональные члены представления тензора в ковариантных и ковариантных координатах взаимно обратны:

$$display$$g^{ll}=\left( \matrix{-1&0&0&0\cr0&\frac{1-kx^2}{R^2}&0&0\cr0&0&\frac{1}{R^2x^2}&0\cr0&0&0&\frac{1}{R^2x^2\sin^2\theta}} \right)$$display$$


2. Как читать запись типа $\partial_\color{red}{a}g_{\color{green}{b}\color{blue}{c}}$? Это просто сокращение от:

$$display$$\partial_\color{red}{a}g_{\color{green}{b}\color{blue}{c}}=\frac{\partial g_{\color{green}{b}\color{blue}{c}}}{\partial x^\color{red}{a}}$$display$$




III. Теперь уже можно от вопроса теоретического представления переходить к прагматическому вопросу получения коэффициентов.
В нашем случае, когда все члены по несовпадающим индексам равны нулю ($g^{lm} = |l \neq m| = 0$), мы можем ещё немного упростить полученную формулу:

$$display$$\Gamma_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}^\color{red}{l}=\frac{1}{2}g^{\color{red}{l}\color{red}{l}}(\partial_\color{green}{j}g_{\color{red}{l}\color{blue}{k}}+\partial_\color{blue}{k}g_{\color{red}{l}\color{green}{j}}-\partial_\color{red}{l}g_{\color{blue}{k}\color{green}{j}})$$display$$


что полностью выглядит так:

$$display$$\Gamma_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}^\color{red}{l}=\frac{1}{2}g^{\color{red}{l}\color{red}{l}}\left( \frac{\partial g_{\color{red}{l}\color{blue}{k}}}{\partial x^\color{green}{j}}+\frac{\partial g_{\color{red}{l}\color{green}{j}}}{\partial x^\color{blue}{k}}-\frac{\partial g_{\color{blue}{k}\color{green}{j}}}{\partial x^\color{red}{l}} \right)$$display$$



Всё, осталось только внимательно и аккуратно посчитать.
Все нулевые коэффициенты связности метрики FLRW

$\Gamma_{ij}^l=0 \qquad\qquad\qquad \forall i\ne j\ne k$


$\Gamma_{x\theta}^t = \Gamma_{\theta x}^t = \Gamma_{x \phi}^t=\Gamma_{\phi x}^t = \Gamma_{\theta\phi}^t = \Gamma_{\phi\theta}^t = 0$
$\Gamma_{t\theta}^x = \Gamma_{\theta t}^x = \Gamma_{t\phi}^x = \Gamma_{\phi t}^x = \Gamma_{\theta\phi}^x = \Gamma_{\phi\theta}^x = 0$
$\Gamma_{t x}^\theta = \Gamma_{x t}^\theta=\Gamma_{t\phi}^\theta = \Gamma_{\phi t}^\theta=\Gamma_{x \phi}^\theta=\Gamma_{\phi x}^\theta = 0$
$\Gamma_{t\alpha}^\phi = \Gamma_{x t}^\phi = \Gamma_{t \theta}^\phi = \Gamma_{\theta t}^\phi = \Gamma_{x \theta}^\phi=\Gamma_{\theta x}^\phi=0$

$\Gamma_{tt}^t=0$



$\Gamma_{\theta\theta}^\theta = \frac{g^{\theta\theta}}{2} \left(\frac{\partial g_{\theta\theta}}{\partial \theta} \right) = 0 \qquad\qquad \frac{\partial g_{\theta\theta}}{\partial \theta} = 0$


$ \Gamma_{\phi\phi}^\phi = 0$



$\Gamma_{t x}^t=\frac{g^{t t}}{2}\frac{\partial g_{t t}}{\partial x}= \left| \frac{\partial g_{tt}}{\partial x}=0 \right|=0$


$\Gamma_{t x}^t = \Gamma_{x t}^t = \Gamma_{\theta t}^t = \Gamma_{t \theta}^t = \Gamma_{\phi t}^t = \Gamma_{t \phi}^t = 0$

$\Gamma_{t t}^x=\frac{g^{x x}}{2}\frac{\partial g_{tt}}{\partial x}= \left| \frac{\partial g_{tt}}{\partial x}=0 \right|=0$


$\Gamma_{tt}^x=\Gamma_{tt}^\theta=\Gamma_{tt}^\phi=0$

$\Gamma_{x\theta}^x=\frac{g^{x x}}{2} \left( \frac{\partial g_{x \theta}}{\partial x} +\frac{\partial g_{x x}}{\partial \theta} -\frac{\partial g_{x \theta}}{\partial x} \right) = 0$



$\Gamma_{x \theta}^x = \Gamma_{\theta x}^x = \Gamma_{\phi x}^x = \Gamma_{x \phi}^x = \Gamma_{\theta\phi}^\theta = \Gamma_{\phi\theta}^\theta = 0$

$\Gamma_{x x}^\phi = \left| \frac{\partial g_{x x}}{\partial \phi} = 0 \right| = 0$


$\Gamma_{x x}^\theta=\left| \frac{\partial g_{x x}}{\partial \theta} = 0 \right| = 0$


$\Gamma_{\theta \theta}^\phi = \left| \frac{\partial g_{\theta \theta}}{\partial \phi} = 0 \right| = 0$


Итого: 45/64

Все ненулевые коэффициенты связности метрики FLRW

$\Gamma_{x x}^x =\frac{g^{x x}}{2} \left(\frac{\partial g_{x x}}{\partial x} \right) = \frac{1}{2}\frac{1-kx^2}{R^2}\frac{R^2}{(1-kx^2)^2}(2kx)=\frac{kx}{1-kx^2}$



$\Gamma_{x x}^t=\frac{1}{2}g^{t t} \left( \frac{\partial g_{t x}}{\partial x}+\frac{\partial g_{x t}}{\partial x} - \frac{\partial g_{x x}}{\partial t} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial g_{x x}}{\partial t} \right) = \frac{RR'}{1-kx^2} \qquad R'=\frac{\partial R}{\partial t}$


$\Gamma_{\theta\theta}^t=\frac{1}{2}g^{tt} \left( \frac{\partial g_{t\theta}}{\partial \theta}+\frac{\partial g_{t\theta}}{\partial \theta} - \frac{\partial g_{\theta\theta}}{\partial t} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial g_{\theta\theta}}{\partial t} \right) = x^2RR' \qquad R'=\frac{\partial R}{\partial t}$


$\Gamma_{\phi\phi}^t=\frac{1}{2}g^{tt} \left( \frac{\partial g_{t\phi}}{\partial \phi}+\frac{\partial g_{t\phi}}{\partial \phi} - \frac{\partial g_{\phi\phi}}{\partial t} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial g_{\phi\phi}}{\partial t} \right) = x^2\sin^2\theta RR' \qquad R'=\frac{\partial R}{\partial t}$



$\Gamma_{t x}^x = \frac{1}{2}g^{x x} \left( \frac{\partial g_{x x}}{\partial t}+\frac{\partial g_{x t}}{\partial x} - \frac{\partial g_{x t}}{\partial x} \right) = \frac{1}{2} g^{x x} \left( \frac{\partial g_{x x}}{\partial t} \right) = \frac{1-kx^2}{2R^2} \frac{2RR'}{1-kx^2}=\frac{R'}{R} $


$\Gamma_{t x}^x = \Gamma_{x t}^x = \Gamma_{t \theta}^\theta = \Gamma_{\theta t}^\theta = \Gamma_{t \phi}^\phi = \Gamma_{\phi t}^\phi = \frac{R'}{R}$

$\Gamma_{\theta \theta}^x = \frac{1}{2}g^{x x} \left( \frac{\partial g_{x \theta}}{\partial \theta} +\frac{\partial g_{x \theta}}{\partial \theta} - \frac{\partial g_{\theta \theta}}{\partial x}\right) = -\frac{1}{2}g^{x x} \left( \frac{\partial g_{\theta \theta}}{\partial x}\right) =-\frac{1-kx^2}{2R^2} 2R^2x = -x (1-kx^2)$



$\Gamma_{\phi\phi}^x = \frac{1}{2}g^{x x} \left( \frac{\partial g_{x \phi}}{\partial \phi} +\frac{\partial g_{x \phi}}{\partial \phi} - \frac{\partial g_{\phi\phi}}{\partial x}\right) = -\frac{1}{2}g^{x x} \left( \frac{\partial g_{\phi \phi}}{\partial x}\right) =-\frac{1-kx^2}{2R^2}2R^2\sin^2\theta x = -x \sin^2\theta (1-kx^2)$



$\Gamma_{\phi\phi}^\theta=\frac{g_{\theta\theta}}{2} \left( \frac{\partial g_{\theta\phi}}{\partial \phi} +\frac{\partial g_{\theta\phi}}{\partial \phi} - \frac{\partial g_{\phi\phi}}{\partial \theta}\right) =-\frac{1}{2 R^2 x^2}(2R^2 x^2 \sin\theta\cos\theta)=-\sin\theta\cos\theta$



$\Gamma_{x \theta}^\theta=\frac{g^{\theta \theta}}{2} \left( \frac{\partial g_{\theta \theta}}{\partial x}+\frac{\partial g_{\theta x}}{\partial \theta}-\frac{\partial g_{\theta x}}{\partial \theta} \right)=\frac{1}{2 R^2 x^2}(2R^2 x)=x^{-1}$


$\Gamma_{x \theta}^\theta=\Gamma_{\theta x}^\theta=x^{-1}$

$\Gamma_{x \phi}^\phi=\frac{g^{\phi\phi}}{2} \left( \frac{\partial g_{\phi \phi}}{\partial x}+\frac{\partial g_{\phi x}}{\partial \phi}-\frac{\partial g_{\phi x}}{\partial \phi} \right)=\frac{1}{2R^2x^2\sin^2\theta}(2R^2\sin^2\theta x)= x^{-1}$


$\Gamma_{x \phi}^\phi=\Gamma_{\phi x}^\phi = x^{-1}$

$\Gamma_{\phi\theta}^\phi = \frac{g^{\phi\phi}}{2}\left( \frac{\partial g_{\phi \theta}}{\partial \phi}+ \frac{\partial g_{\phi\phi}}{\partial \theta} -\frac{\partial g_{\phi \theta}}{\partial \phi} \right) = \frac{1}{2R^2 x^2 \sin^2\theta}2R^2 x^2 \sin\theta \cos\theta =\tan^{-1}\theta $


$\Gamma_{\phi \theta}^\phi=\Gamma_{\theta \phi}^\phi=\tan^{-1}\theta$
Итого: 19/64

Скомпонуем для наглядности, и можно переходить к заключительной части.

$$display$$\Gamma^t = \left( \matrix{\Gamma_{tt}^t & \Gamma_{tx}^t&\Gamma_{t\theta}^t & \Gamma_{t\phi}^t \cr \Gamma_{x t}^t & \Gamma_{xx}^t&\Gamma_{x\theta}^t & \Gamma_{x\phi}^t \cr \Gamma_{\theta t}^t & \Gamma_{\theta x}^t & \Gamma_{\theta\theta}^t & \Gamma_{\theta\phi}^t \cr \Gamma_{\phi t}^t & \Gamma_{\phi x}^t&\Gamma_{\phi\theta}^t & \Gamma_{\phi\phi}^t} \right) = \left( \matrix{0&0&0&0 \cr 0&\frac{RR'}{1-kx^2}&0&0 \cr 0&0&x^2RR'&0 \cr 0&0&0& x^2\sin^2\theta^2RR'} \right)$$display$$



$$display$$\Gamma^x=\left( \matrix{\Gamma_{tt}^x & \Gamma_{t x}^x & \Gamma_{t\theta}^x & \Gamma_{t\phi}^x \cr \Gamma_{x t}^x & \Gamma_{x x}^x & \Gamma_{x \theta}^x & \Gamma_{x \phi}^x \cr \Gamma_{\theta t}^x & \Gamma_{\theta x}^x&\Gamma_{\theta\theta}^x & \Gamma_{\theta\phi}^x \cr \Gamma_{\phi t}^x &\Gamma_{\phi x}^x & \Gamma_{\phi\theta}^x & \Gamma_{\phi\phi}^x} \right) = \left( \matrix{ 0&\frac{R'}{R}&0&0\cr\frac{R'}{R}&\frac{kx}{1-kx^2}&0&0\cr0&0&-x(1-kx^2)&0\cr0&0&0&-x\sin^2\theta(1-kx^2)} \right)$$display$$



$$display$$\Gamma^\theta=\left( \matrix{\Gamma_{tt}^\theta & \Gamma_{t x}^\theta & \Gamma_{t\theta}^\theta & \Gamma_{t\phi}^\theta \cr \Gamma_{x t}^\theta & \Gamma_{x x}^\theta & \Gamma_{x \theta}^\theta & \Gamma_{x \phi}^\theta\cr\Gamma_{\theta t}^\theta & \Gamma_{\theta x}^\theta & \Gamma_{\theta\theta}^\theta & \Gamma_{\theta\phi}^\theta \cr \Gamma_{\phi t}^\theta & \Gamma_{\phi x}^\theta & \Gamma_{\phi\theta}^\theta & \Gamma_{\phi\phi}^\theta} \right) = \left( \matrix{0&0&\frac{R'}{R}&0 \cr 0&0&x^{-1}&0 \cr \frac{R'}{R}&x^{-1}&0&0 \cr 0&0&0&-\sin\theta\cos\theta} \right)$$display$$



$$display$$\Gamma^\phi = \left( \matrix{\Gamma_{tt}^\phi &\Gamma_{t x}^\phi & \Gamma_{t\theta}^\phi & \Gamma_{t\phi}^\phi \cr \Gamma_{x t}^\phi & \Gamma_{x x}^\phi & \Gamma_{x \theta}^\phi & \Gamma_{x \phi}^\phi \cr \Gamma_{\theta t}^\phi & \Gamma_{\theta x}^\phi & \Gamma_{\theta\theta}^\phi & \Gamma_{\theta\phi}^\phi \cr \Gamma_{\phi t}^\phi & \Gamma_{\phi x}^\phi & \Gamma_{\phi\theta}^\phi & \Gamma_{\phi\phi}^\phi} \right) = \left( \matrix{0&0&0&\frac{R'}{R} \cr 0&0&0&x^{-1} \cr 0&0&0&\tan^{-1}\theta \cr\frac{R'}{R}&x^{-1}&\tan^{-1}\theta&0} \right)$$display$$




Тензор кривизны, его свёртка и свёртка свёртки


Тензор Риччи, с которого начинается математическая формулировка уравнений ОТО, является свёрткой тензора кривизны Римана. Скаляр кривизны, присутствующий во втором слагаемом левой части это уже свёртка тензора Риччи.
То есть всё, что нам нужно это вычислить компоненты тензора Римана.
I. Компоненты тензора Римана.
Вооружимся формулой расчёта членов тензора кривизны через коэффициенты связности:

$R_{i j k}^l = \frac{\partial \Gamma_{i k}^l}{\partial x^j} + \frac{\partial \Gamma_{j k}^l}{\partial x^i} + \sum_{p=1}^n \left( \Gamma_{i k}^p \Gamma_{j p}^l - \Gamma_{j k}^p \Gamma_{i p}^l \right)$


по которой нам потребуются только члены вида $R^\color{red}{l}_{i \color{red}{l} k}$, а так как наш тензор пространства-времени диагональный, то ненулевыми будут только компоненты вида $R^\color{red}{l}_{\color{blue}{k} \color{red}{l} \color{blue}{k}}$:

$$display$$R^\color{red}{l}_{\color{blue}{k} \color{red}{l} \color{blue}{k}} = \partial_\color{red}{l}\Gamma^\color{red}{l}_{\color{blue}{k} \color{blue}{k}} - \partial_\color{blue}{k}\Gamma^\color{red}{l}_{\color{red}{l} \color{blue}{k}} + \Gamma^p_{\color{blue}{k} \color{blue}{k}}\Gamma^\color{red}{l}_{\color{red}{l} p} - \Gamma^p_{\color{red}{l} \color{blue}{k}}\Gamma^\color{red}{l}_{\color{blue}{k} p}$$display$$


Здесь подразумевается суммирование по правилу Эйнштейна (по $p=t,x,\theta,\phi$).

Примеры расчёта компонентов тензора Римана
1.

$ R^x_{t x t}=\partial_x\Gamma^x_{t t} -\partial_t\Gamma^x_{x t} + \Gamma^t_{t t}\Gamma^x_{x t} - \Gamma^t_{x t}\Gamma^x_{t t} +\Gamma^x_{t t}\Gamma^x_{x x} - \Gamma^x_{x t}\Gamma^x_{t x} + $


$ + \Gamma^\theta_{t t}\Gamma^x_{x \theta} - \Gamma^\theta_{x x}\Gamma^x_{t \theta} + \Gamma^\phi_{t t}\Gamma^x_{x \phi} - \Gamma^\phi_{x t}\Gamma^x_{t \phi} = 0 - \frac{\partial}{\partial t} \frac{R'}{R} + 0 - 0 + 0 + $


$- \left( \frac{R'}{R} \right)^2 + 0 - 0 + 0 - 0 = - \frac{R''}{R} + \left( \frac{R'}{R} \right)^2 - \left( \frac{R'}{R} \right)^2 = - \frac{R''}{R}$



$R^\theta_{t \theta t} = R^\phi_{t\phi t} = - \frac{R''}{R}$



2.

$ R^t_{x t x}=\partial_t\Gamma^t_{x x} - \partial_x\Gamma^t_{t x} + \Gamma^t_{x t}\Gamma^t_{t t} - \Gamma^t_{t x}\Gamma^t_{x t} +\Gamma^x_{x x}\Gamma^t_{t x} - \Gamma^x_{t x}\Gamma^t_{x x} + $


$ + \Gamma^\theta_{x x}\Gamma^t_{t \theta} - \Gamma^\theta_{t t}\Gamma^t_{x \theta} + \Gamma^\phi_{x x}\Gamma^t_{t \phi} - \Gamma^\phi_{t x}\Gamma^t_{x \phi} = \frac{\partial}{\partial t}\frac{RR'}{1-kx^2} - 0 + 0 - 0 + 0 - $


$- \frac{R'}{R} \cdot \frac{RR'}{1-kx^2} + 0 - 0 + 0 - 0 = \frac{RR''}{1-kx^2} + \frac{R'^2}{1-kx^2} - \frac{R'^2}{1-kx^2} = \frac{RR''}{1-kx^2}$



3.

$ R^\theta_{x \theta x}=\partial_\theta\Gamma^\theta_{x x} -\partial_x\Gamma^\theta_{\theta x} + \Gamma^t_{x x}\Gamma^\theta_{\theta t} - \Gamma^t_{\theta x}\Gamma^\theta_{x t} +\Gamma^x_{x x}\Gamma^\theta_{\theta x} - \Gamma^x_{\theta x}\Gamma^\theta_{x x} + $


$ + \Gamma^\theta_{x x}\Gamma^\theta_{\theta \theta} - \Gamma^\theta_{\theta x}\Gamma^\theta_{x \theta} + \Gamma^\phi_{x x}\Gamma^\theta_{\theta \phi} - \Gamma^\phi_{\theta x}\Gamma^\theta_{x \phi} = 0 - \frac{\partial (x^{-1})}{\partial x} + $


$+\frac{RR'}{1-kx^2} \cdot \frac{R'}{R} - 0 + \frac{kx}{1+kx^2} \cdot x^{-1} - 0 + 0 - x^{-1} \cdot x^{-1} + 0 - 0 =$


$ = x^{-2} + \frac{R'^2}{1-kx^2} + \frac{k}{1-kx^2} - x^{-2} = \frac{R'^2}{1-kx^2} + \frac{k}{1-kx^2} $



4.

$ R^\phi_{x \phi x}=\partial_\phi\Gamma^\phi_{x x} -\partial_x\Gamma^\phi_{\phi x} + \Gamma^t_{x x}\Gamma^\phi_{\phi t} - \Gamma^t_{\phi x}\Gamma^\phi_{x t} +\Gamma^x_{x x}\Gamma^\phi_{\phi x} - \Gamma^x_{\phi x}\Gamma^\phi_{\phi x} + $


$ + \Gamma^\theta_{x x}\Gamma^\phi_{\phi \theta} - \Gamma^\theta_{\phi x}\Gamma^\phi_{x \theta} + \Gamma^\phi_{x x}\Gamma^\phi_{\phi \phi} - \Gamma^\phi_{\phi x}\Gamma^\phi_{x \phi} = 0 - \frac{\partial (x^{-1})}{\partial x} +$


$ + \frac{RR'}{1-kx^2} \cdot \frac{R'}{R} - 0 + \frac{kx}{1+kx^2} \cdot x^{-1} - 0 + 0 - x^{-1} \cdot x^{-1} + 0 - 0 = $


$= x^{-2} + \frac{R'^2}{1-kx^2} + \frac{k}{1-kx^2} - x^{-2} = \frac{R'^2}{1-kx^2} + \frac{k}{1-kx^2}$


и т.д.


II. Компоненты тензора Риччи.
Осталось самое простое, сложить:
$R_{tt} = R^m_{tmt} = R^x_{t x t} + R^\theta_{t \theta t} + R^\phi_{t \phi t} = -3\frac{R''}{R}$
$R_{xx} = R^m_{xmx} = R^t_{x t x} + R^\theta_{x \theta x} + R^\phi_{x \phi x} = \frac{RR''}{1-kx^2} + \frac{2R'^2}{1-kx^2} + \frac{2k}{1-kx^2}$
$R_{\theta\theta} = R^m_{\theta m \theta} = x^2RR''+2x^2R'^2+2x^2k$
$R_{\phi\phi} = R^m_{\phi m \phi} = x^2RR''\sin^2\theta+2x^2R'^2\sin^2\theta+2x^2k\sin^2\theta$
И, затем, выразить пространственные составляющие через соответствующие компоненты тензора пространства-времени:

$R_{xx} = \color{red}{\frac{R^2}{1-kx^2}} \frac{1}{R^2} \left( RR'' + 2R'^2 + 2k \right)$


$R_{\theta\theta} = \color{green}{R^2x^2} \frac{1}{R^2} \left( RR''+2R'^2+2k \right) $


$R_{\phi\phi} = \color{blue}{R^2x^2\sin^2\theta} \frac{1}{R^2} \left( RR''+2R'^2+2k \right) $


То есть иначе их можно выразить так:

$R_{ii} = \frac{g_{ii}}{R^2} \left( RR'' + 2R'^2 + 2k \right)$


Вид под скляр готов.

III. Скалярная кривизна.
Формула скаляра:

$R = g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$


Снова подразумевая суммирование по повторяющимся нижним и верхним индексам. Значит, в нашем случае:

$R = \sum_{i=0}^3 (g^{ii}R_{ii})= \sum_{i=0}^3 \left( g^{ii} \frac{g_{ii}}{R^2}(RR''+2R'^2+2K)\right) = 6\frac{R''}{R}+6 \frac{R'^2}{R^2} +6\frac{k}{R^2}$



Уравнения общей теории относительности


Математическая формулировка ОТО выглядит так:

$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R + \lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$


где $R_{\mu\nu}$ тензор Риччи, $g_{\mu\nu}$ тензор пространства времени, $R$ скаляр Риччи, $\lambda g_{\mu\nu}$ мрачная лямбда, $\pi, G, c$ вселенские константы, $T_{\mu\nu}$ тензор энергии-импульса.

Тензор материи $T_{\mu\nu}$ у Фридмана определён скромно:

$$display$$T_{\mu\nu} = \left[ \matrix{c^2\rho &0&0&0 \cr 0&0&0&0 \cr 0&0&0&0 \cr 0&0&0&0} \right]$$display$$


где $c$ фундаментальная скорость, $\rho$ плотность массы пыли.
Такой подход и даёт два уравнения, полученных Фридманом, которые теперь можем получить и мы, подставив заданное $g_{\mu\nu}$ и расчётные $R_{\mu\nu}$ и $R$.
  1. Для пространственных координат $i=k=1,2,3$:

    $\frac{g_{ii}}{R^2} \left( RR'' + 2R'^2 + 2k \right)-\frac{1}{2} g_{ii} \left( 6\frac{R''}{R}+6 \frac{R'^2}{R^2} +6\frac{k}{R^2} \right) + \lambda g_{ii} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{ii} $


    Что после ряда упрощений даст:

    $\frac{R'^2}{R^2} + 2\frac{R''R}{R^2} + \frac{k}{R^2} - \lambda = 0 $

  2. Для временной координаты $i=k=0$:

    $-\frac{3R''}{R} -\frac{1}{2} g_{ii} \left( 6\frac{R''}{R}+6 \frac{R'^2}{R^2} +6\frac{k}{R^2} \right) + \lambda g_{ii} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{ii}$


    Или после упрощения:

    $3 \frac{R'^2}{R^2} + 3\frac{k}{R^2} - \lambda = \frac{8\pi G}{c^2} \rho$



Резюме


Если справа вместо тензора энергии-импульса пыли подставить тензор энергии-импульса идеальной жидкости, в результате получатся два немного более сложных, чем в оригинальной статье, независимых уравнения, из которых получаются базовые уравнения современной стандартной космологической модели $\Lambda$-CDM.
Левая, геометрическая часть решения при этом остаётся неизменной.

Надеюсь, кому-то этот разбор будет полезным. Tschuss!
Подробнее..

О мерности и нативной форме пространства

07.08.2020 16:22:19 | Автор: admin
Habritants! Я хочу поделиться с вами размышлениями "об общем, так сказать, геометрическом характере нашего мира" ( А.А. Фридман), начиная с самого днища с философии, и постепенно выгребая к свету. Гипотеза сырая, буду благодарен за любую конструктивную критику и идеи.
Мир не плоск!
Совсем не плоск!

Пролог


Давным-давно, когда Земля была ещё плоской, любое место в ойкумене можно было задать двумя координатами направлением и расстоянием.
Затем Аристотель, глядя на звёзды, нашёл там доводы в пользу шарообразности нашего мира.
Позже Страбон, наблюдая уходящие к горизонту корабли, обратил внимание на то, что в перспективе они не сжимались в точку, но первым скрывался корпус, паруса же оставались ещё видны. Не менее гениально.
Ещё позже Ариабхата, который также одним из первых, ещё в шестом веке, предположил, что Земля и планеты вращаются вокруг Солнца, весьма точно оценил размеры нашей огромной планеты.
Которая оказалась такой крохотной теперь, когда мы задаём точки-события четырьмя координатами, и вновь считаем пространство псевдо-евклидовым (плоским), а свет (море) прямым, потому что вдали от водоворотов сумма углов треугольника 180. Как в треугольнике, начерченном палкой на песке той бухты, где стоял Страбон.
Что-то во всём этом не давало мне покоя, и я решил основательно озадачиться вопросами мироустройства, в результате чего, пока СУБД на моём ноуте аккуратно обсчитывает данные для следующей статьи из серии про космологическое красное смещение, пишу эту заметку с идеями о структурном устройстве мира.


Макропредпосылки


Насущная необходимость пересмотра философской и, следовательно, физико-математической базы для модели Метагалактики для меня очевидна. Ей прощают всё больше и больше, затыкая новые дыры тёмными словами. Давайте вспомним, что в рамках существующей -CDM-модели не объясняются:
  • Тёмная энергия. Некая сила тянет Метагалактику в разные стороны. Как стало известно с ускорением. А возможно, и нет. Сила невидимая, явление необъяснимое.
  • Тёмная материя. Некая материя присутствует в недрах многих галактик, влияя на характер их вращения. Материя невидимая, явление необъяснимое.
  • Тёмный поток. Множество галактик движутся в одну сторону. Внятное объяснение отсутствует.
  • Изотропность реликтового излучения и наличие Великих стен противоречат друг другу.
  • Зависимость расширения пространства от гравитационной связанности объектов. Объяснение отсутствует.
  • Характер экспансии пространства Метагалактики изменяется. Механизм и принцип его изменения не объясняются моделью.
  • Постоянные расхождения в определении постоянной Хаббла для различных способов и исследуемых групп объектов.

Тот факт, что модель называется в честь явлений, которые не может объяснить, кажется весьма занимательным.

Недавно появилась новость о расхождениях в скорости расширения разных областей наблюдаемой части Метагалактики.

Есть вероятность, что проблема не в недостатке новых, более точных и развёрнутых данных, а в неверном трактовании существующих. В ошибочном понимании физических зависимостей, происходящем от скупости теоретических моделей.

Микропредпосылки


Со студенческой скамьи я поражался тому, что никто не смотрит в направлении разрешения принципа квантовой неопределённости через увеличение мерности пространства. Ведь если нечто вращается в четырёх измерениях подобно гироскопу (вращается ось вращения), то в трёхмерном срезе угадать, где оно в следующий момент его проколет, практически невозможно, не зная пространственной глубины центра вращения и радиусов вращений первого и оси.
А ведь может вращаться и ось вращения вращения и центр бродить, где тогда искать эту точку, которая на самом деле вовсе не точка, а область?
image
Постройте произвольно плоскость, выберите точку на внутренней, красной рамке и постарайтесь построить зависимость её движения по точкам, в которых та пересекает плоскость.
А теперь добавьте ко всей системе ещё одну размерность ещё одну ось вращения и вместо плоскости рассекайте пространством. Да представьте, что оно не очень плоское.
Да! И дополнительных измерений может быть несколько

С тех пор мои взгляды несколько изменились, но, по-прежнему, включают увеличение мерности пространства. Вероятностный характер всей квантовой механики от волновой функции до эффективного сечения столкновения может быть объяснён, например, через парадигму абсолютно упругой не вязкой многомерной ($n \geqslant 4$) жидкости (далее осциллятор), в которой фундаментальные частицы являются возмущениями: волнами колебаниями гиперповерхности осциллятора при перемещении, но квантами в процессах преобразования и поглощения, так как могут участвовать в них только полной мерой своей энергии, вследствие упругости осциллятора.
image
Тогда постоянная Планка определялась бы величиной предельной дискретизации осциллятора (как на гифке выше величина колебания не может быть меньше величины зерна), а принцип неопределённости возникал бы вследствие невозможности поймать все значения волны по наблюдению трёхмерного среза, когда колеблется область пространства.
При этом, предвосхищая скептические замечания наиболее искушённых в квантовой механике читателей о многочисленных опытах, однозначно разрешающих неравенства Белла в пользу значений, предсказанных квантовой механикой, замечу, что теория наличия дополнительных измерений это, в принципе, теория нелокальных параметров: любое возмущение трёхмерной гиперповерхности относительно 4+ измерения может быть связано, чисто теоретически, с бесконечно удалённой точкой этой же трёхмерной гиперповерхности.
Множество явлений квантовой механики с введением четвёртого измерения становятся проще и понятнее:
  • Квантовая неопределённость при наличии дополнительного измерения, в котором могла бы колебаться гиперповерхность, становится вполне интуитивно понятным явлением, возникающим вследствие невозможности предсказать и определить траекторию и прочие характеристики явлений в n-мерном пространстве по наблюдению их поведения в трёхмерном срезе, который является своего рода разделом фаз.
  • Эффективное сечение появляется в результате того, что совпадающие в трёх измерениях результирующие действия (проекции) частиц-колебаний не гарантируют их взаимодействия по причине их взаимного отклонения в четвёртом и более.
  • Туннельный эффект простое огибание барионного барьера относительно лёгкой частицей-колебанием, посредством большего радиуса её движения в четвёртом измерении. И отражение обратно в случае попадания на барьер и отскока.
  • Квантовая запутанность наличие связи (взаимодействия) между частицами-субъектами в дополнительном измерении.
  • Обязательность несовпадения спина и наличие минимального порога энергии при явлении рассеяния фотона на фотоне, если интерпретировать колебания фотона буквально как вращение некоторой среды, выступают характеристиками этого вращения, и совпадающие по спину фотоны, имея единое направление вращения, проходят друг сквозь друга с большей вероятностью, а фотон низкой энергии имеет слишком редкие витки для обеспечения высокой вероятности столкновения.

Сферическая форма распределения вероятностей обнаружения электрона в атоме водорода, например, по сути может просто описывать вероятность присутствия пика волны в определённом месте трёхмерного пространства в определённое время по причине наличия неизвестных компонент угла и радиуса её колебания в дополнительных измерениях.
И несоблюдение закона сохранения энергии в микро и макро масштабах, как, например, потеря энергии фотона при растяжении пространства (в рамках стандартной космологической модели), можно было бы объяснить перераспределением энергии фотона между движением по видимым осям и с участием невидимой оси, которое можно лишь косвенно угадывать в его трёхмерных проявлениях.
Множество эффектов квантовой механики, кажущихся сложными и контринтуитивными в трёхмерном пространстве, предстаёт достаточно тривиально объяснимыми при дополнении наблюдаемой реальности дополнительными измерениями.
По сути, вся квантовая механика является продуктом фиксации наблюдений, начиная с основ волновой функции Шрёдингера, и никаким образом не объясняет значительного изменения природных принципов при переходе к масштабу фундаментальных частиц.

Когда я был студентом, у меня не было Интернета, чтобы знать обо всех физических и космологических теориях, но как выясняется теперь, я поражался совершенно не зря. В направлении дополнительных измерений мысли были и есть, но настолько мало прижившихся, что они легко уложатся в небольшой исторический экскурс в рамках настоящей статьи.

Хроники четвёртого измерения


Одним из первых идеей четвёртого измерения заразился британский математик Чарльз Говард Хинтон, давший название 4-мерному кубу тессеракт и плотно занимавшийся темой четвёртого измерения, в отрыве, однако, от нашего бренного мира. Исключительно с математической точки зрения. Но даже в таком виде эту тему потом немного эксплуатировали Лавкрафт и Хайнлайн.
Это прекрасная демонстрация проекции вращающегося 4-куба на 3-пространство:


Следом за ним, в 1884 году, некто Эдвин Эббот Эббот публикует роман Флатландия. Наверное, можно сказать, что это руководство для плоского ума к пониманию пространства. Хоть и задумывался он немного о другом, английским писателям в целом свойственна такая особенность становиться популярными у читателя, на которого не рассчитывали.

Первым серьёзным разработчиком темы стал Гуннар Нордстрём, сформулировавший в 1914-ом году альтернативную теорию тяготения, построенную на метрике (1,4), одно измерение времени и четыре измерения пространства. Теория не подтвердилась экспериментально.

Чуть позже на базе такой же метрики была построена теория Теодора Калуцы. Так пишет о его теории Митио Каку в своём опусе Гиперпространство, вдохновившем Muse на альбом Origin of Symmetry, который я весьма долго слушал кругами, и который созвучен названию данной статьи. Всё сходится.
Коротко о теории просто вставить четыре величины, полностью описывающих электромагнитное поле, расширив мерность метрического тензора на единицу.
Так широко в то время тензор растягивать было не принято, поэтому случай зафиксировался в анналах истории.
А вслед за этим Оскар Клейн сформулировал гипотезу, согласно которой дополнительное измерение может быть ненаблюдаемым вследствие его компактификации.

Однако, и эта теория не подтвердилась, и дополнительные измерения заехали в архив до семидесятых годов двадцатого века, когда получила распространение теория струн. Я не буду даже ссылку здесь ставить: сам Шелдон Купер занимался теорией струн.
По результату моего поверхностного ознакомления с теорией, суть её в том, чтобы переложить загадки микро масштаба мироздания из физического кармана в другой геометрический и там попробовать их разгадать. Всё ещё тщетно, что, в общем-то, показательно.

Это все из известных мало-мальски значимых изысканий в направлении увеличения мерности пространства.

Коротко о философии


Коротко о философии это, конечно, оксюморон. На этом аспекте принято останавливаться томами и годами. Я же здесь постараюсь быть максимально лаконичным. Самый хороший вид философии математика, ей будет посвящено гораздо больше букв и знаков моей жизни, но для общего понимания взглядов будет полезно ознакомиться с ними от самых истоков.
Коротко охарактеризовать мой подход можно как модернизированный механицизм на фоне идеализированного детерминизма и тотального эволюционизма.

Унисофия


Олдскульный механицизм, сторонниками которого были, среди прочих, Ньютон, Галилей и Лаплас, постулирует явные анахронизмы, связанные с отсутствием представлений о некоторых теориях, возникших позже: вроде неделимости и цельности атомов и независимость времени; и неявные анахронизмы, которые ещё только, возможно, предстоит разрушить существование пространства как самостоятельного объекта физики.
Но, как видно из описания осциллятора, сам подход мне близок в части наличия зерна. В части попытки объяснения полей через механистические процессы, происходящие в областях, скрытых от глаз и современных инструментов homo sapiens, что эквивалентно: в областях, находящихся вне фотонного слоя. Ведь, очевидно, если фотоны согласно своей некоторой внутренней особенности формируют консолидированную трёхмерную гиперповерхность n-мерного пространства, мы просто не увидим всё, что на-под ней.
Итак, механицизм, пусть даже развитый дополнительными измерениями, но всё же сохраняет свою страшную порочную связь с детерминизмом, который наверняка являлся ночами множеству учёных мужей в облике демона Лапласа как осознание абсолютной бессмысленности бытия в такой парадигме. Если всё предопределено начальным состоянием системы, и результат может быть рассчитан ещё до начала, то: Зачем?!.
Непосильные муки жрецов классических точных наук длились долго, до 1926 г., пока Шрёдингер не опубликовал своё уравнение. Проклятие было снято в микро масштабе результат до события неизвестен, Вселенная катится в неизвестном направлении, от нас, человечества, возможно, что-то зависит. Ура.
Введение осциллятора как тотально детерминированной субстанции в таком контексте означало бы новый виток самоуничижительной рефлексии. Если бы не наличие, во-первых, небольшой вероятности того, что у человека всё-таки есть право выбора, не определяемое его генами и обстоятельствами. Я бы сказал, что в таком случае, именно это и было бы определяющим фактором наличия сознания.
Тогда группа развитых существ могла бы помещать комплексный исходник, представляющий совокупность их собственных черт, в специальной пустой зоне для выращивания нового развитого существа. Так наша Вселенная, например, в результате развития и симбиотического объединения интеллектов электронной и биологической природы, постепенно агрегирующих неживую материю для формирования себя как единого целого, то есть являя собой процесс становления чего-то в макро масштабе, может в современном состоянии представлять собой аналог зиготы.
И даже от этой мыслительной конструкции всё ещё очень тянет человечиной. Стоит облечь этот скетч в художественную форму?
Во-вторых, наша реальность может быть этим самым просчётом результата. Да, это инвариант представления Вселенная сон Будды, но в сочетании с идеей эволюции он играет новыми красками: Вселенная и есть Будда. Вселенная и есть демон Лапласа.
Кроме того, что славянское быть/будь имеет те же этимологические корни в праиндоевропейском языке, что и имя Будда на санскрите, отражая в том числе его суть: существовать.
То есть Вселенная существует, потому что может. И развивается, и эволюционирует, потому что может. Потому что знать результат, и идти к нему это совсем не одно и то же. Тем более, что будучи машиной для определения результата, внутри себя Вселенная результат никогда не осознает.
Кстати, идея с дорогой и целью интересно представлена у Э. Фрома в Иметь или быть как разница западного и восточного менталитетов. Мне было очень полезно для личностного роста.
Но вернёмся в колею. Я назвал свой детерминизм идеализированным, потому что материальный мир можно представить проекцией мира идей. И наоборот. Они как бы взаимно сочленены таким образом, что материя является формой выражения идей, а идеи эволюционируют через своё материальное представление.
Можно условно представить пространство идей как 0-мерную область все идеи транспарентны из любой точки пространства. А материальное пространство имеет размерность сущностей, которые его заполняют, являясь проекциями идей.
Если представлять эволюционное древо идей как граф, то у него есть начальная точка, к которой всё сходится. Базовая, единственная, первая, самая простая идея.
Поэтому весь изложенный концепт я назвал бы унисофией.

Эволюция материи
Многие, наверняка, в своих философских изысканиях натыкались на мысль об относительности макро и микро масштабов. Что нашими атомами могут быть чьи-то галактики, и наоборот мы можем существовать в сопле титана.
Относительность времени накладывает на эту мысль дополнительный флёр. Для титана длительность нашей Вселенной промежуток времени от попадания заразы в респираторную систему до сморкания.
Однако, эта блестящая мысль находится в противоречии с другим параметром. Сложность.
Микро и макро масштабы различны не только размером, но и количеством возможных форм и их взаимодействий. Семнадцать фундаментальных частиц и три способа взаимодействия $\Rightarrow$ 100+ химических элементов и усложнение взаимодействий (валентность, дисперсионное притяжение) $\Rightarrow$ молекулы и структурная (пространственная) организация $\Rightarrow$ клетки и вещественный обмен $\Rightarrow$ организмы и нервные системы $\Rightarrow$ сознание и интернет $\Rightarrow$ искусственный разум и информационная интеграция $\Rightarrow$ ???
На среднем уровне, хорошо просматриваемом с помощью технических инструментов современного человечества отчётливо видно увеличение индивидуальности объектов с возрастанием масштаба. Их усложнение.
Их эволюция на базе простейших способов взаимодействия возникают всё более сложные, включающие в себя базовые, но на новый лад, в комбинациях.
И если ретроспективно проследить это развитие, видно, что количество типов объектов и взаимодействий уменьшается, организация упрощается.
Кроме того, фундаментальные взаимодействия, известные в настоящее время, можно структурировать следующим образом:
  1. Гравитация. Однополярное взаимодействие.
  2. Электрослабое. Двухполярное взаимодействие.
  3. Сильное. Трёхполярное взаимодействие.

При этом известные фундаментальные частицы последовательно наследуют способность участия во всё более сложных взаимодействиях от первого к третьему (исключая, разве что глюоны, которые, вообще говоря, вместе с кварками явления в себе, то есть без них и кварки в электрослабых участвовать не будут).
Заметки на полях. Если электромагнитное и гравитационное взаимодействия являются взаимодействиями разного типа, то почему нет заряженных безмассовых частиц?

Если ретроспективно продолжить идею эволюции материи к самым истокам, то в основании мы должны получить некоторую пару явлений, происходящих от одной причины, и образующую фундаментальную дихотомию. Своего рода Инь-Ян.
Такой вот получается анзац: все три вида фундаментальных взаимодействий это одно и то же взаимодействие с разным геометрическим ключом (для различных конфигураций движения, см. гравитомагнетизм).

Эволюция идей
Вместе с тем, уменьшение количества типов объектов и их взаимодействий означает упрощение идей, материальными проекциями которых они являются. Тогда сами эти идеи, по мере приближения к основанию мироздания, должны становиться проще, нисходя до той же пары, а затем и одной.
Подтверждение такого умозаключения можно найти в повторяющихся базовых идеях на разных уровнях организации материи, но в разных вариациях. В нас самих, людях, стремление к изменениям, новым свершениям борется со стремлением сохранить достигнутое, как реформаторство и консерватизм, как мужское и женское начало, как маскулинный и фемининный признак, как прямая и вращение.
В то же время идеи борются между собой через свои материальные проявления. Например, развитие сущностей происходит несколькими путями деление, слияние, поглощение.
Деление занимает свои ниши у простейших организмов, но сама идея начинается весьма близко к началу с фотонов. Слияние больше применимо к более сложным объектам, но начинается там же в фундаментальной основе. Как и поглощение.
Если абстрагироваться от обыденного порядка вещей в достаточной степени, можно заметить, что он не единственно возможный порядок. Чтобы двигаться дальше вглубь, необходимо понимать, что существо с рядом оголённых костных образований вокруг отверстия, в которое необходимо регулярно вливать оксид водорода и помещать органические соединения для продолжения жизнедеятельности не норма, а только один из возможных вариантов. И уж точно не венец творения.
Я это к тому, что вокруг нас огромное количество обыденных явлений, каждое из которых является выражением идей, подсказкой.
Так, например, разделение множества организмов на два пола созвучно электрослабому взаимодействию (двухполярное взаимодействие). Но в то же время уже включает в себя как вариации гомосексуальность (однополярное) и полиаморность (двухполярное плюс валентность).
Или сам факт получения энергии извне через поглощение других сущностей это вполне рациональное явление, происходящее от повышения концентрации энергии на каждом из уровней переработки солнечной от планктона до льва. Но идея такого механизма также могла и, вероятно, сложилась эволюционно.
В основании, предполагаю, будет идея о несуществовании. Идея смерти. Она пронизывает всю Вселенную насквозь, проявляясь в каждой её пылинке.
Потому что для осознания собственного существования, необходимо принятие идеи небытия: раз, чтобы прекратить существовать, надо быть, то чтобы быть, надо сперва не существовать. И это вроде бы так интуитивно понятно, но одним из возможных следствий этого является: "Всё возникло из Ничего". А это уже не выглядит таким уж бесспорным.
Если вам нравится эта, более художественно-философская сторона, моих ментальных странствий, то здесь больше Бионический человек.
В этой же статье вернёмся к прикладной стороне. Языком в пространстве идей является математика. Для меня очевидно, что дальнейшее углубление в понимание мира, в котором мы живём, возможно только на языке его прошивки.

Математика как вселенский ассемблер
Это работает в две стороны. С одной явления наблюдаемого мира могут быть описаны знаками, символизирующими объекты, процессы и их характеристики. С другой (это предположение) любое рациональное развитие таких знаковых комбинаций является идейным основанием реально существующих явлений.
То есть, я подразумеваю, что математика это язык, на котором философская парадигма Вселенной может быть наиболее точно выражена, потому что математика это язык идей, а Вселенная их материальное выражение. И это само по себе совершенно не ново, но дополнительная нота в этом аккорде поиск физико-философского смысла в привычных, простых, но пока весьма абстрактных математических формах, таких как, например:
  1. Длина отрезка в n-мерном пространстве определяется суммой квадратов проекций на оси. Это, в общем-то, следствие теоремы Пифагора. Почему форма именно такова?
  2. Что является фундаментальным основанием тригонометрического представления ($e^{\hat{z} t}$) гармонического колебания?
  3. Как Чак Норрис смог досчитать до бесконечности дважды?

Ответы на эти вопросы могли бы значительно продвинуть познание в сложившуюся щель между макро и микро космосами астрофизикой и квантовой механикой.
Думаю, за ответами на них может быть сокрыта сама тайна творения. Но существует вероятность, что как только её кто-то осознает, этот уровень закончится, и начнётся новый. А у меня дети, так что займёмся пока чем-то менее опасным.

Ненаблюдаемость четвёртого измерения
В предыдущей статье я разбирался с тем, как получается метрика FLRW. Четвёртая мера там использована в виде линейного множителя в метрическом тензоре, в виде некоторого показателя кривизны $R$:

$ds^2 = -c^2 \cdot dt^2 + R^2 \cdot dl^2$


В том представлении всё пространство Вселенной наполнено гомогенной, равномерно распределённой энергией массы, искривляющей пространство так же равномерно. При этом процесс носит динамический характер масса растягивается, вследствие чего плотность энергии деградирует. Деградирует и кривизна.
Вместе с тем, каждый массивный объект (решение Шварцшильда) искривляет вокруг себя пространство дополнительно.
Получается, масса, будучи энергией, создаёт кривизну. А что не масса, то энергия в чистом виде бозоны электромагнитного и сильного взаимодействия этой кривизне подчиняются. Из всех фундаментальных частиц не обладают массой только фотоны и глюоны.
Я предлагаю допустить, что вся энергия и есть кривизна. Тогда массивные частицы не искривляют пространство для всех остальных частиц. Они и есть искривление пространства. Как и не массивные.
Для существа, ощущающего мир плоским, все отклонения от евклидовой геометрии пространства будут казаться энергией.

Четвёртое измерение вполне наблюдаемо, мы просто настолько привыкли к тому, что ручка падает со стола на пол, а горячие предметы обжигают, что не видим общего все виды энергии могут быть описаны как искривление наблюдаемого 3-пространства, которое может быть формализовано через дополнение ещё одним (как минимум) измерением.
Мы наблюдаем этот мир через фотон. И если гнётся фотон гнётся мир.

С другой стороны, как было уже написано выше, вид энергии электромагнитное излучение может представлять собой такой вид движения, который определённым образом сориентирован в пространстве относительно осциллятора, и сообразно этому своему внутреннему свойству формирует трёхмерную гиперповерхность, над и под которой могут присутствовать движения других относительных конфигураций (например, бозон Хиггса со спином 0 может быть примером полностью перпендикулярного 3-пространству движения), которые исчерпывающе объясняли бы все эффекты полей.
Вот тут с галёрки подсказывают: Ана и Ката. Спасибо, мистер Хинтон!

Принцип образования массы
Не так давно, в 2015-ом году Нобелевскую премию по физике получило исследование Артура Мак-Дональда и Такааки Каджиты, подтвердившее наличие нейтринных осцилляций.
Вот здесь подробно-доступно.
Осцилляция массы это, как мне кажется, ключ. Масса не является каким-то внутренним неотъемлемым свойством частицы, масса это характеристика ориентации n-мерного движения по отношению к наблюдаемому 3-пространству. У нейтрино ориентация шатается, у остальных относительно стабильна.
К слову, ничем, кроме массы, поколения нейтрино не отличаются.
Получается, что если представить все фундаментальные частицы различными формами искривления колебательного движения в 4+ пространстве, то у частиц имеющих прямой угол между вектором колебательного движения и осями $(y,z)$ 3-пространства масса наблюдаться не будет. И наоборот.
Ещё Ньютон считал, что свет может при определённых обстоятельствах порождать материю.
То есть в моём представлении кварк, например, может является повёрнутой электромагнитной волной, и если собрать группу из трёх таких развёрнутых ЭМВ, и сориентировать их колебания перпендикулярно друг другу, то итоговое колебание группы приобретёт новые свойства, а мы получим эскиз модели протона/нейтрона энергии, стабилизированной в 3-пространстве, а заодно объяснение превращениям фотонов в кварки и процессам "выхватывания виртуальных кварков из пространства", когда двоим нужен третий: энергия двух перпендикулярных колебаний либо создаёт дополнительное возмущение осциллятора в виде третьего перпендикулярно колебания для стабилизации группы в качестве протона-нейтрона, либо переходит в другое стабильное состояние электромагнитное излучение, и рассеивается.

Кривизна фундаментальных частиц
Предполагая энергию потенциально совершённой работой, а работу, в самом простом представлении, движением, мы можем представить массу законсервированной энергией. То есть стабилизированным в 3-пространстве движением, противопоставляя его нестабильному (вынужденному двигаться со скоростью света) состоянию ЭМВ, тогда кривизна 3-пространства, создаваемая массой будет законсервированным движением, проявляющимся лишь частично в наложенном на него фотонном слое.
То есть массивные объекты являются движением эквивалентным энергии $E = mc^2$, и невидимым в 3-пространстве, потому что последнее создано фотонным слоем. Но фактически существующим в 4+.
Масса это форма существования энергии. Энергия это форма кривизны. Кривизна это результат пространственного отношения движений. Тогда
Каждая фундаментальная частица может быть представлена уравнением движения в n-мерном пространстве, обуславливающим её наблюдаемые в 3-пространстве характеристики.

Самым очевидным на мой взгляд направлением для распутывания того предполагаемого многомерного клубка, которым в новом свете представляются эмпирические данные квантовой механики о взаимодействиях и характеристиках фундаментальных частиц, является анализ данных об электромагнитных волнах в вакууме. Фотоны в пустоте почти лишены внешних воздействий, и все их ключевые черты должны хорошо просматриваться. Плюс к тому, есть огромный пласт исходных данных в виде показателей космологического красного смещения, светимости по частотам и прочее для различных космических объектов, очищенных от влияния локальных искажающих факторов.

Кривизна фотона
Наблюдаемое отклонение кривизны траектории фотона в гравитационном поле компактного массивного объекта не зависит от его, фотона, энергии. Возможно, соотношение кривизны ЭМВ к кривизне гравитационного поля массивного тела на небольшом расстоянии (для появления эффекта гравитационного линзирования) недостаточно велико для обнаружения отклонений, обусловленных количеством энергии ЭМВ?
В таком случае на длительном промежутке времени всё равно возникали бы условия для различимой дисперсии, чего, однако, не происходит.
Тогда собственное движение фотона должно иметь конфигурацию не влияющую на поперечное искривление траектории в видимом пространстве, но, возможно, оказывающим влияние на кривизну траектории продольно.
Очевидно, что поперечное колебание ЭМВ можно считать сбалансированным:
image
Предположим, что в плоскости $(y,z)$ равномерно проявляется колебание, происходящее в других измерениях, и расположенное перпендикулярно к обеим этим осям. Это одновременно гарантирует сбалансированность и отсутствие влияния на поперечное искривление.
Я подразумеваю эффект схожий с появлением вертикальной составляющей у волн на поверхности воды, если под водой начать двигать рукой в горизонтальном направлении.
Тогда движение по оси $x$ является проявлением той части колебания, которая, во-первых, не сбалансирована, а во-вторых, не перпендикулярна исходному колебанию.
Можно попробовать формализовать модель фотона, исходя из этих предположений, но сперва я хочу закончить с частью качественных описаний.

Космологическое красное смещение
Результат ещё одной кропотливой работы группы Сола Перлмуттера, за которую он, Брайан Шмидт и Адам Риссбыл были удостоены Нобелевской премии по физике за 2011 год:
image
Это зависимость космологического красного смещения сверхновых типа SNIa от расстояния.
Само космологическое красное смещение было обнаружено мистером Эдвином Хабблом ещё в тридцатых годах прошлого столетия. Примерно тогда же была проведена параллель и установлена пропорциональная зависимость между ККС, а следовательно, энергией фиксируемого излучения, и космологическим масштабным фактором современной стандартной космологической модели -CDM:

$1+z = \frac{\lambda_o}{\lambda_e} = \frac{\nu_e}{\nu_o} = \frac{E_e}{E_o} = \frac{a(t_o)}{a(t_e)}$


где
z космологическое красное смещение,
$\lambda_o, \lambda_e, \nu_o, \nu_e, E_o, E_e, a(t_o), a(t_e)$ длины волн, частоты, энергии и масштабные факторы в момент приёма (observer) и эмиссии (emitter)
Обращу внимание на четыре детали. На то, что закономерность установлена:
  1. До появления данных с большими значениями ККС ($z<0.3$).
  2. До появления модели фотона.
  3. На основании вида геодезических, получаемых в модели FLRW:

    $p \propto \frac{1}{a(t)}$

  4. На основании соотношения де Бройля:

    $p = \frac{h}{\lambda}$


Отмечу, что до самого конца жизни в 1953 г. Хаббл пытался найти объяснение ККС в обход модели расширяющейся Вселенной, преимущественно рассматривая кривизну отличной от евклидовой геометрии пространства, а де Бройль в качестве способа разрешения корпускулярно-волнового дуализма выдвинул весьма смелую гипотезу о волновых свойствах всей материи. Из статьи по ссылке выше:
Если же считать электрон волной, то, чтобы он вписался в орбиту заданного радиуса, надо, чтобы длина окружности этой орбиты была равна целому числу длины его волны. Иными словами, окружность орбиты электрона может равняться только одной, двум, трем (и так далее) длинам его волн. В случае нецелого числа длин волны электрон просто не попадет на нужную орбиту.
Моя гипотеза, по сути, является продолжением гипотезы де Бройля. И если в истинности его соотношения (п.4) я не сомневаюсь она вплетена в современную физику и интуитивно понятна, то космологическая часть, следующая из решения Фридмана (весьма обобщённого вида), требует внимательнейшего изучения.
Безотносительно истинности всего выше и ниже написанного я глубоко убеждён, что ККС является самым слабым и недоработанным местом современной космологии, вопреки тому, что является её ключевым параметром.
Если записать интервал следующим образом:

$ds^2 = - c^2dt^2 + R(\beta, \gamma)^2 \cdot dl^2$


где
$\beta = \beta (t, T_{\mu \nu})$ фактор, обусловленный гравитацией материи;
$\gamma = \gamma (t, \nu)$ фактор, обусловленный энергией фотона;
то полученный в результате показатель ККС будет:

$1 + z = \frac{a(\beta_o, \gamma_o)}{a(\beta_e, \gamma_e)}$


И характер погрешности даваемой от принятого в стандартной модели:

$1 + z = \frac{a(\beta_o)}{a(\beta_e)}$


определяется моделью взаимодействия ЭМВ с гравитационным полем.
Прежде, чем пускаться во все тяжкие с построением красивых математических конструкций, я подумал, как бы могла проявить себя такая зависимость в имеющихся данных.
And I got in!

Продольная кривизна и сверхновые
Если собственная кривизна-энергия фотона, взаимодействуя с кривизной пылевидной материи или идеальной жидкости, влияет на итоговую общую кривизну в направлении оси распространения (продольно) (собственная кривизна ЭМВ с одной стороны связана с её частотой, а с другой влияет на взаимодействие с общей кривизной Вселенной в области распространения колебания), то это происходило бы следующим образом:
чем выше частота фотона при эмиссии $\nu_e \ \Rightarrow$ тем меньше радиус собственной кривизны $R \ \Rightarrow$ тем меньше влияние кривизны Вселенной (который масштаб) относительно фотонов меньшей частоты $\Rightarrow$ тем короче путь волны в совокупно искривлённом пространстве.
Значимость такого эффекта даже при его наличии будет ничтожна, но его можно попробовать проверить.
Самые дальние объекты с событием сверхновые типа SNIa это взрыв звезды. Их снимают с использованием стандартных фильтров (фотометрические системы). Последние исследования типа Sloan Digital Sky Survey ведутся с использованием системы ugriz:
image
В процессе взрыва сверхновой типа Ia подавляющая часть энергии уходит на выталкивание материи самой звезды в пространство, и носит кинематический характер. Электромагнитная составляющая носит скорее характер побочного эффекта, забирая менее 1% от общей энергии взрыва.
ЭМВ появляется в результате бета распада изотопа никеля $^{56}Ni$ до кобальта $^{56}Co$ с выделением гамма-кванта.
Так выглядят графики светимости относительно недавних сверхновых.
График светимости SN2016dxv, $z=0.02$:
image
График светимости SN2005hy, $z=0.156291$:
image
График светимости SN2005fm, $z=0.13$:
image
График светимости SN2006fz, $z=0.1047$:
image
А так выглядит график светимости наиболее хорошо отснятой SN2013hy из сверхновых с большим показателем космологического красного смещения ($z = 0.663$):
image
Аналогичных по древности происхождения, количеству снимков и использованных фильтров пока нет.
На всех графиках хорошо просматривается смещение между пиками светимости на разных фильтрах, особенно $g' \rightarrow r' от зелёного к красному. На $SN2006fz хорошо видно, что на пятидневном промежутке в центре происходит их пересечение:
image
следовательно, экстремум графика $g'$ неминуемо раньше экстремума графика $r'$.
Вместе с тем, на графиках сверхновых с ККС такого же порядка как SN2016dxv ($z = 0.02$) расслоения почти не наблюдается, а у SN2013hy оно выглядит наиболее выраженным и максимальным по времени.
Аппроксимация смещения между всеми пиками g, r, u и z примерно одинакова, и равна 4 дням. Ориентировочный возраст сверхновой с таким ККС по современной шкале для плоской Вселенной с плотностью равной критической и без мрачной лямбды составит 7,4 млрд. лет.
4 дня, конечно, выглядят незначительной погрешностью в таком масштабе (если быть точным величина ККС, рассчитанная для аналогичных условий, составит примерно 5,4e-13), но вполне системной погрешностью именно так могли бы соотноситься кривизна одного фотона и гравитационного поля Вселенной в некоторой точке.
На больших же значениях ККС слишком мало данных, чтобы однозначно интерпретировать результат. Здесь каталог, кому интересно: внизу можно выставлять границы требуемых параметров поиска.
Обращу внимание, что в графиках показаны экстремумы по принятому показателю длины волны. Поэтому сравнение напрямую не совсем корректно, но позволяет оценить величину расслоения излучения по времени в зависимости от показателя ККС, которого при одинаковой скорости не должно было возникнуть ни по причине изменения числа принимаемых за секунду фотонов от удаляющегося источника, ни по причине изменения энергии фотонов.

Продольная кривизна и реликт
В применении к космическому сверхвысокочастотному фоновому излучению этот аспект выглядит ещё интереснее, но без картинок и видимой возможности сколько-нибудь точно подтвердить или опровергнуть. Однако, всё же!
По аналогии с предыдущим объяснением такие древние ЭМВ как реликтовое излучение, будучи эмитированы гораздо раньше любой из наблюдавшихся сверхновых ($z > 1000$), должны были бы иметь значительное временное расслоение фотонов разной энергии, и в связи с относительной единовременностью события рекомбинации водорода, такие ЭМВ должны были бы формировать фронты, зависящие как от величины энергии эмиссии фотонов, так и от времени эмиссии. В итоге, такое излучение представляло бы собой достаточно изотропный, смазанной фон, за которым легко могли бы укрыться самые величественные стены (Слоуна).
Минус одна макропредпосылка.

Кривизна пустого пространства
Взглянем на кривизну пространства без внешних факторов: то есть решим уравнения ОТО для пустого (вакуумный случай) плоского (метрика Минковского) локального (без лямбды) пространства, но! с масштабом $R$, выполняющим в данном случае функцию кривизны.
Формально исходные данные будут выглядеть так:

$\begin {cases} R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} \cdot R = \frac{8 \pi G}{c^4} \cdot T_{\mu \nu} = 0 ; \\ ds^2 = -c^2 \cdot dt^2 + R^2 \left[ dx^2+dy^2+dz^2 \right]. \\ \end {cases}$


В таком упрощённом случае решением будут два уравнения (темпоральная и пространственная часть, соответственно):

$ \color{red}{3 \cdot \frac{\dot{R}^2}{R^2}} = 0; \qquad \color{green}{\frac{\dot{R}^2}{R^2}+\frac{2R \ddot{R}}{R^2}} = 0 $


Кому интересно, как считать здесь целая статья.
И если первая (красная) часть решения говорит нам о том, что в отсутствие взаимодействующего объекта энергия (связанная с кривизной: $dR = 0$) и время ($dt = 0 $) не изменяются, то вторая (зелёная, она повторяет решение Фридмана без лямбды для плоского пространства: формула 4) часть, может быть представлена в виде:

${ \frac{\dot{R}^2}{R^2}+\frac{2R \ddot{R}}{R^2} = 0; \Rightarrow \qquad \frac{dR^2}{c^2 d t^2 R^2} + 2 \cdot R \frac{d^2 R}{c^2 dt^2 R^2} = 0; \Rightarrow \\ \left( \frac{dR^2}{R^2} + 2 \cdot \frac{R \cdot d^2 R}{R^2} + \frac{R^2}{R^2} \right) - \frac{R^2}{R^2} = 0 \cdot c^2 dt^2; \Rightarrow \\ \left( R + dR \right)^2 - R^2 = \color{orange}{0 \cdot c^2 dt^2 \cdot R^2} \qquad (1) }$


Скажем, (1) это пустая геометрия гравитационного взаимодействия с линейным пространственным множителем.
Видно, что правая апельсинка является катетом в прямоугольном треугольнике, из которого следует, что $R$ величина всегда мгновенно перпендикулярная наблюдаемому 3-пространству.

$A = \sqrt{ \frac{8 \pi G}{c^4} T_{ii}} \color{orange}{= 0}$


Кроме того, я тащил ноль, чтобы показать, что если вместо него будет стоять величина, определяемая тензором энергии-импульса (при $T_{\mu \nu} \ne 0$), то треугольник перестанет быть вырожденным, $dR \ne 0$, что в контексте всего выше написанного можно охарактеризовать так:
Взаимодействием двух носителей энергии-кривизны-движения является обмен энергией-кривизной-движением.

Но для пустого пространства всё же $dR = 0, R \in (-\infty,+\infty)$. Что формально означает, что осциллятор может принимать любые значения кривизны, однако, снова же, в контексте статьи:
Кривизна пустого пространства не определена.

Я бы сказал, что пространство в его геометрическом смысле не является объектом физики. Парадигма искривления пространства-времени была заложена в ОТО для объяснения воздействия гравитации на фотон, которого в классическом, ньютоновском представлении о гравитации не должно было бы происходить.
Однако уже самой теорией относительности определение гравитации было расширено, фактически, до механизма взаимодействия энергии с энергией через модификацию пространства.
Осталось убрать пустую прокладку и, определив гравитацию просто как механизм взаимодействия энергии и энергии, найти её форму.
Для этого необходимо представить пространство пустым вместилищем сущностей фундаментальных частиц и их производных, а свойство кривизны перенести на локальный объект как меру и способ его взаимодействия.
Проще говоря, я предполагаю, что вследствие гравитации гнётся не пространство-время, но все возможные виды фундаментальных частиц участвуют в этом базовом взаимодействии, при этом скорость течения их собственного времени и траектории изменяются. Фотон при этом гнётся хуже, чем, например, сопоставимая по энергии массивная частица, но так же, как и она, вследствие наличия механизма взаимодействия между его собственной кривизной и кривизной гравитирующего тела, является активным участником процесса, а не пассивным пассажиром геодезических линий.

Форма кривизны
1. Ещё раз взглянем на пространственную часть решения, но уже в пространстве с некоторой энергией, не важно пока какой:

$\color{green}{\frac{\left( R + dR \right)^2 - R^2}{R^2}}= \color{red}{\frac{8 \pi G}{c^2} T_{ii} \cdot dt^2 }$


Вид уравнения в левой части это половина дифференциального уравнения окружности типа $(x+dx)^2 + (y+dy)^2 = x^2 + y^2$. Приведу к одному виду, чтобы было понятно:

${ \color{green}{\left( R + dR \right)^2 - R^2}= \color{red}{\frac{8 \pi G}{c^2} T_{ii} \cdot dt^2 \cdot R^2} \\ \color{green}{(x+dx)^2 -x^2} = y^2 - (y+dy)^2 }$


То есть пространственная составляющая механизма гравитации является половиной вращательного движения. Небезосновательной была бы попытка предположить, что второй, недостающей до закона сохранения, частью является уравнение изменения кривизны второго участника обмена энергией, и посмотреть, что из этого получится:

$\color{green}{\frac{ \left( R_\beta + dR_\beta \right)^2 - R_\beta^2}{R_\beta^2} } = \color{blue}{\frac{ R_\gamma^2 - \left( R_\gamma + dR_\gamma \right)^2}{R_\gamma^2} } \qquad (2)$


Слева зелёным подразумевается, например, кривизна гравитирующего объекта, справа синим изменение кривизны фотона. При отсутствии взаимодействующего объекта синяя и зелёная части становятся вращениями неизменного радиуса, сохраняя энергию. В идеально пустом пространстве.
Для всех случаев (2) можно переписать так:

$\color{green}{\frac{ \left( R_\beta + dR_\beta \right)^2 - R_\beta^2}{R_\beta^2} } - \color{blue}{\frac{ R_\gamma^2 - \left( R_\gamma + dR_\gamma \right)^2}{R_\gamma^2} } = 0$


Или, подставив (1):

$\color{red}{\frac{8 \pi G}{c^2} T_{ii} \cdot dt^2} = \color{blue}{\frac{ R_\gamma^2 - \left( R_\gamma + dR_\gamma \right)^2}{R_\gamma^2} } \qquad (3)$


В результате чего, соотношение между радиусом кривизны фотона $R_\gamma$ и внешней кривизной $R_\beta$ на локальном промежутке будут всегда линейны, но длинной дистанции проявляли бы свойства тригонометрической зависимости.
Посмотрим, как это может происходить.
2. Если посмотреть на рисунок выше, видно, что:

$] \angle AOB = \angle \alpha: \cos^2\alpha = \frac{R^2}{(R+dR)^2}$


Тогда для общего случая пространственная часть решения будет:

$ \frac{1}{\cos^2\alpha} - 1 = \\ \color{magenta}{\tan^2\alpha = \frac{8 \pi G}{c^2} T_{ii} \cdot dt^2}$


А (2) и (3) можно представить так:

$\color{green}{tan^2\beta} = \frac{8 \pi G}{c^2} T_{ii} \cdot dt^2 = -\color{blue}{\tan^2\gamma}$


где
$\beta$ угол совокупной кривизны Вселенной в точке,
$\gamma$ угол кривизны фотона, который, как и радиус, кривизны связан с частотой, но, в отличии от него, гипотетически должен быть ей линеен: $\gamma \propto \nu \propto E_\gamma$.
Оставим пока только материальную (зелёную часть):

$\color{green}{\tan\beta} = \sqrt{\frac{8 \pi G}{c^2} T_{ii}} \cdot dt \Rightarrow \\ dt = \frac{c }{\sqrt{8 \pi G}}\cdot \frac{\color{green}{\tan\beta}}{\sqrt{T_{ii}}}$


Время течёт линейно в области пространства, где корень из плотности потока импульса изменяется по тангенциальному закону. Если развитие ККС, принятое сейчас линейным скорости течения времени ($(1 + z) \propto \frac{dt_o}{dt_e}$), поставить в зависимость от угла кривизны ($\gamma$) фотона, то оно приобрело бы лёгкий тригонометрический флёр:
image
На вид примерно такого же искривления не хватает графику сверхновых, для объяснения ускоренного расширения:
image
Это, что называется, очень на пальцах. Надо проработать.
3. Ну, и просто, чтобы пунктов в этой части было уже три, формула объёма гиперповерхности 3-сферы:

$V_{3\circ} = \color{red}{8 \pi} R^3$


Как говорится, живите теперь с этим.

Резюме


Прямая как частный случай вращения, а не наоборот, кажется более предпочтительным способом систематизации, потому что всё вокруг нас сферы и вращение. Как-то глупо считать одну из характеристик фотона единственным исключением в этом тотальном правиле.
А что касается количества измерений, их может быть множество. Важно, что вне зависимости от их количества, с ними можно начать работать как с единым радиусом кривизны в квадрате.

Интересно, что сам Фридман использовал для решения интервал в несколько иной форме, чем я использовал в предыдущей статье для расчётов. Он использовал полярные координаты 3-сферы, сделав её радиус варьируемым по времени.
В первом приближении предложенная гипотеза в приложении к имеющимся астрономическим данным даст именно 3-сферическую форму Вселенной.

Спасибо всем, кто вывез. Идеи, как вирусы. Одними нужно переболеть, другие способны убить, а третьи просто перепрошивают исходники навсегда.
Подробнее..

Геометрическое представление кривизны пространства в метрике Шварцшильда

25.09.2020 14:16:06 | Автор: admin
или два плюс два равно четыре.

Для понимания статьи достаточно школьного курса математики.

Форма множителя в метрике Шварцшильда давно не давала мне покоя своей изысканной двуличностью, и я решил уделить некоторое время изысканиям возможностей её преобразования. Сама метрика Шварцшильда получается в результате решения ОТО для вакуумного случая (тензор энергии-импульса равен нулю):

$ds^2 = - \left(1- 2 \frac{GM}{c^2 r}\right) c^2 dt^2 + \left(1- 2 \frac{GM}{c^2 r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2$


Она описывает пространственно-временной континуум в окрестностях произвольного компактного массивного объекта. Компактного, значит, девиации формы незначительны в отношении к массе. Проще говоря, круглый и плотный. Обычно здесь приводят в пример чёрную дыру. Никто почему-то не приводит примеров некомпактных объектов. Герметичная палка из пенопласта в открытом космосе на бесконечном удалении от массивных объектов, например, некомпактный объект. Кубический конь на расстоянии, с которого можно разглядеть печаль в его глазах тоже.

Через объём 3-сферы


Произведём замену:

$M=\frac{E}{c^2}$


Тогда метрика станет такой:

$$display$$ds^2 = - \left(1- 2 \frac{GE}{c^\color{red}{4} r}\right) c^2 dt^2 + \left(1- 2 \frac{GE}{c^\color{red}{4} r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2$$display$$


Замена была нужна только для того, чтобы обратить внимание на четвёртую степень у скорости света, потому что все циферки в формулах имеют значение. Об этом говорит вся история физики любая эмпирически полученная формула со временем получает теоретическое основание, объясняющее значения всех математических форм, которые в ней содеражатся.
Обычно в представлении этой метрики часть, связанную с физическими константами и массой тела, создающего поле, выражают через радиус Шварцшильда:

$r_s = 2 \cdot \frac{GE}{c^4}$


потому что метрика имеет особенность в этой точке. Здесь время, буквально, останавливается.
Вот так, в таком случае, выглядит вся метрика:

$ds^2 = - \left(1- \frac{r_s}{ r}\right) c^2 dt^2 + \left(1- \frac{r_s}{r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2$


Но в продолжение рассуждений о физической сути явлений эта двойка:

$r_s = \color{red}{2} \cdot \frac{GE}{c^4}$


тоже должна быть осмыслена. Поэтому представим так:

$u = \frac{GE}{c^4}$


Это просто половина гравитационного радиуса $r_s$, и размерность у него такая же. Получим:

$ 1 - 2\frac{GE}{c^4r} = 1 - 2\frac{u}{r} $


Напрашивается:

$= \left( 1 - 2\frac{u}{r} + \frac{u^2}{r^2} \right) - \frac{u^2}{r^2} = \left( 1 - \frac{u}{r} \right)^2 - \frac{u^2}{r^2} = \left( \frac{r - u}{r} \right)^2 - \frac{u^2}{r^2} = $


$= \frac{(r-u)^2 - u^2}{r^2} \qquad \qquad (1)$


Уже неплохо. Зарисуем. Представим $r = OB$ конечным отрезком, $u = OA$ его частью, как показано на рисунке ниже. Очевидно, что $(r-u) = AB$.
image
Любопытно, кстати, что из $r_s = 2u$ следует, что точка $A$ находится за (под) горизонтом событий объекта энергии $E$. Вот так легко она находится, а мы не можем.
Теперь покажем, что отношение вида $(1)$ будет выполняться для всех точек, имеющих геометрическое место на перпендикуляре к $OB$ в точке $A$:

$\frac{(r-u)^2 - u^2}{r^2} = \frac{((r-u)^2 + a^2) - (u^2 + a^2)}{r^2} = \frac{b^2 - d^2}{r^2} \qquad \qquad (2) $


image
для любых $b = CB$ и $d = OC$.
Говоря проще, разность квадратов $(r-u)^2 - u^2$ эквивалентна разности любых величин, проекциями которых на $OB$ являются $AB$ и $OA$ соответственно, при условии, что точка $C$ у них общая.
Дальше предположим, что $u = u(E)$ и $(r-u)$, наоборот, проекции $r = OB$ на какие-то оси, то есть пифагорова сумма двух величин, в исходном виде перпендикулярных друг другу. Переводя это в требование, рассмотрим случай $\angle{OCB} = \pi/2$, для которого верно:

$b^2 = r^2 - d^2 \rightarrow (2) \rightarrow \frac{b^2 - d^2}{r^2} = 1 - 2\frac{d^2}{r^2} \qquad \qquad (3)$


image
Доработаем $(3)$ аналогично начальной итерации:

$1 - 2\frac{d^2}{r^2} = \left( 1 - 2\frac{d^2}{r^2} + \frac{d^4}{r^4} \right) - \frac{d^4}{r^4} = \frac{(r^2-d^2)^2 - d^4}{r^4} =$


$= \frac{b^4 - d^4}{\sqrt{b^2 + d^2}^4} = \frac{b^4 - d^4}{r^4}\qquad \qquad (4)$


Вот и четвёртая степень. Формула объёма 3-сферы:

$V = \frac{\pi^2 \cdot R^4}{2}$


Это я к тому, что если домножить и разделить $(4)$ на $\pi^2/2$:

$\frac{b^4 - d^4}{r^4} = \frac{\pi^2}{2} \cdot \frac{2}{\pi^2} \cdot \frac{b^4 - d^4}{r^4} = \frac{V_b - V_d}{V_r} \qquad \qquad (5)$


то множитель в метрике Шварцшильда превращается в разность объёмов двух 3-сфер, построенных вокруг двух радиальных проекций точки относительно центра поля, соотнесённой к объёму 3-сферы, образуемой полным расстоянием между точкой и центром поля.
С учётом того, что полный радиус задаётся проекциями, всю эту конструкцию весьма лаконично задают два параметра, один из которых связан с энергией, а второй нет. Там точно две координаты.

Выводы


Замечательными следствиями такого представления являются:
1. Из формы множителя видно, что поведение фотона ограничивает видимую зону пятимерного пространства-времени. За её пределами можно спрятать нечто гравитирующее, но невидимое.
2. Наличие второй спрятанной координаты избавляет от парадокса нулевого времени.
3. Раз кривизна пространства вокруг массивного тела может быть всегда разложена на две компоненты, одна из которых связана с энергией тела, а вторая исключительно с пространством, то следующим шагом надо решить уравнения ОТО для вакуумного случая пятимерного пространства-времени. Об этом в следующей статье.

Бонус. Через угол


Очевидно, что можно выразить значимость поля в точке через плоский угол, выражающий отклонение траектории движения от плоского пространства (в отсутствие гравитационных полей).
Выразим величины $b$ и $d$ через угол $\alpha = \angle{OBC}$: $b = r \cdot \cos\alpha; \ d = r \cdot \sin\alpha$. Назовём его угол кривизны траектории. Тогда множитель можно выразить очень по-разному:

$1 - 2\frac{GE}{c^4r} = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos^4\alpha - \sin^4\alpha = 1 - 2 \sin^2\alpha = $


$= \frac{1-\tan^2\alpha}{1 + \tan^2\alpha} = \cos2\alpha \qquad \qquad (6) $


Особенно мне нравится вариант с тангенсами.
image
Подставим в исходный интервал:

$ ds^2 = -\cos 2\alpha \cdot c^2dt^2 + \cos^{-1} 2\alpha \cdot dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2 $


Всё, как и должно, превращается в плоскую метрику Минковского при $\alpha = 0$.
Здесь точно должен быть пятый
Продолжение следует.
Подробнее..

ОТО. Геометрическое представление кривизны пространства в метрике Шварцшильда. Часть 2

23.02.2021 10:12:21 | Автор: admin
или один плюс три снова четыре.

Для понимания статьи необходим школьный курс математики, и, может быть, даже достаточен.

В предыдущей статье мы выяснили, что множитель кривизны пространства в метрике Шварцшильда в каждое мгновение может быть представлен как сумма двух перпендикулярных мер (длин), одна из которых зависит от энергии массивного тела, создающего гравитационное поле, а вторая нет.
В этой статье, я объясню выводы предыдущей статьи, часть которых оказалась неочевидна, а также продолжу развитие идеи распрямления искривлённого четырёхмерного пространства-времени через энергетическую глубину.


Чтобы не скакать по ссылкам, предыдущая статья здесь целиком.
Форма множителя в метрике Шварцшильда давно не давала мне покоя своей изысканной двуличностью, и я решил уделить некоторое время изысканиям возможностей её преобразования. Сама метрика Шварцшильда получается в результате решения ОТО для вакуумного случая (тензор энергии-импульса равен нулю):

$ds^2 = - \left(1- 2 \frac{GM}{c^2 r}\right) \cdot c^2 dt^2 + \left(1- 2 \frac{GM}{c^2 r}\right)^{-1} \cdot dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2$


Она описывает пространственно-временной континуум в окрестностях произвольного компактного массивного объекта. Компактного, значит, девиации формы незначительны в отношении к массе. Проще говоря, круглый и плотный. Обычно здесь приводят в пример чёрную дыру. Никто почему-то не приводит примеров некомпактных объектов. Герметичная палка из пенопласта в открытом космосе на бесконечном удалении от массивных объектов, например, некомпактный объект. Кубический конь на расстоянии, с которого можно разглядеть печаль в его глазах тоже.

Через объём 3-сферы


Произведём замену:

$M=\frac{E}{c^2}$


Тогда метрика станет такой:

$$display$$ds^2 = - \left(1- 2 \frac{GE}{c^\color{red}{4} r}\right) c^2 dt^2 + \left(1- 2 \frac{GE}{c^\color{red}{4} r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2$$display$$


Замена была нужна только для того, чтобы обратить внимание на четвёртую степень у скорости света, потому что все циферки в формулах имеют значение. Об этом говорит вся история физики любая эмпирически полученная формула со временем получает теоретическое основание, объясняющее значения всех математических форм, которые в ней содеражатся.
Обычно в представлении этой метрики часть, связанную с физическими константами и массой тела, создающего поле, выражают через радиус Шварцшильда:

$r_s = 2 \cdot \frac{GE}{c^4}$


потому что метрика имеет особенность в этой точке. Здесь время, буквально, останавливается.
Вот так, в таком случае, выглядит вся метрика:

$ds^2 = - \left(1- \frac{r_s}{ r}\right) c^2 dt^2 + \left(1- \frac{r_s}{r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2$


Но в продолжение рассуждений о физической сути явлений эта двойка:

$r_s = \color{red}{2} \cdot \frac{GE}{c^4}$


тоже должна быть осмыслена. Поэтому представим так:

$u = \frac{GE}{c^4}$


Это просто половина гравитационного радиуса $r_s$, и размерность у него такая же. Получим:

$ 1 - 2\frac{GE}{c^4r} = 1 - 2\frac{u}{r} $


Напрашивается:

$= \left( 1 - 2\frac{u}{r} + \frac{u^2}{r^2} \right) - \frac{u^2}{r^2} = \left( 1 - \frac{u}{r} \right)^2 - \frac{u^2}{r^2} = \left( \frac{r - u}{r} \right)^2 - \frac{u^2}{r^2} = $


$= \frac{(r-u)^2 - u^2}{r^2} \qquad \qquad (1)$


Уже неплохо. Зарисуем. Представим $r = OB$ конечным отрезком, $u = OA$ его частью, как показано на рисунке ниже. Очевидно, что $(r-u) = AB$.
image
Любопытно, кстати, что из $r_s = 2u$ следует, что точка $A$ находится за (под) горизонтом событий объекта энергии $E$. Вот так легко она находится, а мы не можем.
Теперь покажем, что отношение вида $(1)$ будет выполняться для всех точек, имеющих геометрическое место на перпендикуляре к $OB$ в точке $A$:

$\frac{(r-u)^2 - u^2}{r^2} = \frac{((r-u)^2 + a^2) - (u^2 + a^2)}{r^2} = \frac{b^2 - d^2}{r^2} \qquad \qquad (2) $


image
для любых $b = CB$ и $d = OC$.
Говоря проще, разность квадратов $(r-u)^2 - u^2$ эквивалентна разности любых величин, проекциями которых на $OB$ являются $AB$ и $OA$ соответственно, при условии, что точка $C$ у них общая.
Дальше предположим, что $u = u(E)$ и $(r-u)$, наоборот, проекции $r = OB$ на какие-то оси, то есть пифагорова сумма двух величин, в исходном виде перпендикулярных друг другу. Переводя это в требование, рассмотрим случай $\angle{OCB} = \pi/2$, для которого верно:

$b^2 = r^2 - d^2 \rightarrow (2) \rightarrow \frac{b^2 - d^2}{r^2} = 1 - 2\frac{d^2}{r^2} \qquad \qquad (3)$


image
Доработаем $(3)$ аналогично начальной итерации:

$1 - 2\frac{d^2}{r^2} = \left( 1 - 2\frac{d^2}{r^2} + \frac{d^4}{r^4} \right) - \frac{d^4}{r^4} = \frac{(r^2-d^2)^2 - d^4}{r^4} =$


$= \frac{b^4 - d^4}{\sqrt{b^2 + d^2}^4} = \frac{b^4 - d^4}{r^4}\qquad \qquad (4)$


Вот и четвёртая степень. Формула объёма 3-сферы:

$V = \frac{\pi^2 \cdot R^4}{2}$


Это я к тому, что если домножить и разделить $(4)$ на $\pi^2/2$:

$\frac{b^4 - d^4}{r^4} = \frac{\pi^2}{2} \cdot \frac{2}{\pi^2} \cdot \frac{b^4 - d^4}{r^4} = \frac{V_b - V_d}{V_r} \qquad \qquad (5)$


то множитель в метрике Шварцшильда превращается в разность объёмов двух 3-сфер, построенных вокруг двух радиальных проекций точки относительно центра поля, соотнесённой к объёму 3-сферы, образуемой полным расстоянием между точкой и центром поля.
С учётом того, что полный радиус задаётся проекциями, всю эту конструкцию весьма лаконично задают два параметра, один из которых связан с энергией, а второй нет. Там точно две координаты.

Через угол


Очевидно, что можно выразить значимость поля в точке через плоский угол, выражающий отклонение траектории движения от плоского пространства (в отсутствие гравитационных полей).
Выразим величины $b$ и $d$ через угол $\alpha = \angle{OBC}$: $b = r \cdot \cos\alpha; \ d = r \cdot \sin\alpha$. Назовём его угол кривизны траектории. Тогда множитель можно выразить очень по-разному:

$1 - 2\frac{GE}{c^4r} = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos^4\alpha - \sin^4\alpha = 1 - 2 \sin^2\alpha = $


$= \frac{1-\tan^2\alpha}{1 + \tan^2\alpha} = \cos2\alpha \qquad \qquad (6) $


Особенно мне нравится вариант с тангенсами.
image
Подставим в исходный интервал:

$ ds^2 = -\cos 2\alpha \cdot c^2dt^2 + \cos^{-1} 2\alpha \cdot dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2 $


Всё, как и должно, превращается в плоскую метрику Минковского при $\alpha = 0$.
Здесь точно должен быть пятый
Продолжение следует.

Если коротко, то мы представляем метрику Шварцшильда:

$ds^2 = - \left(1- 2 \frac{GM}{c^2 r}\right) \cdot c^2 dt^2 + \left(1- 2 \frac{GM}{c^2 r}\right)^{-1} \cdot dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2$


где $M$ масса тела, $s$ интервал, $t$ время, $r, \theta, \phi$ сферические координаты, $G, c$ вселенские константы, так:

$ ds^2 = - \frac{V_b - V_d}{V_r} \cdot c^2 dt^2 + \frac{V_r}{V_b - V_d} \cdot dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2 \qquad (1) $


где $V_b, V_d, V_r - $ объёмы 3-сфер, заданных радиусами: $b$ в псевдоевклидовом пространстве, энергорадиусом $d$ массы гравитирующего тела и их суммой $r = \sqrt{b^2 + d^2}$;
и так:

$ ds^2 = -\cos 2\alpha \cdot c^2dt^2 + \cos^{-1} 2\alpha \cdot dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2 \qquad (2) $


где $\alpha$ угол кривизны угол отклонения траектории объекта от нормальной (от её проекции на плоское трёхмерное пространство).
Физически интерпретировать смысл формулы $(1)$ можно было бы так: объект, движущийся в бесконечном вечном асимптотически плоском пространстве Шварцшильда, приближаясь к массивному объекту, будет испытывать дефицит пространства в направлении центра масс гравтела, словно там из ткани космоса вынули часть 4-объёма, пропорциональную массе гравтела и обратно пропорциональную расстоянию до его центра масс. Важным аспектом при этом является то, что изменение кривизны происходит линейно изменению четырёхмерного объёма 3-сферы, а не трёхмерного, потому оно и выглядит таким одутловатым в стандартной метрике.
Это достаточно образная трактовка, которая возможно поможет взглянуть на метрику другими глазами. А формулу $(2)$ я пока трактовать не буду, потому что по ходу данной статьи она ещё получит свою интерпретацию.
Далее я сперва объясню выводы предыдущей статьи, а затем перейду к развитию темы с представлением метрики через дополнительное измерение.

Часть 1. Выводы предыдущей статьи и пояснения к ним



Выводы предыдущей статьи с пояснениями

Выводы


Из возможности такого представления были сделаны следующие выводы:
1. Из формы множителя видно, что поведение фотона ограничивает видимую зону пятимерного пространства-времени. За её пределами можно спрятать нечто гравитирующее, но невидимое.
2. Наличие второй спрятанной координаты избавляет от парадокса нулевого времени.
3. Раз кривизна пространства вокруг массивного тела может быть всегда разложена на две компоненты, одна из которых связана с энергией тела, а вторая исключительно с пространством, то следующим шагом надо решить уравнения ОТО для вакуумного случая пятимерного пространства-времени.

Ограничение видимой зоны пятимерного пространства


Чтобы наглядно объяснить первый вывод предыдущей статьи, представим множитель кривизны траектории объекта так:
image
где $OB$ полное расстояние $r$ до массивного объекта, $b$ величина координаты, не связанной с энергией массивного тела, $d$ величина координаты, связанной с энергией массивного тела, энергетическая глубина.
Единственное отличие от представления в предыдущей статье в том, что для наглядности картинка перевёрнута: переставлены местами величины $ u = AB $ и $ (r-u) = OA $, то есть энергетическая глубина как бы отнесена к движущейся точке, вместо самого объекта. На итоговый результат это не влияет, но позволяет наглядно представить множитель $ \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $, потому что обратные проекции $b$ и $d$ на гипотенузу $r = OB$ являются квадратами косинуса и синуса угла $\angle BOC = \alpha$ соответственно. Иначе говоря:

$ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \frac{OA^2 - AB^2}{OB^2} $


Таким образом, кривизна движения объекта, находящегося в точке $B$ относительно массивного объекта в точке $O$ определяется как отношение разности площадей кругов радиусов $OA$ (синего) и $AB$ (красного) в отношении к кругу радиуса $r = OB$.
Движение по осям рекурсивно влияет на обе координаты измерения неразрывно связаны, и в зависимости от показателя массы движущегося объекта траектория кривой будет изменяться, принимая крайнее положение при $ m=0, \ ds^2 = 0 $, то есть для фотона. При этом область возможных траекторий движущихся объектов, обладающих массой, будет находится с одной стороны от траектории фотона $ (ds^2 > 0) $ (в стандартном представлении интервала, для $(2)$ наоборот $ (ds^2 < 0) $ ), будучи ею предельно ограничена.
Таким образом, в обстоятельствах описываемых интервалом, заданным через угол кривизны, пространство всегда можно условно разделить на две области: дофотонную внутреннюю (ниже обозначена красным: при той же кривизне проходимые расстояния меньше, чем у света), и постфотонную внешнюю (ниже синим).
image
Из изложенного логически вытекает отрицательность интервала $( ds^2 < 0 )$ привычного вида для объектов в синей части, и как следствие его пространственно-подобность. Однако, это следствие ограниченной применимости интервала четырёхмерного пространства-времени для описания континуума большей размерности.
Если мысленно увязать ось $ w $ с явлением энергии, то синюю область можно попробовать трактовать как часть плоского пространства, которая однако вследствие гравитации имеет такую энергетическую плотность, что электромагнитные волны её обтекают, и делают тем самым ненаблюдаемой.
Совсем утрировано: все объекты с более кривыми траекториями, чем у света, будут видимы, а менее кривые нет. При этом для того, чтобы оказаться скрытыми, им совершенно необязательно двигаться быстрее света проходить большее пространство за то же время находится правее прямой, соответствующей $ ds^2 = 0 $ в точке. Им достаточно находится ниже этой прямой, и они останутся скрыты гравитационным искривлением, взаимодействуя с гравитирующим объектом легче, чем свет.
Завершу эту главу фантазией, предположив, что в тёмное пространство под синим подолом гравитационного поля можно было бы спрятать, например, пару гораздо более энергоёмких поколений частиц (II и III), таких неустойчивых в нашем 4-континууме.
Если большое количество такого рода частиц разместить компактно, то такое скопление при наблюдении проявляло бы свойства тёмной материи само создавало гравитационное поле, оставаясь при этом вне фотонного пространства невидимым.
Естественно, это всего лишь недоказанные наброски большими мазками. Догадки, которые должны быть высказаны уже только затем, чтобы выявить противоречивость подхода в целом на раннем этапе. А также, вопреки своей возможной ложности в деталях, они могут, наоборот, подстегнуть чей-то интерес к подходу.

Ненулевое время в особенной точке метрики


Здесь предлагаю для начала взглянуть на изменение угла кривизны в динамике:
image
Если условно представить движение объекта в гравитационном поле поворотом относительно плоского трёхмерного пространства наблюдателя, то исходное количество движения останется прежним, изменится только его конфигурация.
Я хочу сказать, что гравитационное поле можно представить пожирателем движения фундаментальных частиц, словно оно является воронкой в никуда, поворачивая их перемещение из наблюдаемого пространства в невидимом направлении, определённо связанном с наблюдаемым нами явлением энергии.
Причём, говоря поворачивая, я, естественно, не подразумеваю поворот в обычном, наблюдаемом пространстве. Гравитационное поле забирает часть движения частиц, как если бы те вращались и могли быть охарактеризованы частотой вращения комплексной составляющей, а гравитационное поле было берегом, который поджимает заходящие на него волны меняет количество движения вдоль, переводя его в движение поперёк. Увеличивает мнимую составляющую, уменьшая вещественную.
Таким образом, в предлагаемой парадигме континуума расширенной мерности движение не исчезает и не растягивается/сжимается. Оно перетекает из плоского наблюдаемого пространства $(x,y,z)$ в перпендикулярном направлении совокупно определённом ранее как единая ось $w$, хоть полноценной осью, изоморфной остальным, судя по всему, не является. Однако ставка на аналогичное представление времени сто лет назад сыграла, хоть ось времени также не совсем обычна, поэтому продолжим пилить в этом месте.
Изменение относительного положения движущегося объекта в пространстве рекурсивно влияет на характеристику его дальнейшего движения так, как если бы на каждый тик $dt^2$ часть движения переходила из наблюдаемого плоского пространства в перпендикулярном ему направлении или наоборот в зависимости от направления.
Соответственно, точка $ r_{s} = 2 GE / c^4 $ (угол кривизны $\alpha = \pi / 4 $) является граничным условием для безмассового объекта, при котором количество наблюдаемого движения объекта становится равно количеству движения изымаемого полем, что реконфигурирует собственное движение объекта в нечто иное, но прекращения движения последнего в пространстве $(w,x,y,z)$ при этом всё же не происходит. Движение остаётся, мы его просто не видим.
Время объекта не останавливается, а энергия количество движения не становится бесконечной.


Решение уравнений ОТО для пятимерного пространства


Вначале я попытался пойти этим путём. С позволения сказать, в штыковую атаку. Но несколько недиагональных компонент в тензоре Риччи получились отличными от нуля (из-за взаимного влияния координат на неизвестные функции), и я не знал, что с этим дальше делать. Насильно приравнять нулю, и получить требуемую форму взаимодействия искомых функций, дало интересный результат, но, кроме этого допущения, логически получалось, что дополнительное измерение, будучи связанным с энергией, имело все шансы оказаться включением правой части уравнений составной частью тензора энергии-импульса (ТЭИ), и тогда его введение в геометрическую левую часть вряд ли сохраняло бы тождества.
В итоге, глядя на косую симметрию в метрике Шварцшильда и на угловую форму мультипликатора в метрике Фридмана, я подумал, а не получилось ли так, что на существующем этапе развития физической теории использование римановой геометрии дало чрезвычайно изящное представление о гравитационном поле в виде ОТО настолько прекрасное, что оно намертво вплело парадигму изгибаемого, неевклидового пространства-времени в умы нескольких поколений физиков. Окажись она ложной не в математическом выражении, но в самой сути представления явлений природы, и стагнация развития теоретической физики, запертой в тензорной ловушке, была бы обеспечена.
Забегая вперёд, выскажу догадку, что если всё-таки развернуть ТЭИ через геометрическое представление тотально, то его можно будет перенести в левую часть, и свернуть с формами пространственного тензора в более развитую, сложную, но в то же время и более лаконичную, форму расширенной мерности.
Однако, чтобы сделать это необходимо попытаться понять суть происходящих процессов называемых явлением гравитации заново. С какой-то другой, неизученной стороны.
Показанный в предыдущей статье принцип демонстрирует возможность ежемгновенного разложения искривления пространства вокруг массивного компактного объекта на ортогональные компоненты, что даёт нам возможность сделать шаг назад, к евклидовой геометрии, и посмотреть с этой позиции на явление гравитации как на поведение объектов внутри евклидова пространства увеличенной размерности, как если бы гравитация была явлением деформирующим сами объекты и их наблюдаемое поведение (относительность времени), а пространство и время при этом оставляла абсолютными (что даёт в перспективе отличный мостик обратно к энергии и её сохранению).
Подход в лоб не сработал, и я пошёл в обход.

Дополнительная ось комплексного пространства


Невидимое окно, в которое вытекает движение, выраженное объёмом $ V_d $ в объёмном представлении кривизны, возникает на горизонте объекта и зовёт в себя провалиться, тем неотвратимее, чем выше его относительная важность (масса к массе) против объекта и расстояние, читай, пространство, которое их разделяет.
Если объект склоняется к этому окну не только в видимом пространстве, но и незримо начинает участвовать в некотором дополнительном движении, по мере приближения соотносясь с мерой внутреннего движения объекта собственной участвуя в потоке, и отдавая на это часть собственного движения из видимого пространства, то из другого среза видимого пространства такой процесс выглядел бы как искривление времени, хотя в самом деле являлся его перераспределением.
Скажу проще. Кусок четырёхмерного объёма $V_d$, чьё возникновение в объёмном представлении кривизны в метрике Шварцшильда:

$ \frac{V_b - V_d}{V_r} = | V_d = 0 | = 1 $


обуславливает её отклонение от псевдоевклидовой метрики, то есть, собственно, и отвечает за возникновение этой самой кривизны континуума, в четырёхмерной (3-пространство и время) версии последнего вырезается на каждый тик $ dt^2 $, и разжиженные остатки пространства-времени стягиваются в центр, склеиваясь краями, чтобы не было видно дыры.
Я же просто предлагаю попробовать дать этой катаракте собственное измерение, чтобы уже перестать натягивать четырёхмерную сову на пятимерный, как минимум, глобус.
В дополнение к трём осям $(\rho, \theta, \phi)$ (для удобства сразу представим его в сферических координатах) введём ось $ w $.
В предыдущей статье мы увидели, что радиальное смещение объекта в гравитационном поле в любой момент времени может быть представлено пифагоровой суммой двух величин:

$ r^2 = b^2 + d^2 $


одна из которых $ b $ не связана с энергией массивного тела (в отсутствие $ d $ оставляет пространство-время плоским), а другая $ d $ связана.
Теперь, чтобы двигаться дальше, представим составляющую $ d $ частью мнимой оси $ w $, а $ b $ частью вещественной оси $ \rho $:

$ r^2 = \rho^2 + \imath^2 w^2 $


где $ \rho $ радиальная координата псевдоевклидова пространства, а $ w $ дополнительная ось энергетического характера.
Как минимум, чтобы не получать $ dd $ при дифференцировании последнего.

Двухмерная радиальная координата


Дальше в комплексном представлении радиальной координаты используется только соответствующая координата плоского пространства $ \rho $. Ось $ \rho $ будет вещественной, её единичным вектором будет $\hat{h}$.
Мнимой осью будет количество требуемого (изымаемого из наблюдаемого пространства) гравитацией движения объекта (как своего рода эвфемизм для $ E = mc^2 $, ведь именно наличие энергии массы создаёт поле) элементарной частицы или их совокупности $ w $. Для обозначения единичного вектора этой оси мы введём несколько необычное для мнимой единицы обозначение $\hat{v} = \sqrt{-1} $, чтобы далее не путать со стандартным набором $ \imath, \jmath, k $ мнимых единиц в кватернионе, с которым столкнёмся в третьей статье цикла.
Тогда состояние поля, создаваемого некоторым массивным объектом, в любой точке расширенного таким образом пространства можно представить как разность квадратов расстояния до центра объекта в плоском 3-пространстве и некоторой энергетической глубины, которую требует поле в виде своего рода контрибуции движения, изымаемого из плоского наблюдаемого пространства, объекта, перемещающегося с наличием радиальной компоненты:

$ \vec{r}^2 = \vec{\rho}^2 + \vec{w}^2 = \hat{h}^2 \cdot \rho^2 + \hat{v}^2 \cdot w^2 $


В представленном таким двухмерным образом пространстве $ ( \rho, w ) $, мы можем описать произвольный вектор $ \vec{r}$ через векторную сумму действительного и мнимого векторов:

$ \vec{r} = \vec{\rho} + \vec{w} = \hat{h} \cdot \rho + \hat{v} \cdot w $


Кроме того, ввиду псевдоевклидовости комплексной плоскости верным будут также:

$ d\vec{r}^2 = \hat{h}^2 \cdot d\rho^2 + \hat{v}^2 \cdot dw^2 = d\rho^2 - dw^2 $


Также нам пригодится такой результат дифференцирования первой формулы в этой главе:

$ \vec{r} \cdot d\vec{r} = \hat{h}^2 \cdot \rho \cdot d\rho + \hat{v}^2 \cdot w \cdot dw $


Эта замечательная форма даст нам далее некоторые удобные инструменты.

Комплексное представление расширенного пространства


Теперь не поленимся, и проверим как изменится выражение множителя метрики Шварцшильда в комплексном представлении:

$\begin{array}{rlcl} ] & \Xi & = & 1- 2 \cdot \frac{GE}{c^4 r}; \\ ] & \vec{u} & = & \frac{GE}{c^4} = e^{z_1} = e^{x_1 + \imath \alpha}, \ \vec{u}, z_1 \in \mathbb{C}; \\ ] & \vec{r} & = & e^{z_2} = e^{x_2 + \imath \alpha} = |r| \cdot e^{\imath \alpha}, \ \vec{r}, z_2 \in \mathbb{C}: \quad \Xi = 1 - 2 \cdot \frac{\vec{u}}{\vec{r}}; \\ & \Xi & = & 1 - 2 \cdot \frac{\vec{u}}{\vec{r}} + \frac{\vec{u}^2}{\vec{r}^2} - \frac{\vec{u}^2}{\vec{r}^2} = \left( \frac{\vec{r} - \vec{u}}{\vec{r}} \right)^2 - \frac{\vec{u}^2}{\vec{r}^2} = \\ & & = & \left( \frac{\vec{r} - \vec{u}}{\vec{r}} \right)^2 + \frac{\vec{a}^2}{\vec{r}^2} - \frac{\vec{u}^2}{\vec{r}^2} - \frac{\vec{a}^2}{\vec{r}^2}, \quad \vec{a} \in \mathbb{C} : \\ ] & \Re(r) & = & ( \vec{r} - \vec{u} ) + \vec{a}; \\ ] & \Im(r) & = & (\vec{u} - \vec{a}) / \imath = - (\vec{u} - \vec{a}) \cdot \imath: \\ & \vec{r} & = & \Re(r) + \Im(r) \cdot \imath \\ \exists & e^{\imath \alpha}, \quad \vec{a} & \perp & \vec{r}: \\ & \Re^2(r) & = & ( \vec{r} - \vec{u} )^2 + \vec{a}^2; \\ & \Im^2(r) & = & - \vec{u}^2 - \vec{a}^2 : \\ & \Xi & = & \frac{\Re^2(r)}{\vec{r}^2} + \frac{\Im^2(r) }{ \vec{r}^2}; \\ ] & \vec{\rho} & = & \Re(r); \\ ] & \vec{w} & = & \Im(r): \\ & \Xi & = & (\vec{\rho}^2 + \vec{w}^2 ) / \vec{r}^2 = \\ & & = & |\vec{r}|^2 / \vec{r}^2 = \\ & & = & e^{-2 \alpha \imath} \end{array}$


Любую пару скалярных чисел $ ( r; u ) $ можно представить парой таких коллинеарных векторов $ ( \vec{r}; \vec{u} ) \in \mathbb{C} $ в комплексной плоскости, что угол поворота (кривизны) $ \alpha = \mathtt{ Arg(\vec{r}) } $ задавал его действительную и мнимую части как обратные проекции векторов $ (\vec{r} - \vec{u}) $ и $ \vec{u} $ на оси, соответственно.
Наглядно (показано в первом квадранте, для четвёртого отрицательного угла $ \alpha $ естественно, тоже работает):
image
Переворот дополнительной оси $ w $ из действительного во мнимое пространство позволил нам выразить радиальную компоненту метрики Шварцшильда гораздо элегантнее:

$ \frac { dr^2 }{ 1 - 2 \cdot \frac{ GE }{ c^4 \cdot r}} = e^{ 2 \alpha \imath } \cdot d\vec{r}^2 \rightarrow (1) $


Это, как минимум, красиво.

Время


Множитель темпоральной компоненты при переносе вектора $ \vec{r} $ на комплексную плоскость перевернулся, но для компоненты в целом это ничего не меняет хоть аргумент стал отрицательным, $ \cos $ чётная функция.

$ \begin{array}{ccl} e^{-2 \hat{v} \alpha } \cdot dt^2 & = & \left[ \hat{h} \cdot \cos (-\alpha) + \hat{v} \cdot \sin (-\alpha) \right]^2 \cdot dt^2 = \\ & = & \left[ \cos^2 \alpha + \hat{ v }^2 \cdot \sin^2 \alpha \right] \cdot dt^2 \end{array} $


Именно это свойство времени подспудно подтолкнуло меня к мысли о его абсолютности как бы взаимно не располагались две другие части расширенной метрики, время объекта в континууме наблюдателя всегда меняется одинаково. Оно тратится на перемещение, в каком бы направлении не происходило движение, и как бы ни выражалось.
Подробнее об этом в третьей статье цикла.

Радиальная компонента


Очевидно, что $ e^{ 2 \alpha \imath } $ часть самого вектора $ \vec{r} = |r| \cdot e^{ \alpha \imath } $, тогда нам остаётся только дополнить её модулем $ |r|^2 $, чтобы сломать окончательно:

$ (1) \rightarrow e^{ 2 \alpha \imath } \cdot d\vec{r}^2 = \frac{ |r|^2 \cdot e^{ 2 \alpha \imath } \cdot d\vec{r}^2 }{ |r|^2 } = \left( \frac{ \vec{r} \cdot d\vec{r} }{ |r| } \right)^2 \rightarrow (2) $


Как было показано выше, $ \vec{r} \cdot d\vec{r} = \hat{h}^2 \cdot \rho \cdot d\rho + \hat{v}^2 \cdot w \cdot dw $, подставим:

$ (2) \rightarrow \left( \frac{ \vec{r} \cdot d\vec{r} }{ |r| } \right)^2 = \left( \frac{ \hat{h}^2 \cdot \rho \cdot d\rho + \hat{v}^2 \cdot w \cdot dw }{ |r| } \right)^2 = \hat{h}^4 \cdot \cos^2 \alpha \cdot d\rho^2 + \hat{v}^4 \cdot \sin^2 \alpha \cdot dw^2 $


И вот энергоглубина, выделенная в отдельную координату $ w $, изящно отвалилась по шву от плоского пространства.

Угловые координаты


Чтобы преобразовать угловые координаты, выразим квадрат вектора $ \vec{r} $ с учётом поворота на угол кривизны:

$ \begin{array}{ccl} \vec{r}^2 & = & \hat{h}^2 \cdot |r|^2 \cdot\cos^2 \alpha + \hat{v}^2 \cdot |r|^2 \cdot \sin^2 \alpha = \\ & = & ( \rho^2 + w^2 ) \cdot (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = \\ & = & \rho^2 \cdot \cos^2 \alpha - w^2 \cdot \sin^2 \alpha - \rho^2 \cdot \sin^2 \alpha + w^2 \cdot \cos^2 \alpha = \\ & = & \rho^2 \cdot \cos^2 \alpha - w^2 \cdot \sin^2 \alpha - \frac{ \rho^2 \cdot w^2 }{ |r|^2 } + \frac{ w^2 \cdot \rho^2 }{ |r|^2 } = \\ & = & \rho^2 \cdot \cos^2 \alpha - w^2 \cdot \sin^2 \alpha = \\ & = & \rho^2 \cdot \cos^2 \alpha + \hat{v}^2 \cdot w^2 \cdot \sin^2 \alpha \end{array} $



Преобразование интервала


Теперь мы можем разделить координаты во всём интервале полностью:

$ \begin{array}{ccl} ds^2 & = & \left( 1 - \frac{ GE }{ \mathtt{ c }^4 r } \right) \cdot dt^2 - \left( 1 - \frac{ GE }{ \mathtt{ c }^4 r } \right)^{-1} \cdot dr^2 - r^2 \cdot d\theta^2 - r^2 \cdot \sin^2 \theta \cdot d\phi^2 = \\ & = & \color{red}{ \cos^2 \alpha \cdot dt^2 - \sin^2 \alpha \cdot dt^2 } - \\ & - & \color{green} { \cos^2 \alpha \cdot d\rho^2 - \cos^2 \alpha \cdot \rho^2 \cdot \left[ d\theta^2 + \sin^2 \theta \cdot d\phi^2 \right] } - \\ & - & \color{blue}{ \sin^2 \alpha \cdot dw^2 + \sin^2 \alpha \cdot w^2 \cdot \left[ d\theta^2 + \sin^2 \theta \cdot d\phi^2 \right] } = \\ & = & \color{red}{ \cos^2 \alpha \cdot dt^2 } - \color{green} { \cos^2 \alpha \cdot \left[ d\rho^2 + \rho^2 \cdot d\theta^2 + \rho^2 \cdot \sin^2 \theta \cdot d\phi^2 \right] } - \\ & - & \color{red}{ \sin^2 \alpha \cdot dt^2 } + \color{blue}{ \sin^2 \alpha \cdot \left[ - dw^2 + w^2 \cdot d\theta^2 + w^2 \cdot \sin^2 \theta \cdot d\phi^2 \right] } = \\ & = & \cos^2 \alpha \cdot \left[ \color{red}{ dt^2 } - \color{green} { d\rho^2 - \rho^2 \cdot d\theta^2 - \rho^2 \cdot \sin^2 \theta \cdot d\phi^2 } \right] - \\ & - & \sin^2\alpha \cdot \left[ \color{red}{ dt^2 } - \color{magenta}{ \hat{?}^2 } \color{blue}{ \cdot dw^2 - w^2 \cdot d\theta^2 - w^2 \cdot \sin^2 \theta \cdot d\phi^2 } \right] \rightarrow ? \\ & \rightarrow & \cos^2 \alpha \cdot \color{green}{ ds_\rho^2 } - \sin^2 \alpha \cdot \color{blue}{ ds_w^2 } \end{array} $


Вот так поворот. Был бы, если бы не перевёрнутый знак перед $ dw^2 $ (маджента). Именно такая возможность представления формы метрики Шварцшильда не давала мне покоя, но почему возникает ошибка?
Как бы по-идиотски это не звучало, она возникает, потому что мы выносим не тот минус один, который, будучи вынесенным, даст положительное значение при $ dw^2 $, а тот, который оставит $ dw^2 $ отрицательным, как и оба других слагаемых угловых координат.
Для того, чтобы разобраться в этой математике, нам потребуется ввести дополнительный вектор $ \hat{ u }^2 = -1, \ \hat{ u } \in \Im $ мнимой оси комплексного пространства, который задаёт 3-пространство относительно времени в стандартном интервале, например, в метрике Минковского:

$ ds^2 = dx_0^2 + \hat{ u }^2 \cdot \left[ dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2 \right] $


Тогда введённый ранее вектор $ \hat{ v }^2 = -1, \hat{ v } \in \Im $ будет ему всегда перпендикулярен $ \hat{ u } \perp \hat{ v } $ по определению.
Но, как известно, математики для двух мнимых осей нет, только для трёх, поэтому введём сразу ещё один базовый мнимый вектор $ \hat{ w }^2 = -1, \hat{ w } \in \Im $, и определим результаты взаимных операций над ними аналогично кватернионам:

$ \hat{ u }^2 = \hat{ v }^2 = \hat{ w }^2 = \hat{ u } \cdot \hat{ v } \cdot \hat{ w } = -1, \\ \hat{ u } \cdot \hat{ v } = \hat{ w }, \ \hat{ v } \cdot \hat{ w } = \hat{ u }, \ \hat{ w } \cdot \hat{ u } = \hat{ v }, \\ \hat{ v } \cdot \hat{ u } = - \hat{ w }, \ \hat{ w } \cdot \hat{ v } = - \hat{ u }, \ \hat{ u } \cdot \hat{ w } = - \hat{ v }$


Тогда интервал метрики Шварцшильда с мнимыми векторами в явном виде будет:

$ \begin{array}{ccl} ds^2 & = & \color{red}{ (\cos^2 \alpha + \hat{v}^2 \cdot \sin^2 \alpha ) \cdot dt^2 } + \\ & + & \color{green}{ \hat{u}^2 \cdot \cos^2 \alpha \cdot \left( d\rho^2 + \rho^2 \cdot \left[ d\theta^2 + \sin^2 \theta \cdot d\phi^2 \right] \right) } + \\ & + & \color{blue}{\hat{u}^2 \cdot \sin^2 \alpha \cdot \left( \hat{v}^4 \cdot dw^2 + \hat{ v }^2 \cdot w^2 \cdot \left[ d\theta^2 + \sin^2 \theta \cdot d\phi^2 \right] \right) } = \\ & = & \color{red}{ \cos^2 \alpha \cdot dt^2 } + \color{green}{ \hat{u}^2 \cdot \cos^2 \alpha \cdot \left( d\rho^2 + \rho^2 \cdot \left[ d\theta^2 + \sin^2 \theta \cdot d\phi^2 \right] \right) } + \\ & + & \color{red}{ \hat{v}^2 \cdot \sin^2 \alpha \cdot dt^2 } + \color{blue}{ \hat{u}^2 \cdot \sin^2 \alpha \cdot \left( \hat{v}^4 \cdot dw^2 + \hat{ v }^2 \cdot w^2 \cdot \left[ d\theta^2 + \sin^2 \theta \cdot d\phi^2 \right] \right) } = \\ & = & \cos^2 \alpha \cdot \color{green}{ ds_\rho^2 } + \\ & + & \sin^2 \alpha \cdot \color{magenta}{ \hat{ v }^2 } \cdot \left( \color{red}{ dt^2 } + \color{blue}{ (-\hat{ w })^2 \cdot dw^2 + (- \hat{ u })^2 \cdot w^2 \cdot \left[ d\theta^2 + \sin^2 \theta \cdot d\phi^2 \right] } \right) \end{array} $


Можно менять направление тройки $ \hat{ u } \cdot \hat{ v } \cdot \hat{ w } = -1 \rightarrow \hat{ w } \cdot \hat{ v } \cdot \hat{ u } = -1 $ с левого на правое, можно выносить $ \hat{ v }^2 $ (маджента) направо операции некоммутативны. Как ни крути, на языке кватернионов перед всеми пространственными слагаемыми в последней строке будет квадрат мнимого вектора.
Тогда, приняв, что $ ds_\rho^2 = \hat{h}^2 \cdot dt^2 + \hat{u}^2 \cdot \left( d\rho^2 + \rho^2 \cdot d\theta^2 + \rho^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2 \right)^2 $ квадрат проекции вектора $ d\vec{ s } \in \psi $, принадлежащего расширенному комплексному пространству $ \psi ( \hat{h}, \vec{r} (\hat{u}, \hat{v}, \hat{w}), \hat{\theta}, \hat{\phi} ) = \mathbb{R}^6 \ \dagger $ ), на условно плоское пространство наблюдателя $ \psi_\rho ( \hat{h}, \hat{u}, \hat{\theta}, \hat{\phi} ) = \mathbb{R}^4 $, а $ ds_w^2 $ по аналогии, квадрат проекции этого же вектора внутрь подпространства $ \psi_w ( \hat{h}, \hat{v}, \hat{w}, \hat{\theta}, \hat{\phi} ) = \mathbb{R}^5 $, то движение объекта в гравитационном поле может быть представлено как чистый поворот:

$ ds'^2 = \cos^2 \alpha \cdot ds_\rho^2 + \hat{v}^2 \cdot \sin^2 \alpha \cdot ds_w^2 = \left( e^{\hat{v} \alpha} \cdot d\vec{s} \right)^2 = \left( \mathbf{v} \cdot d\vec{s} \right)^2 \quad \quad (3) $


где $ \mathbf{v} = e^{ \hat{v} \alpha } = \cos \alpha + \hat{v} \cdot \sin \alpha $ ротор, нормализованный вектор поворота. Пока только как индуктивный эскиз от частного к общему.
В третьей статье цикла я постараюсь обобщить модель интервала из тех черт, которые проступили по ходу проведённого изыскания, и других известных свойств явлений природы. Так, чтобы поворотами приводить интервал к известным частным случаям.
$ \dagger $ минимальное количество осей для формализации шесть: время $ \hat{h} $, трёхсоставная радиальная ось $ \vec{r} ( \hat{ u }, \hat{ v }, \hat{ w } ) $, две угловые оси $ \hat{ \theta }, \hat{ \phi } $.
Простыми словами геометрия траектории объекта в сферически симметричном гравитационном поле может быть представлена как поворот четырёхмерного плоского (псевдоевклидова) пространства-времени относительно дополнительных, пятой и шестой мнимых осей.

Заключение


Сначала я подумал, что, возможно, если детально разобраться с единицами измерения угла кривизны $ \alpha $, расчёт относительных траекторий массивных тел через $ (3) $ стал бы гораздо проще и точнее. И к этому несомненно стоит вернуться.
Но, ввиду просматривающейся тенденции, я решил уделить время гораздо более интересному направлению развития теории:
1. Специальная теория относительности. Взаимное движение объектов разных кинетических энергий может быть представлено как движение в континуумах, повёрнутых друг относительно друга (буст).
2. Общая теория относительности. Решение Фридмана. Масштабный фактор расширения Вселенной может быть представлен как угол поворота относительно дополнительной, ненаблюдаемой оси.
3. Общая теория относительности. Решение Шварцшильда. Изменение интервала, соответствующее движению объекта в гравитационном поле, можно представить как поворот относительно дополнительных ненаблюдаемых осей.
Я подумал, что неплохо было бы составить мат. модель, которая обобщала бы все эти повороты. Подобная генерализация, впрессованная в контуры известных вакуумных решений и СТО, могла бы случайно наследовать ряд свойств необходимых, чтобы соответствовать и другим наблюдаемым физическим эффектам. Возможно, она позволила бы взглянуть под другим углом на многие известные явления природы, и дать им интерпретацию. Это, кроме того, что она позволила бы легко обсчитывать комбинированные движения как сумму поворотов. Да много чего ещё там вкусного может быть дух захватывает от этой перспективы.
А с Геометрическим представлением кривизны в метрике Шварцшильда локально я вроде закончил.
Читателей очень прошу, кому не лень, проверить математику. Я её люблю, она взаимна, но она царица, а я всего лишь человек могу ошибаться.
Подробнее..

Категории

Последние комментарии

  • Имя: Murshin
    13.06.2024 | 14:01
    Нейросеть-это мозг вселенной.Если к ней подключиться,то можно получить все знания,накопленные Вселенной,но этому препятствуют аннуннаки.Аннуннаки нас от неё отгородили,установив в головах барьер. Подр Подробнее..
  • Имя: Макс
    24.08.2022 | 11:28
    Я разраб в IT компании, работаю на арбитражную команду. Мы работаем с приламы и сайтами, при работе замечаются постоянные баны и лаги. Пацаны посоветовали сервис по анализу исходного кода,https://app Подробнее..
  • Имя: 9055410337
    20.08.2022 | 17:41
    поможем пишите в телеграм Подробнее..
  • Имя: sabbat
    17.08.2022 | 20:42
    Охренеть.. это просто шикарная статья, феноменально круто. Большое спасибо за разбор! Надеюсь как-нибудь с тобой связаться для обсуждений чего-либо) Подробнее..
  • Имя: Мария
    09.08.2022 | 14:44
    Добрый день. Если обладаете такой информацией, то подскажите, пожалуйста, где можно найти много-много материала по Yggdrasil и его уязвимостях для написания диплома? Благодарю. Подробнее..
© 2006-2024, personeltest.ru